（应用数学专业论文）对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法.pdf

摘要 本文利用摄动差分思想，对定常对流扩散方程中的空间微商系数进行摄动展 开，展开幂级数系数通过消去摄动格式修正微分方程的截断误差项求出，由此获得 方程的隐式摄动差分格式( i p f d ) ，将此方法应用于非定常对流扩散方程，并加以修 正，得到该方程的修正隐式摄动差分格式然后，对非定常对流扩散方程的微商系 数进行时空摄动展开，进一步发展了时空高精度隐式摄动差分格式，该格式为时间 一步三阶，空间3 点三阶精度格式，既保留了一阶格式简洁特性，又避免了中心差 分格式的非物理数值振荡另外，本文还分别利用傅里叶分析方法和能量方法证明 了隐式摄动差分格式的稳定性，收敛性和t v d 特性最后，数值实验表明：对解的 间断、物理振荡等复杂现象i p f d 格式具有精度高、分辨率高的特点，适合求解对 流占优问题及变系数问题 关键词对流扩散方程，摄动差分格式，时空高精度，稳定性，收敛性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , ah i g ho r d e ra c c u r a c yd i f f e r e n c em e t h o di sp r e s e n t e df o rs o l v i n ga n - s t e a d yc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nb yu s i n gi m p l i c i tp e r t u r b a t i o nf i n i t ed i f f e r e n c e ( i p f d ) s c h e m e f i r s t l y , w eu s et h es t e a d yc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n , t h ec o n s t a n t c o e f f i c i e n t so f t h i se q u a t i o na l ee x p a n d e dt op o w e rs e r i e so f g r i d - s p a c i n g s ，t h e nt h eh i g h - o r d e rp e r t u r b a t i o nf i n i t ed i f f e r e n c e ( p f d ) s c h e m ei so b t a i n e db yd e t e r m i n i n gt h ec o e f i c i e n t so ft h ep o w e rs e r i e s p u tt h i ss c h e m eo nu n s t e a d yc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s a n dm o d i f i e di t ，t h ei p f ds c h e m ei sc o n s t r u c t e d s e c o n d l y , w eh a n d l eu n s t e a d yc o n v e c - t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nd i r e c t l y , t h ec o e f f i c i e n t so ft h i se q u a t i o na l ee x p a n d e dt op o w e r s e r i e so f g r i d - s p a c i n g so f b o t ht i m ea n ds p a c e ，u p o nt h a tw eg e tt h eh i g ho r d e rt i m ea n d s p a c ea c 甜r a c yi p f ds c h e m e ，t h i ss c h e m en o to n l yr e m a i nt h et e r s ef o r mo ff i r s t - o r d e