（计算数学专业论文）风险与随机网络的若干结果.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究保险风险与随机网络两方面中的若干问题。 第一部分，我们首先给出了有关重尾分布的若干性质，然后讨论了常利率平稳更 新风险模型的破产问题，给出了这一模型的破产概率。( “) 与常利率更新风险模型的 破产概率妒：) 之间的关系式，并运用这一关系式和转移概率得到了妒。( “) 及几个重 要精算量的分布与联合分布的级数展开式。在实际经营中，保险公司往往借助再保险 以降低破产风险，因此，这一部分最后我们分别就超额再保险和比例再保险两种再保 险类型对经典风险模型进行完善，并运用随机过程和鞅论的方法得出了完善后风险模 型的破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式。 第二部分，为进一步探讨无标度网络的形成机制，我们研究加点、加边、重连和 去边四种演化过程的随机网络模型。对单偏好依附随机网络模型与双偏好依附随机网 络模型，我们利用连续理论，证明了如果适当选取模型参数，这两个网络模型均为无 标度网络模型；并给出了标度指数y 的值。 关键词：重尾分布、破产概率、超额再保险、比例再保险、无标度网络、b a r a b i s i a l b e r t 模型、标度指数， 风险与随机网络的若干结果 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w ec o n c e l t la b o u ts e v e r a lp r o b l e m so ni n s u r a n c e r i s ka n dr a n d o m n e t w o r k s i nt h ef i r s tp a r t ，w ef i r s tp r e s e n ts e v e r a lp r o p e r t i e so f h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n s t h e n t h es t a t i o n a r yr e n e w a lr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r o ei sd i s c u s s e d w ep r e s e n tt h e r e l a t i o nf o r m u l ab e t w e e n y 5 ( “) a n d ； ) ，w h e r e 5 妞) i s t h er u i np r o b a b i l i t yi nt h e s t a t i o n a r yr e n e w a lr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ；纠( ”) i st h er u i np r o b a b i l i t y i nt h er e n e w a lr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e w eg e tt h es e r i e se x p a n s i o n so f j ( 甜) a n dt h eo o i n t ) d i s t r i b u t i o n so f s e v e r a li m p o r t a n ta c t u a r i a ld i a g n o s t i c s ，i np r a c t i c e ， i n s u r i k n c ec o m p a n i e ss e e kt or e d u c et h er i s ko fr u i nb ym e a n so fr e i n s u r a n c e s w ec o n s i d e r t w ot y p e so fr e i n s u r a n c e sr e s p e c t i v e l ya n dc o r r e c tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e li nt h i sp a r t n l e nt h e l u n d b e r gi n e q u a l i t i e s a n dt h ef o r m u l a sa r ec o n c l u d e dt h r o u g hs t o c h a s t i c p r o c e s s e sa n dm a r t i n g a l et h e o r y i nt