（计算数学专业论文）大分子的弹性杆模型、珠簧模型及其数值模拟.pdf

a b s t r a c t t h ed y n a m i c so fd n am a c r o m o l e c u l ei sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nb i o m e c h a n i c sw h i c h h a sd r a w ng r e a ta t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s e l a s i cr o da n db e a d s p r i n ga r et w oi m p o r t a n t m o d e l sf o r a n a l y z i n g i t s d y n a m i c a lp r o p e r t i e s s i n c el o n g c h a i n m o l e c u l e sh a v e m a c r o s t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c si nl e n g t ha n dn a n o s c a l ei nd i a m e t e r sh a v em i c r o s c o p i c n a t u r e ，m a n yk n o w l e d g e si nd i f f e r e n tf i e l d ss u c ha se l a s t i c i t y , b r o w n i a nd y n a m i c sa n d m o l e c u l eb i o l o g ya r ec o m b i n e dt os t u d yi t sm o d e l i n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dd y n a m i c a l a n a l y s i s ，a n ds i g n i f i c a n tp r o g r e s s e sh a v eb e e nm a d er e c e n t l y i nt h i sp a p e r , t h ec o n f i g u r a t i o ns p a c eo fe l a s t i cr o di ss t u d i e d t h el a xp a i rf o rs m k e q u a t i o nw i t hd i s c r e t et i m ei so b t a i n e df o rk i r c h h o f fr o d f e n ed u m b b e l lm o d e la n d h o o k e a nd u m b b e l lm o d e la n dt h e i rn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ea l s oi n v o l v e d t h em a i n r e s u l t si nt h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a tt h em a c r os c a l e ，b a s e do nt h ek i r c h h o f fe l a s t i cr o dm o d e l ，t h el a xp a i rf o rs m k e q u a t i o nw i t ht i m ed i s c r e t ei sd i s c u s s e d ，a n dt h es e m i d i s c r e t ek i r c h h o f fr o de q u a t i o ni s o b t a i n e d ( 2 ) a tt h em i c r os c a l e ，b a s e do nd u m b b e l ld y n a m i ce q u a t i o n s ，s m o l u c h o w s ke q u a t i o n s f o rb o t hh o o k e a nm o d e la n df e n ed u m b b e l lm o d e lw i t hi n t e r n a lv i s c o s i t yh a v eb e e n s o l v e d b yu s i n g i t 6f o r m u l a ，t h ee q u a t i o n sa r et r a n s f o r m e di n t oi t 