（应用数学专业论文）van+dyke匹配法的理论基础.pdf

摘要 本文主要讨论用v a nd y k e 匹配法解二阶线性方程和二阶半线性方程的理论依据 在文章的第一章中，我们简要地介绍了奇摄动理论，及解决奇摄动问题的常用方法匹配法 和边界层函数法，对前人的工作做了简单的介绍，并对本文所做的工作予以介绍在第二章和 第三章中，分别针对二阶线性系统 l u y + n ( z ) 矿+ b ( x ) y = ，( z )( 0 z 1 ) ， i 可( o ，p ) = y o ，y ( 1 ，p ) = y 1 和二阶半线性系统 i p 2 y h = f ( 可，z ，肛) ( 0 z 1 ) ， 【可( o ，肛) = y o ，y ( 1 ，肛) = y 1 进行讨论，说明了匹配法和边界层函数法的区别和联系，并通过构造上下解来证明解的存在 性和余项估计最后，将作文过程中所涉及到的一些并没有深入讨论的问题提出来，供读者思 考 关键词：匹配法；边界层函数法；边值问题；形式渐近解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h eb a s i st h e o r yo fv a nd y k em a t c h i n gm e t h o d ，w h i c hi su s e d t os o l v es e c o n d o r d e rl i n e a rs y s t e m i p 可+ 口( z ) 秒7 + 6 ( z ) 秒= 厂( z ) ( 0 z 1 ) ， i ( o ，p ) = y o ，u ( 1 ，) = y 1 s e c o n d - o r d e rq u a s i - l i n e a rs y s t e m j ，p 2 矿= f ( y ，z ，p ) ( o z 1 ) ， l 可( o ，p ) = 。， ( 1 ，p ) = 耖1 i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c es i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r yo fo d e ，s o m em e t h o d s ，a n dt h ew o r k h a sb e e nd o w n i nc h a p t e r2a n d3 ，w ed i s c u s st h ea b o v et w os y s t e m sw i t hb o u n d a r yv a l u e s w en o t o n l yc l a r i f yt h ed i f f e r e n c ea n dr e l a t i o n s h i pb e t w e e nm a t c h i n gm e t h o da n db o u n d a r yl a y e rf u n c t i o n m e t h o d ，b u ta l s op r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h es y s t e ma n de s t i m a t et h er e m a i n d e rt e r m 。 a tl a s t ，w ee x t e n dt h ef o r e g o i n gp r o b l e m sf o r w a r df o rt h er e a d e r st ot h i n ka b o u ta n dw o r ki to u t k e yw o r d s ：m a t c h i n gm e t h o d ；b o u n d a r yl a y e rf u n c t i o nm e t h o d ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； f o r m a la s y m p t o t i cs o l u t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的 研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的已 公开发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位论文原创性声明的法律责任由本人 