（气象学专业论文）t106l19ensrf同化系统检验及自适应局地化研究.pdf

摘要 集合平方根滤波( e n s r f ) 作为确定性集合资料同化技术的一种，拥有简单易编程的 特点，因此受到广泛关注，成为当前同化方法研究的一个热点。与传统的变分同化方法相 比，集合平方根滤波与一般集合同化技术一样，具有误差协方差随流型演变、不需要求解 伴随模式、可以和集合预报相结合等优点。且相较传统集合k a l m a n 滤波，集合平方根滤波 不需对观测添加随机扰动，克服了可能的抽样误差，并且当观测之间不相关时，不需求逆 矩阵，便于编程。本文围绕已有的t 1 0 6 l 1 9 全球中期数值预报谱模式集合平方根滤波资 料同化系统，讨论其中关键问题的解决方案，重点研究协方差局地化对于同化质量的影响， 以期为集合同化系统在国内实现业务化运行提供有价值的参考。 本文首先改进t 1 0 6 e n s r f 系统同化实际资料的方案，提出“增长模繁殖”方法构造 集合初始扰动、标准层同化观测等改进方案，并与t 1 0 6 原有的o i 客观分析系统作分析& 预报对比。实验结果表明，t 1 0 6 e n s r f 分析误差在北半球中高纬与t 1 0 6 o i 相差不大， 但在热带副热带地区和南半球明显好于t 1 0 6 - o i ；t 1 0 6 - e n s r f 预报误差较t 1 0 6 o i 稳定。 针对前人工作的不足，重点研究协方差局地化方案。传统局地化方法是基于距离相关 的“s c h u r ”算子，本文在均匀网格模拟观测实验中总结水平局地化经验函数，再应用到实 际分布的观测网格，发现，观测的影响更加均匀且影响范围增大，能够从整体上提高同化 效果，特别对观测稀疏的南半球的改善更为明显。 随后引进自适应局地化分级的集合滤波技术，在l o r e n z 9 6 简单模式e n s r f 同化系 统中验证其可行性，并给出一些敏感性实验结果：自适应局地化在各种距离条件下都能较 好地避免滤波发散，配合合适的膨胀因子可以进一步改善同化效果，合适的自适应局地化 集合分组对同化结果是有益的。将自适应局地化引入t 1 0 6 e n s r f 系统，进行传统局地化、 水平局地化经验函数、自适应局地化三种协方差局地化方案的在实际同化实验中的比较， 分析结果表明，两种新方案的误差要小于传统局地化方案，且南半球的误差改善幅度比北 半球略大；自适应局地化方案在南半球位势高度的误差表现上明显好于水平局地化经验函 数方案。 关键词：中期数值预报谱模式集合资料同化集合平方根滤波协方差局地化 i i a b s t r a c t a so n eo ft h ee n s e m b l ed a t aa s s i m i l a t i o nt e c h n o l o g y ，e n s e m b l es q u a r er o o tf i l t e r ( e n s r f ) h a sa r o u s e dm o r ep e o p l e sa t t e n t i o na n db e c o m et h eh o t s p o to ft h ec u r r e n ta s s i m i l a t i o nm e t h o d r e s e a r c hb e c a u s ei t i sa p tt op r o g r a m c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lv a r i a t i o nd a t aa s s i m i l a t i o n m e t h o d ，e n s r fh a st h ef e a t u r et h a tt h eb a c k g r o u n d e r r o rc o v a r i a n c ea r ef l o wd e p e n d e n t , w h i c h i st h es a m ea st h ec o m m o ne n s e m b l ea s s i m i l a t i o nt e c h n o l o g y i ta l s oh a st h ea d v a n t a g e st h a ti t c a nb ec o m b i n e dw i t ht h ee n s e m b l ef o r e c a s ta n dd o e s n tr e q u i r ea d j o i n tm o d e l s f u r t h e r m o r e ， c o m p a r e d w i t he n s e m b l ek a l m a nf i l t e r ( e n k f ) ，e n s r fd o e s n tn e e dt oa d ds t o c h a s t