（光学专业论文）经典波在周期和准周期系统中的传播特性的研究.pdf

摘要 摘要 光子晶体是介质单元在空间中周期性复制形成的光学结构。光波在光子晶体 中被周期性分布的介质散射，形成b l o c h f l o q u e t 波。在光子晶体中同样存在能 带结构，且具有光的局域模式。自从上世纪8 0 年代末引入光子晶体概念以来， 随着研究的不断深入发展，光子晶体因其在控制光子行为方面的能力，以及未来 在全光器件上的巨大潜力，得到了世界各国研究者的广泛关注。以往，人们所关 注的是光子晶体的能带结构，以及能带结构衍生的物理特性；光子在光子晶体结 构中形成的局域化模式电是关注的重点之一。近些年来，随着研究的深入和实验 条件的进步，人们发现，光子晶体的缺陷模式在导波方面具有极大优异性，可以 弥补传统光纤波导的不足。用金属材料定制的光子晶体，在长波极限下存在负折 射现象，在电介质材料组成的光子晶体结构也发现了类似的负折射现象；负折射 现象在光学成像方面具有重大应用前景。准周期结构也进入了研究视点，准周期 结构是介于周期和无序系统之间的中间态，人们在光学准晶中发现了许多不同于 周期结构的物理特性。这些研究新进展，一方面扩大了光子晶体研究的内涵和外 延，也朝着控制光子的未来方向前进。光子晶体研究对其他领域也起了不少推动 作用，人们利用光子晶体的概念和方法研究了其他经典波系统包括声波和水表面 波的传播特性，发现了许多类似的物理现象。 本文的工作是在吸取前人研究成果的基础上，进一步探索光子晶体平板波导 中存在的问题，以及光波在这种光子晶体平板中的传播特性；探索新型结构光子 晶体的负折射现象，以及优化的成像条件；探索声学准晶系统的成像条件，并且 利用相图分析技术探索声波压力场在系统中的分布和传播特性。本文的主要研究 工作包括以下几个方面： 1 光子晶体平板泄漏模式的理论研究 光子晶体平板是一种准三维光子晶体，在光子晶体平板上引入点缺陷，可以 制作成q 值很高的点缺陷，以抑制光的自发辐射：引入线缺陷，由于点缺陷之 间的耦台，光波可以通过线缺陷进行导波。用光子晶体制作的弯曲波导具有很高 的透射率，并且与入射角无关，这是普通光纤波导所欠缺的。光子晶体波导损耗 的机制主要分成本征损耗和非本征损耗，本文所关注的主要是结构的本征损耗导 致的损耗，也就是本征泄漏模式带来的损耗。解释本征泄露模式的物理特性，这 对于消减光子晶体波导的损耗具有重要意义。在本文第三章中，利用散射矩阵方 法计算了色散介质和非色散介质构成的两种光子晶体平板的泄漏模式的光学性 质，通过使用变角度反射谱方法得到其能带结构，我们发现相对于理想二维光子 摘要 晶体，漏模的能带呈现蓝移，并且出现了新的能带曲线。我们研究了光子晶体平 板中由于垂直平移对称性缺失导致的偏振转换现象，在含有镜面对称性的方向 上，偏振转换效率为0 ，这是由于镜面对称性要求两端的光的偏振也具有镜面对 称性，因此偏振转换效率为0 。 2 二维光子晶体平板负折射成像的理论研究 在介电常数和磁导率均为负数的介质中，光线在从正常介质入射到负系数介 质中时，折射光线与入射光线位于入射法线同一端。在长波近似下，金属线排成 周期结构，等效介电函数可取负数；在s r r 结构中，等效磁导率可取负数，这 种结构形成的介质材料称为左手材料。左手材料中，光波可以实现完美成像。光 子晶体也可以实现负折射现象和平板成像。由于光子晶体的特性受结构的影响很 大，因此对结构的仿真对于加深对负折射现象的了解和发现其潜在应用具有重要 意义。在本文第四章，我们利用f d t d 方法对横截面为椭圆的圆柱子排列成三 角晶格的2 d 光子晶体的负折射和负折射现象进行了数值计算，数值计算的结果 表明，这种结构也能实现负折射现象和平板成像，像点的半高宽为0 3 9 a ，低于 衍射极限o 5 五。在第二个c a s e 中，我们利用多重散射方法对中空圆柱子排列成 正方晶格的2 d 光子晶体的能带和负折射现象进行数值计算，同样发现了负折射 成像现象。 3 二维准周期声学晶体的负折射成像和相位矢量图的理论研究 准周期晶体结构具有5 ，8 ，1 2 ，2 0 等旋转对称轴，但是不具有长程平移对 称性。准晶是介于周期和无序系统的一种中间态，因此周期系统和无序系统中的 物理现象，在准晶中也有类似的现象。f e n g 等人在对光学准晶的研究中发现， 在1 2 重对称的光学准晶中，归一化频率区间1 1 7 8 g b 1 1 9 g 胁内，光波在入 射准晶内部后发生负折射现象。在本文的第五章，我们利用多重散射方法对1 2 重对称性的声学准晶进行了数值计算，在归一化频率区间，= o 5 4 o 6 6 之间存 在一个带隙和一个微带，微带的归一化频率区间为厂= o 5 8 8 0 6 3 。通过数值模 拟，我们发现在归一化频率为f = 0 6 6 4 o 6 8 区间内，存在负折刺现象。我们利 用相图技术分析了准周期状态，发现这种状态是介于扩展态和局域态的中间态。 