（应用数学专业论文）二次可逆系统的极限环分支和周期单调性.pdf

摘要 本文主要研究含单参数的二次可逆系统的极限环分支和周期单调性问题，共 分四章 在第一章和第二章中，我们分别讨论了系统 - b - 2 - 2 ( 6 1 ) y - 互3 2 2 + b y 2 ，( 1 ) 1 7 = - 2 x y 一 和系统 圣= 一2 z 箩， f 2 1 1 7 = k 一1 2 k x + ( k + 1 ) x 2 一吾y 2 、7 的周期环域在二次扰动下产生的极限环的最大个数首先，我们根据这两类系统 的不同的拓扑结构分别给出周期环域的阿贝尔积分i ( h ) 的表达式其次，我们导 出i ( h ) 的表达式中相关的阿贝尔积分( ) 所满足的p i c a r d o f u c h s 方程组，并 根据p i c a r d - f u c h s 方程组的解理论以及一些几何的方法，得到两类系统的阿贝尔 积分的零点个数的估计值最后，我们把阿贝尔积分i ( h ) 的孤立零点转化为质心 曲线和直线的交点在确定了质心曲线在两个端点附近的几何性态后，我们根据 已经得到的i ( h ) 的零点个数的上界得到i ( h ) 的孤立零点的最大个数( 上确界) 这一上确界就是这两类系统的周期环域在二次扰动下产生的极限环的最大个数 在第三章和第四章中，我们分别讨论了当f = j 1 和f = 时系统 ? 。叫? 警。， ( 3 ) 雪= z + d z 2 + f 可2 、7 的周期函数t ( h ) 的单调性我们采用前人的方法，把t ( h ) 用适当的阿贝尔积 分的导数来表示进而定义一个能判断该阿贝尔积分的导数的临界点个数的函数 矽( 九) 根据咖( 哟所满足的黎卡提方程，我们给出了( 九) 在其定义域的两个端点 处的几何性态，并由此推导出多( 危) 的零点的个数是奇数还是偶数然后，我们建 立了能确定( 危) 的零点个数上界的不等式，根据这一不等式以及( ) 的零点的 个数的奇偶性我们得到( ) 的符号，从而确定了周期函数的单调性对某些参数 值，当上述方法失效时，我们则采用平面动力系统的轨道分析法来确定周期函数 的单调性 关键词：二次可逆系统，周期环域，周期函数，极限环分支，阿贝尔积分，p i c a x d o f u c h s 方程 a b s tr a c t i nt l l i sd i s s e r t a t i o nw ew i l ls t u d yt h eb i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sa n dt h em o n o - t o n i c i t yo ft h ep e r i o df u n c t i o no fo n e - p a r a m e t e rr e v e r s i b l eq u a d r a t i cs y s t e m s t h e d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s ta n ds e c o n dc h a p t e rw ei n v e s t i g a t et h em a x i m a ln u m b e ro ft h e l i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o mt h ep e r i o da n n u l u so fs y s t e m s 圣= b 一2 2 ( 6 1 ) y 一；z 2 + 哂2 ， 雪= - 2 x y a n ds y s t e m s 圣= - 2 x y 雪= k 一1 2 k x + ( k + 1 ) x 2 一 可2 ( 5 ) u n d e rq u a d r a t i cp e r t u r b a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y f i r s t l y , t h ea b e l i a ni n t e g r a li ( h ) o f t h ep e r i o da n n u l u si sg i v e na c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e so f t h e s et w oc l a s so fs y s t e m s ，r