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不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 摘要 在实际工程应用中，我们经常遇到系统模型的不确定性，这些不确定性通常能给出某 种大小的约束，这时我们可利用鲁棒控制理论来处理这种具有不确定性的系统模型。另一 方面，在实际工业生产中不可避免地会出现滞后现象，这些滞后特性往往会严重影响控制 系统的稳定性以及系统的性能指标。因此对时滞系统地研究一直是控制理论研究的热点之 一。考虑到以上情况，本文研究了连续不确定时滞系统的h 。状态反馈控制和日。输出反馈 控制问题以及不确定广义时滞系统的时滞相关保性能控制问题。 全文由以下五章构成： 第一章介绍时滞不确定系统的鲁棒控制，包括时滞不确定系统的日。控制以及时滞不 确定系统的保性能控制，并简单介绍了文章的主要工作。 第二章介绍了本文的预备知识与数学基础，给出了几个重要的引理。 第三章讨论了一类存在状态滞后的不确定时滞系统的状态反馈鲁棒控制问题，同时 给出了系统时滞依赖鲁棒可镇定的充分条件以及相应的状态反馈鲁棒控制器的设计方法。 第四章讨论了一类含有状态滞后的不确定时滞系统的输出反馈鲁棒控制问题，得到 了该输出反馈问题可解的充分条件，并给出了输出反馈鲁棒控制器及其l m i 条件。控制器 的设计方法及所有结果均由线性矩阵不等式给出，求解可通过内点法实现。 第五章研究了含有范数有界参数不确定性的广义时滞系统的时滞相关保性能控制问 题。本章首先对给出的广义时滞标称自治系统的稳定性进行分析，利用l m i 方法，给出了 时滞相关稳定性的充分条件，在此基础上，给出了不确定广义时滞系统的状态反馈鲁棒保 性能控制器的存在条件和设计方法。 关键词：不确定性；保性能控制；风控制；时滞相关；线性矩阵不等式 a b s t r a c t w eu s u a l l ye n c o u n t e ru n c e r t a i n t i e so ft h es y s t e mm o d e l sf o rt h ep r a c t i c a li n d u s t r i a lp r o c e s s c o n t r o lp r o b l e m s a n dt h eu n c e r t a i n t i e su s u a l l yc a nb er e s t r i c t e di ns o m er a n g e a tt h i st i m e ，w e c a nu s er o b u s tc o n t r o lt h e o r i e st od e a lw i t ht h ec o n t r o lp r o b l e m s o nt h eo t h e rh a n d ，t i m ed e l a y s a r ec o m m o mi nan u m b e ro fi n d u s t r i a lp r o c e s s e s ，w h i c hc a l ls e r i o u s l ya f f e c tt h es t a b i l i t ya n dt h e p e r f o r m a n c eo ft h es y s t e m s s o ，t h er e s e a r c ho nt h et i m ed e l a ys y s t e m s i so n eo ft h eh o t p o t sf o r t h ec o n t r o lt h e o r y c o n s i d e r i n gt h ea b o v es i t u a t i o n , i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d yt h ep r o b l e m s o f 日。s t a t e f e e d b a c kc o n t r o lf o rc o n t i n o u sd e l a ys y s t e m s 撕t l lu n c e r t a i n t y , 日* o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o la n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h es i n g u l a rt i m ed e l a ys y s t e m s t h e r ea r ef i v ec h a p t e r si nt h i sp a p e r ： i nc h a p t e r1 ，r o b u s tc o n t r o lf o rt i m ed e l a ys y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t yi si n t r o d u c e d ，i n c l u d i n g t h ep r o b l e m so fh 。