r u p w i n ds c h e m e ，b u ta l s oh a v eo n et i m es t e pw i t ht h r e eo r d e ra c c u r a t ea n de s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r yp r o p e r t y t h i r d l y , w eu s ef o u r i e ra n de n e r g ym e t h o dt op r o o ft h es t a - b l e 、c o n v e r g e n c ea n dt v da b i l i t yo fi p f ds c h e m e e n d l y , t h ea c c u r a c ya n dr e s o l u t i o n o ft h i ss c h e m ea l en u m e r i a l l ye x a m i n e db yu s i n gs e v e r a lm o d e le q u a t i o n sa n dg e tw e l l r e s u i t s k e y w o r d sc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，p e r t u r b a t i o nf i n i t ed i f f e r e n c e ，h i 曲o r d e r a c c u r a c y , s t a b l e ，c o n v e r g e n c e l l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名 日期2 驻地 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 导师签名：三她 日 期：丝晕堑：! 兰e l 期：丝旱! ：! 三 第一章引言 1 1 问题的背景 在自然界及各个工程领域中，对流和扩散现象大量出现，其具体的表现形式多种 多样从人类排放的各种污染物在大气及水体中的扩散到人体器官对药品的吸收， 从多孔介质中的渗水追踪到可溶物在河口和近海的扩散，从大气中温度的变化到密 闭容器中的热传递，无不都与对流和扩散过程密切相关所有这些流体流动与传热 和污染物的输运扩散等现象都受制于对流一扩散方程1 1 卜渊3 其一般形式为 冉，i 一 杀+ 6 ( 五u ) v u v ( 万( e u ) v u ) = ，( 曩让) ( 1 1 ) u 其中b ( z ，u ) 是对流系数，疗( 童，u ) 是扩散系数，z 是空间的坐标，t 代表时间，( z ，u ) 为源项，u 为通量，可以代表流体的速度矢量在空间坐标系上的分量或温度，密度 等待求量 解析法是求解数学模型方程最经济的方法，不需要高度逼真的模拟实验环境和 复杂的数值计算程序对于上述对流扩散问题，数学界已经发展了不少获得其精确 解的数学方法这些精确解是在整个求解区域内连续变化的函数但解析法只适用 于确定的理想化条件，而不适用于具有复杂边界条件的实际问题直到目前，解析 法还只能对少量简单的情形得出，对于大量具有工程实际意义的对流扩散问题，数 值计算的方法越来越广泛地得到应用在过去的几十年内已经发展出了多种数值方 法，其间的主要区别在于区域的离散方式、方程的离散方式及代数方程求解的方法 这三个环节上在数值计算中应用较广泛的是有限差分法、有限元法和有限体积法 方程( 1 1 ) 是抛物型的，若考虑有界域上的定解问题，需要给出相应区域上的 初始条件及边界条件，才能保证所提问题的适定性当烈云u ) 6 ( 五仳) 时，对流 相对于扩散来说在问题中起主导作用，方程呈现出几乎双曲的性质，称之为对流占 优问题对于对流占优问题的数值解法，一直是计算数学中重要的研究内容这 是因为此时方程体现出一种边界层奇性，通常的数值方法都会遇到困难，求解方程 会产生非物理振荡，这与实际的性态不符，因此寻求适合奇异摄动问题特性的数值 方法是十分必要的 1 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 从纯数学的观点来看，方程( 1 1 ) 仅含有一阶导数项和二阶导数项，其离散处 