（计算数学专业论文）对流占优扩散问题的某些新型间断有限元方法.pdf

中文摘要 法的基本思想和算法实现 从入流边界仅在求解区域的入流边界的单元开始，沿流线方 向逐个单元进行计算，得到在整个求解区 域上的数值解对发展型的问题，则采用时空 有限元空间 理论结果表明，间断有限元方法具有良 好的稳定性和收敛阶.第一章的重 点 是以 非 定 常 一 阶 线 性 双曲 问 题为 模 型 ， 介 绍了 作者 参 与 的 一 项前 期 工 作( 2 6 l ) , 该 文 提 出 了 求解 非 定 常 一阶 双曲 间 题的 差 分间 断 有 限 元( f d d g ) 方法: 对时间 方向 采 用有限 差分离散， 对空间方向 采用间断有限元离敌 理论分析表明，f d d g格式保持了d g 方法的主要优点，具有良 好的数值德定性和高阶精度，并且由于其显式性，使得具体实 现更加方便快捷. 第二章探讨了将求解非定常一阶双曲问 题的f d d g格式及r i c h t e r 对定常对流扩 散 问 题 提出 的d g格 式( 1 8 1 ) 推 广 应 用 到 非 定 常 线 性 对 流 占 优 扩 散 间 胭的 可 行 性， 本 章提出了 适用于非定常问厄的e u l e r 型f d d g格式和 c - n型f d d g格式， 应用与 1 8 完 全 不 同 的 理 论 分 析 方 法 ， 在 关 于 空 间 网 格 剖 分 与 文【 1 8 所 给 出 的 相同 条 件 下 ， 建 立了 该格式的德定性与精度阶估计. 理论分析与数值算法表明: 一 在一定的条件下，作为 一种迎风型显式有限元方法的始自 致值求解一阶双曲间 题的f d d g方法， 确可应用于 作为二阶抛物间魔的发展型对流占优扩散问题. 第三章提出了求解非定常对流扩散间 题的间断有限元算子分裂方法.在第二章的讨 论中， 我们发现. 只 有当扩散系数很小且空间网格剖分满足某种条件时， 才能保证f d d g 格式的稳定性和高阶精度，为克服用f d d g格式数值求解非定常对流占 优扩散问题的 这些不足。 在本 章中 ， 我们提出 了 间 断有限 元算 子分裂 方法。 即 在每一个时间 段内 ， 先 利用f d d g方法求解一个双曲间题， 然后以其数值解作为初值，用标准有限元方法求 解一个热传导间题， 这种算法是半显 式的. 其墓本思想是: 在 f d d g格式的基础上， 求解一个易于计算的纯扩散间 题， 对f d d g之解进行修正. 这样， 使用算子分裂技术 就十 分自 然了. 理论分析表明: 这种拐合型的间断有限元算子分裂格式确可解除第二章 中单纯采用f d d g格式时施加于扩散系数以 及网 格剖分 几 上的较苛刻的限制， 且仍 然具有与f d d g格式相同的毯定 性与 较高的 精度阶估计 本项工作也受到应隆安教授 工 作( 2 7 ) 的 启 发 . 关 于 同 类 有 限 元 分 裂 格 式 的 构 造 及 分 析. 在 国 内 外 文 献 中 。 作 者尚 未见到. 本章对线性问题的间断有限元算子分裂格式进行了较详尽的讨论. 第四章利用线性化和归 纳假设论证技巧. 将第三章的方法推广到非线性问题 利用 一 一一- 一- 一一下犷 节丁 中文摘要vi i 已算得的上一层的数值解，对非线性系数和右端项进行线性化处理，这样构造的格式仍 为线性格式， 理论分析的难点是如何估计由扩散系数的非线性性所导致的误差，我们利 用归纳假设的技巧，克服了这一困难，在适当的条件下，证明了该格式的解是存在唯一 的并且具有良好的误差分析结果. 第五章就求解发展型对流占 优扩散间题的间 断有限元一 分数步方法进行了讨论， 本 章提出的这一算法也是一种半显式算子分裂有限元方法，但它是基于分数步方法而提出 的， 在算法结构上与在第三章及第四章所讨论的间断有限元一算子分裂格式稍有不同. 本算法的基本惫图是进一步改进间断有限元算子分裂格式的精度， 特别是关于时间步长 t 的精度. 本章就线性问 粗及某类非线性对流扩散问 题分别建立了间断有限元分数步 格式， 给出了 它们的理论分析. 理论结果与数据试验表明:间断有限元分数步格式的工 作 量 比 间 断 有 限 元 算 子 分 裂 格 式 虽 稍 有 增 加 ， 但 计 算 精 度 确 有 所 改 善 了 卜7一一 英文摘要 ab s t r a c t t h e d is c o n t i n u o u s g a l e r k i n m e t h o d ( d g m e t h o d f o r s h o r t b e l o w ) is a n e w fi n i t e e l e me n t me t h o d p r e s e n t e d勿 l e a s a i n t a n d r a v ia r t i n s o l v i n g t h e n e t r o n t r a n s p o r t e q u a t io n s a c c o r d i n g t h e f e a t u r e o f t h e n e t r o n t r a n s p o r t , i n 1 9 7 4 ( 3 ) . t h e n c .j o h n s o n a n d g. r . r i c h t e r e t . a l . m a d e f u r t h e r s t u d y o f t h i s m e t h o d a n d p r o v e d t h e i mp r o v e d e r r o r e s t i m a t e ( 4 , 8 , 9 , 1 0 , 2 8 ) . t h e d g m e t h o d h a s b e e n a p p l i e d i n s o m e b y - p