e s p e c t i v e l y s e c o n d l y , w ee s t a b l i s ht h ep i c a r d f u c h s e q u a t i o no ft h er e l a t e da b e l i a ni n t e g r a l sl ( ) i nt h ee x p r e s s i o no f ，( ) u s i n g t h et h e o r yo nt h es o l u t i o no fp i c a r d - f u c h se q u a t i o na n ds a m eg e o m e t r i cm e t h o d s w eo b t a i na ne s t i m a t i o no ft h en u m b e ro fz e r o so f ，( 九) f i n a l l y , w et r a n s f o r m t h ei s o l a t e dz e r o so fi ( h ) t ot h ei n t e r s e c t i o n so fa s t r a i g h tl i n ea n dt h ec e n t r o i d c u r v e w ef i n dt h es u p r e m u mo ft h en u m b e ro ft h ei s o l a t e dz e r o so fi ( h ) b y d e t e r m i n i n gt h eg e o m e t r i cb e h a v i o ro ft h ec e n t r o i dc u r v en e a ri t st w oe n d p o i n t s s u c has u p r e m u mi se x a c t l yt h em a x i m a ln u m b e ro fl i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o m t h ep e r i o da n n u l u so fs y s t e m ( 4 ) a n ds y s t e m ( 5 ) r e s p e c t i v e l y i nt h et h i r da n df o u r t hc h a p t e rw es t u d yt h em o n o t o n i c i t yo ft h ep e r i o d f u n c t i o nt ( h ) o ft h es y s t e m s 圣= 一秒+ z 暑， 雪= z + d x 2 + f y 2 w i t hf = 互1a n df = ir e s p e c t i v e l y u s i n gt h ee x i s t i n gm e t h o dw ee x p r e s st h e p e r i o df u n c t i o na sa d e r i v a t i v eo fas u i t a b l ea b e h a ni n t e g r a la n dd e f i n eaf u n c t i o n ( ) w h i c hc a nb eu s e dt od e t e r m i n et h en u m b e ro ft h ec r i t i c a lp o i n t so ft h e d e r i v a t i v eo fa b e l i a ni n t e g r a l a c c o r d i n gt ot h er i c c a t ie q u a t i o no f ( 危) ，w eg i v e t h eg e o m e t r i cb e h a v i o ro f 妒( 九) n e a ri t st w oe n d p o i n t s b yd o i n gt h i s ，t h ep a r i t y o ft h en u m b e ro fz e r o so f ( 危) f o l l o w s t h e n ，w ee s t a b l i s ha l li n e q u a l i t yw h i c hc a n n l b eu s e dt