（计算数学专业论文）从近场数据重构非均匀散射体的逆散射问题.pdf

中文摘要 iii - - ii |1 中文摘要 自逆散射问题出现以来，逆散射理论研究多以建立远场方程并根据获得的远场 数据来重构散射体的居多由于远场观测数据更容易受到噪声等因素影响，使得对 被测物体的成像失真严重，因此在工程实际中，观测者获取的观测数据以近场数据 为主，并且研究者更希望通过观测的近场数据来重构散射体，这就使得利用近场数 据研究逆散射问题显得更为重要然而，到目前为止研究这方面的文献较少，现有 方法求解过程( 或重构过程) 复杂，工程实现难度大本文针对上述这些问题进行 研究，文中以客观世界普遍存在的可穿透的非均匀介质为研究对象，以在工程实际 中广泛采用的点源作为激励源，建立了点源近场重构二维数学模型，并在此基础上 进行重构方法设计，最后实现散射体的重构( 通过近、远场数据) 本文结构如下t 第一章绪论，本章着重介绍本文的研究背景、国内外研究现状及发展趋势，本 文的研究内容，并给出论文的结构图 第二章基础理论，本章着重对论文所涉及到的理论知识加以介绍，为后续开展 研究提供理论支持 第三章基于a k i t s c h 改进的线性抽样方法的基本思想，首先证明了点源和平 面波入射时的混合互易原理，然后构造了一个将近场数据映射到远场的算子f ， 并根据已得的混合互易原理，建立了远场算子与近场算子之间的关系，从而给出了 重构非均匀散射体的方法本章数值实验部分中正问题求解采用p m l 方法近似近 场e ，该技术将无界区域上的问题转化到有界区域，显著降低了人为增加边界条 件的难度，并且计算量小、速度快，取得了良好的计算效果 在第四章中直接利用远场数据，采用b o r n 近似方法来重构散射体此方法充分 利用了点源的性质，给出了非均匀介质m ( z ) 的f o u r i e r 变换的近似，进而由f o u r i e r 逆变换得到m ( z ) 的近似 关键词： 逆散射问题；近场；远场；混合互易原理；p m l 方法；b o r n 近似； n y s t r s m 方法；奇异值分解；l i p p m a n n s c h w i n g e r 积分方程 黑龙江大学硕士学位论文 i a b s t r a c t t h ei n v e r s es c a t t e r i n gt h e o r yr e s e a r c h e sf o c u s e do nt h er e c o n s t r u c t i o no fs c a t t e r e rf r o mf a r - f i e l dd a t aa c c o r d i n gt ot h ef a r - f i e l de q u a t i o n ，s i n c et h ei n v e r s es c a t t e r - l u gp r o b l e ma p p e a r e d t h ef a r - f i e l do b s e r v a t i o nd a t aw a sm o r ev u l n e r a b l et on o i s e a n do t h e rf a c t o r s ，t h e r e f o r et h eo b s e r v e r sg a i n e dt h eo b s e r v a t i o nd a t ab yn e a r - f i e l d d a t ap r i m a r i l yi ne n g i n e e r i n gp r a c t i c a l ，a n dt h er e s e a r c h e r sh o p e dt or e c o n s t r u c t t h es c a t t e r e rt h r o u g ht h en e a rf i e l dd a t a ，w h i c hm a d et h es t u d yo ni n v e r s es c a t t e r - i n gp r o b l e mu s i n gn e a r - f i e l dd a t ab e c o m i n gm o r ei m p o r t a n t h o w e v e r ，t h ea r c h i v e s a b o u tt h i sa s p e c tw e r ef e wu n t i ln o w ，t h es o l v i n gp r o c e s s ( o rr e c o n s t r u c t i n gp r o c e s s ) o ft h ee x i s t i n gm e t h o d sw a sc o m p l e xa n dd i f f i c u l tt oa c h i e v e t h i sd i s s e r t a t i o