e r b o l i c p r o b l e m s s u c h a s s c a l a r c o n s e r v a t i o n l a w s a n d n - s e q u a t i o n s ( 1 l - 1 5 ) b e c a u s e o f i t s e x p l i c i t i n e s s t h a t i m p l i e s t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n c a n b e d e v e l o p e d i n a n e x p l i c i t f a s h i o n fr o m u p s t r e a m t o d o w n s t r e a m a l o n g t h e s t r e a m l i n e . s i n c e t h e c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s p r e s e n t h y p e r b o l i c c h a r a c t e r is t i c s t o a g r e a t e x t e n t , g . r .r i c h t e r p r o p o s e d , i n 1 9 9 2 , t h a t d g m e t h o d c a n b e c o n s t r u c t e d t o s o l v e s o m e h y p e r b o l i c p r o b l e m s w i t h d i ff u s i o n ( i e _ c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s ) a n d p r o v e d t h e g o o d s t a b i l i t i s a n d h i g h - o r d e r a c c u r a c y o f t h i s s c h e m e w h e n t h e t r i a n g u l a t i o n o f s 2 i s c o n f o r m e d t o s o m e c o n d i t i o n s a n d t h e v a l u e o f t h e d i ff u s i o n c o e f f i c i e n t h a s t h e s a me o r d e r o f t h e me s h s i z e . t h e p u r p o s e o f t h is t h e s i s i s t o d i s c u s s w h e t h e r a n d h o w t o s o l v e t h e t i m e - d e p e n d e n t c o n v e c t io n -do m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s 勿 t h e d g m e t h o d . a l t h o u g h t h e t r a d i t i o n a l fi n i t e e l e m e n t m e t h o d b a s e d o n t i m e - s p a c e e l e me n t c a n c o o r d i n a t e t h e a c c u r a c y o f b o t h s p a c e a n d t i m e v e r y w e l l , i t a l w a y s l e a d s t o a mo r e c o m p l e x c o m p u t in g p r o g r a m s c o r r e s p o n d i n g t h e f u l l - d is c r e t e s c h e m e . i n 1 9 9 0 s , p r o f e s s o r s u n c h e ( 2 6 ) p r e s e n t e d a s i m p li fi e d d g m e t h o d -f i n i t e d i ff e r e n c e d i s c o n t i n u o u s g al e r k i n m e t h o d ( f d d g f o r s h o r t b e l o w ) , t h a t is u s in g d g fi n i t e e l e m e n t d i s c r e t i z a - t i o n o n l y i n s p a c e v a r i a b l e s a n d fi n i t e d i ff e r e n c e d i s c r e t i z a t i o n i n t i m e v a r i a b l e . i n t h i s t h e s i s , w e w i ll , fi r s t l y , d i s c u s s t h e c o n s t r u c t i o n a n d t h e t h e o ry o f f d d g s c h e m e i n s o l v i n g t h e c o n v e c t io n - d o m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s . s