（运筹学与控制论专业论文）组合投资中的优化模型分析与求解.pdf

摘 要 现代组合投资理论是关于在收益不确定条件下投资行为的理论， 它 是由 美国经济学家 h a r ry m a r k o w i t z 在 1 9 5 2 年首先提出 来的.此后， 人 们做了不懈的研究。 将该理论进行推广、 改进、 发展和完善. 最近， 邓小 铁， 李仲飞和汪寿阳提出了一种新的投资组合选择方法 极大极小方 法， 然而没有考虑交易中的交易费及不允许卖空和借贷的限制. 在本文中， 我们考虑与交易量成比 例的交易费及税收两种摩擦的情 况。 还同 时考虑不允 许卖空和借贷这两种限制， 于是我们 的模型相对更加 符合中国的实际情况. 本文仔细分析了该模型的数学特征: 它是一个带有约束条件的非光 滑 优化问 题， 且目 标函数是二次函数. 首先我们 对协方差矩阵是对角矩阵 的 情况进行研究， 并给出 行之有效的解决方法. 此外， 我们 提出了一种新 的算法次梯度投影算法， 并严格证明了它的收敛性. 然后， 用次梯 度投影算法来解决协方差矩阵 是半正定矩阵时的 带交易费和税收及不允 许卖空和借贷情况下最优投资组合的极大极小间 题. 关键词: 组合投资; 极大极小方法;投影; 次梯度. a b s t r a c t t h e m o d e r n p o r t f o l i o s e l e c t i o n t h e o ry i s c o n c e r n i n g i n v e s t m e n t b e - h a v i o r a l t h e o ry u n d e r u n c e r t a i n i n c o m e . i t w a s f o r m u l a t e d fi r s t l y b y a n e c o n o m i s t o f t h e u n i t e d s t a t e s h a r r y ma r k o w i t z i n 1 9 5 2 . f r o m t h e n o n , r e s e a r c h e r s p e r s i s t e d i n s t u d y i n g t h i s fi e l d , g i v i n g g e n e r al i z a t i o n s , i m p r o v e - m e n t s t o t h i s t h e o ry . r e c e n t l y , d e n g , l i a n d wa n g p r o p o s e d a n e w p o r t - f o l i o s e l e c t i o n m e t h o d t h e m i n i m a x m e t h o d . h o w e v e r , t h i s m e t h o d d i d n o t c o n s i d e r t r a n s a c t i o n c o s t s a n d t h e a d d i t i o n a l r e q u i r e m e n t s o f n o s h o r t s a l e s a n d n o b o r r o w i n g s . i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e b a s i c m o d e l c o n s t r a i n e d w i t h t a x a n d t r a n s a c t i o n c o s t s w h i c h a r e i n p r o p o r t i o n t o t h e q u a n t i t y o f t h e t r a n s - a c t i o n , a s w e l l a s t h e a d d i t i o n al r e q u i r e m e n t s o f n o s h o r t s al e s a n d n o b o r r o w i n g s . h e n c e o u r m o d e l i s c o m p a r