（应用数学专业论文）期权定价理论在公司并购中的应用.pdf

摘要 摘要 本文在无套利机会和市场完全的框架下对发生并购交易的公司股票期权进 行了定价。这种并购交易可能会在我们所考虑的某个时问段的中间时刻被取消从 而会对公司股票价格产生不连续的影响。我们通过对b l a c k s c h o l e s 模型期权定 价方法的修正利用鞅方法通过计算对上述公司股票期权得出定价公式。 关键词：期权定价b l a c k s c h o l e s 模型公司并购 a b s t r a c t a b s t r a c t i nm i sp a p e r ，w ed e v e l o pa n 小i t r a g e 一仃e ea 1 1 dc o m p l e t e 疗a m e w o r kt o p r i c e o p t i o n so nt l l es t o c l 【so ff i m si i l v o l v e di nam e 唱e ro ra c q u i s i t i o nd e a la l l o w h gf o r t h ep o s s i b i l i 哆m a tt 1 1 ed e a lm i g h tb ec a l l e do 行a ta ni n t e m e d i a t et i m e ，c r e a t i n g d i s c o n t i 肌o u si i i l p a c t so nt h es t o c kp r i c e a c c o r d i n gt om o d i 母t h eb l a c k - s c h o l e s m o d e l ，w eu s em a i t i n g a l ea p p r o a c ht op r i c e 廿l i sk i n d so f s t o c ko p t i o n s k e yw o r d s ： o p t i o np r i c i n g b l a c k s c h 0 1 e sm o d e i c o m p a l l ym e r g e ra n d a c q u i s i t i o n i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：住句坞 ， 6 年玉月y 6 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：1 毛龟艿 口6 年上月76 日 第一章简介 第一章简介 第一节b 1 a c k s c h 0 1 e s 模型的介绍 在七十年代初，f i s c h e rb 1 a c k 和m y r o ns c h o l e s 取得了一个重大的突 破，推导基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足的微分方程。 他们运用该方程推导出股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。本节我们对 b l a c k s c h o l e s 模型进行阐述。 在推导b l a c k - s c h o l e s 微分方程之前我们给出以下假设： l _ 股票价格遵循以下随机方程： d s = n s d l + a s d z 其中一股票价格预期收益率为常数 仃一股票价格波动率为常数 比一标准的w i e n e r 过程 2 允许使用全部所得卖空衍生证券 3 没有交易费用或税收。所有证券都是高度可分的。 4 在衍生证券的有效期内没有红利支付。 5 不存在无风险套利机会 6 证券交易是连续的 7 无风险利率r 为常数且对所有到期日都相同。 现在来推导b 1 a c k s c h o l e s 微分方程，假设股票价格s 遵循以下随机过 程： d s = h s d t + 仃s d z ( 1 ) 假设，是基于s 的某个看涨期权或其他衍生证券的价格，变量一定是 s 和f 的某一函数，因此由i t o 定理可得： = ( 善筇+ 等+ 丢警盯2 趵廊+ 善仃姚 c 2 ， 上述两个方程的离散形式为： 笛= “s 血+ 旷s &( 3 ) 可= c 善筇+ 善+ 吉纂盯2 趵舡+ 善硼z c 4 ， 选择以下股票与衍生证券的证券组合以消除维纳过程： 一1： 衍生证券 + 鬈 ： 股票 定义证券组合的价值为# ，知 存：一厂十罢s ( 5 ) a s & 时间后证券组合的价值变化# 为： # ：一，+ 要岱 ( 6 ) 。