关键词：光子晶体平板，能带，负折射，负折射成像，声学准周期结构 中图分类号：0 7 3 晶体的光学性质：0 4 4 1 6 物质的电磁性质：0 4 8 1 1 能带论 0 4 2 2 5 声的干涉、衍射和散射：0 7 5 3 + 3 准晶体 摘要 a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a l sa r ef o r m e db yp e r i o d i c a ll y d i s t r i b u t e dd i e l e c t r i c m e d i ae m b e d d e di nab a c k g r o u n dm e d i u m 可i t had i f f e r e n tp e r m i t t i v i t y 0 p t i c a lw a v e sa r es c a t t e r e db yt h ep e r i o d i cs c a t t e r sa n db l o c hw a v e sa r e f o r m e ds u b s e q u e n t l ya c c o r d i n gt ot h eb l o c h - f l o q u e tt h e o r e 皿i np h o t o n i c c r y s t a l s s i m i l a rt oe l e c t r o n i cs y s t e m ，t h e r ee x i s t e db a n ds t r u c t u r e sa n d l o c a li z e ds t a t e sa sw e l l s i n c et h ei n t r o d u c t i o no ft h ec o n c e p to f p h o t o n i cc r y s t a l s ，al o to fa t t e n t i o nh a sb e e np a i dd u et ot h ec a p a c i t i e s o fc o n t r o l l i n ga n dm o l d i n g l i g h t s ， a n dt h ee n o r m o u s p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n si nt h ef i e l d so fo p t o e l e c t r o n i c sa n di n t e g r a t e do p t i c s a t f i r s t p h o t o n i cb a n dg a pa n dt h ed e r i v e dp h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i c sf r o m b a n dg a pw e r et h em a j o rc o n c e r n s ，a n dp h o t o n i c1 0 c a l i z a t i o nw a sf o c u s e d a sw e l l h o w e v e r ，r e c e n t l y ，a st h ed e v e l o p m e n t so ft h e o r e t i c a lm e t h o d s a n de x p e r i m e n t a lc o n d i t i o n s s o m eb r e a k t h r o u g h sh a v eb e e no b t a i n e d i t s f o u n dt h a tp h o t o n i cd e f e c tm o d e sb e n e f i tg u i d i n gi i g h tq u i t ew e l l ，w h i c h c a nb eu s e dt oc o n q u e rt h ed i f f i c u l t i e so fg u i d i n gl i g h tt h r o u g hb e n d e d w a v e g u i d ew h e nu s i n gt r a d i t i o n a lf i b e rw a v e g u i d e n e g a t i v er e f r a c t i o n a p p e a r su n d e rt h el o n g - w a v e l e n g t hl i m i ti nm e t a - m a t e r i a l s ，a n ds i m i l a r n e g a t i v er e f r a c t i o np h e n o m e n aw e r ef o u n di nd i e l e c t r i cp h o t o n i cc r y s t a l s a sw e l l n e g a t i v er e f r a c t i o nc a nb eu s e dt of a b r i c a t ep e r f e c tl e n sb e y o n d d i f f r a c t i o nl i m i t q u a s i p e r i o d i cs t a t ei sa ni n t e r m e d i a t es t a t eb e t w e e n p e r i o d i ca n dd i s o r d e r e ds t a t e s ，a n dr e c e n t l yp h o t o n i cq u a s i c r y s t a l sw e r e f o u n dt os h o wm