（应用数学专业论文）一类波动方程的非线性微扰问题.pdf

学位论文数据集 中图分类号 0 1 7 5 学科分类号 论文编号 10 0 10 2 0 0 7 0 6 5 5 密级 冬 1 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学学位授予单位代码 一l 作者姓名苏慧娟学号 2 0 0 4 0 0 0 6 5 5 、 获学位专业名称应用数学获学位专业代码 0 7 0 1 0 4 课题来源自选研究方向偏微分方程理论研究 论文题目一类波动方程的非线性微扰问题 关键词 波动方程，微扰 论文答辩日期 20 0 7 - 5 - 2 5 论文类型应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称工作单位学科专长 指导教师江新华副教授北京化工大学偏微分方程 评阅人1黄飞敏研究员中科院数学研究院偏微分方程 评阅人2黄晋阳教授北京化工大学应用数学 评阅人3施小丁教授北京化工大学偏微分方程 评阅人4 评阅人5 椭员会拂 黄飞敏 研究员中科院数学研究院偏微分方程 答辩委员l 黄晋阳教授 北京化工大学应用数学 答辩委员2 施小丁教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员3许兰喜教授北京化工大学偏微分方程 一 答辩委员4 答辩委员5 。 注：一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在中国图书资料分类法查询 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 - 9 ) 学科分类与代码中 查询 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成。 少 ， 卜 冬 一 北京化工大学硕上学位论文 一类波动方程的非线性微扰问题 摘要 波动方程是最广泛的科学论题之一，许多物理问题都可以描述 为非线性双曲型方程，其非线性项只依赖于一些不独立变量的导数 和小参数s ，如r a y l e i g h 波动方程。因而寻求数学物理中的非线性偏 微分方程的精确解，尤其是非线性波动方程的微扰问题成为非线性 科学中研究的重要内容之一。对于非线性偏微分方程特别是当带有 扰动时，一般很难求得方程的精确解，而且目前这方面的研究还不 是很多。因此研究此类非线性方程的求解很有必要。 本文分为三章，第一章为引言，首先重点介绍波动方程的非线 性微扰问题的背景知识以及它的重要性；然后介绍了前人在此领域 的研究成果及现状；最后重点介绍了本文第二章所用到的方法，即 多重尺度法和能量方法。 第二章，将以r a y l e i g h 波动方程的初始值问题 首先利用积分方程和 佃，o f 三( 任意 占 后利用能量方法及积 北京化工大学硕士学位论文 分方程和b a n a c h 不动点定理，得到了解的一致有界性；最后利用能 量方法，证明了真实解与渐近近似解的第一项之间的误差由s 乘以 一个常数所控制，这个常数只依赖于r 而不依赖于x 和f 。 第三章，将具体研究( p c ) 迭代格式的收敛阶。本章研究如下 形式的牛顿弦截法的预估校正( p c ) 格式： p ( 预估x k + l = x k 一觥 c ( 校正) ：= 五一粼 从理论上严格证明其收敛阶为2 6 1 8 ，并给出数值算例。 关键词：扰动，一致估计，全局存在性，近似解，牛顿弦截法，e c 格式，收敛阶 l l 产 北京化工大学硕十学位论文 an o n l i n e a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m f o rw a v e e q u a t i o n a b s t r a c t t h ew a v ee q u a t i o ni so n eo ft h em o s tc o m p r e h e n s i v es c i e n t i f i c t h e s e s m o s tp h y s i c a lp r o b l e m sc a nb ed e s c r i b e da sn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n ，a n di t sn o n l i n e a rt e r mo n l yd e p e n do nt h ed e r i v a t i v e so fs o m e d e p e n d e n tv a r i a b l e sa n ds m a l lp a r a m e t e rs ，j u s t a sr a y l e i g hw a v e e q u a t i o n t h u s ，i tb e c o m e so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n t e n