（运筹学与控制论专业论文）随机波动率模型的参数估计与期权定价.pdf

摘要 本文研究了波动率过程为o m s t e i n u h l e n b e c k 过程，且波动率过程与股票价 格过程的相关系数p 可为 o ，1 中的任一数的随机波动率模型的参数估计与期权 定价问题。主要考虑了基于股票过程的离散观察值的参数估计，在分析 o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程统计性质的基础上，利用鞅估计函数法，给出了模型中 常返均值m ，常返速率口，波动率卢，相关系数p 等参数的鞅估计公式，并讨 论了估计量的收敛性。本文还讨论了基于o m s t e i n u h l e n b e c k 随机波动率模型的 期权定价问题，利用随机微分方程弱解的性质，通过特征函数法，给出了股票价 格过程的概率密度，进而给出了欧式看涨期权的价格公式，再利用平价公式，得 到欧式看跌期权的价格公式。 关键词：随机波动率鞅估计函数法期权定价 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e m so fo m s t e i n - u h l e n b e c ks t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l a r es t u d i e d t h ep a r a m e t e r si nt h em o d e la r ed i s c u s s e d t h em a r t i n g a l ee s t i m a t e so f t h e r e v e r t i n g m e a nm ，t h e r e v e r t i n gs p e e d 口，a n d t h e v o l a t i l i t y 声i nt h eo u p r o c e s s e sa r eg i v e n t h em a r t i n g a l ee s t i m a t e so ft h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t s po f t h es t o c kp r o c e s s e sa n dt h e v o l a t i l i t yp r o c e s s e si sa l s oo b t a i n e d t h ep r o p e r t i e so f t h e m a r t i n g a l ee s t i m a t e sa r ed i s c u s s e d t h ed r i f tv e l o c i t yo fs t o c kp r i c ep r o c e s s e si s e s t i m a t e d t h ep r i s i n go fo p t i o n si sd i s c u s s e d t h i sp a p e ri s c o n c e n t r a t e do nt h e p r i c i n g o fae u r o p e a nc a l l o p t i o n o nt h em o d e lo f pi n 【0 ，1 t h er e s u l t s a r e d i r e c t l yt r a n s f e r a b l et oe u r o p e a np u t st h r o u g ht h eu s eo f p u t c a l lp a r i t y k e y w o r d ：m a r t i n g a l ee s t i m a t eo p t i o np r i c i n g s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l i l y 6 2 5 3 46 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 型越。牛年，6 月f 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 蓟谴h m 悻6 月垢 f ! j 论文i ；f ! 机波动书模型的参数估计j 期枞定价 1 ，随机波动率的产生背景 引言 期权是金融市场上的一件重要的衍生产品，它赋予持有者一种权利而不 承担义务，持有者可在确定的时间，按确定的价格向期权的出售方购买或销 售一定数量的标的资产。