8 s 将方程( 3 ) 和( 4 ) 代入方程( 6 ) 得到： 胀( 一鲁一三警拥2 洫 又 撑= r 撑， 其中r 为无风险利率。 再有方程( 5 ) 和( 7 ) 可以得到： c 善专警哟一一善跚 化简为： 等+ 心鬃+ 丢水：箬：矿 ( 8 ) 8 t 8 s28 s z 。 方程( 8 ) 就是b l a c k s c h o l e s 微分方程。 在风险中性世界里，欧式看涨期权到期日的期望价值为： e 【m a ) 【( 品一x ，0 ) 】 其中，e 表示风险中性世界中的期望值，x 为期权的执行价格。 由风险中性定价理论知欧式看涨期权的价格c 是这个值以无风险利率 贴现的结果： c = p 1 日m a ) 【( 品一x ，o ) 】 ( 9 ) 在风险中性世界里，昌具有对数正态分布即： l n 品l t l n s + ( ，一罢三) ( ，一，) ，盯亍二7 】 ( 1 0 ) - 2 一 第一章简介 其中 对方程( 9 ) 积分求解，结果为： c = s ( 4 ) 一j 名1 “( 吐) 吃：曼掌卟仃历 仃q t t ( x ) 为均值为o 标准差为l 的标准正态分布变量的累积概率 分布函数( 即这个变量小于x 的概率) 。 方程( 1 1 ) 即为b 1 a c k s c h o l e s 模型中欧式看涨期权的价值。 由看涨期权与看跌期权之间的平价关系知欧式看跌期权的价值为 尸= 。y i ”7 “( 一破) 一s ( 一吐) 第二节b 1 a c k s c h o l e s 模型中期权定价公式的推广 在第一节b l a c k s c h o l e s 模型期权定价公式中，无风险利率r ，股票价格波 动率盯及股票价格预期收益率“都为常数。本节我们将这些推广到它们都是时间 的确定性函数。 我们假设风险资产( 股票) 的价格过程 s ( f ) ：，o ) 和无风险资产的价格过程 ( f ) ：f 兰o ) 分别满足： 心0 ) = o ) s ( f ) d z + 盯o ) s ( ，) c 坍( f ) ，s ( o ) = s( 1 ) 趔。( f ) = r ( f ) 讫( f ) 西 ， 瓦( 0 ) = 1 ( 2 ) 其中 b ( f ) ：f 0 ) 是带仃一域流的概率空间( q f ， e ，。，p ) 上的只一便准布朗运 动：s ( 0 ) = s ，s 是大于零的常数；芦( f ) ，r ( f ) ，盯( f ) 都是f 的确定性函数，且满足 f ( ，) 讲 o o ，f ，( f ) 西 一竺姜墨：竺垫竺 r 以蛐r 砍蛐 一d 一 第一章简介 令矾= 由罂 ( o ，1 ) 可得 r 以懒 一 e e x p ( 一r ( s ) 西) 品( c x “一f m 卵) ) 。p ( 一r 忡。j 】 q e x p ( 一r r ( s ) 出胭 e x p ( - 胁螂) ) e x p ( 小删】 = e x p ( 一r r ( s ) 凼) 剧( 吐) 对欧式买入期权来说在到期日被执行得充要条件是 再骨 e x p ( 一1 ：( s ) 出) s 仃) e x p ( 一j ：7 ( j ) 凼) 足 所以 c ( 足，r ) = 日( e x p ( 一r ( s ) c 如) s ( r ) 一e x p ( 一r ，( s ) d ，) k ) ， 。( 一r ( ，) 凼) 。( ，) ，。，( 一r ，( 。) 。，) k 】 将( 7 ) ，( 8 ) 式带入( 9 ) 式得 c ( 世，丁) = 肼( 畋+ 饥耳面) - e x p ( - “删( 破) = | s ( 匾) 一k e ) 【p 一f ，( f ) 疵) ( 吐) 5 ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ， 生 吁蹲腼 第一章简介 同样由看涨期权与看跌期权之间的平价关系知欧式看跌期权的价值为 p ( k ，丁) = k e x p ( 一r r ( f ) 西) ( 一吐) 一j s ( 一吐) ( 1 0 ) 本节内容主要是对第一节b l a c k s c h o l e s 公式做了推广。在下一章我们将利 用本节内容对含有并购交易的公司股票期权进行定价。 