t so ft h e n o n l i n e a rs c i e n c et os e a r c hf o rt h ee x a c ts o l u t i o no fn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，s p e c i a l l y , t h en o n l i n e a r p e r t u r b a t i o np r o b l e mf o rw a v ee q u a t i o n g e n e r a l l y , i ti sv e r yd i f f i c u l tt o o b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o no fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ， e s p e c i a l l yw i t hp e r t u r b a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h e r ei sal a c ko ft h er e s e a r c h o nt h i sa r e ap r e s e n t l y ；h e n c e ，i ti sv e r yn e c e s s a r yt os o l v et h es o l u t i o n 北京化_ t 大学硕士学位论文 c h a p t e r2 ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rt h er a y l e i g hw a v ee q u a t i o n i sc o n s i d e r e d ： z 一+ s ( - - u t + = 1 3 ) ：0 ， j u ( x ，0 ) = a 。s i n ( n x ) ， u t ( 工，0 ) = 吃s i n ( n x ) ， 一 工 + 0 0 ，t 0 ， 一o o 工 + ， 一 x + o o a n dan o n l i n e a rp e r t u r b a t i o np r o b l e mf o rw a v ee q u a t i o ni ss t u d i e d f i r s t o fa l l ，t h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o ni so b t a i n e db y u s i n gt h ei n t e g r a le q u a t i o na n db a n a c h sf i x e dp o i n tt h e o r e m ；a n dt h e n ， b yv i r t u eo ft h ee n e r g ym e t h o d ，i n t e g r a le q u a t i o na n db a n a c h sf i x e d p o i n tt h e o r e m ，ap r i o r iu n i f o r me s t i m a t ef o rt h es o l u t i o ni so b t a i n e d ；a t l a s t ，t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et r u es o l u t i o na n dt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n i se s t i m a t e d c h a p t e r3w i l l d i s c u s sp c i t e r a t i v ef o r mo fn e w t o ns e c a n t m e t h o da sf o l l o w s ： p ( p r e d i c t o r ) ：；m = x k 一 ( 五一x k 一。) 厂( ) f ( x k ) 一f ( x k 一。) t ，o r d e r e q 北京化工大学硕上学位论文 目录 第一章绪论1 1 1弓i 言l 1 2 研究现状及成果2 1 3 研究方法4 1 4 本文的主要r t 作6 第二章一类波动方程的1 线性微扰问题一8 2 1 引言一8 2 2 解的有界性1 2 2 3 证明定理1 7 2 4 本章小结2 0 第三章牛顿弦截法预估校正迭代格式的收敛阶2 l 3 1引言2 l 3 2 牛顿弦截法的预估校正( p c ) 格式。