h es e c o n d p a r t ，i no r d e r t oe x p l o r ef u r t h e rt h em e c h a n i s m r e s p o n s i b l ef o rs c a l e f r e e n e t w o r k s ，w ei n t r o d u c et w oe x t e n d e dm o d e l so f t h eb a r a b a s i a l b e r tm o d e l t h et w om a d e l sg i v em o r er e a l i s t i cd e s c r i p t i o n so ft h el o c a lp r o c e s s e st h a nt h eb a r a b f i s i - a l b e r tm o d e l ， i n c o r p o r a t i n gt h ea d d i t i o no f n e w n o d e s ，n e wl i n k sb e t w e e no l dn o d e s ，t h er e w i r i n ga n d d e - l e t i o no fs o m el i n k s w ep r o v et h a tt h et w oe x t e n d e dm o d e l sa r em o d e l so fs o a l e - f r e en e t w - a r k si f t h ep a r a m e t e r so f t h em o d e l sa r ec h o o s e n p r o p e r l ya n dg e t t h es c a l i n g e x p o n e n t ， b y t h ec o n t i n u u m t h e o r y k e yw o r d s ：h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n ，r u i np r o b a b i l i t y , e x c e s s o f - l o s sr e i n s u r a n c e ，p r o p o n l a n a ir e i n s u r a n c e ，s c a l e - f r e en e t w o r k s ，b a r a b a s i “l b e nm o d e l ，s c a l i n ge x p o n e n t 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章一类风险模型的破产问题 1 1 绪论 1 1 1 背景介绍 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题。作为保险精算的一部分，风险 理论产生于保险公司承保项目的可行性研究，其研究对象是来自保险商业的各种随机 模型。初期的风险理论主要同寿险有关，研究的是个体风险模型通常称为个体风险 论，关于这时期风险理论的回顾可参见b o h l m a n n f l 。集合风险论把全体投保者看 成一个整体，索赔的产生为一个随机过程，其研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 2 。他首先进行了破产论的研究，提出了一类重要的随机 过程，即p o i s s o n 过程。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严 格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的。因此，风险理论较为系统的理论形 成应该说始于l u n d b e r g 3 和c r a m e r 4 。他们不仅建立了经典风险模型及其主要结果， 而且发展了随机过程的基本理论，并建立了二者之间的联系。如今风险领域中研究的 各种风险模型都是在此基础上逐步发展起来的。当代对风险理论的系统论述当属 g e r b e r 5 和g r a n d e l l 6 a 近几十年来，随着随机过程理论的逐渐系统和成熟，随机过程理论为风险理论的 研究提供了强有力的方法和工具，这使得风险理论的发展十分迅速，出现了各种各样 的风险模型，其研究问题的范围也逐渐扩大。破产概率的计算与估计一直是风险模型 研究的核心问题，一些概括性的工作可参见【7 罐 。我们所研究的破产概率是衡量一个 保险公司及其所经营的某个险种的金融风险的极其重要的尺度。