6s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h e ns i m u l a t e dw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r su s i n ge u l e rm e t h o d f i n a l l y , t h en u m e r i c a lr e s u l t sf o rb o t hm o d e l s a r ea n a l y s i s e da n dc o m p a r e d k e y w o r d s ：d y n a m i c s ；e l a s t i cr o d ；s y m m e t r i c a lc h a r a c t e r i s t i c ；d u m b b e l lm o d e l s ； n u m e r i e a ls i m u l a t i o n 5 5舢93m 3 ，iiil洲y 目录 引言l 第一章弹性杆和布朗运动的相关知识4 1 1 弹性杆的相关知识4 1 1 1 弹性杆动力学的基本假设4 1 1 2 弹性杆k i r c h h o f f 方程和s m k 方程6 1 2 布朗运动的相关知识9 1 2 1 布朗运动的定义9 1 2 2 s m o l u c h o w s k 方程和i t 6 公式1 1 1 2 3 随机模拟的e u l e r 法1 3 第二章d n a 弹性杆的半离散模型- 15 2 1 半离散弹性杆动力学方程的l a x 对称1 5 2 2 弹性杆动力学的构形空间1 5 2 3 ，一离散s m k 方程的l a x 对称l6 第三章d n a 分子哑铃式的布朗动力学模型2 l 3 1 聚合物分子模型的布朗动力学模拟2 l 3 2 模型描述2 1 3 3 模型离散2 2 3 4 数值模拟及模型分析2 3 结论2 8 参考文献2 9 攻读学位期间的研究成果3 2 致谢3 3 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明3 4 引言 引言 近几十年来，聚合物大分了结构和生物力学性质的研究受到密切的关注，并在 d n a 等的研究巾得到广泛应用。其巾，描述聚合物大分- 了宏观力学性质的弹性杆模 型和微观力学性质的珠簧模型，是研究d n a 大分子的两种重要的动力学模型。 作为重要的宏观力学模型，弹性杆在科学研究和工程巾都有广泛的应用。许多 重要的工程系统像海底电缆、钻杆、纤维和大分子血n d n a 等，都可以模型化为弹 性杆讨论。在1 0 0 多年的研究中，最具有影响力的是1 8 5 9 年k i r c h h o 鼹出的弹性杆结 构模型，其弹性杆动力学比拟理论奠定了弹性杆静力学的理论基础“。 2 0 世纪5 0 年代以来，d n a 和分子生物学的研究快速发展。人们从微观实验中发 现，聚合物人分子的物理性质和弹性杆类似，如一个小的片段表现出很强的刚性， 而较长的片段则表现出柔性。d n a 等人分子结构复杂，存在复杂的内部相互作用， 以人体d n a 分子为例，这种直径只有2 纳米而长度可达数厘米的长链分子，弯曲、缠 绕、折叠在充满液体的细胞核中，形成复杂、多尺度的动力学性质。在以往的研究中， 人们从微观和宏观的角度探索了d n a 等聚合物大分子的各种特征。二者是同一物理 问题的不同尺度的描述，其数学理论分析不尽相同，各自导出的数值计算方法也大 相径庭。 利用弹性杆模型研究d n a 已有4 0 多年的历史。b e n h a m 旧1 ，l eb r e t ”等首先利用 k i r c h h o f 鲤论研究了d n a 的弹性杆的拓扑结构，s h i ，h e a r s t 删。等在k i r c h h o 斛莫型的 基础上，以曲率和挠率为变量建立了描述d n a 弹性杆的s c h r o d i n g e r 方程。以e u l e r 角 为位形变量，利用k i r c h h o f f 的动力学比拟方法，把弹性杆轴线弧长s 作为拟时间变量， 则弹性杆的结构方程可以比拟成e u l e r 习1 体定点转动的动力学方程，动力学的经典方 法可以应用于分析弹性杆的结构力学性质，建立相应的l a g r a n g e 方程、h a m i l t o n 函数 和相关的守恒性质。这些结果在刘延柱憎。的著作中有详细论述。经典的k i r c h h o f f 模 型一般利用e u l e r 角叫描述，由于e u l e r 角描述的平衡方程是强非线性的且角( ，秒，妒) 当秒= 勋时出现奇点，给数值计算带来困难。故弹性杆的上述拟动力学理论不能有 效地应用于弹性杆的数值计算。k e h r b a u m 1 和h u 副引入e u l e r 参数代替e u l e r 角给出 了弹性杆轴心曲线的数学描述。