（应用数学专业论文）非线性序集逻辑系统中命题的真度理论及近似推理理论.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 近几年来，模糊控制技术取得了很大的成功，但作为模糊控制技术核心的模糊 推理在数学理论上却缺乏严格的逻辑基础，由此引起了世界上许多学者的广泛关 注，为模糊控制寻求不依赖于模糊集的新型近似推理方法成为当前近似推理领域 研究的热点问题模糊逻辑是模糊推理的数学基础，同时也是人工智能界关注的 热点，许多基于不同实际背景的形式演绎系统被提出，应明生教授在二值逻辑 的框架下提出了一种基于相似度的近似推理理论王国俊教授在他的专著非经 典数理逻辑与近似推理以及一系列文章中提出的近似推理理论也不依赖于模糊 集，且最近他又基于均匀概率的思想在经典二值命题逻辑中提出了命题的真度理 论，并提出了一种不依赖于模糊集理论的近似推理理论随后国内一部分学者将 这种思想推广到多值、连续值甚至是非线性序集逻辑系统中，在本文的研究中， 将引用上述思想和方法，对四值非线性序集逻辑系统丘以及五值非线性序集逻辑 系统层中的近似推理理论进行探讨和研究 本文共分为三部分： 第一部分：作为预备知识，给出了本文要用到的均匀概率空间的若干定义 第二部分：对四值非线性序集逻辑系统丘中的近似推理理论进行了研究，在e 中提出了命题的真度概念，研究了它的一些简单性质，给出真度推理规则并讨论 了全体公式的真度之集在 0 ，1 上的稠密性；在真度的基础上又提出了公式之间 的相似度概念，由此导出了伪距离并讨论了它的简单性质；最后讨论了e 中的近 似推理问题 第三部分：讨论了五值非线性序集逻辑系统层中的近似推理理论在e 的基础 上，建立了非线性序集逻辑系统层，同时利用均匀概率的思想在层中建立了公式 山东大学硕士学位论文 的真度概念，从而也讨论了其中相应的近似推理问题 关键词：逻辑系统；非线性序集；真度；推理规则；近似推理 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h et e c h n o l o g yo ff u z z yc o n t r o lh a sb e e nag r e a ts u c c e s s t h et h e o r yo ff u z z yr e a s o n i n ga st h ec o r et e c h n o l o g yo ff u z z yc o n t r o l ， h o w e v e r ，i sl a c ko fs t r i c tl o g i c a lf o u n d a t i o ni nm a t h e m a t i c s t h a ta r o u s e s t h ew o r l d - w i d ea t t e n t i o n sf r o mm a n ys c h o l a r s s e e k i n gt h en e wm e t h o d so f a p p r o x i m a t er e a s o n i n gw h i c hd o e sn o tr e l yo nf u z z ys e t sf o rt h ef u z z y c o n t r o lb e c o m e sah o tt o p i ci na p p r o x i m a t er e a s o n i n gc u r e n t l y f u z z yl o g i c i st h em a t h e m a t i c a lb a s i so ff u z z yr e a s o n i n ga n dt h ef o c u so fa r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e m a n yf o r m a ld e d u c t i o ns y s t e m sw e r ep r o p o s e du n d e rd i f f e r e n t p r a c t i c a lb a c k g r o u n d p r o y i n gm i n g s h e n gp r o p o s e dat h e o r yo fa p p r o x i m a t e r e a s o n i n gb a s e do ns i m i l a r i t yu n d e rt w o v a l u e dl o g i cf r a m e p r o w a n g g u o j u np r o p o s e dat h e o r yo fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gw