nc o n - d u c t e dt h er e s e a r c hi nv i e wo ft h ea b o v et h e s eq u e s t i o n s i nt h ed i s s e r t a t i o n ，t h e r e s e a r c ho b j e c tw a st h ep e n e t r a t i o ni n h o m o g e n e o u sm e d i u mw h i c hw a sp r e v a l e n c e i nt h eo b j e c t i v ew o r l d s ；t h ea c t u a t i o ns o u r c ew a sp o i n ts o u r c ew h i c hw a sa c t u a l w i d e l yu s e di nt h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c a l t h et w o - d i m e n s i o n a lm a t h e m a t i c a lm o d e l o fr e c o n s t r u c t i o nb yp o i n ts o u r c ea n dn e a r - f i e l dw a se s t a b l i s h e d ，t h er e c o n s t r u c t i o n m e t h o dw a sd e s i g n e db a s e - o nt h em o d e l ，f i n a l l y , t h es c a t t e r e rr e c o n s t r u c t i o nw a s i m p l e m e n t e d t h ea r t i c l es t r u c t u r ei sa sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o n ，t h i sc h a p t e re m p h a s i s e so nt h ei n t r o d u c t i o n o fr e s e a r c hb a c k g r o u n d ，t h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dt h e d e v e l o p m e n tt r e n di nd o m e s t i c a n da b r o a da n dr e s e a r c hc o n t e n t s ，g i v e st h es t r u c t u r eo ft h i sd i s s e r t a t i o n t h es e c o n dc h a p t e ri st h eb a s i ct h e o r y , t h i sc h a p t e rf o c u s e so ni n t r o d u c t i n go f t h et h e o r e t i c a lk n o w l e d g ei n v o l v e db yt h i sd i s s e r t a t i o n ，p r o v i d e st h et h e o r ys u p p o r t f o rt h ef o l l o w i n gr e s e a r c hp r o c e s s i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h em i x e dr e c i p r o c i t yp r i n c i p l ei sp r o v e du n d e rt h ec i r - c u m s t a n c eo fp o i n ts o u r c ea n dp l a n ew a v eb a s e d - o na k i r s c h si m p r o v e dl i n e a r s a m p l i n gm e t h o d ，a n dt h e nao p e r a t o rfw h i c hm a p st h en e a r - f i e l dd a t at of a r - f i e l d d a t ai sc o n s t r u c t e d ，a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf a r - f i e l do p e r a t o ra n dn e a r f i e l d o p e r a t o ri se s t a b l i s h