注：如果上述无风险利率，( f ) ，股票价格波动率盯( f ) 是常数，则公式( 3 ) ，( 1 0 ) 就是通常的b 1 a c k c h 0 1 e s 公式。 一6 一 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 近年，随着公司并购交易的不断发生，对发生并购交易的公司的股票期权 进行正确的定价变得日益重要。当公司发生并购交易时，股票价格会因此受到 影响。另外公司间的并购交易也许在交易完成前会被取消这样可能也会对股票 价格产生不连续的影响，而在传统的b l a c k s c h 0 1 e s 框架下要求标的股票价格过 程为连续扩散过程，因此传统的b l a c k s c h o l e s 模型对有并购交易的公司股票期 权定价不再适用。 本章我们建立连续时间下一种无套利和市场完全的模型来对发生并购交易 的公司的股票期权进行定价。我们假设两个公司之间的并购交易已经进行并且 两个公司的股票价格也都反应了这种交易的进行。在交易进行中除了一些原因 比如公司股东反对等而并购交易被取消外，我们假设交易可以一直进行完。当 交易在进行时我们把股票价格过程模型看成一种连续扩散模型，当然，如果交 易被取消我们允许股票价格发生不连续的跳，因此实际上我们考虑的股票价格 过程模型是一种跳扩散过程。 在我们的模型中，假设如果交易在中间任何时刻被取消两只股票价格会跳 至各自的市场证券价格，我们把这里的市场证券价格过程称为股票的基础价格 过程。在股票价格跳跃幅度是有界的假设下，可以证明当交易一直进行时两只 股票的基础价格过程分别与各自的股票价格过程完全相关，同时还可以证明为 防止金融市场上套利机会的出现，股票价格的跳跃参数实际上是一确定性函数 并且有一个明确的函数表达式。在本章的最后我们给出关于上述公司股票的欧 式看涨期权定价公式。 本章结构大致是：第一节建立模型包括我们所考虑的时间段内的股票价格 过程模型、基础价格过程模型及交易进行完以后的股票价格过程模型；第二节 针对股票证券交易给出主要结论并且对公司股票的欧式看涨期权进行定价。 第一节模型的建立 我们考虑一个带过滤 f ) 的完备概率空间( q ，p ) ，其中 f ) 为右连续。 一7 - 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 彤，为四个f 一适应的布朗运动，过程n 是参数为z 的e 一适应的单跳 过程，并且与以上布朗运动相互独立。布朗运动彬，相互独立，职，可能是 线性相关的。假设q = q q 。，并且布朗运动是定义在q 上，跳过程n 定义在 q ”上。记眵( r ，( w ，w 。) ) = ( f ，w ) ，( r ，( w ，w ”) ) = ( f ，w ”) ，其中 ( w 。，w ”) q q ”= q 。另外我们假设p 在我们研究的金融市场上为风险中 性概率测度。 我们假设并购交易在时刻f = o 开始并且一直进行到时刻r 结束，但是交易 在【o ，丁) 中间某时刻被取消的概率非零，并且这样会产生一个跳过程n ，也就是 说，交易在【o ，r ) 中间某时间区间 f ，h 前】上被取消的风险中性概率为砌。因此， 在到期日之前交易被取消的风险中性概率为l e 一”。如果在到期目，之前交易 都没有被取消，那我们假设跳过程发生在丁时刻，即并购交易在时刻r 一定终止。 因此，跳过程n 发生在时刻r 的风险中性概率为p 。 2 1 1 股票价格过程模型 当并购交易开始后未被取消时假设股票价格过程在风险中性概率测度p 下 满足以下微分方程： d s l ( f ) ，( 。) - o = ，_ v ( 。) ：o l ( f 一) sl ( f 一) c ，f + 盯ls l ( f 一) d ( f ) 】 d s 2 ( f ) ，( ，) - o = ，( ，) ：o 2 ( f 一) s 2 ( f 一) 巩+ 仃2 s 2 ( f 一) d 啊( f ) + 仃2 s 2 ( f 一) d ( f ) 】 ( 1 ) ( 2 ) 从以上方程可以看出，当交易一直在进行( 即( f ) = o ) 时，股票价格过程 就是b l a c k - s c h o l e s 模型中的连续扩散过程。其中“( ) 和鸬( ) 假设为f 一循序可 测过程。 