（计算数学专业论文）样条函数在微分方程数值解中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 样条函数的研究始于2 0 世纪中叶，到了6 0 年代它与计算机辅助设计相结合，在外 形设计方面得到成功的应用。样条理论己成为函数逼近的有力工具。它的应用范围也在 不断扩大，在数据处理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值解等数学领域 都有广泛的应用。本文主要讨论样条函数在微分方程数值解的一些应用。 第一章对一元样条以及多元样条作了一些简单介绍。 第二章介绍了一元三次样条和b - 样条在求解常微分方程数值解中的应用，主要是对 已有方法进行了总结。讨论了使用一元三次样条求解两点边值问题，使用一元三次均匀 b 一样条求解一类二阶边值问题。 第三章讨论了霹( 2 ) 中的均匀b - 样条在求解偏微分方程数值解中的应用。本章利用 爱( 2 ) 中的两组具有高度对称性的均匀b - 样条给出了求p o i s s o n 方程数值解的一种方 法。具体数值算例也显示了这种方法的有效性和高精度。类似的方法还可以用在其它类 型的偏微分方程数值解中。 关键词：样条函数；微分方程；数值解；p o is s o n 方程；2 一型剖分 样条函数在微分方程数值解的一些应用 s o m ea p p l i c a t i o no fs p l i n ef u n c t i o n si nn u m e r i c a ls o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fs p l i n e sd e r i v e sf r o mt h em i d d l eo f 2 0c e n t u r y ，a n di t ss u c c e s sa p p l i c a t i o n i nt h ed e s i g no fs h a p ew a s1 9 6 0 s ，u n t i li t sc o m b i n a t i o nw i t hc a g d t h et h e o r yo fs p l i n e sh a v e b e e nau s e f u lt o o li nt h ef i e l do fa p p r o x i m a t i o no ff u n c t i o n s ，a n dm o r ea n dm o r ep e o p l eu s e s p l i n e st os o l v et h ep r o b l e mi na p p l i c a t i o ns c o p e ，f o re x a m p l e ，d a t ap r o c e s s ，n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n , n u m m - i c a li n t e g r a t i o n , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n , i n t e g r a le q u a t i o n ，n u m e r i c a l s o l u t i o ne t c i n t h i sp a p e r , w ep r o c e s st h ep r o b l e mo f n u m e r i c a ls o l u t i o no f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hs p l i n e s c h a p t e r1i n t r o d u c e su n i v a r i a t ec u b i cs p l i n e sa n dm u l t i v a r i a t es p l i n e sr o u g h l y c h a p t e r2g i v e ss o m ea p p l i c a t i o n so f m a i v a r i a t ec u b i cs p l i n ei nn u m e r i c a ls o l u t i o n so f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s u m m a r i z e ss o m ee x i s t i n gm e t h o d s t h i sc h a p t e rd i s c u s s e s n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt w o - p o