oe s t i m a t et h en u m b e ro fz e r o so f ( 危) u s i n gt h i si n e q u a l i t ya n dt h e p a r i t yo ft h en u m b e ro fz e r o so f ( ) w eo b t a i nt h es i g no f ( 危) a n dt h u so b t a i n t h em o n o t o n i c i t yo ft h ep e r i o df u n c t i o n h o w e v e r ，f o rs o m e 七，t h ea b o 、r em e t h o d i si n v a l i d i nt h i se a s ew ea n a l y z et h et r a j e c t o r yo fs a m ep l a n a rd y n a m i cs y s t e 瑚 t og e tt h em o n o t o n i c i t yo ft h ep e r i o df u n c t i o n k e y w o r d s ：r e v e r s i b l eq u a d r a t i cs y s t e m ，p e r i o da n n u l u s ，p e r i o d f u n c t i o n ，b i f u r c a t i o n so fh m i tc y c l e s ，a b e l i a ni n t e g r a l ，p i c a r d - f u c h s e q u a t i o n 轷| ，( 危) ，d ) 或舞厂( ) c ； c l c l s l o s 符号和记号 函数f ( h ) 在其定义域d 上的零点的个数 函数西( 乱) 的图像 双曲线函数f ( 让) 的图像 g 的右上分支 质心曲线 ( 尸q ) = ( p ( ) ，q ( ) ) ：h ( h a ， 2 ) ， 质心曲线过端点c 的切线 质心曲线过端点s 的切线 连接点s 和点c 的直线 v 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或 其他方法保存学位论文。保密的学位论文在解密后使用本规定。 学位论文作者签名： 日期：年月日 导师签名： 日期：年月日 论文原创性声暇 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 1 0 0 作者签名： 日期： l - j 4 一 刖吾 作为人们认识自然世界的有力工具，常微分方程的发展已经有几百年的历史 最初，人们研究一些较为简单的常微分方程( 比如常系数线性常微分方程) ，利 用初等积分法求出解的具体表达式来对事物的发展做出预测这里所说的初等积 分法是指把微分方程的解通过初等函数或它们的积分来表达的方法但是，能用 初等积分法求解的微分方程是很有限的，即使形式上很简单的黎卡提方程( 例如 皇= x 2 + y 2 ) 一般也不能用初等积分法求解【1 3 4 于是人们开始研究方程的解 的存在性( 包括唯一性) 和解对初值和参数的连续依赖性理论之后，出于大量的 实际问题的需要，法国数学家p o i n c a r 6 在十九世纪八十年代开创了微分方程定性 理论，其核，1 5 、, 技术是不借助于对微分方程的求解，而是从微分方程本身的一些特 点来推断其解的性质，因而它是研究非线性微分方程的一个有效手段，自十九世 纪以来已成为常微分方程发展的主流其中，人们在平面动力系统的定性理论方 面取得了最为丰富的成果尽管平面动力系统的定性理论只是常微分方程的一个 分支，但其所涵盖的内容却十分丰富我们在这里主要介绍两个主要问题其一是 有关极限环的个数问题，这个问题自1 9 0 0 年数学家大会召开之后，成为定性理论 中一个极难却长盛不衰的热门问题其二是有关周期函数单调性的问题下面我 们分别对这两个问题做详细地介绍 o 1 希尔伯特第十六问题及其弱问题的研究现状 我们知道，研究动力系统的极限环的个数及其分布状况和研究动力系统的奇 点分布和奇点类型一样，是为了明确动力系统的全局结构，从而使我们对该动力系 统的轨道的归宿一目了然当我们应用到具体的问题时，这一理论便发生巨大的 威力例如在生物数学中，根据建立的常微分方程模型以及初始数据，一旦研究清 楚系统的奇点和极限环的分布，就可以对所研究的对象( 