如果交易在时刻f ，处被取消( 即( f ) = ( f ) 一( f - ) = 1 ) ，则两支股票价 格过程会发生跳，我们通过以下式子给出： s lo ) j ( 1 ) ：l = a ( ，) ：l l ( f 一) s l ( f 一) ( 3 ) 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 s 2 ( f ) ，a ( f 】；i = ，a ( i ) ：l 2o 一) s 2o 一) ( 4 ) 这里o ) = ( f ) 一( f - ) 和届( ) ，屈( ) 都是只一适应过程，并且， 屈( f ) ，( ，) ；l = 1 ， 屈( ，) = 1 ( 5 ) 以上式子表明在两支股票各自的价格过程中分别发生了跳。其中跳跃因子 屈( ) 在时刻t 等于1 ，也就是说，如果跳过程发生在时刻t ，则跳得结果对股票 价格没有影响，因为此时交易在我们考虑的时间 0 ，t 】内已经进行完。发生跳之 后我们假设在风险中性概率下股票价格过程满足以下微分方程： d s l ( f ) ，( ，】：l = ，( ，) _ l l ( f 一) s l ( ，一) d f + 盯。s l ( f 一) d 矽3 ( f ) 】 d s 2o ) ，( ，) ：l = ，( ，) ：l 2 ( f 一) s 2 ( f 一) c 打+ 吒s 2 ( f 一) d ( f ) ( 6 ) ( 7 ) 根据前面假设，职( ) ，巩( ) 可能是线性相关的，因此由( 6 ) 式和( 7 ) 式知交易 被取消后两支股票价格彼此之间可能是相互关联的。当过程n 发生跳以后股票 价格过程是连续的( 对交易无论是在t t 时刻被取消还是在t 时刻被终止) ，且 方程( 6 ) 和( 7 ) 是在风险中性条件下得到的，所以我们有 。( f ) k ：。= ：( f ) “；= 一( ，1 互l ，其中r 为无风险利率。因此在以上方程( 6 ) 和( 7 ) 中鸬( ) ，段( ) 等于r 。而交易被取消后股票价格的波动率( q ，呒) 可能不同 于交易未被取消时股票价格的波动率( q 1 ，盯，。) ，同样交易未被取消时股票价格的 期望收益率“( ) ，肫( ) 也可能不同于交易被取消后的股票价格的收益率，因为 交易被取消后两支股票价格过程可能会发生跳。 我们假设，如果取消交易，股票价格将会跳至两个市场证券价格或者证券篮 的价格。更确切的说，我们假设有两个市场价格过程s + ( ) ，s ( ) ，如果交易在 f 丁时刻被取消( 即( f ) = 1 ) ，则股票f 的价格将会从s o 一) 跳到s ( f ) 。因此， 有 9 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 s ( f _ ) 层( f _ ) 如( ，- 即= s + ( f ) 如( f - 】= o f - l ，2 o f r ( 8 ) 为了以下说明方便，我们将这两个市场价格过程称为基础价格过程。因 为基础价格是无交易情况下股票的价格，因此在传统的b l a c k s c h o l e s 框架下它 们是连续的。另外，因为它们是市场上交易证券的价格，因此为防止市场上套 利机会的存在，它们按无风险利率的贴现值一定是鞅，即在风险中性概率测度p 下 s ( f ) e h ， f = l ，2 0 f r ( 9 ) 一定是鞅。 综上，在风险中性概率下，对o ， 丁，股票价格过程s 和足分别满足以下 随机微分方程( 注1 ) ： ( 蕊( f ) = ( ，b o “( f 一) s ( f - ) 西+ q s ( f 一) d w ( f ) 】 + “；。 n s o 一) 出+ q s o 一) d ( ，) 】 + ( 届( f 一) 一1 ) s ( f 一) d ( f ) ( 1 0 ) d 是( f ) = 如( ，p o 鸬( f 一) 是( f 一) 衍+ 吒篷( 卜) d 彬( f ) + c r 2 是o 一) d ( f ) 】+ 厶( ，) _ ，【n 是( f 一) 出 c r 2 是( f 一) d ( f ) + ( 岛( 卜) 一1 ) & ( f 一) 刃旷( f ) 注l ：在此模型中，我们可以类似第一章第二节中把股票价格波动率推广到为时间的确定性函数。 1 0 一 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 另外，在整篇文章中我们假设跳跃因子屈( ) 是一致有界的，即交易在中间 某时刻被取消时，股票价格会立刻发生跳，这时股票价格增长得高度是一致有 界的。从经济观点来看这种假设是非常合理的，当交易被取消时，股票价格立 刻发生跳，这种跳的幅度不可能是毫无边界的。 