i n tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m su s i n gu n i v a r i a t ec u b i cs p l i n ea n d u s i n gc u b i cb - s p l i n et os o l v i n g2 一o r d e rb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m s c h a p t e r3d i s c u s s e st h ea p p l i c a t i o no f u n i f o r mb - s p l i n e i nn u m e r i c a lo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a l s o l u t i o n b yu s i n gt w os e r i e so fb s p l i n e ，an u m e r i c a lm e t h o df o rs o l u t i o n so fp o i s s i o n e q u a t i o n sh a sb e e np r e s e n t e di nt h i sc h a p t e r a n da nn u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt o i l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d s i m i l a rm e t h o dm a yb ea p p l i e di no t h e rt y p e so fp a r t i a l d i f f e n e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：s p l i n ef u n c t i o n ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n u m e r i c a ls o i u t i o n s j p o i s s o n f u n c t i o n ；t y p e 一2t r i a n g u l a t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体己经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：一 搓盘函数垄垡金左猩数焦整主数座周 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：搓垒鱼熬垄邀金友猩数焦簋生鲍二些廑旦 作者签名：篮目垒刨：日期垒竺仝年厶月生日 导师签名：；k 与毳一 日期：坐 年l 月之上日 大连理工大学硕士学位论文 己l 害 i口 1 9 7 5 年，王仁宏在文 1 中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分下多元 样条函数的基本理论框架，并提出了所谓的光滑余因子协调法，从这种基本观点出发， 多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问题来研究。 在文 2 4 】中，王仁宏等人对多元样条函数作了进一步的分析，内容包括多元样条的 维数，基函数组，特别是具有局部支集的样条基函数组，在专著【5 1 0 1 5 b 都有对多元样 条基本理论的总结。 在多元样条函数空间( ) 中找微分方程数值解是比较常用方法。文【1 1 1 4 1 5 bw g b i c l d c y 等人分别讨论了一元三次样条，b 样条在解常微分方程的应用，之前已有人用 均匀2 一型三角剖分的分片3 次样条方法( 爿( 2 ) 空间) ( 文 1 5 1 ) 和分片4 次样条方法 ( 岛【一- - 。( 2 ) ，空间) 解p o i s s o n 方程( 文 1 6 】) ，结合已有的5 次b 一样条基函数( 文 1 7 】) ，本文 主要工作是将该方法推广到分片5 次( 霹( 2 ) 空间) ，并给出具体数值实例。 样条函数在微分方程数值解的一些应用 1 样条函数简介 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) ( 简称样条) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义 的多项式函数。各相邻段( 片) 上的多项式之间又具有某种连接性质。因而它既保持多项 式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。