a t i v e l y a c c o r d w i t h t h e c h i n e s e a c t u al c i r c u ms t a n c e mo r e . t h i s p a p e r c a r e f u l l y a n a l y z e t h e m a t h e m a t i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o d e l : i t i s a c o n s t r a i n e d n o n s m o o t h o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , a n d o b j e c t i v e f u n c t i o n i s q u a d r a t i c . f i r s t l y , w e d i s c u s s t h e c a s e i n w h i c h t h e v a r i a n c e- c o v a r i a n c e m a t r i x i s d i a g o n a l a n d g i v e a n e ff i c i e n t m e t h o d . i n a d d i t i o n , w e p u t f o r w a r d a k i n d o f n e w a l g o r i t h m -s u b g r a d i e n t p r o j e c t i o n m e t h o d , a n d s t r i c t l y p r o o f t h e c o n v e r g e n c e o f i t . t h e n , c o n s i d e r i n g t h e c as e i n w h i c h t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x i s s e m i - d e fi n i t e , w e u s e s u b g r a d i e n t p r o j e c t i o n m e t h o d t o s o l v e m i n i m a x p r o b l e m f o r p o r t f o li o s e l e c t i o n w i t h t a x a n d t r a n s a c t i o n c o s t s i n t h e c ase o f n o s h o r t s al e s a n d n o b o r r o w i n g s . k e y w o r d s : p o r t f o l i o s e l e c t i o n ; mi n i m a x r u l e ; p r o j e c t i o n ; s u b g r a d i e n t . 2 第一章绪论 1 . i 现代组合投资理论发展简介 投资者投资于某种资 产是为了 获取收益， 由 于不确定因素的影响， 使 得投资结果取得的未来收益具有不确定性，因此投资者必须承担相应的 风险， 如债券、 股票、 房地产的投资等. 为了减少风险 获取较为稳定的收 益， 投资者一般选择将资金分散投资于不同的资产， 这就是资产组合， 研 究如何将资金按一定比 例分散投资于不同资产的决策模型称为组合投资 决策模型， 相关的理论称为组合投资理论. 1 9 5 2 年h a r r y m a r k o w i t z ls l 发表t 题为” p o r t f o l i o s e l e c t i o n ， 的文 章， 建立了组合投资的最优选择模型， 提出了寻求有效前沿的方法， 该文 标志着现代组合投资理论的 开始， m a r k o w i t z 也因 此成为现代组合投资理 论的奠基人. 今天人们在处理组合投资中的收益一 风险分析时， m a r k o w it z 理论始终是一种基本工具 ma r k o w i 七 : 采用方差作为度量风险的 尺度， 建立了 著名的均值一 方差 模型( e v模型) .