e do nt h eb a s i so fo b t a i n e dm i x e dr e c i p r o c i t yp r i n c i p l e f u r - t h e r m o r e ，t h em e t h o do fr e c o n s t r u c t i n gi n h o m o g e n e o u ss c a t t e r e ri so b t a i n e d i n 一一 t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sp a r to ft h i sc h a p t e r ，t h en e a rf i e l de i sa p p r o x i m a t e d b yp m lm e t h o d ，t h i st e c h n i q u ea d o p t e dh e r et r a n s f o r m e dt h eu n b o u n d e dr e g i o n p r o b l e m st ot h eb o u n d e dr e g i o np r o b l e m s ，w h i c ho b v i o u s l yr e d u c e st h ed i f f i c u l t yo f a d d i n gb o u n d a r ym a n u a l l y , c o m p u t a t i o nl o a d ，o b t a i n sag o o dc o m p u t i n ge f f e c t i nt h ef o r t hc h a p t e r ，t h es c a t t e ri sr e c o n s t r u c t e db yb o r na p p r o x i m a t e dm e t h o d a n du s i n gf a r - f i e l dd a t ad i r e c t l y t h i sm e t h o dt a k e sa d v a n t a g eo ft h ep r o p e r t i e so f p o i n t s o u r c e ，a n dt h e nt h ea p p r o x i t i o no ff o u r i e rt r a n s f o r m a t i o no fi n h o m o g e n e o u s s c a t t e r e r sm ( x ) i sp r e s e n t e d f u r t h e r m o r e ，t h e 仇( z ) i sg a i n e dt h r o u g ht h ef o u r i e r i n v e r s et r a n s f o r m a t i o n k e y w o r d s ： i n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m ；n e a r - f i e l d ；f a r - f i e l d ；m i x e dr e c i p r o c i t y r e l a t i o n ；p m lm e t h o d ；b o r na p p r o x i m a t i o n ；n y s t r 6 mm e t h o d ；s i n g u l a rv a l u ed e c o m - p o s i t i o n ；l i p p m a n n s c h w i n g e ri n t e g r a le q u a t i o n 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：研哗岛签字日期：q 年溯j 7 e i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：竹译，马导师签名) 弓互新 签字日期：p _ 年朋厂日 签字日期：2 。哆年歹月5 日 学位论文作者毕业后去向：里参f2 ，7 皖 工作单位：星五j i 犬咒 电话。