承担 学位论文作者签名：方亿孑功我 k 骆6 只f 弓b 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其 他手段保存论文：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制或全部内容用于学术活动并 允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：少协西穸导师签名 碲石月乡日 df 年“月侈日 第一章引言 1 1 奇摄动问题的理论与方法 奇摄动是求解非线性、高阶或变系数的数学物理方程近似解的一种方法，它被广泛应用 于力学、化学、生物学、控制论、最优化和数学基础研究等领域解决奇摄动问题的方法很 多，匹配法和边界层函数法都是很常用的方法 匹配法【1 l 一【4 1 即匹配渐近展开法，是工程中常用的方法，其思想溯源于p r a n d t l 的边界层 理论，1 9 6 2 年，b r e t h e n t o n 首先使用了匹配渐近展开法这一名称，v a nd y k e ，w a s o w ，c o l e ， 0 7 m a l l e y ，g e r m a i n ，c a r r i e r 等进一步发展了这一方法，并将它应用于流体力学、空气动 力学和地球物理学等不同的领域 对匹配法的研究始于一些简单的常系数方程，如下： 肛4 - ( 14 - p 2 ) 秒7 + ( 1 一p 2 ) 秒= 0 ， y ( o ) = q ，y ( 1 ) = 卢 ( 1 2 ) 其中肛是无量纲的小的正数 由于在( 1 1 ) 的最高阶导数前有小参数肛，使得问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解在z = 0 的小领域内发生 急剧的变化，我们称这个小领域为内区域在这个狭窄的区域不能用平常的尺度，取7 = 二， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 转化为： 历d 2 y ”彬) 害+ ( i - - # 2 ) y - 0 ， ( 1 3 ) 引下：o = q ( 1 4 ) 将 y ( 7 ，p ) = v o ( , - ) + # y l ( t ) + 代入( 1 3 ) ，结合( 1 4 ) 得y 主珈( 7 - ) = a4 - ( q a ) e 一，称之为内部解( 内解) 用此解来反映在内 区域上的变化 而在这一区域之外( 称之为外区域) ，用正常的尺度 p 可+ ( 1 + p 2 ) 可7 + ( 1 一p 2 ) 可= 0 ，( 1 5 ) 1 第一章引言 y ( 1 ) = ( 1 6 ) 将 v ( x ，p ) = y o ( x ) + v y l ( x ) + 代入( 1 5 ) ，结合( 1 6 ) 得o 圭y o ( x ) = z e l 一，称之为外部解( 外解) 用此解来反映在外区域上的 变化 为了确定常数a 通过p r a n d t l 匹配原则，即 外解的内极限( 可o ) 内解的外极限( 矿) o ， 这样可得复合解( o 次渐近解) ：y c = y o + y 一( 扩) = y o + y 一( 矿) o 1 9 5 4 年，v a nd y k e 提出如下匹配原理【6 1 ： 岛1 0 = 皑0 j m i ， 即 ( m 项内解的) 用外变量的n 项展开式 = ( n 项外解的) 用内变量的m 项展开式 匹配渐近展开法基本思想就是，对于给定问题的近似解，不是取找用单个尺度表示的单个展 开式，而是去找用两个或多个尺度表示的两个或多个独立的展开式，每个展开式在区域的一 部分上有效这些尺度的选取要有这样的限制：( a ) 作为一个整体来说，这些展开式能覆盖能 感兴趣的全部区域；c o ) 相邻的展开式的有效区域是相互重叠的 在诸多数值实验中，匹配法所得解和数值结果吻合的很好，且构造方便，被人们广泛的接 受但是这种方法没有严格的数学理论基础，所以也常常受到人们的质疑 对奇摄动问题进行系统地研究是从二十世纪5 0 年代前苏联开始的奇摄动研究的基础性 文章出自t i k h o n o v 7 1 一 9 1 在他的文章中考虑了如下初值问题 p 宏= 砟，蚺塞训础， ( 1 7 ) z ( o ，肛) = z o ，v ( o ，p ) = y o ，( 1 8 ) 其中z ，y 分别为m ，扎维未知向量函数，肛 0 是小参数 在( 1 7 ) 中令p = 0 得到退化系统显然，退化系统的阶数比( 1 