理似乎不存在什么困难但从物理过程的特点来看，这是最难进行离散处理的导数 项，这主要与对流作用带有强烈的方向性有关从数值计算及其计算结果而言，对 流项离散方式构造得是否合适影响到下列三个方面的特性； ( 1 ) 数值解的准确性 众所周知，扩散项的二阶截差的离散格式能很好地反映扩散过程的特点，对大 多数有实际意义的问题，这一离散格式已完全能满足需要，数值计算结果误差的主 要来源，在于对流项的离散格式例如当对流项采用一阶截差格式时会使数值计算的 结果中包含扩散过程被夸大了的误差( 称为假扩散误差) ( 2 ) 数值解的稳定性 某些离散格式，例如传统的迎风或者中心差分格式，在一定条件下( 如流速较 高或网格划分较粗等) 会导致数值解发生振荡，这称为数值解的不稳定性 ( 3 ) 数值解的经济性 所谓经济性是指求解过程所需的计算机内存及时间的多寡有不少格式，大多 是2 0 世纪9 0 年代以后发展起来的高阶格式，既有较好的准确性又不会发生解的振 荡，但由于格式构造过程比较复杂，使所形成的代数方程的求解无论在内存与时间 上的开销都比较多，因而如何加速由这些格式形成的离散方程的求解过程，也是最 近1 0 余年来对流项离散格式研究中的一个重要内容 1 2 问题的研究现状 有限差分方法 4 l “阎是获得对流扩散方程数值解的一种有效方法在差分法中 微商用差商来近似，为了使差分近似更好地逼近微分方程的精确解，人们对差商近 似作了持续有效的选择和改进微商最常用的差分近似是直接差分，包括中心差分， 向前和向后差分以及它们的组合差分近似对于对流扩散方程中的对流项二阶中心 差分会产生数值振荡，向前或向后差分格式可充分反映对流迎风效应，但精度只有 一阶，难以满足复杂流动计算的要求 为此人们提出了许多行之有效的高精度、高分辨率的差分格式，主要的如对称 2 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 和迎风多基点差分格式【9 卜【m ，该格式使用比直接差分基点数更多的基点，例如一 阶微商的多基点差分为 ( 塞) ；= 。墨。t 陬，屯 0 , k l + k 2 2 ， 其中u i + k 表示u 在o = 墨+ 处取值另一类多基点差分格式是在求解双曲型方程中 发展起来的t v d ，e n o ，w e n o ，n n d 和u e n o 等一大批彼此类似的方法1 11 1 【1 8 1 ， 这类格式在解的间断处具有高分辨率，且勿需添加人工粘性，基本上也不发生振荡， 而在解的光滑区域具有高精度，因此又被称为差分自适应格式但多基点给边界点 和靠近边界点的离散处理带来不便，同时也使系数矩阵带宽加宽，增加了计算量 改进多基点方法的一个有效途径是紧致差分方法1 1 9 ”( 2 2 l ，与多基点方法相比， 其突出优点是使用较少的基点可以达到同样高的精度但紧致差分格式还需数值求 解新增加的“紧致”关系，紧致关系是通过对微分方程进一步求导，然后求解网格 节点上的待求函数值或导数值，将多个基点的函数值和导数值关联起来，从而改进 微商的差商近似，保证差分格式更好的逼近微分方程的真解紧致方法的缺点是结 构复杂，计算量亦有明显增加，适用范围难以确定 j d o u g l a s 【2 3 】等提出的特征线差分方法【z | 3 】“【25 | 是求解对流占优问题的一类很 有效的方法这一方法是沿着特征方向( 流动方向) 对时间离散，利用对流扩散问题 的物理力学性质，有效地克服了数值振荡，尤其对“对流占优”问题，特征法有突 出的优越性而特征差分格式的成功与否，关键在于插值方式的选择线性插值可 以避免数值振荡，但却有较大的数值扩散；普通的二次l a g r a n g e 插值可以减少数值 扩散，但却有严重的数值振荡；高阶单调插值虽然可以避免数值振荡，减少数值扩 散，但一般计算量偏大 上世纪九十年代，高智【2 7 1 1 3 4 1 提出数值摄动思想和摄动有限差分( p f d ) 方 法摄动有限差分方法是思路不同于熟知的紧致差分方法的一种高精度紧致差分方 法摄动有限差分方法的基本思想是s 微商用直接差分近似( 即一阶微商用一阶迎 风或二阶中心差分近似，二阶微商用二阶中心差分近似) ，在维持直接差分结构形式 和基点数不变的前提下，利用微分方程本身的固有关系，即利用物理问题本身的性 质修正上下游基点“士1 ) 物理量对中心基点物理量的贡献来提高差分格式的精度 3 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 