（应用数学专业论文）用摄动配置方法求解时间相关的薛定谔方程.pdf

摘要 本文对摄动配置算法进行了一定的研究，并将其应用到含时薛定谔方程这一极其重 要的量子力学模型摄动配置算法是在传统的配置算法的基础上增加了一个摄动算子， 从而大大扩展了传统配置算法的应用范围一个摄动配置算法在理论上等价于一个龙格 库塔方法，文章从龙格一库塔方法的辛条件出发得到了与其等价的摄动配置算法的辛条 件，并对该算法的阶条件给出了详尽的证明。 文中构造了一类s 级2 s _ 2 阶的辛摄动配置算法，并就薛定谔方程这一模型给出了具 体的数值计算格式当s 分别等于2 和3 时我们将其实施到薛定谔方程的数值模拟，给 出了颇为详实的数值例子众所周知，理沦上等价并不意味着数值上等效，因此我们也 给出了等价的辛龙格一库塔方法的数值计算为了比较，我们还给出了同阶的非辛算法 的数值模拟，从而得到辛摄动配置算法和其在理论上等价的辛龙格一库塔方法在数值上 的等效性以及辛算法在数值计算中的优越性同时通过改变时间步长，即改变时一空网 格比对这些方法进行数值模拟，分析了解的数值稳定性 关键词：薛定谔方程；摄动配置算法；辛方法；龙格一库塔方法 a b s t r a c t i nt 1 1 i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ep e r t u r b e dc o l l o c a t i o nm e t h o d 、v ba p p l yt h e m e 七h o dt ot h es c l l r 6 d i n g e re q u a t i o nw h j c hi sav e r yi m p o r t e n tm o d e li nq u a n t u mm e c h a n i c s p e r t l l r b e dc o l l o c a t i o nm e t h o da d d e dap e r t u r b a t i o no p e r a t o rt ot h ec l a s 8 i c a l c o l l o c a t i o nm e t h o d ，s oi tg e n e r a l i z e st h ed a s s i c 甜c o u o c a t i o n1 1 1 e t h o d ap e r t u r b e dc o l l o 。 c a t i o nl n e t h o di se q u i v a l e n tt oar 肛n g 争k u t t am e t h o dt h e o r e t i c 出1 y t h i sp a p e rs u g g e s t s t l l es y m p l e c t i c i 哆c o n d i t i o nf o rt h ep e r t u r b e dc o l l o c a t i o nm e t h o df r o mt h ee q u i v a i c n t s y m p l e c t i cr u n g e - k u t t am e t h o da n dp r o v et h eo r d e rc o n d i t i o nf o rt h i sm e t h o di nd e t a j l v c o n s t r u c tas y m p l e c t i cs s t a g ep e r t u r b e dc 0 1 l o c a t i o nm e t h o do fo r d e r2 s 一2a 1 1 d 印p l y i tt ot h es c h r 6 d i n g e re q u a t i o n e s p e c i a l l yw ei m p l e m e n tt h e 啪e r i c a le x p e r i m e n t s f o rs = 2a n ds = 3 i ti sw e l ll ( 1 