c o n t r o la n dg u a r a n t e e dc o s tf o ru n c e r t a i nd e l a ys y s t e m s f i n a l l yt h em a i n w o r ko ft h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e d c h a p t e r2i n t r o d u c e st h ek n o w l e d g e o fp r e p a r a t i o n ，b a s i ck n o w l e d g eo fm a t h sa n dt h em a i n c o n t e n to ft l l i sp a p e r i nc h a p t e r3 ，f o rac l a s so fu n c e r t a i nd e l a ys y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y s ，s t a t e f e e d b a c kr o b u s t c o n t r o lp r o b l e mi sc o n s i d e r e d a tt h es a n l et i m e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ed e l a yd e p e n d e n t r o b u s ts t a b i l i t i o na n dt h ed e s i g nm e t h o do ft h es t a t e f e e d b a c kr o b u s tc o n t r o l l e ra r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r4 ，f o rac l a s so fu n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m sw i t hs t s t ed e l a y s ，o u t p u t f e e d b a c k r o b u s tc o n t r o lp r o b l e mi sc o n s i d e r e d t h e nt h eo u t p u t f e e d b a c kr o b u s tc o n t r o l l e ra n di t sl m i c o n d i t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d t h ed e s i g nm e t h o do ft h ec o n t r o l l e ra n da l lt h er e s u l t sa r eg i v e nb y t h el m i t h en u m e r i c a le x a m p l ec a l ls o l v e db yi n t e r i o rp i o n tm e t h o d i nc h a p t e r5 ，f o rac l a s so fs i n g u l a rt i m ed e l a ys y s t e m sw i t hn o r m b o u n d e dp a r a m e t e r u n c e r t a i n i t e s ，ad e l a yd e p e n d e n tc o n d i t i o no ft h es t a t ef e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri s p r o p o s e d f i r s t l y , t h es t a b i l i t i o no ft h en o m i n a ls y s t e mi sa n a l y s e d a n du s i n gl m im e t h o d ，t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft i m ed e l a yd e p e n d e n ti sg i v e n o nt h i sb a s i s ，t h ee x i s t i n gc o n d i t i o na n d t h ed e s i g nm e t h o do ft h es