（教育学原理专业论文）以数学思想方法为指导开展中学数学研究性学习.pdf

内容提要 研究性学习是我国基础课程改革的一大热点，数学研究 l 性学习目前仍处在初创、实验阶段斗本文旨在研究如何以数 学思想与方法为指导，更好地开展中学数学研究性学习，主 要做了三个方面的工作。一是通过对研究性学习内涵、特征、 组织与实施形式、评价方式的探讨，阐述数学研究性学习的 概念和特征。二是整理出中学数学重要的思想方法，阐述它 们与数学研究性学习的内在联系，指出以数学思想方法为指 导，是数学研究性学习的内在要求。三是就五种数学思想方 法，较具体地论述它们在数学研究性学习中的指导作用，并 给出一些数学研究性学习的课例。 关键词：研究性学习，数学，思想_ 劳法， d e v e l o p m i d d l es c h o o lm a t h s i n q u i r t yl e a r n i n gu s i n g m a t h sm e t h o d so f t h i n k i n ga s q u i d e s s y n p s i s i n q u i r t yl e a r n i n g i so n eb i gh o tp o i n to ff o u n d a t i o nc o u r s e r e f o r mi no u rc o u n t y i ti ss t i l li nt h ee l e m e n t a la n de x p e r i m e n t a l s t a g e a t p r e s e n t t h i s a r t i c l ea i m st o s t u d y h o wt ou s em a t h s m e t h o d so ft h i n k i n ga s g u i d e sa n dd e v e l o pm i d d l es c h o o lm a t h s i n q u i r t yl e a r n i n gb e t t e r m a i n l yi d ot h et h r e e - - a s p e c tw o r k f i r s t ， p r o b e i nt h e i n t e n t i o n ，c h a r a c t e r i s t i c ，o r g a n i z e a n de n f o r c e m e n t m o d e ，a n da p p r a i s em o d eo f i n q u i r t yl e a r n i n g ；s e to u t t h en o t i o na n d c h a r a c t e r i s t i co f i n q u i r t yl e a r n i n g s e c o n d ，s o r to u tt h em a i nm a t h s m e t h o d so f t h i n k i n gi nm i d d l es c h 0 0 1 s e to u tt h ei n t e rl i n kb e t w e e n t h e ma n di n q u i r t yl e a r n i n g p o i n to u ti ti st h ei m m a n e n c e r e q u i r eo f m a t h si n q u i r t yl e a r n i g t h i r d ，d i s c u s st h ed i r e c t i n gr o l eo ft h ef i v e m a t hm e t h o d so ft h i n k i n g d u r i n g t h ec o u r s eo fm a t h s i n q u i r t y l e a r n i n ga n dd r a wo u tc e r t a i nl i v i n ge x a m p l e so fm a t h si n q u i r t y l e a r n i n g k e yw o r d s ：i n q u i r t yl e a r n i n g ，m a t h s ，m e t h o d ，t h i n g 2 1 引言 实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育，主要的着眼点是改变学生单 纯地接受教师传输知识的学习方式，提供多渠道获取知识，应用知识的机会， 帮助学生形成一种对知识主动探求，并重视问题解决的积极的学习形式，让学 生学会学习、学会创造、学会实践，培养“个性健全发展的人”。在此背景下研 究性学习正成为我国基础课程改革的一大亮点而倍受关注，2 0 0 0 年教育部颁布 的“全日制普通高级中学课程计划( 试验修订本) ) ) 把研究性学习列入必修课程， 更使研究性学习进入实际操作阶段。但由于研究性学习目前仍处在初创、实验 阶段，加上研究性学习自身的特点，研究性学习的深入开展仍然面临着许许多 多的实际困难。