（理论物理专业论文）yq（sl（2））代数的进一步研究.pdf

摘要 以杨一巴克斯特方程为中心的有关理论，推动着量子完全可积模型研 究的发展，它是比较系统地处理某些非线性模型的成功理论。特别是法捷 耶夫( l d f a d d e e v ) 所建立的r 1 t 关系是一个概括了许多已知对易关系的 具有更广泛的形式的对易关系，它是一种限制完全可积系统的理论框架。 当杨一巴克斯特方程的解r ( x ) 给定时，由r t t 关系即可建立量子群理论， 它包括y a n g i a n 和量子代数。其中y a n g i a n 是r q ) 为有理解时由i 盯t 关系 所给出的代数关系，而量子代数是r ( x 1 为三角解时由r t t 关系所给出的 代数关系。 本文的研究内容是将丁( x ) 用x 展开并强加了截断条件，即在丁) 的展 开式中存在有关的x 最高次幂。通过r t t 关系求出矩阵元l 。( ，b = 1 , 2 ) 问 的对易关系。在本文中将r ( x 1 取成x 3 丁( 3 ) + x t ( 1 ) + x 一1 r ( 一1 ) + x 一3 r ( 一3 的形 式，即对应于三粒子的情况。其中将丁和，( 4 取成简单量子代数。通过 r 盯关系确定矩阵r 1 1 ) 和r ( - 0 的矩阵元之间的对易关系，从而得出了区别 于简单量子代数的新的代数关系，这是r t t 意义下的一种新型的量子代 数，暂定名为y q ( s l ( 2 ) ) 4 弋数。然后，我们根据h a l d a n e s h a s t r y 模型的有关 理论，尝试讨论x x z 模型的长程相互作用实现。主要是通过l o f ( 2 ) ) 代 数的基本对易关系，确定了系数所必须满足的限制方程，取得了较好的结 果。 关键词：r t t 关系简单量子代数 h a l d a n e s h a s t r y 模型长程相互作用 a b s t r a c t t h et h e o r i e sc e n t e r i n gu p o ny a n g - b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) p r o m o t et h e r e s e a r c ho nq u a n t u mc o m p l e t e i n t e g r a b l e m o d e la n da r e s y s t e m a t i c a n d s u c c e s s f u lt h e o r i e sw h e nt h e ya r eu s e dt od e a lw i t hs o m en o n l i n e a rm o d e l e s p e c i a l l y r t tr e l a t i o nc o n s t i t u t e d b yl d f a d d e e vg e n e r a l i z e s al o to f c o m m u t a t i o na n di ti sat h e o r e t i cf r a m ew h i c hl i m i t sc o m p l e t ei n t e g r a b l e s y s t e m g i v i n g 盖o ) a s y b e s s o l u t i o n ，q u a n t u mg r o u p si n c l u d i n g y a n g i a n a n dq u a n t u ma l g e b r a sc a nb ed e r i v e df r o mi tr e l a t i o n w h e n y b e ss o l u t i o ni sar a t i o n a l s o l u t i o n ，y a n g i a n c a nb eo b t a i n e df r o mr t t r e l m i o n w h i l eq u a n t u ma l g e b r a sc a r lb eg i v e nb yr t tr e l a t i o nw h e ny b e s s o l u t i o ni sat r i g o n o m e t r i cs o l u t i o n t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ri st h a t t ( x ) i s e x t e n d e db yxa n dw e i m p o s e i n t e r r u p t e dc o n d i t i o no n 丁g ) ，t h a ti st os a y , r ( x ) h a s t h em a x i m u m p o w e r o fz w ec a l lo b t a i nt h