h i c hd o e sn o tr e l yo n t h ef u z z ys e ti nh i sm o n o g r a p h ”n o n c l a s s i c a lm a t h e m a t i c a ll o g i ca n d a p p r o x i m a t er e a s o n i n g ，a sw e l l a sas e r i e so fa r t i c l e s r e c e n t l yh e a d v a n c e dt h et h e o r yo ft r u t hd e g r e eb a s e do nt h eu n i f o r mp r o b a b i l i t yi n t h ec l a s s i c a lt w o v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i ca n dp r o p o s e dat h e o r yo f a p p r o x i m a t er e a s o n i n g ，w h ic hd o e sn o tr e l yo nt h ef u z z ys e t t h e nt h e d o m e s t i cs c h o l a r se x t e n d e dt h i s t h o u g h t t o m u l t i p l e v a l u e d ， c o n t i n u o u s v a l u e da n de v e nt h en o n l i n e a ro d e r i n gl o g i cs y s t e m i nt h i s p a p e r ，w ew i l ld i s c u s st h et h e o r yo fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nf o u r v a l u e d l o g i cs y s t e m sa s s o c i a t e dw i t han o n li n e a ro r d e r i n gt r u ev a l u es e ta sw e l l a si nf i v e 。v a l u e dl o g i cs y s t e m sa s s o c i a t e dw i t han o n li n e a ro r d e r i n gt r u e v a l u es e tb a s e do nt h ea b o v et h o u g h ta n dt h em e t h o d s t h i sp a p e rc o n t a i n st h r e ep a r t s ： p a r t1 ：p r e li m i n a r yk n o w l e d g e g i v i n gc e r t a i nd e f i n i t i o n so ft h ee v e n l y d i s t r i b u t e dp r o b a b il i t ys p a c en e e d e di nt h i sp a p e r p a r t2 ：r e s e a r c hi nt h et h e o r yo fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nf o u r v a l u e d l o g i cs y s t e m sa s s o c i a t e dw i t han o n l i n e a ro r d e r i n gt r u ev a l u es e t 丘： f i r s t ，w ei n t r o d u c e d t h et h e o r yo ft r u t hd e g r e ei n e a n dg a v es o m e 山东大学硕士学位论文 i n f e r e n c er u l e s i tw a sp r o v e dt h a tt h es e to ft r u t hd e g r e e so f p r o p o s i t i o n si sd e n s ei n 【o , 1 】s e c o n d ，w ep u tf o r w a r dt h es i m i l a r i t yo f af o r m u l ab a s e do nt h et r u t hd e g r e e f r o mt h is w ed e r i v e