工作单位：五j i 犬略电话 通讯地址：吣善j 曩午溉功刀与 邮编：厶嘶 第1 章绪论 1 1 课题研究背景 第1 章绪论 声学和电磁学的散射和反散射理论是数学物理中的个重要研究领域从r a y l e i g h 解释天空为什么是蓝色的，到r u t h e r f o r d 发现原子核，以及计算机层析成像在现代 医学中的应用，对散射现象的研究促进了散射理论在2 0 世纪数学物理中的发展 随着科学家们对散射理论越来越关注，在地球物理、生命科学、遥感技术以及材料 科学等众多科学领域中，散射理论得到越来越多的应用散射问题是从入射场以及 波运动所满足的微分方程来研究散射情况特别的，如果将总场看作入射场和散射 场的叠加，那么散射问题是从入射场以及波运动满足的微分方程来确定散射场数 学上，声学和电磁散射问题涉及到无界域上典型的偏微分方程( h e l m h o l t z 方程或 m a x w e l l 方程组) 求解问题 自2 0 世纪6 0 年代以来，雷达、声纳、地球物理探测、医学成像和无损探测等 领域都提出了另一类问题，即逆散射问题逆散射问题是由散射波包含的信息来获 得介质的一些性质，如位置、形状、内部结构等，大体上可分为障碍反散射问题和 介质反散射问题两大类由于此类问题有广泛而重要的应用背景，其理论又具有鲜 明特性，因而吸引了国内外许多学者从事该项研究更多关于散射背景介绍见文献 【1 】从文献【l 一2 9 】可以总结出，逆散射问题中，研究对象( 障碍或介质) 、激励 源( 点源或平面波) 和观测数据( 近场数据或远场数据) 之间关系可用三维坐标表 示为图1 1 形式本文重点研究点源波作为入射波，由观测到的近场数据来重构非 均匀介质的形状，即图1 中立方体6 所表示的内容 到目前为止在逆散射理论研究过程中，利用远场数据恢复散射体模型居多，而 利用近场数据研究逆散射问题的文章却很少，而近些年随着热成像、医学成像、地 质探测、微观技术的发展，在实际应用中以观测到的近场数据为主，这就使得利用 近场数据研究逆散射问题显得更为重要，另外客观世界中非均匀介质数量远大于均 匀介质数量，本文以非均匀介质为研究对象，更具有普遍性 综上，本文研究点源波作为入射波，由观测到的近场数据来重构非均匀介质的 形状的逆散射问题，无论理论上还是实际应用中都是具有研究意义和实际应用价 值 黑龙江大学硕士学位论文 彩 i a ，卉肪】 i t 日) 舀 署( i * t 辄n 质、f 罱近塌 忡面嚣近塥目4 ) 觚t 豳1 1 逆散射问哥中研究”象擞庙* 和观捌数据之阃关系 1 2 研究现状与分析 1 9 7 5 年，实现了计算机求解大型优化问题以来，涌现出一批利用最优化办法来 解央介质反散射问题的方法( 贼i1 ) ，这些方法通常利用l i p p m a n n - s c h w i n g e r 积分方程、b o r n 近似或k 打c l l h 砸近似以及物理光学近似作为最优化迭代时的初 始条件来反演介质散射问题虽然这些方法比较简单，但它存在着计算影女大，目 标泛函有多个局部极小点等不易于实现的缺点另外这些办法对反演物的信息预先 需求较多，如反演物体的个数，大致位置，应用起来有一定的局限性 衰1 1 介质重构的方法 卦妻 蔓! 童燮 i 一 1 9 9 6 年d c o l t o n 和a k i r s h 在文献【8 中提出一种新的算法一线性抽样法 ( l m e ms a m p l i n gm e t h o d ) ，部分地克服了上述缺点抽样法的思想是：构造一 个标识函数吼，它是远场方程f 如= ( ，z ) 的解( 其中z 为散射体内的点) ，使 得此标识函数在某种范数意义下的无界点即是障碍体的边界点这种方法的最大优 点是不需知道散射体由几个部分组成，也无需知道每部分的物理特性，比较容易实 现文献【9 卜 1 3 】都是应用此方法来解决文献中相应问题的 随着对线性抽样法和远场算子理论上不断的研究，1 9 9 8 年a k i r s h 在文献【14 】 中提出对远场算子分解的方法，用( f + f ) 专乳= 圣( ，z ) ( 事先不要求点2 在散射 体内) 代替线性抽样法中的远场方程，不仅给出了比线性抽样法中更为精确的理论 分析，而且数值模拟上有更好的效果2 0 0 0 年a k i r s h 在文献【1 5 】中又将算子分 解法拓展到解决吸收介质问题；r k r e s s 用此法重构了n e u m a n n 边界条件的向量 形式散射问题【i 0 1 ；n g i n b e r g 在【1 7 】中还用算子分解法对混合边界问题重构部 分重构物体形状的方法可见表1 2 表1 2 重构物体形状的方法 每一种理论都与某种实际背景紧密联系的，在逆散射理论发展的前几十年，人 们对重构物体的需求大多来自军事国防上，测得的数据多为远场数据，因此利用远 场数据来研究逆散射问题的结果丰富，这里列出一些代表性的研究的内容： 1 ) 1 9 9 8 - 1 9 9 9 年d c o l t o n 和p m o n k 在文献f 2 3 】中根据远场数据，将线性抽样 方法用于医学方面的白血球探测问题，解决了在不均匀介质中重构另一种不均匀介 质的问题； 2 ) 2 0 0 0 年5 c o y l e 在文献【2 4 】中根据远场数据，采用正则抽样方法( r s m ) 确定了两层背景介质中散射体的形状； 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 3 ) 2 0 0 4 年r p o t t h a s t 在文献【2 5 】中根据远场数据，采用非迭代点源方法反演 了非均匀分片常数介质 