a n yp h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i c sd i f f e r e n tf r o mp e r i o d i c s y s t e m s t h e s en e wa d v a n c e sb r o a d e nb o t hi n t e n s i o na n de x t e n s i o no f p h o t o n i cc r y s t a l s ，a n da l s op r o m o t et h er e s e a r c hi nt h er e l a t i v ef i e l d s ， s u c ha sa c o u s t i cs y s t e ma n ds y s t e mo fs u r f a c ew a v e so fw a t e r b a s e do nt h er e c e n t l yp r o m o t i o ni np b o t o n i cc r y s t a lr e s e a r c h ，i nt h i s t h e s i s ，w es t u d i e dt h ee x i s t e dp r o b l e mi np h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d e sa n d t h et r a n s p o r t a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fl i g h ti np h o t o n i cc r y s t a ls l a b s w es t u d i e dn e w - t y p ep h o t o n i cc r y s t a ls t r u c t u r e sa n dn e g a t i v er e f r a c t i o n s 摘要 o ft h e s es t r u c t u r e s o u rw o r ki nt h et h e s i si n c l u d e st h ef o l l o w i n gp a r t s ： 1 t h e o r e t i c a lr e s e a r c ho nl e a k ym o d e so fp h o t o n i cc r y s t a ls l a b s p h o t o n i cc r y s t a ls l a b sa r et y p e so f q u a s i 一3 d ”p h o t o n i cc r y s t a l s ， w h i c hc a nb eu s e dt of a b r i c a t ec a v i t i e sw i t hh i g h - qv a l u eb yi n t r o d u c i n g p o i n td e f e c t st or e s t r i c ts p o n t a n e o u se m i s s i o n ，a n du s e dt og u i d el i g b t v i al i n ed e f e c t sc a u s e db yt h ec o u p l i n go fas e r i e so fn e i g h b o r e dp o i n t d e f e c t s t h ea d v a n t a g eo fp h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d eo v e rc o m m o nf i b e r w n v e g u i d ei st h a tl i g h tc a nb eg u i d e dt h r o u g hb e n d e dp h o t o n i cc r y s t a l w a v e g u i d ea ta n yi n c i d e n ta n g l ew i t h o u tr a d i a t i o nl o s s e s h o w e v e r ，g r e a t l o s sw i l lb ei n v o l v e d w h e ng u i d i n g l i g h tt h r o u g hb e n d e dw a v e g u i d e f a b r i c a t e db yo p t i c a lf i b e r t h em e c h a n i s m so fr a d i a t i o nl o s s e sc a nb e c l a s s i f i e di n t ot w ot y p e s ：( 1 ) i n t r i n s i cl o s s e s ，c a u s e db yl e a k ym o d e s ： ( 2 ) n o n i n t r i n s i cl o s s e s a n dt h ef o 功e ra r et h ep r i m a r yc o n c e r ni nt h i s