7 ) 的阶数低，因而它的解一 般不会满足全部的初值条件( 1 8 ) 2 第一章引言 如果象上面那样，系统最高阶导数的系数含有小参数，且退化系统的阶数比原系统的阶 数低，则称原系统为奇异摄动系统，反之，如果系统最高阶导数的系数不含有小参数，且退化 系统的阶数等于原系统的阶数，则称原系统为正则摄动系统 参考文献 7 】【9 】中讨论了当弘_ 0 时，问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的解趋向于其退化系统某一解的 极限过程 在二十世纪五十年代后期a b v a s i l i e v a 在她的文章中首次给出了问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 一致 有效的渐近解，她构造的渐近解具有下面形式 其中 为正则项级数， “( ，p ) = 面( 亡，p ) + h u ( r ，p ) ，( 牡= ( z ，可) r ) a ( t ，p ) = 面o ( t ) + # f i t ( t ) + i i u ( r ，p ) = r l o u ( r ) + # i i l u ( t ) + ，( 7 = t u ) ， 为边界层级数 边界层级数i i u ( t ，p ) 的各项都是指数式衰减的一致有效的形式渐近解的构造在参考文 献【l o 】中有详细的说明她在说明渐近解的一致有效性时作了如下的余项估计 s u p i u ( t ，p ) 一i c p n + 1 【0 , t 】 这里是渐近解的1 3 次近似，c 是不依赖于弘但是依赖于n 的常数称该方法为边界层函 数法边界层函数法是求解非线性、高阶或变系数的数学物理方程近似解析解的一种非常 有效的方法，它有严格的数学理论基础 解决奇摄动问题的方法还有很多，对不同的问题，可能会有对应的不同的方法，这里不一 - - n 举了 1 2 预备知识n a g u m o 定理假设问题 l y 三y 一f ( y ，x ) = 0 ，0 z 1 ， 3 ( 1 9 ) 第一章引言 y ( o ) = y o ，y ( 1 ) = y 1 ， 的_ k - v 解p ( z ) ，q ( z ) 具有下面性质： ( 1 ) q ( z ) 卢( z ) ，0 z 1 ； ( 2 ) 己p 0 ，l a20 ，0 z 0 ，0 z 1 下面我们将用匹配法和边界层函数法分别构造该系统的形式渐近解 2 1两种方法构造渐近解 用匹配法构造渐近解： 构造外解。 可( z ，p ) = y o ( z ) + 加1 ( z ) + + 肛n 玩( z ) + ， 代入方程( 2 1 ) ，有 p ( 弼( z ) + 朋开( z ) + + p n 弼 ) + ) + 十n ( z ) ( ( z ) + 厩( z ) + + p n 矾( z ) 十) + + 6 ( z ) ( 玩( z ) + p 歹1 ( z ) + + p n 玩( z ) + ) + = ，( z ) ， 比较肛的同次幂 p o ：o ( z ) 晶+ b ( x ) y o = ，( z ) ， 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第二章二阶线性问题 p 1 ：o ( z ) 玩+ 6 ( z ) 歹1 = 一酩， p n ：o ( z ) 砚+ b ( x ) y n = 一弼一1 ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 由于( 2 4 ) - ( 2 6 ) 均为线性方程，且o ( z ) 0 ( 0 x 1 ) ，我们结合右端边值条件，可以确定 乳( z ) ，可- ( z ) ，玩( z ) ， 构造内解，令7 - ：兰( 2 1 ) 方程转化为 p 矿( 7 - ) + o ( p 丁) 矿( 丁) + p 6 ( p 7 - ) 歹= p ，( 肛7 - ) ， ( 2 7 ) 把 y ( t ，p ) = y o ( 7 _ ) + p 玩( 7 - ) + + p 竹y n ( 丁) + 代入方程( 2 7 ) ( 谣( r ) + p 贸( 下) + + p n 弼( 7 ) + ) + + n ( 肛丁) ( 玩( 丁) + p 玩( 7 - ) + + p 他磊( 7 - ) + ) + + 6 ( p 7 ) ( 玩( 7 - ) + p 玩( 丁) + + p ”磊( 7 _ ) + ) + = ，( p 7 - ) ， 比较p 的同次幂 p o ：谣+ o ( o ) 磊= 0 ，玩( o ) = y o ， ( 2 8 ) p 1 ：贸+ o ( o ) 玩+ n ，( o ) 丁玩+ 6 ( o ) 玩= ，( o ) ， 玩( o ) = 0 ，( 2 9 ) 一繇+扩。