d t h e p s e u d o d i s t a n c ea n dd i s c u s s e di t ss i m p l ec h a r a c t e r s f i n a l l y ，w e d i s c u s s e dt h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gi n 丘 p a r t3 ：r e s e a r c hi nt h et h e o r yo fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nf i v e v a l u e d l o g i cs y s t e m sa s s o c i a t e dw it han o n li n e a ro r d e r i n gt r u ev a l u es e t 层： k e yw o r d s ：l o g i cs y s t e m ；n o n l i n e a ro r d e r i n gs e t ：t r u t hd e g r e e ：i n f e r e n c e r u l e ：a p p r o x i m a t er e a s o n i n g 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：酷墨墨 日期：趔：! 呈：型 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：馨汪立一导师签名：盍l 华l 日 期：竺型乙掣 山东大学硕士学位论文 刖吾 自动控制理论经过“经典控制理论 和“现代控制理论”两个阶段大约一百多 年的发展后，现今已发展到“智能控制阶段 ，而近似推理理论则是当今研究智 能控制问题的重要方法和手段之一 1 9 6 5 年，美国著名控制论专家l a z a d e h 提出了模糊集概念，此后又于1 9 7 3 年提出了著名的c r i 算法在c r i 算法提出不久，e h m a m d a n i 等首次把c r i 算法 用于模糊控制2 0 世纪7 0 年代以后，各种模糊推理方法纷纷被应用于工业控制与 家电产品的制造中，但作为模糊控制基础的模糊推理在理论上却缺乏严格的逻辑 基础，在一定程度上制约了模糊控制技术的推广和发展 最近几十年以来，伴随着模糊集的提出，模糊推理理论在众多数学工作者的努 力下已经取得了很多的成果【卜2 2 i ，但模糊推理的逻辑基础这个问题并没有得到解 决并且近似推理理论也可以不与模糊集联系在一起 2 3 - 2 9 】因此为模糊推理建立 严格逻辑基础以及寻求不依赖于模糊集的新型近似推理方法便成了当前近似推 理领域研究的两大热点问题，并具有广泛的应用背景。随着真度理论的建立，围 绕着真度展开的命题集f ( s ) 中的近似推理越来越引起众多数学工作者的注意，文 献 3 0 一3 3 都是这方面研究的成果 文献 2 6 基于均匀概率的思想在经典二值命题逻辑中提出了公式的真度概念， 并提出了一种近似推理的框架，文献 3 4 在二值逻辑的框架下提出了种基于相 似度的近似推理理论文献 3 5 4 1 则基于伪距离在几种常见的多值和连续值逻 辑系统中建立了近似推理理论，并得到了一系列好的结论 文献 2 9 、 4 2 、 4 3 分别讨论了l u k a s i e w i c z 逻辑系统、乘积逻辑系统、标 准序列逻辑系统、g o d e ，逻辑系统中公式的真度理论，文 4 4 4 5 基于上述真度 理论研究了相关系统中的近似推理理论，但上述文章研究的均是线性序集逻辑系 统中公式的真度理论或是近似推理理论，那么对于非线性序集逻辑系统中公式的 真度理论以及近似推理理论又如何呢? 本文便是在刘华文老师的指导下，一方 面，针对文 4 6 中提到的一种非线性序集逻辑系统e ，利用文中提到的真度概念， 导出了公式之间的相似度概念，从而也就有了逻辑度量空间，研究了它们的简单 山东大学硕士学位论文 性质最后在该逻辑度量空间中讨论了近似推理问题另一方面，在层的基础上， 建立了非线性序集逻辑系统鬈，同时利用均匀概率的思想在层中建立了公式的真 度概念，从而也讨论了其中相应的近似推理问题 6 山东大学硕士学位论文 第一章预备知识 定义1 1 2 6 4 7 1 设4 “) 是概率测度空间，这里以是以上的概率测度，a n 是全 体心可测集之族，心( 以) = 1 令x = 兀x 。在x 上可生成一个仃一代数a ，这时 打；l x 上存在唯一的测度p 满足条件： ( 1 ) a 是x 中的p 可测集之族； ( 2 ) 对于兀x 。中的任一可测集e ， n = l e 兀以可测，且 一= 埘+ l z ( ex 兀x 。) = ( p l p 2 p ，汪 朋= l 纠2 一 ( 1 1 ) n = n l + l 称为x 上的关于p 。