t s t e f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rf o rt h eu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s k e y w o r d s ：u n c e r t a i n t y ；g u a r a n t e e dc o s t l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i i c o n t r o l ；日mc o n t r o l ；d e l a yd e p e n d e n t ； 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 曲阜师范大学硕士学位论：原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究，是 本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。 论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：盘玺冀日期：丝：堇：兰2 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究系本人在曲阜师范大学攻读硕士期间，在导 师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内 容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。 本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 作者签名：鱼垒墼 导师签名：a 之笙i 受导师签名：班乓鸶j 边 日期： 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 第一章绪论 在实际的过程控制( 比如化学过程、长距离通讯传输以及其它各种工程系统) 中，被 控对象往往都存在着一定程度的时间延迟现象，即时滞现象，并且时滞常常是未知或是在 一定范围内时穸的，这使得被控量不能及时、准确的反映系统的性能。这会对系统造成或 轻或重的后果，轻则使系统的性能降低，或者导致整个系统的不确定性等，重则导致系统 不稳定，甚至品质恶化，这样会极大地破坏系统的性能。例如控制系统中的多执行器，由 于不同时滞对每一个执行器的影响，使得这些执行器在施加控制力的时候出现了不同步的 现象，这时需要工作者进行必要的处理，否则会产生比较严重的后果。 随着科学技术的不断发展，生产规模越来越复杂，时滞对于控制品质的影响越来越不 容忽视。那么，研究如何抑制时滞造成的系统性能下降，降低系统的保守性就成为控制研 究的热点和难点问题，这对时滞系统的研究具有重大的理论和现实意义。本文正是在这样 的背景下进行研究的。近三十年来，在时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器设 计上，国内外广大研究工作者进行了广泛的研究 1 - 1 0 ，这些丰硕的研究成果极大地推动 了动态系统理论的发展，并且已在实际工作中发挥了重要作用，尤其是在非线性时滞不确 定系统方面。 1 1 时滞不确定系统的鲁棒控制概述 1 1 1l 寸滞不确定系统的日。控制 从上世纪7 0 年代以来，大量开创性的工作推动了鲁棒控制( 1 5 2 2 ，2 7 3 2 ) 的发展。 日。控制就是现代控制理论中设计多变量输入输出( m i m o ) 鲁棒控制系统的一种控制方法。 z a m e s 针对一类外部不确定的系统，在假定系统的干扰项的特性未知但属于某一己知信号 集合的情况下，首次提出用其灵敏度函数的日。范数作为性能指标，在可能发生的最坏干 扰的情况下设计的输出反馈控制器能使系统稳定，并且相应的胃。范数指标极小。自z a m e s 提出片。优化设计方法以来，研究人员对于日。控制理论进行了广泛而深入的研究，其发展 大致经历了两个阶段： 第一阶段为频域方法理论，即利用y o u l a 的稳定控制器参数化的结果，在使系统稳定 的控制器集合中寻求一个传递函数矩阵的日。泛数的最小解，将问题转化为模型匹配问题， 然后再转化为广义距离问题，最后再将其转换为n e h a r i 问题求解。虽然这种方法给出了一 个清晰的算法，很好地处理了单输入单输出系统的鲁棒性问题，但是对于多输入多输出系 统而言，这种方法设计的计算非常复杂，在一定程度上阻碍了胃。控制理论的发展。 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 第二阶段为时域方法理论，是在8 0 年代末期发展起来的。主要的研究方法包括r i c c a t i 法和线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ) 法 7 ，8 。