它可以为保险公司的 决策者提供个早期的风险警示，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管 提供依据。因此，破产概率的研究具有非常重要的现实意义和指导意义。随着保险商 业的发展，许多其它问题，如一些精算量的分布与联合分布，也开始被关注。这些精 算量，如破产时、破产前瞬间余额、破产时余额、破产时赤字、末离时等。近年来， 风险与随机网络的若干结果 人们研究最多的当数破产时、破产前瞬间余额、破产时赤字三者的联合分布，如【9 】。 经典风险模型的研究已比较透彻，这方面的论文与专著不少。带利率的风险模型 是当前风险分析研究的热点之一。因为在保险公司的正常经营中，除了保费收入和索 赔支出对经营情况有很大的影响外，还有一个不可忽略的因素就是利率。但是由于难 度大，对这类问题的研究还不够深入。【1 0 1 2 讨论了常利率风险模型下的破产问题。 对于随机利率风险模型， 1 3 1 5 取得了一些有意义的结果。 风险理论发展至今，已形成了各种处理风险模型的方法，如鞅方法、更新方程方 法、马尔可夫过程方法等 1 6 1 7 1 ，其中鞅方法是一种强有力的方法。把鞅论运用于风 险模型中，通过构造鞅来推导所求。 1 , 1 2 预备知识 一般来说，风险模型由以下三个过程组成： ( 1 ) 保费收入过程佟( f ) ，f 足) ，s ( f ) 表示在( 0 ，f 】内收到的总保费： ( 2 ) 索赔到达的计数过程 ( ，) ，r ) ，( r ) 表示在( o ，明内发生的索赔总次数； ( 3 ) 索赔额序列 乙，k ) ，乙表示第k 个索赔的索赔额。 n “、 若定义z o ) = z 。，则z ( r ) 表示在( o ，f 】内的索赔总额，而u ( f ) = s ( f ) 一z ( f ) 表示 t l 保险公司在t 时刻的盈余( 或累积资本) 。 风险模型的最简单情形为经典风险模型。 设( q ，只p ) 为给定的完备概率空间，以下所遇随机变量均为该空间上的随机变 量。周知， 经典风险模型： n ( f ) u ( f ) = “+ c t 一z ( 1 1 21 ) “ 0 为保险公司初始准备金，c 0 为单位时间内的保费收入， ( r ) ) 。是参数 为丑的标准p o i s s o n 过程，( f ) 表示在时段( 0 ， 内保险公司总索赔次数，z 。表示第k 次索赔额， z 。 是独立同分布非负随机变量序列， ( f ) 。与乏独立，z k 具有分 南京航空航天大学硕士学位论文 布函数p ( x ) ，其均值为u ，( u ( f ) 。称为余额过程。 记 p = 警 称p 为相对安全系数，且假设p 0 。 定义1 1 2 1 令 r = 攀糍 称r 为破产时。 定义1 1 2 2 叭“) = p ( j f o ，u ( f ) o lu ( o ) = “) = p ( 7 0 为单位时间内保费收入，占为常利率，n = ( ( r ) 。是一个平稳更新过程【1 8 ， n q ) 表示在时段( o ，f 】内总索赔次数，瓦表示第k 次索赔时刻，正- 7 , ，正一瓦，相互 独立并且有相同的分布函数k ( ) 且与五独立，其期望为吉，五的分布函数为巨( f ) = 口j ：( 1 一k ( j ) ) 西( 即7 ；服从k 的平衡分布( 定义1 2 2 ) ) ，z = f 乙) “是独立同分布非负 随机变量序列，五表示第k 次索赔额，其分布函数为f ( x ) ，n 与z 独立，u e ( r ) 为r 时 刻的资产余额。 定义1 1 2 4 令 瓦= 攀墨兰筹鬟 称瓦为破产时。 定义l 。1 。2 5 q a ( u ) = p ( t o , u a ( t ) 0 为常数) 。然而，我们对重尾分布的性质知之 甚少，下面我们给出有关重尾分布的若干性质。 由 1 7 ，我们知： 定义1 2 1 对于个非负随机变量z ，分布函数为f ( x ) ，尾分布f ( x ) = f ( x ，。o ) = 1 一f ( x ) ，如果对所有x 0 ，存在日，b 0 ，使得 - f i ( x ) a e 一“ 则称f 为轻尾分布( 或f 有轻尾) ； 如果对所有s 0 扁f ( j ) = e e “= 则称f 为重尾分布( 或f 有重尾) 。 定义1 2 2 对于一个具有期望 0 和分布函数f ( x ) 的非负随机变量，其平 衡分布( e q u i l i b r i u md i s t r i b u t i o n ) _ i e 为 e ( x ) = 一1r 万( r ) 出 f 的危险函数( h a z a r df u n c t i o n ) 记为 m f ( x ) = 一l 0 9 5 。