1 9 4 6 年，i j s c h o e n b e r g 较为系统地建立了一元样条函数的理论基础。但是，i j 。s c h o e n b e r g 的工作 刚开始时并未受到重视。从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展，样条函数 得到了迅速的发展和广泛的应用。现在，样条在函数逼近、微分方程数值解、计算几何、 计算机辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用。 本章将有选择性地对样条函数作一些简要介绍，以便为后续章节做铺垫。 1 1 一元样条函数简介 1 1 1 一元力次样条 设给定一组结点 哪2 而 为 妇+ 1 2 又设分段函数s 0 ) 满足条件： ( 1 ) 于每个区间b ，“，】( ，= o 1 ，i v ) 上，s ( 了) 是一个次数不超过行的实系数代数多 项式； ( 2 ) s ( x ) 于( 咱，o o ) 是具有一直到n - - 1 阶的连续导数。 则称y = s ( 功为刀次样条函数。常把以( 1 1 ) 为结点的刀次样条函数的总体记为 最“，恐，而) ，而，恐，如称为样条结点。 通过分析，可以得到9 于整个实轴上的表达式为： s ) = 见( x ) + c j o 一_ ) ：( 蝴 x ) ， ( 1 2 ) j 暑l 此即为下述定理所叙述的事实。 定理1 1 6 1 - - s ( x ) es , ( x ，恐，却) 均可唯一地表现为： s ) = 见o ) + c j ( x - x a t ( - x o o ) ， ( 1 3 ) j - i 其中岛o ) 只，6 u = l ，2 ，) 为实数。 大连理工大学硕士学位论文 显然，由( 1 2 ) 式所给出的任一函数。，必然满足刀次样条函数的定义，亦即 s ee “，而，如) 。因而上述定理可进一步写成： 定理1 2 t 6 1 为使s ( 力s ( 五，恐，确) ，必须且只须存在见( x ) e 只和个实数c l ，c 2 ，白，使 得式( 1 - 2 ) 成立： s o ) = 岛o ) + 勺o 一_ ) ：( - 工 叫 ( 1 4 ) 上述两个定理说明函数系 1 ，而x 2 ，x n $ ( x - x o ：，( 工一屯) ：，( x j 啊) ： 构成再次样条函数类最“，屯，南) 的一组基底。 1 1 2 三次样条插值 三条样条插值问题，可用下述方法直接求得。 设给定一区间f 口，明，且 a = 嘞 而 h = b 任意给定一组常数y o ，乃，蜥，要求构造一个 s ( 工) e 岛( x o ，五，勤) ， 使得如下插值条件得以满足： s ( x j ) = y ，= o , l ， ( 1 5 ) 今以m j 表示s 。钙) u = o ，1 ，i v ) 由于s ( x ) 未三段3 次多项式，所以s 。 ) 在区间 x j - ，_ 】为 一线性函数。因而它可由过q q ，雌，) 与q ，m j ) 两点的线性插值函数 ”罕+ 呜孚( x j _ 1 娜x j ) ( 1 6 ) 所决定，其中勺= 一弓川。 为了最后求出s ( x ) 在 x j q ，_ 】上的表达式，只须对( 1 6 ) 式积分两次，并定出积分 常数就够了。 当x i x j _ , ，x a 时， 荆= m j _ 。譬+ 呜掣+ 帆一华等岍华寻，7 ， s 一雌。譬川簪+ 半一华勺 ( 1 8 ) 样条函数在微分方程数值解的一些应用 由( 1 7 ) 可知，为求s ，关键是设法确定各个m ，u = o 1 。忉，而为了求得各个 肘，u = o 1 ，) ，必须引用样条结点处的光滑连接条件 s ( x j o ) = s + 0 9 ( 1 9 ) 按( i 8 ) 有： ( x j - 0 ) = 鲁+ 等呜+ 学， ( x 2 + 0 ) _ - 竽鸩一等+ 等 由( 1 9 ) 可得连续性方程 札华鸩+ 等= 警一半抄， 它给出了n + 1 个未知数肘，( ，= o ，1 ，) 的n 1 个方程式，于是它还不足以确定 m ，u = o 1 ，) 。尚须补充两个“边界条件”，这有下述几种情形： ( 1 ) 假定s ( 口) = 儿，s ( 6 ) = y m 。于是按前面公式，可得方程 ( 2 ) 假定纸= o ，坞- - 0 ，这相当于自然样条函数的条件。 无论( 1 ) 或( 2 ) ，均可概括为 j2 眠+ 气m 2 瓯： ( 1 1 2 ) 【鲰肘- l + 2 m n = 如- 引入记号 , 毛j - - ， j + 石! ，一2 1 一吗( 歹= k 一1 ) l 1 3 则( 1 1 0 ) 可以改写为 一i一+2。