（计算数学专业论文）c∞函数芽环有限余维理想的计算.pdf

摘要 在奇点理论中，对于有限决定性理论以及万有形变理论， j n m a t h e r 等给出了相关的代数条件这些代数条件都涉及到一个 核心问题：e 。中有限余维理想的余维数的计算然而，要实现这些理论 应用的一个关键是如何将这些抽象的代数条件转化为实际可实施的 计算方法和步骤，这常常是应用这些理论时遇到的困难 本论文利用某些代数知识和n a l 【a y a m a 引理的应用技巧，将给 出：( 1 ) c ”函数芽环e 。中有限余维理想生成元简化到多项式或单项 式的有关定理和方法：( 2 ) 在简化生成元和将e 。视为齐次向量空间 口，爿，群和m ( ，z ) “。直和的基础上，提出了计算e 中有限余维理想余 维数的原理和方法并将它们应用到有限七一决定，有限余维芽的万 有形变及m a l g r a n g e 预备定理的有关计算中去实例表明，我们提出 的计算方法对上述计算是有效的，并且有较广的适应性 关键词：c 4 函数芽环，有限余维理想的余维数，有限七一决定， 万有形变，m a l g r a n g e 预备定理 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类5 8 c 2 7 中图分类0 1 8 6 3 3 a b s t r a c t i nt h es i n g u l a r i t y t h e o r y ，t h ea l g e b r a i c c o n d i t i o n so fn n i t e 七一e t e n n i n e d a n du n i v e r s a ld e f - o n n a t i o nh a v eb e e n 2 i v e n b y j n m a t h e r t h e s ec o n d i t i o n sd e a lw i t ha n i m p o n a n t i s s u e：t h e c o m p u t a t i o n o fc o d i m e n s i o no ff i n i t e c o d i m e n s i o n a li d e a l si n e 。h o w e v e r ，a k e yp o i n t o fa p p l i e d t h e s et h e o r i e si st h a th o wt oc o n v e r tt h e s e a b s t r a c t a lg e b r a i c c o n d i t i o n si n t oac o n c r e t ea l g o r i t h m w h i c hi so r e na d i f f i c u l t y i nt h ea p p l i c a t i o no ft h e s et h e o n e s i nt h i s t h e s i s ，b ym e a n s o fs o m e a l g e b r a i ck n o w l e d g e s a n d t r i c k so fn a k a y a m al e m m a ，w ew i l lp r o v e ：( 1 ) t h e g e n e r a t o r s o ff i n i t ec o d i m e n s i o n a l i d e a l s i n e c a nb e s i m p li f i e d t o p o l y n o m i a l s o rm o n o m i a l sa b o u tt h e r e l a t i o n a lt h e o r e m sa n dm e t h o d s ( 2 ) b a s e d o n s i m p l i 知 o f t h e g e n e r a t o r s a n d b y m e a n so fad i r e c ts u m d e c o m p o s i t i o n o f e ： e 。= 芹+ 爿+ + 辟+ m ( 以) “w r e w i l l p r o p o s es o m e m e t h o d sa n d p r i n c i p l e sa b o u tc o m p u t a t i o n o f c o d i m e n s i o no ff i n i t ec o d i m e n s i o n a li d e a l si n e 。