1 x 的剩余危险分布( r e s i d u a l h a z a r dd i s t r i b u t i o n ) 记为 f ( x ) = p ( x 一，x i z f ) = ( f o + x ) 一f o ) ) ( 1 一f ( f ) ) 1 x 的平均剩余危险函数记为 南京航空航天大学硕士学位论文 h 2 所( ) = e ( x 一， f ) = ( 1 一f ( r ) ) 一i 。f ( x ) 出 命题1 2 1 若f ，g 至少有一个为重尾分布，则f t g 为重尾分布。 证明：设x 的分布函数为f ，y 的分布函数为g ，且工与y 独立 则x + y 的分布函数为f g ，于是 r h f 。g ( j ) = e e 5 。+ 7 = e e “e e “= r h f ( s ) t h g ( s ) 由题设，对所有x + y 0 有 扁f 。g ( j ) = 。 所以f t g 为重尾分布。 我们可以将命题1 ，2 1 推广到栉个的情形。 推论1 2 ，2 若坷，最，至少有一个为重尾分书，则巧t 五t e 为重尾分布。 推论1 2 3若f 为重尾分布， n ，则f ”为重尾分布。 命题1 2 4 设z 的分布函数为f ，7 的分布函数为g ，z 与y 独立，且，g 至 少有一个为重尾分布，则x v y 的分布函数f g 为重尾分布。 证明：不妨设f 为重尾分布 因为x v y x ，于是e s ( x v r p “，所以e e 5 “7 e p “ 因此x v y 的分布函数f g 为重尾分布。 我们也可以将命题1 _ 2 4 推广到n 个的情形。 推论1 2 5 设z ，的分布函数为e ，f = 1 ，2 ，n ，x ，相互独立且f 中至少有一 个为重尾分布，则m a x x t ，x 2 ，瓦 的分布函数为重尾分布a 引理1 2 6设x 的分布函数为f ，则f 为重尾分布的充分必要条件是 j ：f ( x ) d x = 0 0 v s o 证明：充分性 若f 矿f ( x ) d x = vs o 即 e 矿出一f e 。弛) d x = m ( 1 2 3 ) 风险与随机网络的若干结果 上式中r e u 出：m j 0 又 拂( s ) = “= f 矿d f ( x ) = 矿f ( 圳；一j f 矿，( z ) 出 上式中p “，0 ) 溶= m 且 l i r a 篓塑：。 0 土p “ 所以p “f ( x ) 与三矿同阶。 j 由( 1 2 3 ) 式，r h ，( s ) = 。 即f 为重尾分布。 必要性 将上述证明过程反之亦成立，证毕。 记 口f ：l i m s u p m f ( x ) 命题1 2 7 若口。= 0 ，则f 为重尾分布。 证明：若：o ，则1 i m 丝丛生：o j 斗。 x 则对v s o ，孤 0 ，使对所有z x 有坼( x ) s s 。 因此对某c 0 有( x ) c e 一，x 0 所以0 7 矿f ( x ) 出= m ，对所有j 2 占 由s 的任意性，上式对s 0 成立 由引理1 2 6 知，为重尾分布。 命题1 2 8 若l 洫。) = o 。，则f 为重尾分布。 证明：若l i m 卢m 1 = o o 南京航空航天大学硕士学位论文 即 则 。fo-f(y1)ayllm：1 1 m 型：0 0 一=二二一= 1 一f ( x ) z m f ( x ) l i m 盟：o 1 一，。( x ) 于是 口，= 壁唧半= 鲤唧芒= 。 由命题1 2 7 知，f 为重尾分布。 命题1 2 9 设的分布函数为f ，y 的分布函数为g ，若存在c 0 ，使得 l i m 量盟：。，则f 为重尾分布的充分必要条件是g 为重尾分布。 。一。g ( x ) 证明：由于l i m 兰盟：c “【x ) 贝u v s 。，a x 。，当z x 时，有i g - y 。( x x ，) 一c l o ，a 。0 ) ( 1 24 ) 风险与随机网络的若干结果 则v o ，3 x 0 ，当x x 时，有i e s x i ( x ) 一一f o ，s 0 由定义1 2 1 知，f 为轻尾分布，这与题设矛盾。 所以l t r n e “f ( x ) = ，对所有s 0 。 命题1 2 1 1f 为重尾分布的充分必要条件是只为重尾分布。 证明：若f 为重尾分布 贝u 由b ! 理1 。2 6 知 前( s ) = “= f , t t ) = r e 。* 2 “- y ( x ) d x = 2 。f g “- p ( x ) 出= 。 所以f 为重尾分布。 反之亦然。 命题1 2 1 2 若口，= 0 ，则c 为重尾分布。 证明：由命题1 2 7 及命题l - 2 1 l 立得。 命题1 2 1 3 若f 为重尾分布，则l i m g “f o ( x ) = 。，l i m e 。e ( x ) = 0 0 ，vj 0 。 证明：由命题1 2 1 0 ，命题1 2 ，1 l 及定义l f 2 2 ( 平衡分布的定义) 立得。 