e c o n d l l y , w e w i l l c o s t r u c t t w o c o u p l i n g s c h e m e s -t h e d g o p e r a t e r s p l i t t i n g m e t h o d a n d t h e d g f r a c t i o n al s t e p m e t h o d f o r t h e l i n e a r a n d n o n l i n e a r c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s a n d m a k e s o m e s t u d y o f t h e t h e o ry o f t h e s e m e t h o d 一 一一 下了 下 1 不 英文摘要 i i t h i s t h e s i s i s c o mp o s e d o f t w o p a r t s . i n t h e fi r s t p a r t , w e r e v i e w b r i e fl y t h e b a s i c i d e a a n d t h e d e v e l p o me n t o # t h e d g m e t h o d a n d t h e f d d g m e t h o d o f o n e o r - d e r h y p e r b o l i c p r o b l e m s , t h e n c o n s t r u c t t h e f d d g s c h e m e f o r t h e t i m e - d e p e n d e n t c o n v e c t i o n - d i ff u s i o n p r o b l e m s a n d d o d e t a i l t h e o r y a n a l y s i s ; l n t h e s e c o n d p a r t , a c - c o d i n g t h e s p e c i fi c f e a t u r e o f t h e c o n v e c t i o n do m i n a t e d d i ff u s io n p r o b l e m s , w e p r e s e n t t w o c o u p l e d s c h e m e s b a s e d o n t h e o p e r a t o r s p l i t t i n g v i e w -t h e d g o p e r a - f o r s p l i t t i n g m e t h o d a n d t h e d g f r a c t i o n a l s t e p m e t h o d , a n d d o s o m e r e s e a r c h e s i n t h e t h e o r y a n a l y s i s a n d t h e i mp l e m e n t a t i o n o f t h e s e t w o s c h e me s . t h e d g m e t h o d o f o n e - o r d e r h y p e r b o l i c p r o b l e m s i s t h e b a s e o f t h i s t h e s i s . i n c h a p t e r o n e , w e fi r s t i n t r o d u c e t h e ma i n i d e a a n d t h e r e a l i z a t i o n o f t h e d g me t h o d o f o n e - o r d e r 师p e r b o l i c p r o b l e m s : s t a r t i n g f r o m t h e u n i t s w h o s e i n fl o w b o u n d a r y i s o n t h e i n fl o w b o u n d a r y o f t h e d o ma i n , w e s e c u r e t h e n u m e r i c al s o l u t i o n u n i t 饰 u n i t al o n g t h e s t r e a m l in e u n t i l t h e s o l u t i o n i n t h e w h o l e d o m a i n i s o b t a i n e d . t h e t h e o r e t i c al r e s u l t s i n d i c a t e t h a t d g m e t h o d h as b o t h g o o d s t a b i l i t y a n d h ig h - o r d e r a c c u r a c y . t h e k e y p o i n t i n c h a p t e r o n e i s t h e f o u n t a in a n d c o n s t r u c t i o n o f t h e f d d g s c h e me o f t ime - d e p e n d e n t o n e - o r d e r h y p e r b o l i c p r o b l e m s : u s i n g d i ff e r e n c e t a c k l e