， a n d a p p l y t h e r e l a t i o n a lr e s u l t si n t ot h ec o m p u t a t i o no ff i n i t e 七司e t e 肿i n e da n du n i v e r s a ld e f o m a t i o no fg e 姗so ff i n i t e c o d i m e n s i o na n d m a l g r a n g ep r e p a r a t i o n t h e o r e m t h e p r a t i c a le x a m p l e sd e m o n s t r a t e t h a to u rm e t h o d sa r ee 简c i e n t a n dh a v ew i d e r a d a p t a b i l i t y k e yw o r d s ：r i n g o f g e m so fc 。f u n c t i o n s ，c o d i m e n s i o n o f6 n i t ec o d i m e n s i o n a l i d e a l s ，f i n i t e 七d e t e n n i n e d，u n i v e r s a l d e f o n n a t i o n ，m a l g r a n g ep r e p a r a t i o n t h e o r e m m r ( 2 0 0 0 ) s u b j e c tc l a s s i f i c a t j o n 5 8 c 2 7 c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o no18 6 3 3 附录： 学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容为，本沦文不 包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律责任有本人承担。 ：栖勇 弼年乡月巧日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编学位论文。 粼：劫砀名：糕娟 纠年哆形孑日 致谢 我非常感谢我的导师岑燕明教授，在三年的学习生涯中，他严 谨的教学态度和渊博的知识使得我在奇点理论方面有了较深的认识， 从中学了不少知识；在生活上，岑老师和师母也给我许多帮助，还给 我提供了很多学习的机会。 感谢周家足教授，庞之垣教授，伍鹏程教授，游泰杰教授，杨 一都教授，李先崇教授，张仁津教授，孙萍教授，吕传汉教授，项昭 教授等老师对我的学习指导和帮助。 感谢所有曾对我关心和支持的亲人，朋友，老师和同学。 第一部分引言 本部分简要地概述了奇点理论的发展，并介绍当前奇点理论的几个主要 研究方向和本论文研究的背景，内容，创新之处以及问题的引入和意义 1 1 历史背景研究动态及发展趋势 奇点理论是现代数学中的一个新分支，它是处在分析、微分拓扑、微分 几何、交换代数与李群以及微分方程等数学学科交汇处的一门学问，又在偏 微分方程、振荡积分、动力系统、分歧理论、突变理论、几何光学与波动光 学乃至生物学，经济学等学科中有广阔的应用 奇点理论的发展，最早期有2 0 世纪3 0 年代h m m o r s e 的临界理论，4 0 年代的h 、n i t n e y 在微分流形嵌入等方面的工作，l p o n t 哪舀n 与示性类有关 的工作1 9 5 5 年h w h i t n e y 发表了关于把平面映到平面的映射的奇点工作， 它标志着奇点理论作为一门独立的数学分支登上了数学的舞台6 0 年 代，r n o m 等人总结了前人的成果，把奇点理论的方法和结果统一到一个更 为概括的理论框架中此后，j n m a t h e r ，v i a m o l d 等在光滑函数及映射 的临界点方面做了许多杰出的工作，引入了一些深刻的工具对映射芽和函数 芽进行分类，取得了突破性进展，他们还发现了奇点理论与振荡积分之间的 联系，开创了“量子突变理论” 1 9 7 9 年以后m g o l u b i t s k y 和d g s c h a c 艉r 引入了奇点理论的方法和群 论方法研究分歧问题的思想，他们对分歧问题的研究所用的工具主要来自于 光滑映射的奇点理论中的相关理论，其中包括：( 1 ) 分歧问题的开折，研究分 歧问题在一般扰动下的变化状态( 2 ) 分歧问题的识别，它探讨一个分歧问题 在什么样的条件下等价于给定的标准形式( 3 ) 分歧问题的分类，到目前为止j 只对几类分歧问题在低余维条件下的分类问题予以解决( 4 ) 分歧理论的应 用，许多专家和学者研究了大量带有参数的微分方程模型以解决应用领域的 问题，例如物理学中的b u c k l i n gm o d e l ，化学中的r e a c t i