+乃q+，261鱼尘生_=二兰立二笔：云譬掣u=l，一，)， ( 1 1 4 ) 所以由( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) 确定的线性方程组为 学峄抄 = ，w ”攀 t + 大连理工大学硕士学位论文 方程组确定后，解出甜j o - = o ，k ，奶即可。 1 1 3 一元b 一样条基函数 a n - 、 d n ( 1 1 5 ) b 一样条有不同的定义方式，应用较为方便的b 样条定义是由如下递推公式给出。 定义1 1 1 7 1 给定参数轴的一个剖分u ：讹 ( 吩屿+ ，i = 0 ，k ) 。用下列递推方式所确 定的函数( 材) 称为相应于剖分u 的尹次，即p + l 阶b 一样条基函数 啪，= 嚣，雌扣笼 川，o ) = 一蚝 均+ ，一材i 规定呈：0 0 n , p - i ( 小嚣杀小妇乩 ( 1 1 6 ) 式称为d eb o o r - c o x 公式，u 称为节点序列或节点向量，约称为节 0 次b 样条基函数m 。( 弘) 是阶梯函数，它在半开区间，。) 之外处处为 b o o r - c o x 公式递推可以得到3 次b 样条基函数： m 。，( ) = 兰u , + s 旦- u ， 川2 0 ) + 嘶+ 4 一“ 码“一q + im 乩：0 ) 点。 0 。 ( 1 1 6 ) 按照d e 百丽寒【1 ) 一伪二堡! ：! 竺! ! ! 二竺! 一一一 鱼二堡塑立= 兰墅= 竺出!+l 丝丛= 兰! 鱼= 堡丛! -_-=-_l_一+o_o-oo。o。一下一 ( 均+ 2 一均) ( “，+ 2 一l “1 ) ( 坼+ 3 一均) ( 1 “2 一“i x 均+ 3 一l “i ) ( 珥+ 3 一坼) ( 坼+ 2 一均+ i ) ，+ 3 一屿+ ) ( 1 1 4 - 4 一“- + i ) e 【l “i ，岣+ 2 ) ， ! ! = 兰2 1 塾二竺2 ： + ! 竺= 塾! 基堡立= 兰2 垒纽= 竺2 + 丝竖= 兰坠丝彗上一 ( “，+ 3 一均) ( 屿+ 3 一q + i ) ( 均+ 3 一屿+ 2 ) 。【弛+ ，一岣+ 2 ) ( 虬一l “- ) ( “，+ 一均“) 【蜥“一l i “1 ) ( 均“一l l “2 ) 【“，+ ，一扯，+ 2 ) 扯e 【均+ 2 ，鲍+ 3 ) ， 瓦i 历瓦( u i + 二4 - - i j l ) 3 瓦i 了，e k + ，码“) ， 一5 一 磊碣吃 m 鸩 蛛 viinjiiiiiiuii八 o o o o 札2 o o o 2 鼬 o o o 2肌o 2黟 0 o o 拈o 0 o o五。 o o o o 2 o o 0 凡2 鸬 0 0 0 2 啊0 o 0 0 样条函数在微分方程数值解的一些应用 一元3 次b 样条基函数可以由两个一元2 次b 样条基函数组合得来，下面给出的是相 邻的三个一元3 次b 样条基函数的图像。 一10l234， i t 图1 13 次均匀b 一样条基函数 f i g 1 1 u n i f o r mc u b i cb - s p l i n eb a s i sf u n c t i o n 特别的，可以计算b 样条基函数在各节点上的函数值。 川j ( 约) = 0 ， ( 约+ 。) = 瓦瓦( u f + i 丽- - h i ) 2 ， 嘣= 鼍蔫矧+ 等裂等等! m ( = 瓦i ( u i + 4 丽- - u i i + 3 ) 2 丽， f j ( 坼+ 4 ) = 0 ， b 样条基函数只在局部区间上非零，而且是非负的，在其余部分都为0 ，即有局部支集 性和非负性。本文将在后面给出有关b 一样条基函数的应用实例。 1 2 多元样条简介 多元样条函数作为函数逼近论的一个重要分支，在过去的三十多年中得到了广泛的 发展。它己成为研究计算几何、数值分析、逼近和优化的基本工具，并广泛地应用于计 算机辅助几何设计( c a g d ) ，曲线、曲面几何造型，计算机辅助设计与制造( c a d c m a ) ， 散乱数据插值以及曲面拟合等诸多领域。 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c a r ld eb o o r 等研究 并建立了一系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论。c a r t e s i a n 乘积型多元样条虽然 有一定的应用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简单 推广。 1 9 7 5 年，王仁宏在文【1 中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分下多元 样条函数的基本理论框架，并提出了所谓的光滑余因子协调法( s m o o t h i n gc o f a c t o r 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 c o n f o r m a l i t ym e 也o d ) ，从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可转化为与 之等价的代数问题来研究。 