s i n d e a l i n g t h e t i m e v a r i a b l e a n d t h e s p a c e v a r i a b l e s -fi n i t e d i ff e r e n c e d i s - c r e t i z a t i o n i n t i me a n d d g fi n i t e e l e m e n t d i s c r e t i z a t i o n i n s p a c e . w e w i l l p r o v e t h a t t h e f d d g m e t h o d r e a l l y m a i n t a i n s t h e e s s e n c e c h a r a t e r o f d g m e t h o d ,t h a t i s , g o o d s t a b i l i t y a n d h i g h - o r d e r a c c u r a c y . b e c a u s e o f t h e e x p l i c i t n e s s o f f d d g m e t h o d , t h e r e a l i z a t i o n i s m o r e s i m p l e t h a n s o m e i m p l i c i t s c h e m e s . i n c h a p t e r t w o , w e w i l l d i s c u s s t h e f e a s i b i l i t y o f a p p l i n g b o t h o f t h e f d d g m e t h o d o f t i m e - d e p e n d e n t o n e o r d e r 帅p e r b o l i c p r o b l e m s a n d t h e d g m e t h o d o f t h e s t e a d y c o n v e c t io n - d o m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s , r a i s e d i n 1 8 勿 r i c h t e r , t o t h e t i m e - d e p e n d e n t c o n v e c t io n - d o m i n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s . f i r s t l y , w e g i v e t h e e u le r - f d d g s c h e m e t o e x p l a i n t h e i d e a a n d t h e i m p l e m e n t a t i o n , t h e n u s i n g a n a - l y t i c a l m e a s u r e a c t u a l l y d i ff e r e n t f r o m t h a t i n 1 8 1 , w e e a t a b l is h t h e s t a b i l i t y a n d e r r o r e s t i m a t e . t h e t h e o r e t i c a l a n al y s i s s h o w s t h a t a s a n u p w i n d t y p e e x p l i c i t fi n i t e 英文摘要t i i e l e m e n t m e t h o d , t h e f d d g s c h e m e c a n r e a l ly b e a p p l ie d i n s o l v i n g s o m e t i m e - d e p e n d e n t c o n v e c t i o n - d o mi n a t e d d i f f u s i o n p r o b l e m s u n d e r s o m e c o n d i t i o n s i n c h a p t e r t h r e e , w e p r e s e n t t h e d g o p e r a t o r s p l i t t i n g fi n i t e l e me n t m e t h o d f o r t h e t ime - d e p e n d e n t c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d d i ff u s io n p r o b l e m s . i n t h e a n a l y s is o f c h a p t e r t w o , w e fi n d t h a t t h e f d d g s c h e m e h a s g o o d n u m e r i c a l s t a b i l i t y a n d h ig h - o r d e r a c c u r a c y i f o n l y t h e v a l u e o f t h e d i ff u s io n c o e ffi c i e n t h a s t h e s a m e o r d e r o f t h e m e s h p a r a m e t e r . i n o r d e r t o o v e r c o m e t h e s h o r t a g e o f t