t h e s i s i nc h a p t e r3 ，w eu s e ds c a t t e r i n g - 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d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a ls l a b s w h e na ni n c i d e n tw a v ei si n c i d e n tf r o man o r m a lm e d i t l mt oal e f t - h a n d e d o n e ，t h er e f r a c t e dw a v ew i l l b ei na w r o n g w a yc o m p a r e dw i t hn o r m a l r e f r a c t i o n u n d e rt h el o n g - w a v e l e n g t hl i m i t ，a ne f f e c t i v en e g a t i v e p e r m i t t i v i t yc a nb ep r o v i d e db yp e r i o d i c a l l y - a l i g u e dm e t a l l i cw i r e sa n d a ne f f e c t i v en e g a t i v ep e r m e a b i l i t yc a nb e p r o v i d e db ys p l i t - r i n g r e s o n a t o r s ( s r r ) s t r u c t u r e t h e s ek i n d so fs t r u c t u r e sa r ec a l l e d l e f t h a n d e dc o m p o s i t em a t e r i a l s ap e r f e c tl e n sc a nb ef a b r i c a t e db yl 哪 摘要 n e g a t i v er e f r a c t i o na n df o c u s i n ga r er e a li z e d i nd i e l e c t r i cp h o t o n i c c r y s t a l st h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l ya sw e l l i nc h a p t e r4 ，w eu s e d p d t dt oc a l c u l a t et h eo p t i c a lp r o p e r t i e so f2 dt r i a n g u l a rl a t t i c ew i t h e l l i p t i c a l p r o f i l er o d s w ef o u n dt h a ti nt h i ss t r u c t u r e ，n e g a t i v e r e f r a c t i o na n dn e g a t i v ef o c u s i n gc a nb er e a l i z e d w ec a l c u l a t et h ef w h m o ft h ei m a g e ，a n df o u n dt h a tf w i 埘= o 3 9 a ，w h i c hi ss m a l l e rt h a nd i f f r a c t i o n l i m i to 5 1 i nt h es e c o n dc a s e w eu s e dm u l t i p l e s c a t t e r i n gm e t h o dt o c a l c u l a t et h eo p t i c a lp r o p e r t i e so f2 9s q u a r ep h o t o n i cc r y s t a lw i t h h o l l o w - p r o f i l er o d s w ef o u n dt h a ti nt h en o r m a l i z e df r e q u e n c yr e g i o n ，= 1 1 7 1 1 9 ，n e g a t i v er e f r a c t i o ne x i s t s 3 t h e o r e t i c a lr e s e a r c ho nn e g a t i v er e f r a c t i o no ft w o d i m e n s i o n a l p h o t o n i cq u a s i c r y s t a ls l a b sa n dp h a s ev e c t o rf i e l d q u a s i c r y s t a l sc o n t a i n5 ，8 ，1 2a n d2 0r o t a t i o ns y m m e t r i e s ，b u tt h e yl a c k o f l o n g r a n g e t r a n s l a t i o ns y