ec o m m u t a t i o na m o n gt h ee l e m e n t s l b 0 ，b = 1 , 2 ) o f t w om a t r i xf r o mr t tr e l a t i o n i nt h i s p a p e r , t ( x 1 r e a d sx3 t 3 ) + x t 1 ) + x 一1 丁( 一1 ) + x 一3 r ( 一n a m e l y i n c o r r e s p o n d e n c ew i t ht h e c o n d i t i o no ft h r e e p a r t i c l e s 7 1 0 ) a n d 7 1 ( 一引a l lr e a ds i m p l eq u a n t u ma l g e b r a s w ec a nc o n f i r m t h ec o m m u t a t i o nb e t w e e nt h ee l e m e n t so ft 0 j a n dt h o s eo f7 1 ( 一” a c c o r d i n g l y w ea r ea b l et of i n dt h en e w a l g e b r a sr e l a t i o n sw h i c h a r ed i f f e r e n t f r o ms i m p l eq u a n t u m a l g e b r a s t h i si sa n e wk i n do f q u a n t u ma l g e b r a s ，w h i c h i s t e m p o r a r i l yc a l l e d 匕q ) ) a l g e b r a s t h e nw ea t t e m p tt o d i s c u s st h e l o n g - r a n g ei n t e r a c t i o na m o n gt h el a t t i c e s w em a i n l ym a k eu s eo fe s s e n t i a l c o m m u t a t i o n p e r t a i n i n gt o 艺0 ，( 2 ) ) a l g e b r a sa n d o b t a i nt h el i m i t i n ge q u a t i o n ， w h i c ht h ec o e f f i c i e n t sm u s tc o m p l yt o i tc a l lb es e e nt h a tw e g a i n e dg o o d r e s u l t s k e yw o r d s ：r t t r e l a t i o n s i m p l eq u a n t u ma l g e b r a s h a l d a n e s h a s t r ym o d e ll o n g r a n g ei n t e r a c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师 范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谫十意。 学位论文作者签名：当童硅日期：望型犟i 旦兰宴 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：滥 指导教师签名：茗荤盈 日 期：加垡。石掣日期：d 彩垒b 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话 邮编 第一章绪论 1 1 引言 以杨一巴克斯特方程( y a n g b a x t e re q u a t i o n ，简称y b e ) 为中心的有关 理论包含了极其丰富的物理内容，在本质上反映了一大类非线性模型的特 点，是系统的处理非线性模型的成功理论，是解决非线性问题理论发展的 一个巨大飞跃。回顾理论物理发展的历史，经典可积问题的理论建立于 1 9 6 5 年，而对于量子可积问题理论的建立则丌始于1 9 6 7 年杨一巴克斯特 方程的建立。 杨一巴克斯特方程及其相关的理论起源于两个方面的物理研究：一是 一维量子多体问题，在对具有艿函数势相互作用的一维量子多体问题的研 究中，量子杨一巴克斯特方程( q u a n t u my a n g ，b a x t e re q u a t i o n ，简称q y b e ) 是在1 9 6 7 年由杨振宁1 1 2 1 作为多体散射的自治条件首先发现的；二是统计 力学中的二维精确可解问题，在研究统计力学中的二维精确可解模型时， 澳大利亚学者巴克斯特( r j b a x t e r ) 13 】于1 9 7 2 年为了对角化他所定义的转 移矩阵，独立地建立了星角( t r i a n g l e s t a r ) 关系，当时这两种形式并未很好 地结合起来。