在e v模型中， 投资者选择满足下列条件的e v有效 资产组合进行投资:(1 ) 在既定风险水平下， 收益最大;( 2) 在既定 收益水平下， 风险最小. 所有e v有效资产组合对应的收益和风险( 方差) 形成的轨线称为有效前沿. 1 9 6 4 年 、1 9 6 5 年 、1 9 6 6 年 ，w i l li a m s h a r p e lu l , j o h n l i n t n e r 15 1 ,j a n m o s s i n 19 1 三人 在h a r r y m a r k o w i t : 的 组 合 投资 理论 基础上 分 别独立 地 提 出 了 著名的 资 本 资产 定 价 模 型( c a p m ) ， 用 资 产的 预 期 收 益 率e ( r ) 与0 系数的 关联描述收益一 风险间 的关系， 从而大大简化了运算， 为组合投资 第一章 绪论 理论应用于实际提供了可行的途径， 标志着组合投资理论的成熟. 由 于标 准的资本资产定价模型由 一系列理想的假设条件， 为实际应用带来了许 多困 难， 因此人们围 绕资本资产定价模型的前提条件展开了大量研究. 例 如 ，1 9 7 1 年 和1 9 7 2 年，v as i c e k 1 8 和b l a c k ) 均 研究 了 不存 在无 风险 资 产 借 贷 时 的 资 本 资 产定 价 模型;1 9 7 3 年，b r e n n e n 2 l 放 宽了 资 本 资产 定 价模型的无税收假设， 把税率对资产风险报酬的影响考虑了进去等. 1 9 7 6 年。r o s s 突 破 性的 发展了 资本资产定价 模型， 提出了 套利定价 理 论(apt)， 他 认为 证 券的实 际 收 益是 分 别受 经 济中 许多因 素 变动的 敏感性大小的 影响. 该理论并不需要像资本资产定价模型那样严格的假 设条件， 而模型形式与多指数模型相同. 在我国，自8 0 年代初恢复发行国库券以 来， 随着股票、 证券等的发 行量不断上升， 对该理论的研究也从无到有越来越快的 发展起来. 我国学 者已 经在这一领 域做出了 许多重要的 贡献. 例如: 马 永开、 唐小我四， 丁 元 耀同， 杨 德 权、 胡 运 权 和 刘鹏 伟2 4 1 ， 张 京 和 马 树 才2 7 研究了 不 允 许 卖 空时 投资组合模型、 计算方法和有效前沿的性质. 李楚霖和胡国政!1 8 ， 李 仲飞 、 汪寿阳 和 邓小 铁7 ， 刘 海龙、 樊 治 平 和 潘德 惠11 9 1 ， 研 究了 带交易 费 的投资组合选择间题等等. 在投资 组合 决策的研究中. 徐大江2 3 1 提出 了 多目 标 决策方法， 李仲 飞、 李仲翔、 汪寿阳 和邓小铁6 1 提出了 交互式 方法， 邓小铁、 李仲飞和 汪 寿阳4 1 ， 郑立辉、 张兢田 和 鲍新中2 8 1 提出 了 极大极小方 法等等. i .z组 合投资 选择 荃 本模型 1 . 2 组合投资选择基本模型 为了分散风险并取得适当的投资收益， 投资者往往采用组合投资的方 式， 即把一笔资金同时 投资于若干种不同的资产. 这 就需要利用适当的模 型来进行决策分析. 本节将扼要的介绍几个最基本的组合投资选择模型. 1 . m a r k o w i t z 模 型的值一 方 差模 型 ) 它是用均值( 即 数学 期望 ) 来表 示收益的 好坏， 用方差来度量风险的 大小. 设有。 种资产， 它们的收益率分别为f l , r 2 , i f . ， 来表示，这些 t i 都是随机变量， 并且假定 r i 的期望值和它们的协方差都是已 知的. 记 r =(fl, r n ) t , r = e i = ( e f 1 , , e f ) t =(r l , i r n ) t , v = v a r r = e ( t 一 r ) ( r 一 r ) = ( q ij ) , 则: 和v是已 知的. 考虑一个投资组合p ， 其在各个资产上的投资比 例 用向 量x二( x 1 , x 2 ， 一， x ) t 表示，自 然有e 几 1 x i =1 . 如 果不允许 卖 空， 还有约束条件x0 . 