设d 为二维欧氏空间中的给定区域，以足记二元k 次实系数代数多项式集合： k 一， 忍= p = 勺一i 勺e r i = 03 = 0 一个二元多项式pe 只称为不可约多项式，如果除常数和该多项式自身外没有其它 的多项式可以整除它( 在复域中) ，代数曲线 r ：z ( 而力= 0 ，( 毛力e 名 称为不可约代数曲线，如果，0 ，力是不可约多项式。显然直线是不可约代数曲线。 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，并将剖分记为，于是d 被剖分为 有限个子区域皿，d 2 ，d ，它们被称为d 的胞腔。形成每个胞腔边界的线段称为网线， 网线的交点称为网点或顶点。 对区域d 实施剖分以后，所有以某一网点y 为顶点的胞腔的并集称为网点y 的关 联区域或星形区域，记为s t ( r ) 。 多元样条空间定义为： 掣( ) - s e c 芦( d ) ij b b ，i = 1 ，) 事实上，s 磷( ) 为一个在d 上具有阶连续偏导数的分片k 次多项式函数。 基于代数几何中的b e z o u t 定理，王仁宏在文 1 】中指出了多元样条函数光滑连接的 内在本质。表现为如下定理： 定理1 3 i 1 1 设函数z = s ( x ，y ) 在相邻胞腔日和d ，上的表达式分别为z = 乃o ，j ，) 和 z = p j ( x ，力，其中p a x ，y ) ，v g x ，y ) 最。为使 s ( x ，y ) ac 声( d ，u q ) ， 必须且只须存在多项式q g x ，y ) ep 。- 肿咿使得 乃臼，y ) - q f ( x ，力= 瓴y ) 】”劬阮y ) ， ( 1 1 8 ) 其中 l ：岛瓴”= 0 ( 1 1 9 ) 为日与q 的公共网线，且不可约多项式岛 ，j ，) 弓。 由定理1 3 中( 1 1 8 ) 式所定义的多项式因子劬( 毛夕) 称为内网线：t o ( x ，) ，) = o 上的 ( 从岛到d ，) 光滑余因子。称内网线l 上的光滑余因子存在，即指形如( 1 1 8 ) 等式 成立。 样条函数在微分方程数值解的一些应用 设a 为剖分的任一给定的内网点，按下列顺序将过a 的所有内网线 l ) 所涉及 的指标i 和，作如下调整：使当一动点沿以a 为中心的逆时针方向越过l 时，恰好是从q 跨入口。 设a 为一内网点，定义彳点处的“协调条件”为( 文【1 】) ： 【岛( 工，y ) 】一”q u ( x ，y ) - o ， ( 1 2 0 ) 其中 表示对一切以内网点a 为一端点的内网线所求的和， q v ( x ，y ) 为l 上的 光滑余因子。 设的所有内网点为4 ，4 ， ，厶，则“整体协调条件 为( 文【1 】) 岛o ，力q u ( x ，y ) 羞o ，v = l 一2 ，m ( 1 2 1 ) 下述定理建立了二元样条的基本理论框架。 定理1 41 1 1 对给定的剖分，二元样条函数s ( z ，y ) 掣( ) 存在，必须且只须s o ，少) 在每 条内网线上均有一光滑余因子存在。并且满足( 1 2 1 ) 所示的整体协调条件。 事实上，各内网线上光滑余因子的存在性等价于该分片多项式的光滑连接性质。 而各内网点处满足协调条件，即整体协调条件又等价于该分片多项式函数在整个区域上 的单值性，从而s ( 善，力甜( ) 。 以上定理表明，多元样条的问题在一定意义上等价于由( 1 2 1 ) 所确定的代数问 题，而后者是一个关于诸光滑余因子中各系数间的一个齐次线性代数方程组问题。多元 样条空间醚( ) 是一个线性空间。对于各种特定的剖分，如何找出磷( ) 的便于应用的 基函数组，是多元样条理论和应用的关键问题之一。为此，首先要求出样条空间掣( ) 的 维数d i m 甜( ) 。因为样条空间的维数，正是该空间基函数组中所含函数的个数。但是， 多元样条空间的维数，特别是当值与k 接近时，有时会严重依赖于剖分的几何性质。 王仁宏还在文【2 】中建立了多元样条函数的一般表达形式。 设区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔皿，d 2 ，珥，任意取定其中一个胞腔，例 如日作为源胞腔，从源胞腔d 1 出发，画一流向图c ，使之满足： 1 c 流遍所有胞腔q ，d 2 ，巩各一次； 2 c 穿过内网线的次数不多于一次： 。 3 c 不允许穿过网点。 流向图0 所经过的内网线称为相应于0 的本性内网线，其它的内网线则称为相应于 0 的可去内网线。显然可去内网线与本性内网线只是一个相对的概念。 