而后，以法捷耶夫( l d f a d d e e v ) 为首的前苏联列宁格勒学派 进一步发展了量子逆散射方法【4 l 【”，发现杨振宁与巴克斯特引入的这类笑 系可以写成一般形式： vvvvvv r 1 2 ( “) r 2 3 ( d + v ) r t z ( v ) = r 2 3 ( v ) e t z ( u + v ) r 2 3 ( “)( 1 1 1 1 ) 并定名为杨一巴克斯特方程。之后，随着各方面的研究成果的积累，人们 发现量子杨一巴克斯特方程普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作 用近三十年来，杨振宁一巴克斯特系统作为处理一大类非线性量子可积 模型的普遍理论，已成为理论物理中一个蓬勃发展的分支。 对于1 + 1 维量子可积模型和统计力学中的二维精确可解模型的研究， 目前主要有两种方法：一是早期的b e t h e a n s a z z 方法及其推广，二是后 期发展起来的由法捷耶夫学派等创建的量子逆散射方法。法捷耶夫在统一 杨振宁和巴克斯特理论时，建立二次量子化逆散射方法理论并同时提出了 r t t 关系。r t t 关系的形式如下： l 221 r ( 五一) 丁n ( ) 丁( ) = r ( ) r ( 丑) r ( 旯一) ( 1 1 2 ) 其中尺= p r ，p 是交换矩阵。 下面简单介绍一下r t t 关系的来源阡】。在初等量子力学中，基本 对易关系是坐标与动量之间的对易关系。它们与哈密顿量一起决定了系统 的动力学性质。另外，如果系统的所有运动积分( 守恒量) 能够给出。我 们就蜕它是完全可积的( 可积即解确定，不可积即无解，如混沌) 。显然， 完全可积性给系统一种限制，最理想的情况是构造一个理论框架一r t t 关 系即可充当此理论框架。从它出发，原则上可以同时提供哈密顿量与对易 关系。利用这些原则表达形式，就可以进一步用物理算符实现这些关系， 从而可以将哈密顿量具体化。 在量子力学中，我们已经知道了李代数等一些基本的对易关系。但是， 这些对易关系的形式差剐很大。可否给出一个概括性更强的对易关系式， 从而有利于从更一般的角度讨论算子间的对易关系呢? 我们说r t t 关系 就是一个概括了许多已知对易关系的，具有更广泛的形式的对易关系，它 有利于从更一般的角度讨论算子的对易关系。并且，r t t 关系原则上也提 供了哈密顿量及其它守恒量的形式，从而可以建立整个动力学系统。 我们知道，对易关系的核心，在于算符的先后次序不能随便颠倒。例 如，如果注意到次序的重要性，并将诸如动量，角动量等多种算符放在一 起考虑( 角动量自己就由三个分量) ，最好的办法是将这些算子排列成一 个矩阵。为此引入一个m x m 矩阵上，它包含了m 2 个矩阵元，每个短阵 元都是量子力学算符。为了区别两个矩阵排列的顺序，应当引入一个参数 “，v ，使得三( “) 与三( v ) 能有所区分，为了包含不同分量的对易关系，应取 矩阵0 ) 与上) 的直积三0 ) o o ) 。由于矩阵三0 ) 的每一个矩阵元l o b0 ) 都是依赖于参数“的算子忱醅1 ，2 ) ，因而称m m 矩阵工所张成空问为辅 助空间，在上0 ) o l ( v ) 中三0 ) 和三( v ) 所张成的两个辅助空问是完全无关 的。矩阵的每个元素l 。( “) 则是量子力学的算子，作用在希尔伯特空间。 从矩阵的运算规则可知，上0 ) o 上卜) 可得到m 2 m 2 矩阵。在此必须注意： 因为上0 ) 与上卜) 矩阵的矩阵元均为算子，所以在直积中，左边矩阵的矩阵 元必须在左边，右边矩阵的矩阵元必须在右边。显然，比较三0 ) o 三( v ) 与 ( v ) 9 三0 ) 的差别，则引起了对易关系。为了决定对易关系，需直积中的 矩阵元出现次序颠倒，因而引入置换算子。在4 4 矩阵表示中，它有如 下表示形式： j p 01 10 ( 1 1 3 ) 置换矩阵的作用是：当它左乘在4 4 矩阵上时，使中心两行对调；而当 它右乘在4 4 矩阵上时，使中心两列对调。为了产生我们所希望的对易 关系，考虑到p 矩阵与( “) o ( v ) 和( v ) o 0 ) 之问的搭配，为此定义一 个4 x 4 的c 一数矩阵： 盖0 ) ：，+ 舻 01 l0 ( 1 ，1 ，4 ) 从而得到对易关系：r 0 一v 0 ) o 三o ”= 乜( v ) 上0 ) ) 矗0 一v ) 。此式中并 未涉及格点的概念。而在实际物理问题中常常讨论具有许多格点的体系。 此时在每个格点处可定义量子算子。对于玻色型，不同格点处的算子可以 对易，但这并不意味着不同格点处的矩阵厶0 ) 对易。因为在任意格点处 ，0 ) 仍是辅助空闯的矩阵( 只不过它的元素是算子) ，矩阵问一般不对易。 对于多格点体系，我们定义量子整体转移矩阵t ( u ) ，它由局部转移矩阵 三，( “) 连乘得到： ，lil + 丁0 ) = n 厶0 ) = l n 0 江。0 ) l ，0 扛。