，j l l ：，的无穷乘积测度，概率测度空间( x ，a ，p ) 也简记为x 定义1 2 。2 6 1 设s = p 。，p ：，) ，( s ) 是由s 生成的( 1 ，v ，专) 型自由代数，这里1 是，( s ) 上的一元运算，v 与专均是f ( s ) _ l 的- - 元运算，则称s 中的元为原子命 题( 或原子公式) ，称f ( s ) 中的元为命题( 或公式) 定义1 3 设v q ，则由f ( s ) 是f hs 生成的自由代数知v 由1 ，i s 唯一确定设 v 。) ：v 。 ：1 ，2 ，) ，则无穷维向量；：0 ，v ：，) x ，这里x 是由定义1 1 确 定反之设；：o 。，v ：，) x ，则由；唯一确定q 中的一个赋值v ，这里 1 ，0 。) ：v 。g ：1 ，2 ，) 令妒) ：；，则9 ：q 专x 是从q 到x 的一一满射，称9 为q 的测度化映射 注1 1 设爿= a ( p ，, , - - - , p f _ ) ， ) ，令 则 e = ： o ，、，：，。) e ；】 ! j 【r k i 、，t ；q ，、，( 爿) = = 1 k = 1 ， c 1 2 ， = o ，v ：，v 。) 兀x k l v q ，v ( 爿) = ， ( 1 - 2 ) l i j - 】e 兀p ，i _ ，k = 1 2 一，m ( 1 3 ) 7 山东大学硕士学位论文 第二章四值非线性序集逻辑系统e 中的近似推理理论 2 1 四值非线性序集逻辑系统叠中公式的概率真度 定义2 1 1 【4 6 1 设以= o ，1 ) ，z 。是x 。上的离散概率测度，即。( 妒) = 0 ， j l l 。( x 。) = 1 r p 。( o ) = j l t 。( ， ) = j l l 。( ， ) = p 。( 1 ) ) = i 1 ( 刀= l ，2 ，) 令x = 兀以，设j l l 为x 上的关于地，j l l ：，的无穷乘积测度，称j l l 为四值逻辑均 匀测度 定义2 1 2 设三= 0 ，i ，1 ) ，其中1 ，v ，人，一如下定义： ( 1 ) 一o = l ，一l = 0 ，一，= ，- j = ， 10vi = i ，0v ，= ， ( 2 ) j 几卜l 几小l i i v ，= 1 ， i ，v1 = l ，v1 = 1 f0a i = 0 ，0 aj = 0 ， ( 3 ) i ai = ，jaj = j , l ia ，= 0 ， i ia 1 = i ，jal = ， f 0j0 = 0 一i = 0 专j = 0 专1 = i 专l = ，j1 = 1 ， l，一i = j 专j = 1 专1 = 1 ， ( 4 ) ，一0 = j 专，= 1 专，= ， i，- - ) 0 = i _ j = 1 寸j = j ， l 1 - + 0 = 0 则三成为一( 1 ，v ，专) 型代数，称为四值逻辑系统丘 设v ：f ( s ) - - + l 是h v ，一) 型同态，则称，是，( s ) 的赋值映射，v a f ( s ) ，v 0 ) 叫公式彳的赋值f ( s ) 的赋值映射的全体记为q 定义2 1 3 设a f ( s ) ，令 悱辟x l ve 【 2 , v 悱- 卜) = p 8 山东大学硕士学位论文 称f 0 ) 为a 的真度 显然，对f ( s ) 甲任一公式a ，都硐0 f 怛) 1 又逻辑等价的公式有相l 司的真 度 注2 1 1 由文献 2 6 知，把f 0 ) 称为彳的真度是恰当的由定义2 1 3 容易证明 下面的命题 命题2 1 1 设彳、b f ) ，则 ( 1 ) a 是重言式时，f 0 一b ) = f 佃) ，f p _ 彳) = 1 ( 2 ) 当a 是矛盾式时，f 0 ) = o ( 3 ) a 是重言式当且仅当f 0 ) = 1 证明( 1 ) 。a 是重言式v 1 ，q 有v ( a ) = 1 c 4 专召，= 苫叫v c 彳哼曰，= ) = ；x l v c 彳，专v c b ，= = 辟x 卜c 耻- ) 由定义2 i 2 知 c 彳 b ，= 苫x l v c b ，= - ) = c b ， 故f 0 寸b ) = 弘旺么专b 】) = “旺别) = f 佃) c b 一么，= ；x i v c b 寸么，= ) = ；x l v c b ，专v c 彳，= ) = p 卜一) 9 山东大学硕士学位论文 t b 专彳，= ；x l v c 口，寸，= ) = r i 故r ( b 寸4 ) = p 旺b 专彳】) = “伍) = 1 ( 2 ) a 是矛盾式v v q 有v ( 4 ) = 0 t 4 ，= ；x l v c 彳，= = 妒 故f 0 ) = j l l 旺彳】) = j l l ) = o ( 3 ) 设a 是重言式则v v q 有v ( a ) = 1 f t 2 _ ，设彳不是重言式，彳= 4 b ，p ，_ ) ，则有v q 使得v 似) 1 设v b 瑶) = v = l ，埘) ，则h ，v ) 诺e ，这里e 由( 1 2 ) 式确定 因龇溉眠她巩( k ) ) = 册， 所以o 。