k i r c h h o f f 弹性杆假设忽略拉伸正应变和弯曲剪应变 作用，对许多问题的描述有较大的偏差。随着研究进展人们不断发现，弹性杆在运 动中会发生自接触现象，从而产生一个接触力。由此开辟了弹性杆研究的一个新领 青岛人学硕十学位论文 域弹性杆的自接触问题。近3 0 年来，人们发展出许多新的模型和数学工具描述 d n a 的结构特性，如w e s t c o t t 等= 。分析了d n a 弹性杆的自接触力，c o l e m a n 和 s w i g o n 运用分析方法得到了具有自接触点的弹性杆的平衡结构。 作为对k i r c h h o f f 弹件杆模型的改进，c o s s e r a t 考虑杆的轴向线应变和弯曲剪应 变等因素，建立了更精确的弹性杆平衡方程n 羽n6 l ，其中s m k 方程n 铂是一种重要的 对称表述方法。l a x 刊解释了非线性偏微分方程和微分算_ 了之间的关系，并由k d v 方程得出了l a x 对和l a x 表示法。m a d l e r ，b k o s t a n t 。指出了l a x 型的完全可积 系统与轨道方法之间的关联性。b a k u p e r s h m i d t ，g e o r g ew i l s o n “修正了l a x 方程。 e r i cd h o k e r ，d h p h o n g 旧利用谱参数构造了与有限维李代数相关的h a m i l t o n i a n 系统的l a x 对。m a r i ap r z y b y l s k a 纠提出了广义的标准l a x 方程，并分析了方程的性 质给出了应用实例。s h i ，m c c l a i n ，和h e a r s t 伸州2 5 3 给出了弹性杆动力学的三种不 同方程，即弧长s 和时间，都连续、s 离散，连续以及s 和t 都离散的s m k 方程的l a x 对称。 另一方面，人们把经典力学的方法和分子生物的实验与统计分析技术相结合对 d n a 的杆状螺旋结构进行研究，也取得了人量成果。从实验角度，p e r k i n s “最早用荧 光显微镜研究了d n a 在均匀流中的伸展运动，m a r k o 雨t l s i g g i a 1 ，l a r s o n 驯，z i m m 别 和l a r s o n m 根据p e r k i n s 提供的数据，建立了d n a 的哑铃式模型。p e r k i n s 口门口2 l ，s m i t h 和c h u 。”研究了短链d n a 分子在拉伸流中的运动，按照d n a 构型的不同将其分类，如 哑铃型、半哑铃型等。 大分子b r o w n i a n 动力学模型的计算机模拟也成为流变学领域的一种数值分析 手段。为了模型的简化，一个基本的假设是把分子模型化为珠簧模型。f i x m a n 1 运 用平衡态b r o w n i a n 动力学分析了具有内部粘性的h o o k e a n 哑铃的流变学性质， c c h u a 和j d s c h i e b e r h 刮运用非平衡态b r o w n i a n 动力学在各种流和不同粘度的条 件下通过求解h o o k e a n 哑铃模型，检验了g a u s s i a n 近似的结果，方建农和范西俊啪 运用非平衡态b r o w n i a n 动力学模拟了f e n e 哑铃分子模型在定常拉伸流动和突然开 始拉伸流动中的运动，a p gv a nh e e l ，m a h u l s e n 和b h a av a nd e nb r u l e 在突 然剪切流和单轴拉伸流中，且在不同的参数下比较了f e n e 哑铃和f e n e p 哑铃的 不同性质。x i a o d o n gy a n g 和r o d e r i c kv n m e l n i k n u 模拟了f e n e 哑铃在稳态剪切 流中的分子伸展与概率分布。 本文综合考虑弹性杆模型和哑铃模型的剪切、拉伸、扭曲形变和受外力、外力 2 引言 矩作用的一般情况，从宏观和微观两方面研究了大分孑的动力学模型。主要给出了 以下结果： 1 、在利用弹性杆动力学方程和连续弹性杆模型的基础上，研究了s m k 方程以 时间为离散变量的l a x 对称结构，并得出了k i r c h h o f f 弹性杆的半离散形式的方程。 2 、研究了以布朗动力学为基础的f e n e 哑铃模型和h o o k e a n 哑铃模型，并对这 两类模型进行了数值模拟，且与实验值作了比较和分析。 本文的内容共分为三章： 第一章介绍本文使用的有关符号、概念和相关弹性杆和布朗动力学的基础知识 和理论。包括弹性杆动力学的基本关系式，弹性杆动力学的k i r c h h o f f 方程和s m k 方程，布朗运动的定义，表达式等，还有本文计算用到的s m o l u c h o w s k 方程，l t 6 公 式和随机模拟的e u l e r 法。 