m m e t r y q u a s i c r y s t a l sa r ei n t e r m e d i a t e s t a t e sb e t w e e np e r i o d i ca n dd i s o r d e r e ds y s t e m s ，a n dt h ec o u n t e r p a r t so f s o m ep h e n o m e n aa p p e a ri np e r i o d i ca n dd i s o r d e r e ds y s t e m sc a nb ef o u n di n q u a s i c r y s t a l s i n2 0 0 5 ，f e n ge t a 1 f o u n dt h a ti na1 2 一r o t a t i o n s y m m e t r y p h o t o n i cq n a s i c r y s t a l ，n e g a t i v er e f r a c t i o na n df o c u s i n ga p p e a rf o rt h e n o r m a l i z e df r e q u e n c yr e g i o n1 1 7 8 g h z 1 1 9 g h z i nc h a p t e r5 ，w eu s e d m u l t i p l e s c a t t e r i n gm e t h o dt oc a l c u l a t et h ea c o u s t i cp r o p e r t i e so fa 1 2 - r o t a t i o n - s y m e t r ya c o u s t i cq u a s i c r y s t a l w e f o u n dt h a ti nt h e n o r m a l i z e df r e q u e n c yr e g i o nf = o 5 4 o 6 6 t h e r ei sab a n dg a pa n da m i c r o - b a n dw i t ht h en o r m a l i z e df r e q u e n c yr e g i o n ，= o 5 8 8 0 6 3 b y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，w ef o u n dt h a ti nt h e n o r m a l i z e df r e q u e n c y r e g i o n ，= o 6 6 4 一o 6 8 ，n e g a t i v er e f r a c t i o ne x i s t s w ea l s o u s e dp h a s e d i a g r a mt e c h n i q u et oe x a m i n et h ep h a s e - v e c t o r sf i e l do fq u a s i - p e r i o d i c s t a t e ，a n df o u n dt h a taq u a s i - p e r i o d i cs t a t ei sa ni n t e r m e d i a t es t a t e b e t w e e ne x t e n d e da n d1 0 c a l i z e ds t a t e s k e y w o r d s ：p h o t o n i cb a n d g a pm a t e r i a l s ：s c a t t e r i n g 。p o l a r i z a t i o n ：g r a t i n g s s c a t t e r i n go fa c o u s t i cw a v e s ：q u a s i c r y s t a l s p a c s ：4 2 7 0 q s ：4 2 6 8 m j ：4 2 7 9 d j ：4 3 2 0 f n ：6 1 4 4 b r v 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：童垡 论文使用授权声明 日期：鲨! ：兰! ! 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：三鱼墨 新龆趔型隰塑! ! 孥 第一章前言 第一章前言 光子晶体是上世纪8 0 年代末引入的物理学概念 1 ，2 ，2 0 多年来，随着研究 的不断深入发展。光子晶体因其在控制光子行为上的巨大潜力 3 ，得到了世界 各国研究者的广泛注意。 最初，光子晶体是种人工合成晶体概念，e y a b l o n o v i t c h 通过比较电子运 动方程s h r o d i n g e r 方程和光波运动方程h e l m h o l t z 方程发现了两者的类似性， 因此他设计了一种人工晶体，通过改变结构的介电常数分布，使得光波在其中被 周期性散射，来模仿电子被周期势场散射的效果，这就是光子晶体概念的由来 1 。他随后用钻孔法在p l e x i g l a s 材料上做出了微波尺度面心立方的介质结构， 实验结果表明这种介电结构可以控制微波的传输。