(o)磊。扩6他(呱小-2南r1产1)(0)k= o “ k = o “。 ”1 ， 玩( o ) = 0 ， ( 2 1 0 ) 方程( 2 8 ) - ( 2 1 0 ) 均为线性的，可以确定其通解，记为：玩( 7 - ，e l , 0 , 呓，o ) ，孔( 7 - ，c ；，住，呓，n ) ， 下面就是利用v a nd y k e ( r e = n ) 匹配原理来确定：( a ) 参数c 1 川呓，n ，n = 0 ，1 ，2 ，；c o ) 得 7， 第二章二阶线性问题 到内解和外解的重合部分，即公共部分，记为：c p 其具体操作过程可以分为以下几个步骤： 1 、外解的前n + 1 项 乳( z ，p ) = y o ( z ) + p 歹1x ) + u 2 可2 ( z ) + + 肛竹玩( z ) 将外变量替换为内变量 = y o ( p r ) + 阿1 ( u r ) + 矿可2 ( p 7 - ) + + 矿可n ( p 7 ) ， 内展开，即将上式关于p 展开 玩= 玩( 。) + p ( 玩( o ) 丁+ 可。( o ) ) + p 2 ( 三弼( o ) 丁2 + 玩( o ) r + 玩( o ) ) + + 旷 刍( 静( o ) 7 n + c 嚣- y 1 ( n _ 1 ) ( o ) t - 1 + 2 1 c ：一2 办叫( o ) t n - 2 + + 加：玩( o ) ) ， 由于y o ( 5 ) ，巩( z ) 是已知的，从而上式已知，也是公共部分，我们写成： p 陬( 下，肛) = c p o ( r ) + u c p lt ) + p 2 c p 2 ( r ) + + 矿p ( 7 ) ( 2 1 1 ) 2 、内解外展开我们要将磊( 7 - ，岛，n ，呓，n ) 进行变量替换成磊( 盖，e l n 噶，n ) 后，按p 展开由于 肛在分母上，因此从形式上进行内解外展开是做不到的在实际问题中，也经常会遇到根本就 无法展开( 或者是展开无意义) 的项这些项一般都含有待定参数，通过参数的置零可以消除 这些项，使得可做内解外展开为了可匹配，我们采用这样的设置至于可展开的内解展开形 式如何，仍不便表达，但它必等于公共部分，即鳃= ( p ，7 - ) ( 这是匹配法的要求) 3 、匹配代入边值条件可求解，佗次渐近表达式为： ( z ，p ) = 鲒= 孔5 ，p ) + 磊t ，p ) 一( 丁，p ) ( 2 1 2 1 2 ) 秒h 【z ，p ) = 练2 可n，p ) + h，p j u 尹h 【丁，p j 【z j 再利用边界函数法构造此问题渐近解 形式解： y2 可( z ，p ) + 可( 7 - ，p ) ， 。( 2 1 3 1 名= 乏( z ，p ) + y i z ( r ，p ) ， 8 第二章二阶线性问题 y 一( 7 z ，弘) = y o ( z ) + # 一y l ( z ) + p 2 歹2 ( z ) + ，弘j2【z ，十【z ，+ p y 2 【z j + ， 乏( z ，p ) = 一0 ( z ) + “乏1 ( z ) + p 2 乏2 ( z ) + ， 是正则项； y i y ( t ，口) = i l o y ( r ) + p i i , y ( r ) + 2 y 1 2 y ( t ) + ， i i z ( r ，p ) = i i o z ( r ) + p i l l z ( t ) + # 2 1 - 1 2 z ( 7 - ) + ， 将( 2 1 2 ) 代入方程( 2 2 ) 得 加( z ，p ) + 百d h y = 乏( z ，p ) 一。( z ) 可( z ，肛) + z n ( p 7 - ) r i 妙， 肛( z ，p ) + 百d l - i z = 肛( ( n 弘) “( z ) ) 可+ m ) ) + p ( 。u 7 ) “( p 7 - ) ) 可 比较弘的同次幂 矿： 矿n ( 动驴0 巨秽舻毗 止 ；二箔焉慨， 季d l - i l y 端蒜胭m 孙以驴y n 巾 i - 磊2 ( a i ( z ) 一b ( x ) ) y n ， 。