在期权合约中，确定价格称为实旌价格或敲定价格， 确定时期称为到期r 。期权按合约中购入或销售标的资产分为，看涨期权和 看跌期权，看涨期权是一张在确定时间按确定价格有权购入一定数量的标的 资产的台约，看跌期权是一张在确定时间按确定价格有权出售一定数量的标 的资产的合约。期权合约按执行期限分为两种：欧式期权和美式期权，欧式 期权只能在到期同执行，而美式期权可在到期同之胁( 包括到期f 1 ) 的任一天 执行。 期权合约作为一种金融产品，就涉及到如何定价的问题。1 9 7 3 年， b l a c k ，s c h o l e s 给出一个简单的公式b 1 a c k s c h o l e s 公式，由于其应用方便， 深受业内人士欢迎，但是其假设波动率为常数与现实市场有一定的偏差，期 权市场数据中隐含波动率关于敲定价格曲线的“微笑”和“偏斜”效应证明了 这一点。见b l a t t b e r g g o n e d e s ( 1 9 7 4 ) t “，r u b i n s t e i n ( 1 9 8 5 ) 吲，s c o t t ( 1 9 8 7 ) 1 3 等。一个合理的解释是，波动率不是常数而是随机的，这就产生了随机波动 率问题。为此，许多作者对b l a c k s c h o l e s 模型进行了修f ，这些修正大致可 分为两种类型。一类用有价格依赖型波动率的扩散过程描述股票价格。如c o x r o s s ( 1 9 7 6 ) 【4j ，b e n s o u s s a n ( 1 9 9 4 ) 1 5 1 等，这类模型的优点是没有引进新的随 机源，期权定价问题的处理方式比较单纯；但利用价格依赖型模型所得的期 权定价结果，对克服“微笑”与“偏斜”效应，效果并不理想，见b e c k e r ( 1 9 8 0 ) 【6 】，r u b i n s t e i n ( 1 9 8 5 ) 【2 1 。另一类，将波动率看作随机过程，如h u l l w h i t e ( 1 9 8 7 ， 1 9 8 8 ) p 】【8 】，这类模型的优点是可在某些情形下克服隐含波动率的“微笑”与 “偏斜”效应，且根掘该模型得到的欧式期权定价与市场价格吻合程度更好， 见s c o r ( t 9 8 7 ) f 3 】i w i g g i n s ，j b ( 1 9 8 7 ) f 9 】：缺点是波动率过程与b r o w n 运动( b ，) 不完全相关，于是波动率本身具有独立的随机源，这导致了市场的不完备性， 给期权定价带来很大的困难。 2 国内外研究现状 关于随机波动率模型研究的问题可粗略的归结为两大类，一类是模型的 硼 论义随机浊动半模型的参数估计l j 期权定价 统计推断问题一类是对应衍生证券的定价与套期保值。第一类问题是这类 模型应用于实际的自u 提。在模型的各个参数中，波动率是一个非常重要的参 数。对于常数波动率的估计问题，已有不少文章进行了讨论，除了经典的隐 含波动率法，s hc h u 和s t e m gf ( 1 9 9 6 ) 给出了g a r c h 模型逼近。g a r c h 模型所产生的数据比盯，取常数时产生的数据具有更厚的尾部，这与对股票价 格的许多观察一致。尽管g a r c h 模型能够抓住资产过程的本质性质，但对 于期权的复制者来说，它们仍不是一类理想的模型，因为除最简单的二叉树 模型之外，精确的复制对于离散时间是行不通的。 对于价格依赖型模型，由于波动率是股票价格的函数，无法从价格s d e 中显式地解出股票价格过程，故波动率的估计问题与常数波动率和时削依赖 型波动率的情形有很大的不同。在价格依赖波动率模型中，波动率的估计相 当于在扩散方程中对扩散系数的估计。属于随机过程的统计推断问题。这类 问题又可分为参数与非参数两类。其中，漂移与扩散系数的参数估计问题研 究的较多，如b a s a w a ，i v p r a k a s ar a o ，b l s ( 1 9 8 0 ) 】利用非线性卡尔曼滤 波给出了当漂移系数与扩散系数都是形式已知的函数，其中含有未知参数0 时，目的基于连续观察值的极大似然估计，z h i y a nx u 和w e i a nz h c n g ( 2 0 0 2 ) 12 1 利用这种思想，进步讨论了0 的基于离散观察值的极大似然估计及其收 敛性。 对于由随机过程描述的随机波动率模型，由于描述随机波动率的第二个 扩散方程无法取得观测值故无法利用传统的统计方法得到浚方程系数的估 计。但这类模型恰恰是描述基础资产过程的较有效的工具。f o u q u e ( 2 0 0 0 ， p 1 0 8 ) 【l3 】根据他导出的o m s t e i n u h l e n b e c k 模型下欧式期权的渐近定价公式， 给出了隐含波动率与模型参数之间的关系。