i c p e r t u r b a t i o nt oo b s e r v a t i o na n di tc a no v e r c o m et h ep r o b a b l es a m p l i n ge r r o r w h e nt h eo b s e r v e d d a t ad o e s n th a v ec o r r e l a t i o n ，i td o e s n tn e e dt os o l v ei n v e r s em a t r i xa n di sa p tt op r o g r a m t h e t h e s i s ，f o c u s i n go nt h ee x i s t i n gt 1 0 6 l 1 9m e d i u m - r a n g en w ps p e c t r a lm o d e l - e n s e m b l es q u a r e r o o tf i l t e rd a t aa s s i m i l a t i o ns y s t e m ，d i s c u s st h es o l u t i o n so ft h ek e yq u e s t i o n s i tp l a c e st h e e m p h a s i so nt h ei n f l u e n c et h a tc o v a r i a n c el o c a l i z a t i o nh a so nt h ea s s i m i l a t i o nq u a l i t y ，h o p i n gt o p r o v i d et h er e f e r e n c et or e a l i z et h er e g u l a ro p e r a t i o no fe n s e m b l ea s s i m i l a t i o ns y s t e m t h et h e s i sh a si m p r o v e dt h ep r o j e c tt h a tt h et 1 0 6 - e n s r fs y s t e ma s s i m i l a t et h er e a l o b s e r v a t i o n s ，a n dt h es y s t e mc o m p a r e dw i t ht h eo r i g i n a lt 10 6 一o ia n a l y s i ss y s t e mo nt h ea n a l y s i s a n df o r e c a s t t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ea n a l y s i se r r o r so ft 10 6 - e n s r fh a sn om u c hd i f f e r e n c e w i t ht 10 6 一o ii nt h em i d - h i g hl a t i t u d eo fn o r t h e r nh e m i s p h e r e ，b u ti ss m a l l e rt h a nt 10 6 - o ii n t r o p i c a la n ds u b t r o p i c a l ，a n df o r e c a s te r r o ro f t l 0 6 一e n s r f i sm o r es t a b l ew i t ht 1 0 6 - o i a i m i n ga tt h ed i s a d v a n t a g e so fp r e v i o u sr e s e a r c h , i tp l a c e st h ee m p h a s i so nt h ep r o j e c to f c o v a r i a n c el o c a l i z a t i o n t h et r a d i t i o n a lr e s e a r c hi sb a s e do ns c h u rp r o d u c t t h et h e s i sc o n c l u d e s t h eh o r i z o n t a ll o c a l i z a t i o ne m p i r i c a lf u n c t i o nt h r o u g hu n i f o r mm e s ho s s e sa n di ta p p l i e dt ot h e f a c t u a lo b s e r v a t i o nn e t w o r k , t of i n do u tt h ei m p a c to ft h eo b