投资组 合p的 收 益为补=t t x ， 期望收益为 r p 二产二 ， 收 益的 方 差( 代 表 风险 ) 为峪= x t v x . m a r k o w i t z 提出， 理性的 投资者总是寻求 这样的投资组合x ， 它 在给 定期望水平r o 的条件下 是风险达到最小， 即求解 x t v t r t x r o e 几 ， x i =i , x _氏 第一章 绪论 或在给定风险水平 v o 的条件下是期望收益达到最大.即求解 max t t x s . t . x t v x _ v o 艺 几 i x , =i , xz几 上述两种模型实际上是等价的， 2 . 安全一 首要模型 安全 一 首要模型有三种形式: i . 要求组合投资的收益补低千给定生存水平 r的概率达到最小 m in p ( r p r ) i i . 组合投资在其收益 f p 低于给定生存水平 r的概率不超过指定的 小概率 。时，要求它的生存水平达到最大 p ( t pr ) a . i i i . 组合投 资在其收 益今低于 给定生 存水 平r的概 率不 超过指定的 小概率 a时， 要求组合投资的 期望收益达到最大 ma x ef p s .t . p ( r p _八 斗 ， ( : 二1 , - - , n ) ; ( 2 ) 每个风险资 产的 期望收益率落在一个已 知的区问里，即 0.三r ; g b ; ( i =1 , ， 司 其中a : 和b ; 是常 数 . 和 b ; 可以 是 历 史 观浏 值 ， 也可以 是 通 过概 率模型对书来收益的模拟值. 假设 2 . 1 .3交易费在期末支什但在期初就已 确切知道. 假设 2 . 1 .4不允许卖空风险资产和借贷无风险资产. 假设 2 . 1 .5总资产价值及每一资产的股数在交易 过程中保持不变. 其中 ， 假 设2 . 1 .3 和假 设2 . 1 .4 有 别于 文献(4 和 文献( 1 5 ! 中 的 假 设， 因 为在我们的 模型中考虑了交易费及不允许卖空风险资产和借贷无风险 资产， 更加符合实际情况. 1 0 第二章 带交易费及不允许卖空和借贷情况下最 优投资组合的极大极小方法 w “ = 艺p :x o 十 x n 十 、 ( 2 . 1 . 1 ) 是由 价格系 统( p i , p 2 , . . . , p n ) t 确 定的 初始 投资 组 合的总 价 值， 假设为正. 由 假设2 . 1 .5 知 艺 p : x . + x + l = w o( 2 . 1 . 2 ) y i= a 兰 生 w y o p : x . 分别是交易后和交易前投资在资产 由( 2 . 1 .1 ) 和( 2 . 1 .2 ) 式有 ( i =1 , 艺 y o w0 ， 。 +1 ) ( 2 .1 .3 ) 上的资金比 例. 则 ( 2 . 1 .4 ) 一一 从 州艺倒 投 资 组 合二 =( x i , x 2 , ， 十 1 ) 扣除 税收 和 交 易 费 后的 随 机 净 收益 是 ( 1 一 t ) 艺t sp ix i + ( 1 一 t o ) r n + l x .+ ， 一 k yp i i x : 一 二 0 ( 2 . 1 . 5 ) 随机收益率为 r ( 71 ) = ( i - ， ) 艺t iy i + ( i 一 ， o ) r . + l y , + ， 一 k y】 ， 、 一 y 4 i( 2 . 1 . 6 ) 则随机收益率的期望值和方差分别是 e (r ( y ) = ( 1 一 t ) 艺r , y ; + ( 1 一 o ) r n + l y n + : 一 k y- 二 一 y : v a r 1 ? ( y 1 = ( 1 一 护艺艺%从 功 1 =1 i =1 l 。 2 .1问 题的 陈述与建模n 投资者的目 标是最大化 f ( y , r ) = ( 1 一 。 ) m= 1 ( 1 一 t ) r i y i + ( 1 一 t o ) r , + i y , + ， 一 k e i = i ， 一 y 0 i 一 。 ( 1 一 t ) 2 e j= , e ; = , ir ij y iy j ( 2 . 1 . 7 ) 1 一 。和。 分别 是 指 标e r ( y ) 和v -r ( y ) 的 权系 数 . 参数。可 解释 为投资者的风险厌恶因 子. 。越大， 投资者越厌恶风险.当以=1 时， 投资者极度保守，因为此时投资者仅考虑了投资的风险而没有关注投资 的收益. 相反。 