比如，什么样的学习是数学研究性学习? 它有哪些特征? 中学 数学研究性学习应如何开展，怎样开展更有效? 面对没有研究经验而一筹莫展 的学生，教师应如何指导? 面对全新的教学方式，教师应如何使自己更有把握? 等等。作为中学一线指导研究性学习的数学教师，对此我有深切的体会。因此， 我选择此课题，就数学研究性学习的内涵、特征，数学思想方法的内涵与外延， 以及数学思想方法在数学研究性学习中所起的作用，结合自己指导学生开展研 究性学习的经验作些研究，希望能对中学数学研究性学习的开展提供有益的启 示。 2 数学研究性学习 2 1 研究性学习的内涵 研究性学习是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择并确定研 究专题，用类似科学研究的方式，主动地获取知识，应用知识，解决问题的学 习活动。研究性学习有两种含义：一是作为一种学习方式；一是作为一种课程 领域。作为一种学习方式，研究性学习与把书本知识作为结果来获得的接受性 学习相对，它强调学生通过探索和发现主动地进行书本知识的学习。作为一种 学习方式的研究性学习，可以渗透于学生学习的所有学科的所有活动之中，在 学科课程中，它往往具有鲜明的学科特征，其探究往往围绕本学科领域的问题 来展开。而作为一种课程领域，研究性学习也叫做研究型课程，它超越特定的 学科知识体系和严格的课堂教学的局限，强调综合运用所学知识和技能，要求 学生自主地从学习生活和社会生活中选择和确定关于自然、社会和学生自身等 方面的闻题，展开类似科学研究的过程，从而获得探究的经验，发展探究能力 和创新精神，以及良好的情感、态度和价值观。因此，作为一种课程领域的研 究性学习，实质是一种基于问题的探究性学习活动，是一种实践性学习活动， 它可以融合到各门具体的课程之中来实施，也可以独立设课来实施。我国新一 轮基础教育课程改革纲要规定，研究性学习是综合实践活动课程中的一个课程 领域。 2 2 研究性学习的基本特征： 研究性学习不同于学科课程的学习，也不同子其他活动课的学习，概括起来， 共基本特征有以下几个方面：口】 2 2 1 自主性： 研究性学习最显著的特征是：学生在学习过程中始终处于主体地位。在研究 性学习中，学生根据自己的兴趣、爱好和特长选择和确定学习内容和形式，然 后由学生独立开展探索、研究，因此，研究性学习从问题的提出到研究人员的 组成、研究内容的实施和成果的检验与展示，都由学生自主完成，充分体现了 学生的能动性、参与性、创造性。在这里，教师只起着参谋、顾问和评价的作 用。 2 2 2 问题性： 研究性学习主要围绕问题的提出和解决来组织学生的学习活动，它从提出问 题开始，并围绕着分析问题、解决问题来进行，是以问题为中心的学习活动。 这些问题是学生感兴趣的，来源于学习经验和生活经验，是跨学科的，它完全 不受系统的、严密的知识体系的学科知识和教材的局限，不以掌握系统的书本 知识为目的。由于研究性学习的内容没有现存的固定的书本或教材的局限，研 究性学习便成为一种开放性的学习领域。研究的课题可以由学生自己确定，也 可以由教师提供课题让学生自主选择，可以是教材内容的扩展和延伸，也可以 是关于自然和社会或学生自身的问题。只要是可以研究的课题，都允许学生有 计划地展开研究性的学习过程。这对发展学生主体性、创新精神具有重大意义。 2 2 3 创新性： 研究性学习重视学生创新能力和创新意识的培养。创新有两种不同层次的表 现形式，一种是特殊才能的创新性，如科学家、发明家表现出来的创新。另一 种是指自我实现的创新性。从研究性学习的结果看，大多是已有科研成果的运 用或“再发现”。但对学生个体而言，它是通过探索、研究后产生的自己从未有 2 过的结果、想法、见解和解决问题的方法，因此具有自我实现的创新性。从教 育价值看，它让学生亲身体验科学家研究和解决问题过程中的思维活动和心理 活动，能达到培养学生创新意识和创新能力的教育目标。从内容选取看，允许 教师站在较高层次上从已有的科研成果中选取有教育价值的课题或领域让学生 去探索研究。 2 2 4 生成性： 研究性课程是一种以探究经验的获得为本位的生成性课程，这种课程的设置 改变了长期以来课程与教学分离的状态，使二者统一为一个过程的两个方面。 对这种课程的开发来讲，它并不依赖于专家学者及教科书的权威，而是依赖于 学习者与周围环境，与指导教师，与合作伙伴之间的交互作用，这里，他们是 课程的传递者、执行者，同时又是课程的开发者和创造者和受益者。在探究的 过程中，新的目标不断生成，新的主题不断出现，学生兴趣盎然。也许，新的 主题和学生的新的兴趣可能偏离了原来的研究方向，这也是允许的。当然，这 不是说研究性学习不要进行预设，事实上，每一个研究性活动之前都应对活动 进行周密设计及相应的监控，只不过是这类设计要富有弹性，要随着活动的向 前发展而不断地作出调整与修正。 2 2 5 过程性： 研究性学习不同于科学家所进行的科学研究，它在本质上依然是一种学习活 动，其重点不在于“科学研究”，而在于学习，学习研究的方法、经历研究的过 程，通过对研究过程的体验，获得丰富的经验和情感，并以研究为依托，主动 地获取知识，发展探究能力和创新精神，因此，在学习过程和学习结果问题上， 研究性学习更重视学习过程。