2 l 3 3e c 迭代法的收敛阶2 3 3 4 本章小结2 6 参考文献2 7 研究成果及发表的学术论文2 9 致谢3 0 v 北京化 t 大学硕士学位论文 1 1引言 第一章绪论 自然科学和社会科学领域中广泛存在着的非线性问题，越来越引起人们的 关注，而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性高阶发展方程来描述，例 如在弹性力学中提出的四阶非线性波动方程；在现代材料科学中对具有灵敏材 料中结构弹性体的研究而抽象出的具阻尼的非线性双曲方程；因而如何得到它 们的精确解对研究相关的非线性问题非常重要。波动方程是最广泛的科学论题 之一，许多物理问题都可以描述为非线性双曲型方程，其非线性项只依赖于一 些不独立变量的导数和小参数s 。如r a y l e i g h 波动方程，这也是本文第二章所重 点研究的例子。 随着非线性科学的飞速发展，对非线性现象的研究成为各个自然科学领域， 也包括社会科学领域所十分关心的问题。物理学、化学、生物学、通讯工程甚 至社会的经济问题等都存在着大量的非线性问题，这些问题的研究最终可用非 线性偏微分方程这个数学模型来简单而准确的描述。因而寻求数学物理中的非 线性偏微分方程的精确解，尤其是非线性波动方程的微扰问题成为非线性科学 中研究的重要内容之一。 对于非线性问题，除极个别情形外，都是求不出精确解析解的。过去，人 们常常采用丢掉非线性项即所谓的线性化方法，这在一定程度上解决了问题。 但是随着非线性项的丢弃，必然掩盖了实际问题的一些现象，甚至一些重要现 象，使人们无法了解其中的规律。例如自激振动就必须用非线性方程来描述。 随着科学技术的迅速发展，人们越来越不满足这种状况。自4 0 年代以来，许多 科学家从事非线性问题的研究。目前非线性问题已为人们普遍关注。 在物理学的众多问题中经常会遇到大量的能反映各种因子或各种物理量之 问相互制约和相互依存关系的非线性方程，一般可以称为非线性演化方程 ( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ) 。本文第二章所研究的r a y l e i g h 波动方程就是一 类非常重要的非线性发展方程。 非线性发展方程在很多领域都有很重要的作用，对这些方程的求解是一个 一 北京化工大学硕卜学位论文 热门的研究课题，当今国际与国内有很多的学者在从事这方面的研究。对各种 线性偏微分方程的求解，如波动方程、热传导方程、位势方程、麦克斯威电磁 场方程、线性薛定锷等，已经有了有效的解决方法。但是，由于非线性理论极 为复杂，对于非线性方程的求解还很困难，而叠加原理对此不成立、傅立叶级 数展开、拉普拉斯变换都不适用，所以一般只能用数值方法求解。对于非线性 偏微分方程特别是当带有扰动时，一般很难求得方程的精确解，而且目前这方 面的研究还不是很多。因此研究此类非线性方程的求解很有必要。 1 2 研究现状及成果 对非线性偏微分方程的研究吸引着许多数学家，物理学家及工程学家。对 于线性的波动方程，我们知道，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也具 有适当的光滑性，而且在t 0 上是整体存在的。但对于非线性波动方程，情况 就不一样了。一般说来，非线性发展方程c a u c h y 问题的整体经典解通常只能 在时间t 的一个局部范围内存在，即使对充分光滑甚至充分小的初值也是如此。 在文 1 】，【2 】中，v a nh o r s s e n 研究了一维空间中非线性波动方程初边值问题的 渐近理论，但是对于高维空间中非线性波动方程解的渐近理论的研究，几乎是 一个空白，特别是对非线性波动方程初值问题的研究，有待解决的问题很多。 对于非线性波动方程初值问题渐近理论的研究，成为波动方程研究的最为活跃 的方向之一。近年来，对于非线性偏微分方程初值问题渐近理论的研究，引起 了许多学者的关注。如h o r s s e n l 3 】得到了在古典意义下具边值问题的r a y l e i g h l 波动方程解的0 ( 1 占i2 ) 阶渐近近似解；s y l a i 【4 1 在s o b o l e v 空间c 1 ( j f ，h t - l ( r 1 ) ) 中得到了初值问题的r a y l e i g h 波动方程初值问题的d ( i 占1 - 1 ) 阶渐近近似解； 对于给定的非线性偏微分方程，如何得到相应的渐近近似解是研究偏微分方程 渐近理论的基本问题。而对于高维空间中非线性波动方程初值问题局部解的研 究，同样也是研究波动方程的热门问题之一。 在k e l l e r 和k o g e l m a n 的论文 5 】中，研究了线性k l e i n g o r d o n 方程的 v a i ld e rp o l 型的扰动问题。具体来说，作者考虑了如下的问题： 2 北京化工大学硕士学位论文 一“。+ 甜：占u t - - = 1 ”? ) ， o x 万，f o ， j 边界条件和初始条件分别如下： u ( o ，f ) = “( 万，f ) = 0 ， u ( x ，0 ) = ( 五s ) ，咋( 而0 ) = g ( x ，g ) ， 其中s 是正的小参数，g 分别可展成f o u r i e rs i n e 级数： f ( x ，o ) = , ( 0 ) s i n n x ， g ( 石，0 ) ：羔和。