s e r v a t i o ni sm o r ea v e r a g ea n dt h e i i i i n f l u e n c es c o p ee x t e n d s i tc a ni m p r o v et h ee f f o r tg l o b a l l y ，e s p e c i a l l yh a v i n ga l lo b v i o u s i m p r o v e m e n to nt h es o u t h e r nh e m i s p h e r ew h i c hh a st h i n n e ro b s e r v a t i o n s t h e ni ti n t r o d u c e st h es e l f - a d a p t i v el o c a l i z a t i o n ah i e r a r c h i c a le n s e m b l ef i l t e r a f t e rt h e f e a s i b i l i t yv e r i f y i n gt e s t st h r o u g hl o r e n z 9 6 - e n s r fa s s i m i l a t i o ns y s t e ma n dg i v es o m er e s u l t s o ft h es e n s i t i v i t yt e s t s ，i ti n t r o d u c e st 10 6 - e n s r fs y s t e m ，m a k eac o m p a r i s o no fr e a l o b s e r v a t i o n sa s s i m i l a t i o ne x p e r i m e n t sa m o n gt h et h r e ec o v a r i a n c el o c a l i z a t i o np r o j e c t s ：t h e t r a d i t i o n a ll o c a l i z a t i o n ，t h eh o r i z o n t a ll o c a l i z a t i o ne m p i r i c a lf u n c t i o na n ds e l f - a d a p t i v e l o c a l i z a t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a ta n a l y s i se r r o r so fn e wp r o j e c t si ss m a l l e rt h a nt h et r a d i t i o n a l l o c a l i z a t i o n , a n de x t e mo fi m p r o v i n go fr e s u l t si ns o m h e mh e m i s p h e r ei sm o r eo b v i o u st h a ni n n o r t h e r nh e m i s p h e r e ，a n dt h ee r r o ro ft h e5 0 0 h p ah e i g h tf i e l do ft h eh o r i z o n t a ll o c a l i z a t i o n e m p i r i c a lf u n c t i o ni so p p o s i t et ot h a to fs e l f - a d a p t i v el o c a l i z a t i o ni ns o u t h e r nh e m i s p h e r e k e yw o r d s ：m e d i u m - r a n g en w ps p e c t r a lm o d e l e n s e m b l ed a t aa s s i m i l a t i o n e n s r fc o v a r i a n e el o c a l i z a t i o n i v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新一的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明夔童丽，了谢意。 作者签名：2 丝! 丝 日期：立池 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：逊 日期：壶靼 第一章绪论 第一章绪论 在大气模式，资料同化和可预报性中e u g e n i ak a l n a y 开篇第一句话就指出数值天 气预报实际上是一个初& 边值问题。