对中学生而言，具有创新性的科学研究的结论不 是终极目的，而经历过程、丰富经验、增强体验本身就是目的，在过程中发展 综合实践能力才是根本目的，注重学生经历和体验探究的过程，成为研究性学 习的基本要求之一。 当然，研究性学习也不排除对知识的掌握，而是说，研究性学习中学到的知 识，不是以结论或定论的形式传递给学生的书本知识，而是学生探究而获得的 程序性知识和领悟性知识。这就要求学生要主动探究问题，主动地获取知识。 2 3 研究性学习的内容选择，组织形式与实施过程，教学评价。 2 3 1 研究性学习的内容选择 由于研究性学习没有书本或教材的局限，研究性学习便成为一种开放性的学 3 习领域。这个特征，一方面，有利于发展学生的主动性，培养学生的创新精神， 另一方面，从现实的角度看，它给研究性学习的开展带来了很大的困难。根据 笔者指导研究性学习的经验，学生选择并确定研究专题是学生进行研究性学习 过程中首先碰到的第一个难题，也是很关键的一个难题。首先，学生不懂得如 何选题。其次，选题以后难以确定下来所选课题太深，怕完成不了，所选课 题太浅，怕没有研究价值，如何判断课题的深浅，学生又没有经验。因此，指 导学生开展研究性学习，首先要为课题的产生做好充分的铺垫和引导工作。在 实施研究性学习的起步阶段。要让学生从原来的被动学习进入初步的主动探索， 方法上应相应地从经验方法上升到科学方法。对此，应该就有内容讲授观察、 实验、调查、模拟、比较、分类、归纳、演绎、联想、类比、分析、综合、科 学假设等基本科学方法。在数学研究性学习中，应结合相关内容讲授数学思想 方法。同时，教材最好应有研究性学习的范例，教师可以提供一定的参考题目 或选题范围。如果不顾现实情况而一味地追求高标准，势必使研究性学习成为 纸上谈兵。 在学生取得一定的经验后，可以逐步扩大选题的范围，或完全由学生自主地 选择课题。研究性学习内容的范围大概涉及到四个方面，即人与自然关系领域， 人与社会关系领域，人与文化关系领域，人与自我关系领域。所选的题目首先 要有探究性和吸引力，即它有研究价值，学生对它感兴趣。其次，要符合学生 的年龄心理特点，符合学生的认知水平，课题应该是学生经过努力可以完成的。 再次，要符合学生的研究条件，由于我国的农村与大中城市相比，在方方面面 存在着很大的差异，因此，选取课题一方面要从本校、本地的实际情况出发， 另一方面，又要充分开发利甩本地的教育资源。 2 3 2 研究性学习的组织形式和实施过程【3 1 研究性学习有多种组织形式，包括小组合作探究、个人独立探究以及在班级、 年段或更大范围中展开的合作研究。其中，采用较多的是小组合作研究。无论 采取何种形式，都要以个人的独立思考和认真钻研为基础，都强调学生的全员 参与，都要引导学生学会主动地与他人交流，学会信息和资源共享。 研究性学习的展开一般分为四个阶段：研究性学习的准备阶段，进入问题情 境阶段，实践体验阶段和总结表达交流阶段。准备阶段的主要任务是选择和提 出研究性学习的活动主题或课题，自主制定活动方案或研究方案。进入问题情 境阶段主要任务是：搜寻相关资料，做好背景知识的铺垫，积极探索，进入探 4 究问题的状态并归纳出准备研究的具体题目，形成最基本的目标和思路。实践 体验阶段也即具体的解决问题的过程。总结、表达、交流阶段要求学生将自己 或小组经过实践、体验所取得的收获进行整理，加工，形成书面材料和口头报 告材料，并通过交流，与同学们分享成果。在学习进行的过程中，以上四个阶 段是相互交叉和互相推进的。 2 3 3 研究性学习的评价”1 由于“研究性学习”强调学习的过程，强调对知识技能的应用，强调学生亲 自参与探索性实践并获得感悟和体会，强调学生的全员参与。因此，“研究性学 习”的评价有三个鲜明的特点： 第一是评价主体的多元化，评价者可以是一个教师或一群教师，可以是学生 个人，也可以是学生小组；可以是家长，也可以是与研究性学习开展内容相关 的社区或有关部门。 第二是评价内容的多样性和灵活性，评价的内容可以是参与研究的态度，研 究过程中获得的经验，研究的能力，研究中的合作性，研究方法的科学性，研 究成果的质量。 第三是评价手段、方法的多样性。评价时可以采取教师评价与学生自评、互 评相结合；对小组的评价与对个人的评价相结合；对书面材料和对口头报告、 活动、展示的评价相结合；定性评价和定量评价相结合，以定性评价为主。 2 4 数学研究性学习 数学研究性学习是指以数学问题为中心的研究性学习。主要围绕着数学问题 的提出和解决来组织学生的学习活动。这里的数学问题指以数学为内容，或者 虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题。在研 究性学习中，数学问题的来源主要有两类：一类是从数学角度出发，在学习生 活和现实生活中发现的数学问题。另一类是不从数学角度出发，而是从其他角 度进行研究性学习，在研究的过程中把主要问题转化为数学问题，用数学的知 识和方法给予解决。由于数学应用的广泛性，第二类问题是很常见的。 数学研究性学习，一方面，作为课程领域，它在特征、目标、组织形式、实 施过程以及评价方式等方面与上面提到的研究性学习是一致的，它没有固定的 书本或教材的局限，以数学问题为中心，它强调学生通过探究和发现主动地进 行学习，重视学生学习的过程，强调学生综合实践能力、情感、态度和价值观 的发展。