提出了结合期权市场价格对模型 参数的估计方法。 由于随机波动率模型的参数估计可归结为扩散过程的参数估计，鉴于现 实中只能观察到离散的价格，我们主要考察离散观察情形扩散过程的参数估 计。但把连续情形的极大似然估计法直接运用到离散观察情形却得到估计 精度依赖于观察区间长度的估计( 参看文献 1 4 】) ，亦即得到一个不相容的估 计。2 0 0 2 年，hs o r e n s e n 【l5 1 小结了离散观察的扩散过程的参数估计，给出了 几种比较有影响力的估计方法。首当其冲的是1 9 9 5 年，b i b b y b m 和 s o r c n s e n m i i 6 】用到的鞅估计函数方法，这是一种比较精确的估计方法，且估 计具有渐进正态性、一致相合性等良好性质。1 9 9 8 年，a n j a g o i n g j a e s c h k e t “】指出这种方法优于极大似然估计法。另外，s o r e n s e n 还给出了其他的方法，如g o u r i e r o u x 1 7 】提出的间接推断，p e d e r s e n i t s l 提出的 l ! ；! j 论义随机波动率模型的参数1 吉计与期权定价 近似极大似然估计方法，e l e r i a n 1 9 提出的b a y e s 估计，a i t - s a h s l i a l 2 0 1 提 出近似极大似然的改进等方法。 3 本文要做的工作 本文主要考虑了波动率是由随机过程生成的这一模型，讨论它的参数估 计与期权定价。鉴于现实中的股票数据都是离散的数据，我们主要考虑它的 离散形式的参数估计，文献 1 4 中指出，鞍估计函数法对于离散情形的参数 估计优于近似极大似然估计法，我们拟采用鞅估计函数法来对随机波动率模 型的参数进行估计。至于期权定价，现有的随机波动率模型都给出了波动率 过程与股票过程独立的期权定价，或波动率过程与股票过程均由一随机源产 生的期权定价，即波动率过程与股票过程的相关系数p 为0 或1 时的期权定 价，而对于0 p l 的情形没有给予详细的讨论，如【7 】 8 。本文准备对 0 p 1 以统一的形式给予讨论。 坝l 论艾| 5 l ! 帆波动串模型的参数 卉汁期枞定价 第一章扩散过程参数的鞅估计函数法 可参看 1 4 】 1 5 1 1 1 6 鞅估讨函数法是b i b b y , b m 首先提出的，为本文研究需要，本章首先回顾鞅 估计函数法的主要思想。 设( q ，罗，p ) 为一概率空阳j ，( z ) 。为q 上的盯域流，冗包含了罗中的所有p 一 测度下的零测集，x 是由下面n o 随机微分方程所决定的扩散过程 d x ，= b ( t ，x ，；o ) d t + a ( t ，x ，；o ) d b ，tx o = x o ，t 0 ，( 11 ) 其中b ，为r 维z 和朗运动，0 0 r9 为参数b ( v ；臼) ：r + r “一只“， 盯( ，- ；口) ：r + r 。寸m “7 ，这里的m “定义为d r 的实矩阵，x 是z 适应的， 在下面总假定函数b 和仃是l i p s c h i t z 连续，存在一线性增长的界，确保( 1 1 ) 式有唯一的强解。 对于上述模型的未知参数的估计，一般采用极大似然估计的方法，在可 以连续时间观察得到时，所得的估计是一比较精确的估计，当x ，只有离散观察 值时，所得的估计却具有不相容的特性( 参看 2 5 ) ，采用鞅估计函数法可以避免 这样的问题( 参看【2 6 ) ，为了便于引入鞅估计函数法，我们先回顾下连续情7 侈 的极大似然估计。 设扩散过程满足 d x ，= 6 ( x ，；o ) d t + 口( x ，：o ) d b ，x o = x o ，t 0 ，( 1 2 ) 这罩的x ，和e 均为一维过程，b 和盯为光滑函数，参数0 0 rp 是连续观察 x ，f o ，丁 的待估参数- 定义b 为过程x ，的概率，标准域流z = 仃( x 。b f ) ， 定义b ，= b 防为b 在z 上的限制若仃( 臼，x ) 不含口且c r ( o ，x ) 不为0 时， v 8 ，0 。0 ，f 叫a y 州( i - , 。) a 薹眦眦 g ：= p ( 4 “_ 。) 7 ( ( f ( i - i ) 6 ) “ ( 氕一f ( g 。) 。) r i i = ( ( 心( i - i ) 6 ) ( 咖吨一) ) 去而刁最i 万 -：篡“皇盎唢0薯7-一t)a-嘞(i-一i)a(i-i)6 a ( m ) ( v k m ) 2 几k k 卜，玷一一k h m ) j 、。 ( 2 1 5 ) 式为对m 求导，得 4 k ： 呲声卜触 一 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 g ：= 喜赢t 东( 址爿 + ( 】么一_ 。m a ( m y ( 。，。) 9 令g ：= 0 ，得p 的估计式 窆。一一。一西( m l 。，。) ) 胪馨雩尹 j ；l ( f 1 ) 6 ( 一” 至此，我们得到了随机波动率模型的所有未知参数的估计式，为了说明所得的估 计是相容的，我们不加证明的给出一个引理： 引理21 ( 参看 1 6 ) 由方程 g 。( 六) = 0 所决定的估计量百。，在氏下的极限存在，其中g 。由( 1 1 0 ) 式给出，0 。为参数 的真值，有 痧。一o o ，n 一( 吃) 且在吃下，占。是渐进正念的。 在，是遍历扩散时，出( 1 1 5 ) 式所决定的估计量占。有与引理2 1 同样的结 论成立。( 参看【1 6 】) 定理2 2 随机过程，r 由下式给出 d x | = i ) c t d t + y , x t d b i l ， d y ，= a ( m y , ) d t + 倒z ， d z ，= p d ：日t ，+ 1 一p 2 d b 2 。， 其中 e ，b ：， 为独立的二维布朗运动，g ，p ，m 为待估参数，假设x ，可被离 散地观察，且观察值为以，。，x 。，一不可观察，则有下砸的估计式 p = 吉萎( 避 ( 2 1 6 ) 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 其中 ，。比一n ，。圪 ，= 1= 1| = 1 ( ，。) ! 一n ，。 一y ( 。，。e 4 拈旦i 置e 丁n f l 一一) 西2 = 2 d 一i _ 1 ) e “+ 扁( e 一一1 ) 2 ( 2 】7 ) ( 21 8 ) ( 2 1 9 ) 主。一l 。一舀( 州一i 。仙) ) 肛丙1 = 1 区互盈 q 2 厶一i = 1 x ( i - d i h ) 6 。= 等等， 且口，p ，p ，m 的估计式是相容的和渐进正态的。 证明由引理2 1 及口，p ，m 估计式的构造，知口，p ，m 是相容的且渐进f 态的。下 面证明p 的估计式是渐进正态的，( 2 1 2 ) 式的k ：经化简得( 2 1 3 ) 式的左端， 即 k ：= 【( k a ( i - 0 ) 2 - b 2 】， i = 1 由k ：的构造知k ：是鞅且( 比一a ( i - j ) ) 2 一b 2 是鞅差序列，由( 2 5 ) 、( 2 6 ) 及( 2 7 ) 式，得 一4 h ) = 一f ( k j _ l m ) n ( 0 ，b 2 ) ，i = 1 , 2 ，一，月 且当i j 时，有 e ( 一a ( i - i ) ) ( 一爿( j - 1 ) ) = 印2 e - u ( i + j ) a ：m 矿记，e 帖p 。比。 = p 2 e 4 “+ 1 6 e e m 矿d z ，e 。纪； 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 而 。e 。把；。e 。把，= e 悠喜e x p ( ( z 一) + 专) z ，岫+ 等。一z 砉e x p ( ( 一1 ) + 万k ) 【z “叫。+ 等。一z 。h m 鲁。 = 熙喜e x p ( ( i 一1 ) + 万k ) 喜e x p ( ( 一1 ) + 面k ) 亿。+ 等。帖+ z 沪呲+ 等。“。+ = o ( 因为【z 汁m + 等a - z ( i - i 】a + 鲁。 与 z ( 川m 盟a - z ( i - 1 ) 6 + n主n 。】独立 故圪一a “i = 1 ，2 ，月相互独立且同分布的，当然( 圪一a ( i - 0 ) 2 ，i = 1 , 2 ， 也是独立同分布的。 d ( ( 一“【h ) ) 2 ) = e ( g a ( i - o ) 4 一( ( i 一a ( i - d ) 2 ) 2 = 3 8 4 一b 4 = 2 b 4 故出中心极限定理，有 6 ( 善( o 钆，卜口2 孺1 y f - 钆，) 2 圳 2 8 4q 2 8 4 c ( g 一爿”) ) 2 一b 2 】 = ! ：i = = = 2 n 口4 所以 一n ( o ，1 ) ， n + 打( 土，i 窆i - i ( - - a ( i _ j ) ) 2 一b 2 ) 一( 0 , 2 8 4 ) 嘶2 = 吉喜( k - - a ( i _ 0 ) 2 是渐进正态的 亦即西2 = 2 在 一l 。m p 一“+ 而( e 一。