b j e r k n e s 1 1 也把天气预报归结为初值问题，指出若想获 得准确的数值天气预报，就要具备两个基本条件，一准确的初值，另一个是准确的大气运 动规律。 随着模式的不断发展完善，对初始条件的精确性也日趋提高，而资料同化是利用多种 观测资料准确地表述大气当前状态的一种有效方法，并且能为数值预报提供在物理和动力 学上协调一致的大气运动实况分析初值，因而对提高资料分析质量以及数值预报的准确率 都有重大意义。 1 1 资料同化的概念和主要方法 1 1 1 资料同化的概念 数值天气预报可以简单描述为：给定对当前大气状态的估计( 初值) 和合适的地面及 侧边界条件，模式就将模拟( 预报) 出大气的演变结果。显而易见，初值的估计越精确， 预报的质量就越好。通常使用一种观测资料和短期预报结果的统计结合的方法来产生初值， 这种方法就是我们所熟知的“资料同化”【2 】。资料同化的目的，正如t a l a g r a n d 3 1 所定义的 那样，在于“利用现有的所有信息来定义一个最大可能精确的大气( 海洋) 运动状态”。 单时次的常规观测资料不能很好地提供用于描述大气状态变量的信息，随着大气探测 手段的不断发展，不仅有来自全球各地的探空站、地面站等常规观测资料，而且还有大量 的非常规观测资料，如飞机、船舶、浮标，以及各种气象卫星、雷达的探测资料。这些资 料在时间和空间分辨率上补充了常规观测资料的不足。模式预报给我们提供了一个时空连 续协调的先验信息，是对未来大气状态的一个估计，而同化的目的就是要把这些有误差的 观测信息和有误差的先验信息通过最优控制的手段，拟合一个比前两者误差都小的分析场。 背景场误差协方差和观测误差协方差在现在主流的同化方法中起着决定性的作用，它 l 第一章绪论 们决定着背景场信息与观测信息的相对重要性以及这些信息在空间及不同变量间的扩展方 式。背景场误差协方差决定着观测值订正到背景场的程度，以及观测点上的信息传播到分 析格点的方式。在观测资料稀疏的地区，分析结果主要由背景场决定；在观测资料稠密的 地区，背景场误差协方差矩阵中的相关性控制着观测信息的平滑。真实的背景场误差协方 差依赖于天气流型，因此背景场误差协方差和天气形势相协调。 1 1 2 资料同化的主要方法 资料同化最早可以追溯到1 9 2 2 年r i c h a d s o n 所作的人类首次的天气数值预报的“主观 分析”中，即把观测资料手工插值到网格点上，作为数值预报的初始场。由于r i c h a d s o n 使用原始方程来做预报而又没有作任何滤波处理，最后以预报失败而告终。1 9 5 0 年c h a m e y 等用主观分析方法确定初值，但使用预报方程是正压涡度方程，在第一台电子数字计算机 上进行计算，实现了第一次成功的数值预报【4 i 。 随着计算机的诞生和发展，依赖人工的“主观分析”也发展到依靠计算机的“客观分 析”。在“同化”一词在数值预报广泛使用之前，客观分析的主流方法先后经历了多项式拟 合、逐步订正法、最优插值3 个阶段： ( 1 ) 多项式拟合。该方法于1 9 4 9 年由p a n o f s k y 提出【5 】，并开创了客观分析的新纪元。 它是用一个多项式展开去拟合包含数个分析点一小块分析区域中的所有观测点。展开系数 用最小二乘拟合确定。客观分析的平滑度可由展开系数的个数控制，根据假定的精度加权 观测。然而，这种方法的区域多项式拟合并不稳定，站点资料的小变化就会引起多项式在 测站之间点上值很大变化，当资料缺测时更是如此，而且导致分析在拟合的各区域之间不 连续。 ( 2 ) 逐步订正法。这种方法的原理是从每个观测中减去背景场得到观测增量，通过 分析观测增量得到分析增量，然后将分析增量加到背景场得到最终分析。每个分析格点上 的分析增量通过其周围影响区域内观测增量的线性组合而加权，观测权观测位置和格点之 间的距离成反比。c r e s s m a n 于1 9 5 9 年在这种方法的基础上采用的迭代求解方法，形成了 逐步订正法1 6 1 逐步订正法引入了背景场的概念，解决了多项式拟合在资料稀少地区的“不 2 第一章绪论 连续”问题。然而，逐步订正法的权重函数仅仅依赖于测站到格点的距离，而与测站的分 布无关，在统计意义上不是最优的。 ( 3 ) 最优插值。这是一种从统计意义上来说均方差最小的线性插值方法。最优插值 比逐步订正法最大的改进就是权重考虑了背景场和观测误差的统计特征，即包含了观测、 预报和分析之间的内在关系。该方法在六十年代初由g a n d i n 等开始用到气象资料资料同化 领域里【7 1 。七十年代中后期，最优插值在世界上得到广泛应用，成为业务天气数值预报用 的最多的一种客观分析方法。尽管客观分析是资料同化的一个主要内容，也是资料同化的 起源。但资料同化并不完全等同于客观分析。 在六十年代初期，随着卫星资料等非常规资料的出现，开始考虑在客观分析中引入非 常规资料尤其是卫星资料的问题。当时有一些学者把这个引入过程叫做“同化 ( a s s i m i l a t i o n ) ，【8 】【9 1 。