( o ) 咖脱 作者用二重尺度法得n t 在t 0 ( 1 6 ) 时，解u ( x ，f ；s ) 的一致渐近展开式的第一 项： “。( z ，仃，f ) ：妻 4 ( f ) c o s ( o ) + 吃( f ) s 试石讨) 】s i n 胍， 其中仃= 1 + d ( 9 2 ) p ，f = c t ， ：( 妾) ；唧 孤凼燃 矿一1 = j e i 捌- i 1 一儿( o ) s 。凼， 仃，f ) 之间的误 t 0 ，可展成f o u r i e r 北京化工大学硕士学位论文 s i n e 级数。作者用二重尺度法得到了在t 0 ( 1 g ) ，硼 工 佃时，解u ( x ，t ；8 ) 的一致渐近展开式，并用能量方法得到了解的最优一致估计，证明了解的全局 存在性和唯一性。 对如下的扰动方程： 一+ e u , 3 = o ， 和 “圩一“。= s ( p u ，一口“；) ， 其中口和是任意的正实数，c h i k w e n d u 和k e v o r k i a n 7 】用多重尺度法构造了 这个初始边界值问题的近似解。 v a nh o m s e n 3 】研究了r a y l e i g h 波动方程的初始边界值问题： 一州一略+ 三矿) = 0 ， u ( x ，0 ) = a ns i n ( n x ) ， 咋( 工，o ) = 吃s i n ( n x ) ， u ( o ，f ) = u ( x ，f ) = 0 ， 0 x 0 ， 0 z 万， 0 石 万， t 0 ， 其中，以和吃为常数，n 为整数，0 g 1 他构造出了渐近近似解的前两项。而 且用积分方程证明了当i s i t 三( l 是充分小的正实数) 时解的存在唯一性， 还证明了近似解的第一项与真实解的误差是d ( s ) 在o t l i c 上。 v a n h o r s s e n 【8 】还研究了如下的问题： u 盯一“。+ p u + 6 f ( x , t ，u ) = 0 ， u ( x ，0 ) = 1 2 0 ( x ) ， “，( 石，0 ) = u i ( x ) ， u ( o ，f ) = u ( x ，f ) = 0 ， 0 x 0 ， 0 工 万 0 工 万， t 0 ， 其中，口。和包为常数，n 为整数，0 lsl 1 ，p 0 还提出了一类弱非线性波 动方程的渐近理论。 1 3 研究方法 4 北京化工大学硕上学位论文 研究非线性问题的方法，大体上分为定性和定量两类。就定量方面而言， 基本上有数值法和解析法两条路子。数值法通过差分、有限元、边界元等离散 化途径，将问题归结为求线性代数方程组的数值解。由于有强大的计算机作后 盾，此法在使用上很有效，应用非常广泛。但是人们仍然期望获得解析解，这 是因为：( 1 ) 对于数值法所得到的一大堆离散数据不便于分析研究，不能使人 们清楚地了解物理现象规律；( 2 ) 如果没有解析法作依据，就无法克服计算中 的各种困难，甚至无法判断所得到的结果是否正确合理。 解析法通常只能满足于求近似解。目前最有效的就是摄动方法，也称小参 数法。我国力学界早就开始研究和应用摄动方法，在摄动方法的研究方面也有 着开创性的贡献。如 9 】钱伟长用现在称为合成展开法( 钱伟长法) 的方法成功 解决了圆薄板的大挠度问题；郭永怀把变形参数法( l i n d s t e d t - p o i n c a r e ) 推广应 用于有边界效应的粘性流问题，取得了一致有效的速度场渐近解，从而发展成 为奇异摄动理论的重要方法- pl k 方法；应用数学家林家翘对双曲型微分方程 问题提出了解析特征线法，为研究非线性波问题提供了新的途径。可以说，钱 伟长法、郭永怀的p l k 方法、丁如的改进型摄动法和林家翘的解析特征线等在 摄动法都有很大影响。然而，这些用起来行之有效的方法得到的近似解只能说 是形式的，缺乏严格的理论分析，其相应的理论基础还很缺乏，有待建立或完 善。 在力学问题、物理问题和其他工程问题中，经常遇到含有小参数f 的问题只 ( 称之为摄动问题) 。最常见的是微分方程的定解问题。小参数s 可以包含在方 北京化工大学硕十学位论文 一个s 的幂级数表示： ( x ) 口( x ) + s ”( z ) ， 并且在区域q 中一致有效，则称p a x ) 是区域q 中的i e 贝, q 摄动问题，用于解正则 摄动问题的方法称为正则摄动方法，或称直接展开法。而在实际的操作中计算 中往往会出现长期项( s e c u l a rt e r m ) 或展开式在部分边界不满足边界条件等很 多状况，这些原因都可以导致正则摄动法失效。奇异摄动法用于研究正则摄动 法失效的摄动问题【1 0 】。多重尺度法是奇异摄动理论中卓有成效的一种方法。 它是6 0 年代发展起来的。这些方法在 9 】， 1 0 ， 1 1 1 ，【1 2 】， 1 3 中作了详细的讲解。 下面我们将具体给出多重尺度法的定义。 多重尺度法：多重尺度法是变形坐标法和匹配展开法的推广。