大连理工大学硕士学位论文 设l ：岛“力= 0 为0 的任意一条本性内网线，将从源胞腔d i 出发，沿c 前进时，只 有越过l 才能进入的所有闭胞腔的并集记作u ( r + 。) 。将从源胞腔q 出发沿c 前进时，在 越过l 之前所经过的各胞腔的并集记为u ( ) 称u r f ) u ( ) 为网线l 的前方，记作 z ( r # ) 。 定义1 2 2 】设l ：毛o ，j ，) = 0 为相应于流线亡的本性内网线，多元广义截断多项式定义为： 踢瓴妒严嬲缆器x ( 1 2 1 ) 由此，有如下的样条函数的表现定理： 定理1 5 1 2 】任意s 伍) ，) 掣( ) ：均可唯一地表示为 k x ，y ) = p ( 毛y ) + 岛( z ，y ) l tq o ( x ，y ) ，( x ，y ) ed ， ( 1 2 2 ) 其中p “力丑为s 瓴y ) 在源胞腔上的表示式，。表示对所有本性内网线求和，而且沿 c 越过l ：岛o ，) ，) = 0 的光滑余因子为锄( 工，y ) 丑啪+ 1 ) 。 在文 2 0 】中，王仁宏给出了丹维样条函数的基本理论框架。这些结果与上面关于二 元样条的结果类似。在专著 5 】中，详细介绍了光滑余因子协调法在多元样条中的理论及 其应用，包括各种多元样条空间的维数，基函数组，特别是具有局部支集的样条基函数 组，等等。研究多元样条的方法，除了上述光滑余因子协调法之外，还有和b 网方法和 b 样条方法。限于篇幅，我们只对其略作介绍。 所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系 数之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e m s t e i n 多项式推广到二元情形的是 五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表。将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条理论的研 究，当首推g f a x i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作。g f a r i n 在博士论文中考虑了 多元样条的b e z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法成为研究多元样条的重要 方法之一。d eb o o r ，h o u i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用。此外，中国学者苏 步青，刘鼎元，郭竹瑞，贾荣庆，常庚哲，冯玉瑜等人也作了许多有意义的工作。 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间。但由于剖 分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性。迄今为止， 单纯形剖分上的样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上的二元样条函数空 间的维数问题，大多是由b 网方法得到的。 b 一样条方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是一种定义b 样条的 几何直观方法。这种方法的本质是研究高维空间中的多面体在较低维空间投影的测函 样条函数在微分方程数值解的一些应用 数。一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的。1 9 7 6 年，d eb o o r 将其推 广到多元样条。但这种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函形式 推广的出现，多元b 样条的研究才开始活跃起来。多元b 样条的泛函形式的推广有多 种形式，如单纯形样条，b o x 样条，锥样条等。分别由m i c c h e u i ，d eb o o r ，d ev o r e ， d a h m e n 等人给出。与上面的方法相比，b 样条方法对剖分的要求更为严格，通常为均 匀的剖分。 大连理工大学硕士学位论文 2一元样条在微分方程中的应用 2 1一元三次样条与两点边值问题 首先看看一元三次样条函数在微分方程中的应用，在这里，我们讨论的是一元三次 样条函数如何应用在两点边值问题的，并给出具体实例。 本节内容主要内容取自文 1 1 1 3 。 下面我们具体论述w g b i c l d e y 在文 1l 】中提出的数值方法。 设变量z 口，b 】，选取结点 a 2 而 五 x j x j + 1 而2 b 我们构造区间 口，6 】上的三次样条函数“( x ) 。 