例如某个种群或某种传染 病) 的发展态势做出正确的预测，见 2 6 ，2 9 ，6 4 ，6 6 ，6 9 ，7 0 ，1 0 3 ，1 0 6 ，1 2 0 ，1 3 9 1 4 1 1 及其 参考文献在经济学中也存在动力系统问题例如股市的发展除了受到政府决策， 心理预测和资本运作等因素的影响外，股市自身也存在着动力系统 6 7 ，8 0 ，8 1 ，1 6 s 研究这些动力系统的奇点和极限环的状况是预测股市的内在发展的个有效手段 在自然科学的其他领域，动力系统的应用也十分普遍，兹不赘述 1 2前言 这里不妨对平面动力系统的极限环的定义及性质做简单的回顾所谓系统 耋； - p ( z ，叼， ( 0 1 1 ) 象：= 多= q ( z ，! ，) ， 、。 的极限环就是该系统的一条孤立闭轨r 经典的常微分方程定性理论告诉我们， 当p ( x ，y ) 和q ( z ，y ) 都是解析函数时，在孤立闭轨r 的充分小领域u r 内，所有 轨线当时间变量t 趋于正无穷或负无穷时将无限缠绕地趋向r 换言之，r 是 内所有轨线的u 极限集或q 极限集 正如我们说过，研究系统( 0 1 1 ) 的极限环是一个重要的课题在1 9 0 0 年召开 的数学家大会上，德国数学家希尔伯特提出了著名的2 3 个数学问题其中第十六 个问题的后半部分可以表述为：对于给定的正整数n 和全体n 次多项式r ( z ，可) ， q n ( z ，y ) ，平面动力系统 专20 掣， ( 0 1 2 ) 痧= q n ( z ，箩) ， 、。 的极限环的最大个数日( n ) 等于多少( 日m ) 后来被人们称为希尔伯特数) ? 这些 极限环可能具有的相互位置如何( 即极限环的分布情况如何) ? 当佗= 1 时，这一问题的答案是显而易见的平面线性系统可以有中心，从 而有闭轨线族，但没有极限环当佗2 时，这一问题就变得十分困难人们甚至 连仡= 2 时h ( 2 ) 是否有限也不知道目前我们只是知道h ( 2 ) 的下界例如 文 1 0 ，1 2 7 证明了h ( 2 ) 4 另一重要结果是叶彦谦【1 4 3 】证明了当系统具有一 条不变直线时，系统最多具有一个极限环对于较大的n ，文 4 8 ，9 5 ，1 3 3 ，1 3 7 分别 证明了h ( 4 ) 2 3 ，h ( 5 ) 2 8 ；h ( 7 ) 5 0 ，h ( 9 ) 8 0 ；最近，三篇文章【8 8 ，9 7 ，1 0 4 各自证明了h ( 3 ) 1 3 ；对形如佗= 2 七一1 的正整数，文 9 7 】证明了 日( n ) 妄( 佗+ 1 ) 2 1 0 9 2 ( n + 1 ) 一荨】+ 佗+ 言 尽管人们目前还不知道日( 几) 是否有限，但每一个给定的平面多项式微分系 统只能具有有限个极限环1 9 2 3 年d u l a c 在文 3 1 】中第一次对这一事实给出了 证明，但证明过程中存在一个严重的漏洞，直到上世纪九十年代初这一漏洞才为 i l y a s h e n k of 7 7 】和a l l e 3 3 】所修补参看文9 4 1 的第五节或专著【1 2 4 】的第一章 有关极限环的分布问题，【3 0 1 证明了二次系统的极限环只能呈一串或两串分 布f 1 4 8 1 进一步证明了当极限环呈两串分布时其中一串只能有一个极限环 可以说，一百多年来，人们在希尔伯特第十六问题上所取得的进展十分有限 这一问题的难度似乎超出了人们的想象正因为如此，s s m a l e 在文【1 2 8 中列出 了二十一世纪的数学难题，其第十三个难题便是希尔伯特第十六问题，并评价说： o 1 希尔伯特第十六问题及其弱问题的研究现状 3 “e x c e p tf o rt h er i e m a n nh y p o t h e s i si ts e e r l l st ob et h em o s te l u s i v eo fh i l b e _ r t s p r o b l e m s ” 与希尔伯特第十六问题密切相关，而且相对而言没那么棘手的问题是其弱化 形式，即弱化的希尔伯特第十六问题( t h ew e a k e n e d1 6 t hp r o b l e mo fh i l b e r t ) 这 一问题为前苏联数学家v i a r n o l d 于1 9 7 7 年提出并在后来引起了数学工作者的 极大兴趣参见【1 ，2 1 我们可以把这个问题以如下的( 一般) 形式给出： 设h ( x ，y ) 是n 次平面多项式，e ( x ，y ) 和q ( x ，y ) 是m 次平面多项式假定 r h ：h ( h i ，h 2 ) ) 是含于 ( z ，y ) ：h ( x ，可) = h ) 的连续闭曲线族，令 ff i ( h ) = d i v ( 1 ，g ) d x d y ，h ( h i ， 2 ) ( o 1 3 ) ，j i - l ( z ，f ) j l 希尔伯特第十六问题的弱化形式是问，对于给定的正整数n ，m 2 ，和所有满足 如上条件的日，g ，阿贝尔积分i ( h ) 的孤立零点的最大个数( 忍重零点算为k 个 零点) z ( n ，m ) 等于多少? 