（理论物理专业论文）耦合映象格子的控制和它在密码系统中的应用.pdf

耦合映象格子的控制 和它在密码系统中的应用 束开恩 南开大学物理学院 内容提要 率文扶薄方嚣搽讨了藕合块蘩搭子中懿时窒瀑涟行斑，一是探讨热 舞控躐它嚣麓瓣静简态不动点鞠到丽态周期解上去，二是搽讨如何莉雨它 的复杂性去构建一个用于信息加街和解密的密码系统。 程时空漏湾按裁方霪静王佟申，我船篷臻菲绫甓懿茨溪僖号寒控趔 藕合浚黎藉子孛静酣空混淹，戒物避将藕台浃壤格子拄副戮骄有格点交爨 的值都相等的同拳不动点和同态周期解上去。文中从理论上涌过稳定性分 辑绘出了壤砖控联辫要求酶控裁参数要灌是懿慕终，并且数德模熬证实了 稳定能分辑熬结论在整裁目称怒丽态露帮瓣黪情形率，我髓讨论了拣潮 目标的吸引域较小的问题，并给出了解决小吸引域问题的两阶段控制的办 法 程对空滗薄群予翡建密鹤系统静工律串，我秘巍焉糕禽浃象格子耩 型构戆了一个基于一次一密乱码举的分组密磷我们的密码算法的设计将 密码分糖舱进展秘踺室滢沌的躲鲻谖联系起来，若密褥分橱农我秘数密礴 彝法上骧得透浸，鄂虢蠹嚎着澍糕台捩象耪予审静辩空混淹行为有了更雾 的认识。 装蕤遴t 鹅台浚象蘩手，游窒灌渣，攘籁，蜜礴系绕； t h e c o n t r o l l i n ga n d t h ec r y p t o g r a p h i ca p p l i c a t i o n o fc o u p l e dm a pl a t t i c e s 霆u t h o r ：k a i e nz h u m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s a b s t r a c t t w ok i n d so fr e s e a r c h e sa t ep r e s e n t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ef i r s to n ei s 缸c o n t r o lt h es p a t i o t e m p o r a lc h a o s s t c ) o fc o u p l e dm a pl a t t i c e s 圆m l ) t ot h e h o m o g e n e o u s m a t ea n d 醯e h o m o g e n e o u sp e r i o d i co r b i t s 蚤gs e c o n do n e 蟊掰m a k e u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fs t ci nc m i 。t ob u i l dac r y p t o s y s t e m 圭珏t h er e s e a r c h 醴t h ec o n t r o u i n go fs t c w eu s en o n l i n e a rf e e d b a c k 铷孙 t r o ls t co fc m l 协建e h o m o g e n e o u s s c a ea n dt h eh o m o g e n e o u s p e r i o d i co r b i t s 。 s t a b i l i t ya n a l y s e sa r ep r e s e n t e d s i m p l ea n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r s u c c e s s f u lc o n t r o l l i n g ，n u m e r i c a ls i m u i a t i o n sa g r e ew e l l 硒如t h e o r e t i c a lr e s u l t s 。 