当=0 时， 投资者极其冒 险地仅追求投资的收益. 假定 投 资者既不极度保守， 也 不 极其冒 险的仅迫求投资的 收益， 即。 0 , 则y 必为问 题( 2 . 2 .2 ) 的最 优解 ( 2 ) 若公 存在。个负 分童y i . , y-, 则问 题( 2 .2 .2 ) 的最优解必在 集 合c = u r , c i: 中 . 其中c i , = ， j v i, =。 ， e n + l即 和 这些 投资比例j i l l , , i y im对应的资产中 至少有一种是冗余资产 ( 冗余资产是 指排除在不 允许卖空的 最优投资 组合结构之外的资产 ) . 证: ( 1 ) 显然. 1 4 第二章 带交易费及不允许卖空和借贷情况下最 优投资组 合的极大极小方法 ( 2 ) 应 用 文 献1 7 的 证 明 思 路 ， 用 反 证 法 . 假 设歹 = ( tj_ l , , y n + 1 ) t ? 0 为 间 题俘2 .2 ) 的 最 优 解 ， 但y 彭 c 即歹 e 门 灌 ， 众 ， ， 其 中众 ， 为q的 补 集. 从而乡 的 分量满足y . , 0 ( l =1 ， 一， 。 ) ， 其余 分量为非负. 显然， 红 与公 不同. 令0 ( a ) =a y +( 1 一a ) y， f ( a ) =f ( g , r * ) ， 。e 0 , 1 . 显 然有 e 皆y i =a e i i l y . + ( 1 一 a ) e 忿 y i 二1 ， 即y 为间 题( 2 .2 . 3 ) 的 可 行解. 经计算 f ( a )= f ( 9 , r ) = f l a y +( 1 一。 ) ， ， : * ) = f ( ( y 一 y ) a 干y , r ) = ( 1 一 。 ) e ,7 = 1 ( 1 一t ) r * ( ( y ; 一y ) a +y t ) + ( 1 一 t o r n + 1 ( w n + : 一 y.+1) a + 1j - + i ) _ k f n 1 ( ( y . 一 oc t + 9 t ) 一 y o !) 一 、 ( 1 一 t ) a 几 i - i q ii ( ( y 一 ma + y i ) ( ( y i 一 0a + y i ) 在f ( a ) 中 。( 1 一 。 ) 1e ; ,= 1 ( 1 一 t ) r i ( ( v i 一 ma + y i ) +( 1 一 t o r n + i ( u n 1 ， 一 y n + i ) a 十 如 十 i ) l 为 关于a的 线 性函 数 . 一 ( 1 一 rw ) k e 几 i ( ( 歹 一 众 ) a 十 妇一 岭 为 关 于。 的 绝 对 值函 数， 易 证， 它 为 关于a 的 凹 函 数一 、 ( 1 一 t ) z e 几 i e 弘 l a ii ( ( p i 一 y i ) a 十 y i ) ( ( y i 一 y i ) a + 妇为 关 于a 的 二 次 函 数 ， 其 中 a ， 项 的 系 数 为一 。 ( 1 - t ) 2 艺 几 ， e 共 ， -ii ( y i - y i ) %一 勿 ) 因 为v 一 ( -ii). 被 假 设 为 正 定 的 ， y 与y 不 同 ， 所 以一 。 ( 1 一 护e 几 ， e 界 1 叱呱一 妇( p i - 动 f ( v , 内 二f ( a ) ， 故有f ( 0 ) f ( 1 ) 因 为f ( a ) 为f0 , 1 1 上的 严 格凹 函 数， 依据严格凹函数的定义可得 对任意a e ( 0 , 1 ) ， 有 f ( ( 1 一a ) 0 +) , l ) ( 1 一a ) f 0 ) +o f ( 1 ) ( 1 一 a m1 ) +a f ( 1 ) = f ( 1 ) 所以对任意 a( 0 , 1 ) ， 有f ( a ) =f ( ( 1 一a ) 。 十a l ) f ( l ) = f ( y , r ), 由 于y ( a ) 关于 a连续， 且 y ( 1 ) =乡 ， 所以在 1 的附近存在 a ， 使 y ( a ) 的 分 量 满 足i , o ( i 二1 , ， 二 ) ， 其 余 分 量 非负 . 从而p ( a ) 为问 题 ( 2 .2 . 