j j ，百d l - l n y = i l n z - - 砉扣叱呱幽j l 警= 薹扣1 ) ( 旷水) ( 0 加心划； q 却 回 力 彩 d 1 1 1 1 1 1 2 2 q 偿 q 第二章二阶线性问题 边界条件这样确定，由 有 从而 y ( x ，p ) = - 0 ( z ) + 肛可1 ( z ) + + i l o y ( r ) + h ：y ( r ) + ， y o = v ( o ，p ) = y o ( o ) + 衄1 ( o ) + + i i o y ( o ) + 1 1 1 y ( o ) + ， y 1 = y ( 1 ，肛) = y o ( i ) + 阿1 ( 1 ) + ， - 0 ( 1 ) 刊1 忍( 1 ) - 0 ( 肛1 2 ，) ( 2 2 2 ) i1 - i o y ( o ) = y o y o ( o ) ，n 可( o ) = 一巩( o ) ( n = 1 ，2 ，) 用上述方程可以求解_ o ，o 秒，可1 ，1 y ，玩，n 耖， n 阶渐近表达式为： w ( x ，p ) = 乳( z ，p ) + i i n 可( 7 - ，p ) ，、i、 一 ( 2 2 3 ) 2 2 碥( 7 - ) 与i i 扎秒( 丁) 所满足方程的一致性 比较( 2 4 ) 一( 2 6 ) 和( 2 1 7 ) 一( 2 2 2 ) ，容易看出，匹配法的外解各项和边界层函数法的正则 解项是对应相同的现在我们来看匹配法内解各项和边界层函数法边界层项的差别 现令 k ( 7 - ) = 玩一玩( o ) = y o c p o ，( 2 2 4 ) mt ) = 玩一( - - y 4 0 ( 0 ) 7 - + 可1 ( o ) ) = 甄一c p l ， ( 2 2 5 ) ) = 孔一礼南彭卅( 0 ) 7 - n - k 孔一， ( 2 2 6 ) 下面说明r ( 7 - ) 与几可( 丁) 所满足的方程是一致的，且有相同的边值条件 第二章二阶线性问题 当n = 0 时，由方程( 2 1 7 ) 可知 将( 2 2 4 ) 代入上式，有 即 这与方程( 2 8 ) 是一样的，且 i i o y f f + a ( o ) n o u | = 0 瑶+ o ( o ) 瑶= 0 ， 菇+ o ( o ) 玩= 0 ， y o ( o ) = y o ( o ) 一y o ( o ) = y o y o ( o ) 这说明k ( 7 - ) 与i l o y ( v ) 所满足的方程一样，且有一边界条件一样 当1 , = 1 时，由方程( 2 1 9 ) 可知 i i l y + n ( o ) 1 矿= - b ( o ) n o y a i ( o ) 7 o y 7 ， 将( 2 2 5 ) 代入上式，有 硝+ o ( o ) y i = - b ( o ) y o a i ( o ) r y j ， 即 贸+ 口( o ) ( 玩一玩( o ) ) = - b ( o ) ( y o 一玩( o ) ) 一a i ( o ) 7 - v o ， 贸+ a ( o ) v i + ( o ) 7 - 玩+ b ( o ) y o = a ( o ) v o ( o ) + b ( o ) y o ( o ) = ，( o ) ， 这与方程( 2 9 ) 是一样的，且 m ( o ) = y l ( o ) 一可1 ( o ) = - y 1 ( o ) 这说明m ( 7 _ ) 与1 1 1 ( 7 - ) 所满足的方程一样，且有一边界条件一样 若直至7 , 一1 时，都有上述结论成立礼时，由方程( 2 2 1 ) 可知 n 圹= 一击t k b ( k ) ( o ) 巩小1 可一击t k a ( k ) ( o ) 巩制7 ， k = o k = o 第二章二阶线性问题 将( 2 2 6 ) 代入上式，有 繇一赋一打6姊(0)(玩-k-1-小)一善丽1k=o 7 - ) ( 0 慨一七一一， 七= 0 醒+ 耋扣( o ) 玑+ 墓扣嘶每。 = 瞅+ 。1 - - r k b ( k ) ( o ) 小1 tel a ( k ) o ) 廿 k = ok = o 与( 2 1 0 ) 式比较，如果 c p + 吉丁州( o ) 书，+ 扩( o ) c f 南下俨1 产。1 ) ( 0 ) ， k = ok = o 、7 即 赋+ 击丁州( o ) c p n _ k _ 12 1 - 扩( o ) c r 南丁铲1 产- 1 ( o ) 兰o ， (227)k= o k = o 、7 则可以说明k ( 7 - ) 满足i i n ( 7 - ) 所满足方程下面说明上式是成立的首先，式子( 2 2 7 ) 左端丁 的0 到礼一2 次幂系数均为零这是因为，由( 2 2 7 ) 式左端可有 一( 0 歹 死一1 ) 的系数为： 刍群2 + 塞扣( 0 ) 矿1 训可j 一- k - 1 ( 0 ) + 塞扣( 0 ) 南粥弥0 ) = = 责j 衅z + 骘( 州o ) 南群+ 6 似( o ) 端- 1 ( 0 ) ) 】， k = o ，。