h e f d d g s c h e m e , w e c o n s t r u c t t h e d g o p e r a t o r s p l i t t i n g m e t h o d . t h e m a i n i d e a o f t h i s m e t h o d i s t h a t fi r s t l y , a h y p e r b o l ic p r o b l e m s i s s o l v e d勿 f d d g s c h e m e , t h e n w i t h t h e n u me r i c a l s o lu t io n 试t h e f d d g s c h e m e a s t h e i n it i a l v a l u e ,a h e a t - c o n d u c t p r o b l e m is s o lv e d b y a s t a n d a r d g a l e r k i n m e t h o d . t h e s c h e m e is s e m i - e x p l i c it . t h e a n al y s i s i s s o m e w h a t d i f f i c u l t b e c a u s e o f t h e f dd g s c h e me a n d t h e s t a n d a r d ga l e r k i n me t h o d h a s d i ff e r n t t e s t f u n c t i o n s p a c e a n d t r i a l f u n c t i o n s p a c e . t h e m a i n d i f fi c u l t i s i n t h e p r o c e d u r e o f t h e e r r o r e s t i m a t e b e c a u s e o f t h e r e a l s o l u t io n i s n o t s a t is f y e a c h s c h e m e . b y d e t a i l a n a ly s i s , w e p r o v e d t h a t t h i s s c h e m e a l s o h a s g o o d s t a b i l i t y a n d h i g h - o r d e r a c c u r c y i n s p a c e w i t h o u t t h e s t r i c t r e s t r i c i t i o n s i n c h a p t e r t w o t h e l i n e a r i z i n g t e c h n i q u e i s u s e d i n c h a p t e r f o u r t o e x t e n t t h e m e t h o d c o n - s t r u c t e d i n c h a p t e r t h r e e t o s o m e n o n l in e a r p r o b l e m s . u s i n g t h e l a t t e r s o l u t i o n t o l in e a r i z e t h e n o n l i n e a r c o e f fi c i e n t s a n d t h e r ig h t t e r m, w e c o n s t r u c t t h e d g o p e r a t o r s p l i t t i n g s c h e m e o f n o n l i n e a r p r o b l e m s . t h e s c h e m e r e m a i n s a l i n e a r o n e . t h e d i f - fi c u l t i n t h e o r e t i c al a n al s i s is t o e a t i m a t e t h e e r r o r t e r m c o m i n g f r o m t h e n o n l i n e a r d i ff u s i o n c o e f fi c e n t . b y i n d u c t i v e 协p o t h e s i s t e c h n o l o g y , w e p r o v e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h i s s c h e m e is e x i s t a n d u n iq u e , a n d h a s g o o d a c c u r a c y o r d e r w h e n t h e e x a c t s u l u t i o n i s s u f f i c i e n t s mo o t h . i n c h a p t e r fi v e , a n o t h e r d g o p e r a t o r s p l i t t i n g s c h e me f o r t h e t i m e d e p e n - d e n t c o n v e c t i o n - d o mi n a t e d d i ff u s i o n p r o b l e m s i s p r e s e n t e d - t h e d g f r a c t i o n a l s t e p s c h e m e . t h i s s c h e m e i s a l s o a s e m i - e x p l i c i t s c h e m e a n d h a s a l i t t l e d i ff e r e n c e f r o m t h e d g o p e r a t o r s p l i t t i n g s c h e m e r a s i e d i n c h a p t e r t h r e e . t h e p u r p o s e t h a t w e 叫 一-一-一-.