变形坐标法 和匹配展开法的一些思想在多重尺度法中得到了继承和发展。我们知道，用匹 配法分析时，对于外场和内层采用数量级不同的坐标，这实际上就是多重尺度 法的雏形。另外，在变形坐标中，为了消除长期项而使用的“高级近似项的奇 性不高于前一项的奇性这一原则，在多重尺度法里，仍作为一条基本原则应 用着。 在本文的第二章，我们还用到了能量方法，所以，在此，我们也给出能量 方法的具体定义。 能量方法：利用功、能概念和功、能原理对弹性体进行内力、应力与变形 分析的一般方法。v a nh o r s s e n 【3 】用积分方程及不动点定理证明了当i 譬lt 上( l 是充分小的正常数) 时r a y l e i g h 波动方程局部解的存在唯一性，而我们用能量 方法可以证明其整体解的存在唯一性。 1 4 本文的主要工作 本文的第二章，我们以r a y l e i g h 波动方程为例，重点研究了波动方程的非 线性微扰问题。证明了解的全局存在性和唯一性，得到了解的先验估计，并给 出了渐近近似解的第一项与真实解之问的误差。 6 北京化工大学硕士学位论文 第三章，将具体研究( p c ) 迭代格式的收敛阶，从理论上严格证明其收敛阶 为2 6 1 8 ，并给出数值算例。 7 北京化工大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章一类波动方程的非线性微扰问题 在十七世纪的早期，r a y l e i g h 波动方程就已经被研究了好几年了。在 6 ，3 中提出t r a y l e i g h 波动方程的一种初始边界值问题，描述了高空中的快速传播的 满跨度的振动。由空气动力学的分析显示，这个初始边界值问题确实可以看成是 描述高空中的快速传播的振动( 在垂直方向) 的简单模型。在 7 】中，c h i k w e n d u 和 k e v o r k i a n 研究了如下的扰动方程： 和 一+ e u , 3 = o ， 一“。= e ( p u , 一口矿) ， 其中口和是任意的常数。他们利用多重尺度法构造了初始边界值问题的渐近 解。 在文章 3 a e ，v a nh o r s s e n 研究tr a y l e i g h 波动方程的一类初始边界值问题： u n 一+ o 。( - - u t + 彳) = o ， j u ( x ，0 ) = a ns i n ( n x ) ， ，( x ，o ) = 吃s i n ( n x ) ， u ( o ，f ) = u ( x ，f ) = 0 ， 0 工 0 ， 0 工 万， 0 x 万， t 0 ， 其中a 。和吃是常数，万是整数，并且o s 1 。用二重尺度法： ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) c t = x t ，善= x + t ，f = 6 t ，就像 7 ，5 ，1 1 】中所描述的，他构造了渐近近似解的前 两项v o 和m 。利用新的变量，其解可以写为： u ( x ，f ；g ) = v ( 盯，孝，r ；6 ) 。 假设解有一个形式渐近级数展开形式： “仃，孝，邵) = v 。( c r ，孝，r ) ， n = o 其中也。= v _ 2 - 0 ，则有以下关系成立： 北京化工大学硕上学位论文 i a v ：妻s f _ 盟+ 冬+ 孥1 ， 8 t 厶n = o c o o - 8 芎 a f1 雾= 引n z o 0 2 v n - + 争+ 万a 2 v n _ 2 2 急一2 彖+ 2 每 ， 矿a 2 v 引芬+ 2 岳) 将( 2 5 ) ( 2 7 ) 带a ( 2 1 ) ( 2 3 ) ，比较占。和s 1 的系数我们可以得到： i _ 4 西= 0 v o ( o ，孝，f ) = a ns i n ( n o ) ， 【飞盯( 仃，六r ) + v o f 帆善，f ) = 吃s i n ( n o ) ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) - - o o 盯 孝 o ，( 2 8 ) - - o o 仃= 善 - i - 0 0 ，f = 0 ，( 2 9 ) 娟 仃= 孝 - b o o ，f = 0 ，( 2 1 0 ) 4 u 嘭= 2 一2 豇一( v o 仃- r o e - 三c v o , , - v o ；，3 ) ，棚 仃 孝 。，。2 m ， v i ( 仃，f ，f ) = 0 ， 盯= 孝 + ，f = 0 ，( 2 1 2 ) 一m 盯( o r ，乎，f ) + m f ( c r ，孝，f ) = 一v 0 ，( 盯，善，f ) ， t l r = 善 + 。