六十年代后期，d a n a r d 1 0 1 等指出“气象和海洋客观分析所面临的问 题就是如何同化不同来源的信息”，同化开始作为科学问题提出。t h o m p s o n i n l 在他1 9 6 9 发表的一篇文章中，分析当时客观分析方法中所谓的“动力”处理方法时，指出该方法同 样有“单一时刻的资料同化”所存在的缺陷，所以，必须要在“整个时间序列的分析过程 中保持变量的动力协调”。这其实已经把“初始化”的概念引入到同化范畴中来，至此，四 维资料同化的基本思想已经成型。而资料同化的内容已经超出了原先的单纯客观分析的范 围。d a l e y 指出，“一个同化循环的内容应该包括质量控制、客观分析、初始化和为下一次 同化的背景场所做的短期预报”。从目前资料同化的应用来看，同化的功能也不单单是为数 值预报构造初值，在观测系统的评估、资料分析、在目标性观测研究等方面也有着广泛应 用。 现在国际上用得比较多的资料同化方法有变分方法和基于k a l m a n 滤波的集合资料同 化方法。 变分方法 变分方法【1 2 】【1 3 】的优点是摆脱了观测量和分析量之间存在线性关系的限制，使得直接同 化非常规资料成为可能，同时也可以把模式作为一个强约束进行求解，从而得到物理和动 3 第一章绪论 力上与模式协调的初始场。它包括三维变分和四维变分。 三维变分( 3 d v a r ) 三维变分是通过迭代一个代价函数，产生一个分析时刻的大气真实状态的最优估计。 它是在某一时刻进行的分析，前一时刻的同化结果可作为后一时刻模式运行的初始场。在 实现过程中的一个主要困难是如何合理设计背景场误差协方差矩阵模型，因为从前面可以 知道，背景场误差协方差直接决定了在分析场中观测场和背景场的权重。另外背景误差协 方差矩阵必须是正定的。 同时，三维变分又有其优点：首先，三维变分进行的是三维空间的全局分析，避免了 分析不是全局最优的问题；其次，观测算子可以是非线性的；第三，它可以将一些额外的 约束项加到目标泛函里来实现一些外部的弱约束，如平衡项或平滑项；第四，计算中只需 要求切线性算子及其伴随算子等。 四维变分( 4 d v a r ) 四维变分是三维变分的推广，它可以使用时间上分布的观测资料，是在一个时间段上 做同化。四维变分的核心部分就是伴随模型的建立，通常可有两种途径实现：第一种是伴 随的差分，即由连续的正模型得到连续的伴随模型方程和连续的目标泛函的梯度表达式， 再对连续的伴随模型和目标泛函的梯度进行差分离散；第二种途径是差分的伴随，它是由 离散的正模型直接导出离散的伴随模型及目标泛函的梯度，国际上一直认可采用的大多是 后一种途径。 四维变分有很多优点：首先，它可同化多时刻的资料( 当前观测可对过去的分析结果 产生影响) ；其次，背景场误差协方差矩阵在同化窗口是隐式发展的；第三，可以在代价函 数中加上其它的弱约束项。 k a l m a n 滤波 k a l m a n 滤波是另外一种用于气象资料同化的统计学方法，可以看作是最优插值的拓 展。最优插值的成功与否取决于观测、背景场误差的统计特性，这些统计特性需要事先给 定，其背景场误差独立于模式动力与模式状态，不随模式积分而变，这是最优插值的一个 主要缺陷。k a l m a n 滤波克服了这些缺陷，背景场误差随模式向前积分随时调整，与模式 4 第一章绪论 动力保持一致。k a l m a n 滤波的最初形式是针对线性系统提出的标准k a l m a n 滤波，随后又针 对非线性系统提出了扩展k a l m a n 滤波。在扩展k a l m a n 滤波中，预报误差协方差是通过在 一个预报时间间隔内，对模式的非线性轨迹进行线性化来获取的。该方法是目前资料同化 中最好的同化方法。即使系统的初始猜测值质量不高，扩展k a l m a n 滤波法也可以在最初较 短的时间内提供大气状态最好的线性无偏估计和误差协方差。 虽然k a l m a n 滤波的原理并不复杂，但具体实施起来却有相当的难度。首先，模式只是 对真实物理过程的一种近似，近似的好坏程度即误差很难确定，因而k a l m a n 滤波中的模式 误差较难给定：其次，计算模式预报误差协方差矩阵是k a l m a n 滤波的核心关键算法，而对 其计算需要2 n 倍的模式积分时间，而且还需要存储n n 维矩阵的空间，对于原始方程数 值预报模式，n 通常达到十的六次方，这就意味着要付出昂贵的计算时间与占用大量的机 器内存从而显得不实际。 目前基于k a l m a n 的资料同化方法主要有两种：一种是简化k a l m a n 滤波法，另一种是集 合k a l m a n 滤波。其中，最有发展前景的就是集合k a l m a n 滤波方法。 集合k a l m a n 滤波f 方法同时执行多个资料同化循环，所有的循环都同化同一实际观测 资料，但考虑到这些资料的独立性，在集合同化的每一个成员中加入了不同的随机扰动。 这一集合资料同化系统可以估计随流型演变的背景场误差协方差。