，.-一，.-叫愧甲 英文摘要 c o n s t r u c t t h i s s c h e m e i s i n t e n d i n g t o i m p r o v e t h e a c c u r a c y o f t h e s c h e m e p r o p o s e d i n c h a p t e r t h r e e , e s p e c i a l l y t h e a c c u r a c y i n t i m e s t e p at . t h e t h e o r y a n a l y s i s s h o w s t h a t t h e a c c u r a c y i s r e a l l y i m p r o v e d a l t h o u g h m o r e w o r k i s d e m a n d e d t h a n t h a t o f t h e s c h e m e i n c h a p t e r t h r e e . 一，一一 ， ， 一 韶厂任可: 致谢 又3 9 1 2 1 0 作者首先要感谢导师孙澈教授， 正是由于他的悉心指导和大力帮助， 才使作者得以顺利完 成学业. 作者在攻读博士学位期间所取得的每一点成绩， 都离不开导师的关心与鼓励， 都倾注 了导师的无限心血.无论在学习上还是在生活上， 孙澈教授都给予了作者极大的关心和帮助. 孙澈教授严谨的治学精神和海人不倦的 高尚品格给作者留下了 深刻的印象， 必将使作者受益终 身. 其次， 作者要感谢胡健伟教授在学习 上的指点和教诲; 感谢给予我极大帮助的张强博士以 及计算数学专业的全休研究生们; 感谢数学系的耿截老师以及其它关心和帮助过我的老师和同 学们. 最后作者还要感谢海军后勤学院的领导的关心，感谢家人的支持 : u . 前言 目 j台 对流占优扩散间题广泛地存在于科学和工程领域中，例如化学溶质的污染间题，高 r e y n o l d s 数的n a v i e r - s t o k e s 方程， 多孔介质渗流方程和高p e c l e t 数的热对流扩散方 程( 如 连续 铸钢 方程 ) 等等 对流占 优 扩 散问 题的 基 本 形 式为 定常对流扩散间题 - v ( a v u ) +,(i - v u +。 二 =f , x en 、 a 。 =9 ( 1 ) 与非定常对流扩散问题 、 ， 一v ( a v u ) + 0 v u +， 、 二f ,( 二 ， t ) e 。x ( 0 , t ( 2 ) 川 a n二9 、 ( 二 ， 0 ) =。 。 ( : ) ， x任s i 其中。为d 维区 域，( 0 , 别为 时间 区 间 ， 对流系 数口=( 口 1 ， 几， ， 内) . 。 、 、 : 。( ，) : al 二ddl p zi 当a o 很小时 ， 方 程( 1 ) , ( 2 ) 可 视为 奇 异 摄动间 题， 具 有殆 双曲 性质， 其 解函 数具有 大梯度变化的过渡层和边界层， 这一点为数值求解带来困难. 在求解对流占 优扩散问 题时，由 于 过渡层和边界层的存在， 尽管标准有限元方法， 即 g a l e r k i n方 法 具有 形式上的 高 精 度， 却 常常 产 生 剧 烈的 数 值振荡( 非 物 理振 荡) ， 除非网 格参数h 选得足够小， 解才 会稚定( 4 )然而， 当 待解问 题的r e y n o l d 数很大时，因网 格参数与 r e y n o l d 数成反比 ， 这样细密的网格是很难被接受的， 对高维间 题尤其如此. 如果 使用 古典 人 工 粘性 有 限 元 方 法， 则为 了 提 高 解的 稳 定 性， 对 原间 题加上 一个o ( h ) 阶 的 人工枯项。 其数值解仅 仅具 有o ( h ) 阶 的 精 度， 而且 还可能因 人工粘性 过大， 使数值解 的锋面被过分地抹平而失真. 因 此， 为了 提高对流占 优扩散间 题有限 元解的稳定性和精度， 有必要寻找新的非标准 有限元方法， 近年来在有关间题的 有限元方法的研究方面， 许多非标准有限元方法被相 一艺盯了 u . 打 前言 继提出 ， 如流线扩散法( s t r e a m li n e d i ff u s i o n m e t h o d , b r o o k s 第三章构造了求解线性对流占优扩散间题的 间 断 有限 元 算子 分 裂格 式( d g o s ) , 阐 明 了 该 分 裂 格 式的 理 论 依据; 在 第四 章应用 线 性化 的方法将第三章讨论过的d g o s 格式及理论结果推广到一类非线性对流扩散间题. 在第 五章则构造了 另一种算子分裂半显 式有限 元格式， 即间 断有限元分数步格式. 就线性对流 占优扩散问题和一类非线性对流占优扩散问题. 分别进行了初步的探讨和研究. 1 1 i g : i+ 第一章一阶双曲问舰的间断有限元方法 第一章 一阶双曲问题的间断有限方法 一阶 双曲 问 题的 间 断 有 限 元( d g ) 方法 是本 文的 主 要基 础 与 背 景 ， 在 进 人 本 文的 主 要 论 题之前，本章将对此作简要介绍.