2 1 2 基础价格过程模型 我们在风险中性概率测度下对基础价格过程s ( ) ，s ：( ) 建立以下模型 ( 注2 ) ： d 墨+ ( f ) = s + ( f ) r d f + 盯l d 彬+ ( f ) 】 矗s 2 ( f ) = s 2 + ( f ) r d f + 盯2 ”d ( f ) + 盯2 ”d + ( f ) 】( 11 ) 由上式看出股票基础价格过程的波动率等于无风险利率，这正反映了在风险中 性概率测度下( 9 ) 式中股票基础价格过程按无风险利率折现后一定是鞅的事实。 基础价格过程仅和在到期日之前交易被取消时股票价格如何发生跳有关，股票 价格过程发生跳之后，它们的方程是关于几何布朗运动的，并且其中的波动率 可能不同于方程( 1 1 ) 中的波动率。 2 1 3到期日之后股票价格过程的变化 我们考虑时刻f r 时股票价格过程需要区分两种情况：一是交易在【o ，明内 进行完的情况即“( r ) = 1 ；二是交易在到期日，之前就被取消的情况即 ( n = o 因此，f r 时两支股票价格过程满足以下方程( 注3 ) ： 搬l ( f ) = ，a ( r ) _ l r s l ( f ) d f + 盯1s l ( f ) d 矿i ( f ) + ，a ( r ) ：o r s l ( f ) d f + 盯1 s l ( f ) d 鸭( f ) 】 c s 2 ( f ) = ，a ，( r ) ：l 【r s 2 ( f ) 巩+ 盯ls 2 ( f ) d ( f ) ( 1 2 ) 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 + ，a ( r 1 ：o ，s 2 ( f ) 出+ 盯2 s 2 ( f ) d 暇( f ) 】 从上述方程可以看出如果交易在时刻r 前未被取消，它将一直进行完，股票 价格不会发生跳。如果交易能够一直进行完，两只股票价格波动率是相同的。 注2 。3 ：在上述模型中无风险利率r 及股票价格波动率同样可以推广到为时间的确定性函数。 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 第二节股票证券交易 在这一节我们将考虑两个公司将会进行并购交易，交易条件是第二个公司 的每位股东将会获得被合并公司的口份股票。在这种条件下，为防止市场上套 利机会的出现，当交易一直进行到r 时刻时两只股票价格一定满足： s 2 ( 丁) ，a ( 7 ，) ：l = 口s 1 ( 丁) ，矗( r ) ： ( 1 3 ) 在风险中性条件下，当并购交易一直进行时，我们给出以下关于股票价格 预期收益率h ( ) ，鸬( ) 的一个众所周知的结论，对此我们不予给出证明。 命题l ：在无套利条件下，一定有下式成立 “( f 一) ，( ，一) - o = ，+ 见( 1 一届( f 一) ) 0 ( ，一) ：o ，乞o 一) 凡( ，一) = o = 【r + 兄( 1 一厥( f 一) ) 】，“一) ：o ( 1 4 ) 其中o f 丁。 上述命题说明预期收益率和无风险利率的不同在于在风险中性概率测度下 预期收益要求对跳过程有风险补偿或者说是风险溢价。 下面我们给出命题2 ，此命题表明当两个公司并购交易进行时，它们股票价 格的波动率是相同的，并且这两支股票的价格一定是完全相关的。 命题2 ：在并购交易在t 时刻之前没有被取消的条件下，两只股票价格比一 定是一个关于时间的确定函数，即在方程( 1 ) 和( 2 ) 中，有吒。= q ，盯：”= o 。 证明：令y ( f ) = 是( f ) s ( f ) ，从方程( 1 ) ，( 2 ) 可以得出在交易未被取消 时有 y ( f ) “( ，) ：o = y ( o ) ，( ，) ；oe x p j ：( 2 ( 占一) 一1 ( j 一) ) d ， + ( ( 1 2 ) ( 盯：一盯，。) 2 一( 1 2 ) ( 盯2 一一仃，1 2 ) 一( 1 2 ) 盯2 弘 一1 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 + ( 口2 1 一盯l ) f 矿l ( ，) + 盯2 ”形2 ( f ) 】 由( 1 3 ) 式可得y ( 丁) ，“( r ) 。1 = 口，( r ) ：l 口矗，因此 ( 口y ( o ) ) 。( ，h = 厶。