集合k a l m a n 滤波法有很 多优势，例如，它不需要发展线性和伴随模式，也不要求对预报误差协方差的发展进行线 性化，而是用短期的集合预报来估计背景场误差协方差。这样，能提供“随天气形势演变” 的背景误差协方差；同时还可为集合预报提供非常好的初始扰动场。近十年来，这种方法 显示了强大的活力。 1 2 集合资料同化的研究意义和必要性 集合资料同化，又被称为集合k a l m a n 滤波( e n s e m b l ek a l m a nf i l t e r ，e n k f ) 。由于标 准集合k a l m a n 滤波衍生出很多实用的分析方法，其中大多数已不再使用标准k l a m a n 滤波矩 阵，因而近年渐渐流行起更直接明了的称呼一集合资料同化( e n s e m b l e b a s e da t m o s p h e r i c d a t aa s s i m i l a t i o n ，e n s e m b l ed a t aa s s i m i l a t i o n ) 。 5 第一章绪论 八十年代中期以后，先进的变分同化发展起来。它对分析场进行全局调整，使分析与 观测以及某种背景场的总偏差达到最小，这种方法为与模式变量存在复杂关系的观测资料 的使用打开道路，同时使预报模式直接介入了分析过程。变分方法加上遥感资料的使用被 普遍认为是九十年代数值预报质量持续提高的关键因素，变分同化方法也因此成为当前各 国同化方法发展的一个主流。但变分同化方法存在一些根本的缺陷，特别是它依赖于切线 性伴随模式的后向积分，而发展完整物理过程的数值预报模式的切线性伴随模式是十分困 难，甚至在理论上可能根本是不存在的。 早在四维变分同化方法之前，基于k a l m a n 滤波理论的顺序( s e q u e n t i a l ) 同化方法已经 被提出来。与变分同化方法寻求整个同化时段的最优解不同，顺序方法只着眼于求解观测 时刻的最优分析值。k a l m a n 滤波在给出这一时刻的最优分析值的同时也很容易地给出了分 析误差的分布，这是变分方法所不具备的。k a l m a n 滤波方法后来又扩展到非线性模式，因 此，原则上讲，可以比依赖于切线性及其伴随模式后向积分的变分同化方法更方便地应用 到真实的大气模式中。但由于其计算量难以承受，很长时期顺序方法没有被认为是一种有 业务应用前景的资料同化方法。九十年代中期集合预报的思路与k a l m a n 滤波的研究结合起 来，发展到现在称为集合资料同化( 集合k a l m a n 滤波) 的新的同化方法。这种新的同化方 法继承了k a l m a n 滤波上述长处，但又避免了至少在目前还不能承受的大量计算，因而具有 业务应用潜力。所以集合资料同化已成为当前资料同化领域一个新的研究热点。 目前，集合资料同化方法和技术在国际上已经日趋成熟，并提到业务化的日程来。而 国内在这方面的工作开展得比较晚，还处于探索阶段。因此对集合资料同化进行研究具有 重要的科学价值和现实意义。 基于以上原因，本研究工作立足于已有的一套中期数值预报谱模式一集合资料同化系 统，讨论其中一些关键问题的处理，并重点研究协方差局地化方案，希望能为集合同化系 统在国内实现业务化运行提供有价值的参考。 6 第一章绪论 1 3 论文研究目的和主要内容 研究目的： 充分吸收当今先进的集合资料同化的研究成果，采用不需对观测加扰动的集合平方根 滤波方法，用t 1 0 6 l 1 9 中期数值预报全球谱模式作预报模式，通过一系列数值试验来对集 合资料同化的理论和技术进行研究。进一步考察t 1 0 6 e n s r f 系统的同化能力，讨论其在同 化实际观测资料时一些关键问题的解决方案，重点研究协方差局地化方案对于同化质量的 影响。希望能为集合同化系统在国内实现业务化运行提供有价值的参考。 本论文研究主要内容包括： ( 1 ) 立足于已有的t 1 0 6 e n s r f 同化系统，讨论同化实际观测资料时集合成员的构造、 标准层同化以及协方差局地化方案等等关键问题的处理方案，考察实际同化效果，并与模 式原有的最优插值分析系统进行比较。 ( 2 ) 在前面实验的基础上，进一步讨论协方差局地化方案。 采用o s s e s ( 模拟观测试验) 方法，考虑水平局地化距离与临近观测距离之间的关 系，通过不同的观测网格总结水平局地化经验函数，研究不同局地化情况下的同化效果。 引入自适应局地化的概念和理论，先通过l o r e n z 9 6 模式研究自适应局地化在e n s r f 中的可行性并做敏感性实验；然后将自适应局地化技术引入t 1 0 6 - e n s r f 同化系统，比较其 与之前使用的局地化方案的同化效果。 7 第二章集合资料同化理论及其发展应用 第二章集合资料同化理论及其发展应用 资料同化发展到今天，从最初的线性插值或多项式插值以及逐步订正法等发展到今天 的最优插值、三维交分、四维变分以及众多的k a l m a n 滤波方法，已经走过了几十年的历 程。