这一问题的重要性在于，如果我们置n = m + 1 并考虑如下的近的哈密顿系 统( n e b xh a m i l t o n i a ns y s t e m ) 圣= 一厶0 ( z ，y ) + ，( z ，可) ，痧= 三乙( z ，y ) + c 9 ( z ，秒) ，( o 1 4 ) 其中参数0 1 ，则当i ( h ) 不恒为零时z ( m + l ，m ) ( 记为a ( m ) ) 就给出了 ( o 1 4 ) 由未扰动系统( o 1 4 ) 弘0 的闭轨族 r h ：h ( h i ，h 2 ) ) 所分支出的极限环 的个数，从而给出了日( m ) 的一个较好的下界( 顺便指出，未扰动系统( o 1 4 ) 。：o 的闭轨族形成的区域称为周期环域) 事实上，我们有如下所谓的p o i n c a r 6 - p o n t r y a g i n - a n d r n o v 定理( 1 1 7 ，1 4 3 ，1 4 7 定理 考虑系统( o 1 4 ) ( i ) ：如果x ( h + ) = 0 ，( 矽) 0 ，则系统( o 1 4 ) 存在一个双曲极限环l h 使得 三驴一r 驴( _ o ) ；反之，若系统( 0 1 4 ) 存在一个双曲极限环三驴使得 三驴_ f h ( _ o ) ，则必有i ( h ) = o ； ( i i ) ：如果i ( h + ) = i i ( 矿) = = ，( b 1 ) ( 旷) = 0 ，( 七) ( 旷) 0 ，则系统( o 1 4 ) 在 r 驴附近最多存在k 个极限环； ( i i i ) ：阿贝尔积分z ( h ) 所有孤立零点的个数( 计算重数) 等于系统( o 1 4 ) 从未 扰动系统( 0 1 4 ) 。：o 的周期环域分支出来的极限环的个数 证明p o i n c a r 6 - p o n t r y a g i n - a n d r n o v 定理的关键是使用p o i n c a r 6 映射( 即首次 回归映射) 得到位移函数( d i s p l a c e m e n tf u n c t i o n ) d ( h ，e ) = 尬( ) s + m 2 ( h ) e 2 + 4 - 慨( ) 矿+ ，( 0 1 5 ) 4前言 其中尬( 危) = j ( ) 通常人们称尥( 九) 为k 阶m e l n i k o v 函数，故由( o 1 3 ) 所定义的阿贝尔积分i ( h ) 实际上是一阶m e l n i k o v 函数请注意上述定理仅当 i ( h ) 不恒为零时成立当i ( h ) 三0 时，或更一般地，当m ( 九) = 尬( ) = = m k 一1 ( ) = 0 ，而尥( ) 不恒为零时，则慨( ) 的零点个数决定了系统( 0 1 4 ) 从未扰动系统( 0 1 4 ) ：o 的周期环域分支出来的极限环的个数按习惯，我们称 ( o 1 4 ) 。：o 的周期环域在二次扰动下所产生的极限环的最大个数为( 0 1 4 ) ：o 的周 期环域在二次扰动下的环性 要计算第一个不恒为零的k 阶m e l n i k o v 函数的零点个数，最好的办法是求 出其表达式文 3 4 1 在一定的条件下给出了计算a 氟( ) 的表达式的程序【4 0 】则 证明了对通有的多项式哈密顿系统，文i s 4 所要求的条件是成立的 研究m e l n i k o v 函数的孤立零点的个数已经成为研究平面动力系统的极限环 分支的有力工具，在这方面已经有大量的文章发表，见【8 ，2 7 ，4 9 ，5 1 ，5 5 ，6 0 ，6 5 ，6 8 ， 7 3 ，1 2 5 ，1 5 3 1 5 5 ，1 5 8 ，1 6 3 ，1 6 5 ，1 6 6 而要确定m e l n i k o v 函数的孤立零点的个数，往 往需要知道m e l n i k o v 函数在其定义区间( h 