一1 ) 】2 h ( 1 一g 一“、 是渐进f 态的，因而也是相容的。 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 第三章随机波动率模型下的期权定价 设股票模型由下式给出 d x ? = u x t d t + y ，x t d b ( 31 ) d y ，= a ( m r ) d t + 局忽， ( 3 2 ) 其中 d z ，= 脚+ 1 一p2 d b 2 ， 式中的 b ，占：， 为二维的b r o w n 运动。设无风险利率为r ，假设市场上没有套利 机会，则存在风险中性测度，故可以假设在风险中性测度下，且上述模型具有下 面的形式 d x ，= r x ，d t + r x ，d b ( 3 3 ) a x , = 口( 一r ) d t + z ， ( 3 4 ) 其中 d z ，= 脚+ l p z d b 2 ， 这罩的测度p 为风险中性测度，( 口，b ：， 为p 下独立的布朗运动- 幽( 3 3 ) 式 可得 x ，= x o e x p ( r f 一圭i y j 2 d s +y , d b ，) 皇x 。e x p ( r t + x ) ， ( 35 ) 其中 扎一圭f 1 2 d s + f e 巩， ( 3 6 ) 那么，我们所要研究的欧式看涨期权的价值为 e - r r e ( x ，一s ) + = e - r t e ( x oe x p ( r t + x i ，) 一s ) + = p 一“e f ( l ，) ， ( 3 7 ) 其中 f ( x 1 ) = ( x oe x p ( r t + 工1 ) 一s ) + 这里的s 为执行价格，t 为到期时1 8 j 。 由( 3 6 ) 式，可得 砜一圭r 2 d t + y , a b 。 ( 3 8 ) 联立( 3 4 ) 、( 3 8 ) 式，并令x ：，= i ，有 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 记弘 删户一妻：出+ 柏。 i 删：，= a ( ，f x ：，) d r + 届l z 删。：f 一扣2 2 ，l 口( m x ：，) j 删= 托 = ( 龛p 南) ， 则上面的随机微分方程组可写作 d x ，= a ( x ，) d t + e r ( x ，) d b ， 耻 为了求出爿。的概率密度，我们先不加证明地给出一个日i 理。 引理3 1 ( g i r s a n o v 第二定理，参见文献 2 3 ) 设y ( f ) r ”为满足下式 d y ( t ) = f l ( t ，o ) d t + o ( t ，c o ) d b ( t ) ，t t f 3 9 1 的i t o 过程，其币反；) r “，f l ( t ，c o ) r “，口( f ，) r ，假设存在v 【o ， 过程 u ( t ，出) r ”，a ( t ，) r ”，使得 且满足n o v i k o v 条件 令 o ( t ，o ) u ( t ，) = f l ( t ，街) 一口( f ，) 球x p ( 圭r “2 珊) 酬 m m 。= e x p ( - i 吣，) 蛾一圭p ( 删) 蛾 f ， d q ( ) = m r ( w ) d p o ( 甜) ，f o 则 雪( f ) = i “( s ，国) 凼+ b ( f ) ， f s r 关于q 是稚朗运动，y ( f ) 与秀( f ) 具有下面的积分表示 d y ( t ) = a ( t ，c o ) d t + 目( f ，) d 奇( r ) ，t t 亦即( y ( f ) ，雪( f ) ) 是方程d x ( f ) = a ( t ，0 2 ) d l + 口( ，) 曲( f ) 的弱解。 我们想通过找出( 3 9 ) 式的一个弱解，来求出x 。的概率密度。为此假设 、， ， ” 晴 矗 “口 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 存在“，b 使得 即 办即 口( i 净( y f ) = 6 ( y ) 一( y ) ( 南删一已蠢， 蜗，= 6 l + 圭y 2 玑 跏+ 扛再。：b ：一盘( m y 2 ，) 取 6 = 0 ，则 其中口= 令 则有 解得 令 o ，则 一啪 1 一p 2 d y ，= 6 ( r ) d t + a f f , ) d b d ，= 艺，d b 。， 铲知 铲丽- - 0 0 1 t + 筹蟮川匕， “2 2 丽+ 商y 2 ，翮+ 6 匕 o c 一= 1 母p b = 。