o n d i f 凡s i o ne q u a t i o n s ， t h eb m s s c l a t o r 等奇点理论的应用非常广泛：如m g o l u b i t s k y 在文献 1 4 中利用奇点理论研究了一阶微分自治方程在平衡点附近周期解个数的分支 问题，并得到了f 规形及其识别条件 1 2问题的引入和研究的主要内容 国际著名数学家r t h o m ，j n m a t h e r ，v i a m o l d 等在突变 理论，力有形变理论，有限七一决定等方i f i i 取得了一系列重大的成果；并且得 到了关于力有形变理论，有限七一决定等的代数条件，通常，对这些代数条件 如何实现具体的计算和判定，常常有一定的凼难这些代数条件都是以抽象 代数的形式表示的，它给相关问题的研究带来不便然而，对一给定的c ”函数 芽，如何验证，计算这些相关的代数条件，是实现这些理论应用的一个关键，而 且这些代数条件都涉及到一个核心问题：e ，。中有限余维理想的余维数的计算 例如：j n m a t h e r 虽然证明了有限七一决定的著名定理：对于给定的c 。函数 芽，如果是七完备：m m ( 厂) ，则必有限七一决定但要证实这一 抽象的代数条件成立，按定义，等价于证明：对于每一系数为l 的七次单项 式对砖砖( = 七，每一f ，为非负整数) ，总存在乌( ，) 乞，使得 ，剐， 者砖砖：窆乌( ，) 箬( 1 ) 成立 = l 似， 显然，在一般情况下，即使己判定厂是有限决定的( 参见 9 ，1 0 卜1 0 3 ) ， 但要确定满足条件m m ( 厂) 的最小自然数后，即对甩个变元的每一七次单 项式，直接去寻找适合于( 1 ) 的q ( ，_ ) 是不容易的 如何计算c 。函数芽的余维数? 例如：计算g ，y ) = 工2 y + j ，4 的余维数， 文 5 等提供了一种画图的方法因为驴) = ( 芸，茜) 岛= ( 2 砂，石2 + 4 j ，3 ) 岛，列 出下表 x y x ) ，y j 工 驯p x 2 y砂2y 3 x 3 j ， 工2j ，2 砂3j ，4 工4 yx 3 y 2x 2 y 3砂4y 5 先看表中的第一行， 知工，y 盛，) + m 2 ；表中第二行，因为 工2 = 蒡一4 j ，3 ，叫= 等，所以工2 ，砂杪) + m3 ，在x 2 ，砂的下方划上横线， 但y 2 诺杪) + m3 ；表中第三行，易知x 3 ，工2 少，砂2 下方应划上横线，但是 y 3 仨，杪) + m4 ；表中第四行应全部划上横线( j ，4 = 吉j ，岳一吉石岳) ；同理， 表中第五行应全部划上横线在上表中，没有划上横线的有石，j ，少2 ，少3 共有4 个，我们把没有划上横线的个数与一个常数项所得数之和叫做 厂g ，y ) = 工2 j ，+ y 4 的余维数，因此，c o d i m = 4 + l = 5 这种求余维数的方法，对两个变元的多项式或单项式，尚可使用但是， 这样的图表，当自变量个数3 时，且在一般情况下，雅可比理想，( 厂) 中的 生成元并不是多项式或单项式，使用这样的图表进行计算便会遇到许多困难 从而，寻求一些有效的方法和技巧来计算芽环e 。中有限余维理想的余维数是 十分有意义的 本论文将给出c 9 函数芽坏e 。中有限余维理想余维数计算的一般原理及 方法，使奇点理论中相关问题用抽象代数给出的代数条件转化为具体的计算 方法和计算步骤 本论文包括四个部分：第一部分概述了奇点理论的发展，并介绍当前奇 点理论的几个主要研究方向和本论文研究的背景，内容，创新之处以及问题 的引入和意义第二部分介绍奇点理论方面的某些基本数学记号，基本概念 和基本引理第三部分给出：( 1 ) 简化e 。中有限余维理想的生成元的有关定 理；( 2 ) n a k a y a m a 引理的应用技巧；( 3 ) e 。中有限余维理想在e 。中补空间 的一组基的求法第四部分举出实例，以验证我们提出的结论和方法是可行 的，我们将这个部分分为四小节：( 1 ) 有限七一决定的计算：( 2 ) 与m a l g r a n g e 预备定理相结合的应用：( 3 ) 有限余维理想一组补空间的基的计算：( 4 ) 万有 形变的计算 本论文特点和创新之处：( 1 ) 通过有关代数知识和n a k a y 锄a 引理应用 技巧的组合，给出了r 函数芽环e 。中有限余维理想生成元简化到多项式或 单项式的有关定理和计算方法：( 2 ) 在简化生成元和将e 视为齐次向量空间 辟，爿，群和肘( 刀) “1 直和的基础上，给出了计算e 中有限余维理想余维 数的原理和方法并将它们与有限七一决定，有限余维芽力- 有形变及 m a l 伊a n g e 预备定理等方面的计算相结合，从原理和原则上克服这些问题在 计算上的困难 第二部分预备知识 本部分主要简单的介绍奇点理论方面的某些基本数学记号，基本概念和 基本引理，这些方面的内容主要来自文献 1 3 2 1 数学记号 。 