然而r i c c a t i 方程的求解依赖 于参数调整，因此不能对不确定系统的性能指标进行优化。鉴于r i c c a t i 法的这种缺点， 1 w a s a k i l 等把h 。最优控制问题的求解归结为l m i 的求解 9 ，l m i 法给出了日。控制问题所 有解的参数化表示，这标志着先进的l m i 法诞生，极大地促进了h 。最优控制理论的发展。 在实际的日。控制问题当中，我们要根据系统的具体的研究对象，考虑运用频域方法 还是时域方法：当研究对象是从系统的传递函数或传递函数矩阵出发时，我们通常采用频 域方法( 代数方法) 。目前频域方法由于其物理概念清楚，并且与经典的控制方法有着天然 的联系，因此在实际工程中，频域方法较时域方法应用更广泛；当研究对象是闭环系统的 状态矩阵或特征多项式时，一般采用时域方法。时域方法运用比较多的是采用l y a p u n o v 第 二方法来研究不确定时滞系统的鲁棒控制问题。 1 1 。2 时滞不确定系统的保性能控制 在七十年代初，c h a n g 和p e n g 首次提出了不确定正常系统的保性能控制问题。保性能 控制 1 1 1 4 ，2 3 - 2 6 ，是指对一个具有不确定参数的系统，设计一反馈控制器，使对所有 允许的不确定性，闭环系统的性能指标具有一个给定的上界，并使得闭环系统有界的一种 控制设计方法。也就是说，连续系统的保性能控制器不仅能使得不确定闭环系统是鲁棒渐 近稳定的，而且还使得不确定闭环系统具有一定的鲁棒性能。如果被控系统为标准模型， 那么设计保性能控制器的问题就可以看成是标准的二次型最优控制设计问题，也就是说， 保性能控制可以说是线性二次型最优控制在不确定系统中的推广。 目前，保性能控制的大量研究工作主要是针对定常系统的，对于广义时滞系统或者不 确定广义系统的研究，由于广义系统自身的特殊性，使得保性能控制的研究比较困难，因 此对于广义时滞系统的保性能控制的研究是一个难点问题，具有理论和实际双重意义。本 文正是在背景下做出了进一步的研究。 1 2 本文的研究内容和主要工作 提高精确性、减少不确定时变时滞对系统性能的影响始终是不确定时变时滞系统研究 的一个热点、难点问题，虽然己经取得了很多成果，但是由于采用的研究方法不同，结果 的精确性也就不同；另外随着研究工具的改进，对于不确定时变时滞系统的控制我们一直 期望得到更简单方便的方法。在这样的前提背景下，本论文基于李亚普诺夫稳定性理论、 时滞系统控制理论，采用线性矩阵不等式( l m i ) 技术，对时滞不确定系统进行了研究，具 体分为两个方面： 首先，文文研究了连续不确定时滞系统的h 。状态反馈控制和日。输出反馈控制问题， 不确定连续时滞系统的鲁棒摔制研究 通过构造合适的l y a p u n o v 泛函，基于一组线性矩阵不等式解的存在性，提出了屎证受控 系统在平衡点处可渐近稳定且满足给定的日。性能指标的充分条件及相应控制器的设计方 法。 其次，文章针对一类具有范数有界的参数不确定性的广义时滞系统，采用线性矩阵不 等式方法，研究了不确定广义时滞系统的时滞相关保性能控制问题，并给出了状态反馈保 性能控制器存在的时滞相关充分性条件和设计方法。所得结论都是以线性矩阵不等式的形 式给出，便于计算和工业的实现，具有较高的实践意义。 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 潞二章预备知识与常用引理 本章首先简单介绍了线性矩阵不等式，l y a p u n o v 稳定性理论以及广义时滞系统所用到 的一些概念，然后给出了常用符号的表示方法和将要用到的几个重要引理。 2 1 预备知识 2 1 1 线性矩阵不等式 线性矩阵不等式方法历史悠久，自从l y a p u n o v 在相关文献中提出了线性矩阵不等式 到至今，已经有一百多年的历史了。早期研究的线性矩阵不等式比较简单，一般采用手工 的方法求解，对于求解二维的线性矩阵不等式，一般采用图解法。后来随着控制理论的不 断发展，研究者通常运用l y a p u n o v 方程和r i c c a t i 方程来描述特定的系统，并且求解控制 器。而近年来，线性矩阵不等式随着凸优化理论的发展而越来越受到重视，线性矩阵不等 式方法具有通用性和可解性，这种方法被认为是l y a p u n o v 和r i c c a t i 方程的补充和替代。 现在由于线性矩阵不等式方法可以利用计算机进行求解，因此研究此方法更方便，更具有 理论和现实意义 具有如下形式的矩阵不等式 a ( x ) = 以+ 五4 + h a 0 ( 或 0 ) 称为线性矩阵不等式。其中x = ( 五，h ) r ”是未知变量。4 r “”( f = 1 ，2 ，n ) ，且 a ，4 ，磊为给定的对称矩阵：“ 0 表示“负定”。 显然，对多个线性矩阵不等式( l m i ) 可以用一个l m i 表示，即 4 ( x ) 0 ，a 2 ( x ) 0 ，a _ ( 工) 0 等价于 2 1 。