了解更多内容，参见文献【1 1 5 】 近些年随着军事民用化、医学成像、地质探测、微观技术的发展，在实际中以 观测到的多以近场数据为主，人们开始关注由近场数据重构物体的研究上，这也是 未来趋势之一目前利用近场数据研究逆散射问题的有 1 ) 2 0 0 5 年潘文峰等人在文献【2 6 】中根据近场数据，研究了确定各向同性的均 匀阻抗散射体的形状； 2 ) 2 0 0 8 年董和平和马富明在文献【2 7 】中根据近场数据，利用因子分解法，对半 平面非均匀介质散射体进行了重构 1 3 本文的研究内容 第一章绪论，本章着重介绍本文的研究背景、国内外研究现状及发展趋势，本 文的研究内容并给出论文的结构图 第二章基础理论，本章着重对论文所涉及到的理论知识加以介绍，为后续开展 研究提供理论支持共分2 1 节h e l m h o t z 方程；2 2 节g r e e n 公式；2 3 节单双 层位势理论；2 4 节p m l 方法和2 5 节本章小结五个部分 第三章利用近场数据重构非均匀散射体的逆问题，本章是全文的核心部分，在 a k i t s c h 改进的线性抽样方法的基本思想下，详细给出了解决根据已获取的近场数 据重构非均匀散射体问题的理论推导和实验步骤全章共分6 小节，3 1 节问题描 述：本节主要对实际问题进行数学抽象描述，建立了以可穿透的非均匀介质为研究 对象，以点源作为激励源的点源近场重构二维数学模型；3 2 节混合互易原理，本节 针对3 1 节所建立的数学模型，主要证明了以平面波为入射波时的近场与点源为入 射波时的远场之间的混合互易原理；3 3 节远场算子f 与近场算子e 之间关系， 奇异值分解远场算子f ：本节主要工作就是根据3 2 节的得出结论，给出以点源为 入射波时的近场与平面波为入射波时的远场之间算子的关系，奇异值分解远场算子 f ，从而确定非均匀散射体d 的形状；3 4 节主要是离散化远场算子f ，奇异值 分解远场算子f ，从而给出真实的仿真结果本节首先采用p m l 技术近似近场算 子e ，然后采用n y s t r s m 方法计算出t i r 和謦的值，从而得到算子g 和j 的近 似矩阵，最后计算远场算子f 的奇异值系统，确定了散射体的形状3 5 节给出实 际算例，通过仿真进行非均匀散射体重构，验证本章方法；3 6 节小结。总结本章 一4 一 的主要研究内容、手段和成果 第四章利用b o r n 近似方i 击重构非均匀散射体的逆问题。本章仍是全文的核心 部分，与第三章不同的是本章将选择另一种方法来重新构造非均匀散射体。即b o r n 近似方法41 节问题描述；本节所建立了与31 节同样的教学模型；42 节采用 b o r n 近似方法建立非均匀散射体的远场所满足的积分方程，给出b o r n 近似下远场 的表达式； 结论，结论部分将全面总结本文的主要工作、创新点及下一步研究的构想 论文结构图如下所示： 论 h 方法重构非均匀 n 在第二章理论臂 f 三章解捷问 】的远场数据利用 i 穿透非均匀敝射 目1 2 论文结构日 舞一 体立方 彻黼黼蚴鲰 釉犯触筋婀 蚴靴籼舸肼黼一n | 耄腿腩腿姘然羹 稠髓肭蓦斛弛蟊摊艚酞挪蛐矩椎糊蝴抽姐 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章基础理论 本章详细阐述了全文所涉及的理论，主要有h e l m h o l t z 方程，处理偏微分方程 和积分方程时常用手段g r e e n 公式和单双层位势理论以及用数值方法求解无界区 域问题时，较为前沿的p m l 方法，这些都为本文后续章节中理论推导和数值计算 奠定了理论基础 2 1 h e l m h o l t z 方程 h e l m h o l t z 方程根据物理学家h e r m a n nl u d w i gf e r d i n a n dv o nh e l m h o l t z ( 1 8 2 1 1 8 9 4 ) 在声波和电磁场散射方面的数学贡献而命名的在声波和电磁场散射问题 中，通常都可把具体的物理问题抽象为h e l m h o l t z 方程进行研究因此了解掌握 h e l m h o l t z 方程的一些基本理论显得格外重要这里只是作以简要介绍，所列结果 主要来自文献【5 5 】 在册中，称函数札满足h e l m h o l t z 方程，即满足 a u + 七2 u = 0 ，z 彤 ( 2 1 ) 其中七称为波数，是一给定的正常数 在二维情形下，h e l m h o l t z 方程的基本解( 具体的求解过程可参看文献【5 6 】) 为 圣( z ，y ) = 丢础( 七l z 一耖i ) ， z y r 2 ( 2 2 ) 其中硪为零阶第一类h a n k e l 函数 在三维情形下，h e l m h o l t z 方程的基本解为 咖) = 舄：嘞r s ( 2 - 3 ) 圣( z ，y ) 2 而：z y ( 2 - 3 ) 2 2 g r e e n 公式 本节将给出g r e e n 公式的表达形式，主要结果来自文献【5 5 】所列结果大都针 对三维情形下而言，但对二维情况同样适用 定理2 1t 设d 是c 2 类的有界区域，是d 的边界o d 的单位外法向量， 设t i c 2 ( d ) nc ( d ) 且 力口 荔( z ) ：2 牌。