1 ，h 2 ) ( 允许h 2 = c o ) 的两个端点的 渐近展式如果h = h 1 对应着系统的非退化中心，则m e l n i k o v 函数在该点是解 析的【9 8 】如果系统的中心是个幂零奇点，则可以使用文【6 1 】求出一阶m e l n i k o v 函数在h = h 】的渐近展式而h = h 2 对应着中心的周期环域的外边界，该外边 界可能是同宿轨、异宿轨、尖点环以及无界的抛物线轨等等如果h = h 2 对应着 双曲同宿轨或异宿轨时，我们可以使用专著 9 8 】的方法来求得一阶m e l n i k o v 函 数在该点的渐近展式；如果h = 对应着幂零同宿轨或异宿轨( 即作为同宿轨 或异宿轨的极限点的奇点是幂零奇点) 时，文【1 4 5 1 给出了计算一阶m e l n i k o v 函 数在该点的渐近展式的公式；如果h = h 2 对应着哈密顿系统的尖点环时，则可 采用文【6 2 1 的方法来求得一阶m e l n i k o v 函数的渐近式；如果h = h 2 对应着非 哈密顿系统的尖点环且该尖点是b o g d a n o v - t a k e n s 类型时，文 2 2 1 给出了求一 阶m e l n i k o v 函数的渐近式的公式；如果当周期轨趋于外边界时h 一+ o o ，则可 使用文f 2 7 1 的方法，利用b e t a 函数计算一阶m e l n i k o v 函数当h _ + o o 的渐近 式这些求渐近展式的方法对于人们确定极限环的个数已经起到很大的作用，请 看文 5 2 - 5 4 ，5 6 - 5 9 ，1 3 8 ，1 4 2 ，1 5 6 ，1 5 7 ，1 6 0 ，1 6 1 有关弱化的希尔伯特第十六问题的研究进展，有两个重要的工作一是 7 9 】 和【1 2 9 】各自证明了z ( n ，m ) 的有限性；二是当m = 2 时人们获得了a ( 2 ) 完整 的结论，我们将在后面详细介绍这个结论对于一般的自然数m ，文 4 】证明了 a ( m ) 2 2 刚“，其中p o l y ( m ) 是一个关于m 的次数不超过6 0 的多项式 除了这两个重要的工作外，人们还考虑对一些具有特殊形式的h a m i l t o n 系 统，求出z ( h ，m ) 的值或者估计其大小目前在这方面已经发表了很多文章，得 到了一些很好的结果，见 4 3 ，1 0 1 ，1 1 2 ，1 1 4 - 1 1 6 ，1 3 8 ，1 4 2 ，1 4 9 ，1 5 1 ，1 5 3 李继彬在他 d 1 希尔伯特第十六问题及其弱问题的研究现状 5 的系列文章 9 1 - 9 3 ，9 5 9 7 】中通过构造具有多个中心型区域的乙一等变多项式向 量场，再经过适当的多项式扰动得到尽可能多的极限环，从而得到z ( h ，仇) 的尽 可能大的下界有关z ( h ，m ) 方面的详细研究情况，见综述性文章 8 2 】 前面已经提到，在研究弱化的希尔伯特第十六问题的过程中人们获得了a ( 2 ) 完整的结论具体而言，人们证明了对于通有的哈密顿二次系统，a ( 2 ) = 2 ；对于 退化的哈密顿二次系统，a ( 2 ) = 1 下面我们对这方面的研究情况做详细的介绍 e h o r o z o v 和i d i l i e v 在 6 8 】中证明了任何一个三次多项式h ( x ，秒) ，若 h ( x ，y ) = h 含有闭曲线，则可以经过一个仿射变换把h ( x ，y ) 化为如下的标准型： 111 h ( x ，y ) = 去( z 2 + 可2 ) 一喜z 3 + a x y 2 + 丢6 可3 ， 4oo 其中参数( a ，b ) g ， 1 g = 【( 口，b ) ：一言 o b ，0 b ( 1 一o ) 、2 0 + 1 ) 厶 当( a ，b ) g 时，由h ( x ，y ) ( 未化为标准型前) 确定的系统 x h ：圣= 一磊0 ( z ，y ) ，雪= 五乙( z ，y ) 是通有的哈密顿二次系统( 我们将在后面介绍二次可积系统的分类时说明“通有 的含义) ，当( a ，b ) o g 时x h 是退化的哈密顿二次系统 区域g 的内部被两条曲线2 2 和f o o 分割成三个子区域g 1 、g 2 和g 3 ，如图 1 所示，其中 一 l 1 2 = ( 口，b ) r 2 ：b = v - 4 a ( 2 0 + 1 ) ，一去 口 o ) ， 厶 一 1 z = ( o ，b ) r 2 ：b = 2 、0 3 ，0 