第二章主要离散了时间变量，推导了s m k 方程的半离散形式的l a x 对称，并考 虑了k i r c h h o f l 3 单性杆的运动时，离散的s m k 方程。 第三章讨论了d n a 的两类哑铃式模型，首先分析了模型所受的弹簧力，以及 在此力作用下模型的运动方程，将模型离散化为i t 6 随机微分方程，在各种不同的参 数下进行了数值模拟，并和实验值作了比较和分析。 最后给出了本文研究的主要结论，以及需要改进的地方。 3 第一章弹性卡1 和布朗运动的相关知识 第一章弹性杆和布朗运动的相关知识 1 1 弹性杆的相关知识 1 1 1 弹性杆动力学的基本假设 以空间巾一点0 为原点，建立惯件坐标系( o - 孝u f ) 。设r ( s ) r 3 是窄间巾一光 滑曲线。将惯性坐标系( 0 一孝7 7 f ) 平移到曲线r ( s ) 上任意一点p ，记平移后的坐标系 为( 尸一勿f ) ；以p 为原点建立弹性杆的截面主轴坐标系( p - x y z ) ；根据刚体的有限 转动定理，将坐标系( p 一勿f ) 绕过p 点的某个瞬时轴日一次旋转矽角后，就可以与 坐标系( 尸一班) 完全重合。记瞬时轴日的基矢量日相对于坐标系( p x y z ) 的方向余 弦为啊，红，玛。设有一个过点p 的向量口，记口相对于坐标系( 尸一勃f ) 和截面主轴坐 标系( p - x y z ) 的坐标列向量分别为a o 和a 。那么存在坐标系( 尸一勃f ) 相对于坐标系 ( p x y z ) 的方向余弦矩阵a ，使得 其中 口o = 4 】口1 红啊( 1 一c o s 痧) - h 3s i n # 霹( 1 - c o s # ) + c o s # 吃红( 1 一c o s 矽) + s i n # 将a ，的各元素用半角公式化为以s i n ( 2 ) 和c o s ( 2 ) 的表示形式，且定义以下符号 ，痧、 盯s l 量j 吼巩l s i n ( 9 ( 瑚，3 ，4 ) ( 1 1 ) 称g = ( 9 1 ，q 2 ，吼，q 4 ) r 为e u l e r 参数。由( 1 1 ) 易得 彳+ 谚+ 菇+ 云= 1听+ g 主+ g ；+ 蕲= ( 1 2 ) 将a 。的各元素用e u l e r 参数表示，并记用e u l e r 参数表示后的矩阵为q ( s ) ，则 4 必庐 n n 石r 吼 吼 j 2吃囊双 十 一 + | 宝 啷 啷 一 一 一 iv，l，t 矗红碍 肛见 “p 矗p 缈 n n ；穹 弓； 弓； “忽吃 + + 一 、l，、j、f 力力力 啷 啷 啷 一 一 一 l 1 l ，-、，、，l 砰红矗玩绣 ，f。 i | a 青岛人学硕十学位论文 e ( s ) = 2 ( g 卜9 ；) 一1 2 ( q 2 q 3 - i - q l q 4 ) 2 ( q 2 q 4 一q l q 3 ) 2 ( q 2 q 3 一q l q 4 ) 2 ( q 卜g ；) 一1 2 ( q 3 q 4 + q l q 2 ) 2 ( q 2 q 4 + q j q 3 ) 2 ( q 3 q 4 一q l q 2 ) 2 ( g 卜引一1 ( 1 3 ) 在惯性坐标系( o - ) t ，弹性杆的中心线可由向量，( s ，) r 3 来描述，其巾s 是弧坐标，是时间变量。在，( s ，f ) 上任取一点尸，以尸为原点建立弹性杆的截面主 轴坐标系( p - x y z ) ，其中坐标系五少，z 的单位方向向量正，d 2 ，d ，分别沿，( s ，f ) 的主法 线方向、副法线方向和切线方向。在弹性杆的运动中，坐标系( 尸一彬) 是依附在截 面上的，但由于剪切、扭转等作用的影响，在杆的运动过程中，嘎( s , t ) ，畋( s ，f ) 和 以( s ，f ) 一般不再是f r e n e t 坐标系憎1 。设惯性坐标系( o - c u e ) 的三个坐标轴的基向量 分别为e le ：，e ，则由( 1 3 ) 可得以- 卜关系 珥( s ，t ) = q ( s ，f ) q ( s ，t ) ，( i = 1 ，2 ，3 ) ( 1 4 ) 由于，r 3 ，q s o ( 3 ) ，则弹性杆的构形空间为r 3 xs o ( 3 ) 。 弹性杆动力学中最基本的关系m 3 归结为 ，7 s ，) = 厂( s ，小户( s ，f ) = r ( s ，t ) d ：= t o x d k ，d k = q x d i 其中表示关于弧长s 的偏导数，破表示关于时间，的偏导数； 性杆剪切拉伸形变的变量，】，( s ，f ) 表示速度，国是弯扭度向量， 弹性杆的线动量和角动量密度函数可以分别表示为 p ( s ，) = p ( s ) ) ，( s ，f ) m ( s ，t ) = 尬 ( 1 5 ) ( 1 6 ) j ( s ，) 表示描述弹 q 是角速度向量。 ( 1 7 1 ) ( 1 7 2 ) 其中p ( s ) 表示单位长度杆的质量；j = ( 厶) ，( f ，y = 1 ，2 ，3 ) ，乞表示弹性杆截面关于截 面主轴坐标系的正定惯性张量；q 表示角速度向量q 的第f 个分量。