如x e ) 1 一( 丢) 肺，从而，由( ，式和c 3 ，式可知 j l l m 1 ，即r 0 ) 1 ，此与f 0 ) = 1 矛盾从而彳是重言式 命题2 1 2 ( 真度推理规则) 设彳、b 、c ， ) ( 1 ) ( m p 规贝0 ) 若f 0 ) 口，f 0 争b ) 卢，贝i j r ( b ) 口+ 卢一1 ( 2 ) ( h s 规则) 若f 0jb ) o r , r 专c ) 卢，则f 0 专c ) 口+ 卢- 1 证明c t ，令q = f x i v e q , v 。，= ) ，g ：= f x l v e c 2 , v 。专召，= t ) ， 则f 0 ) = ( g 。) ，f 0jb ) = p ( g ：) 显然有 i p ( g 。ug ：) = p ( g 。) + p ( g ：) 一p ( g 。ng ：) ， 1 0 x = 4 ( 1 v ： 斗泸 已 仪 v p r1 = = n 1 j i 棚 m 卜r 旺p 4 故 山东大学硕士学位论文 从而，p ( g lng 2 ) ( g ，) + p ( g 2 ) 一1 a + f l 一1 令g = f x i v q v 佃) = 1 ，则f 佃) = ( g ) 又g 3 g lr 、g ：，事实上，若 ；g lng ：，则，0 ) = 1r 1 ，0 专b ) = 1 从而1 寸y ( b ) - - 1 由定义2 1 2 知v 忙) = 1 故1 ，g ，所以 f 但) = ( g ) j l l ( g 。ng ：) a + f l 一1 c 2 ，令g 。= f x l v e f f ) , v 。寸b ) = ) ，g ：= 苫x 忙“b 卅= t ) ， 则r 0 专b ) - p ( g ，) ，f 佃一c ) = j l l ( g ：) 显然有 1 ( g ，w g ：) = ( g 。) + p ( g ：) 一( g 。r 、g ：) ， 从而，p ( g lng 2 ) ( g 。) + p ( g ：) 一1 a + f l - 1 令g = ；x l v q ，v 。专c ) = ，) ，贝o f p ) = p ( g ) y g3 g ln g 2 ，事实上，若0 g lng 2 ，贝j jv ( 4 一b ) = 1r v ( 8 一c ) = 1 从而由定义2 1 2 知v 0 专占) = ，0 ) j1 ， ) = 1 成立当且仅当下列情况之一成立： 鬣：； 留三：； 描三：； 础篓： 鬈舅：嘶一 同理由定义2 1 2 知v p c ) = 1 ，p ) jv ( c ) - 1 成立当且仅当下列情况之一成立： 留言加， 豁；邝， 粥警； 粥蝥郑，粥舅郑呻) 卅 若v 0 ) 、v p ) 取情况，则v p ) 、v ( c ) 只能取情况( 6 ) ，从而有 山东大学硕士学位论文 f v ( 彳) = 0 t v ( c ) ：1 由定义2 i 2 知，、心专c ) = v 0 ) 专v ( c ) = i 同理可讨论其余几种情况，均有心_ c ) = v 0 ) 专v ( c ) = l 成立 - 故，g ，所以 f 0 专c ) = j l l ( g ) j l l ( g lr 、g ：) a + p 一1 由命题2 i 卜命题2 1 2 知，若a = 卢= l 得如下推论： 推论2 1 1 设么、b 、c f ) ( 1 ) 若f 0 ) = 1 ，f 0 一b ) = 1 ，则r 佃) = 1 ( 2 ) 若r 0jb ) = 1 ，f p c ) = 1 ，则r 0 专c ) = 1 注2 1 2 由推论可知，m p 规则、h s 规则是保持真度值为i 的公式的，即保持重 士争 石a 2 2 三；中公式真度的分布 定义2 2 1 设a f ( s ) ，公式2 彳定义如下： 2 a = 彳专么 例2 2 1 【删设 b i = p ，b 2 = p 专叩，b 3 = 0 专叩) h 专p ) 求r 慨) ，f 佃：) ，f 慨l 解阻】= f x l v 慨) = ) = 1 垂以， 妣陋，) = p 临n = i 1 陋：】= ；x l v p ：) = ) = ；x l v 。) - ) ， 贴p ：) = ：= 三 慨】= f x l v 慨) = ) = f x l v 。) = 威v 。) = j ) ， 1 2 山东大学硕士学位论文 则f 慨) = 卢以d = 专 注2 2 1 将0 专叩) h _ p ) 简记为ph 呻 注2 2 2 由上面例题可以看出r ( 2 ) ) = 1 一f 0 ) 定理2 2 1 在e 中，( s ) 中全体公式的真度值之集在【o ，1 】中是稠密的 证明见参考文献 4 6 2 3 系统e 中公式的相似度与伪距离 定义2 3 1 在系统e 中，设4 、b f ) ，令 考丘0 ，b ) = f 心。