( z ) v u ( x 一肋( z ) ) ，z o d 一6 一 第2 章基础理论 在o d 上一敏存在，则有g r e e n 表不公式 巾) = 厶 笔嘶叫秒) 帮) 一n a u + k 2 叫吣肭，x ed 【2 4 ) 其中体积分是广义积分特别地，如果钍是h e l m h o l t z 方程( 2 1 ) 的解，那么 u ( 垆z 。 舅( 卵沪比) 错) ，z 。( 2 - 5 ) 定理2 2 ：如果u 是h e l m h o l t z 方程在区域d 上的二次连续可微解，那么u 是解析的 定义2 1 ：如果在某一球外，也是h e l m h o l t z 方程的解，且满足辐射条件 l i m l i m 。7 吐2 ( 豢一i k u ) = o (2一6)r 7 【i 一一 = u 【6 ) r _ d 那么我们称函数是h e l m h o l t z 方程的辐射解其中r = ，极限对各个方向x i x l 一致成立 定理2 3 ：设有界域d 是无界区域的开补集，表示边界c o d 的单位外法向 量设u c 2 ( 彤d ) n c ( 舻) 是h e l m h o l t z 方程 a u + k 2 u = 0 ，z 彤西 的辐射解，且 考( z ) ：= t i m u v ( z ) v u ( z + 肋( z ) ) ：z o d 在o d 上一致存在则有g r e e n 表达式 心) = 厶卜( 秒) 帮一瓦o u 吣) ，z 趴d ( 2 7 ) 定理2 4 ：在三维情形下，h e l m h o l t z 方程的每个辐射解t 都具有外行球面波 的渐近性 u ( z ) = 百e k l x l 卜( ) + 0 ( 高) ，z _ o o ( 2 8 ) 对各个方向岔= 青一致成立这里u 定义为单位球面q 上札的远场模式在定 理2 3 的假设条件下，可以得到 州= 石1z 。) 需一知e 培小5 ：分q ( 2 9 ) 二维情形下，辐射解u 的渐近性及心对应的远场模式相应的变为： 出) = 错e , - l - i 扣 ) + d ( 斟z _ o c ( 2 1 0 )u ( z ) 2 了丽t u ( ) + 。( 亩) ，： z _ o c ( 2 1 0 ) u 小) = 志厶) 需一知e 伽却】d s ，岔q ( 2 1 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 定理2 5 ：以广义积分形式存在的体积分 ， u ( z ) ：= 妒( y ) 圣( z ，y ) d y ，z r 3 ，r 2 具有如下性质： 若妒c o ( r 3 ) 则t c 1 , a ( 兄3 ) ) 且微分和积分阶可以相互转换； 若妒c o ( 斧) nc o ，。( r 3 ) 则仳c 2 ，q ( 舻) 且在r 2 中有仳+ k 2 u = 一妒； 此外， 0 仳1 1 2 口t r a c0 妒i i n , r 3 成立，其中c 是连续依赖妒的正常数； 更进步，若妒c o ( 舻) n c l ，口( r 3 ) 则u c 3 , a ( 廖) 2 3 单双层位势理论 本节将给出单层位势和双层位势的一些理论，所列结果来自文献【5 5 】本节所 列结果大都针对三维情形下而言的，但对二维情况下同样适用 定义2 2 ；设d 是舻中无界区域的开补集，给定一可积函数妒，积分 牡( z ) ：= 妒( 可) 垂( z ：y ) d s ( y ) ：z r 3 o d ( 2 1 2 ) 蚺= f o p 妒( y ) 帮d s ( n z 矾a 。( 2 1 3 ) 我们称( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 分别为关于密度函数妒的单层位势和双层位势 定理2 6t 设a d c 2 , q o 是连续的，则关于密度函数妒的单层位势u 在舻 中连续，且 i l u l l ，r 3 c i l 妒l l ，8 d 其中c 是依赖a d 的连续常数在边界上我们可以得到 牡( z ) = 妒( ! ，) 圣( z ，y ) d s ( y ) ， z o d ( 2 1 4 ) 等= z 。咖) 帮d s ( 婀刊1 ：x eo d ( 2 1 5 ) 其中 石0 u + ( z ) = l 。