2l y a p u n o v 稳定性 4 ( x ) 4 ( 石) a ( x ) o ( 0 ) ：q 为正定对称矩阵( 半正定矩阵) ； q 0 ( 0 ) ：o 为负定对称矩阵( 半负定矩阵) ； ：萎 ：代表x 薹 ，其中x 尺“h ，z 尺“”为对称矩阵，y er n x mo 引理2 1 ( s c h u r 补性质) 设尸、m 、q 为适当维数的矩阵，则分块对称矩阵 瞄水 当且仅当 q 0 ，p m q 一1 m r 0 或 p 0 ，q m7 尸1 m 0 此结论可推广到非严格矩阵不等式，则有 引理2 。2 设尸、m 、q 为适当维数的矩阵，则分块对称矩阵 二孙 ， 当且仅当 q 0 ，p m q m7 0 ，m ( i q q 一) = 0 其中q 。表示q 的逆。 在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，通常可以用s c h u r 补引理转化为 线性矩阵不等式，因此线性矩阵不等式在控制理论研究中能得以广泛应用。 引理2 3 ：对任意适当维数的i - f i - j _ 量_ a ，b 和矩阵x 、y 、n 、z ，其中x 和z 是对阵的，若 雕x 卜u 勘慨础7 ，二ry 冲 引理2 4 设矩阵f 满足，7 f ，对任意向量令z ，少r ”，都有 2 z r f y z t z + y r y 引理2 5 考虑系统戈( f ) = s ( x ，) ，x ( ，。) = ，t o ，如果在原点的某邻域q 内存在一个 6 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 正定函数矿( x ) ，它沿着此系统的全导数矿( z ) 在q 上为半负定的，则此系统的零平衡点为 局部稳定的( 或渐近稳定的) 。 不确定连续时滞系统的鲁榨拧制研究 沼三章基于状态反馈的不确定时滞系统的日。控 制 由于时滞的存在再加上参数的不确定，造成了系统控制在理论分析上和工程实际中产 生了特殊的困难。由此对于范数有界不确定性参数的时滞系统的鲁棒控制问题引起了广大 科研工作者的极大兴趣，并取得了许多不错的结果。本章针对一类存在状态滞后的不确定 时滞系统，研究了状态反馈鲁棒镇定问题，设计了状态反馈鲁棒镇定控制器，并给出了系 统时滞依赖鲁棒可镇定的充分条件。本章结果计算简便的，数值算例验证了结果的有效性。 3 1 系统描述 考虑如下不确定时滞系统： 量o ) = ( a - i - 4 ) x p ) + ( 以+ a a d ) x p d o ) ) + ( e + e ) w ( f ) + ( b + 岛) “o ) ， z ( t ) = c l 石( f ) + d 1 1 w ( t ) + q 2 “( f ) ， ( 3 1 ) 其中x ( t ) r “为系统的状态向量；w ( t ) r 9 为扰动输入；u ( t ) r “为控制输入；z ( t ) r p 为 控制输出；a 、a d 、蜀、岛、c l 、q 。、日：为适当维数的常值矩阵；d ( f ) 是滞后时间，且满 足0 d ( f ) 0 0 ，d ( ，) p 0 、y 0 和q 0 ， 使得矩阵 最呜x( c i x + 口2 y ) 2 h ( 互z + 磊2 y ) 1 磷 一丫l 0 磷。0 e t x a j ：0- ( 1 一l a ) q 00 x e ： c l x + b 2 l ，d 1 l 0 一r 1 00 h t00 0一10 e x + e b e ne d x 0 0一i 0 ，s 0 并具有适当维数，则v ( x ) 的导数满足： 9 ( 3 8 ) 矿( x ) = 5 c r ( f ) 默( f ) + x r ( t ) p s c ( t ) + x 7 ( f ) s 又( f ) = 2 x r ( t ) p ( a x ( t ) + a d x ( t d ( f ) ) ) + 工r0 ) p ) 一( 1 一左p ) ) z r ( f d o ) ) s p d ( f ) ) 2 x r ( t ) p ( a x ( t ) + a d x ( t d ( f ) ) ) + x ro ) 5 泌q ) = ( z 毒! ! 乙，) r ( 彳r 尸彳+ 孑p p a + s 一。p 。一a d “，s ( z 毒! ：乙，) 因此由上式可知，当a r p 鬈+ p p a + s 一( 1 p a d “) s 。时，矿( x ) 0 ，此时系统( 3 8 ) 任意时 j ，= f ( 7 - 1 z r z - r 啦 以= ；o - b r z - r w r w + 矿( x ) ) 留一矿( x ( f ) r ( y - i z t z - - 7 w t w + 矿( x ) ) 出 矿( x ) 2 x r ( t ) p a a x ( t j ( f ) ) + x ro ) ( 剐+ 么r p ) x ( t ) + 2 x 7 o ) p 且w 0 ) + x r q ) s x ( t ) 一( 1 一弘) x7 1 0 d 0 ) ) s o d o ) ) -(ix 著w 堇( t ，丁f 彳r p 荔+ sp 0 孑一。