e 表示在d r ”的甩个变元的c 2 函数芽坏群表示，1 个变元的七次齐次 多项式的实向量空问m 表示环e 中唯的极大理想，它由坐标函数 而，有限生成，记为m2 ( x t ，x 。) m 表示m 的七次幂，是坏e 中由 形如j 砖的单项式有限生成的理想，其中为非负整数( = l ，2 ，疗) 且 = 七厂表示芽厂在d 尺”处的七阶泰勒展丌式( ) 表示厂的雅可 = i 比理想“( 仿( 善，丢 一。表示所有的微分同胚( ，o ) 寸( 彤，o ) 组 成的集合，它在复合运算下构成一个群记r ，r “中的点为( f ，z ) ，设 f ： ( 尺“，0 ) 寸( j r p j r ”，o ) ，f ( 工) = ( o ，石) 为包含映射芽，则f 诱导环同态 f + ：e ，专t ，兄hf 兄= 五。f ，它是满同态，简记f 五= 九；数d i m 旯e 。，记 为c o d i m ，叫做，在e 中的余维数 设：( 尺”，o ) 专( 尺，o ) 为任意c 。映射芽，贝妒诱导环同态 f 1 ：ep en ，a 卜专九of = j 1 九 记m p = 0 ，厶) ，它是由厂的分量函纵，。，厶生成的e 。中的理想 假定m 是有限生成的e ，一模，记m 。= m m ，e ，m ，称为山m 中的成员 在t = 0 上的限制所成之模；o 表示在m 。中的投影；历加表示| ，z j 在m 。中投影。 ，臁示 喜训卟胁，出，为自然数) lj - lj 4 2 2 基本概念及引理 定义1( 芽) 设u 为尺”中的开集，l 元实值函数厂：u 一尺叫做无穷次可微或c 2 函数， 如果对于u 中的每一点石，的各阶偏导数在点工都连续c 。函数厂在点 d r ”处的芽是指厂的一个等价类，其等价关系规定如下：两个c 2 函数 厂：u 专尺和g ：y 专r 是等价的，当且仅当存在点o 的开邻域矽cu n 矿， 使得厂l = gi ， 定义2 ( 芽环) 将c 。函数厂在点o r 4 处的芽组成的集合记为e ，在e 中引入代数 运算，设厂，g e ，取它们的代表：u 一月，g ：y 一尺，按照函数的加法 和乘法，有： ” 厂+ g ：【，ny 专r ，工h ( 厂+ g ) ( 石) = ( 工) + g ( j ) 厂g ：u n y 寸r ，工h ( 厂x g ) ( 工) = ( j ) x g ( x ) 然后取+ g ，厂g 在点0 尺”处的芽，分别记为厂+ g ，g ，它们叫做函 数芽厂与g 的和与积，在以上规定的加法和乘法运算下，e 。构成一个交换环， 我们称之为芽环容易验证，e 在通常数乘和上述所规定的加法运算下，也 构成一个实向量空间 定义3 ( 理想) 设m 是j 刁= 尺的一个子集，v 口，6 m ，满足以下两个条件的m 称为环尺 的一个理想： ( 1 ) 口一6 m ：( 2 ) v 口m ，厂尺，有口厂，朋肘 定义4 ( e 。中有限生成的理想) 设：( i = 1 ，) e ，则形如c ，z 的全体构成e 。中的一个理想，其 j = i 中c = 1 ，) 是e 中的任意元素，而该理想称为由z ，有限生成的，记 为，= ( 彳， s 定义5 ( 导网空间：) 设e ，i ，依t a y i o r 公式，将在点d r “处作t a y l o r 展丌得： 厂( 工) ：厂( o ) + 掣a + 缈( 工) l s h 烈 其中余项缈( 工) m ，e 在e 。m ，的像叫做厂的七一导网，记为_ ，厂， 将商代数e 。m ：”记为j ：根据t a y l 。r 公式，：同构于次数不大于足的九 元多项式代数 定义6 ( 右等价) 设厂，g e ，若存在矽三。，使得厂= g 。，则厂和g 叫做同构或右等价 定义7 ( 有限余维) 设，= ( z ，厶，) e - 是e 中的理想，若e 。，作为实向量空间是有限维 的；或存在自然数尼，使得m 。，；则，叫做e 中有限余维的理想特别 厂。e ，厂的余维数定义为( ) 在e 中的余维数，若c o d i m 厂是有限数， 则称为具有有限余维的函数芽 定义8 ( e 中有限余维理想的补空间) 设，：( 彳，正，) l 是e 中有限余维的理想，如果存在e 中的有限维的 子空问矿，使得j + 矿：e 。，则称y 为，在e 中的补空间如果矿n ，= o ，则 把矿称为，在。中的直补空l 训记为矿+ ，= t ， 芽环色中的n a k a y a m a 引理假设，= ( ：， 是e 中一有限生成的理 想，则肘，等价于m j r + m “ m a l g r a n g e 预备定理 假设仃：( ，0 ) 寸( r p ，o ) 为c 。映射芽，则下列条件等 价：( 1 ) 夥e 。，存在a ，e ，和e 足= l ，七) 使得 厂= ( 盯口，) q ： 、 ( 2 ) 尺k ，馏。 + ( 仃| 一，盯p ) = 。，( 盯i ，一，盯p ) 表示仃l 一，仃p 在e 4 成的删烈 6 第三部分主要结论和证明 为了寻求计算芽环e 中有限余维理想的余维数的计算规律和方法，本部 分将给出：( 1 ) 简化e 中有限余维理想的生成元的方法和相关定理：( 2 ) n a l ( a y 锄a 引理的应用技巧；( 3 ) e 中有限余维理想在e 中补空间的一组基 的求法 3 1e 中有限余维理想的生成元的简化 引理l 【1 4 1 e 。中每一个有限余维的理想都是有限生成的 证明略( 见 1 4 ，p 7 7 ，练习5 、7 ) 此引理指出e 中每一个有限余维的理想，都可以表示成 ，= 但是，引理1 的逆不一定成立，例如： ，= ( 工3 + 班2 + y 3 2 2 + z 6 ，y 2 + 砂2 + 工4 少，舻+ 砂3 ) 。 2 ( 石3 忆6 ，y 2 ，妒) 丘 易知，x ”诺，( 脚为非负整数) 所以，虽然是有限生成的，但并非是e 。中有限余维的理想 引理2 m 1 设，= ( 彳， 是e 中有限生成的理想，如果 “l l “厂l 其中甜 f 瓦，矩阵( “口) 。是环巴上的可逆矩阵，则川旦山g l ，一，g ，有限 生成( 证明见 1 4 ，p 6 5 ，引理2 ) 定理1 若，= ( 彳， 是e 中有限余维的理想，则存在自然数七使得 i2 “氕，j 1f r k 7 l r g ： g ，。l 证明因，在巨中余维有限，所以存在使得m 的最小自然数七于是 m ”cm i 今设z = - ，1 z + ( f _ l ，2 ，r ) ，则m “，则存在c ：f ，m 使得 于是 z l ： j k 、 j k 1 ： + 【、，l ，j l c ，。 即 歹z = ( 毛一c = l岭器 l2 _ ， i j 蛳 c i 而( 磊一勺) 限制在d 尺4 是，x 厂的单位矩阵，故( 屯一c 口) 。是环e 上 的可逆矩阵由引理2 ，知z( f - l ，) 在巨中生成的理想与z ( f = 1 ，厂) 在e 中生成的理想相同，即，= ( _ ，z ，- ，。， 该定理表明：环e 中余维有限的理想的生成元总可转化为多项式或单项 式，这简化了有限余维理想的研究和运算 定理2 设，= 是e 中有限余维的理想，则 ( 1 ) ( z ，z ，乃，) = ( z ，乃，z ，) ； ( 2 ) 若五是坏e 中的可逆元( ( 0 ) o ) ，则 ( 一，z ，) 己= ( z ，够，) ，其中z 是，的任一生成元； ( 3 ) v 以e ，则 l = ( 石，z ，( 西+ 乃) ，) 厶 证明 ( 1 ) 因为( _ ，z ，乃，) = ( z ，乃，z ，) 等价于 q 吃； z 厶； ， v000j00000几 ， ， r ； i i q 吃； z ： l i ： j 九 ； r o ： l o o ： l o o l o 0 l o l 在环e 上是可逆的，由引理2 知结论成立 ，且矩阵 ( 2 ) 因为 等价于 f 列 、 ： t ： ， = f 行 1o 1 办 1 o 分别记z ，鳞，为g l 一，g j 一，g ， 灿。= 慨譬 由于j i l 是瓦中的可逆元，故矢【! 阵 9 石；乃；z；， vii00jj000000i0000八， 石；z；， 、卜y00000000000j几厂 f 行 结论成立 o f 列 o ： 局 是环e 上的可逆矩阵，由引理2 知 ( 3 ) 因为( z ，z ，乃，厂 = ( z ，z ，( 够+ ：f ) ， l 等 价于 f 列 1 1 ： i ： f 。 ： 而矩阵 = j 行 i o 石z乃；f 1 l 口 ： 氧 f 列 是环e 上的可逆矩阵，由引理2 直接推出结论成立 定理2 将引理2 的结论转化为极易操作的运算形式类似于线性代数中 矩阵的初等变换，我们称之为e 中有限生成理想的“初等变换”从后面的 实例计算中，我们将看到它对完成c 。函数芽坏有限余维理想的计算起着十分 重要的作用 3 2 n a k a y a m a 引理的应用技巧 设，是e 中有限余维的理想，由芽环e 中的n a k a y a m a 引理： m ，等价于肘，+ m “1 我们知，从形式上，m s 比m 互，+ m “1 简单，但实际计算中前者需要精确计算，难度大，而后者只需近似计算，允 许有高于七次的项存在，而不影响结果的判定通常通过观察或简单的分析便 可得到，因此有极大的优越性 进一步，在完成近似计算m ，+ 肘1 以后，要实现m ，的精确表 达，只需再解一线性方程组 事实上，彤中系数为l 的单项式全体是m 在e 。中的一组生成元设它 们分别为g i ，9 2 ，g 。又设j r = 岛= ( z ，五) b ，g i = z 3 ，9 2 = 工2 y ，9 3 = 叫2 ， g 。