假设杆具有圆 截面且各向同性，则 5 第一章弹性杆和布朗运动的相关知识 厶= 0 ，i ，j ，3 3 = + j ，2 2 1 1 2 弹性杆的k i r c h h o f f 方程| 3 8 1 和s m k 方程n 阳 设作用在杆截面上的内力和内力矩分别为，( s ，) 和m ( s ，t ) 。另外，杆受到外力 g ( s ，f ) 和外力矩( j ，t ) 的约束。根据线动量和角动量的平衡关系可得 p ( s ，f ) = 尸( s ，f ) + g ( s ，f ) ( 1 8 1 ) 廊( s ，f ) = m 7 ( j ，f ) + ，( s ，) ，( s ，f ) + ( s ，f ) ( 1 8 2 ) 如果我们作弹性杆静力学的分析，则( 1 8 1 ) 和( 1 8 2 ) 中关于时间，的导数将消 失，那么可以得到一个常微分方程组 f ( s ) + g ( s ) = 口 ( 1 9 1 ) m ( s ) + ，( s ) ，( s ) + ( s ) = 口 ( 1 9 2 ) 特别地，若弹性杆不受外力和外力矩的作用，我们可得 f ( s ) = 0 ( 1 1 0 1 ) m ( s ) + ，( s ) ，( s ) = 口 ( 1 1 0 2 ) 这就是弹性杆的k i r c h h o f f 方程阳3 在惯性坐标系中的表达式。 根据惯性坐标系和截面主轴坐标系的关系，( 1 1 0 1 ) 和( 1 1 0 2 ) 写成截面主轴 坐标系( p x y z ) 的方程为 f ( s ) + ，( s ) = 口 ( 1 1 1 1 ) 硝( s ) + 国m ( s ) + 以，( s ) = 口 ( 1 1 1 2 ) 设内力，和内力矩m 在截面主轴坐标系中的投影式分别为 f = 鼻嘎+ 易d 2 + e 以 ( 1 1 2 2 ) r 青岛人学硕十学位论文 m = m l d i + m 2 d 2 + m 3 d 3 ( 1 12 2 ) 设想当点p 沿曲线r ( s ) 以单位速度向弧坐标s 的正向运动时，杆的横截面以角 速度相对( p 一勃f ) 转动。国为横截面相对惯性坐标系( o - 孝1 7 ( ) 的绝对角速度， 是与杆的弯扭变形和扭转变形相关的矢量，故称之为弯扭度。相对( p 一垆) 的投 影式为 = q 一+ 0 3 2 d 2 + 鸭以 ( 1 1 3 ) 利用( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) ，得到方程( 1 11 1 ) 和( 1 11 2 ) 在惯性坐标系( p 一班) 的投影 式为 誓+ 呸e q e = o 等+ 鸭鼻一q e = o 警+ 蚴e 一吐删 警+ 哆m ， ，、 出 3 咝+ 皑m 。 三上，1 ( i s 31 警+ q m ： 二4 一l 出 1 鸭m 2 一e = 0 q 鸩+ e = 0 哆m 1 = 0 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 由于忽略了杆的体积力，各截面的内力，为常矢量。将，的方向定为惯性坐标轴f 的方向，f 轴相对截面主轴坐标系各轴的方向余弦记为口，y ，则有 鼻= f 口，e = f ，e = f 7 ( 1 1 6 ) 其中f = l f i 。将上式代入方程组( 1 1 4 ) ，则有 7 第一章弹性朴和布朗运动的相关知识 塑+缈：yqd + 缈，y 一， s 警+ 鸭口一7 出 。” 譬+ 啪5 一哆口 二+ 以一缈，口 出 ”2 ( 1 1 7 ) 当弹性杆具有原始曲率和扭率时，设衅和趟为弹性杆的原始曲率，霹为弹性 杆的原始扭率，则截面内力矩可表示为 m = 彳( q 一舛) ，m 2 = b ( 哆一趟) ，心= c ( 鸭一霹) ( 1 1 8 ) 将上式代入方程( 1 1 5 ) ，可得到弹性杆的平衡方程 4 d s o j + ( c 一召) ( 哆一趟) ( 毡一鸭o ) 一f = o b d 出m 2 + ( 彳一c ) ( 一霹) ( q t o o ) + f a = o ( 1 1 9 ) c d 出o , 3 + ( b 一爿) ( q 一钟) ( 一趟) = 。 其中a ，b 分别为截面关于x 轴和y 轴的抗弯刚度，c 为截面关于z 轴的抗扭刚度。常 微分方程组( 1 1 7 ) 和( 1 1 9 ) 为描述弹性杆平衡的k i r c h h o f f j y 程。 定义符号昙，昙和昙，昙分别表示在惯性坐标系下的导数和截面主轴坐标系下 的局部导数，那么在截面主轴坐标系( 尸一班) 下的转动连续性方程为 8 m8 q o ta s 当r ( s ，f ) 二阶光滑时，得到连续性方程 ( 1 2 0 ) 一o f ：塑 ( 1 2 1 ) a ta s 根据牛顿力学的动量定理和对质心的动量矩定理，可导出动力学关系式为 8 青岛人学硕十学位论文 p ( s ) 詈一篆= 口 垫型b m 厂f ：口 a ta s ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 方程组( 1 2 0 ) ( 1 2 3 ) 构成了惯性坐标系巾封闭的动力学方程组。