b ) 八陋一么) ) ， 称考e 0 ，b ) 为公式么与b 之间的相似度 例2 3 1在系统e 中，计算公式a - qb2 _ f n q 的相似度设( 1 n = p ，b = g ， 。( 2 扣= p ，b = 呻( 这里p - qq 是不同的原子公式) 解( 1 ) 专丘0 ，b ) = 考丘0 ，q ) = r 妇jg ) 八q 寸p ) ) = 旺专g ) 八( g 专p ) d ， 又刊八q j 排辟x l v 刊八qj 排) = 苫x l v 。专g ) = v ( g 专p ) = t = 苫x l v 。) = v ( g ) ) f ( 0 专g ) 八q 专p ) ) = j l l ( 0jg ) 八白jp ) d ll1l11111 = 一一+ 一一+ 一一+ 一一= 一 44 4 4 4 4 4 44 考霹o ，召) = 三 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) 考日( 彳，b ) 2 考层【p ，叩) = f u p 专p ) 八卜g 专p ) j = j l l 。- - , p ) ah 专p ) d ， 又 ( p - - - - - , p ) 入h 一徘辟x 阻专呻) 八h 一排) = 辟x i v 。专叩) = y h 专小) = 辟x 旧= v h ) ) = 辟x 旧= 威v ”j ) 毒层( 彳，b ) 一4 命题2 3 1 在系统层中，设彳、b 、c f ) ，则 ( 1 ) 考丘( 彳，b ) = 1 当且仅当彳b ； ( 2 ) 考丘0 ，b ) = o 当且仅当4 与b 中，其一为准重言式，另一为矛盾式且么与曰 不逻辑等价； ( 3 ) 考层( 彳，曰) + 考层p ，c ) 毒日( 彳，c ) + 1 e m ( 1 ) 考l 20 ，b ) = 1 p 舭寸召) 八佃寸彳) d = 1 陋j b ) 八p _ 彳) 】= f x l v v q ，有v 。j b ) 八v p j 么) = ) 陋专b ) 八p 专彳) 】= f x i v v e q , 有v 。) = v 。) ) c ，a b ( 2 ) 考e ( 彳，b ) = o p 陋专b ) 八p 寸彳) 】= o 1 4 山东大学硕士学位论文 陋寸b ) 八p 寸彳) 】= f x l v v g 有v 。_ b ) 八v p 寸么) ) 陋寸b ) a p 一彳) 】= f x f v v e ( 2 , 有y 。) 。，v p ) 1 ，v 。) v p ) 或v 0 ) 1 ，v 忙) o ，似) v 忙) a 与b 中，其一为准重言式，另一为矛盾式且彳 与b 不逻辑等价 c 3 ，令g l = ；x i v v q ，有v “彳jb ) 八一彳”= ， g 2 = 辟x l v v e q , 有v 专c ) 八( c 兮咖) ， 则考日( 彳，b ) = ( ( a - - - b ) a ( b - - - 彳) ) = j l l ( g 。) ， 眚丘陋，c ) = f 始jc ) 八( c 专b ) ) = j l l ( g 2 ) ， 显然有1 p ( g 。ug 2 ) = p ( ( z ) + j l l ( g 2 ) 一j l l ( g 。ng 2 ) ， ( g in g 2 ) p ( g 。) + “( g 2 ) 一1 ， 令g = 辟x i v v e q , 有v 寸c ) a 忙j 班) ， 则毒叠( 彳，c ) = r “彳- - , c ) ( c - - , 彳”= ( g ) ， 又g3 g zng 2 ， 事实上，若1 ，g lr 、g 2 ， 则v 专b ) a ( b 专a ) ) - i 且v 寸c ) 八( c 专b ) ) = 1 ， ) f i 而v ( ajb ) = v p 一彳) = 1 ，v p 专c ) = v ( c 专b ) = 1 ， 由v ( a 寸b ) = v 专c ) - i 及命题2 1 2 的证明可知1 ，0 一c ) = 1 ； 同理，由v ( c 寸曰) = v p 一彳) = 1 知1 ，( c 专彳) = 1 ， v “彳 c ) 八( c 一彳) ) = 1 ，故；g 考历0 ，c ) = r “彳一c ) 八( c 一彳”= p ( g ) 1 5 山东大学硕士学位论文 j l l ( g 。