2 ) 的可 行解， 且 f ( 9 , r ) =f ( a ) f ( 1 ) =f ( y , r ) 这 与歹二( 乡 : ， ， 瓜 十 1 ) t七。 为问 题俘2 .2 ) 的 最优 解矛盾， 所以 假设 9 0 c不成立. 故原命题成立. 令y =( y l , ，, y . ) t ， e =( 1 ， 一， 1 ) t e r n , 则问 题( 2 .2 .3 ) 变 为 m a x ( 1 一 。 ) ( 1 - t ) r * t y + ( 1 一 o ) r . + 1 ( 1 - e t y ) - k e y + - y 0 一 。 ( 1 - t ) 2 y t v y 由 于 v被假设为正定的， 上面问题的目 标函数是严格凹的. 利用凸 分析 的 知识 ( 可见参考文献 1 2 ,2 2 ,2 5 1 ) 可知该间 题有唯一最优解 y ， 且0 e o f ( y , r * ) . 令9 e o f ( y , r ) ， 则 9 =( 1 一 。 ) ( 1 一 t ) r * 一 ( 1 一 t o ) ?-. + i 。 一 k , f ) 卜 2 w ( 1 一 t ) 2 v y 1 6 第二章 带交易费及不允许卖空和借贷情况下最优投资组合的 极大 极小方法 其中口 ( 功=( 伪( 训 ， 二， 凡( 功 ) t 且对每一个 =1 , 2 ， 一 n , 若 y i y 0 若 y i =y o 若 y i y o y i h ; + 2, ( i - t )2 k0,. 2 + y o 艺l l y i . 若h ; + 枪 娇 k o ; 2 绪= * q c ( 功=1 。y ; =h 一 1一 tv y : y o 时 ， 二 7 h i 一 ( i- t)z k a - 2 ， 则 a m 0 1 且y i 5 m o . 当众 衅时 ，a(y) 一 且 i 一 “ 一 裁 t- )z k a i z , 所 以h i - 2w ( i - t)z k v , 2 必又 由 于z . (i - t)2 k o i 2 0 + 故h i + 瑞 饰 k o ; 2 岭与 已 知矛盾. 当y i 一 好时 ，y ; e 内一 - - 百 k o , - 2 + 瓦 旨z k o ; 2 1， 所 以 ， y o 一 y i h ; + 局 - 砰 k o ; 2 与 已 知 矛 盾 ， 故 2 ) 式 成 立 (3 ) 反 证 若 当 h 一 (- = 分 k o s 2 y 0 y o 或y ; 衅时 ，反 叻一 1 且y i 一 从 一 沛场k o s 2 , 所 以 由 已 知 有 y i y i 矛 盾， 当 y i 0 : 令 x k + l =x * 一 。 k g k l 】 9 k !( 3 . 1 . 6 ) k: 二k 十1 ; 转步 2 引 理 3 .1 .2 -it f ( 二 ) s : 是凸函数，集合 x ! f (x ) 一 f 一 m ie n f ( x ) ( 3 . 1 . 7 ) 非空， 知果二 * v s , 则 付任何x . s * , 9 k o f ( x k ) , 必存在t a; 。 使得 。 、 一 南* 一 x 1i0 , 必存在 r 0 使得次梯度算法在a 、 三a e ( 0 , 门时有 1 巴梦f ( x k ) 0 , limk-,- a k =0 , - q 8艺阔 定理3 . 1 .4设f ( x ) 是凸的， 集合夕 非空且有界. 伽果 a k 满足上 式，则 次梯度算法产生的点列 x k 有 概 d i s t ( x k , s ) 一 0 , ( 3 . 1 . 9 ) 其中d i s t ( 二 ， s ) 由下式定义 d i s t ( x , s ) = m my e s y 一二11( 3 . 1 . 1 0 ) 3 . 2 次梯度投影算法 考虑下面有约束的极小化间题 m i n f ( x ) : x x 1 ,( 3 .2 . 1 ) 3 .2次梯度投影算法 其中x为n 维 单纯 形，f ( x ) 为 在x上的 连 续 但 不可 微的凸 函 数， 有次 微分. 次梯度投影算法: 步 1给出初值x 1 e x , k = 1 ; 步2计算 f ( x k ) ， 以 及9 k e a f ( x k ) ; 步 3选取步长 a k 0 : 令 x k + i =x k ( a k ) : =p ( x 、 一 a k g k / 日 9 k )( 3 . 