因此它与传统的以接受为主要学习方式的数学课，以活动为主的数学 5 活动课是不同的。另一方面，作为学科性的研究性学习，它具有数学科的显明 特征，它的探究内容以数学问题为主的，是概括化、理想化的现实世界的空间 形式和数量关系，这些内容具有高度的抽象性、严谨的逻辑性、应用的广泛性 等主要特点。用以探究的方法是数学的思想方法。因此，在研究对象和研究方 法上它与传统的数学课又是一致的。从实施的难易情况来看，由于数学研究性 学习没有现成的教材，没有已知的答案，没有固定的模式，师生没有现成的经 验，因此，它比传统的数学学习有较大的难度。从研究的内容的特点来看，中 学数学，以初等数学为主体，包括微积分、概率统计和逻辑代数的初步知识， 有关内容经过长期锤炼已经十分成熟，相当完备。因此，中学数学的研究性学 习，主要表现为对数学知识的深化性探讨和数学方法的总结性提炼。这是数学 研究性学习不同于其他科研究性学习的一个特点。 3 数学思想方法 3 1 数学思想方法的内涵： 数学思想”1 是人们对数学研究对象统一的，本质的认识。它包括对数学本质 的理解，对数学基本特征，数学对象、数学与其他科学、数学与客观世界的关 系的认识，以及对数学中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识。 方法一般指认识和研究自然现象、社会现象和精神现象的方式，是从实践上 或理论上把握现实的、为解决具体问题而采用的手段或操作的总和。数学方法 就是提出、分析、处理和解决数学问题的概括性策略。它和作为认识结果的数 学思想含义并不相同，但又密切联系，一种数学内容从某一侧面可视为数学思 想( 认识结果) ，而从另一个侧面可视为数学方法( 程序和手段) 。如无穷小，作为 理性思维的观念，当然是一种数学思想，同时它又形成了研究和解决数学问题 的一套“无穷小方法”。因此，许多论著中常常采用“数学思想方法”。本文也 如此，它指数学思想和数学方法的总和。 3 2 中学数学的基本思想 中学数学的基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的 本质思想，通常来说，数学思想的展现是隐性的，它不如数学方法来得具体。 为了更好地利用它开展数学研究性学习，本文对中学数学的基本思想作适当的 总结，并作简短说萌。归结起来，中学数学的基本思想有以下几个方面：吲 6 ( 1 ) 数系、运算及符号思想 数是计量活动的产物，也是计算的手段，它抛弃了世界万物的具体形态而 抓住其本质特征，是抽象化的结果，同时，数系的形成又是数学研究的产物， 它蕴含着丰富的数学思想。运算是揭示数与数之间某些特殊联系的智力操作， 字母与运算组成的“式子”则是某种运算程序的记载手段，它的结果是“数”， 而本身则显示了为获得此结果的程序过程，每一个著名的数学公式都闪亮出人 类智慧的光芒。各种量的关系、量的变化以及量与量之间的推导和演算，都是 以符号形式( 包括字母、数字、图形与表格以及各种特定的符号) 来表示的， 形成了一套形式化的数学语言。有了它，各种实际问题和数学问题，就可用凝 练而准确的语言来描述和推理，就可大大地简化和加强思维的过程。数学研究 性学习必须学会符号化。 ( 2 ) 集合与对应思想 集合的观点反映着人们认识客观世界过程中着眼于对象群体的思想，它有 很大的概括性，它的产生，使不同的研究对象能够用较统一的方法处理，不但 可以用集合表示数、表示式、表示形，也可以表示向量、矩阵、线性变换及至 概率论中的事件、对策论中的策略，计算机上的信号等形形色色的研究对象， 并且可以用字母的运算来表达它们的各种演变，揭示它们的各种关系。它是数 学各分支的基础，对应是集合论的最有力的研究工具，离开对应、集合论就难 以启动。初等教学中处处用到对应的特例变换。 ( 3 ) 方程( 组) 和不等式( 组) 的思想。 方程或不等式的意义在于它们是揭示着已知与未知之间必然联系的教学表 示。从已知与未知的关联入手去了解和把握未知，使之转化为已知，这就是方 程和不等式的数学思想内容。 ( 4 ) 变量与函数思想。 变量是运动的数学描绘，函数是运动中变量间依存关系的刻画。变量和函 数思想带动着数学进入了变量数学时代，从静止、孤立的形体及数量的研究， 转向运动和相互关联的形体及数量研究，它是中学数学的重要思想。 ( 5 ) 几何图形思想。 几何图形抛弃了对象的物质属性，留下的只是它的形状、大小和位置关系， 是人类早期数学文化的一种智慧结晶。 ( 6 ) 证明与形式逻辑推理。 数学课中的“证明”思想，主要指那种依赖于形式逻辑推理的论证。它是 7 间接认识客观真理的重要手段。数学中的有些结论不能靠实验来检验，要靠证 明来判断。证明与形式逻辑推理的教育有利于“个性健全发展”的人的培养， 蕴含丰富的人文精神。 ( 7 ) 坐标思想 它的核心是“以数标点”，进而引进“以式表线”，从而形成一套数形结合 的数学方法，这种思想，使几何学产生了全新形态，由此促进了变量、函数、 集合等数学思想的形成。 ( 8 ) 公理化思想 公理化思想的核心是：用一组原始命题规定了原始概念的某些性质和关系， 然后依靠逻辑的手法获得一系列的结果，构成一种数学理论体系。应该注意的 是：中学教学中表现出的公理化思想，只能是一个“初级模型”。