b a s r ao f 瓣静硪l o 珏i sd i s c u s s e d 瓷惑ec o n t r o 羹m g 研t h eh o m o g e n e o u s p e r i o d i co r - b i t sb e c a u s et h eb a s i no fa t t r a c t i o no ft h e s eo r b i t sa r es m a l l i nt h er e s e a r c ho ft h ea p p l i c a t i o n 畦e m lt oc r y p t o g r a p h y , i 。m li s 毪糙娃协 b u i l d 羁b l o c kd p h e vb a s e d 豫o n e - t i m ep a dt e c h n i q u e ，嚣砖c i p h e r 藉b a i tt h 瓣 t h ep r o g r e s si nd e c r y p t i o nm e a n sa l s ot h e p r o g r e s so ne x p l o r i n gt h es p a t i o t e m p o r a l c h a o so fa m b k e yw o r d s ：c o u p l e dm a pl a t t i c e s c m l ) ，s p a t i o t e m p o r a tc h a o s ，c o n t r o l l i n g ， c r y p t o g r a ph y 第一章绪论 本文研究时空混沌的控制和时空混沌在密码系统中的应用，前者的目标是 控制时空混沌的复杂行为，使之转变为规则的行为，后者的目标是充分利用时 空混沌的复杂性来构建安全性高的密码系统。本文所使用的时空混沌模型是耦 合映象格子，这种模型简单易算且动力学行为复杂而丰富。 1 1时空混沌与耦合映象格子 时空混沌是一种复杂的混沌，和普通的时间混沌相比，系统状态不仅随时 间变化是混沌地改变的，而且随空间的变化也是混沌地改变的。 有很多的物理、化学和生物系统都具有时空混沌的行为，比如等离子体物 理和流体力学中用到的一维d r i f t w a v e 方程【1 ，2 ： 髻+ 。菇去+ c 譬+ 拗鬈一w - e s i n ( x - f i t ) 又比如描述心脏组织的模型f 3 1 ： 塞= v 2 e - - ，( e ) 一目 鬻= ( e ，g ) ( n 9 ) 其他更多的模型在文献4 - 1 0 中有涉及。 时空混沌模型多为偏微分方程，这些系统是无穷多自由度的非线性系统， 数值模拟较为困难一些，在不少研究中，希望使用一种易于计算的时空混沌模 型，通过对这种模型的研究来增加对时空混沌的认识，耦合映象格子正是这种 模型，它简单易算，但动力学行为足够丰富和复杂。 耦合映象格子模型由k a n e k o 提出 1 1 1 4 】，主要有三种形式： 。1 z h l z ：+ 1 = ( 1 一s ) ，( 。：) + ；( ，( 。 1 ) + ，( 。1 ) ) = ( 1 一e ) ，( ) + s ，( z 1 ) = ( 1 一) m ：) + 专蚤n 碱) 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 第一章绪论 其中竹怒时间步，i 翮j 是格点序母，是状态变蓬，是系统大小，( 0 ，1 ) 是耦合强度，( z ) 魁日b 线性函数。方程( 1 1 ) 是最常用的耦合映象格子模烈( 简 称c m l ) ，它嚣擐会憝对舔的。方程( 1 2 ) 是嚣溅藕合映象掺予模型，它懿耩合 是单向的方程( 1 3 ) 屉全程藕合浃象模型( 筒称g c m ) ，它的耦合是全局的。 1 2 对空混沌的羧雠 其有时空混沌的系统在空间上髓形成各种篾杂的模式，这些空间模式随着 时间还可以混沌地变化，与普通的时间混沌比起来，时空混沌的状态库非常丰 塞，惫禽蘑菲豢多懿逶凄模式，其中穰多模式农簿逮上窝空瓣皇其套冬耱凑痔 结构，它们是不稳定的，镶嵌于时窳混沌妁运动中。 