i r a + uv ( z ) v 牡( z 士b ( z ) ) 是在a d 上一致收敛下有意义的，且这里的积分是以广义积分形式存在的 第2 覃基础理论 关于密度函数妒的双层位势t ，可以从d 连续延拓到d ，从z 印西连续延 拓到o 砰d 并且 嘶) = 厶础) 帮d s ( 牡扣，x 60 d ( 2 1 s ) 其中 啦( z ) 2 撬u ( z 士咖( z ) ) 且积分是以广义积分形式存在的进一步 i 卜0 0 0 ，d c i l 妒i | ，a d ；0 i | ，r 3 d c l l 妒l i ，8 d 成立，其中c 是连续依赖o d 的常数，且 撬 ( 卅叫堋一舅( z h 咄) ) ) = 0 ，z o d ( 2 1 7 ) 在o d 上一致成立 定义2 3 ：( 1 ) 设集gc 舻，n = 2 ，3 ，若存在一常数c ，使得对所有z ，y g 都有 i 妒( z ) 一妒( y ) i c i z 一l q( 2 1 8 ) 成立，那么我们称函数妒是一致h s l d e r 连续的，其中0 口 1 称为h s l d e r 指 数 ( 2 ) 所有定义在g 上的具有指数q 的一致h s l d e r 连续有界函数组成的线性空 间，我们称这样的空间为h s l d e r 空间，表示为c 0 , a ( g ) c o ，q ( g ) 是一b a n a c h 空 间，其范数为 i l 妒i i a ：= l i 妒i i 口，g ：= s u p i妒(z)i+。s。u；pxegg 背y ( 2 1 9 ) z e g i z l “ 定理2 7 ：若o d c 2 ，0 。，三三兰 c 2 2 7 ， 那么 万：卜p 半幽伽 2 8 ， 【p ， 口， p 口 我们先作如下定义 7 ：善h 半m 口 仁2 9 ， 【 1 ， p a 时，由于u 褥足h e l m h o l t z 方程，爿l s 么面同样满足h e l m h o l t z 万崔， 即 器+吉嚣上i去尝埘i俨w0 0 0 。 ( 2 3 4 )i 一 一一， o 、， p pb p 萨 。 、 由链式法则 嚣0 = 雾雾= 专雾 c 2 s s ， 8 p 姊气8 p r j 及( 2 3 2 ) ，两边同乘啊，方程( 2 3 4 ) 可写成 丢r 旦o pr 塑7 丝0 p 、 + 2 彳p 塑00 2 、+ 七2 卯硐= 。 ( 2 3 6 ) 与此同时也可将极坐标方程f 2 3 6 ) 转化为直角坐标形式 其中 a ( p ，0 ) = 若将z 表示成参数形式， v ( a v 0 ) + k 2 聊硐= 0 ，7 _ c o s 2 0 + = 7s i n 2 0c o s o s i n o f l c 7 0 s o s ；n p ( 霉一号) 琴s i n 。p ? c o s 口2 丽f l ：l ，咖p2 丽x 2 当p a 时，a = 1 , 7 = 彳= 1 - 1 2 ( 2 3 7 ) 、j口 7 = 7 0， ，一 一 c 7 7 7 1 1 7 第2 章基础理论 2 5 本章小结 本章首先对在声波和电磁场散射问题中，把具体物理问题抽象成h e l m h o l t z 方 程进行了简要介绍，其次详细介绍了g r e e n 公式和单双层位势理论，这两方面内容 是处理偏微分方程和积分方程时常用的手段，最后介绍了p m l 方法的理论来源， p m l 是用于数值求解无界区域问题时，较为前沿且实施效果较好的方法本章所列 内容是全文的理论基础，它为后续章节的理论推导和数值计算作了强有力的支撑 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章利用近场数据重构非均匀散射体的逆 问题 自逆散射问题出现以来，逆散射理论研究多以建立远场方程并根据获得的远场 数据来重构散射体的居多但随着热成像、医学成像等领域的发展，由于远场观测 数据更容易受到噪声等因素影响，使得对被测物体的成像失真严重，因此在工程实 际中，观测者获取的观测数据以近场数据为主，并且研究者更希望通过观测的近场 数据来重构散射体，这就使得利用近场数据研究逆散射问题显得更为重要本章正 是针对这一问题，研究点源z 不在散射体d 内时，以可穿透的非均匀介质为研究 对象，以点源作为激励源的二维情况下，利用近场数据研究非均匀介质的逆散射问 题解决问题的总体思想是以近年来广泛研究和利用的确定散射体边界的a k i t s c h 改进线性抽样方法为基本出发点，根据现有的以平面波为入射源且利用远场来研究 逆散射问题的结果，来考虑如何将点源入射的近场问题转化成平面波入射的远场问 题在总体思想的指导下，本章中第一节将建立具体的数学模型；第二节将针对第 一节所建立的数学模型，给出以平面波为入射波时的近场与点源为入射波时的远场 之间的混合互易原理；第三节构造了一个将近场数据映射到远场的算子f ，并根 据已得的混合互易原理，建立了远场算子与近场算子之间的关系，最后由远场算子 和近场数据，以及奇异值分解，得到算子f 的谱，从而确定非均匀散射体d 的形 状；第四节离散化远场算子f ，本节首先采用p m l 技术近似近场算子e ，然后 采用n y s t r 6 m 方法计算出t r 和等的值，从而得到算子g 和j 的近似矩阵；第 