，f = o ( 2 1 3 ) ( 2 8 ) 的解可以表示成： v o ( 盯，孝，f ) = f o ( 盯，f ) + g o ( 孝，f ) ， 利用 7 】中的方法，可以得到： f o ( c r , r ) = 乓、，妒a r e ns i n ( 、妒i s t n c n + 口， + k c f ， c 2 4 ， g o ( 仃，f ) = 一f o ( 一盯，r ) ， 其中k ( r ) 是关于f 的任意函数，且 北京化t 大学硕士学位论文 ( f ) ：m 2 ( r ) - 2 m ( r ) ， c “ m s - 号以争f 卅+ ，73 、 7 因此， v 。c 盯，孝，f ，= 旯 a r c s i n (s i n c n 盯删 _ 砌n (s ；n c 口一n 孝， ( 2 1 5 ) 由【1 4 】中的计算，对( 2 1 1 ) 两边分别关于盯和孝积分可以得到： 巾删钒叫+ g l ( 缸) 一丢( 舯力吲圳舡名一上2 x 疗( 咿脚卜 + 1 4f ( 胛，o ) + g o ( 删 名2 a r ( 肌卜 【2 1 0 ) 其中z ( 仃，r ) 和g 。( f ，f ) 是仃和孝的任意函数，并且当o r = 手，f = 0 时，彳+ 蜀由 初始值( 2 12 ) 和( 2 13 ) 决定。 利用彳和g 。关于f 的函数的不确定性，可以阻止屹中出现长期项。就像【3 】 中所做的，我们也假设z = z ( 盯) 和g ，= 晶( 孝) 。将( 2 1 6 ) 代入初始值( 2 1 2 ) 和 ( 2 1 3 ) ，我们得到： 石( 盯) + 蜀( f ) = 一吾f ，( 秒，o ) d o = 一 - 1 ) z o ，( 口，o ) 一f o ，( 一0 ，o ) d a = 鲁睁等) ( 咧嗍- c o s ( n 州一丽1 ( n 2 。2 舶洳s ( 3 n 争删n 州 ( 2 1 7 ) ( 2 1 6 ) q b 关于m 的表达式和( 2 1 7 ) 中的彳( 盯) + g 。( 孝) 与 3 中的结果有- - a n n ，其 中 v , ( o - ，孝，f ) = 彳( 仃，r ) + g l ( f ，f ) 1 + 一 4 1 4 r ”岳( y ， 一去r ”( y ， 1 0 秒 只 拍 拍 1j 1j y w f r 上幼 名 儡 rl r。l f n ) o 、， ， f 秒 g 岛 g + -、， 斗 o f 口 盯， p 五 f l 北京化工大学硕l 学位论文 z ( 小“舻一三e 嘣口，0 ) d 0 = 一三f 印) ( 以。) p ：l 学( s i n ( n 孝) - s i n ( n t r ) ) - i - 掣( s i n ( 3 n 善 ) - s i n ( 3 n t r ) ) 。 我们认为( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 是对 3 的结果的微小矫正。 另外，v a nh o r s s c n 还建立了此问题在时间尺度的阶为叫的适定性，并研 究了形式近似解的渐近有效性。利用积分方程，作者指出，当igt l ( l 是足 够小的正常数) 时，这个问题的解唯一存在，且真实解与渐近近似解的第一项 之间的误差为d ( 占) ，当0 t s l 6 然而，作者并没有研究这个问题的解是否 对于所有的t 都存在，即，0 t o o ；并且，这篇文章中，在还不知道u 的性质 的情况下，对于所有考虑的f 的值，假设项- - u t + 妄彩为一致有界的。因此，看 起来不是很显然。 在文章 6 】中，j i a n g ( 9 开究了以下的扰动k l e i n - g o r d o n 方程的初始值问题： k 嚣恕：。， - - o o x 4 - o o ，t 0 ， o o x + ， 利用二重尺度法在棚 工 4 - o o ，t o ( 1 c ) 上构造了一致近似解。并且，这篇文 章指出，真实解与渐近级数的部分和之间的误差由g + 1 乘以一个常数所控制， 这个常数依赖于r 但不依赖于石和t ，当0 射t ，对于任意的丁。这篇文章的 方法不同于文章 3 1 q b 的方法，即，运用了能量方法。 本文将给出一个新的方法，就像文章 6 】一样，来改进e 3 1 d 0 所得的结果。我 们将研究以下的r a y l e i g h 波动方程的初始值问题： o d x 4 - o o ，t 0 ， o d z + ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 其中a 。和吃是常数，以是任意给定的常数，0 g l ，利用积分方程和b a n a c h 不动点定理证明对于所有的t 都有唯一解。第2 2 节，利用能量方法，得到了解 的先验估计，进而由积分方程和b a n a c h 不动点定理得到了解的全局存在性和唯 一性。第2 3 节，利用能量方法估计文章 3 1 0 0v a nh o r s s e n 得到的渐近展开式 的余项。并得到了以下的定理： 定理( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 存在唯一的全局的解u ( x ，t ；e ) ，且对所有的 麟 呱 五 j 3 “咖 篙 一 五 北京化工大学硕士学位论文 - - c o 0 ，6 0 0 存在一个常数m ( t ，) o ，使得 u ( x ，t ；6 ) - v o ( x - t ，x + t ，鲫i c m ( t ，氏) ， ( 2 2 0 ) 对于所有的埘 石 佃，0 甜t ，0 g 氏成立，其中由( 2 1 5 ) 给出。 