作为本文的前期工作，我们将重点介绍由孙澈教授提出作者 曾 经 参与 工作的 求 解 非 定常 一阶 双曲 间 题的 差 分一间 断g al e r k i n ( f d d g ) 方 法， 它 是 本文 的直接荃础. 1 . 1 基本记号 为方便以 后的讨论. 本段集中给出一些常用的记号. 设d为 具 有 逐片 光 借边 界8 d的d 维 有 界 区 域( d 1 ) .m _ 0 为 整 数，1 p00, 科从叮 -一 ia训 vvi 仁儿丫 一一- w ,p ( d ) w 0 0 ( d ) iid a v lld 全 ( j d id a v lp d x ) p + 0 o , : ild a v ”一 声e ss 绷d 0 v l 1 ， 记h o ( d ) 为c o ( d ) 在i - i . ,d范 数 下 的 闭 包 ， 恒 用( , ) d表 示d上 的 l 2 一内 积. 一般地， 若d=0 ， 在 不会引 起歧义的 情况下， 略去记 号n . 下一1王万 飞， 不而奋 一. -.-. . .门 . . . 口. .口 . 口. 口曰 .， 第一章一阶双曲问肠的间断有限元方法 设。 =( v 1 , v 2 , . . . , v d ) 是d上 的 一 个向 量 函 数 ， 定 义 回 2 = v 21 + v 22 + iiv iid ii z a ” 一7 i i- ,d 引夙 伏 d艺1=1 己犷-一2.1.、 2.1.、二 !- 设x 为 b a n a c h空间，记 l 2 ( a , b ; x ) l 0 0 ( a , b ; x) ih 0 iil 2 (n ,b;x ) t ) ii : iiw iil - (a ,b;x ) a s u po e b h p (x dt)1/2 + 0011 t ) iix 5 + 0 0 了 a ( a , b ) c , c ; , z ( 0 , t ) 时 ， 常 简 记l 2 ( x ) =l 2 ( 0 , t ; x ) , l - ( x ) =l 0 ( 0 , t ; x ) . 恒 约 定 1 , 2 ,表示一般性常数。 同一符号在不同位里可取不同数值. 2 定常一阶双曲问题的间断有限元方法 饭、. 幼j月1 00口 为 叙述 简 便。 设s 2 c r 2 为 具 有 逐片 光 滑 边 界r的 有 界区 域， 考 虑 如 下 定 常 一阶 双曲 模 型问题 q v u + 。 =f ( 二 ) ，v x s 2 ( 1 .2 . 1 ) u ( x ) =g ( x ) , v x r _ ( 1 .2 .2 ) ， 二_ _ 、 。 。 _ _ _/ a u a u 。 _， 。口 、 : 。 : ， 。 、 _。 、 其 中 = (“ ，“ )， v “ = 戈 岩， 捞) ， 口 = (几 ，几 ) ， ，反 ( = 1 , 2 ) r 均 为 常 数 r _ = 2 e r6 - v o ( 二表 示 r的 单 位 外 法向 量 ) ,f e l 2 ( q ) , g e l 2 ( r _ ) .称 ( 1 . 2 . 1 ) ( 1 . 2 . 2 ) 为 问 题( a , ) . 文冈 指 出 ， 求 解问 题( a , ) 的 标 准g a l e r k i n 方 法 是 一 种 隐 式 方 法， 其 有 限 元 方 程 组 是 在求解区 域0上经单元迭加报合后得出的整体 性的线性代数方程组. 因 此， 定解数据在某一结 点 上 的 改 变 将 会 影 响 数 值 解 在 区 城豆上 各 结 点 的 取 值 至 少 在 理 论 上 如 均.g a le r k in 有 限 元 方法的这种 “ 全局世， 性质有悖于双曲问 班解 “ 沿特征线传括 ， ， ， 定解数据的局部改变仅在其影 响区 城内( 而 不 是 在 全区 域豆上 ) 影 响 着 解 函 数 之 取 值 这 一 基 本 特 性 . 因 此 用 标 准g al e r k i n 卿:3 i a : 第一章一阶双曲问题的间断有限元方法 方法， 如同求解抛物型方程那样来数值求解一阶 双曲问题， 似并非十分合理.人们期望能提出 一 种 与 一 阶 双曲 问 题 解“ 沿 特 征 线 传 招， 相 匹 配( 协 调 ) 的 有 限 元 方 法 .l e a s a i n t 与r a v i a r t 于二十世纪七十年代提出 的间断有限 元方法就是能反映双曲间题上述特征的一种数值方法， 正 因为它的算法结构与双曲问 题固有 性质相吻合， 因此在理论和应用上均取得很大成功. 现回 到 问 题( a , ) 之间 断 有限元 方 法 的 墓 本 表 述 . 设 t h= 元空间 好是豆的 一 个 拟 一 致 三 角 剖 分 ， 其 网 格 参 数 为0 h h o 1 , 定 义 有 限 v h 其中r为取定的正整数， 一 ， : 。 。 l 2 (q ) , v 1t 。 p * (二 ) ,v t 。 t j p * ( t ) 表 示， 上 次 致 不 超 过r 的 多 项 式 集 合 . 显 然v h ( 1 .2 .3 是一个在内 元边界不连续的函数空间. 为了定义间断有限元格式，首先引 进一些符号. 对 丁任t h , 定义 a 二二 二 上 一 般 是 不 连 续 的 . 因 此 ， 对工任s , 定义 。 士 ( x ) 一 漂 ， ( + 6 r ) , (v (x )l = v + (x ) 一 ” 一 ( ) ( 1 .2 .4 ) 一 一砚甲丁r下 第一章一阶双曲向颐的何断有限元方法 称v _ ( x ) 为。 在x处的 人 流 值 上 游 值 ) ,v + ( x ) 为x处 的出 流 值( 下 游 值 ) ， iv ( x ) 是。 在x 处的跃度. 求 解问 题( a l ) 的 间 断 有 限 元 方 法定 义 为( 4 ) )