五节数值实验，给出相应的实验结果 3 1 问题描述 本节针对工程实际中遇到的利用近场数据研究非均匀介质的逆散射问题，将建 立以客观世界普遍存在的可穿透的非均匀介质为研究对象，以在工程实际中广泛采 用的点源作为激励源的二维数学模型 设，7 c ( 评) ，m ：= 1 一刀有紧支集，且设d ：一- - - z r 2 ：m ( x ) o ) ，总场u 是h e l m h o l t z 方程的解 a w ( x ，z ) + 七2 叩( z ) u ( z ，z ) = 0 ， z r 2 ( 3 1 ) 第3 章利用近场数据重构非均匀散射体的逆问题 i i 熙( 筹“= 卟= l z i u = u i + u 8 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 其中 叩c z ，= ： 三；：二茎r d 。 在这里不妨设叼o ( 茁) = 1 ，= 圣( z ：z ) 为z r 2 d 点处的入射点源，即为h e l m h o l t z 方程的基本解 西( z ，z ) = 暑础( 七i z z i ) ( 3 4 ) 式中础为零阶第一类h a n k e l 函数 设f ：= b ( 0 ，口) 代表充分大的包含d 的圆，则本章所要研究的主要问题就是 利用已知观测的近场数据i 正r 来重构非均匀体d 的形状 3 2 混合互易原理 按照本章开篇解决问题的思路，本节先证明以平面波为入射波时的近场与点 源为入射波时的远场之间的混合互易原理，为下一步建立以点源为入射波时的近场 算子与以平面波为入射波时的远场算子之间的关系奠定基础 定理3 1 ：( 混合互易原理) 设u 8 是平面波入射问题 ( 3 5 ) 的解，u 8 ( z ，y ) 是点源入射问题 fa w ( x ，! ，) + k 2 r l w ( x ，y ) = 0 ， z ，y r 2 ，z y l u ( z ，y ) = u ( 。，y ) - 4 - u 5 ( z ，可) ， z ，y r 2 ，z y 1 捌0v ( x ) 砘沁川= d ( 吲z l p 6 【u i ( z ，y ) = 圣( z ，y ) 的解，则u o 。( 窑，z ) = ，y 钍5 ( z ，一 ) ， z r 2 d ，岔q 其中7 = 焘， c = c ： 北 挺胙眺 ，二 = 职舻 一 土 吼矾“回以回 + u回矿。砌蜘 “矾 一 矿 回= 回一，= 如删崛一怫删 ，l tn，l嘶如州而兆 黑龙江大学硕士学位论文 州州) = 肛d ) 帮一帮撕) 】d s ( 3 7 ) 吡加加名) 帮一帮咖) 】d s ( 3 8 ) 撕) = 7 器p 劬叫两1 ) ) ( 3 9 ) 帮= 7 品 需a v ( y + 口( 荆 仁埘 一= y 一 一+ ，一 i 1 - j - l 加( 可) 7 侗i) 、刚 _ 。 讹z h 品 厶mz ，需一帮e 砘卸m ( 高) ) ( 3 1 ， 州础罐嚣器蕃淼咖，慨埘= 7 z ) 铲一帮怕，一 ) ) 一7 帮甜州舭) + d 丽1 ) ( 3 1 3 ) 铲= i k u s ( 纩 ) + 。丽1 ) ( 3 - 1 4 ) 百纩z ) + d 【丽j 【3 - 1 4 ) 因此对充分大的圆b ( o ! r ) ，鎏意i y l = r _ 0 0 时m 3 ( y ，z ) _ o , u a ( ! ，一 ) _ 0 帮叫击) ，雩铲叫丽1 ) 成立r 考v 虑1 * , 1 州w 满足的微鼻施。即 l u 3 ( z ：名) + 七2 u 3 ( z ，z ) = 0 ： 2 b ( o ，r ) d ，岔q au s ( z ：一 ) + 七2 牡5 ( 2 ，一动= 0 ， z b ( 0 ，r ) d ，岔q( 3 1 5 ) i ，t 3 都满足辐射条件 z 。z ) 铲一帮叫圹州可) 2 厶7 名鬻一帮以y ，舢 ( 3 1 6 ) 2 立骢上日( 。问p 。( y ，z ) 。( 壶) 一矿( 箩，一 ) 。( 亩) d s ( 可) 7 z 。z ) 雩铲一帮州 喇萨。( 3 1 7 ) 沪( 牡7 名。名) 竽零铲孚一帮计以扩批 = 7 厶z ) 帮一帮岫，刮函 = ，y 8 ( g ，z ) ( 一k 2 u ( y ，一动) 一u ( y ，一动【一i 枷s + 七2 ( 1 7 7 ) u ( ! ，z ) d y ( 宝，z ) = ，y 钍8 ( z ，一 ) ( 3 互o ) 口 也即以平面波为入射波时的近场与点源为入射波时的远场之间的混合互易关系 为( 3 2 0 ) 黑龙江大学硕士学位论文 3 3 远场算子f 与近场算子e 之间关系 由于利用以平面波为入射波时的远场来恢复物体形状的结果丰富，因此本文也 欲借用已有的结果来研究，但在实际中已知的数据只是近场数据，这就引发人们去 研究远场与近场之间到底存在着怎样的关系等问题本节工作是借助上一节已得出 的混合互易原理来给出以点源为入射波时的近场与平面波为入射波时