n g 2 ) ( ( z ) + j l l ( g 2 ) 一1 ， 即考丘( 么，c ) 考日( 彳，曰) + 髻丘佃，c ) 一1 故考层( 彳，b ) + 考髓p ，c ) 考层( 彳，c ) + l 注2 3 1 在系统中成立的考0 ，b ) + 髻0 ，1 b ) = 1 公式在系统e 中不再成立比 如，设彳：p ，b ：p 则考置o ，p ) = 1 ，又由前面例2 3 1 可知考层o ，叩) = 三，故 上面所说的公式在e 中不再成立 定义2 3 2 在系统丘中定义函数p 丘：f ) f ( s ) - - - 【o ，1 】如下： p 层( 么，b ) = 1 一考层( 彳，b ) a , b f ) ， 则由命题2 3 1 ( 3 ) 知j c i 丘是f ) 上的伪距离，称p 置为系统丘中f ) 的上 的自然伪距离，简称伪距离又，在不至于引起混淆的情况下也可以将p 丘简记为 p 命题2 3 2 在系统e 中，设a , b f ( s ) ，可用6 表示矛盾式，则： ( 1 ) j d 0 ，b ) = 0 当且仅当彳b ； ( 2 ) p 0 ，b ) = l 当且仅当彳与b 中，其一为准重言式，另一为矛盾式且彳与b 不 逻辑等价； c 3 ，p ( 彳，6 ) = f z 三( 彳) 证明 ( 1 ) p ( a ，b ) = 0 当且仅当1 一号0 ，b ) = 0 当且仅当考0 ，召) = 1 ，从而由 命题2 3 1 知p 0 ，b ) = 0 当且仅当a b ( 2 ) p 0 ，b ) = 1 当且仅当1 一毒0 ，b ) = 1 ，当且仅当考0 ，召) = 0 从而由命题 2 3 1 知r ( a ，b ) = l 当且仅当彳与b 中，其一为准重言式，另一为矛盾式且彳与 b 不谬辑等价 1 6 山东大学硕士学位论文 c 3 ，p ( 彳，6 ) = 1 一髻( 么，6 ) = 1 一f ( ( 彳专6 ) 八( 6 一彳) ) = l f ( 彳争6 ) = r 上三( 彳) 例2 3 2 在系统e 中，求j d 0 ，b ) 其中( 1 口= p ，b = q ，( 2 n = p vq ，b = paq ( 这 里p 与q 是互不同的原子公式) 解( 1 ) p ( 彳，b ) = l 一考日( 彳，b ) = 1 一考层，g ) = 1 一丢= 三； ( 2 ) p ( a ，b ) = 1 一毒丘( 彳，b ) = 1 一考日( p v q ，pag ) 先计算考e ( p v q ，p a q ) ， 由定义2 3 1 知考口( p vq ，pa q ) = r 口( ( p v q - + p q ) ( p aq - + pvq ) ) ， 而 ( p v q 专p a q ) a ( p a qjp v q ) = 辟叫v 啦v 妇v g 专p 柚 。人g p v g ) ) = - ) = ；x l v eq , v 。) = v g ) ) 毒层= j l l ( ovq - - p 八g ) 人。八g 专p v g ) ) 】= 丢 p ( a ，b ) = 1 一考丘( 彳，b ) = 1 一善后( p v q , p q 7 ) = 1 一i 1 = 丢 2 4 系统层中理论r 的发散度 定义2 4 1 在系统e 中，设rc ， ) ，令旃( r ) = s u p p ( a ，剀么，b 砸) ，称 d i v 丘( r ) 为r 的发散度称发散度等于1 的r 为全发散的，这里砸) 表示全体r 一 山东大学硕士学位论文 结论之集 例2 4 1 计算理论r = 扫，叩) 在e 中的发散度 解在系统置中，易证p 专i 叩专0l 为定理，所以o d ( 扫，叩) ) 又d ( r ) 中含有定理，d i v 2 ( r ) = 1 ， 即扫，叩) 是全发散的 2 5 准证明与准推理 推理是从一组预定的公式以及公理出发运用推理规则来进行的有了公理以及 推理规则也就有了定理所以基于r 的推理也就是从r 以及全体定理出发运用推 理规则来进行的推理用真度等于1 的公式取代定理的地位，也就是用重言式取 代定理的地位来做推理因为推理是形式化的演绎，而重言式则属于语义的范围， 所以我们的推理实质上是一种语构与语义相结合的混合推理，使用的推理规则是 m p 规则 以下用t 表示全体真度为1 的公式之集，即 t = 臼，心汁0 ) = 1 定义2 5 1f ) 中的准证明是一个有限序列 4 ，以， ( 2 5 1 ) 其中对每个f 玎，或者4 t ，或者有歹，k f 使爿，是由a j 与a 。运用m p 规则或 h s 规则而得到的结果序列( 2 5 1 ) 叫彳。的准证明，彳。叫准定理，记作 ( q u a s i 一以，或简记为( g 】一以 由d p 规则与h s 规则可得 命题2 5 1 设a 是准定理，则r 0 ) = 1 反过来，若f 0 ) = 1 ，则a 是准定理 定义2 5 2 设彳f ( s ) ，fcf p ) ，从r 到a 的准推理是一个有限序列( 2 5 1 ) ， 其中4 = a ，且对每个f 1 1 ，或者4 丁ur ，或者有，k i 使彳。