在许多场合， 出于教育的目的，它并不追求严格意义下的公理体系。对中学生来说，公理体 系的“三个基本问题”中，相容性是最重要的，独立性是次要的，完备性可以 不涉及。 ( 9 ) 极限与无穷小。 两者是同一数学思想的不同表现形式，反映了常量数学和变量数学之间的 辩证关系，反映了“量变到质变”的哲学思想。 ( 1 0 ) 或然性与统计规律 它反映偶然与必然之间的辩证统一，通过对大量的随机现象和随机过程等 概念加以描述，寻找一些确定的统计规律，用数学语言展现了偶然性与必然性 的内在联系。 ( 1 1 ) 美学思想 数学美是社会实践的产物，是人的实在自由通过合规律性、合目的性的数 学思想结构的呈现，数学美的特征，主要表现为：简单性、对称性、统一性和 奇异性。数学中的美学思想是指对教学美的认识。美学方法指在数学学习与研 究中可以自觉地运用美学的考虑去思考等解决的问题，去决定可能的研究方法 或对理论的意义作出判断。 3 3 中学数学的方法 十几年来，不少专家对数学方法做了比较系统的研究，提出了不少有见地 的论述，如徐利治教授撰写的数学方法论，郑敏信教授撰写的数学方法论 等。但“中学数学方法系统”应如何构造，各种方法如何分类，目前尚难定论， 有的把它分为四类。l 数学发展和创新的方法 运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法 具有一般意义的数学解题的方法 特殊的数学解题的方法 本文采用“层次说”【9 各种科学研究方法按其概括程度的不同分别属于三个层次：哲学方法、一般 科学方法、专门科学方法。与此相对应的，中学数学方法也可以分为三个层次： 属于哲学方法层次的数学方法；主要有变换与转化、分解与组合、关系映 射反演( r m d 属于一般科学方法层次的数学方法；主要有抽象与概括、观察与试验、比 较与分类、类比与猜想、归纳与演绎。 数学特有的具体的数学方法。这个层次的数学方法又可分为通法和特殊法 两大类。通法有较高的概括性与较大的包容性，如数学归纳法、换元法、参数 法。特殊法是由特定研究对象的性质直接引申而来的，其适应范围受到很大的 限制。如不等式证明中的判别式法、放缩法、公式法；数列求和中的错位相减 法、迭代法；因式分解中的十字相乘法等等。这些方法实际上都蕴含在上述两 个层次的方法中，几乎找不到游离于哲学方法与一般科学方法之外的“孤立的” 数学方法，因此，许多有关数学方法的论著，只对上述二个层次进行论述。 3 4 数学思想方法与中学数学研究性学习的关系。 数学思想方法概括性强，具有迁移范围广、应用领域宽的特点。著名数学家 g 波利豫的调查研究表明，数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性。 日本数学家米山国藏说：“即使学生把所教的知识全忘了，铭刻在他心中的数学 精神、思想和方法却能使他终身受益”。 数学思想方法具有实践性。一方面，数学思想方法起源于实践活动，一是 生产实践和社会实践，二是科学研究，特别是数学研究的实践，例如，航海、 机械、力学、天文学的发展，促使牛顿在考察变速运动中的位置、速度、加速 度的关系中创立微积分，从而导致函数研究中极限方法的完善。从研究博奕问 题开始，经历了两个世纪，雅各布伯努矛l j ( j a k o bb e m o a l l i ) 终- ：p 将概率论发展成 为数学的一个分支。由于数学研究的实践，更发展了抽象的数学方法。使数学 成为脱离现实世界的高度抽象的形式化的产物。另一方面，数学思想方法又应 用于实践活动，作为过去研究活动形成的认识和方法，表现为以后活动的出发 9 点和条件，指导着新的研究活动的进行。 因此，数学思想方法被视为数学活的灵魂，对数学学习和数学实践起着指导、 统帅的作用。它是中学数学的有机组成部分，中学数学不仅要让学生掌握一定 的数学知识，而且要让学生掌握相应的数学思想方法。 在中学开展数学研究性学习，更是离不开数学思想方法的指导。首先，数学 研究性学习课程目标的实现离不开数学思想方法的指导，这是因为，任何探究 活动都不是盲目的，而是在一定的科学方法指导下进行的，探究能力事实上是 指自觉使用科学方法进行研究的能力，探究经验是指对这些科学方法使用情况， 使用效果的一种总结，在使用这些方法时会碰到各种问题，会成功，也会失败， 于是就有了体验，甚至形成一定的态度。在数学研究性学习中，这一科学方法 就是数学思想方法。开展数学研究性学习的一个主要目标是：让学生获得探究 的经验，发展探究能力，学会学习，学会应用，学会研究，并形成良好的情感 与态度。这就决定了数学研究性学习必须是在数学思想方法指导下的有目的的 学习。其次，数学研究性学习的实施离不开数学思想方法的指导。这是因为， 数学研究性学习没有现成的书本和教材，没有现成的解题思路和答案，它是探 索性的；它需要学生自己发现问题、选择问题，自己分析问题、解决问题，是 自主性的。学习的过程，教师不能包办，也不一定包办得来，这时，唯一能起 作用的，就是数学思想方法。事实上，数学思想直接影响着学生发现问题、提 出问题、分析问题的思维能力和态度。数学方法直接影响着数学研究性学习中 学生分析问题、解决问题、表述问题的能力，甚至影响着学生在数学研究性学 习中的情感和体验。