1 3 常利率平稳更新风险模型的破产问题 1 3 1 引言 经典风险模型是在货币利率等于零的假设下进行的，这其实是相当理想的情况。 在现实生活中利率总是存在的。近几十年来，利率因素正日益为保险学家所关注。考 虑利率因素对经典风险模型进行完善与推广是当前风险分析研究的热点之，并取得 了一些有意义的结果。然而，由于难度大，对这类问题的研究还不够深入，还有许多 问题亟待解决。 对于常利率风险模型，当是一个p o i s s o n 过程的情形，【1 0 一1 1 有比较系统的研 o 南京航空航天大学硕士学位论文 究，主要运用更新方程方法：当n 是一个普通更新过程的情形，n 2 讨论了这一模型 的破产问题，主要思想是将所研究的问题转化为离散情形，再利用马尔可夫链的性质， 借助转移概率将破产概率等表示出来。我们讨论了当n 是一个平稳更新过程的情形， 给出了常利率平稳廷新风险模型( 11 2 2 ) 的破产概率( ) 与常利率更新风险模型 的破产橛率；( ”) 二者之间的关系式，并运用这一关系式和转移概率得到了( ) 及 破产时余顿，破产前瞬问余额的分布与联合分布的级数展开式。 对常利率更新风险模型研究 1 2 得出的主要结果有： ( i ) 破产概率y ；( “) 有如f 展丌式： p ：和) = 芝f q 出) f q ( 郎斑：) e q ( 。赤，。) q ( “ 凼，) ( 吼破广：时余额分布( “，日) 有如卜展丌式： 四( “，“) = 艺f q ( “，出1 ) f q ( 出：) f g ( “。d x , 。) q ( 吒+ 啦，) ( i i i ) 破产前瞬删余额分布g ( “，甜) 有如下展开式： i ”塑坚 劈( 叫) = i ( i d e 1 ) ；o “a d k ( 幻e 圳；卵( z ) i na a * _ l + 薹f q ( “，幽) - f q ( _ 。噍。) 上每世群( ，) e ，。，铲( z ) ( i v ) 破j 。时余额和破产前瞬间余额的联合分柿( ”，g ，b ) 有如下展丌式： h 堂蔓 砖( 灿6 ) 叫“ a ) r d u + v 脒矗篡。6 盯( z ) h 竺巳 + 薹r q ( 玑疵r q ( 稚：，c 色。) j ：+ 冬业矗心( ，) 多篇6 d f ( z ) 1 3 2 主要结果 定理1 3 2 童 ( “) = 1 一詈f 积( v ) r ”r ”彳e - 1 水出+ 风险与随机网络的若干结果 詈f 积( v ) r ”j ：f “c 掣以( 卵+ c 等一z ) 印( ：皿 ( 1 3 2 1 ) 证明：由 6 ( 3 4 ) 式得： 中j ( “) = e 中；( “p 罚+ d m 茅1 一z 1 ) ：fj ：4 “m ：( “扩+ 州“一z ) 打( z ) d k 。( s ) ：口茁( s ) ) r “+ “，中： p “+ f 喇“一。)ds(i- z ) d f ( ) d s 2 口茁( s ) ) l 蝶( “p ”+ f 嘲”一 。 = 口fr 嘏( v ) r d , + c w f * “a ( u e + + c m , 一z ) 订( z ) 出 = 口f 积( v ) 膳“d p 。a c u e a + c m ( & ) - - z ) 烈z ) 击 令函= z ，贝4 屯( “) = 詈f 艇( v ) f ”f “等中：( + c 等一z ) 扭( z 冲 因此 ( “) = 1 一巾5 ( “) ：1 一詈f 旋( v ) e ”r ”等e * - 1 一蝶( + ce l d - 1 一明卵( = 胁 = l 一詈f 扰( v ) r ”r ”等水( z ) 出 + 詈f od k ( v ) r r 丁d - i 川h 等叫拶出 注：定理1 3 ，2 2 给出了i f ，。( “) 与y ；( “) 二者之间的关系式a 推论1 3 2 , x 破产概率 ( “) = l 一号f 缓( v ) e ”r “孚打( z 皿 + 号f 艇( v ) e 。r ”等嘻f q 妇1 + c ! 一z ，如) e q ( 昂出z ) f q ( b 一2 ，正一1 ) q ( 吒小d x ) 】d f ( z ) ( ( 1 3 2 2 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 证明：由( 1 1 2 ，4 ) 及定理1 3 2 互立得结论。 为了精确地描述破产的程度，g e r b e r , g o o v a e r t s 和k a s s ( 1 9 8 7 ) 入函数： g s ( “，口) = p ( 瓦 ，一玎u 5 ( 瓦) o l u 5 ( o ) = “) 定理1 3 2 破产时余额分布 ( “，口) 有如下展开式： g 。( “，a ) = 宝f q ( “，d x 、) f q ( ，d x o f q ( 。