“) ( 1 1 5 ) 忙】 其中r 标1 , 2 ，n 表示格点，由此得至ur t t 关系： k ( u v 弦0 ) o r ( v ) ) = 仃卜) o 丁0 ) ) r 0 一v ) ( 1 1 6 ) 丁0 ) 与7 1 ( v ) 分别是两个不同的相邻空间，而r 0 ) 则作用在这两个相邻空问 上。由此可见r ( “) 的意义在于描述了一大类相互作用的粒子体系仍有推广 的“置换”对称性，即给定足国) 矩阵，则出r t t 关系确定了量子整体转 移矩阵r ( u ) 与7 1 ( v ) 的矩阵元之间的对易关系，当月= i 或胄= p 时，将导 致矩阵元之问的完全对易。定义r = 护丁0 ) = u - n f ”，) 0 t ( 1 1 6 ) 式两边取 n = o 迹，并利用护0 0 曰) = t r a t r b ，则可得p ，f 叫= 0 ，其中f ( “是恒量。 而驴r 0 ) 对“展丌后得到所有的f 【，从而给出了所有守恒量f ( 一的集合， 它们之f 刚彼此对易。从r t t 关系看，满足( 1 1 6 ) 式的系统必定量子完全可 积，这是非常简单的事实，但具体实现起来并不是一件简单的事。然而， 作为个理论，用如此简洁的形式不但规定了量子算子的对易关系，同时 给出了守恒量集合，而且判定该系统量子可积，这不能不说是一个非常漂 亮的理论。 量子力学中有两个基本的东西，是哈密顿量，二是基本算符间的对 易关系。而r t t 关系的重要性在于：1 ) 它给出了量子整体转移矩阵r 以) 的矩阵元之问的交换关系；2 ) 由巧q ) 生成出系统的守恒量。也就是说， i 盯t 关系是一个概括了许多已知对易关系的，具有更广泛形式的对易关 系，它有利于从更一般的角度讨论算子之问的对易关系。并且，盯t 关系 原则上也提供了哈密顿量及其它守恒量的形式。 总之，r t t 关系足杨一巴克斯特方程系统理论中的基本关系式，是研 究完全量子可积模型的出发点，这个关系不只限于建立对易关系，更重要 的是它同时给出了量子系统的守恒量，其中包括哈密顿量，即规定了系统 的动力学性质。我们知道如果系统的所有运动积分( 守恒量) 能够给出， 则系统是完全可积的，而对于有了完全可积限制的系统而占，r t t 关系提 供了一个最为理想的理论框架，从它出发，可以同时提供哈密顿量和对易 关系，有了这些原则表达形式，就可以进一步用物理算符实现这些关系， 从而可以将哈密顿量具体化。r t t 关系描述相当宽的一大类量子可积系 统，尤其对许多非线性系统更是具有普遍性。 杨一巴克斯特方程有三种类型的解：i ) 有理解，它是无周期的，对 应于y a n g i a n ；i i ) 三角解，它是单周期的，对三角函数对应于实轴上的单 周期函数，对双曲函数卿j x , t 应于虚轴上的单周期函数，三角解对应于量子 代数；i i i ) 椭圆解，它是双周期的。此三者脱胎于经典理论。我们主要研 究了有理解及三角解的情况。q y b e 的解的重要意义在于确定了局域算符 ( 格点上) 之间的交换关系。对给定的一种类型的q y b e 的解，则相应 地确定了一种代数关系，对代数关系的不同物理实现，也就对应于不同的 物理模型。 量子力学中，在处理相互作用系统时，从微扰论的观点，必须用原始 对称性算符作无穷展丌，造成无穷项修正项，这是因为没有找到反映整个 相互作用的严格对称性，因而不能严格处理非线性问题。r t t 关系后又经 德林菲尔德( v g d r i n f e l d ) 进一步发展成新型对称性理论，在1 9 8 5 年， v g d r i n f e l d 在y a n g - b a x t e r 方程的基础上，建立了y a n g i a n 代数理论和量 子群理论旧。y a n g i a n 代数是由生成元i 。和j 。组成的集合，其中f i 。1 组成单李代数，它们遵从如下代数关系： i - ，iu c n v iv ( 1 1 8 ) 【i 一，j 。】_ cx ，j 。( 1 1 9 ) 【jx ，叭，i 。】 - 【lx ，叭，j ，】 2 ax b 。 i 。，i 。，i ，)( 1 1 1 0 ) 【m ，ju 】，【i 。，j ，】+ 【j 。，j ， ，【ix ，j 。】- ( a x p 。c + a 口。c 。 。) i 。，i p ，i ，( 1 1 1 1 ) y a n g i a n 代数的引入源于一维量子多体问题严格解的研究，它在数学 上属于h o p f 代数，从理论物理的角度，它描述了完全量子可积问题中一 类非线性相互作用模型所特有的对称性。y a n g i a n 代数是比李代数更大的 无穷维代数，李代数是y a n g i a n 代数的子代数。d r i n f e l d 阐明了y a n g i a n s 的重要性质：剥于量子完全可积系统，当给定量子杨一巴克斯特方程的一 个解r ( u ) 时，利用r t t 关系能够得到辅助空间中的矩阵元t a b 倒之问的对 易关系，即决定了量子算符死6 倒之间的代数关系，如果取定r ( u ) 为“的 多项式形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元 砖川化= + ，一3 j 所构成的代数不同于李代数，因为它是不封闭的无穷维代 数，这个无穷维代数是由有限个生成元所决定的。