1 0 w n ，t h ee q u i v a l e r l c e 七h e o r e t i c a l l yd o e sn o tm e a t h e s a m en u m e r i c a l l *i nc o m p a r i s o nw i t ht h es y m p l e c t i cp e r t l l r b e dc o l l o c a t i o nm e t h o d ， w eg i v et h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h ee q l l i v a l e l l ts y m p l e c t i cr u n g e _ k u t t am e t h o d a n da n o t h e rt 啪n o n s y m p l e c t i cm e t h o d s i ts h o w st h a tar e m a r l ( a b i ea d w l t a g eo ft h e s y m p l e c t i cm e t h o d sa p p h e dt ot h es c h r 石d i n g e re q u a t i o ni st h ep r e c i s ep r e s e r v a t i o uo f c h a r g ec o n s c r v a t i o n1 a w i no r d e rt o s t u d yt h er m m e r i c a l8 t a b i l i t y w ea l s oa d o p tt 1 1 e d i 舶r e n tt i m es t 印s i z e s i no u r 叫m e r i c a le x p e r i m e n t 8 ，t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t 0 1 l ra l g o r i t h m sh e r ea r es t a b l e k e yw o r d s ：s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；p e r t u 工b e dc o l l o c a t i o nm c t h o r d ； s y m p l e c t i c m e t h o d ；r u n g e - k u t t am e t h o r d i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进褥的研究工作及取得的研究成 果。辫我藏弼，豫了文中符蠲魏激标注酾致谢的地方讣，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 角过的糖精。与我一霹工作的麓志对本研究所傲驹任何贡献均已在论文中俸了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名；亟渍翅日期；i ；支釜 学位论文版权使厢授权书 本学位论文作者完众了解永j e 师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 筛范太学有较倦留并秘黼家有关都门或槐褐送交孥位论文鹃复窜体和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 送行裣索，可阪条爱影窜、缩窜凌其它复耩手段缳存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盘菇勰指导教师签名： 鑫褒：1 应：羹兰 鞋 麓： 学位论文作者毕业詹去向； 王佟单位； 通讯地址 电话： 邮编； 剖坠墅 涟：l 二搿 引言 哈密顿系统具有辛结构，哈密顿正则方程在辛变换下形式不变，它的解由辛变换群 生成1 9 8 一1 年冯康用辛几何的观点提出计算哈密顿系统的辛算法之后，他与他的合作 者进行了系统的研究，包括提出r 构造辛格式的生成函数法，幂级数法等，讨论了守恒量 ，研究了保能量算法，保体积算法和接触算法等，并且在天体物理，大气与海洋科学，等 离子体，分子动力学等领域广泛应用并获得成功特别在长时间、多步数的计算中和保 持系统结构t 辛算法显示出明显的优越性。