o 、 、秽 弋v 刮以l 蚁o蔓扮 三次代数闭曲线族的分类 人们在获得a ( 2 ) 的完整结果后，很自然地考虑二次可积的非哈密顿系统的 二次扰动 意= 一点乙( z ，y ) m ( x ，y ) + e ，( z ，y ) ，多= 磊乙( z ，y ) m ( x ，y ) + 夕( z ，y )( o 1 6 ) 的问题，其中函数m ( x ，y ) 不恒为常数 这里有两个问题至关重要其一是，二次系统的标准型及其分类问题文 1 6 9 】 证明了任一具有中心的二次可积系统可经仿射变换化为四个标准型，分别是哈密 顿系统q 争，可逆系统q 多，余维4 系统q 4 和l o t k a - v o l t e r r a 系统q y 如果令 z = z + i y ，则这四种标准型可表示为 q 争：2 = - i z z 2 + 2 1 2 1 2 + ( b + i c ) - 乏2 ； q 争：2 = - i z + a z 2 + 2 1 2 1 2 + 6 乏2 ； q 4 ：三= - i z + 4 2 2 + 2 l z l 2 + ( 6 + i c ) 乏2 ，i b + i c i = 2 ； q y ：三= - i z + z 2 + ( b + i c ) - 2 2 ， 其中a ，b ，c 是实的参数如果一个系统只属于上述四类系统之一( 而不属于另外 三类系统) ，则称该系统是通有的因此，我们前面所提到的通有的哈密顿二次系 统是指该系统属于q 争 q uq uq 4 ) 顺便指出，有的文献( 如【7 3 】) 把具有 1 图 d 1 希尔伯特第十六问题及其弱问题的研究现状 7 中心的二次可积系统分为五类：除了上述四类外，还有一类哈密顿三角系统 h a m i l t o n i a nt r i a n g l e ：2 = 一i z + 尹 ( 0 1 7 ) 很显然，哈密顿三角同时也是哈密顿系统q 争、可逆系统q 多和l o t k a - v o l t e r r a 系 统q 其二是，以m ( x ，y ) f ( x ，y ) 和m ( z ，y ) g ( x ，y ) 分别代替f ( x ，y ) 和g ( x ，可) ，可 得到相应于( 0 1 4 ) 的阿贝尔积分 ff i ( h ) = d i v ( m f ，m g ) d x d y ，h ( h i ， 2 ) ( o 1 8 ) jjd h 当i ( h ) 不恒为零时i ( h ) 的孤立零点的个数等于( o 1 6 ) 的未扰动系统的周期环 域在二次扰动下所产生的极限环的个数既然我们不可能逐一穷尽所有的m f 和 m g ，那么，对上述每一种标准型( 当然q 乒可不考虑) ，是否有简洁而统一的阿 贝尔积分( 当阿贝尔积分恒为零时是否有相应的m e l n i k o v 函数? ) 文【7 3 】系统地 解决了这个问题在该文的附录部分，对每一种标准型，根据参数a ，6 的分类，列 出了相应的哈密顿函数和阿贝尔积分( 或第一个不恒为零的m e l n i k o v 函数) 只 要给出这些阿贝尔积分或第一个不恒为零的m e l n i k o v 函数的孤立零点的最大个 数，就可以得到( 0 1 6 ) 的未扰动系统( 0 1 6 ) e - - - - - 0 的周期环域在二次扰动下所产生 的极限环的最大个数 自【7 3 】发表后，许多数学工作者根据【7 3 】的结果分别研究了不同类型的二次 可积系统在二次扰动下的环性由于哈密顿系统已经得到了完整解决，所以人们 分别研究另外三个类型的系统其中，【4 5 研究了余维4 系统q 4 ，证明了在二次 扰动下q 4 的周期环域的环性不超过8 这一结果显然比较粗糙，因为 7 3 】猜测， q 4 的周期环域的环性为3 最近，赵育林在一篇未发表的论文中使用 4 5 的思想 进一步证明了q 4 的周期环域的环性不超过5 为了阐述q y 系统的环性的研究情况，我们首先采用 1 6 9 1 ( p 2 2 4 ) 的表示方 法把q v 系统写为 2 = 一i z + a z 2 + b 乏2 ， z = z + i y ，a ，b c 当b = 0 时，该系统是 1 6 9 】中的等时中心& ，文【1 5 】和 7 3 】均先后研究了这类 系统在二次扰动下的环性文【8 6 】采用平均理论对 1 5 ，7 3 】的结论出了一种新的 证明方法，而且给出了极限环的分布：( 0 ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 