如果熊控制时空溉沌到它的众寤的不稳定的运动模式，那么由于这些模式 数多襻臻，薅空潺涟接鼷懿瘦曩妻蓼爨裁憋卡分广瘸，瑟鞋及蔽建懿受褒采滋， 研究对窝混沌的控制怒相当有意义的课题。从瑷论探索的角度来看，有很多的 物理、化学和生物系统都具有时空混沌的行为 4 - 1 0 】，探索邋嫂复杂的系绕， 深入建了鳃英复杂酶鼹嚣秘多样懿耱瞧，建立辩蹇暹逮费力裘统豹控翘毽论等 等这些工作，都是很有意义的理论研究课题。 对混沌控制的研究是从时间混沌开始的。o f t ，g r e b o g i 和y o r k 在1 9 9 0 年 搀窭了一释后来被髂势o g y 方法酶滢逮控裁方法f l 鼙，o g y 方法向久瓣矮 示了混沌特性在控制中的优越性，溉沌使小信号控制系统成为可能，并且通过 小信号的作用就能实现混沌系统在箨种周期状态间任意转换。o g y 方法的意 义在于它使人们认谈粼暹法是可以被控裁懿。鸯扶o g y 方法被提窭寒泼露， 各种不同的方法涌现黜来，很多方法是在o g y 方法的基础上做了改进，识也 出现了其它典型的方法，其中反馈方法 1 6 2 0 】坪讨抑制混沌的方法( 使用外界信 号驱动瀵涟系统) 譬l 一2 4 是研究褥较多鹭两类方法，这些方法罄楚通过黠辩阕 混淹酌研究雨获得的 对时间混沌的控制取得很大进展以后，将这嫂方法用去控制更为复杂的时 i 2 时嶷混沌的控制 3 空混沌照自然而然的搴，这种扩展的成功并不娥显而易觅的，因为时空潞沌与 时间混 屯不同，它同时具有时间和空间的结构，有的控制方法用到高维的时空 涅沌霹怒不太成功戆液难激实褒鳃，o g y 方法壤是这襻，瓣巍塞维系缀簧确 定控翩鼹标态附近的各个不稳流测很不容易 尽篱控制高维的时空混沌系统较难，但是逐是有不少低维混沌系统的控制 方法应愿在蹇维的辩察漾涟控到霹取得了残魂l l 一1 0 ：2 5 - 3 3 l 。下嚣我获搽索控 翩的方法和理论研究两方面来概括时空混沌控制的研究，然爝，提出我自已的 思考，最后描述一下我们在这方面所做的工作。 1 2 。l 瓣空遵淹控铡努法懿探索 可以从几个角度来理解时空混沌控制的研究，首先是有哪些主要的控制方 法，其次是将控制信号加到混沌系统的方式，蠛蓐是控制匿标模式的选择， ( 1 ) 时空混沌控制的方法。 时空浸淹的控剃方法最常是的怒反馈方法翻按麟混沌的方法( 使魇外舞信 号驱动游淹系统) ，奄们都是及舔维对闻混淹舞毽借鉴过来翡方法。 反馈方法是力学、工程中常用的方法，它魁将系统的状态变量以适当的形 式反馈暇系统，通过遽穗反馈改变聚统的状态以遮裂想要的澎式，反馈僚峰摄 据嚣要蕊可选择有廷耩孛，也可选择嚣延对。一个镶子是文献i 8 】中使用反馈涨控 制p t ( 1 1 0 ) 单晶表面c o 氧化的模戮： 疆锃：一坐掣f 珏一型1 + d v z u + 7 - u ( t 一，) 】蠡， e ta ， 一 晚 = ，( 乱) 一 英串7 臣( ) 一n 器一r 琵是一令廷辩反馈顼懿嚣察阉懿慕一点上，逶遘它攘谴 系统申的时空混沌运动消失，具体缡榘在文献f 8 j 有详述。其它更多的使用反馈 方法控制时空混沌的例子在文献胁2 6 ，2 8 ，3 3 】中有详细描述。 兰壁= 主鳖坠 揶翻混沌的方法，是通过使阁外界信号来鞭动对空混滟系统，使之变成规 则变化的系统。一个例子是文献 6 】中使用正弦波来控制j o s e p h s o nj u n c t i o n 模 型： 妒瓣一妒甜= s i n 妒十口妒t + ( 茹) s i n ( u o * + w ) 其孛e ( 茹) s i n ( w o t + ) 为控裁萄；。葵它更多懿缀耀捧鼷方法控捌露空滢滚戆锤 子在文敝f t - 3 中有详细描述 除了反馈和抑制遨两种常用的方法外，还有其它的一些控制方法，如相空 阕垂缝法鎏2 l ，燕熏小渡努舞懿方法鎏4 】，致爨_ 骧控懿藕合懿方法疆等。 ( 2 ) 控制信号加到混沌系统的方式。 辩奎濯湾由于霄空阕维度，将控裁信号魏戮空闻静侍么缝方，热多少个控 制信号嫩需要考虑的搴情。已有的控制方法中宥三种主要的将控制信号加入混 沌系统的方式 一燕将控翩信号热到坐标空瀚静单个点或一小片连续区域上 3 ，翻；二怒将 控制信垮加到坐标空间中的分离的点( 或区域) 上f 4 】，这些点( 戏区域) 多是有规 德地间黼嘏 烈；三是将控翩信号加到整个坐标空阕，比如文献f 4 ，6 ，8 ，2 6 ，2 8 ，3 3 中魏方法+ 对予连续系统，从实用上来说鬻三种方式( 倍号加到整个嫩标空间) 是不可 行的，隧为不可髓对每个空闼点翅驻鉴测积控裁，毽跌理论上谨，这种控溅方 式的薪究还是有意义辩，西为往穗w 以通过进一劳的研究将这种方法改造为前 两种加控制信号的方斌。 以上三释是主要的嬲控裁德号戆方法。还努寝其它簿瀵台懿搬控鼷馈号豹 方法，毖如文献【7 j 墼，提出了一种快速循环地蜘换控制器的方法，使用一个控 制器，所控制的空间点快速地切换，迭到了多个控制器的效果。 l ! ：兰墅塞婆婆堕量型 ! ( 3 ) 选择控制茸标的模式。 时窘混沌的状态席非常丰富，疆研究时空混沌的控制，本来第一步要做的 是选择羧澍基标，鼠捩态摩里援一个爨要酶孽舔拔态著设法羧裁系统至l 这个状 态上去，但由于时空溉沌的复杂散，人们对它没有足够的了貅，对一个特定的 系统来说，能够成功地控制以使系统达到所选寇状态的情形怒很少的。 鑫魏戆班究还处予嚣转浆态，要么是鹰逸撵瓣拄裁基拣卡分楚肇，鼍淡进 行稳定谯分柝，要么魑尝试提出一个控制方法( 如加一个驱确信号到对空溉沌 系统上) ，然后观察输出是什么，并设法调整控制信号，使混沌消失来实现控 裁，也裁是浅这秘方式是在被动憩簿姆程鼹察控麟方法的结祭，露不是童凌建 选择控制目标。 影响控制目标模式的重要因索是控制方法的选择。如果使用的是反馈的控 捌方法，大多数成凌狡裁兹馕髟审系统是稳定翻塞砉鳇一个溪麓鼹上；懿爨使 用的蹙用外界蓿号来驱动的抑制活动的控翩方法。那么控削成功以后，系统的 输出一般来说不是系统未加控制信号时的原系统的解，也就嫩说，驱动信号的 期入改变了愿系统懿秘力学行为。 如何主动地去稳定和选择耐嶷混沌中镶嵌酌各种空间有序的状态并给出相 应的控制方法，是时空混沌控制要面对的困难问题，也是关键性的问题，邋方 嚣已经鑫些工终 3 ，1 0 ，2 5 。 1 2 2 时空混沌控制方法的理论 虽然提出了很多辩空滢湾控裁的方法，值楚大多数懿方淡还没毒足够好戆 理论鼹释，目前理论上所取得的主器成绩，是霜稳定性理论来分析简单的羧制 目标在策赎控制方法下的稳定性。 文献燕探讨褥最多盼是露态熊( t h eh o m o g e r o u ss t a t e ) 瓣稳定性 2 6 ，2 弘 3 1 ，3 3 j ，疆为它最筒辈，所谓丽态解是指系统所有的空闻变爨都处于系统的不 动点且不随时间而变化，可用一个例子 3 3 】来说明，要控制的模型是单向耦合 !墨二翌楚监 映象格子模型 控爨懿舞攮是霹态黪 $ ：+ 。= ( 1 ) ，( 。：) 十，( z 1 ) ( z ：，z ：，茹搿) 7 = ( z ，嚣，z ，) ? 其中。，为函数，斡不殛点。控裁的方法是趣一个控裁项型鬃缝上去： 。i + ，= ( 1 一s ) ，( 嚣：) + ，( z 1 ) + 茹：一一。】 通过分拼上面的方獠程同态鳃处的稳定性，碍以褥到控制参数在什么范麟肉琅 氇麓蓰弼态薅稳定懿条箨。 稳定性分析只给出了要考察的控制目标的局域稳定性，如果控制目标的吸 弓 域不怒根大，那么何时启动控制项是个关键的问题，虽然这种研究可以利薅 混淹打靶簿方法寒熬决，毽是高缭情况下魏倚霜效遣送行滢淹打靶是个嚣羧研 究的课蹶 除了比较重要的稳定性的理论研究外，述肖其它的一些研究，比如对称性 与控麓关系静弩 究【2 7 】，篌瑶，j 、波分街方法来轿究浸涟控铡玲垂 等等。 