而“o 与“。阶的算符问 的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有的关系，那么所有高阶关系 将由它们所决定。可以况正是完全可积性这个特点才导致了这种很强的限 制结果，所以y b e 是我们研究可积系统的一个强有力的手段，而我们又 将r ( “) 为有理解时的代数称为y a n g i a n 代数。y a n g i a n 是数学家 v g d r i n f e l d 于1 9 8 5 年命名的，以表征杨振宁教授在研究多体可积模型中 的杰出贡献。 总之，y a n g i a n 代数的本质：它是无穷维代数，但由有限个生成元构 成。两组基本的生成元，与j 决定了所有更高阶算符的行为。这种现象来 源于系统存在某种强烈限制，并非每阶的元素都是独立的，面这种限制又 是很巧妙的，即只有，与，才是独立的生成元。 自1 9 9 2 年以来，y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数 的结构特点，在量子完全可积模型方面的研究中取得了很大的进展，为物 理中的量子完全可积模型的对称性研究提供了强有力的方法，并给出新的 物理理解和理论结果【m 1 1 7 】。y a n g i a n 作用除了可以描述量子可积模型的对 称性之外，它的另一个重要作用是在李代数范围之外描述量子态之间的跃 迁，即由它的生成元构造出量子态之间的平移算子。 1 2 论文的选题背景及意义 给定y b e 的一个解月似) ，山r t t 关系将给出描述系统对称性的代数 关系。当y b e 的解r ( u ) 矩阵为有理解时，由r t t 关系给出的代数关系是 y a n g i a n 。当y b e 的解r ) 矩阵为三角解时，由r t t 关系给出的代数关 系是量子代数。 当y b e 的解r ( u ) 矩阵为三角解时，求解r t t 关系常需将r b ) 矩阵展 开，当丁g ) 以x 展丌的幂次有限，即存在x 的最高幂次项，并且仅包含x 与 x 。的幂次项时，此时所生成的代数为简单量子代数，它相应于单粒子情 况。简单量子代数在极限情况下将退化成李代数，而李代数是y a n g i a n 的 子代数。由此我们想到，是否存在另外一一种代数，它是t ( x ) 以x 展开的幂 次项，却包含比x 与x “更高的幂次项，由r t t 关系导出一种不同于简单 量子代数的新型代数，它相应于多粒子情况，而且这种新型代数是简单量 子代数的推广，它在极限的情况下退化成y a n g i a n 。通过理论计算表明， 这种新型的代数确实存在，这就是本文所构造的g ，( 2 ) ) 代数。 在极限的情况下，简单量子代数退化成李代数，而本文所构造的 匕0 f ( 2 ) ) 代数将退化成y a n g i a n ，因而我们可以说简单量子代数是g 一变形 的李代数，而艺0 ，( 2 ) ) 代数是g - 变形的y a n g i a n 。从物理角度来说，所谓 匕o ，( 2 ) ) 代数实际上是：如果一类模型没有相互作用时已存在y a n g i a n 对 称性，有了相互作用，尤其是某种非线性相互作用后，这种模型仍有推广 的y a n g i a n 对称性。而构成这种推广的y a n g i a n 对称性很简单：只需将原来 的对称性作q 一变形，其中q 体现了这种相互作用的某种效应。g - 变彤实 7 质上是：山子生成元中包含了参数g ，或交换次序时出现q ，使得独立生 成元的选择发生了变化，从而使整个对易关系也发生了q 一变形。q 这个参 数通常与物理问题中的具体量有关。同y a n g i a n 一样，l g ，( 2 ) ) 代数是严 格描述非线性量子完全可积模型所特有的新型对称性的一种代数，并且 l g ，( 2 ”代数也可以描述量子念之间的跃迁。 1 3 论文的主要研究内容 本文主要研究e g ，( 2 ) ) 代数。杨一巴克斯特方程的有理解对应 y a n g i a n ，而三角解对应量子代数。简单量子代数在极限的情况下退化成 李代数s l ( 2 ) 。砌馏砌聆是李代数的扩展，李代数是妇馏面h 的予代数。本 文研究得出的代数暂时定名为y 。( 5 ，( 2 ) ) 代数，它是简单量子代数的扩展， 而简单量子代数是( 2 ) ) 代数的子代数。( 2 ) ) 代数在极限的情况下 退化成y a n g i a n 。 本文的具体研究内容：首先是以r t t 关系为出发点，通过计算得到 了g 心) ) 代数的基本对易关系，它相应于多粒子情况。然后讨沦x x z 模型长程相互作用实现。 