d x 。) j 二q ( “。d x 。) ( 1 _ 3 2 1 3 ) 证明： g 5 ( “，a ) = p ( 瓦 ，一a u d ( 瓦) 0 i u 5 ( 0 ) = “) = p ( 乃= ，一日 o ，u ( t o 一) 0 , - d u 。( l ) 0 i u 一( o ) = “) = 妻f q ( “，嘲) f 9 ( 砩d r ：) f q ( 矗，d x 。一。) f o o o ( x n - i , 盘，) 在g e r b e r , g o o v a e r t s 和k a s s 工作的基础上，d u f r e s n e 和g e r b e r ( 19 8 8 ) 7 1 入函数： 乃似，玎) = p ( 乃 ，0 u j ( 疋一) 口l u j ( 0 ) = “) 定理1 3 2 眷破产前瞬间余额分布g ( u ，口) 有如下展开式： 当“ a 时 h 业 ，童m 坤 f 6 ( u ，口) = j o5 口( 1 一k ( ，) ) 出j 矿+ p d f ( z ) l n 堕 + 芝r q 沁出。) r q ( 矗。吼。f ! 产d k ( t ) ( 。一+ 。d f ( z ) 当“a 时 i 。! ： 兀( 。，口) ；芝f q ( 。，如) e q ( 矗。呶j j 芦d k ( t ) ( 一+ 。p d f 。) ( 13 2 4 ) 证明： c ( “，口) = p ( 瓦 。o ，0 u 5 ( 乃一) sa l u j ( o ) = “) = l ( u 口) 尸( 疋= 正0 u j ( 瓦一) s 日i u j ( o ) = “) 风险与随机网络的若干结果 函数 + p ( 瓦= 瓦，0 ( 瓦一) 口i u 。( o ) = “) n = 2 = i ( u a ) p ( o u f ( 正) s 口，u j ( 正) 0j u f ( o ) = “) + 嗽何) o ，媛) o ，o g ( t o 一，) s 口，o u ；吸_ ) o ，u ，( l ) o l u ；( o ) ：“) ：l ( u 叫声硼郴蝴k ，d f ( ；， 2 口) j 05 口( 1 一( 眉( ，触j ： 槲；，；) i 。善坚 + 薹f q ( “，嘲) rr q ( “。吨。广扰( ，) e 一删。，办( = ) 在d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 工作的基础上，d i e k s o n 和r e i s ( 1 9 9 4 ) 弓i 入联合分布 瓦( “，a ，b ) = p ( 瓦 o o ，0 u d ( l - ) 5 口，u d ( 乃) 2 - b u 。( 0 ) = “) 定理1 3 2 6 g ( u ，a ，6 ) 有如下展开式： 当“ a 时 i n o a + c 忍6 ) = f 笋一u e “舯+ c l d s 、6 d f ( g ( u a ( 1k ( t ) ) d t d f ( z )忍6 ) 2 j 0 6 一 e 蒯， h 妻竺 + 薹f q ( “，嘲) r q ( k ，氐。j ：搬( r ) f ：薹荔、6 卵( z ) 当u a 时 脚瑚；薹胁妒胁。嵋，声哪，搿”批m 置：s ， 证明： g ( u ，d ，6 ) = p ( 瓦 ，0 厂d ( 瓦一) 口，u d ( 瓦1 一6 眇d ( o ) = “) = i ( u a ) p g = 正0 c ，j ( 乃) 口，u d ( 乃) 一b l u j ( 0 ) = “) 十p ( 乃= 瓦，0 u j ( 乃_ 口，u 5 ( 丁) 一b i u ；( o ) = “) 月。2 = t ( u a ) p ( o u 5 ( 正) a , - b 茎u 5 ( i ) o u d ( o ) = “) 南京航空航天大学硕士学位论文 + p 饵) 0 ，( 正) o o u a t o 1 ) 口o 佤) 马如( 瓦) oj u a o ) = u ) 1 。坌兰 ，! 2p w m + d ，r + 6 。m o 内是下凹的，只要m 以正概率取足够大的值，华将保持为正- 从而g p ) 在r 0 内有唯一极小点，于是方程g ( r ) = a 有唯一正根，即方程g ( r ) = o 存 在唯一正解尺。 定义1 4 2 2 对于盈利过程 矿( f ) ，t 0 ) ，定义事件流州= 吼? ：f o ，其中吼卜 c r v ( x ) ：0 s , 2 s f 。 引理1 4 2 3 m 。( f ) ；吼净。) 是鞅，其中m 。( f ) = 墅群。 证明：对任意r f ，运用引理1 4 2 1 得 蹦以嗍e 【甓纂铲暇】 叫壁e x p 坐( x g ( r 铲) 。