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定。在量子力学 中当徵观粒子在某时刻的状态为b 知时，以后时刻粒子所处的状态同经典力学一样也要 由一个方程来决定，不同的是在量子力学中微观粒子的状态是用波函数来描述的，决定 粒子状态变化的方程就是薛定谔方程在研究强激光与原子的相互作用时，因为场强已 经接近甚至超过原子库仑势，常用的微扰论不再适用而宙时薛定格方程包容了原子、 激光场及其相互作用的全部物理内容，所以直接求解含时薛定格方程以研究强激光与原 子的相互作用是一条合理、自然的途径，目益受到人们重视和采用因此薛定谔方程在 茸子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动方程的价值相似。含时薛 定格方程的解( 波函数) 的时间演化保持酉积守恒，这等价于模方守恒和辛积守恒；采用 展开法和对称差商代替空间变量偏导数将含时薛定格方程离散成有限维正则方程，并采 用已有的辛格式求解冯康曾一般地讨论了显含时间的哈密顿系统的接触结构与接触算 法，秦孟兆引入辅助正则动量和正则坐标，构造丁显含时间哈密顿系统的辛格式；g r a y 和v c r o s k y 采用m 矩n u s 近似将显含时问哈密顿系统转换为不显含时间哈密顿系统。石 爱民，母英魁和丁培柱等对含时薛定格方稗离散成显含时间的正则方程构造了2 阶的显 式辛格式和模方守恒辛格式 本文针对一维有限宽无限深势阱中的电予与模拟激光场v ( ，z ) = e z s 伽) 相互作 用的线性含日十s c h r i j ( 1 m g e r 方程 j 望! 告= ( h o + v ( f ，z ) ) 皿( ，z ) ，。 1 鼠：一j 等+ k ( g ) 1 u 吣，：= 蚀蓦袅， 利用一种新的数值计算方法一一摄动配置算法进行求解摄动配置算法是一种构造方法， 最早提出该方法的是s p n 口r s e t t ，它给出了对应于一阶微分系统的摄动配置方法，讨论 了它和龙格一库塔方法的关系以及该方法的a 一稳定性， b 一稳定性，误差估计等其它 性质而g e e t l l ar a m a s w a m i 则把该方法推广到二阶微分系统，并把它与r u n g e k u t t a n v s t r 6 m 方法联系起来因为辛的r k n 方法只能是2 s 阶的方法，荷通过摄动配置技巧 则能构造出2 s 一1 阶以及2 争2 阶的辛r k n 方法，这样就扩大了r k n 方法的应用范围。 本文应用的是对于一阶微分系统的摄动配置算法在多项式线性空同。上定义一个摄 本文应用的是对于一阶微分系统的摄动配置算法，在多项式线性空同。上定义一个摄 动算子( 民，n u ) ( t ) = u ( ) + 凳。( ( 一t o ) ) u 竽，其中的u ( t ) 是方程精确解的逼 近多项式，也就是我们所要求的解，通过在配置算法的基础上加入这个摄动算子构造出 摄动配置算法，从而大大扩展了传统的配置算法的应用范围。当这个摄动算子为恒等算 子时，它就是普通的配置算法。正如配置算法一样，一个摄动配置方法在理论上等价于 一个龙格一库塔方法我们在文中从龙格一库塔方法的辛条件出发得到了与其等价的摄 动配置算法的辛条件，并对摄动配置算法的阶条件给出了详尽证明文中我们构造了一 类s 级2 s 一2 阶的辛摄动配置算法，并针对上述模型给出了具体的数值格式。当s = 2 和 s = 3 时，我们给出了颇为详实的数值例子众所周知，有些算法在理论上等价，在数值 上却未必等效在这里，摄动配置算法和对应的龙格一库塔方法在理论上是等价的。