可以说，数学思想方法渗透于数学研究性学习的全过程， 对数学研究性学习起着指导和统帅的作用。因此，以数学思想方法为指导是数 学研究性学习的内在要求。在“点石成金”的成语中，如果说通过数学研究性 学习所达到的目标是“金”，那么数学思想方法是点石的“手”。这只无形的“手” 就是策略、工具，这只无形的“手”就是数学研究性学习中学生的第二个“老 师”。反过来，通过数学研究性学习，学生加深了对数学思想方法的领悟和理解， 又能促进学生数学思想方法的进一步形成和发展。因此，可以说，数学思想方 法与数学研究性学习是互相作用、互相促进的。 数学思想方法对数学研究性学习的指导作用不仅包括对学生的指导，也包括 对教师的指导。在数学研究性学习中，教师与学生站在同一起跑线上，如果说 教师比学生有优势的话，那是指教师能够更加自觉和自如地应用数学思想方法 的指导。 1 0 4以数学思想方法为指导，开展中学数学研究性学习 在本章，我们将结合具体的例子，较详细地论述一些数学思想方法对数学研 究性学习的指导作用。实践中，我们发现，一个数学研究性学习可能由某种数 学思想方法展开，在研究的过程中又需要多种数学思想方法的指导；一个数学 思想方法对研究性学习的指导，可能贯穿于学习的全过程，也可能只是某一阶 段，或者某个阶段的某个关键环节。因此，要全面地对它们进行一对一的论述， 显然是很困难的，也没有这个必要。为了论述的方便，不失一般性，我们先确 定如下思路： 在数学思想和数学方法中，我们选择数学方法，并从数学方法中选择五种 进行论述。这种选择，并不是说它们比其他数学思想方法，在数学研究性学习 中所起的作用来得大。事实上，一个数学问题的选择与解决常常需要多种数学 思想方法来指导，这一点，我们下面会在例子中论述到，也正因为这样，我们 在第二章花了不少篇幅整理出中学数学主要的思想方法，目的是供大家在使用 时作个参考。 数学研究性学习是指以数学问题为中心的研究性学习。它主要围绕着数学 问题的提出和解决来组织学生的学习活动。虽然数学思想方法对数学研究性学 习的指导可以渗透到学习的全过程，但根据我们的经验，选择和确定课题，解 决数学问题是数学研究性学习的两个主要的关键的环节。因此，我们的论述主 要针对这两个环节进行，即选题和解题。 数学问题主要有两类，一类是实际问题，一类是纯数学问题，在论述中， 我们尽量地对它们进行兼顾。 4 1 变换与转化 变换与转化属于哲学方法层次，它是指把一个矛盾转变为另一个矛盾，是 辩证法中矛盾转化法在数学中的具体运用，恩格斯指出：从一种形式到另一种 相反形式的转变，是数学科最有力的杠杆之一。变换与转化有很大的概括性， 它的应用在中学数学中随处可见，它是学习数学和探索数学的主要工具和方法。 在数学研究性学习中，对于一个数学问题，我们可以对它实行一系列的变换， 可以变换条件，也可以变换结论，还可以同时变换条件和结论，可以作等价变 换，也可以作非等价变换。通过变换，一方面，我们可以从已学过或研究过的 数学问题中去发现新问题、探索新知识，从而使研究性学习的选题能够立足于 课堂，立足于已研究的成果上。另一方面，我们可以把待解决或未解决的问题， 通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而解 决问题，这就是化归法。不过，变换转化只是在原则上给出了一种懈决数学问 题的基本思想和手段，至于对每个具体问题如何实现这种变换与转化过程，则 需要在多方面进行探索，其中起主要作用的是第二、第三层次的数学方法，但 有时起主要作用的仅仅是一种变换的思想。 4 1 1 对已知的数学命题进行变换，从而寻找新命题，展开数学研究性学习。 例1 ：设a b ，c r + ，且a + b + c = l ，求证： 三+ ! + ! 9 abo 这是高二数学的一道普通题，其证明如下： a + b + c = 1 三+ 土+ 三= ! ! ! + 旦! ! + 堡! ! abcab c = 3 + ( 皇+ _ a ) + ( 三+ 旦) + ( 导+ 皇) 0 口coc 3 + 2 + 2 + 2 这道题的本质是一个条件极值问题，当a _ b = c ：；时，三+ _ 1 + ! 有最小值9 。 j口dc 由此，我们保留题中的条件，对结论作一系列变换。比如考虑去+ ：1 彳+ 1 f 口b c 些i a = b = c 2 j 1 时，7 1 + 古+ 7 1 列 而当a _ 慨不成立，比女【ia = 1 ，b = c = 1 ，7 1 + 矿1 + 7 1 = 3 6 砣7 。 吉+ 古+ 吉z ， 循着上述途径，保留例题的条件，变换例题结论，可得到如下命题： 设a ，b ，c r + ，且a + b + c = l ，求证： 砉+ 嘉+ 吉z ， ( 2 ) a 2 - - b 2 - p c 2 ； a 3 + b 3 “； ( 4 、石+ 压+ 如拈 ( 5 ) 忑1 + 万1 + 忑1 3 压 ( 6 ) a b c 西1 ( 7 ) a a b b c e ； j ( 8 1a 3 + b 3 + c 39 a b c ( 9 ) ( 1 一a ) o - b ) ( 1 一c ) 一 8 a b c 0 0 ) ( 三一1 ) ( 三一1 ) ( 三一1 ) 8 口dc ( 1 1 1j f _ + j l + j l 三 b + c口+ cd + b2 ，熹bc + 熹ac + 击ab 呈2+ ( 】3 ) ( a + 三) ：+ ( 6 + i 1 ) ：+ ( c + 三) ：半 adcj f 1 4 1 i 万+ 厮+ 、i j 4 - , f i 点评：倒1 保留命题的条件，对结论进行一系列变换。