z 0 ，s x 銎， ) ll群p1 1w ( f ) l i x ( 卜d ) 八 彳尸。一( 卜p ) s j i x ( f d ) j ，屯_ w = x 翌小= ：餮y 一餐擘y 已翌， j r r ( r - b r z - y w r w + 矿( z ) ) 沈 1 0 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 s x 嚣， 7 1 么7 p 砰+ p p a z + s ：+ 磷y - g i c r i c l 甘r i a r p + p a 铲+ s + 7 - 1 c r c l 彳7 尸+ p a + s l j d j l 衙p lc l 明+ y 一口q 。 y 。锑口。一y ， 0 p b i 十y _ c ：d 1 1 y 。1 环d 1 1 一y ， o 羔燧卜 矾1 0l 0 一( 1 一p ) sj -臻y1 00-(1卦00 r s j 研。1 ，、 一“) sl d l 。 一 当上式成立时，即以= f o , - 1 z r z _ y w 7 w ) a t 0 ，则对所有t o ，有： f z r z d t y 2fw r w d t 0 和y 0 ，使得 甲 ( 砰+ h f e b l ) 丁 脚+ x ( h f e a ) r c 1 x + 日2 y e + h f e b l - y 1 0 q 。 a d x + h f e a x 0 - ( 1 p ) q o ( g x + q 2 y ) 7 珥 o y i o( 3 1 1 ) 其中甲= 觚+ 琏y + ( 翩+ 岛y ) 丁+ h f e l x + h f e b 2 y + ( h f e i x + t t f e b 2 y ) r + q 记 不确定连续时滞系统的鲁棒拧制研究 y 丫 b la d x - 9 , 1 0 0 - ( 1 - 2 ) q 毋l 0 】，e 。易x0 ) p 懈 。 ( c i x + d l ：y ) 7 t 1 球 o l 一丫i ) ( 3 1 2 ) 由引理2 ，4 知，对于满足( 3 2 ) 和( 3 3 ) 的所有不确定性参数矩阵，式( 3 1 2 ) 成 立的充要条件是以下不等式成立： + ( 巨x + 层：y 毛l 易彳o ) r ( e , x + e b ：y 毛，髟x0 ) o ( 3 1 3 ) 对上式应用s c h u r 补引理，得到( 3 6 ) ，定理得证。 3 3 数值算例 考虑系统： 地，= 。珈弘+ 瞄州品珈卜， ( ( 兰：；) + ( 0 ) s i n c ，) w c r ，+ ( ：) + ( 曼) s i n c r ， 甜。， z ) = ( 一11 ) x 0 ) + o 1 w ( t ) + 0 1 u ( t ) ， 其中d ( t ) = 5 + o 5 s i n ( t ) ，贝0 = 0 5 ，设) ，= 2 ， y - - ( - 0 3 6 6 5 因此可得所求的状态反馈也控制器是 1 2 则求解线性矩阵不等式( 3 6 ) ，得： o 9 3 2 7 1 ，q ：f o 2 5 7 9 7 l u o 4 4 8 3 嚣卜 n，i弋限肌，叫l 啦 ， 、 r 十 i l 于 r 价等则 丁 、， h o 0 0 ，。，l、ll， 玎0 o 0 ，。一 +r 、 3 o o 8 5 4 7 4 q o 1 、， 6 7 5 9 1 6 0 4 0 o 7 f 0 7 5，l 0 o o o ，。l = y 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 k = y x = ( 一o 0 2 4 7 - 0 4 4 3 8 ) 1 3 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 第四牵基于输出反馈的不确定时滞系统蜒日。控 制 在实际系统中，许多情况下系统的状态变量不可能全部直接获得，这使得基于状态反 馈控制的物理实现成为不可能，因此我们转而考虑用输出反馈进行鲁棒控制的研究，这样 更具实用价值。本章讨论了一类含有状态滞后的不确定时滞系统，得到了输出反馈问题可 解的充分条件，设计了输出反馈控制器，并给出了输出反馈鲁棒控制器设计方法。所得结 果都以l m i 形式给出，易于在m a t l a b 中实现。 