但 其相应的格式却是天壤之别基于这个原因，我们分别给出了这两种方法的数值模拟， 可以看出它们在数值上也是等效的模方守恒不仅是薛定谔方程的一个重要守恒律，而 且是量子力学中一个普遍遵循的基本原理，因此文中不仅给出了波函数的数值模拟，还 着重讨论了模方守恒为了比较，我们还给出了两种非辛算法的数值模拟从这些数值 例子中我们可以看出辛摄动配置算法和龙格一库塔方法以及非辛方法对于波函数的模拟 是几乎一样的，但对于模方守恒，前两种算法几乎已经达到机器精度( 1 0 _ 1 4 ) ，而非辛算 法的模方守恒精度则要差得多通过改变时间步长进行数值模拟，我们发现无论是辛方 法还是非辛方法的波函数图像几乎不发生变化，而对于模方守恒，辛方法的精度只是发 生微小的变化( 需要指出的是，2 阶摄动配置算法在步长为0 0 0 8 7 曼0 0 1 0 0 上时， 模方守恒的精度突然从1 0 0 5 变为l o ，丽在其它步长区间上，模方守恒的精度依然能 保持很小的变化这是一个非常奇特的数值现象) ，非辛方法的精度有所降低，但还是保 持在o 附近震荡由此我们可以看出，无论是辛的摄动配置算法还是辛龙格一库塔方法 对于含时非齐次薛定谔方程是稳定的，但辛方法在模方守恒方面有其特殊的优势。由于 本文所讨论的含时薛定谔方程是线性的却并不是常系数的，而现在一般文献上关于线性 方程稳定性的讨论仅限于常系数，所以我们通过改变时间步长来探讨其数值稳定性是必 要的 本文第一章给了哈密顿系统的一些简单介绍第二章介绍了摄动配景算法，我们把 它在理论上与龙格一库塔方法等价起来，并从龙格库塔方法的辛条件出发给出了与其 对应摄动配置方法的辛条件和阶条件，构造了s 级2 s _ 2 阶的辛的数值算法第三章把构 造出的辛格式应用于含时薛定谔方程，给出了辛的二级二阶和三级四阶方法对薛定谔方 程进行求解，并模拟其波函数，证明了它的解的稳定性和模方守恒性并与等价的龙格一库 塔方法的结果比较，另外给出了其他的两种非辛格式的方法并与其比较，证明辛方法在 模方守恒上的精度要比非辛的方法好得多，由此也显示出了辛算法对于数值计算的优越 性。 由于目前有关摄动配置方法的文献还比较少，而且仅是停留在理论的研究上，并没 有把该方法应用于方程进行计算，也没有进行相应的数值模拟，本文把摄动配置算法应 用于薛定谔方程尚属酋例，所以对该算法的应用还很肤浅，很多性质及分析尚有待深入 研究。 2 第一章哈密顿系统简介 牛顿力学研究质点组在三维欧氏空间中的运动，它满足牛顿运动方程；拉格朗日力 学用广义坐标和广义速度描述运动，它满足拉格朗日方程；哈密顿力学用广义坐标口( ) = ( 口l ( ) ，q 2 ( t ) ，吼( ) ) 和广义动量p ( ) = ( p 1 ( t ) ，p 2 ( t ) ，( f ) ) 描述运动，系统的能量 是它们的可微函数日( p q ) ，称为哈密顿函数，系统的运动满足哈密顿正则方程 警一筹，象= 鬻，z ，n t ， d a 岱 d t 勃 “ 、 或 d p 一8 h d q a h 面一一百了面一刁f 其中 8 h 0 ha h 、i 8 h 8 h8 h 、i 酉2l 面瓦j 7瓦2l 丽瓦j 令z = ( 轧+ 胁，m ，) 7 ，器= l 器，器，差，罄卜则正则方程( 11 ) 可 写成 警一1 筹，j = i 二： 玎 定理1 ：正则方程在辛变换下形式不变，即如果s 是辛变换， z = s ( ) ，h ( z ) = h ( s ( ) ) = 何( j ) 那么正则方程变为 ；：j 一- 掣一j 一境( 1 2 ) 定理2 ：( 哈密顿力学基本定理) 正则方程的解由一个单参数辛群g 备l 一6 o ，当x 时( t ，z ) 可以看作o 命题1 4 ；在连续状况下，对于周期边界条件，薛定谔方程的波函数保持模方守恒 证明： 爰z 1 l 皿1 2 如= 爰z 1 皿西如 2 z 1 ( ；皿z z t y ) 画+ 皿( 一；西。+ t y 西) d z 2 z 1 ( ；皿z z 每一i 皿函z z i v l 皿1 2 + y i 皿1 2 ) d 。 = z 1 ；( 皿一面一皿面z z ) 妇 = ；z 1 吲哪) 一哪牡一；z 1 瞰喊) 一哪出z 2 掰岬皿吨拙 = ；( 皿。