三量 卜p 2 d y h = ；b d z f 。 y 2 ，= 胆， 一，= 卢f z ，d b 。， m ，p ( - “蛾一扣，2 出) ( 3 1 0 ) = e x p ( 一f ( 圭艺，衄，m + 6 魄) 一i 1l 【i 1 2 + ( 口+ 6 2 】出) = e x p ( a 商t ( t ) ) ， e = f 。1 ；e 硅，卜+ 占 a q ( d r ) = m ，( w ) d p ( m ) ， 其中露( f 1 ；一f ( l ；d 口，。+ ( 。+ 6y 2 ，) d b 2 , ) - 告i 【( 专y ：，) ：+ ( a + 6 匕，) 2 1 出， 厨( f ) ；一【弓k ；棚，。+ o + 6 y 2 s il l 气匕j + + 。川” 显然有 e 【e x p ( ；f “2 ) 出) 】( ， 则出g i r s a n 。v 第二定理知，r 在q 下的密度等于x ：在p 下的密度且( y ，雪，) 是 ( 3 9 ) 式的一个弱锯且 e f ( x 。：，) 】= 岛i f ( y , y 2 ) = 研m r 厂( x y 2 ) ， 其中为任意函数。特别的，有 e “眠e x 舻 s y = ；e 棚- e m c x 丽, ( x o e x x p 。( e x p r t + ( y l + ) - ”s y s 故要求出上式只需求出厨，与一，的联合密度即可。 令矽，。+ l p 2 8 2 ，= w l ， 1 一p 2 8 ，一p 82 ，= w 2 则h ，w 2 ，是相互独立的布朗运动，且有 b ，：p 暇，+ 1 - 一p 2 w 2 ，嚣，= 厢暇r p ， 此h 1 y = t 3 w ：芦f 暇，( 碱，+ f 4 歹d ，) = 印l 暇。d 暇s + p 1 - 户2l 职s d = 譬( 吖- f ) + 卢厢 m ( t ) = - 垃y 2 矾一f ( 哦一；弦出一圭i ( 甜b 2 出 ：一我埘扩a “吼一弦加1 2 以一p 缈一圭6 2 弦出 = 一昙x ，一口厢瞄，+ p ，一印i 嘭；d ( 卜p 2 啊t p ，一 ( ；+ 圭6 2 ) fy 2 ，2 凼一圭口2 r a 6 卢f 瞰，出 三丝(m，2一f)一丢pf歹i弼，d职，一a1一p2暇t+49r一222 印厣f w ，d 啊，二( ；十圭6 ：) 卢：f 暇，2 出+ 6 印l 暇；d ；一1 2 a z t - a b f l i 暇s 出 2 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 ：( 譬一专n ：+ 掣) r a f 歹彤，+ n p 峨，一a b p c w , ，出+ ( 6 助一圭卢厢) 肌叽一( 等+ 型；眠2 一( h 卢2 出 兰 r + 彬，+ ，+ 丑i 彤，西+ 丑；彤，2 + 丑。f 彤：2 出+ 如f w , , d g ；， 其中五；鲤4 一丢。：+ 螋b 氏h 乏- p 2 铲一日l 乒- p - 一，扣p ，丑一眼 铲一( 等+ 型 。一( h 胪铲6 助一圭芦而， ( 3 1 1 ) ，= f l 芋( w i ，2 一，) + 芦乒7 i i s d ，皇彬，2 + 。f 啊，d ，叫 其中= 字，= 卢厢， ( 3 12 ) 为求出厨，与一，的联合密度，我们先求出其联合特征函数。我们下面给出一 个引理。 引理3 2 设c 为正定矩阵，b 为实对称矩阵，b 为复的n 维行向量，x = ( 。1 ，t ，x 。) ， 记a = i b + c ，其中i 为虚数单位。则n 重积分 r 胁卅。脚斯呶：籍唧。一睁ab ，：靥唧。 命题3 1 积分e x p ( 般2 m 肛高e x p ( 一鲁，其中复数、，一 2 = a + b i ，五= c + d i ，口 0 为实数，i 为虚数单位，6 ，c ，d 为实数。 证明 首先考虑积分，= e “忡h 川7 出其中a o ，6 ，f ，f ：为实数 令 ，( f ，f ：) = f i e “帅i + “2 9 出 坝i 论文随机波动牢模型的参数估计j 期权定价 ，0 k ，2 ) = 2 ( 口+ 6 州x + f 1 + i t 2 ) p 州“圳! d x = p “”。3 m 删) ( x + t z + i t 2 ) ! ：扩“ u w 2 1 二= = 。 同理，= 0 ， 故 ，= c = ，( o ，0 ) ， 其中c 为与t l ，t 2 无关的常数 即 ，= 0 ”“”。d x ， 卜p 一螂= 扩“删万f e ( + b i ) ，_ 2 r d r = 2 r r 嵩i o 刀 ( a + b i ) 故：堡， 一( n +