( 耻e x p r ( 2 ( s 一) 一ho 一) ) 凼 删2 x 一研) 2 0 2 x 2 一日2 ) 一( 1 2 ) 西2 ) r + ( c r 2 一q ) 彬( r ) + 吒( r ) 】 对上式两边取对数得 l i l ( 卅y ( o ) ) k ( 耻，= k ( 州【f ( 鸬( s _ ) 一“( s 一) 灿 + “v 2 ) 一研) 2 一( v 2 x 呸”一q 2 ) 一0 2 ) 呸) r + ( 巴一q ) ( 丁) + c r 2 ( ，) 】 因为，是相互独立的布朗运动且盯。，盯：，盯：”为常量，所以由上式可得 厶。( ，) ；。r ( ，乞( s 一) 一“( j 一) ) 出= c + ( 仃：一盯，) 彬( 丁) + c r 2 ”( 丁) 】，。( ，) ：。 其中c 为常数。因为届( ) ，履( ) 一致有界，由命题1 知“( ) ，“：( ) 有界。因此， 如果盯，正或仃，1 0 ，则上式意味着相互独立的两个正态随机变量的线性 组合是有界的，此为矛盾，所以一定有盯，= 仉且盯，“= o ，即原命题成立。 命题2 直接告诉我们在交易一直进行的情况下两只股票价格比为时间的一 个确定性函数，并且这个比值在到期日t 时刻等于两只股票的交换比例口。如 果这个股票价格比值过程是随机的，那么由式( 1 0 ) 知它一定是对数正态随机 过程，因此在到期日t 它不会为一个常量口，所以这个比值过程一定是一个确 定性函数。从这两只股票价格比为确定性函数我们还可以直接看出当交易一直 进行到t 时刻时，两只股票是完全相关的并且它们的波动率是一致的，这个结论 在前面( 1 2 ) 式中已经体现出。 作为命题2 的一个直接结论，在交易没有被取消的情况下我们有下式成立： 一1 4 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 d y ( f ) ，( ，) ：o = y ( f ) ( ，) - o ( 扰2 ( f 一) 一甜l ( f 一) ) d f ；y ( f ) = s 2 ( f ) s l ( f ) 其中0 f r 。( 1 5 ) 以下我们将考虑基础价格过程与股票价格过程之间的联系。特殊地我们将 给出一个结论，即当交易被取消后由于股票价格的跳是有界的因此可以得出股 票价格与基础价格一定是完全相关的。 命题3 对0 f r ，如果股票价格过程模型与基础价格过程模型分别如( 1 0 ) 和( 1 1 ) 所示，则有 矿，( ) ；矿( ) ，：( ) ；矿，( ) 仃l2 盯1 ，仃22 仃2 ，盯22 盯2 ( 1 6 ) 证明：由式( 1 0 ) 和( 1 4 ) 知对o f 丁有 s 1 ( f ) ，( f ) - 0 = s ，( o ) ，。( ，) ：。e x p 【r ( “。( s 一) 一 仃。+ 2 ) d 5 + 盯。矿( f ) 】 = s 。( o ) ，v ( 。) ：。e x p j ：( r + 旯( 1 一。( s 一) ) 一士盯2 ) d s + 盯。形。( f ) 】 由式( 1 1 ) 知 s l + ( f ) = s l ( o ) e x p 【( r 一 盯l ”2 ) f + 盯l ”形l ( f ) 由前面假设知 l ( f 一) s 1 ( f 一) ，( ，一) ：o = s l + ( f ) ，( ，一) ：o 因此， 届= 0 = 。船e x p j ：( 如。”一；：叼) 一圳咱( ) ) d s + 盯l ”l + ( f ) 一盯l 矿l ( f ) 】 由于q ，q ”是有界常量，属( ) 一致有界，所以如果彬+ ( ) ( ) ，盯”盯。 那么由于上式左端有界而右端布朗运动可以以大于零的概率取到无穷大即上式 1 5 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 右端可能无界，所以等式不能成立，此为矛盾，故( ) ；彬( ) 且q 。= 盯。 由上式我们还可以知道在交易未被取消的条件下属( ) 一定是一个关于时间的确 定性函数。同理可证( ) = ( ) ，仃：1 = 盯：“，盯2 。= 盯2 并且屈( ) 也是关于 时间的确定性函数。原命题得证。 从上述命题可以看出当当交易未被取消时股票价格过程与基础价格过程是 完全相关的。而在交易一直进行的条件下跳跃因子属( ) ，历( ) 是关于时间的确定 性函数，并且有一个明确的表达式，即下面将给出得命题4 。 