面一皿西。) l j 我们可以看到它确实是模方守恒的 在( 31 ) 中我们用中心差分些吐韦鬻竽盟代替偏导数器皿( t ，z m ) ，m = o ，1 ， 运用周期边界条件皿( ，z o ) = ( ，蛐) 我们得到方程； 味归击 一2 吲卅m ) 卜i 吲t ) ( 3 2 ) 。( o ) = 、j s e n ( 7 r z 。) ， m = o ，l ， 1 4 命题1 5 ：对于半离散的方程( 32 ) ，它的波函数保持模方守恒 证明：在空间离散状态下， 一z 墨( 皿m 西m ) 钏。至 痴( - q 枷删厩一岍m 一志( 画一一2 吒+ 画一) 母。十 画。 1 西m + 画，。皿m 十1 一西m 一1 毋m 一雪m 函m + 1 ) 它仍然是模方守恒的 由于辛龙格一库塔方法保持常微分方程的二次首次积分，从而将辛龙格一库塔方法 应用到半离散系统( 3 2 ) 可得到一个离散的模方守恒律所以对于与它等价的辛摄动配置 方法也应该保持离散系统的模方守恒 对于一阶微分方程系统( 3 2 ) 我们应用摄动配置方法得到： “。( o ) ：= 屈f n ( 7 r ) ，o = o i 砭i 罚i 【2 z m + 1 ( 幻+ q ) 2 札m ( 。十c 。 ) + u m l ( 。+ q h ) + 鹏( q ) “锛- ( t 。) 舻一2 ( q ) u 嚣( 。) 胪+ ( 龟) u ( t 。) 1 ，= 1 ，= l j = l 。 8 一i l o ( 如+ q ) f “。( t o + c ) + ( q ) u 翱( 。) 印l j = 1 钍m ( 1 ) = m ( t o + 危) ，i = 1 ，一，s ， m = o ，1 ，一， f 33 1 其中“m 是方程的精确解在z 。点的逼近多项式，是前面介绍的勒让德多项式的线性 组合，u 袋( 如) 是u 在z 。点对t 求j 阶导数后在t o 点的值，q 是不同的配置点我们 所要做的就是求出等价的( 3 3 ) 的解u ，即是薛定谔方程( 3 1 ) 的数值逼近解。 我们采用与配置方法类似的过程对此方程求解。令 乜：= 吐m ( t o + q ) ，i = l ，一，s ，m = 0 ，1 ， 通过拉格朗日插值公式我们有i m + r ) = ；：。砖0 ( 一，其中f ，( r ) = n 茫到( r cc ) ( c i c f ) 所以 州针酬一( 卅曹。z 4 竹胁 1 5 田 h z d 一如 伸 一 忐 | 1 一皿 皿 一 皿 一口+皿i f一一皿 皿 忐。 这样我们可以得到 ”以川同删+ 喜b 胁州r 53 2 波函数图形及其性质分析 当s = 2 时，可以设此时的系数为d = o ，。l = 1 ，p = 一1 ，风= 1 2 ，我们可以证 明它是满足辛条件的，这样就可以得到一个辛的二级二阶摄动配置方法。其中l ( ) = o ，2 ( ) = ；( 1 一) ，而e ( t ) = 一：( 6 t 2 4 t + ；) 。令e ( t ) = o 可以得到两个插值节点 c 。= ，c 2 = 。此时可以得到对应于( 33 ) 的二级二阶摄动配置算法为： “m ( t o ) = 、s 西i ( 7 r z m ) ， t o = o ，”l = o ，1 ，t 一，2 0 吐m ( 如+ q ) = 虿五i ；乒 让m + l ( 。+ q ) 一2 u m ( 如+ 岛 ) + u m l ( 。+ q ) + 2 ( q ) 嘏j l ( 如) h 2 2 2 ( 矗) “鬟( t o ) 2 + 2 ( 岛) u 乳，( o ) 2 l i ( 如+ g 九) l 乱m ( t o + q ) + ；( q ) 社鬟( 如) 2 l ， = 1 ，- 2 令七1 = 也m ( t o 十c l ) ，七2 = 也m ( o + c 2 ) ，那么 u 。( 如+ ) = “。( + k 。上1 f l ( r ) 打+ 如z 1 f 2 ( r ) 打 这样以来，这个过程就等价于解一个下面形式的方程组： u 。