第二章截断t ( x ) 所产生的代数 在物理上，从量子逆散射方法出发去讨论对称性，基本出发点不是代 数结构本身，而是先给定r 矩阵，求解转移矩阵的矩阵元乙g ) 所满足的 对易关系，再建立物理模型和产生新型代数结构，即从物理角度，r 矩阵 是出发点，霍普夫代数是衍生物。这种处理模式为 f r t ( f a d d e e v - r e s h e t i k h i n - t a k h t a j a n ) 方案。f r t 方案的优点是便于和物理 模型联系，因为哈密顿量来源于r t t 关系中的丁( x ) 矩阵，而量予代数由 l 。g ) 对易关系决定。虽然r 矩阵依赖于表示，但l 。0 ) 的子集中每个元 素皆为量子空间中的算符，这些算符间的对易关系确是与表示无关的。 当给定r 矩阵为有理解时，一般情况下r ( x ) 应展开成如下形式： r g ) = x - n z ”，t ”= 0 磁并且磁均为量子算符，即彼此不对易。在 数学上，德林菲尔德( v g d r i n f e l d ) 已经证明，对于任何有理解形式的r 矩 阵，只有r ( 1 ) 与r ( 2 ) 是独立的，而高于 2 的丁( “) 原则上可以由它们决定 出来。丁( 。) 具有啦李代数结构，而7 1 ( 】与7 1 ( 2 ) 并不形成李代数：但7 1 ( 1 ) 与r ( 2 ) 的矩阵元在一个更大的集合意义下是封闭的。，( 1 ) 与7 1 ( 2 ) 中的独立生成元 构成的集合称为y a n g i a n 。 当给定y b e 的某个三角解时，即月可以用工的多项式表示时，满足 r t t 关系的矩阵展丌为：丁g ) = x t ，t “= l 啮1 一般蜕来，如果 不考虑仿射代数，用辫子群( b r a i dg r o u pr e p r e s e n t a t i o n 缩写为b g r ) 表示 经过杨一巴克斯特化( y a n gb a x t e r i z a t i o n 缩写为y b ) 得到矗时，含z 的幂 次并不高，甚至只是x 的线性函数，但丁b ) 却含无穷次幂。在本章，我们 将考察当丁g ) 含有限次幂时，由r 1 、t 关系所引进的代数。 2 1 简单量子代数 由于矩阵r b ) 的三角解一般可写成谱参数的多项式，可以想到，也可 以利用将r 0 ) 展开成x 幂次形式求解r t t 关系。考虑b g r 有两个本征值 的情况，这时为t x 另f ，用三0 ) 代替丁b ) 。 r = x r + + x r 一 ( 2 1 1 ) 其中r + = s ，r 一= 一s 。相应地，三g ) 满足： 盖b 。1 n g ) 。三) ) = ( 三) 。上g ) ) 盖b ，)( 2 1 2 ) 并令 三g ) = x l ( 1 + x 1 ( 2 1 3 ) 将( 2 1 1 ) 式与( 2 1 3 ) 式4 q c k ( 2 1 2 ) 式中，由于镕。：，( 盖+ ：盖一：一) ， 只有以下关系式是独立的： s ( 庐o 庐t ) ：tj 0 t ，) b s 洳。删) ：。b ( 2 1 。4 ) s 遵从辫子群关系：s 1 2 s ：，s ：= $ 2 3 s ，：s ：，这个关系的解称为辫子群表示， 简记为b g r 。即1 2 自旋模型，其中 s = 口、 q 一 ? q 一乙，f ；s = l一( g j g 一j 阜j lg ( 2 1 5 ) 4 i - ( 2 1 5 ) 式代x ( 2 1 4 ) 式，写卅所有的关系，当中有一些是不独立的，稍 作化简后，得到以下关系式： 盯= l ，i ，= 1 ，2 ( 对仃，i ，j 相重不求和) 三；= 0 k 1 l o = 0 ( i ，= 1 ，2 j ：1 ) 巧矗2 = q + ”( 7 耳2 嚣 珲砖1 ) = g 一”o ) f - ，t o ，- ，如1 j - - 一g “燧1 删一l 0 ) 1 ( - ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 佗1 1 0 ) s ( 1 ) = 一1 ，占( 2 ) = + l ( 2 1 7 ) 式表明 = 管爱) ，) = 衰：；啦0 ) c z ， ( 2 ，1 8 ) 式表明庐1 ) 中对角元间都是对易的。满足的简单形式，可( 令 q = g 一1 ) 记0 2 ) 为： 一) ：f k 10 则简化为： ( 9 一q k 一1弦+ p = 一( 9 譬归一昙 b ：， k x + k 一1 = q 1 x 2 x 一】_ 等 。1 1 3 这个对易关系是通常“( 2 ) 的推广：当q 斗1 时，取k = q 扎= e i m ，其中 g = e ”，它回到通常的s ，( 2 ) 对易关系。因此，我们认为简单量子代数是g 变形的李代数。 2 2y 。( s l ( 2 ) ) 代数 当y b e 的解是三角解时，r g ) 的展开式为有限的，即含有最高次幂 相当于强加了截断条件。当，g ) 包含x 和x 。的幂次项时，由r t t 关系得 到了简单量子代数，它相应于单粒子情况。