， 对方程( 2 6 ) m 取成n j 时) 关于z 求j k 次导，并令z = 0 有 壹唠( ( 。) 端：( 。) + 护( 。) 稿一。( 。) ) + 群：o ； 一( j = n 一1 ) 的系数为： 薹啬南舻) ( 0 舻) ( 0 ) + 薹击南) ( 0 ( 0 ) 一南产叫( o ) ， 第二章二阶线性问题 即 、 石南 磷一1 6 似( o ) 蚕o - “。( o ) + 磷一1 q 南( o ) 毋- k ) ( o ) 一f ( n - 1 ) ( o ) ， 、7 k = ok = o 对方程( 2 4 ) 关于z 求礼一1 次导，并令x = 0 有 n 一1 竹一1 嚷1 6 南( o ) 力“- 1 ( o ) + 噤1 口( 七( o ) 静 ( o ) 一产叫( o ) = 0 从而，( 2 2 7 ) 式是成立的即得k ( 7 _ ) 满足r l 竹秒( 7 ) 所满足的方程，而且 k ( o ) = 磊( o ) 一砜( o ) = 一死( o ) ( 佗= 1 ，2 ，) ， 在边界层函数法中我们还有另外一个边界条件，即 在这里我们也有 1 7 n y ( 7 _ ) _ 0 ( 丁_ + o 。) ( 佗= 0 ，1 ，) ， k ( 7 - ) _ 0 ( 丁- + o o ) ( n = 0 ，1 ，) ， 其具体证明放到下一章中 因此，匹配法的内解项磊( r ) 的转化项k ( 7 - ) 与边界层函数法的边界层项n n 剪( 丁) 满足同 样的边值问题 综上所述，比较( 2 1 2 ) ( 2 2 3 ) ，可有下面的结论 2 3 结论 定理2 1 若满足条件a ) 、b ) ，问题( 2 1 ) 的解为： 可( z ，p ) = 蚝+ r n 十i ( x ，p ) 其中鲩= 现( z ，p ) + 玩( 7 - ，p ) 一c p ( r ，p ) 为匹配法求得的复合解，i r n + 1 ( z ，p ) i c p n “， 0 z 1 ，这里c 不依赖于p 的正常数 该定理的证明与定i f f ：3 1 的证明很类似，请参看定理3 1 1 3 第三章二阶半线性问题 蕊算篇l 荔耋三三z二，1，p，：可。 ( 3 2 ) 先作如下假设： 皿在d = a y b ，a 0 ，且c 是不依赖于礼的 由引理( 3 1 ) ( 3 2 ) 可知，该引理实质是要证明 i 磊( 丁，肛) 一n 3 丁t 一；l c e 一，。z 0 ，当0 p 伽时，问题 ( 3 1 ) 的解存在，且有 u ( x ，p ) = 城+ + 1 ( z ，p ) ( 3 3 0 ) 其中垢= 孔( z ，p ) + 玩( 7 - ，p ) 一( 7 - ，肛) 为匹配法求得的复合解，i + 1 ( z ，p ) i 印1 ， 0 z 1 ，这里c 不依赖于肛的正常数 证明由引理3 1 、引理3 2 可知( 3 2 9 ) 式可写成 v ( t ，p ) = 玩( 芒，l a ) + i i n 可( 7 - ，p ) + r n + 1 ( z ，p ) ( 3 3 1 ) 下面就7 , = 0 时的情况证明构造上、下解分别为 p = y o ( z ) + h o y ( t ) + # ( y l l y ( t ) + 7 ) ， q = y o ) + i l o y ( t ) + u ( r l l y ( 1 - ) 一r ) 其中r 为大于零的常数 ( 1 ) 由一o t = 2 # r 0 ，有p o t ( 2 ) 8 ( 0 ) = 玩( 0 ) + 1 7 0 u ( o ) + u ( n , u ( o ) + r ) = y o + 弘r + e s t y o ， a ( o ) = 玩( o ) + n o u ( o ) + u ( n l u ( o ) 一7 ) = y o p r + e s t y o 2 2 第三章二阶半线性问题 记 ( 3 ) 下面证明l a 0 l q 卅塞一m ，卅) p 2 翥钢2 , 面d 2 y o + 孑1 可d 2 h o y + 肛孑1 可d 2 y i l y ) 卅面d 2 y o + 可d 2 1 - i o y + p 繁 刊卅万d 2