( t o ) = 、j s 打2 ( 7 r 。) ， t o = 0 ， m = 0 ，1 ，2 0 札m ( t o + h 6 ) = u m ( o ) + o l l h 也m ( t o 十九6 ) + 。1 2 h 由m ( t o + h 2 ) 札m ( t o + 2 ) = “m ( o ) 十n 2 l h 也m ( o + 6 ) + 观2 也m ( o + h 2 ) 其中 击阻m + l ( ” 6 ) + 4 - “黜坩一2 ( “6 ) 2 d l u 5 ；：( o ) h 2 + 雌m 一1 ( o + 危6 ) + d 1 “鬟l l ( o ) h 2 1 i 1 ，m ( t o + h 6 ) 【u 。( o + 6 ) + d 1 “鬟( o ) 2 ( 幻+ 2 ) 2 赤l ( 幻+ 2 ) + 。2 “黜如) “2 砌m ( 如十 2 ) 一2 d 2 钍璺( 亡0 ) 2 + u m 一1 ( + 2 ) + 如札鬟! l ( 如) 2 一i k 。( 如+ 2 ) m ( 如+ 2 ) + d 2 钍祭( t o ) 2 u m ( t o + ) = u m o o ) + h 6 1 吐m ( 如+ 6 ) + 6 2 也m o o + 2 ) = 羞，2 羞 1 6 n u z 。1z - ( r ) a r ，。z = z 。1z 。( r ) a r n 。，= z 。f - ( r ) d r ，n 。= z 。z z ( r ) d r 6 - = 小加， z 1 f 2 ( 曲 d 1 = 。( c 1 ) ，d 2 = 2 ( c 2 ) 因为其中的变量个数大于方程的个数，我们需要先求出i ( t o ) 以及u ( 2 ( o ) ( 此时的n d 扣；并 不等同于龙格一库塔方法的系数) 。而这个我们是通过对“( t o + r 危) = u ( t o ) + j ；( 老鼍，+ 晕芸) 幽分别求一阶导数和两阶导数来得到的。其中 酬= 纛羞 u ) = ；篝 通过数值模拟，我们取空间步长z = o 0 5 ，时间步长h = o0 0 1 ，当时间计算到= 1 0 0 圈1 。2 阶摄动配置方法的渡函数 而当空间步长不变，时间步长取 = 00 1 ，当时间计算到t = 5 0 0 时，得到的波函数实 部及虚部分别如下： 圈2 ，2 阶摄动配置方法的往函数 此时我们可以从下图中看到取空间步长z = o 0 5 ，时间步长 = o0 0 1 ，计算到t = 1 0 0 以及步长 = o0 1 ，计算到t = 5 0 0 时，这种方法得出的解它的模方是守恒的： 1 7 田3 2 阶摄动配置方法的模方 与这个摄动配置算法等价的r n g e _ k u t t a 方法的系数我们可以计算出来，它的系数矩阵 为 与上面取相同的步长和时间，我们可以得到下面r u n g e _ k u t t a 方法模方的图象； 图42 阶龙格一库塔方法的模方 我们可以看到两种不同的算法得到的解模方守恒的效果都很好( 注：在时间步长为 o0 1 0 0 时，= 阶摄动配置方法的模仿守恒精度与对应的龙格库塔方法 几乎一样，但是在0 0 0 8 7s 0 ，叭0 0 时，二阶摄动配置方法得到的模方守恒的精度突 然降低很多，这是个很奇特的数值现象) 。对于同样的二阶方法，我们取一样的步长和时 间，从下图可以看到，梯形格式得到的波函数图像虽然和摄动配置方法几乎近似，但是 由于它是非辛的方法，它的模方守恒的精度却差了很多： 1 8 怛 圈5 ，2 阶梯形方法的摸方 如果我们在辛条件中取s = 3 ，。= o ，n 1 = o ，隗= 一1 ，卢= 3 2 ，可以得到一个 三级四阶的摄动配置辛算法其中毋( t ) = 2 3 3 t 2 + t ，1 ( t ) = o ，2 ( t ) = o ， 3 ( t ) = 一 3 + ；t 2 一；t + 去令e ( ) = o 可以得到三个插值节点c 1 = o ，c 2 = ：，c 3 = l 。 