具体做法为：非微商项( 包括微商系数和源项) 摄动展开为步长的幂级数，摄动展开 幂级数中的系数( x x ) ”( m 1 ) 为待定，利用微分方程本身提供的关系，通过消除 修正微分方程的截断误差诸项即可求出它们，确定摄动展开幂级数诸系数的同时得 到摄动差分格式应用以上思想可以得到定常一维对流扩散方程( c d 方程) 的摄动 差分格式，该格式使用三基点，具有系数矩阵无条件对角占优，迎风性、紧致性， t v d 特点，且保留了一阶迎风格式的简洁结构形式，特别是它的系数矩阵不存在网 格雷诺数大时数值溢出的问题，因此适合求解对流占优问题 目前，人们提出的数值解法还只能解决带有简单初值条件和边界条件的对流扩 散问题，而大量具有工程实际意义的对流扩散问题，往往都带有复杂初值条件和边 界条件，如何求解带有复杂初值条件和边界条件的对流扩散问题还需要进一步研 究 1 3 本文的工作 数值摄动有限差分格式的高精度、高分辨能力已在众多的模型方程和不可压缩 流动的计算中得到了应用和验证由于摄动差分的思想是利用直接差分构造得到，所 得到的差分格式大部分都是显格式，在非定常对流扩散方程的数值求解中，显格式 往往由于稳定性的限制需要较小的时间步长，因此数值解的经济性和稳定性都受到 质疑本文第二章将从定常对流扩散方程出发，得到其摄动精确数值解格式( p e n s ) ， 然后结合时间导数项，导出非定常对流扩散方程的隐式摄动差分格式( i p f d ) 数值 实验表明，该格式不仅保留了显式摄动差分格式原有的特点，在格式的稳定性方面 也有极大的改善 同时，在目前的摄动差分数值格式中，大部分文献仅对空间导数采用摄动差分 思想，时间方向仍然需要借助其它高精度方法高智发展的对流扩散方程的时空高 精度( 时间二阶空间三阶) 摄动差分格式【j j l 也由于在计算第n 层时间项时，需要 n 一1 和n 一2 层的数值，增加了存储量，且加大了边界点的处理难度因此如何构 造结构简单，便于计算的时空高精度摄动差分数值格式是本文的另一考虑重点 另外，对于摄动差分方法的稳定性研究目前还进行得不够，许多格式仅仅推导 出摄动差分格式并运用数值求解进行了验证，由于摄动差分方法采用了局部“冻结 4 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 系数法”来处理微分方程中的微商系数，因此其也适用于变系数方程的数值求解 于是本文分别运用傅里叶分析和能量方法分析了本文中提出的摄动差分格式的稳定 性 5 第二章对流扩散方程的隐式摄动差分格式 2 1 引言 对流扩散方程是描述粘性流体运动的非线性方程的线性化模型方程，而且它本 身也描述了许多自然现象，例如在水中或大气中污染物质浓度的扩散，沿海盐度， 温度的扩散等等因此研究对流扩散方程的数值解法具有非常重要的理论和工程实 际意义 摄动有限差分( p f d ) 方法是求解对流扩散方程最有效的方法之一它的基本思 想是利用摄动解析方法来构造格式，它把微分方程差分离散的概念加以扩充，既离 散微商项又离散非微商项( 包括源项和微商系数) 对微商项使用直接差分( 指一阶迎 风或二阶中心差分) 近似，对非微商项摄动展开成空间和时间步长的幂级数，通过 消除摄动格式修正微分方程的截断误差项来提高精度，由此获得高精度的p f d 格式 摄动有限差分方法与其他方法相比有其明显的优点；首先对流项具有非线性的性 质，对该系数进行摄动展开，可以在不增加基点数的条件下使格式精度提高；其次 摄动有限差分格式具有迎风性，能真实反映物理解的迎风效应且能有效抑制数值振 荡；另外，摄动差分方程的边界条件和原物理问题的边界条件完全一致，因此计算 中对边界的处理比较简单 将摄动有限差分方法应用到非定常对流扩散方程，可以得到隐式摄动差分格 式，该格式具有无条件稳定性迎风性、无数值振荡、精度高等优点 2 2 差分格式的建立 考虑一维空间的常系数对流扩散方程初边值问题： f 瓦0 u + n 塞= r 豢 o z o 的 格式 式 ( 2 1 5 ) 于是i c ( r ，七) i 1 ，即满足v o nn e u m a n n 条件，差分格式( 2 1 3 ) 是无条件稳定 2 4 修正隐式摄动差分格式 类似于2 2 2 节的处理，我们可直接给出对流扩散方程( 2 1 ) 的显式摄动差分 “r 1 一“? + 互a 。