设在区间【，毛】上函数站( 工) 的表达式为： l f o ) = a + 6 0 一而) + c o 一嘞) 2 + 磊o x o ) ， 为了进一步给出甜o ) 在区间【而，而】上的表达式，我们只需增加碣o 一毛) 3 这一项即可，而 为了给出在如，而】上的表达式，我们又只需增加另一项吃p 一恐) 3 即可，一直如此， 直到最终给出”o ) 在【铀，毛】上的表达式。因此，( 曲在整个区间【口，6 】上的表达式可以写 成： u ( x ) = a + b ( x - x o ) + c ( x - ：c o ) 2 + d o ( x - x o ) + 3 + d , ( x - x o + 3 + + 4 ，l ( x 一工知) 3 ， ( 2 1 ) 从( 2 1 ) 可以得到”( 曲的一，二阶导函数的表达式： 石) = “( x ) = 6 + 2 “工一而) + + 3 a o ( x - x o ) + 2 + 3 西( z 一而) + 2 + 3 以1 ( x - x 。q ) 2 ， ( 2 2 ) w ( x ) = 。( x ) = 2 c + 6 d o ( x - z o ) + + 6 西( z 一而) + + 6 a d x - x o + + 6 z ，l ( z 一一) ， ( 2 3 ) 我们考虑如下两点边值问题的数值解法： p ( x ) u 。+ g ( 功”7 + r ( x ) u = s ( z ) ， ( 2 4 ) 边界条件为 “+ 岛”= ，工= ， ( 2 5 a ) + 尾“= ，x = 而 ( 2 5 b ) ( 2 1 ) 式的待定系数共有翻+ 3 ) 个，为确定这些系数，边界条件( 2 5 a ) 和( 2 5 b ) 给 出了两个方程，因此还需给定o + 1 ) 个方程。注意到恰好有0 + 1 ) 个结点，我们只需让“( 力 在各结点上满足微分方程，便得到了所需的另外伽+ 1 ) 个方程。 在第m 个结点上应该满足的方程为： 样条函数在微分方程数值解的一些应用 a r m + 6 【( 一) + 窖肿】+ c 【( 一x o ) 2 + 2 ( 一而) + 2 】 + m - i 吃k ( 一) 3 + 3 9 埘( 一五) 2 + 6 ( 一屯) 】：， ( 2 6 ) 此处，g 册，s 。分别代表正) ，q ( x m ) ，兀) ，s k ) 。 从边界条件( 2 5 a ) 和( 2 5 b ) 我们还可以得到另外两个方程： a o a + 属6 = ； ( 2 7 a ) 口+ 【( 毛一x o ) 一孱】6 + 【瓴一x o ) 2 - 2 f 1 ( x , - x o ) c + ( 而一) 3 3 尼( 毛一) 2 乩= 以( 2 7 b ) 倘若将这些方程按照( 2 7 b ) ，( 2 6 ) 分别取m = 露一i ，m = 斥一2 ，拼= 0 ，( 2 7 a ) 的顺 序排列，则关于未知数a , b ，p ，吒的方程组的系数矩阵是h e s s e n b e r g 形式的，即带有一个 副对角线的上三角矩阵。接下来的消元是简单的，每一步只需乘一个倍数，而且相应的 回代也是容易的。 文 1 1 还给出了一个简单的数值算例： ”。+ u + l 二- o ( 2 8 ) 其边值条件为： ”2 0 ，z 2 0 ， ( 2 。9 ) ”= 0 。x 2 1 只取三个结点：而= o ，五= 0 5 ，屯= 1 在区间 o ，l 】的中点五= 0 5 处，方程的解析解的精 确值为0 1 3 9 4 9 。还可以发现方程本身以及边值条件都是关于区间【0 ，l 】的中心对称的。 因此我们期望解也具有这样的对称性。 根据上面的算法，我们需要确定五个未知数。由边值条件( 2 7 a ) 立即得到口= 0 。 因此，我们有如下关于其它四个未知数的方程组： 喝8 + d o + c + 6 = 0 ， 2 5 4 8 + 7 d o + 3 c + 6 = 一l 2 5 8 + 9 c 4 + 6 2 = 一1 ， 2 c = 一1 ( 2 1 0 ) 方程组( 2 1 0 ) 的解为b = 4 7 8 8 ，c = 一1 2 ，d o = 一1 2 2 ，西= 1 1 1 。据此我们可以算出”在 中点处的值为o 1 3 6 3 6 ，比精确值小2 2 5 。此外，d l 的值也表明，第一个小区间 上的系数与第二个小区间上夕的系数互为相反数。我们可以发现，在x ：0 5 处的值 为0 ，用于逼近解析解的样条与解析解具有相应的对称性质。这个结果是令人满意的。 大连理工大学硕士学位论文 如果我们把区间 o ，1 】分为三段，则步长h = l 3 。同样地，由边值条件( 2 7 a ) 立即 得到a = 0 。