我们可以得到( 3 3 ) 的一个三级四阶的摄动配置辛算法： m ( t o ) = 、百s 礼( 丌z m ) ，t o = o ，r n = o ，1 ，一，2 0 ( ”q ) = 志 u 州( 针q ) 一2 ( 针q h ) + 吣t ( 针c z “) + 3 ( q ) “辫。( t 。) 矿一2 3 ( g ) u 鼎( 。) 3 + 3 ( q ) u 罂。( z 。) 胪 一1 ( 托+ q ) u 。( 如+ 岛 ) + 3 ( q ) “黜。) h 3 = 1 ，2 ，3 令七1 = 也m ( o + c l ) ，七2 = 血m ( t o 十c 2 h ) ，七3 = u m 【o + c 3 州，那么 u 。( c 。+ h ) = “。( u + ，z 1 “r ) 打+ z z l f 2 ( r ) 打十 。z 1 f 3 ( r ) d r u m ( 。+ h ) = “m ( t o ) + 七l l l ( 下) d 下+ 南2f f 2 f ) d 丁十 砖3f0 3 ( r ) d t j 0j 0 j 0 其中 扣等蒜高，姒垆芒畿焉 = 芒畿高 同样我们取空间步长= 0 0 5 ，时间步长 = 0 0 0 1 ，时间计算到= 1 0 0 时，我们 得到渡个四阶方法的波函数图象的宴部和虚部分别如下； 图6 。4 阶摄动配置方j 击的被函数 1 9 而当空间步长不变，时间步长取 = o ，0 1 ，当时间计算到t = 5 0 0 时，得到的波函数实 部及虚部分别如下： 圈7 ：4 阶摄动配置方法的波幽数 此时我们可以从下图中看到取空间步长z = 0 0 5 ，时间步长 = 0 0 0 1 ，计算到t = 1 0 0 以及时间步长 = 0 0 1 ，计算到= 5 0 0 时，这种方法得出的解它的模方是守恒的。 圈8 ：4 阶摄动配置方法的模方 与这个摄动配置算法等价的r m g e k u t t a 方法的系数我们可以计算出来，它的系数矩阵 为 与上面取相同的步长和时间，我们可以得到下面r u n g k u t t a 方法模方的图象； 嚣t4 馥蹙摧一痒瑶摊辨壤方 我们可以看到两种不同的算法的得到的解模方守懒的效果都很好，而且精度也相同。同 糕对予鞠阶方法，我# 逯建跨盼姆l 曲8 t t oi l i b 方法，它的系数键阵如下： 我们知道l o b 砒t oi i i b 方法是一个非辛的方法，对应于这个系数降的l 。b 舭t oi i i b 方法 在取相同的时l 司和空闭时它的模方如下幽所示： 篷i o t4 翦l 曲a t t o l l 转方法懿蜷方 从以上图形的对比我们可以看出对于相同的步长和时间，由掇动配置算法得到的渡 函数图像和等价的r u n g e _ k u t t a 方法得到的波函数图像是一样的，它同非肇算法碍到鲍 渡函数图像也一样。另外，摄动配置算法对于不阕豹时间步长和珏尊褥得到酌解也燕一祥 的，说明摄动配馒算法得到的波硒数对时问步长的依赖不是很明显，也不随时间的增长 瑟交诧，毽裁鼹说摄毒懿置算法褥弱翡禽跨蔡定谬方程的鳃是稳定鲤，当掇魂配置方法 和等价的辛龙格一库塔方法取相同的步长和时间时，它们的模方守恒精度都很好，不论 是二除方法还是踞盼方泼凡乎都达到了机器精度( 1 0 - 1 4 或l 0 0 3 ) ，箍当时间步长发生变 化时，这两种方法的旗方守恒性也没有发生很大的变纯，宦们的精度几乎籀同( 僵鼹二 阶摄动配置算法在时间步长为00 0 8 7s so 0 1 ( ) 0 时突然从1 0 _ 1 4 速降到1 0 一，变化 觅较大) 。这说瞬辛摄动配置算法与其在瑷论主是簿徐的睾楚格一簿臻方法在数篷上毫是 等效的另外对于非辛方法，步长从o 0 0 1 变成o 0 1 时只有一个数最级的变化，而二阶 ( 四盼) 方法的燧度从1 0 娟( 1 0 曲) 降裂l o “( 1 0 - 5 ) ，发生了鼹个( 四个) 数爨级的变化， 这说明= 阶( 四阶) 非辛方法关于模方守恒精度也是二阶( 龋阶) 静但是晕爵度较裔的非 辛方法对应的模方守恒的精度也相对较高，这说明了非辛方法的横方守恒的精度与方法 本身静精度有美褥享方汝对于穰方守疆关于耩麦麓无关鹤f 姿然数壤主会鸯一熹枣鳓影 响，大约不到一个数量级的微小的影响) 非辛方法得到的模方虽然还是在0 附近振动， 惶是壤度却与率方法嘏憩甚远，由此我弱也可以簧出辛方法对于数谯计算的谯越毪 由于目前有兼摄动蕊跫算法的文献对于这种方法的研究只限寻= 理论证明，并没有应 用于具体的方程，更没有给出具体的数值模拟和分析，所以本文只是简单的把它应用于 对阉稳荚酶薛宠浮方程鑫予这个方程瓣特殊缝，宅没有麓量守恒及凌量守髓，辑戳我弱 2 1 仅给出其解的稳定性和模方守恒性质。