将方程组巾的偏导 数转换成截面主轴坐标系中的局部导数，并利用角动量m ( s ，t ) = 加，线动量 p ( s ，f ) = p y ，则得到以下动力学方程组 丝+ 三q 缈：旦望+ 三q c a t2出2 ( 1 2 4 1 ) 望+ q 厂：宴+ 似) ， c a t丞 。 害一p = 芸， 鲁+ q 一+ y x p = o 出m + m + 厂f ( 1 2 4 2 ) ( 1 2 4 3 ) ( 1 2 4 4 ) 以上四个方程称为s i m o m a r s d e n k r i s h n a p r a s a d ( s m k ) 方程。显然从方程组( 1 2 4 ) ， 可以得到以下交换对称，称为l a x 对 s o ，x ( s + z ) 一x ( s ) 口( o ，c 2 f ) ，即x ( s + f ) 一x ( s ) 是期望为0 ，方差 为f 2 ，的正态分布； ( 3 ) z ( ，) 关于f 是连续函数。 则称仁( f ) ，f o ) 是布朗运动或维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 。 当c = l 时，称仁( f ) ，f o ) 为标准布朗运动，此时若x ( o ) = o ，彳( f ) 口n ( o , t ) 。 定义2 ：设 曰( f ) ，t o ) 为布朗运动，记x ( f ) = b ( f ) + ，为常数，称p ( f ) ，o ) 是带有漂移系数为的布朗运动。 将带有漂移的布朗运动的定义写成微分形式，即质点t 时刻位移的增量分解为 随机性增量与确定性增量之和，有如下随机微分方程 1 0 青岛人学硕十学何论文 凹( f ) = 伽( ，) + d ， ( 1 2 6 ) 若扩散系数d 与漂移系数不是常数，而是，与x ( ，) 的函数，那么有如下更一 般的随机微分方程 蚜( ，) = d ( f ，x ( f ) ) 曲( f ) + ( ，x ( ，) ) 出 ( 1 2 7 ) 不又主要米用士见象万法，基十宏观定律建豆士见象万栏即s m o l u c h o w s k 万程采摘 述分子运动。 1 2 2s m o l u c h o w s k 方程和i t 6 公式| 3 9 1 布朗运动最明显的现象是扩散。为了简便起见，我们考虑一维扩散。用c ( x ，f ) 表 示粒子在位置x 、时刻，的浓度。菲克定律描述了扩散的过程，也就是说当浓度分布 不均匀时，存在一个扩散流量z ( x ，t ) ，它与浓度的空间梯度成正例，即 ( 纠_ d 塞( 1 2 8 ) 流量产生的微观原因是粒子的随机运动：如果浓度不均匀，从高浓度区域运动到低 浓度区域的粒子的数目比从相反方向运动的粒子的数目多。由这种数量的不平衡就 可得到( 1 2 8 ) 式。由于粒子的运动是相互独立的，因而单个粒子的平均速度为零。 将( 1 2 8 ) 代入连续方程 妻：一罢 ( 1 2 9 ) 一= 一一 ii 西苏 可以得到扩散方程 宴：d 鸳 ( 1 3 0 ) 一= ， ii 西 反z 如果存在外部势能u ( x ) ，粒子将会受到外部势能施加的一个力 ，：一_ o u ( 1 3 1 ) 出 第一章弹性杆和布朗运动的相笑知识 使得粒子产生一个非零的平均速度v ，在这种力很弱的条件下，v 与f 成线件关系， 即 1a u v = 芎8 x 其中常数孝为摩擦常数，l f 称为迁移率。 粒子的平均速度会产生一个额外的流量卯，即 踟) = 一詈詈 所以由( 1 2 8 ) 和( 1 3 3 ) 知，总流量为 ，：一d 丝一三型 j a x 芒a ) c 从( 1 3 4 ) 可知，在平衡状态下，由波耳兹曼分布可以得到以下关系 ( x ) 芘e x p ( 叫( x ) 灯) 这里后为玻尔兹曼常数，丁为绝对温度。此时流量为零，即 一d 旦一了1c o u o x e q o x = o q 芒 由( 1 3 5 ) 和( 1 3 6 ) 可得，在平衡状态下有 d ：= k t 善 这个关系称为爱因斯坦关系。 将( 1 3 7 ) 式代入( 1 3 4 ) 式可得 产如豢户一手r 夏托i j 因此扩散方程可写为 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 青岛人学硕十学位论文 丝：旦土fk t o c + c 型1 西 o x 善l 叙 玉j 这个方程称为s m o l u c h o w s k 方程。 设随机过程x = ( f ) ，f o 对v o ，。 