、1 一p ) ( u 孙1 一“? ) + ( 1 + p ) ( 砰一u 2 1 ) 】 = 害( 让群。地? + 昧。) 佗1 6 ) 对( 2 1 3 ) 、( 2 1 6 ) 进行线性组合，得到形如c r a n k - n i c o l s o n 格式的摄动差分格 罕n + ln + 烈a ( 1 一徘n + l 一矿，) + ( 1 + 徘? 一n 一+ 。1 ) 】 + 磊a 【( 1 p ) ( “冲n1 一钍 ) + ( 1 + 卢) ( 嵋一“0 1 ) 1 ( 2 1 7 ) = 生2 h 2 ( 乱州n + l 一2 1 + “搿) + 而a t r l n + 1 - - 2 u ? + 乱2 ，) l o 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 由于 掣=国r1七t一02un+10t20 2 tj i + o ( r 2 ) 一 l“l。、+ ， 字n + ln ：郦0 un + 。互t 丽0 2 u ”, n d ( 下。) 于是由2 2 2 节的分析可知，( 2 1 3 ) 式的修正微分方程为 赛+ n 尝= r 象+ ；害+ o ( r 2 + 哟瓦+ n 瓦27 瓦万+ 互否虿+ 凡j 同样，( 2 1 6 ) 式的修正微分方程为 警+ 。塞= 嚣一互l 两o i u + o ( r 2 + h 2 )瓦+ o 瓦57 瓦芦一互否虿+ j 而( 2 1 7 ) 式可以写为；( 2 1 3 ) 式+ ；( 2 1 6 ) 式，因此( 2 1 7 ) 式的修正微分方程 为 象+ 。象：7 面0 2 u + o f f 2 + 酽)瓦+ o 丽27 面+ 舻) 即修正摄动差分格式( 2 1 7 ) 的截断误差为o f f 2 + 酽) 2 5 修正隐式摄动差分格式的t v d 特性 定理2 5 1 格式口s z ) 是t v d 格式 证明；方崔( 2 1 7 ) 口j 以写为半罔敢衔式 ( 象) 卜一磊a 。、1 一卢) ( 钍一u t ) + ( 1 + ) ( u t 一睢t ) 1 + 警( t 件1 2 + 啦一1 ) + 雨( 札件1 2 + 啦一1 ) = c 盘1 2 州2 一c ：1 2 t u 2 u 其中 a i + l 2 u = u 件1 一啦， 一1 2 u 2 地一“i 一1 瞄1 2 = 窘一轰( 1 一f 1 ) ，c ：帅= 害+ 最( 1 删 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 由p = s i g h ( a ) = s i g h ( a ) ，可得 l 2 = 嘉一丽a + 西a 2 = ( a h l - 3 r ) 2 + 3 r 2 因为r 0 ，所以1 2 c t + l 2 0 另外，总变差 其中 d t v ( 札) 】 0 0 o o t v ( u ) = h 1 一钍t i = 蜀+ 1 ，2 ( 毗+ 一t “) 4 = - o o i = - o o 只+ 聊= 二i ，x t 件+ l 。l 胆2 u u 0 时，k + 1 2 或为零，或与件u 2 u 异号，所以 d t v ( u ) 】0 即对流扩散方程的修正隐式摄动差分格式( 2 1 7 ) 对任意大小的对流系数具有t v d 性质 2 6 修正隐式摄动差分格式的其它特性 修正隐式摄动差分格式( 2 1 7 ) 由于仅使用三基点，除了具有上述无条件稳定性 和t v d 特性外，还具有系数矩阵无条件对角占优、迎风性、紧致性且保留了一阶迎 风格式的简洁结构形式 1 2 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 另外，从摄动系数a 可以观察到 n ，= 1 一警 + 笔 2 2 了；l 乒i 干1 1 i j 丽 即修正隐式摄动差分格式( 2 1 7 ) 包含的指数项均以e x p ( 一j 动i ) 的形式出现，因此不 存在常见指数型格式中存在的对流占优时数值溢出的问题此时，只需将格式( 2 1 7 ) 中摄动系数右端系数a r 作如下变形即可 ， 1 一再砺雨 修正隐式摄动差分格式( 2 1 7 ) 能够很好的模拟对流占优问题，但遗憾的是虽然 定常态对流扩散方程的格式( 2 11 ) 是精确数值解格式，一旦加入了时间项，截断误 差最高只能达到o ( r 2 + h 2 ) ，不能满足高精确计算的要求为了解决这一问题，在下 一章我们考虑改进差分格式，建立时空高精度隐式摄动差分格式 1 3 第三章对流扩散方程的时空高精度隐式摄动差分格式 3 1 引言 在计算流体力学的差分方法中，空间高精度( 精度高于或等于- - g r ) 格式的构造 方法有许多，例如前面提到的多基点方法，紧致方法，e n o 、w e n d 、n n d 格 式，摄动差分方法等将这些格式应用到对流扩散方程，就可得到相应的空间高精 度差分格式若要对时间差分进行离散，一般使用r u n g e k u t t a 方法 4 1 卜 4 3 】，该法 中时间为竹步时精度亦为n 阶；同时也发展了一些时间一步精度为二阶或一阶半的 格式，例如l a x - w e n d r o f f 格式，c e s e 格式 2 0 1 等 高智利用数值摄动方法修正直接差分格式的时间和空间梯度，获得对流扩散方 程的时空高精度摄动差分格式【 1 该格式在计算第n + 1 层数值时，对时间二阶精 度，还需要第忆和第n 一1 层的数值；对时间三阶梯度，更是需要第礼一2 层的数 值，增加了存储量和计算量但受此格式的启发，采用数值摄动差分方法修正隐式 的直接差分格式，对时间和空间梯度系数进行摄动展开，再结合原方程，得到隐式 时空高精度差分格式，此格式还具有迎风性的特点，不会发生数值振荡 3 2 差分格式的建立 仍然考虑非定常对流扩散方程 o uo ua 2 u 面+ o 蕊2 ”礤 方程( 3 1 ) 的隐式迎风差分格式为 ( 3 1 ) 宰+ 扣卅n 圹+ l ) + ( 1 嘶一u 蜘( 3 2 ) = 景( 件n + ，l 一2 乱? + 1 + u n ，+ ，1 ) 1 4 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 对( 3 2 ) 式中的时间梯度系数1 和空间梯度系数a ，r 进行摄动修正如下 知一1 + 6 下+ 已7 - 2 + = a + 7 1 h + r 2 h 2 + r p = r + ( 1 h + 已h 2 十 则得到新的差分格式 t p 牮n + l n + 扣二仂n + ln + 1 ) + ( 1 + w 1 一蚪) 】( ，3 ) 2 紊( u n + l 一2 叼“+ 蚪) 行u j j 甲天亍训羽各项征点m + 1 ，o j 作t a y l o r 展升，合开7 _ ”h 。，7 - 1 ，h 1 ，产 和h 2 等项的系数，并令它们分别等于零，得 下。胪：象+ a 爱一r 象= 。 下1 ：f = 去豢= 瓦1 【r 丽0 2 ( 瓦0 u ) 一n 瓦0 【瓦0 u ) 】 丁2 ：已= 瓦f 1 否0 2 万u 一瓦1 否0 3 万u =1 7r昙(害)一。丽0(瓦0u)12一一1【r昙(等)一。瓦0(丽02u4(ut)it6 u t ) 】 2 ”丽( 瓦j - 0 丽( 瓦圹一一【r 面( 丽) 一。瓦【丽) j h 1 ：m = 差象，臼= o 2 ：啦= 羞象一壶象，已= 一壶象 胪：仍= 差象一是骞+ 差丽0 4 u ，q = 。 现将矗已，q 1 、啦，伽，a ，( 2 和白分别代入知，r p ，并略去高阶 嵋+ 1 一n + 芸【( 1 一p ) ( 札件n + 1 l 一蟛+ 1 ) + ( 1 + ) ( 叼+ 1 一姐搿) 】 一会( 让搿砌函m 忆。慨+ 如+ + p = 。+ p a x ：。棚 壑墅堡鱼璧! 坠窒塑鎏篓墼壅堡墼堕塞堡垫童堡萋坌墼堡堡鎏 其中a = 百a t ，r h = 7 a h 只、r 。和分别为时间梯度二阶、三阶修正项；如， f ：m ，f k 一分别为空问对流梯度二阶、三阶、四阶修正项；f 江为空间扩散梯度 四阶修正项它们分别是 只= 扩i 面0 2 ( 瓦o u ) 一。未( 害) 胪甲 = 壶州n + l 一刻叫矿- 卅小搿啦1 ) 】一譬【患胪， 5 r 。瓦1 【 r 孬0 2 【瓦o u ) 一n 嘉( 害珩+ 1 ) 2 r s = 虿# 专( 只) 。 p 地= 扩1 蕊0 ( 丽0 2 u ) _ r 品( 象煅7 1 3 = 击( 1 一p ) f ( 错一2 咯，+ 钳) 一( 砰机一2 酵+ 罅一，) 】 + 击( 1 + p ) 【( u ? + 一2 钍? + 叼) 一( “搿一2 札2 。+ u 对) 】 一壶f ( 乱件n + ，l 一2 咯，+ 磁冒) 2 ( 叼+ i _ 2 u ? + “? 