壁e x p 黼 ( t 限】 。 )一r ) g ( r ) ) 川e 【篙蒲懈】 = m 。( k ) 弓f 瑶i4 2 4t 景贸，停时。 风险与随机网络的若干结果 证明：( 略) 。 定理1 4 2 5 在情形( 2 ) 下，破产概率满足l u n d b e r g 不等式 m ( ) e 一8 。 其中r = s u p r 0 ：g ( r ) 0 证明：因为7 t 是贸5 停时，选取f 。 r 0 】p r r o e m 。( t ) j t “】e r s ) ( 1 4 2 1 ) 由于在 t o 3 ) 的条件下，“+ v ( r ) 0 ，故 p t t o ( 1 42 4 ) 又 o 球“。t q p t f o j = e 旷m “， r ) 0 】 【e 一8 “h ， u ( b 碡o 】 由于0 e - r b ( t 。) i i u ( 圳1 ，且根据强大数定律u ( 岛) _ 0 0 日工 故由控制收敛定理有 南京航空航天大学硕士学位论文 l i m e 瞳+ 8 “。1 r l o 】尸 r t o ) = 0 口、s f d _ + 于是在( 1 ，4 2 4 ) 式两端令r 0 哼o o ，即证得结论。 情形( 3 ) ：假设保费收入过程与理赔过程独立，假设c 五点k ，其中e k = r x d r ( x ) + m d p ( z ) 。 “1 设形( r ) = c t 一k ，称 ( ，) ，f o ) 为盈利过程。 引理1 4 2 7 对于盈利过程 ( r ) ，f 0 ，存在函数q ( r ) ，使得 e e ” f ) 】= e 州 且方程g ( r ) = 0 存在唯一正解r ，我们称r 为调节系数。 证明 “1 e e - r w ( t ) - e e x p ( 一r c t + r 砭) 】 一p ( - ，喜等e 1 呦。 0 = e x p ( 一，c + 2 ( m “( ，) 一1 ) ) f 】 令g ( ，) = 一，c + 2 ( m ( ，) 一1 ) ，其中“( ，) = e ( e ”) ，即得引理第一部分。 记g ( ，) = - - r c + 2 m n ( r ) ，则 当r = 0 ，有 _ d g ( r ) - - - - c + 旭( 圪p ，“) d r 掣：2 e ( y k 2 e r , ) d r 。 了d g ( r ) h = c + 舾( k ) 。 故曲线g ( r ) 在， o 内是下凹的，只要理赔额耳以正概率取足够大的值， 型d r 将保 风险与随机网络的若干结果 持为正，从而g ( r ) 在r 0 内有唯一极小点，于是方程g ( r ) = a 有难正根，即方程 q ( r ) = 0 存在唯一正解r 。 定义1 4 2 8 对于盈利过程( f ) ，0 ，定义事件流锨= 9 t ：，0 ，其中孵 o - w ( 曲：0 盯r ) a 引理1 4 2 9 m 撕) ；倪。) 是鞅，其中m ) = 竺雩群。 引理1 4 2 1 0t 是蚪停时。 定理1 4 2 1 1 在情形( 3 ) 下，破产概率满足l u n d b e r g 不等式 m ( “) s e “ 其中r = s u p r 0 ：q ( r ) 0 ) 。 定理1 4 2 1 2 在情形( 3 ) 下，破产概率 少。( “) = j 二- r u e l e , 【p ( - r u ( , ) l v 一 o 。 。n n ( 2 ) ：y m ( 曲= e x p r c t + ) 1 1 ( 1 - p “) 】，其中r 为方程弛“一r c = 兄的正解。 。n n ( 3 ) ：g m ( x ) = e x p r c t + 2 i ( 1 - m k 似) ) 】，其中r 为方程删h ( r ) 一，c = 五的正 解，这里m h ( r ) = e ( e 嘶) 。 1 4 3 带比例再保险复合p o i s s o n 风险模型 假定保险公司的再保险业务均为比例再保险业务。 南京航空航天大学硕士学位论文 由定义1 1 2 7 知，对于随机变量五，原保险入赔付额为a z 。，对于原保险人而 言，我们有： u ( ，) = “+ “一匾= u + c i 一峨 ( 1 4 3 1 ) 称这一风险模型为带比例再保险复合p o i s s o n 风险模型。 讨论这一风险模型的破产概率对保险公司比例再保险业务中口的制定具有十分 重要的作用。 假设c a l p ，相对安全系数为 以= 掣 0 o ：a , p 记初值盯时的破产概率为( “) ，至时刻，不破产的概率为巾。( “，f ) 。 令。毛= 儿，则“的分布函数为p ( 兰) ，于是 u ( f ) = “+ c t - - y t ( 1 4 3 2 ) 此即为一般的经典风险