f 7 满足如下积分 ( 1 3 9 ) x ( ，) 一x ( ，。) = f ( s ，( s ) ) 出+ f d ( j ，x ( s ) ) c 协( 5 ) ( 1 4 0 ) 或等价的写成微分形式 x ( 多一式。) - - i x ( ，t ) d + ，( d ( j ) ) 朋( f ) ( 1 4 1 ) 其中( ，x ( ，) ) 和d ( ，x ( ，) ) 是二元连续函数，称j ( ，) 为i t 6 随机过程，称式( 1 4 0 ) 为i t 6 随机积分方程，( 1 4 1 ) 式为i t 6 随机微分方程。 设x = x ( f ) ，f o ) 满足等式( 1 4 0 ) ，y = f ( t ，x ) 是二元函数，且具有连续偏导 数普，要，可0 2 f ，令y = 厂( ) ) ，则过程y = 】，( f ) ，f 。) 也是随机过程，且对 v 0 - 0 ，维纳增量召( ，) 一b ( s ) 是独立的高斯过程，均值为o ，方差 奠- j i t - s i 。 v 0 t o f ，0 = t o t 。= f ，令噩= 召( f ) ，则随机模拟的e u l e r 数值算法 为 x + 山= x + k t ( t ，x ) 垃+ d ( f ，x ) 盐 ( 1 4 4 ) 其中，a t = ，+ l 一，a b , = e + 一e 。 1 4 第二二章d n a 弹性杆的半离散模型 第二章d n a 弹性杆的半离散模型 2 1 半离散弹性杆动力学方程的l a x 对称 在以往的研究中，弹性杆动力学以弧长s 和时间，为自变量的s m k 方程可以表 示为l a x 对称的形式【16 1 。在论文1 4 2 1 巾用l a x 对称研究了弹性杆的动力学方程，验证 了此问题在一般情况下是可积的。但是它的解不能直接应用于自变量，离散s 连续的 情况。以下将给出仅离散自变量，的情况，并且保持离散后方程组的可积性。 2 2 弹性杆动力学的构形空间1 7 1 8 1 众所周知，d n a 。口】以模型化为能发生弯曲、扭转、拉伸和剪切变形的弹性杆。 一卜文中所提到的弹性杆即指d n a ，“弹性杆的中心线”即为“d n a 的轴”。把 自变量，离散化，令t = n a t ，其中n 为整数，f 为步长。因此，函数s ( s ，t 1 可用 i ( s ，尬力或者厂( s 力来表示。在给定点s 和t = n a t 的条件下，在弹性杆中心线 r ( s ，门) 上任取一点p ，以p 为原点建立弹性杆的截面主轴坐标系( p - x y z ) ，其中坐 标系x , y , z 的单位方向向量d l ，d ：，d ，分别沿，( j ，n ) 的主法线方向、副法线方向和切线 方向。 截面主轴坐标系( p x y z ) 在时间，+ 垃= ( n4 t ) 的方位是由该坐标系在点 t = n a t 作一个无穷小旋转得到，旋转的速度为 石( 蹦) = ( f ) 1 【q ( 册) h q ( j ，n + 1 ) - q ( s , n ) ( 2 1 ) 矩阵中的元素为卿( j ，刀) = 嗥( s ，n ) + o ( a t ) ，1 f ，j ，k 3 ，这里q ( s ，z ) 是弯扭 度矢量缈的分量，是l e v i c i v i t a 符号，即 2 1 ，( f ，k ) = ( 1 ，2 ，3 ) ，( 3 ，1 ，2 ) o r ( 2 ，3 ，1 ) - 1 ，w h e n ( i ，k ) = ( 3 ，2 ，1 ) ，( 1 ，3 ，2 ) o r ( 2 ，1 ，3 ) ( 2 2 ) 0 ，w h e n ( i = j ) o r ( i = k ) o r ( j = k ) 向量珥( s ，刀) 沿着中心线的平移和旋转的过程可由以下式子表示 z ( j ，疗+ 1 ) = 巧( s ，门) + f ( s ，门) 谚( s ，以) + d ( & 2 ) ， 1 i 3( 2 3 ) 1 5 青岛人学硕十学俯论文 r ( s ，刀+ 1 ) 的坐标可由r ( s ，2 ) 的坐标经过如下无穷小变换得到 r ( s ，胛+ 1 ) = ，( s ，疗) + & y ( s ，玎) + o ( f 2 ) ( 2 4 ) 其中r ( s ，刀) 是速度。 截面主轴坐标系在时间，+ & 的方位是由该坐标系在时间，的方位作一个无穷小 旋转得到的。那么可得 仇巧( j ，聆) = ( s ，刀) 珥( j ，z ) ，1 f 3 ( 2 5 ) 其中( s ，刀) 是弯扭度向量。 弹性杆中心线在时刻f + & 位置可由它在时刻f 处的位置作一个无穷小平移得 到，平移的速度向量为 a ，( s ，玎) = 厂( s ，”) 2 3t 一离散s m k 方程的l a x 对称 设z 和墨( f = 1 ，2 ，3 ) 为李群如( 4 ) 的生成矩阵 f o 00 l l00 - 1 正2 卜1 o l ( d 00 f ，00 0 i l0 0 0 五5 卜oo l t , 1 0 0 以：e lo 耻睦 以= k 3 = ( 2 6 ) ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) z ， = 以， z ， = 噩， k ，t = 以 ( 2 8 ) 1 6 、， 0 o 0 0 0 0 0 0 o 0 o 0 、j 0 o o o o 0 0 1 o 0 o o 0 l 0 0 0 0 o 0 ，-。