一) + ( 乱搿一轨。+ 目) j 吃= a 。f t o 船u , 。：警( 。n + + 。l 一2 矿+ 蚪) 圪z = 老( 象) 2 一百a 。丽o a u 儿“脚 2 赤心n 一+ l z “? + lq - u 搿一竿 圪一= 【差c 象) 3 - 盖象象+ 差豢胪t 脚 却n + l 一叼+ id _ u 搿f 等舻1 一( 仳州n + l 一2 让r 1 + “州n + l ，- l , 面a 卢h z t 丽o z u 胪n + a p 地h a t i 2 q a u n 十1 玩= 等 翁 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 其中 伊乱1 n + 1 1 瓦瓦k 象胪1 f 塑p a 一1 4 = 去【( 1 一卢) ( ( u n 件+ ，l 一嵋+ 1 ) 一( t t 苒。一嵋) ) 】 + 嘉【( 1 + 卢) ( ( u ? + 1 一蛸) 一( u ? 一u n ) ) 】 = i 1 【0 面0 2 u + 蕊o b 2 u j l ；l + 1 = 嘉( 蛾一2 “n + ，+ 蹦) + i 1 。丽0 2 uj 。+ 1 = 争n 丽0 5 u + 鑫矿， = ；a 【瓦0 3 u j 。n + ，+ 磊1 2 丁。i - 。n 件+ ，l 一略1 ) 一2 ( a t + 1 一磁) + ( 磁譬一昧1 ) 】 因此，对流扩散方程( 3 1 ) 的二阶隐式摄动差分格式为 其中只由( 3 5 ) 式确定 隐式摄动差分格式( 3 6 ) 与高智发展的时空高精度格式一样，截断误差均为 0 0 - 2 + h 2 ) 但前者为一步格式，后者为多步格式，在计算u r l 时，后者需要仙? 和嵋- 1 的值，如要进行数值求解，需要先用其它一步格式结合初始条件求得第二 层的值，然后才能应用该格式逐层计算而格式( 3 6 ) 为一步格式，可以直接求解代 数方程组或者利用s o r 方法求解并且由于其为隐式格式( 在后面我们要证明其稳 定性) ，对时间步长的限制不大，可以取较大的时间步长，减少计算时间 3 3 记号与公式 能量估计通常用于研究差分格式的稳定性和收敛性为了本节中能量估计方法 的需要，下面先给出一些记号和若干公式 对给定区间 o ，l 1 作均匀剖分：n h = l 为简单计，用u ，v 等表示定义在 x i ( 0 戤n ) 上的网格函数，它们在网格节点毛处的值记为地，巩等用( u i k 及池b 分别表示u 在网格节点翰处的向前及向后差商 1 7 搿 ，一 o 叶。 f f b 国 += 啪 舭廿牝 趴 胍 卜土取 a乜洋 蜉 + 矿 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 1 内积与范数 一1 阻，t i ) = u i v i h ， i = 0 一1 ( 钍，口) = t l i v i h ， = 1 ( 乱， 】= u l v i h ， t = 1 川o = 阻，“) m i 钍i io = ( “，u ) m i 札o = ( 让，叫1 ，2 2 _ t l u f l3 + i 3 ， 1 u l l 0 2 燃i t 2 分部求和公式 3 差分g r e e n 公式 ( “，) = ? a n v n u o 1 一( 缸i ，叫 ( u ，) = u n u n 一1 一u o v o 一( u ，纠 若v o = u n = 0 ，则( v ，( a u ) 。) = 一池，伽i ) 4 s c h w a r z 不等式 5 一不等式 设a 和b 为实数，则对任意s 0 ，有 s n 2 + l b 2 6 v o = 咐= 。，则有不等式等2 i i 2 - j l 川z 3 4 差分格式的稳定性 矿卜缸+ 1 怫一警孵1 + 叼聃( ? + 1 吲一( 3 7 ) + i t r ( 钍? + 1 + “? k 、 堡奎堕董查堂亟主论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 2 2 2 2 2 。