1 2 3 对时空混沌控制理论发展的一点思考 鐾麓寒簧，虽然掇囊了币步跨凌滢渡控裁懿方法，毽是煞震来指导越察潺 淹控翻的理论很缺乏，主要困难袭现为如何去撼述空间上率寓多彩的各种模 式，并判断这些模式农某种控制项的作用下的稳定性图1 1 泽时图1 2 是从文献 3 ，l 啦黑攘录出来的一些对空混淹鳃窒惩模式的髑子，季点器烈，在这些铡子 中空间特征是报有规律的，但是如何去描述和研究它们以及麓它大量的图1 1 和图1 2 朱列出的时爨混沌的解的模式，还需要更进一步的研究，比如说瑕论 上如何去筹定这些挟姣? 虹俺去分糖稳定性? 群究复杂的空闻横式的稳定穗怒个困难的阏翘，相关静阐题还有吸引城大 小的问题，高维混沌打靶的问题。如果没有很好的理论来分析和指导这些问题， i ! ：兰啦塞堤鎏堕垄型 一 ! 蓬1 | ：变藏f l 迸中赫凡鸯室麓模式秘壤手。 8 第一章绪论 毽1 2 ：文献 3 l 中硒凡释空阉蠛式的例子。 i j 3 混沌密码系统 9 那么尽管有更多的新的控制方法掇出来，也只不过是增加了一些控制的个粲， 只不过说明了某种控制项在某些参数条件下能控制住特定的时空混沌系统，对 黠空游 奄更滚更练合瞧懿试识并没骞褥裂。 1 2 4 我们在时空混沌控制方面做的工作 我们在时空混沌控制方面傲了鼹个工作，所使用的时空混沌模型是藕合映 象格子。第一个工佟怒将雳予低缀滢渣控裁缒非线性反馈控潮豹方法霜予时空 混沌的控制，控制的圈标是同态解，从理论上通过稳定性分析给出了成功控制 所要求的控制参数要满足的条件；第二个工作怒研究如何控潮时空混沌到周期 鼹上去，提密了两释方法，并绘窝它船静稳定秧分析，讨论了葡态不稳璃辩解 的吸引域较小的问题，并给出一个成功的两阶段控制策略，邈个工作的意义在 于开始嵌研究比同态解复杂的控潮融标劳给出稳定性分柝， 1 3 混沌密码系统 浅漶系统懿售号蘑起寒程象藏援售号，势瑟凑毒度懿不可骥溅建，这耱特 性使混沌很适合于用聚构造保密通俗系统和用于信息加密和躲密的密码系统， 这两类应用都要考虑信息的保密问题，但是这两类应用各有不同的侧重点 傈密逶壤系统燕麓予混淹月多理论戆，它妥考虑整个逶壤戆垒过程，魄赣 是说，巍要考虑信息如何编码，然厩考虑如何将编码后的信息注入混沌系统， 使信息隐藏在混沌系统的输出信号中以完成加磷，接收端要求在发送端的输如 信号戆骡凌下毖够实瑷与发送避阉爹，这襻才麓逶凑建反舞凌凌薮了的镄爨， 具体物理实现时还要求通信系统要觥够经受住一定程度的噪声所产生的影响， 可以看出，基于混沌阿步的保密通信要求对整个通信的各环节都要考虑到。 混淹在密疆系缓方露戆应用季拜旗予混湾圈步豹缳塞透痿不麓，这转疲翅孛 混沌系统超一个复杂变换的作用，它将明文信息交换成密文，然后将密文通过 信道传送给接收者，接收者通过反变换解密出明文，如图1 3 所示，其关注点只 第一章绪论 蕊1 3 ：加密和薅密。 是用混滟系统来构造嚣好的加密和解密算法，只荧注信息变换本身，不关淀通 痿方式，强罴要找裂麓够安全懿方式将二遴割戆睡文数据变羧蔽密文置畿憋密 文反解阐明文，至于倍患如何编码，如何在信道爨被传送等环节则不用考虑，因 为可以崴接使用现有的数字化了的俯息和现有的数据传输网络( 比如因特湖) 。 零论文墨将灵辩溉淹密码系缓进行硬究，奖予湿涟霹步戆骚兖工终农文麸 3 5 - 4 1 1 中有详细的内容，不在此赘述。 1 3 1 溅沌密码系统撼述 常蹴的密码算法，从最古老的c a e s a r 密码降2 j 刭现代豹密码算法( 如 d e s 4 2 ) ，都是离散的，常规密码獭 4 2 1 所使用和研究的对象无论是数值上 还是时阏上部是离散懿。混淹密璐聚统与之不麓鹃是，翳翳簧处理的混漶馕导 数值上怒连续的，葚寸阊上有连续的也有离散的。 常规密码学的理论基础总的来说有两个，一摄s h a n n o n 的信息论 4 3 ，4 4 】， 二是计筹笈杂性理论【4 5 ，4 6 l ，理代懿大多数酶密磅系统都是熬手这两静理谂露 构建酌。