= ) ，3 是m3 的一组生成元，我们有 旧= ，= 硕一砂3其中拶3 m 4 l9 2 = 工2 y = 啊一y 4 y 4 m 4 i 岛= 砂2 = 矾一工4 工4 m 4 【9 4 = y 3 = j ，三一工3 j ， 工3 y m 4 蜀= 研一y 舀 9 2 = 媛一y 9 4 = ， 9 3 = 矿2 一硌l 9 4 = 蜣一昭i g t+ y 9 3 9 2 x g l+ 9 3 y g i = 斫 + 增4 = 西 = 矾 + 9 4= ? j 2 解上方程组得： 铲南z 一尚厶，聍南z 一尚正， 9 3 = 乏i + 圭五，铲兰z + 圭办 舻而”面z 铲高n 高，z 即m 3 ， 注：l 一驯是e 中的可逆元，所以g ，( 扛l ，2 ，3 ，4 ) 的表达式中z ，厂：的系 数都是环e 中的元素 在确定芽厂是七决定的计算中，为了确定满足m m ( ) 的最小自然数 七，只需完成近似计算m m ( 厂) + m “，便可知m 刎( ) 3 3 晟中有限余维理想的补空间的一组基的求法 给定= ( 工，f ) 是e 。中一有限余维的理想，如何去寻找其在疋中的 补空间矿的一组基元? 我们有如下的定理：设，= ( 一，) e 是e 中有限 余维的真理想，p ( x ) ，e ( 石) ，p ( z ) 是尼次齐次向量空间爿( 七= o ，l ，2 ，) 的组基，于是我们有如下的图表( 1 ) ： ( x ) ， 2 ( z ) ， ( x ) ， e 乳x ) ， ( x ) ，孝( x ) ， p r ( 工) ，p ( x ) ， ，( 工) ，d ( 工) ，( x ) ，乏掣( 石) 砰的基 2 d 的基 c 2 的基 z d 的基 牟“d 的基月 ； 定理3 从上表的元素中，必可以选出e 中有限余维的理想，= ( z ，) 的直补空问矿的组基 证明 因为，是e 的一个真理想，所以元素l y ，于是我们可以得到： ，c ，；r l c ，+ y 今考虑p 1 ) ( x ) ，如果e ：1 ( 工) 萑，+ 尺 1 ) ，则可得到 ，+ 尺 1 ，p 1 ) ( j ) ：如果e 一( x ) ，+ r 1 ) ，1 则考虑g ；( 工) 同样地，如果 p ( x ) 萑，；尺 i ，已( 石) ，则将乏，( 工) 作为一个基元，补充到，；冗6 ，e p ( 工) 中， 得到j ；天 l ，g f | ) ( 工) ，g ( 工) ，否则往下考虑下面的元素按此法继续考虑p 少( 力 以后的每元素，于是我们得到e 的逐步扩张的子空问套，重记为： c ，+ j r l c ，+ r l ，s i ( 工) ) c ，+ 尺 l ，毛( 曲，s 2 ( 力) c c ，+ r l ，q ( 工) ，q ( x ) ) 直到图表( 1 ) 中的某元素e i ? ( z ) ，如果e ：? ( 石) 管，+ 尺 l ，q ( x ) ，q ( j ) ) ，则将 e ( x ) 作为基元补充到尺 1 ，s ( x ) ，占，( x ) 中，得到r 每，q ( x ) ，( x ) ，e ( 对 ， 重记为尺 l ，q ( 曲，句( 工) ，q + 。( x ) ) ，于是得到： ，c ，；尺 1 c ，；尺 l ，s ( 石) ) c ，；尺 l ，s ( 石) ，s ：( 石) ) c c ，；尺 l ，s 。( 工) ，毋( x ) ) c 尺 l ，占。( 曲，白( x ) ，( 曲) c e 如果从o ) 以后的元素，直到e ”( x ) ，即 粥( 工) ，p i 品( 工) ，( 石) ，p ， ( 力，e ”( 工) 都属于 ，+ r l ，s i ( 工) ，占，( 工) ，s ，+ l ( 工) ，则，在e 中的直补空间为： y = 尺 l ，毛( 力，q ( 曲，毋+ 。( 力) 事实上e ：牟；爿d ；斜”；肘( 露) 川，由足0 ，q ，岛，。 的构造 知：r l ，q ( x ) ，句( 力，钆。( 功 n m ( ，1 ) “= o ，所以，我们有： ( ，二灭 1 ，毛( 力，旬( 曲，毋+ ( 工) ) ) n 膨( ，1 ) = ，n 膨( 吣川，而p ( x ) ，e 器( j ) 是m ( 丹) “的一组生成元，由此推知： m ( 玎) t + - c ，c ，；尺 l ，q ( 工) ，句o ) ，白+ ，( 工) 同样由，+ r l ，。( 工) ，s ，( j ) ，s f + i ( x ) ) 的构造，知： p o + 爿1 + + 群c ，+ r 矗，q ( 力，毋( 力，钆 ，所以： ec ，；尺 1 ，毛( z ) ，占，( 工) ，白+ 。( z ) ，于是，；尺 l ，毛( 石) ，句( 石) ，s ，+ ( 工) ) = e ，即 矿= 尺 l ，f 。