2 2 解的有界性 引理2 1 ( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 的解存在并且唯一， 中u ( x , t ；e ) e c l ( r x 0 ，佃p 。 证明令坂为： 心= 仁i “d ( r 【o ，】) ，册d l “i ，i u tl ，l 蚝阵c o 矿 ， 其中，常数c o 依赖于初始值a 。s i n ( n x ) 和吃s i n ( n x ) ，待定，将会在下面的计算 步骤中给出。 如文章【1 6 】，令d 为三角形区域，如图1 所示。 j f 工=矗一厶而一x=蒜 厶 而- i - 岛 图1 区域d 显然有 吣7 17 卜= f 0 翳( 旷j 1 “? ) 拗 由于( 2 1 8 ) ，利用格林函数，左边的积分等价于 北京化工大学硕上学位论文 一k ( q d x + u d t ) 。 沿着三角形区域的三条边，分别计算积分线，我们可以得到 l ( 鸭出+ ud t ) = h e _ t o b 。s i n n x d x 一2 “( x o ，t o ) + as i n n ( x o + t o ) + a ns i n n ( x o 一气) 】 因为( x o ，t o ) 是( 石，t ) 平面的任意的点，这说明初始值问题( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 可以化 为等价的积分方程： “( 彬) = ，( “) = 一乞【c 。s 以( x + f ) 一c o s 以( 工一f ) 】 + 鲁【s i i l m 卅“n 行( 川) 】+ 差 ( 2 2 1 ) 见( 咋一三矿卜 联合( 2 2 1 ) 和u m 。给出uec 2 ，因此“c 。下面我们将要证明积分方程( 2 2 1 ) 在( x ，f ) 平面的m o 上存在唯一的解。进而证明了初始值问题( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 存在 唯一解。 为了证明非线性积分方程( 2 2 1 ) 的解在古典意义下的存在性和唯一性，我们 运用了不动点定理。 现在我们用| | | | 来表示i | | | 肘。，由( 2 2 1 ) ，我们得到 i t f “m 2 ) | l = 捌“，飞f ) - 三( h i t u 2 t 知2 f ) h 三l l u , , - u 2 , 1 1 ( 1 + 露e 2 确) t 2 2 1 1 u , - u 2 1 1 一( 1 + 蠢p 2 硝) 彳， ( 2 2 2 ) 和 f ( “。) 一z ( “：) i i = + t - v ，z ) - - 1 1 2 ，( x + t - r ，r ) 】 m 鸬，h 1 一三( “。( x + t - - g , g ) + “：2 ，( x + t - r , r ) + “，( x + t - r , r ) “：，( 石+ r + 【“l ，( x - t + r ，r ) 一“2 ，( x - t + r ，f ) 】 1 一；1 “。2 ，( x - t + v , v ) + “：2 ，( x - t + r , r ) + ，( x f + f ，r ) “：，( x f 占l i “一u 2 t i i ( 1 + c 0 2 e 2 乩) t - , l l u 。一u 2 | i c l ( 1 + c 2 e 2 嘶) ， 1 3 托砌酬 2 加 1 - 孝 吒1_1 、， r 乞 一 地 卜 ：一n l 一3 一 + j 2 h 吆 一 1 3 卜 一hr-j 见 怯一， f 一2 r x j 又 j 一班n g 一2 s 一2 北京化工大学硕士学位论文 ( 2 2 3 ) 同理有 阶i ) - f a 蛐i | - 张砒( u l t u 2 t ) 一三( u l t u 2 t 阳知：，) h = 非肛“，叫，一“2 r + u l r u 2 r 州 = 瓤k ( x + t - r , r ) 飞，( x + t - r , r ) 】 1 一j 1l “。2 ，( x + t - r , r ) + “：2 ，( x + t - r , r ) + ，( x + t - r , l ：) “：，( x + t - r , r ) ) - u l ，( x - t + r ，t ) - - 1 , 1 2 ，( x - t + r ，f ) 】 1 一三( 甜三( x - t + r j ：) + 以：2 ，( z r + f ，f ) + “。，( x - t + r , r ) “：，( x 一，+ f ，r ) ) d f l ( 2 2 4 ) 联合( 2 2 2 ) 一( 2 2 4 ) ，我们有 i i v ( ) 一f ( “：) | | 一i i “。