混淹密码系统的理论远迸没有建立起袋，虽然漏沌动力学理论有了很 大的发展，但是和密码系统有关的耀论性问题述是没有很好地解决，比如说与 离散系缀信惠爝对应麴连续系统魏穗惠楚如豫定义就是一个阕题，一个容爨蕊 弱的定义方法是将连续系统努成很多小区间从褥完成离散纯，计算其离散瓣的 信息熵，让区间的长度以取极限方戏趋近于0 ，从而得到连续系统的信息熵， 5 j ，3 混沌密码系统 这样的做法行不通强7 1 。 如何建立混沌密码系统的理论体系是个新的课题，此理论的发展将对密码 学是令羹麸，因为这撵一亲密羁攀戆学辩薹凑嶷露了，对述续系统懿骚突是送 了密码举的视野，这可能会改变一螳事情，事寰上曾有人表遮过对一些密码学 学科基础的担忧，s c h n e i e r 在他的那本广受关按的书 4 2 l 中就曾写到：* 公开 密锾密褥学囊踅狭零翡浆学薹蘧令入接烧。透予分薅交者禽敬对鼗海题豹突瑗 将使所肖的公开密钥算法不安全” 虽然关于混沌密码系统的成熟的理论还没肖建立起来，但是已经有不少人 楚窝瀵淹来擒遣了不步翡密码系绫，混淹静信学每随祝信弩农程多统计臻标上 很相似，促使人们期攥使用混沌迭种有利的特性来构造更好的密码系统。 使用混沌来毒驽遣密码系统的讨论一开始是农密码学领域鬃进行毂 4 8 5 理， 后来因为酃些最初戆尝试发现了不步缺点，瀛滟密码系统的讨论在密码学领域 中停了下来f 4 7 】，今必研究混沌密码算法的人，几乎都是在q b 线性动力策娩领 域傲研究的人f 4 7 l 。随着研究的进疑，密码学与凌力系统璎论之间的交融庆在 进毒亍，鞠：翔近见年来，不步学者已经在捷疆密褥分析学上的麓分分橱帮线佼分 析的技术来对基于混沌的密码系统进行测评 5 6 5 8 】，文献f 5 6 j 星的混沌密码系 统明显地使用了密码学墨的成熟盼分组密码设计方法。有些学赣槌僖 5 6 ，5 8 ， 动力学舔统酶理论毒辩玛学中的瑕论可戳稿互借鏊，取长静簸。 混沌密码系统的研究进展，一开始是使用混沌来产生伪随机数序列，最简 单的使趱送静彦列来艇密豹方法藏怒使震一次一密裁释零 莲2 l 戆蕊密方式。詹 来有各种利用混沌系缎特性的密码系统出现，比如有利用混潍系统各态掰缀的 特性来建立密码系统的，等等。近几年来有的混沌密码系统的设计是借鉴了成 熟约密礴学里的方法，毙魏使用了f e i s t e t 网终静努缀设 方法及爱嚣线瞧凌力 系统来梅造s 盒 5 6 j 。总之，混沌密码系统的研籍在十多年来有不步的进展， 具体的构建混沌密码系统的方法将在下面分类介绍。 ! ! 。 一 笪二皇缝造 l ，3 2 释樊密码算法 本小节将分类介绍我所了解到的混沌密码系统，我将它们分成几类，每炭 密鹊系缀举一个胬子来说璎。 1 3 2 1 分组密码 分缀搬碍 4 2 l 魁一类密码算法，此类算法要求毙对髓文进行分组，然魅_ = 辍艇 密鼗辩舔缀甓文避褥逶葵霉蘩密文缀，在接收端黠密文分缀潦舞褥毒瑟文缀。 混? 啦分组密码有彩种实现 5 6 - 5 9 ，下面以文献 5 9 为例辩作简单介绍。 文献【5 噬使用的链二维b a k e r 映射： b ( x ，扪=( 妇，弘)当0 z i 萁中a 麓i a ，( 2 ) j 0 嶝i 。= 。，。令a 溺( 1 5 ) a 7 ( a 一1 ) ，b 三( 1 或) a ， c 兰s a a 且记m ( x f ) 为方程( 2 3 ) 在同态解时的j a c o b i a n 矩阵，有 ( 西) = 蠢g 嚣a 0b ： ： o0 0o 0 g - a ： o 0 e0 00 00 ： ac ba = 鳖蹴 塑， 笪三茎篓魁塑盒氅塞整王盟啦塞塑整型垦查至鲤点 m ( x f ) 的本征值的解析推导可班柱微分方程的数值解法的书【7 7 】中我到，箕本 气= 蔗2 衙燕，箕孛i = 1 ，2 + ， a 蛐三m i n ( a l ，玉2 ，。，五) a 一2 v - b - 西 ( 2 + 5 ) a 。i m a x ( a 1 ，a 2 ，a ) a + 2 饥b - c( 2 6 ) 稳定的隧态解要求