与此同时，s j o h n 在研究无 序介电超晶格结构的时候，也发现了光子局域态的存在 2 。 人们发现，通过改变介质的介电常数分布，使之形成周期分布结构，光在其 中传播时，被周期分布的介质散射，其集体激发的结果使得光子色散关系具有类 似在晶体中运动的电子的能带结构。入射光子波矢满足b r a g g 定律条件 ( 2 d s i n p = 以) 时，光子能带图中形成光子禁带，处于光子禁带中的光子，在介 质中运动时振幅呈指数衰减，因此在透射谱中透射率接近于0 。在光子晶体中， 通过调制某些区域的介电常数分布，从而打破介质的周期结构分布引入缺陷，可 以实现光子的局域化，光子的能量被束缚在光子缺陷中。于是按照类比思想，这 种类似电子在固体晶体中运动的晶体结构被命名为光子晶体结构。 后来，人们发现，在自然界中也具有光波段的类似光子晶体结构，比如色彩 斑斓的孔雀羽毛，便是因为羽毛具有光子晶体结构，使得太阳光被选择性反射， 从而形成了不同的颜色。由此自然界的颜色可以区分为原型色和结构色 4 。 除了介电结构光子晶体，金属一介质混合结构的光子晶体也吸引了人们的注 意 5 ，6 。金属一介质混合形成的光子晶体结构一般将金属棒或者金属颗粒在空气 或者介质材料中形成周期结构，这种结构比较容易制造，而且不易损坏，制造费 用也较低廉，这种结构具有一些比较独特的优点，比如它可以具有本征频率很低 的带隙。近些年来，人们发现，在周期分布的金属结构中，由于表面电子密度的 分布受到结构调制，电子的准粒子态表面等离激元( s u r f a c ep l a s m o n ) 在与入射 光耦合时候，会导致结构出现增强透射等物理现象 7 在金属结构和平面光波 导组合形成的结构中，也出现了表面等离激元与平面波导中光导模耦合的现象， 第一章前言 并且导致了一种新的准粒子态波导一等离激元极化子( w a v e g u i d e p l a s m o n p o l a r i t o n ) 的形成 8 。表面等离激元是种倏逝波，是近场光学效应，研究这种 准粒子和光子晶体结构的互作用，将有效地拓展光子晶体研究的外延。 如同通过控制固体晶体结构实现操控电子一样，光子晶体结构也将实现对光 子的操控。我们知道，光子禁带中的光模式都被结构所排斥，在光子晶体结构中 引入线状缺陷，在带隙中出现的缺陷模式可用作导波通道。理论上，这种光导波 通道相比起利用全反射原理导波的光纤，具有全方向性的优势，特别是在弯曲光 波导设计上具有独到性。光子晶体中，引入缺陷可以有效地改变态密度的分布， 在一个3 d 的具有全带隙能带结构的光子晶体结构中，引入一个点缺陷将在带隙 中产生一个缺陷态，因此通过调制点缺陷，我们可以达到调制光子晶体中态密度 分布的目的，从而达到对设置在缺陷中增益介质的自发辐射的有效控制的目的。 总而言之，光子晶体提供一个非常有潜力的操纵光子的平台 目前，光子晶体在光电领域许多方面都具有应用前景，比如微电流激光器， 高效率l e d ，低损耗可弯曲光波导，高q 值光学微腔，滤波器，光子晶体光纤等 等。随着研究的深入，更多的应用将被开发出来，最终将达到实现基于光子晶体 结构的光学集成芯片。近些年来，随着芯片集成度的不断提高，摩尔定律渐渐失 效，光子晶体以光子作为信息载体，作为一种潜在的替代电子信息载体的新型结 构，得到了广泛关注。 光子晶体结构的出现，使得负折射现象称为可能。上世纪6 0 年代，苏联科 学家v e s e l a g o 提出 9 1 0 ，如果材料的介电常数和磁导率均为负数，那么光波 波矢和能量流动的坡印廷( p o y n t i n g ) 矢量反向，亦即，i k 2 8 ，便有存在全带隙。 但是值得注意的是，这种反o p a l 结构对样品的缺陷非常敏感，理论计算表明， 颗粒半径偏移2 就致使全带隙消失。 3 4 f i 9 17 利用自组装方法可以制作的3 d 光子晶体结构 1 2 5 全息刻蚀法( h o l o g r a p h i cl i t h o g r a p h ym e t h o d ) 3 5 9 第一章前言 全息刻蚀法将多束平面波射入光刻胶中，其形成的空间干涉条纹强弱相间， 当干涉增强的地方其场强大于光刻胶的阀值时，在光刻胶中此处的介电常数将被 改变。选择合适的入射光，可以在光刻胶材料中刻蚀出周期分布的光子晶体结构。 入射平面波为 富。( ，f ) = r e 后：e “) ( 1 8 ) 其中= 1 , 2 ，为n 柬入射平面波，经过光的分束形成，因此入射光的lt 。i 是 相同的。干涉波强度分布写成f o u r i e r 展开的形式为： d ( r - ) z l 曰和一l z ：兰口，也一7 ( 1 9 ) 其中a 。= 霹露，最，= t 一蠢。对于晶格结构来说，上式( 1 9 ) 将结构中的 任意点用f o u r i e r 展开，展开式子中的岔。是晶格的倒格矢。因此，只要选择合 适的( k 。) ，那么产生的童，对应于倒空间的基矢 b j ) ，基矢 6 ，) 的数目决定了产 生的光子晶体结构的维度。基矢 6 ，) 经过f o u r i e r 变换，我们就可以获得我们需 要的干涉条纹格子，其对应的基矢为忙， ，且满足条件： 岛五，= 2 刀 ( 1 1 0 ) 图f i 9 1 8 为利用全息刻蚀方法产生的3 d 面心立方结构的光子晶体 3 6 。采 用的光刻胶材料为s 卜8 ( 6 3 3 r m 时，n = 1 6 1 ) ，入射界面处用棱镜耦合的方法将入 射光入射到光刻胶材料中，由于存在折射，入射角时的夹角为，。