对于薛定鄂方程的解的误差分析，收敛性考虑以 及在数值模拟中出现一些有趣的现象( 例如当时间步长 o 0 0 8 7 ，o 0 1 0 0 】这个区间内 变化到这个区间外时，二阶辛摄动配置方法对模方守恒的精度从1 0 _ 9 变到l o “4 ) 的解 释还有待进一步研究对于摄动配置方法本身的许多深刻的性质也有待进一步的考虑， 例如传统的配置方法有不连续配置，那么对于摄动配置是否也有不连续摄动配置呢? 如 果有的话，怎么得到文中所列的那些性质呢? 2 2 参考文献 1 sp n o r s e t t a i l dg w 啪叫，p e r t l l r b e dc o o c a t l 衄a n dr 哪盼k u t t am e t h o d s ，n l h m e r m a t h 3 8 ( 1 9 8 1 ) ，1 9 3 _ 2 0 8 f 2 】spn 口l s e t t ，c 0 1 l o c a t i o na dp e t t u 南e dc o u o c a t i 。nm e t h o d s ，n u m e r 蹦a a l y s 诗( s p r i 舭 1 0 8 0 1 阁g 。c h ar a m 龉n 口m j ，h 逗h c ra 嘣e rs y m p i e c j cr ka i l dr k n 雌l h o 如u s i i l gp e r c u r b 矗l l o c a t i o n ，b n l3 7 ；2 ( 1 9 9 7 ) ，4 6 4 7 1 4 】g e e t h ar a m a s w a m i ，p e r t l 曲甜c o l l o c a t i 。n 叽d8 y m p l e c t i cr k nm e t h o d s ，a d v a n c e si n e o m p u t a t i o n “m a t h e m a t i c s3 ( 1 9 9 5 ) 2 孓4 0 m 缸8 d 衄。n dtsr 缸i u ，i t r o d u c t l o nt om h 姐i c s 龃ds y m e t r y ，sp r i n g 口v e r l a 量n e w y 0 r k ( 1 9 9 4 ) 6 】m a t s d e na n dmw ；s t ，d b 啦e t em e c l l a n i c sa n dv a r i a t j 佃a 】i n t e 盯a t o 馏，a 吐an u m e r j c 81 0 ( 1 9 9 3 ) ，l 1 5 8 刀e h a j t e r 棚) dp l e d n e ，s o 埘ep f 印e r l 。fs ) r r n p ) e c t l cr u n 菪争k h t am e t h 。出，) k wz e 越a n d jo fm a c i l2 9 ( 2 0 0 0 ) ，1 3 3 - 1 4 9 8 】刘晓艳，剐学深，丁培柱，时间相关外场中量子系统的辛算法，计算物理2 0 ( 2 0 0 3 ) 9 j ag e r i s c ha n drw ；i i l e r ，t h ep s i t i v i t y 。fl o w 一0 r d e rb e p n c j tr u g e 、k u t t as d l e m e sa d l p i i e di s p l i t t i o gm e 曲o d s ，( - o m p u t e r sa i l d