这是在本章第一节的内容，而 第二节我们主要讨论t ( x ) 以x 展开的幂次项，却包含比x 与x “更高的幂 次项，由r t t 关系导出- , e e 不同于简单量子代数的新型代数，它相应于 多粒子情况，这就是匕0 ，( 2 ”代数。 现在我们就来考察三格点的情况，三格点整体转移矩阵为 丁g ) = 厶g 讧：b e ，0 ) = ( 、x z g 。) + x - 1 4 - | ) 艘) + x - i 西”) 1 ) + x - i 掣) = x 3 4 0 鹋上1 1 ) + x 雠鹋即+ 砖西上5 1 ) + 西“l ! 。i ) l 0 ) + x 1 蜮西。西“) + 西1 鸡巧1 ) + 西。喀1 西) + 工。巧”西1 骂“ 与上式中的x 的幂次相对应，我们记r ( x ) 为 r g ) = x 3 r ( 3 ) + x 丁( 1 ) + x 一1 r ( 一1 ) + x 1 3 r ( 一3 1 ( 2 2 1 ) 由于r t t 规定的关系式极多，为了获取充分解。常常事先根据经验 预先设定丁( ”) 中的某些矩阵元为0 ，这将大大简化计算。这种解绝不是唯 一的，本质上是猜解，强烈的依赖于经验。在此，我们取r ( 。3 ) 为下三角形， 而t 0 ) 为上三角形。因而可将r 0 ) 写成如下形式： r b ) = x 3 r ( 3 ) + x t ( 1 ) + x 一1 丁( 一1 ) + x 3 7 _ 七 麟豺x 吲势x “料x 。 = x 3 ( 弯篡) + x 荔；荔) + x 。 薯：；篆：； + x 。( 象i 芝，) ( 2 2 2 ) 然后，我们仿照上一节的形式求解r t t 关系。其中，盖b1 ) 耿如下形式： 盖b1 ) = 叫一1 s - xl y s 1 ( 2 2 3 ) 而s 和s t r ( 2 1 5 ) 式的形式。 将( 2 2 1 ) 式和( 2 2 _ 3 ) 代入r t t 关系： 盖b 一1 ) ；、0 ) 手( y ) = 手) ；1 g ) 盖( 匆，) 左右两边分别得： 盖b 一一) 士g ) 手) = b 一1 s - xl y s 一- ) g ) 手) = x 4 y 2 s t 3 ) 丁( 3 ) + 石4 s t ( 3 ) 丁( ) + x 4 y 一2 s t ( 3 ) ，卜1 ) + x 4 y - 4 s t ( 3 ) r ( 一3 ) + x 2 y 2 s t o ) t 3 ) + x 2 s 7 _ ( 。) 丁( ) + 工2 y 一2 s t ( i ) r ( 一1 ) + x 2 y - 4 s t ( 1 ) 丁( 一3 ) + y 2 5 t ( 一1 ) 丁( 3 ) + s 丁( 一1 ) 丁( 1 ) + y 一2 s r ( 1 ) r ( 1 ) + y - 4 s t ( 一1 ) 丁( - 3 ) + x 一2 y 2 s t ( 一3 ) r 。) + x2 s r ( 3 ) 丁( 1 ) + x 一2 y2 s t ( 一3 ) r ( 一1 ) + x - 2 y - 4 s 丁( 一3 ) 丁( 一3 ) 一x 2 y 4 s 一1 ，( 3 ) 丁0 ) 一x 2 y 2 s 一1 t o ) t ( ”一x 2 s - t t ( 3 ) t ( 一l i x 2 y - 2 s 一1 r ( 3 ) 丁( 3 ) 一y 4 s 一1 t 0 ) t ( 一y 2 s1 r ( 1 ) r ( ”一s - i7 1 ( 1 ) 丁( 一“一y 一2 s - r ( 】) r ( 一3 ) 一x - 2 y 4 s 一1 丁( 一) 丁( 3 1 一x - 2 y 2 s 一1 r ( 一1 ) r ( ”一x - 2 s 一1 丁( 一) 丁( 一”一工一2 y 一2 s - ，( i ) 丁( 一3 ) 一x y 4 s 一1 丁( 一3 ) r 3 1 一x - 4 y 2 s 一1 ，( 一3 ) 7 1 ( “一x s 一17 1 ( 一3 ) 丁( 一1 l x - 4 y - 2 s 一1 t ( 一3 ) ，( 一3 ) f 2 2 4 ) ；( y ) 士g ) 盖b 一- ) = 旭) 抓胁一，s - x q y s 一- ) = x 4 y2 r ( 3 ) 丁( 3 ) s + x 2 y 2 r ( 3 ) 7 1 ( 1 ) s + ，27 1 ( 3 ) 丁( 1 ) s + x _ 2 y t ( 3 ) t ( - 3 ) s + x 4 丁( 1 ) 丁( 3 ) s + x 2 丁( 【) 7 1 ( 。) s + 丁( j r ( 一j s + x 一2 丁f 1 ) r ( 一3 s + x 4 y 一27 1 ( 一。) 