因此我们得到如下方程组： 吃+ 8 4 + 2 7 d o + 2 7 c + 2 7 b = 0 ， 5 5 畋+ 1 1 6 a 1 + 1 8 9 , , + 8 1 c + 2 7 b = - 2 7 ， 5 5 4 + 1 1 6 , o + 6 6 e + 1 8 b = - 2 7 ， 5 5 e o + 5 7 c + 9 6 = 也7 ( 2 1 1 ) 方程组( 2 1 1 ) 的解为b = o 5 4 0 8 1 4 ，c = - - 0 5 ，磊= - o 0 6 1 2 2 4 ，如= 0 0 6 1 2 2 4 。 经计算坞和“：的值为0 1 2 4 4 8 ，且中点处的数值解为0 1 3 8 0 4 。这说明，用于逼近 解析解的样条也具有与解析解相同的对称性，而此时误差已经降为1 0 4 。 在文【1 2 】中，d j f y f e 进一步验证了w g b i c k l e y 提出的上述数值方法并通过误差 分析得到了一个修正算法。 在文【1 3 】中，e l a l b a s i n y 和w d h o s k i m 利用三次样条插值函数构造了如下两点 边值问题数值解的差分格式： y 。+ ，( 力y + g ( 功y = ，( 工) ， ( 2 1 2 ) 边界条件为： y ( x o ) - - a ，y ( ) = 6 ( 2 1 3 ) e l a l b a s i n y 和w d h o s k i n s 利用三次样条插值函数s 0 ) 的表达式( 1 7 ) 以及s ( 力 一阶导函数在结点处的连续性，针对方程( 2 1 2 ) 中一阶导项y 7 存在与否两种情况，分 别给出了相应的三步差分格式，且截断误差均为( b y ) 1 2 。 2 2 一元b 一样条函数与一类二阶边值问题 下面来看看一元三次均匀b 样条是如何应用在微分方程中的，在这里，我们具体看 一元三次均匀b 样条方法是怎样分析一类二阶边值问题的。 文【1 4 】中考虑如下的一类二阶边值问题： + q 材7 + a 2 越+ 色矿+ 口4 v ，+ 口5 ，= 彳 v 。+ b d x ) v + b 2 ( x ) v + b 3 ( x ) u 。+ 6 4 0 弘7 + 6 5 如= 石o ) ( 2 1 4 ) 【 ( o ) = ( 1 ) = o ，( o ) = v ( 1 ) = o 其中口，6 ，o ) ，z ( 工) 和五 ) 是给定的函数，并且口，i o ) 是连续的( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 我们用一元三次均匀b 样条方法找( 2 1 4 ) 的数值解，依前一章所描述的b 样条的 基函数的性质，我们有： 骂- l o ) = 岛( z o 一1 ) 厅) ，i = 2 , 3 ， 其中 样条函数在微分方程数值解的一些应用 f x 3 , 0 s x h 岛( x ) = 磊1 3j 1 3 - x 3 3 x 一3 2 + 4 1 船2 h 2 x + 2 - 6 1 2 2 h 工2 x 一+ 4 4 4 办h 3 3 ，, 2 h 乃 s x 工 2 3 h 见, ( 2 1 5 ) i 一+ 1 2 h x 2 4 8 h 2 x + “矿，3 h s z 4 h ， 表2 1 曩，骂和局在特殊点上的值 t a b 2 1t h ev a l u eo fb b ：a n db ? i ns o m es p e c i a lp o i n t s 苎苎1兰f 土=盖3盖吐 骂0 l410 域0 - 3 h 03 h0 矿06 h 21 2 h 26 h 20 一i - ( 2 1 6 ) 为了求出( 2 1 4 ) 的数值解，我们只要求出( 2 1 6 ) 中相对应的系数c ，d ，即可。 在区间 口，6 】上选取聆一1 个节点，口= 而 五 x n _ 1 = 6 ，其中而= a + i h ，i = o 1 ，刀， j i i = ( 6 一a ) n 。我们规定( 2 1 6 ) 在节点z = 五必须满足( 2 1 4 ) ，将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 4 ) 就得到： n - ii q 彰( ) + q ( 而) 彰( 五) + 口2 瓴) 乃“) 】+ 哆魄 ) 巧( ) + 口4 瓴) 彰( 而) + 口5 “) 岛如) 】= 万) ，- 3 j 一 q 【彰( 勺) + 岛瓴) 易7 ( 葺) + 6 2 ( 五) 易瓴) 】+ q 【6 3 瓴) 彤) + 6 4 ( 而) 岛( 而) + 6 5 如) 岛( 五) 】= 厶( 而) j-弓，目 其中f = 0 , i ，捍 ( 2 1 7 ) 边界情况可以表示为： c j b j ( 0 ) = o ，c j b j ( 1 ) = o ， j = 弓j n - in - i d j b a o ) = o ，n j b j o ) = o ( 2 1 8 ) 利用表( 2 1 ) 中的数据，连立( 2 1 7 ) 和( 2 1 8