变换的主要思想是 数学美中的对称性：已知条件a + b + c ：1 中a 、b 、c 是对称的，结论土+ 三+ 上 adc 9 中的a 、b 、c 也是对称的。在此思想的指导下，我们用类比的方法，由 + + 类比到吉+ 丁1 + 与击+ 而1 + 去等情况。通过试验和猜想得到 一系列新命题，并进行研究。 例2 ：在a a b c 中，d l ，d 2 是a b 的三等分点， e l ，e 2 是a c 的三等分点，如图3 1 ， 求证：s d i d2 e 2 e i = i ，s 。a b c 。 现在，我们分析此题的特征。 b 1 3 图3 1 c d 1 ，d 2 和e 1 ，e 2 分别是a b 、a c 的三等分点。 d l e 】和d 2 e 2 将a a b c 分成三部分，四边形d i d 2 e 2 e 1 是中间的一部分a s d l d2 e 2e l 是s 6 a b c 的 ，即平均值。 我们注意到，上面三个特征都与奇数3 有关，于是 对条件和结论作如下变换。 1 、在a a b c 中，d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 是a b 的五等分 点，e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 是a c 的五等分点，如图，3 2 1 求证：s d 2 d3e3 e ，2 s a b c ) 2 、在a b c 中，d l d 2 ，d 2 。是a b 的 2 n + 1 等分点，e l ，e 2 ，e 2 。是a c 的2 n + 1 等分点，如图3 3 1 求证：s d n d n + 1 e n i e n2 焘s a b c 。 进一步，我们在b c 边上考虑等分点，又可作出如 3 、在a a b c 中，d l ，d z 是a b 的兰等分点， e 1 ，e 2 是a c 的三等分点，f l ，f 2 是b c 的三等 分点，如图3 - - 4 ：求证： s 惝- - 1 s 脏咒 4 、在a a b c 中，d 】，d 2 ，d 2 。是a b 的的 2 1 1 4 - 1 等分点，e l ，e 2 ，e 2 。是a c 的2 n + l 等 分点，f l ，f 2 ，f 2 。是b c 的2 n + 1 等分点， 如图3 5 ，求证： 1 8 m n p q 2 面斋s a b c 把三角形推广到四边形，又可作出如下猜想。 5 、在四边形a b c d 中，e l ，e 2 是a d 的三等 分点，f l f 2 是b c 的三等分点，如图3 - 6 ， 求证： 1 s e lf l f 2e2 2 s a b c d 1 4 a f lf 2 图3 4 斗缝 l -| p c c 6 、在四边形a b c d 中，e l ，e 2 ，e 2 n 是 a d 的2 n + 1 等分点，f 1 ，f 2 ，f 2 。是b c 的 2 n + 1 等分点，如图3 - - 7 ，求证： s v + i e = 丽1 s a b c 。 7 、在四边形a b c d 中，e l ，e 2 是a b 的三等 分点，f l ，f 2 是b c 的三等分点，g l ，g 2 是d c 的三等分点，h b 啦是a d 的三等分点，如图3 8 ， 求证： s m n p q _ 石1 s a b c 。 8 、在四边形a b c d 中，e l ，e 2 ，e 2 。是 a b 的2 n + 1 等分点，f l f 2 ，f 2 n 是b c 的2 n + l 等分点，g l ，g 2 ，g 2 。是c d 的 2 n + 1 等分点，h l ，h 2 ，h 2 。是a d 的2 n + 1 等分点，如图3 - - 9 ， 1 求证：s m n p q = 面 矿s a b c d e 1e 口e i i + i e 2 “ h lh n h n + l h 2 n 。f ：f 例g 。 7 np i b f lf 。f n + lf 2 n c 图3 9 点评：例2 抓住命题的基本特征，对命题的条件与结论作相应的变换，猜 想出八个新命题，实现这种变换的数学思想方法是归纳法( 由特殊到一般) 和类比 ( 由三角形类比到四边形) 。 例1 、例2 说明，通过对已知命题进行变换，可以得到一系列命题，从而使 数学研究性学习能够立足于课堂这一教学的主渠道，降低选题的难度。同时， 我们也看到，实现这种变换需要多种数学思想方法的指导。 4 1 2 对已知的数学研究性课题进行变换，从而寻找新课题，展开数学研 究性学习。 新教材高一数学p 1 3 3 给出了数学研究性学习的典型范例。 分期付款中的有关计算 例题大体如下： 顾客购买一件售价为5 0 0 0 元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内 将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。 