4 1 系统描述 考虑以下系统 i 4 t ) = ( a + a a ) x ( t ) + ( 以+ 以) x ( f d ( f ) ) + ( 垦+ 尽) 以f ) + 吃“( f ) z ( t ) = c l x ( t ) + q l w ( t ) + d 1 2 甜( f ) y ( t ) = c 2 x ( t ) 石( r ) = 9 0 ) ，f 一d ”，0 ( 4 1 ) 其中x ( t ) r ”是系统的状态向量；9 ( r ) r ”为状态初始函数向量；以f ) r 9 是扰动输入； u ( t ) r “是控制输入；a 、以、e 、b e 、c l 、c 2 、d 1 。、d i ：为适当维数的常数矩阵；d ( t ) 是滞后时间，且假定满足0 d ( f ) d 0 ，使得如下线性矩阵不等式： 刁p + p 曩+ e tq ep 五t 百r 尸 一7 , 1 历7 己 d 叫i 4 丁尸0 0 蹦 0 0 - ( i a ) q 0 ( 4 7 ) 则系统( 4 4 ) 是鲁棒风一y 可镇定的，其中4 = 以o 】7 1 ，e = ，0 】。 为了便于叙述，首先用矩阵k 表示未知的控制器参数： k = 隆置 8 ， 并引入如下代换 4 = 吾三 ，或= 言 ，豆= 台； 不确定连续时滞系统的鲁椿控制司f 究 g = c l 。】，磊= 案； ，哦= 口：。】 c 4 9 ， 上式中的矩阵只包含模型的数据，则系统( 4 6 ) 中的某些参数可以表示为k 的线性表达 式 互= 如+ b o k c o ，也= 4 e ，b 一= 厩，e = g + d o k c o ，西= d o ( 4 1 0 ) 这样闭环系统矩阵就表示成了控制器参数矩阵k 的仿射函数。 下面先介绍一引理： 引理4 1假设兀上和o 上分别表示兀和o 的正交补向量，则关于矩阵k 的线性矩阵不 等式 + 兀k 0 7 + o k 丁兀7 0 ( 4 1 1 ) 有解的充要条件是如下两个不等式成立 兀：e l i 上 0 ，o ：z o 上 0 ( 4 1 2 ) 因为式( 4 7 ) 可以表示为 + 兀k o7 + o k7 1 n 7 7 0 ( 4 1 3 ) 其中 = 么p + 讹+ e7 1 缈匾 吾：py i 己d l ， 4 7 p 0 琶：p 氐 d 1 。0 - y 1 0 0 - 1 p ) q = d f a g p ，mh = b 7 0 0 讲 2 ，o = 磊0 0 o 7 则根据上述引理，式( 4 1 3 ) 可解的充要条件是如下两个不等式成立 n ：_ 1 1 - i l 0 ，o ：oi 0 ( 4 1 4 ) 这样，我们消去了未知的控制器参数矩阵k 而只包含p 。下面我们将进步简化式( 4 1 4 ) ， 首先我们将尸分块，表示为： p = 瞄”= 嘉? 这里x ，y r ，m ，n r “7 ，表示不相关的块矩阵。因此由( 4 1 5 ) 及( 4 9 ) 并通过 计算，( 4 1 4 ) 可以转化为 1 6 不确定连续时滞系统的鲁棒控制硼f 究 这里不妨令n 上= 剧r + a x 科 c 3一y i 琰 醴。 a s , 0 xq k 0 01 00 砭0 o0 4 r l ，+ 蹦+ q b 1 y c 彰y oo oo iq o0 ql ，0 上= 骂 d 1 。 一y ， o o 冯 - y i d l l 0 a d x 0 0 00 - ( 1 g ) q o o q 一1 口坞 锑0 - 7 1 0 0 - ( 1 一) 9 兀上 0 ，使得 甲，解 c 、x- 7 1 b + ( h f e 3 ) t磋1 + ( h f e 2 ) t 0 义0 甲2 b y * ( h f e 3 ) 7 c l a ；y * ( h f e 2 ) 7 垦+ h f e 3 q l - 7 1 0 0 a 哇七h f e 2 x o0 o0 - ( i l u ) q o o q 一1 冯+ y i t f e 3 口y a a + y h f e 2 - 7 1珲0 d l l 一7 1 0 00 - ( 1 i t ) q 1 - i 0 ( 4 1 8 ) 上 0 ( 4 1 9 ) 这里甲l = a 么r + 么x + h f e , + ( 嘲) 7 ，甲2 = 彳r y + 翰+ q + l i f e , + ( h f e l ) 7 记 f l = x i a r + a x x c (b ia d x c l x1 i d 、l 00 琰政。一7 1 00 疋0 0 - - ( 1 一u ) q 0 x000 - q 一1 1 7 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 f 2 = a r y + 翰+ qy b i y 一1 ，i c ld 1 。 鬈y 0 口黝d 磁0 - y 1 0 0 - 0 u ) q 则( 4 1 8 ) 、( 4 1 9 ) 分别等价于下面的( 4 2 0 ) 、( 4 2 1 ) ： 工1 + r 2 + h 0 o o o f 巨0 岛岛0 + 互0 岛乏o 】r f 丁 h 0 o o h o 0 o o 0( 4 2 0 ) f c 巨毛。