，= 4 0 3 6 0 ，入 射到光刻胶材料中，夹角变成，。= 3 8 9 4 4 。我们知道，f c c 结构要求 y 。= a i c c o s ( 7 9 ) = 3 8 9 4 0 。制作成功的光子晶体结构，其本征长度口。= 5 0 5 r i m ， 占空比为2 9 ，占空比由a 的数值决定。 f i 9 18 用全思刻蚀法制作的3 df 结构的光子晶体左图中1 ，2 ，3 ，4 分别表示四个入射光 束，其中1 为垂直入射夹角y 廿= 4 0 3 6 。，由于耦台透镜的折射作用，光刻胶材科中的夹角 ，衄= 3 8 9 4 。右图为产生的光子晶体样品。 i o 第一章前言 图f i 9 1 9 为这种结构理论计算出来的能带图和样品的沿着( 1 1 1 ) 方向的透 射率的对比，图中可见在6 8 0 r m 处存在带隙。理论和实验的吻合，表明了这种 3 d 光子晶子晶体制作方法的有效性。 璎| ? 艘 t ，一勰jj 净 j “饨。r ? ? t r a n s r n i s s l o d 。? ”8 ：t ? 唑 髫 乞叱 一 o 乞 彬拣? 1 3 声子晶体的基本概念 1 3 根据类比思想，光子晶体的概念可以推广到声子晶体系统。声波在线性介质 系统中的运动方程为： p 争卸协棚懈荸+ 毒【耐- 2 柏玑厅1 ( 1 1 1 ) 其中p ，c ，和f 分别表示介质密度，声波在介质中传输的径向速度和横向速度。 以下分几种情形分析在不同系统中声波的波动方程。 对于均匀各向同性的弹性介质，p ，6 1 和c ，与位置无关，声波的运动方程可 简化为： 警= c ? v 2 川孑一哿) v ( v 仞 ( 1 1 2 ) 由上式可以分别得到弹性介质中声波传播的两种模式：纵振动模式( v 正= 0 ) 和横振动模式( v 五= 0 ) ，对应的波动方程分别为： 相比横振动模式的电磁塞耋繇质二纛鬈波具有纵模式糍圣 两种。 若介质系统为流体( c = 0 ) ，声波在其中只能传输纵模，其运动方程为： 第一章前言 v 【p ( 尹) c ；( f ) v “( f ) 】+ 2 户( 尹弦( 即= 0 ( 1 1 4 ) 若媒质是流体，散射体是弹性介质，而且两者的密度比和速度比都较大，那 么可以忽略声波的横模式，近似地以流体中声波的波动方程代替。声压 p = 一俨? v 五，代入流体中的声波波动方程，得到声波在这种流体一弹性介质系 统中的压力方程： 唧= 印 ( l1 5 ) 其中印= 甲0 v p ) ，a ：一乓。显然，声波在这种系统的压力方程和电磁波 的本征方程具署类似性。 i 近些年来，随着光子晶体研究的发展，其研究思想和理论工具被引入声子晶 体系统，有力地促进了其发展。1 9 9 8 年，s a n c h e z - p e r e z 等人在2 d 周期系统中 发现 3 7 ，在能带结构图上，对于1 9 7 - 2 5 6 k h z 频段，声波在f m 方向导通。 而实验结果表明，声波沿着f m 方向是禁止的。这个频段被称为“哑带”，如 f i 9 1 1 0 所示 2 o 2 d ， 啪 鲫 o i 参， 彳 w 时，( 2 6 0 ) 式子近似为： ( 力a o ( 0 ) c x p ( i k 日l r ) l q r ( 2 6 1 ) 其中 口。( 8 ) = e - t 4 v l - 嘉耐驯2 ) 型等等幽 ( 2 6 2 ) 2 3 1 3 平面波源 考虑沿着x 正向传播的平面波： ( i ) = e x p ( i k o r c o s o ) ；i 山( 打) f ( 2 6 3 ) _ - o 其中山为l 阶b e s s e l 函数，根据b e s s e l 加法定理( 见附录a ) ，山( 打) p “可以变 换成为： 山( 扫) p = 山。( 七j 弓i ) e j ( k l f ii ) e “ 1 ( 2 其中弓，虹。等变量的定义如图f i 9 2 6 h a l l k e l 函数的定义： h ：1 p ) = ，。( ，) + f l ( ，) ，何：2 ( ，) = 以( ，) 一f 匕( r ) 其中以( ，) ：n 阶b e s s e l 函数；l ( ，) ：n 阶n e u m a n 函数 2 0 0 6 - 4 - 2 9 第二章光子晶体的理论计算方法 2 3 2 散射体产生的场 f i 9 2 6 多重散射方法示意图 散射体产生的场区分为散射体内部场和散射体外部场。 2 3 2 1散射体外部场 由于散射体散射的场是无源场，因此满足无源的齐次h e l m o h o l t z 方程，从 第j 个散射体发射出来的场掣( i ，弓) 满足方程： 2 + 七2 ) 掣( i ，) = 0 ( 2 6 5 ) 其中p 一弓i ，o ，0 为圆柱半径。方程( 2 6 5 ) 的解为n 阶h a n k e l 方程的线性组合， 如下式子，详细的求解过程请参看数理方法一书。 其中4 ：为待定系数。 g ? ( i ，弓) ：妻f 石叫- ( t i f 一弓i 弦“呻 ( 2 6 6 ) 2 3 2 2散射体内部场 散射体内部场同样是无源的齐次h e l m o h o l t z 方程，为了防止fj 弓时场发 散，方程的解取为b e s s e l 方程的线性组合： g 三( i ，) ：杰d ? 以( t ii 一i 弦“ ( 2 6 7 ) 2 0 0