一甜：l b 占( - + c ；p 2 硝) ( 鲁+ 2 。 根据b a n a c h 不动点定理，积分方程( 2 2 1 ) 存在唯一的不动点，如果f l 满足 由( 2 2 5 ) ，我们有 事实上 给出 如果 加坤2 铀，陋 ) 1 ， 瓴+ 2 ) 2 南“。 兰 + 4 三+ 4 ， g ( 1 + c 0 2 e 2 8 t t ) s 一7 乒么层。 ( + 2 ) 2 丽2 + 4 ， 则f l 满足( 2 2 5 ) ，且 可以取到 1 4 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 北京化工大学硕上学位论文 t l 2 2 。 v - ) i ：p a ，初始值问题( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 在c 1 ( r x 0 ，】) 上存在唯一的解。 然后，我们考虑以下的问题 甜ut。tx-，u“，：=缈8。(xu，t，一乏1u ， 3 ：，：y 。力， - - 0 0 x 4 - 0 0 ，t ， x + o 。， ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 其中缈( x ) ，y ( 石) c 2 ，都是以2 万为周期的奇函数，并且i 伊( x ) l ，i 沙( 功1 _ c o e c t t 。 令m l 为： m = “i 甜c 1 ( 尺k ，乞】) ，a n d “l ，i i ，l 蚝峰c o p ) ， 乞待定，将在后面给出。 类似( 2 2 1 ) ，我们有 嘶m = 三f ! ：f 吣赋+ 扣川m ( 川) 】+ 差j j l ( 哆一；1 材? 卜 ( 2 3 0 ) 和 蜘卜酬b 酬盱矧b 邮碌砚) 华+ 2 ( ) 所以，f 2 必须满足 羽舻，( 华叫， 亿3 ， ( 2 3 2 ) 北京化工大学硕上学位论文 假设乙一广当刀哼佃，则 推出矛盾，显然有f 。一佃。 至此，我们完成了引理1 的证明。 引理2 初始值问题( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 的解满足 iu ( x ，f ；s ) = - u ( - x , t ；e ) ， u ( x ，f ；占) = u ( x + 2 万，f ；占) ， i u ( o ，f ；占) = u ( 1 r ，f ；占) = 0 一2 o ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 以上结果的证明与引理l 的证明类似，这罩不再赘述。由性质( 2 3 3 ) ( 2 3 5 ) ，初 始值问题( 2 1 8 ) 一( 2 1 9 ) 等价于初始边界值问题( 2 1 ) 一( 2 4 ) 。 为了证明我们在第2 1 节提出了定理，我们需要解u ( x ，t ；s ) 的以下的先验估计。 引理3 初始边界值问题( 2 1 ) 一( 2 4 ) 的解满足 雌刮尹， 厂一 u ，i 万 证明用u t 乘以( 2 1 ) 两边，关于x 从0 到万积分，我们得到 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 三磊dj c r ( 订+ ( “k = s ( 一三( 4 卜占j c r ( 订出sj c r 沁) 2 + ( 屹) 2 k ( 2 3 8 ) 由积分我们得到： = 撕， 北京化工大学硕t 学位论文 所以 ( 加) 一“五o ) = 地( 枷) 一三矿( 五0 ) ) ， 吣，。) = 占( n ( 艇) 一吾( 辆n ( 刎3 ) + ( - n e a , , s i n ( n x ) ) = ( 以一以2 a 。) s i n ( 脏) 一；( 吃s i n ( 艇) ) 3 。 令1 ，= u t ，由( 2 1 ) 一( 2 4 ) ，我们得到 屹一k = s ( t - v 2 v , ) ， v ( x ，o ) = 吃s i n ( n x ) ， v ( 加) = ( 吨- - n 2 a n ) s i n ( 艇) 一詈睇s i n 3 ( 蛾 v ( o ，f ) = ，仞，f ) = 0 0 x 0 ， 0 x 万， 0 石 o 和 0 s 氏，存在一个制x m ( t ，岛) ，使得 j c r 九工x 磷占7 1 1 1 2 m ( r ，岛) ( 2 4 7 ) 当0 2 + m c 丁，c e 甜一，m 。c 丁，氏， 当6 t s t 所以，对所有的0 x y 和0 c t t ，我们得到 i r ( 墨，；驯= fr r 出i 万( r 出) “2 砌。( r ，氏) ( 2 4 8 ) 由( 2 3 9 ) ，我们得到 l u ( x ，t ；1 3 ) - v o ( x - t ，x + t ，叫i s ( i v t ( x - t