2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 兰= - 二；：；= 兰；：；= ：；：；兰；：；= 对固定的几，用( 让r 1 - 4 - 嵋) 乘以( 3 7 ) 式两边，并且关于i = 1 ，2 ，n 一1 求 和，得到 lu n + l | 12 一i l u “| | 2 = q 1 + q 2 + 醌+ q 4 其中 q 1 = 百a tu u n + l + “k ，u n + l + n ) - 笔s l l ( “t 件l + u n ) i i i i l u - + , + 矿| | - 警- j l u + l + u l l2 学( 州h i l u l l 。) q 2 = 一警( ( 计1 + 矿) 。，矿+ 1 + 矿) ：譬( ( 矿+ l + 矿) 。，( u 卧1 + 矿) 。】 = 丁a t h , u n + l t u n 瑚| 2 o ，由递推关系知道，当n 【要】，有 i l u l l2 ( 拦燃川l 叫l2 _ m i i 叫i z 其中m 为正常数所以，差分格式( 3 6 ) 按离散如范数关于初值是稳定的 1 9 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 3 5 差分格式的收敛性与误差估计 记露= 叼一嵋，其中叼为方程( 2 1 ) 的精确解u 在网点( t 。，戤) 处的值，则 由格式( 3 6 ) 得到误差函数所满足的方程，并且改写为形如( 3 7 ) 的形式 露+ 1 一露= 7 - 2 研一百l i t ( e ? + 1 + e ? b 一警【( 矿1 + 舷+ ( e ? + 1 一日) n 】+ 虿t r ( e r l + e 。n k i = 1 ，2 ，n 一1 礼= 0 ，1 ，【譬】一1 e o = 0 i = 1 ，2 ，n e ：r = e 8 = 0 札= 0 ，1 ，【n ，】 其中尼。= o ( 7 _ 2 + h 2 ) 定理3 s 1 设u w 1 , 0 0 ( o ，t ；w 2 ，o o f 0 ，目) 是方程仁砂的精确解，则差分格式p 缈 的解u 按照离散l 2 范数收敛于以并且其整体误差与d ( 下2 + h 2 ) 同阶 证明：仿照3 4 节的处理，容易得到 l l e ”+ 1 1 1 2 一i i 2 = 6 k h l aj ( 1j e 4 + 1 1 1 2 + l l e ”1 1 2 ) + 下2 i ( r r i ，e ”+ 1 + e ”) l m l h ( i e “+ 1 1 1 2 + l i e “f 1 2 ) + 7 2 i l r “i | i i e “+ 1 + e n i l s 舰h ( 咿+ 1 1 1 2 + l l e 1 1 2 ) + 去i 俐1 2 + r 2 c z l e 卅1 + e ”1 1 2 ( 晒+ 2 圪2 h 3 2 ) 危( f l e “+ 1 i f 2 + i l e “f 1 2 ) + ；= _ f f 上妒f 1 2 t 0 m 2 h ( 1 l e ”+ 1 1 1 2 + i l e ”1 1 2 ) + m 3 r 2 l i r ”1 1 2 其中，0 0 ，则由递推关系知道，当n 【； ，有 俐1 2 ( 、1 1 + 一m 2 扩h ll l e o i n 丁2 蓑( 鬻) 刖1 2 m 4 r 25 2f i r 1 1 2 m 4 n 1 - 2m a x f i r 1 1 2 华东师范大学硕士论文对流扩散方程的隐式摄动有限差分数值解法 故 i l e ”1 1 2 c m a x l i 彤i | 2c 为正常数 n 即得到 l l 矿l l = 0 ( 7 - 2 + 危2 ) 因此，差分格式( 3 6 ) 是收敛的，且整体误差与o ( 1 _ 2 + h 2 ) 同阶 2 l 第四章数值算例及讨论 4 1 一维常系数模型问题 考虑以下一维常系数模型问题 o z 10tt 0 z 1 ott 0tt 该问题的解析解为“( t ，z ) = e x p ( 乒z + ( 1 一c p ) o 我们利用第二章提到的隐式摄动差分格式( 简记为i p f d ) 求解以上问题，并将 其与中心型c r a n k - n i c o l s o n 格式( 简记为c - n ) 和一阶迎风格式( 简记为i - u w ) 进 行比较，计算各个格式与精确解之间的最大相对误差 最大相对误差 f1 u wc ni p f d 0 100 0 6 444 1 6