( x ) ，q ( z ) ，毋+ ( 工) ) 1 4 第四部分实际应用 本部分是第三部分结论的应用，以验证我们提出的方法是有效的，我们 将这个部分分为四小节：( 1 ) 有限七一决定的计算：( 2 ) 与m a l 孕a n g e 预备定理 相结合的应用：( 3 ) 有限余维理想一组补空间的基的计算：( 4 ) 力有形变的计 算 为了标明“初等变换”的运算，下面用( f ) 表示理想中第f 个生成元 乘以j i i ，其中i l 为e 中的可逆元；用( f ) 口+ ( ) 表示理想中第f 个生成元乘以 口e 。加到第，个生成元上去， 4 1 有限七一决定的计算 定义9 ( 七一决定) 设厂：俾”，o ) 专r 为c 。函数芽，后为自然数，如果瓦中与具有相同七 阶t a y l o r 多项式的芽g 皆右等价于，则说厂是有限七一决定的 定理4 1 3 1 设e ，若m 彬( 厂) ，则厂是七一决定的 例1 设= s i n 工2 y + y 4 ，则是4 一决定的 解 彬( ) ：( x ，y 岛( 要，2 ：( 拼夕c 。一弘，c 。费j ，+ 锣， 以叫 2 砂2c o s x 2 j ， j 2 j ，c o s 工2 y + 4 j ，4 厶 注意到c o s 石2 y 是e ：中的可逆元， ( x 2 少，石3c o sx2 y + 4 砂3 ，砂2 ，z2 少c o s 工2 y + 4 y 4 ) e 2 击蚴t ，岳 = ( z 2 j ，x 3 ，砂2 ，j ，4 易 显然膨4s = 彬( ) ，故是4 一决定的 我们提出的计算方法也适用于计算m m2 ，( 厂) 例2 设厂= 石3 + y 2 z + 船2 + z 4 ，求证厂是3 一决定的 证明刎( ) = ( 工，y ，z ) 局( 3 工2 + z 2 ，2 弦，y 2 + 2 彪+ 4 2 3 ) 毛= ( 3 工3 + 汜2 ，2 妒， 砂2 + 2 工2 z + 4 配3 ，3 x 2 j ，+ 弦2 ，2 j ，2 z ，y 3 + 2 彬+ 4 弦3 ，3 工2 z + z 3 ， 2 弘2 ， 乡南 卜 p l ； ( ( ， 厂彬 以所 最 、， 4 y 4 砂y xsocx y 石 ，、 ， h 但 卜 卜 咖i l 引 卧 卅 ( 2 ) ；1 5 ) 丢 y 2 z + 2 汜2 + 4 2 4 ) b 兰 ( 3 工3 + 澎2 ，彬，砂2 + 2 x 2 z + 4 澎3 ，3 x 2 y + 弘2 ，j ，2 z ， ( 8 l 畦 y 3 + 2 垆+ 4 弘3 ，3 j c 2 z + z 3 ， 弘2 ， y 2 z + 2 汜2 + 4 2 4 晶 = 2 ) x ( 一2 + t 6 ) ( 5j x l - i ) + 1 9 ) ( 8 ) x ( 一”+ ( 4 ) ( 3 工3 + 船2 ，叼眩， 叫2 + 2 工2 z + 4 勉3 ，3 工2 y ，y 2 z ，y 3 + 4 尸3 ，2 x 2 z + z 3 ，弘2 ， 泓； 2 澎2 + 4 2 4 ) 厶 = ( 3 x 3 + 汜2 ，彬， 砂2 + 2 x 2 z + 4 汜3 ，工2 y ， y 2 z ，j ，3 ， ( 8 ) i - 4 ；+ ( 6 ) 3 工2 z + z 3 ，户2 ，2 财2 + 4 2 4 厶= 毛 m a ( 厂) = m2 - ，( 厂) = ( 石，少，z e ( z 3 ，叼眩，砂2 十2 x 2 z ，石2 j ， y 2 z ，y 3 ， 3 工2 z + z 3 ，弘2 ，汜2 b = ( x 4 ，石2 弘，z 2 y 2 + 2 ，z ，j ，砂2 z ，砂3 ，3 工3 z + 船3 ，彤2 ， z 2 2 2 ，x 3 j ，砂2 z ，砂3 + 2 石2 弘，x 2 y 2 ，y 3 z ，j ，4 ，3 工2 弘+ 弘3 ，y 2 2 2 ，班2 ，x 3 z ，彬2 ， 砂2 z + 2 2 2 2 2 ，x 2 户，j ，2 2 2 ，j ，3 z ，3 x 2 2 2 + z 4 ，弘3 ，澎3 晶 去摊。币。箩成元 ( x 4 ，x 2 丘，x 2 y 2 + 2 ，z ，工3 y ，砂2 z ，砂3 ，3 2 3 z + 彪3 ，驴2 ，石2 2 2 ，砂3 + 2 x 2 弘， x 2 y 2 ，y 3 z ，y 4 ，3 x 2 弘+ 弘3 ， y 2 2 2 ，工3 z ，砂2 z + 2 工2 2 2 ，3 石2 2 2 + z 4 ，弘3 ，船3 ) 厶 ( 11 ) ( 一1 ) + ( 3 ) 且( 1 6 ) ( 一2 ) + ( 3 ) ( 1 6 ) ( 一3 ) + ( 7 ) 且( 2 0 ) x ( 一1 ) + ( 7 ) ( 6 ) ( 一1 ) + ( 1 0 ) 且( 2 ) ( 一2 ) + ( 1 0 ) ( 2 ) ( 一3 ) + ( 1 4 ) 且( 1 9 ) ( 一1 ) + ( 1 4 ) ( 5 ) ( 一1 ) + ( 1 7 ) 且( 9 ) ( 一2 ) + ( 1 7 ) ( 9 ) ( 一3 ) + ( 1 8 ) ( ) ( ) = 毛 = ( 石4 ，x 3 j ，工3 z ，x 2 y 2 ，工2 2 2 ，工2 弘，砂3 ，汜3 ，砂2 z ，彬2 ，y 4 ，j ，3 z ，y 2 2 2 ，弦3 ， z 4 弓= m 4 所以厂是3 一决定的 1 6 1 夕l j3 如果。