命题4 当o f r 时，仍然假设期权执行价格为k ，则在零时刻期权价值 为 片( 0 ，写，目 = e x p ( r 瓦) 扭j e x p ( 一五r ) e ( s ( o ) e x p r ( h ( f 一) 一( 1 2 ) q 2 ) 出 + r q d ( f ) + ( ，一( 1 2 ) q 2 ) ( 瓦一r ) + q 彬( 五一丁) 一足) + + r 凼a e x p ( 一知墉( s 一) 研( s ( o ) e x p r ( “( 卜) 一( 1 2 ) q 2 弦 + r q d 彬( f ) + p 一( 1 2 ) q 2 ) ( 磊一s ) + q ( 矗一j ) 一( 纠届( s 一) ) ) + 】) ( 2 7 ) 上式第一项表示在风险中性概率测度下交易一直进行到，时预期收益的贴 现值；第二项表示交易在( 0 ，丁) 中间某个时刻被取消时预期收益的贴现。类似 瓦r 时期权定价公式的计算，用( 瓦一，) 替代( 矗一r ) ，( 矗一s ) 替代 2 1 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 ( 五一j ) 则上式不会发生变化即 日( o ，瓦，k ) = e x p 一) 弛e x p ( 一刀) 研( s ( o ) e x p r ( “( 卜) 一( 1 2 ) q 2 ) 出 + r q d o ) + p 一( 1 2 ) q 2 ) ( 瓦一r ) + q ( 瓦一r ) 一k ) + 】 + r 豳五e x p ( _ 知塌。一) 研( s ( o ) e x p r ( “( f 一) 一( 1 2 ) q 。2 弦 + r q + d o ) + p 一( 1 2 ) q 2 ) ( 瓦一s ) + q 彤( 瓦一s ) 卜( 纠属( s 一) ) ) + 】) ( 2 8 ) 丰苷，( f 一) ( ，一) ：o2 r + 五( 1 一层o ) ) 】( 。) 。 及属( f 一) ( - ) - o = 【4e x p ( 一m ) ( 4e x p ( 一m ) 一1 ) 】如( = 。带入( 2 8 ) 式，并且计算上 述积分得 删五耻薯兰 导警) + 0 ( 酬 + 等竿f 舸钡啪) ) 一五缸一喁f 。d 始一“( o ) ) ( 2 9 ) 其中 2 2 - 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 僻竺! 避警：兰型 仃o + 盯2 ( 兀一s ) 哪，：蠼譬 ， 上述式子中盯，盯。同样分别是交易取消前和取消后股票价格得波动率。 如果仃= 盯，即交易取消后股票价格波动率没有发生变化，则计算( 2 9 ) 式中的 积分可得 郫五耻等土 竿竽胭”0 ( 喇 + ( 1 叫哪) 晋( o ) ) - 肛喁( o ) ) ) ( 3 1 ) 如果仃盯，即交易取消后股票价格波动率发生变化，则计算( 2 9 ) 式中的积分 可得 胛五耻等生【半竽胭”0 ( 喇 4 ，矗 + 斧譬妄姿e 如一寿( 竺竽) 。百面万e 孬k “8 “。万一 2 3 第二章具有并购交易的公司股票的期权定价 j 一晶 一喁另舒舭南c 半， ， 其中川n 器 + ，矗。 同样我们可以类似求得第二支股票在【o ，t 】及时刻t 后的期权定价公式。 2 4 第三章结语 第三章结语 本文首先介绍了传统的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，在此基础上又对原有 的模型进行了推广，即把其中原来为常数的股票预期收益率，股票价格波动率及 无风险利率推广到了为时间的确定性函数，并给出了相应的欧式期权定价公式。 第二章我们主要在无套利和市场完全的框架下对含有并购交易的公司股票期权 进行了定价，其中所考虑的股票预期收益率为时间的确定性函数。这种公司间的 并购交易可能会在完成前被取消从而对其中某个公司或者两个公司股票的价格 产生不连续的影响。我们对股票价格过程建立了跳一扩散模型，并且还给出了两 支股票价格过程跳跃参数的相互关系。在股票价格跳跃幅度一致有界的假设下， 我们还证明了为防止金融市场上套利机会的出现跳跃因子有一个明确的函数表 达式。我们运用上述结果给出了欧式期权定价公式。 在我们命题2 和命题3 中的结果对更一般的交易也是成立的，如现金交易， 美元交易，或者股票和现金的复合交易等，唯一的不同点就是影响跳过程参数表 达式的股票价格过程的边界条件不同。我们建立的模型也可以用来帮助套利者在 追求他们的目标时选择适当的期权。 