翼嘉 分几次 付款方法 每期所付 付款总额 与一次性 付清款额 付款差额 购买后4 个月第1 次付款，再 1 3 次过4 个月第2 次付款，再过4 个月 第3 次付款。 购买后2 个月第1 次付款，再 2 6 次过2 个月第2 次付款购买后1 2 个月第6 次付款。 购买后1 个月第1 次付款，再 3 1 2 次过1 个月第2 次付款购买后1 2 个月第1 2 次付款。 注 规定月利率o 8 ，每月利息按复利计算。 要求，填好表格中的空格，并概括出一个分期付款的一般的公式。 完成这一课题后，学生就想：能不能对它进行变换，现实生活中有没有跟 它类似的问题值得研究，带着这一思路，学生找到了如下课题。 例3 ：甲向乙购买一套住房，共需3 0 万元，两人私下达成如下协议：购买 当天甲首付1 5 万元，以后每月的这一天付5 0 0 0 元，并加付欠款利息，月利率 为o 5 ，如果交付1 5 万元后的第1 个月开始算分期付款的第1 个月，问第几个 月付清，全部付清后，甲购买这套住房实际花了多少钱? 解：妥善= 兰：3 0 u )u ) 甲第3 0 个月付清款项。 甲首付1 5 万，第1 个月付5 0 0 0 元，欠款利息是1 5 o 5 ，所以第一个 月甲需付0 5 + o 5 1 5 ，第二个月需付o 5 + o 5 x ( 1 5 - - 0 5 ) ，依次类推，第n 个月甲需付0 5 + 0 5 【1 5 一( n i ) 0 5 ( 万元) 因此，全部付清后，甲实际付的钱 m 2 1 5 + o 5 + 0 5 x 1 5 】+ 0 5 + 0 5 ( 1 5 一l 0 5 ) _ + 【0 5 + 0 5 ( 1 5 - - 2 9 o 5 ) 2 1 5 + 0 5 x 3 0 + 0 5 x 1 5 x 3 0 - - o 5 x 0 5 ( 1 + 2 + + 2 9 = 3 1 1 6 2 5 ( 万元) 点评：本例是现实生活中私人间房产交易的常见例子，它的付款方式与范 例不同，甲方每月不但要付5 0 0 0 元，而且要付清欠款利息。 例4 ：某房产公司推出两套售房方案 甲方案：一次性付款，优惠价9 万元 1 6 乙方案：分期付款，首付3 万元，然后每过一年付款8 0 0 0 元，连续1 0 年( 即 再付1 0 次款) 一买房者有现金9 万元，可一次性付款购房，也可以分期付款。若用分期 付款，他的余款6 万元可用于年收益率为x 的投资。问： 若x = 5 ，购房者采用哪种方案合算。 请根据x 的范围为购房者选择一种较为合理的方案。 解：设购房者选择乙方案。他第n 次付款后的余额为a n ，则有 a l = 6 ( 1 + 5 ) 一o 8 = 6 1 0 5 0 8 a 2 = a l ( 1 + 5 ) 一o 8 = 6 1 0 5 2 0 8 1 0 5 - - 0 8 a 3 = a 2 ( 1 + 5 、一o 8 ：6 1 0 5 3 0 一一810 5 20 810 50 8 a l o = 6 1 0 5 1 00 8 ( 1 0 5 9 + i 0 5 8 + + 1 0 5 + 1 ) ：6 1 0 5 1 0 一o 8 堕! ：二! 1 0 5 l = 1 6 - l o x1 0 5 1 0 ( 8 0 - 6 x x l + x ) 1 0 这是学生无法解出的题目，但学生用近似计算的思想，得到 当x = 5 6 时8 0 ( 8 0 6 x ) ( 1 + x ) 7 9 7 2 8 确定x 的取值范围是5 6 x 5 7 因此，当x 5 7 时，选择乙方案，当5 6 x 5 7 时，两种方案相差不多，选择甲方案和乙方案都可以。 点评：本例涉及到投资收益、方案选择、近似计算思想等实际问题。 例5 ：银行存款研究 学生想，把付款变换为存款，那么情况如何呢? 如果利息能产生利息，那 么银行不同存期的存款利率应该是不同的，否则客户会频繁地存进取出。于是 选择此课题展开研究性学习。 1 、调查得，2 0 0 2 年4 月银行存款利率表( 定期) 存期3 个月6 个月 1 蛀2 薤3 熊5 镞 【年利率( ) 1 7 l1 8 91 9 82 2 52 5 22 7 9 2 、调查得到银行利息计算方法 计算公式是：l = a ( 1 + n x ) l 为到期的本息和，a 是本金，n 是存期( 单位为年) ，x 是各存期的相应的年 利率，见上表，不计复利。 例：1 0 0 0 0 元存入银行，存入方式是3 个月期。 1 则a 。1 0 0 0 0 ，n 以年为单位，n _ 音。0 2 5 ( 年) ，x 2 1 7 1 三个月到期后，本息和 l = 1 0 0 0 0 ( 1 + 0 2 5 x 1 7 1 ) = 1 0 0 4 2 7 5 ( 元) 3 、存款方式及收益情况。 对各种存款方式进行研究，这里举例说明。设某人有本金1 0 0 0 0 元，存款 时间定为1 年，则定期的存款方式有以下6 种：( 一表示再转存) 3 个月期一3 个月期一3 个月期一3 个月期 6 个月期一3 个月期一3 个月期 3 个月期一6 个月期一3 个月期 3 个月期一3 个月期一6