= x + 砂+ j ，则是5 决定的 解彬( ) = ( 工，j ， 岛( 要，熹) l = ( 石，j ，) 岛 2 = ( z ， ，六，厶 岛，由简单的观察有： z 5 = 圭工3 彳一三工4 y 3其中一圭x 4 y 3 肘7c m 6 工4 y = 一三工3 y 4圭石3 y 4 m 7 c m 6 工3 少2 = 三五一；石2 j ，4一詈工2 y 4 m 6 工2 y 3 = 三嫒一；砂5一詈砂5 m 6 矽4 = 三阢一詈y 6一詈砂6 m 6 卢言y 2 石+ 扣素y 6 洲 于是m5 m ( ) + m 6 ，即是5 一决定的 4 2 与m a l g r a n g e 预备定理相结合的应用 下面，我们来考虑关于对m a l g r a n g e 预备定理的应用 例4 ( 、h i t n e y 定理) 设厂e + 。且厂( 一五j ，) = ( 夕) ，( 少) = ( 儿，儿) ，则 存在e 小使得厂( 石，乃，儿) = 抚( j 2 ，y i ，一，j ，。) 解考虑映射：( 月肘1 ，0 ) 专( 月川，0 ) ( y l ，y 。) h0 2 ，乃，只) 容易计算0 2 ，乃，儿) + r l ，j ) - 乞+ ，由m a l g r a n g e 预备定理知： v e + ，存在盔和厅：e + ，使得 厂( x ，j ，i ，y 。) = l ( 工2 ，y l ，y 。) + 枷2 ( x 2 ，y l ，少。) 又因为厂( 一j ，) ，) = 厂( x ，y ) ，( y ) = ( 五y l ，一，y ) ，所以 l ( 工2 ，y i ，y 。) 一工矗2 ( x 2 ，y l ，j ，。) = 啊( x 2 ，夕l ，j ，。) + 砌2 ( 石2 ，j ，l ，y 。) 故工矗2 ( 工2 ，y l ，y 。) = 0 ，于是 厂( x ，y i ，y 。) = 居i ( x 2 ，少l ，y 。) 1 7 例5 设厂e ：，且满足厂( x ，y ) = ( - x ，一y ) ，则存在g 。b ，使得 g ，y ) = g g 2 ，砂，j ，2 ) 解考虑映射：( 尺2 ，o ) 专( 尺3 ，0 ) 因为最 ( 工，y ) 卜( 工2 ，叫，j ，2 ) = ( 石2 ，拶，y 2 ) 岛+ 础，训) 由m a l g r a n g e 预备定理知， 可( x ，夕) 易，存在晶局( f = l ，2 ，3 ) ，使得 厂g ，y ) = g 。g 2 ，砂，j ，2 ) + 醒：g 2 ，砂，y 2 ) + 耀，g 2 ，砂，少2 ) 由此有： 厂( - 石，一y ) = g b 2 ，砂，j ，2 ) 一醒：g 2 ，砂，y 2 ) 一耀，g 2 ，砂，y 2 ) 又因为g ，少) = 厂( - x ，一y ) ，即 g 。g 2 ，砂，j ，2 ) + 昭：g 2 ，砂，y 2 ) + 熠，g 2 ，砂，j ，2 ) = g 。g 2 ，砂，j ，2 ) 一楞：g 2 ，砂，y 2 ) ，一耀，g 2 ，砂，y 2 ) 4 3 例6 所以昭：g 2 ，砂，y 2 ) + 熠，g 2 ，砂，y 2 ) = o ，即g ，y ) = g 。g 2 ，拶，y 2 ) 有限余维理想一组补空间的基的计算 假设，= ( z ， ) = ( 砂+ z 4 j ，+ y 6 ，x 3 + j ，2 + 砂3 ) 易，求，在e z 中的补空 间及余维数 解 ，= ( z 显然，我们有： 1 ，x ，j ，z 2 ，y 2 一y 4 厶， ) = ( 砂+ x 4 y x 3 y 4 一砂7 ，工3 + 少2 + 砂3 ) ： = ( 砂( 1 一工3 一工2 y 3 一y 6 ) ，x 3 + y 2 + 砂3 ) 易 = ( 砂，石3 + 少2 + 砂3 ) 易 ( 砂，工3+ y 2 、e 仨，；砂，；r 1 ，石，y ，x 2 ，j ，2 ) ；工，工2 j ，砂2 j ；尺缸，石，y ，x 2 ，y 2 而y ，：j ，( 2 ) 一工2 ( 1 ) ，所以y 3 ，；r 矗，工，j ，x 2 ，y 2 ) ，我们不难知道： j ，4 ，拶3 ，x 2j ，2 ，z 3 j ，x 4，；尺 l ，x ，y ，x ：，j ，z ： ，+ 尺 l ，x ，y ，x 2 ，j ，2