2 ，o ) ，( 1 ，1 ) 和( 1 ，2 ) 文【1 6 9 】研究了q ，得到了如下的定理 定理o 1 1a ) ：对具有两条或三条不变直线的余维3q y 系统，一阶m e l - n i k o v 函数的最大孤立零点个数是2 ( q q 多) 、1 ( q r lq 字q 孑) 或o ( q ynq 争nq 争) ； 8 前言 b ) ：具有两条不变直线的q q 多系统在二次扰动下秘乜产生0 个、1 个 或2 个极限环 人们研究二次可积非哈密顿系统往往从较为简单的系统即亏格1 中心入手 所谓亏格1 中心是指具有中心的可积系统，其首次积分的水平曲线作为平面代数 曲线经过正则化和紧致化后是一紧的亏格等于1 的黎曼面( 有关代数曲线的正则 化和紧致化得概念可参阅 4 6 1 ) 文【4 2 】证明了二次q 亏格1 中心本质上共有十一类系统，并给出相应 的首次积分和生成函数( 即为了讨论这些系统在二次扰动下的环性所需要考虑的 m e l n i k o v 函数) 这十一类系统分别是 ( r l v l ) a = 0 ( 哈密顿三角) ( r l v 2 ) 2 a b a 2 = 0( 1 v 1 ) a b - 4 - ( 1 - 4 - 2 t ) a 2 = 0 ( f l y 3 ) a b 一3 7 2 = 0 ，( i v 2 ) 1 6 9 a b 一( 1 0 1 - 4 - 2 8 i ) 4 2 = 0 ( r l v 4 ) 5 a b 一3 五2 = 0( i v 3 ) 2 8 9 a b 一( 1 5 1 - 4 - 4 2 i ) f i 2 = 0 ( r l v 5 ) 5 a b a 2 = 0( 1 v 4 ) 1 6 8 l a b 一( 7 8 34 - 6 0 v f 2 i ) f i 2 = 0 ( f l y 6 ) 3 a b + a 2 = 0( i v 5 ) 8 4 l a b 一( 3 4 9 - i - - 4 - 1 2 i ) , 4 2 = 0 其中第一列表示的是可逆的q 亏格1 中心，第二列则是通有的亏格1 中心 文7 1 】文证明了在二次扰动下哈密顿三角( r l v l ) 的周期环域的环性是3 【4 2 ，7 3 】猜测：除了哈密顿三角外，在上述十类系统中，在二次扰动下原点( 系统的 中心) 的周期环域的环性是2 最近 8 7 和 4 7 】分别证明了在二次扰动下( r l v 2 ) 和( r l v 3 ) 的周期环域的环 性是2 而邵仪和赵育林在一篇未发表的论文f 1 2 6 】中证明了在二次扰动下( r l v 4 ) 的周期环域的环性是2 至于二次可逆系统q 早，尽管人们已经获得了一些零散的结果，但我们从中所 获得的有关q 争的周期环域的环性的信息，无疑是最少的许多数学工作者相信， 从二次可逆系统q 枣扰动出现的动力学现象最丰富 2 7 】值得指出的是，已发表 的有关q 争环性的文章所研究的对象均为二次亏格1 中心根据这一结论，任一 二次可逆系统是亏格1 中心当且仅当其首次积分具有( 或可化为) 如下形式： h ( x ，y ) = y 2 + p ( z ) ， 其中p ( x ) 是三次或四次多项式 下面我们对在这方面发表的文献做一系统的介绍 根据文【7 3 】的结果，任何一个二次可逆系统 q 多：之= 一i z + a z 2 + 2 1 2 1 2 + 6 - 2 0 i 希尔伯特第十六问题及其弱问题的研究现状 9 具有如下形式的首次积分 h ( x 劫= x 掣 志( 岽冉2 磊x + 需等) 】 ( 0 1 9 ) 和积分因子m ( x ，y ) = x 一错，其中x = 1 + 2 ( o b ) x ，b 一1 ，a + b + 2 0 ，a 3 6 + 2 ，a b 最近，文4 2 1 证明了所有二次可逆亏格l 中心经过拓扑等价变换后 可以化为十八种不同的类型：分别是 ( r 1 ) a = 2 b + 1 ( r 4 ) a = - 3 b 一4 ( b - 3 ) ( r 7 ) ( a ，b ) = ( ，一 ) ( r l o ) ( a ，b ) = ( 4 ，- 2 ) ( r 1 3 ) ( o ，b ) = ( 一7 ，一i ) ( r 1 6 ) ( a ，b ) = ( 9 ，- 7 ) ( r 2 ) a = - 1 ( r 5 ) a = i 6 + ； ( r 8 ) ( 8 ，b ) = ( 一；，一 ) ( r 1 1 ) ( a ，b ) = ( -