一，f。1-。-。-f-。一， 、0， o 0 o 0 、， 0 o o o 1 0 0 o o o 0 o 0 0 0 0 0 0 0 1 、j o o o o 、j o 0 0 o 第二章d n a 弹性杆的半离散模型 现在考虑线性系统 痧( s ，n + l ，五) = 时( j ，玎，五) 西( s ，刀，旯) ，a 。西( s ，刀，旯) = 矿( s ，协五) 痧( j ，豫五) ( 2 9 ) 这里u 和y 定义为 眇：u ，p ：j + 垃y ，u ：a + 二谂，v ：c + i d ( 2 1 0 ) 其中j 是4 4 单位矩阵，a ( s ，疗，五) ，b ( s ，门，五) ，c ( s ，2 ，五) 和d ( s ，7 ，五) 由以下公式 给出 3 爿= 一( 粥+ 五2 f k ，) ， 3 c = 一( q z + 五2 形k ，) ， 3 b = 一彳( 尼z + 名2 k ) i = 1 3 d = 一五( f 以+ 允2 m ，k ，) ，= 1 以上q j ，厂，k ，p ，f ，缈，m ，m 都是关于s 和”( 旯除外，兄是参数) 的实函数。 为简便起见，我们记厂( s ，n + l ，a ) = 1 ( s ，门，兄) = 1 。利用( 2 9 ) 的可积性条件可 导出关于l a x 对( 日，矿) 的l a x 方程 旦p ：日p p 眵 d s ( 2 1 1 ) 把( 2 1 0 ) 代入( 2 1 1 ) 得 一垃竽+f出望：at+b1)j+(c+国)址一j+(c+国)出(4+谬)d d s s ，l 、7 jl 、7 j 、 7 = ( 4 1 4 ) ( j + 出c ) 一国( b 1 一b ) + 机曰1 - b ) ( i + j t c ) + a t d ( a 1 4 ) 这里的f 表示虚数单位。f 队a ( s ，纷，允) ，b ( s ，胛，五) ，c ( s ，1 1 ，旯) 和d ( s ，? ，力) 并分离实 部和虚部得到 ( ，) 。1 ( _ 一) 一芸以 1 7 青岛人学硕：卜学位论文 鸣。 ( 磷一咄) 乃+ ( 一一几) q 一旯2 ( 矗一见) 鸭+ ( 聊：一朋。) c = 0 ( 出) 。( 叫一q ) 一芸日 一( 叫一q ) 乌+ 旯2 啄( 一只) 巧 一兄4 ( r f ) 乃+ 旯6 毛。( 叫一_ ) 鸭= o ( 2 1 2 2 ) ( 出) 卅( d b ) 一芸f 一 ( 一只) q + ( 叫一q ) 以4 6 。( 叫一弼) 乃+ ( f 1 一f ) 鸠= o ( 2 1 2 3 ) ( 出) 。1 ( 以一) 一芸帆 嘞 ( 一一亿) 乃+ ( 碱一) 鸟+ ( 以一q ) 鸠+ ( 一) = o ( 2 1 2 4 ) 其中f ( s ，f ) 和m ( s ，) 用米描述弹性杆系统的力和力矩，m ( s ，f ) 署np ( s ，t ) 表示圆 截面的角动量和线速率。是角动量所( s ，t ) 的分量，只是线动量p ( s ，t ) 的分量，z 和m 分别是内力，( s ，f ) 和内力矩m ( s ，f ) 的分量。这里江1 ，2 ，3 ，下标f + 1 和i + 2 取 除以3 的模，以下相同。容易验证，当址0 0 ，”_ o o 时，方程( 2 1 2 ) 可以推出s 和t 都是连续的s m k 方程。显然( 2 1 2 ) 共有1 2 个标量方程，包含2 4 个独立实变量q ， 厂f ，缈，乃，m ，e ，b ( f = 1 ，2 ，3 ) 。为此，我们可以选取1 2 个构形关系使 得独立实变量只有1 2 个。在弹性杆的研究中，通常用以下4 个向量方程来确定1 2 个构形关系，使得方程( 2 1 2 ) 只含有1 2 个未知函数 ( = 亭h ( 咄厂1 ( 2 1 3 1 ) 1 8 第二二章d n a 弹性杆的半离散模刑 m = 熹( 鸭厂) a 砂 、77 只：熹厅( 鲫) 只2 瓦厅y j m ，= 去恸) ，= 疗i5 z ，】，i 。孢、”7 ( 2 1 3 2 ) ( 2 1 3 3 ) ( 2 1 3 4 ) 这里f = l ，2 ，3 且日( 鸭厂) 是弹性能量函数，办( q ，) ，) 是动能函数。在其它的问题中可 以选取其它关系式，我们把它记为 e ( q ，j ，m , f , e o , 7 ，m ，b s ，a ) = o ( 2 1 4 ) 系统( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 可