2 . 2 ) 其中p ( ) 为 到x k : =k 十1 ; 转步 上的 投影( 参见定义3 .2 . 2 ) 2 定义 3 . 2 . 1如果 3 g e 8 f ( x ) ， 使得 ( 了, x 一 x 协七。 ，v x x , 我 们说点x e x是问 题( 3 . 2 . 1 ) 的 一 个稳 定.a , 定义3 .2 . 2投影p x ( p ) 从 r * x定义为 p ( y ) :=a r g m i n 日 x 一 y 卜 x e x , y e r ( 3 . 2 .3 ) 其中范 数! 日 由 内 积( 一下投影的一些性质. 生成.为了讨论方便，我们首先简要回顾 引理 3 . 2 . 3设尸为x止的投影，则 ( a ) 4-果x e x ， 则( p 佃 ) 一y , x 一p 佃 ) ) _ 0 ,吻 r ; ( b ) ii p ( y ) 一 p ( z ) ll2 ( p ( y ) 一 p ( z ) , y 一 : ) h y , z e r . 第三章 次梯度投影法 引 理3 . 2 .3 是 众 所 周 知的 并且 很 容易 证明 . 例 如，z a r a n t o n e ll o ll s 证 明了这个结果. 在这一节中， 我们要证明次梯度投影算法的收敛性， 我们 先看下面一个重要的引理. 引 理3 . 2 .4设5 * = x f ( x ) 二f =而n . e x f ( x ) f , 尸为x上的 投 影，x k x s . , 则对任 何x s , 9 k 盯( x k ) ， 有 ii p ( - * 一c l9 k ) 一 二 ii_ ii 二 * 一 。r9 一 二 “(3 .2 .4 ) 11外1 1 证: 因为x e s ， 所以x e x . 由引 理( 3 .2 .3 ) 的( b ) 可知 p ( x k 一 a 南， 、 ) 一 x . 112 ( p ( 二 一 “ 俞9 k ) 一 ， x k 一 a 南、 一 x ) _ 11 p ( x k 一 a 南9 k ) 一 x 11 11 、一 a 俞、 一 ” 故有 11 p ( x k 一 饰 例一 ii0 使得 ” p (x 、 一 。 共g k ) 一 x 11 11 x * 一 二 * ( 3 . 2 . 5 ) 对一切a e ( 0 , 几) 都成立. 3 .2次梯度投影算法 证:直接计算有 ii “一 “ 赢*一 x iii ( 3 . 2 . 6 ) x 、 一 x 112 + 2 a ( 击) ( x 一 x k ) + a 2 由于9 k e 盯( x k ) 和x k e x s ， 有 9 k ( x y 一 x k ) f ( x * ) 一 f ( x k ) 0 ,( 3 . 2 . 7 ) 则可得 一 1ii 9k ii 9k 一。 一 对一切a e ( 0 , t k ) 都 成立. 再由引理3 . 2 .4 可知 ii p ( 二一 与: 。 * ) 一 二 ii_ f ( x ) +( 9 ( x ) , x 一 x )( 3 .2 . 1 0 ) f ( x ) 一f ( x ) ! (9 ( x ) ， 二 一 x * ) 丛 9 ( x ) i川x 一x 日 0 ， 必 存 在b ( e ) 0 ， 使得 f ( x ) 一f ( 二 * ) 二: 对任何 d i s t ( x , s ) 0 ， 则由引理 3 . 2 . 4 有 x k + l 一 x iii 一日 p (x k - a k 俞叫一 引 x 、 一 a k 命9 k 一 x ii2 一ii 。 一 x iii + a 2 一 2 a k (x k 一 x r ) t g i114 . 11 一11 x 、 一 x 112 + a k - 2 3 (e k ) a 、 一 2 a k x 、 一 一 b (e k ) 儡t 凿 ( 3 .2 .1 5 ) 由( 3 .2 . 1 田式可知对x k x s 有 ( x 、 一x * , 9 k ) f ( x k ) 一f ( x ) , 所以有 ( x * 一 x ， 9 k ) 11 9 k 11 f ( x k ) 一f ( x ) m a x g , e a 7