我们对含有并够交易的公司股票期权进行定价时所建立的模型中股票价格 预期收益率考虑为时间的函数，而无风险利率及股票价格波动率为常数，事实上 类似第一章第二节b l a c k s c h 0 1 e s 期权定价公式的推广，我们也可以把无风险利 率及股票价格波动率推广为时间的确定性函数即对股票价格过程建立以下模型： d s o ) = ，( ，) = 。【“o 一) s ( f 一) 西+ q ( f ) s o 一) d 彬( f ) 】 + 如；【r ( f ) so 一) 西+ q ( f ) so 一) d ( r ) 】 + ( 届( f ) 一1 ) s ( f 一) ( f ) 吗( f ) = 凡“瑚【鸬o 一) 最( f 一) 出+ 吒( f ) 芝( f 一) d 彬( f ) + c r 2 ( f ) 是( f 一) d ( f ) 】+ 如( 啦。【，( f ) 蔓( r 一) 出 + c r 2 ( f ) & ( r - ) d ( ，) 】+ ( 屈o 一) 一1 ) 曼o - ) d ( f ) 对基础价格过程建立下面的模型： 驾( f ) = s ( f ) 【r ( f ) 西+ q ( f ) d 彬+ ( f ) 】 - 2 5 第三章结语 鹕( f ) = 是( f ) 【r ( f ) 击+ 吼”( f ) d ( ，) + c r 2 ”( f ) d ( ，) 对时刻t 后股票价格过程建立以下模型： d s ( f ) = l 。( r ) = 。p o ) s o ) 破+ q o ) s o ) d o ) 】 + 厶w ：o 【r o ) s o ) 西+ q ( ，) s o ) d ( ，) 】 鹕( f ) = ( ，k ，p ( f ) 最o ) 西+ q ( f ) 曼( f ) d 彬( f ) 】 + ，a 。( ，) = 。【r o ) 是( f ) 西+ c r 2 ( f ) 是o ) d o ) 】 这样建立的模型在我们本文的基础上又做了进一步的推广，可以类似给出期 权定价公式。 2 6 致谢 致谢 首先要感谢我的导师陈万义老师，在陈老师的指导下，经过近半年的准备后， 这篇论文终于有了结果。在南开的三年学习时间里，陈老师以他博学的知识熏陶 着我们，以他平易近人的为人态度影响着我们，这使得我进一步深悟：学业上的 学习绝非单单知识的传授，它是知识与思想的结合。在学习当中，陈典发老师的 指导和帮助使我难以忘怀。很多课程和讨论班都由陈典发老师代，虽然没有全部 去听，但陈老师的教学风格和治学态度却始终留在我的脑海，学长兼父母式的态 度使我们应用数学的大家庭更加和谐。同时还要对系里其他各位老师表示感谢， 感谢你们的关心和帮助。 学业即将结束，我也不得不离开3 0 2 这个温暖的集体，它给我留下了许多永 生难忘的美好记忆：师兄师姐的关怀，同年的相互学习和帮助。在此特别感谢已 经毕业的侯居跃，孙磊，张晶峰师兄，同年的谢清华，艾青，张妮，王继宗，赵 明理，来永超，闫俊芳，赵磊，谢谢你们给集体，给我送来的帮助和欢乐。由于 家庭里的兄弟姐妹太多，在此恕我不能一一列举你们的名字。 参考文献 参考文献 1 约翰赫尔编期权、期货和其他衍生产品第三版。张陶伟译北京：华夏出版社 2 0 0 4 2 0 5 2 1 6 2 陈万义幂型支付的欧式期权定价公式数学的实践与认识，2 0 0 5 ，v 0 1 3 5 ：5 2 5 4 3 闫海峰，刘三阳广义b l a c k s c h 0 1 e s 模型期权定价新方法一保险精算方法应用数学和 力学，2 0 0 3 ，v 0 1 2 4 ：7 3 0 7 3 4 【4 b e l l ，c i i 仃o r d ，a i l dw a l t 盯t o m u s o nj 啪p si nc o m m o ns t o c kp r j c e sa 1 1 dt h e i ri m p a c to nc a 儿 o p t i o n 州c i n g j o i l 丌l a lo f f i n a l l c e ，1 9 8 5 ，4 0 ：1 5 5 1 7 3 【5 c a n p e t e rp ，h e l y e 他g e m a n ，柚dd i l i pb m a d a n p r i c i n g a n d h e d g i n g i n i n c o m p l “e m a r k e t s j o u m a lo