最，+ c 巨弓。易，7 f r r 吾1 r 。 c 4 2 ， 对( 4 2 0 ) 、( 4 2 1 ) 应用s c h u r 补性质和引理2 5 ，得到 黝7 + 似x c l c l x叫i 琏琏。i- l 彳0 xq h70 互0 &a d x h 毯 日l 00 0 0 1 1 000 毯 0 - ( 1 一u ) q 00 砭 00 一q 卅0 0 000一jo ke 2 00- i 么1y + 翻+ p飓d j - ， - i b j yv i 政。 c 1d 1 ly ， 彰y 0 0 h r00 e易0 巩 0 0 - - ( 1 一) q 0 e ! h e 0 鼋 oo 0 霹 一，o 0一， 0 ，使得( 4 2 2 ) ，( 4 2 3 ) 和如下线性矩阵不等式同时成立 f x 门i 0 l ，l ，j 1 8 ( 4 2 4 ) z i 确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 那么相应的也输出反馈控制问题是可解的。 证明：因为尸 。与l 亨； 0 希1 r a n k ( ，一s t ) 门等价，根据前面的叙述易证该定理 成立。 下面我们给出该系统输出反馈控制器的具体计算方法，计算的具体步骤如下： 1 ) 计算正定矩阵x 0 和】， 0 ，使得x ，】，满足线性矩阵不等式( 4 2 2 ) 、( 4 2 3 ) 、( 4 2 4 ) ； 2 ) 计算满足m n r = i x - y 的两个列满秩矩阵； 3 ) 解如下线性矩阵不等式，求得唯一解尸： y r 和 三m x r 2 5 ， 4 、当y 0 且m 列满秩时，上述( 4 2 5 ) 总是可解的，所以p 总存在。控制器参数可以通 过求解关于k 线性矩阵不等式( 4 1 3 ) 得到。 由此，可得到输出反馈控制器( 4 5 ) 。 4 3 数值算例 考厝如卜系统： 文t r ，= ( ! 三 + ( ? 二0 0 2 s t n p ， x c ，+ ( _ i 1 三 + ( ) ? 二0 0 2 s t n 。， 石。一d c r ， + ： + 0 0 2 s 订t t ， 以力+ ： 甜c 。 z ( f ) = 【1o 】x ( ，) + 坝，) + z f ( 砷 夕( ，) = 【1o 】x ( r ) 其中d ( t ) = 5 + 0 5 s i n ( t ) ，则p = 0 5 ，设y = 2 ，取a = 厶，利用m a t l a bl m i 工具箱很容易 计算得到，矩阵x 和y ： r2 8 6 0 7- 1 1 4 6 6 r3 1 3 5 4一o 0 2 4 6 - l x 2 l - 1 1 4 6 6 6 8 2 7 5l ，km 0 2 4 61 1 9 3 2 为满足线性矩阵不等式( 4 2 2 ) 、( 4 2 3 ) 、( 4 2 4 ) 的一个可行解。 满足m n7 1 = i x y 的矩阵m 和是 l 一7 3 0 6 33 5 5 6 40 8 0 7 5- 0 5 8 9 9 m 2 i 7 2 7 l o3 5 7 3 7l ，。l - o 5 8 9 9 _ o 8 0 7 5 1 9 不确定连续时滞系统的鲁棒控制研究 由此得到的对称正定矩阵p 是 p = 3 1 3 5 4 - 0 0 2 6 0 8 0 7 5 - 0 5 8 9 9 - 0 0 2 4 6 1 1 9 3 2 - 0 5 8 9 9 - 0 8 0 7 5 0 8 0 7 5 - 0 5 8 9 9 0 5 4 4 3 0 2 7 8 6 - 0 5 8 9 9 - 0 8 0 7 5 0 2 7 8 6 0 7 8 6 5 求解线性矩阵不等式( 4 1 3 ) ，可得输出反馈片。控制器参数( 4 8 ) 是 k = ： - 6 7 8 8 3 一o 1 8 3 2 - 1 6 3 8 3 0 1 8 3 2 - 4 5 8 2 8 3 3 7 9 6 2 0 第五耄；妻子状态眨馈的鲁棒保性能控制研究 这些年来，人们在对正常系统的保性能控制问题的研究中，虽然取得了丰硕的成果。 但是由于广义系统自身所具有的特殊性，使得对不确定广义时滞系统的保性能研究困难了 许多。本章利用l m i 方法，研究了含有范数有界参数不确定性的广义时滞系统的时滞相关 保性能控制问题，给出了广义时滞标称自治系统的时滞相关稳定性的充分条件，并且给出 了状态反馈鲁棒保性能控制器的存在条件和设计方法。 5 1 问题描述 考虑不确定连续广义时滞系统 e i ( t ) = ( a + a a ) x ( t ) + ( a d + 爿d ) x o h ) + ( b + b ) “( f ) x ( t ) = 9 ( f ) ， f l 一向，o ( 5 1 ) 其中z ( f ) r ”是系统的状态向量，u ( t ) r p 是控制输入；妒( f ) 是给定的分段光滑的初始状 态；e r “”且r a n k e = ，- 0 ，r