7 1 ( 3 ) s + x 2 y 一2 丁( 一) r ( 1 ) s + 少一2 丁【一1 ) r ( 一) s + x - 2 y 一2 t ( - 1 ) 丁( 一3 ) s + x 4 y t ( - 3 ) 丁0 ) s + x 2 y 4 r ( 3 ) 丁m s + y - 4 ，( - 3 ) r ( - 7 ) s + x - 2 y - 4 r ( 一3 ) r ( 一3 ) s x 2 y 47 1 ( 3 ) 丁( 3 ) s 一y 4 r ( 3 ) r ( 1 ) s 一一x - 2 y 47 ( 3 ) 丁( 1 ) s 一x - 2 y 4 丁( 3 ) 丁( 一3 ) s x 2 y 2 r ( 1 ) r ( 3 ) s 一一y z r ( 2 ) 7 1 m s x - 2 y 2 r 1 ) r f 一1 ) s 一石- 4 y2 r ( ) r ( 3 ) s x 2 丁 一1 ) 丁( 3 ) s 一丁( 1 ) r ( 1 ) s 一x 2 t ( 一o t ( o s 一x _ 4 丁( 一0 t ( - 3 ) s 一x 2 y 一2 r ( 一3 ) t f 3 ) s 一一y - 2 r ( 一3 ) ，7 ) s 一x - 2 y - 2 r ( 3 ) r ( 一4 ) s 一x - 4 y - 2 r ( 一3 ) r ( 一3 ) s ( 2 2 5 ) 由r t t 关系可知( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 式是相等的，i ：t 较x ，y 的同次幂可 得如下相互独立的对易关系式： s t ( 3 ) 丁( 3 ) = t ( 3 ) t ( 3 ) s ；s t ( 1 ) ，( 一3 ) = 丁( 一3 ) 丁( 1 ) s ： s t ( 3 ) r ( ) = r f l ) r d ) s ： s t ( 一1 ) r f 一3 ) = t ( - 3 ) t ( 一0 s s t ( 3 ) r ( 一1 ) = 丁( 一1 ) t 1 3 ) s ；s t ( 一3 ) 丁( 一3 ) = 丁( 一3 ) 丁( 一3 ) s s t ( 3 j r ( 一3 j = r ( - 3 ) r 0 ) s ： s t ( 1 ) 丁( 3 1 一r ( 3 ) 丁( 。) s = s - i r ( 3 ) ，( ”t o ) t ( 3 ) s s t ( 1 r ( - “一t ( - 1 r ( j s = s - a t ( 3 ) t ( - 3 ) 一r f 心净( 3 ) s s t ( 一3 ) 7 1 ( 一丁( 3 ) 7 1 ( 一3 ) s = s 一1 r ( 一) 丁( i ) 一t o ) t ( 一1 ) s s t ( - 3 ) r ( 一“一r ( 一) 丁( - 3 ) s = s2 t ( - ) r ( - 一r ( 一3 ) t ( - o s s t i ) 丁( “一r ( 1 ) ，( 1 ) s = s - 1 r ( 3 ) ，( 一”一丁( 一i ) t ( 3 ) s 1 4 s t ( 一3 ) 丁( ”一丁( 1 ) 丁( 3 ) s = s1 丁( 一1 ) 丁( 一1 ) 一丁( 一1 ) 7 1 ( 一1 ) s s t ( 一1 ) 丁( 3 l 一丁o ) t i o s = s i t ( 1 ) r ( ”一7 ( ”丁( 1 ) s s t ( 一i ) r ( 一”一r ( 一1 ) 7 1 ( 一1 ) s = s 一1 丁( 1 ) r ( 一引一t ( - 3 ) 丁( 1 】s s t ( 一1 ) 丁( ”一7 1 ( 1 ) 7 1 ( 一1 ) s = s1 ，( 1 ) 7 _ ( 一“一r ( 一1 ) t o ) s 为了计算方便，我们先不具体计算以上关系式，而将以上关系式统一 成下面的两种形式： s t ( 。) 丁( 8 ) ：丁( 8 ) r ( “) s s t ( “】丁) 一r ( 8 ) r _ ) s = s 一1r ( 1 ) r ) 一，( o ) r ( ( 1 ) s 为了计算以上两式，我们把s 和s t x ( 2 1 5 ) 式的形式，同时，t 矩阵 写成如下的形式 z 一= ( 荔：裘： cz 分别取作爿，b ，c ，。， 然后，我们分别计算s r ( 。) ，( 川，丁( 8 ) 丁( “) s ，s - 1 丁( 1 1 r ( 川，丁( o ) 丁r ) s1 各项。 其中 f q t l ? ) 砰 刚啊：i 砑球 la i q t ( 2 ；蹬 g 啸踏 嗜嘴) b q 砑砖 日= 球喀1 + 0 一q “船球； c = 正踏+ g q 。磅l p f g 柙1 即) r 砂虹懈搿 l g 喈砑) 一字搿 互垆蹬 蹬冲 t 望1 t 冀 q t ( a ) t ( 】8 ) 蹬k 宁 q 磁喀 夏p 五r 砰蹭 喈1 喀 t 辨t 轻 5 q 瓦字五p 蹬蹬 d q t 警、t 墟 6 = 瓦p 1 夏望) + b q 1 f 掌互字 d = 五圹正字) + ( g q 1 p 尝正圹 + + + + g 正字互， g 踏蹬 g 踏互字 q t 攀t 骁 、， 球搿砰砰船船飕踏 一叫一叫一叫一1 g g g g f q 一1