是由a j 与4 运 用m p 规则或h s 规则而得到的结果a 叫做r 的刀级准推论，记作( g 矿n j a f 的 全体力级准推论之集记作q ) d p d ( r ( h ) ) ，或简记为d ( r ( h ) ) 显然有 d ( r ( 1 ) ) = d ( r ( 2 ) ) = r u 丁 l r 山东大学硕士学位论文 d ( i - , h ) d ( r b = l ，2 ，) ( 2 5 2 ) 且由定义易知：当r 为空集时，d ( f ) = t ，若rs 丁，则d ( r ) = t 由命题2 1 2 知r 的玎级准推论既与r 中各公式的真度有关，又与r 到彳的准 推理长度聆有关当r 中各公式的真度均大于或等于a 时，r 的刀级准推论的真度 估计与古老的斐波那契数列有关 定义2 5 3 自然数列 叫斐波那契数列，若g ，= u ：= 1 ，且 “。+ 甜。+ l = u 。+ 2 ，刀= 1 , 2 ， ( 2 5 3 ) 定理2 5 1 设aef ( s ) ，fc f 心) ，么d ( r o ) ) 如果对每个b r 均有了p ) 口， 则 一 r 0 ) u n q 一1 ) + 1 ( 2 5 4 ) 这里“。是斐波那契数列的第, 项 证明当刀= 1 时么tu f ，f 0 ) a 又，“。= 1 ，g n q 一1 ) + 1 = o r 所以式( 2 5 4 ) 成立 设当挖后时式( 2 5 4 ) 成立ae d ( f ( ) ) ，则有r 到彳的准推理序列 a i ，a t ，a ( 2 5 5 ) 若彳tu f ，贝0f ( 彳) 口由口一1 o 知z ，。q 一0 0 ，则以下条件等价： ( 1 ) r ( d a ： ( 2 ) 存在从r 到色的推演b i ，b 2 ，e ，使得p ( a ，吃) s ； ( 3 ) p ( a ，d ( r ) ) s 2 0 山东大学硕士学位论文 第三章五值非线性序集逻辑系统层中的近似推理理论 3 1 五值非线性序集逻辑系统丘中公式的概率真度 定义3 1 1 设e = 0 ，i i ，1 2 ，厶，1 ) ，心是x 。上的离散概率测度，即a ( 妒) = 0 ， 地( x 。) = 1 且 j l l 。( o ) ) = p 。( ，。) ) = j l l 。( ，：) ) = j l l 。( 厶 ) = j l l 。( 1 ) ) = 吾 ( 珂= l ，2 ，) 令x = 兀以，设弘为x 上的关于弛，弘：，的无穷乘积测度，称芦为五值逻辑均 匀测度 设s = p 。，p ：，) ， ) 是由s 生成的( 1 ，v ，寸) 型自由代数，这里1 是f ) 上 的一元运算，v 与一均是f ) 上的二元运算，贝j j g , s 中的元为原子命题( 或原 子公式) ，称f ) 中的元为命题( 或公式) 定义3 1 2 设三= i o ，厶，1 2 ，厶，厶) ，其中厶= 0 ，1 4 = 1 ，1 ，v ，a ，专如下定义： 1 ) 1 0 = 1 ，1 l = o ，- 4 , = 厶，k = 1 , 2 ，3 i l vls = 1 ，l s 勘，s = 1 , 2 ，3 ， 0 、i 厶vl = 厶，z = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ， iv0 = ，z = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ， 一 【v1 = 1 ，= 0 , 1 ，2 ，3 ，4 i | 八is = 0 ，t s g l ，s = 1 , 2 ，3 ， 口、i lai l = i l ，l = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ， ia0 = 0 ，= 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ， 【，a1 = ，= 0 , 1 ，2 ，3 ，4 i t 专is = i 。，l s 且l ，s = 1 , 2 ，3 ， 4 ) _ 0 = 1 专厶= ， ，= 1 , 2 ，3 ，4 ， u lj1 = i lji t = 0 专i | = 1 ，l = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 则l 成为一( 1 ，v ，寸) 型代数，称为五值逻辑系统层 其中 l = 一( 厶v 一，s = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 设v ：f ) 专三是( 1 ，v ，一) 型同