就其理论基础而言，主要分为两类：一类是基于统计学的估计理论的，如最优插值， k a l m a n 滤波，k a l m a n 光滑，集合k a l m a n 滤波等。另外一类是基于变分方法的，如3 维变 分( 3 d v a r ) ，强约束4 维变分( 4 d v a r ) 和弱约束4 维变分等。而以集合k a l m a n 滤波 为代表的集合资料同化方法以其不需要编写复杂的伴随模式( 与4 d v a r 相比) 和模式背 景场误差是随模式积分发展( 与3 d v a r 和最优插值相比) 等一系列的优点，正在被越来 越多的人所关注，研究势头很热。这里将详细介绍集合资料同化的理论和发展。 本章是后面方案设计以及数值试验的理论基础，特别是里面提到的随流型演变的误差 协方差、滤波发散、协方差局地化等一系列概念，都将体现在后面的方案设计和数值试验 中。 2 1 理论背景 2 1 1 b a y e s i a n 理论 估计理论是所有同化方法的基础。这是因为：我们建立的模型是不完美的，只能说 是对现实情况的一个近似；从计算数学的角度看，模式在运算求解的过程中，会引入计 算上的不确定性。也就是常说的计算误差和截断误差；实测资料也有很多不确定性，比 如同化中常提到的仪器误差和代表性误差。简单的说，也就是由于决定资料同化结果的两 个方面一模式和观测两者都具有很大的不确定性，因此在考虑同化方法时，不但要考虑 物理规律，同时也要考虑其不确定性，从某种最优的意义上最大的去除噪音( 及不确定性 或者误差) ，从而提取信号。不但要对输入的值进行分析，还要对输出的质量进行分析。 估计理论在资料同化中的应用就是为了能够在之前所有的观测条件下精确的估计出当 8 第二章集合资料同化理论及其发展应用 前大气或海洋状态的概率密度函数( p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ，简称p d f ) 。而将估计理 论应用到资料同化方法中的最基础的理论是b a y e s i a n 方法，其原理是基于贝叶斯( b a y e s ) 定理。l o r e n c ( 1 9 8 6 ) 和c o h n ( 1 9 9 7 ) 对b a y e s i a n 理论在资料同化中的应用作了详细的描 述，我们在本节对其作简单的概括性阐述。 先给出几个定义，在一定条件下，一个事件彳发生的可能性为事件么的概率p ( 彳) ； 事件彳发生的条件下事件b 发生的可能性为条件概率尸( 召i 彳) ；事件彳和事件b 同时发 生的可能性为联合概率尸( 彳b ) ；如果事件彳和事件b 相互没有影响，则两者的联合概率 为两者各自发生的概率之积p ( a b ) = p ( a ) xp ( b ) ，也就称事件么和事件b 是相互独立 的。 而b a y e s 定理就是5 p ( b i 彳1 ：p ( a b ) p ( b ) 7 p ( a ) ( 2 1 ) 那么我们想得到的模式值为x ，观测值为y 的概率密度尸 iy ) 为： m i 加掣铲 由于观测是给定的，那么尸( y ) = c o n s t ，则可以得到： p ( xy ) 芘p ( yix ) 尸( x ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 如果我们引入时间轴，那么我们就将采用新的观测值的情况称为“更新”。对于一个t 时刻的n 维的模式变量可以表示为： x r = i x f ( 1 ) ，x t ( 2 ) ，_ ( 一) 】 ( 2 4 ) 而包括t 和t 以前所有时刻的观测定义为： y ，= 【只，l f ，f - l 】， y f - l2 【儿一1 ，y o 】 ( 2 5 ) 那么根据上面的b a y e s 定理，我们就可以得到 9 第二章集合资料同化理论及其发展应用 p ( x ，i l f ，) o c p ，h ) 尸( t ) ( 2 6 ) 假设观测误差是各个时刻独立的，则有： 尸缈。i ) = p ( y ，lx t ) 尸( 1 f ，f - llx t ) ( 2 7 ) 将( 2 7 ) 式代入( 2 。6 ) 式有： 尸( _ i l f ，) o c p ( y ，l x t ) 尸( y “it ) p ( t ) ( 2 8 ) 再次利用贝叶斯公式： 尸( y hix t ) 尸( _ ) 尸( 一l y f - i ) ( 2 9 ) 简化( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式可以得到： p ( x ，m ) o c p ( y ，i x t ) p ( 一iv t - i ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 0 ) 式就是我们需要在估计理论中所用到的贝叶斯理论。它给出了当前模式态和 之前的模式态以及观测资料之间的关系：式子左端项可以看作是在过去所有观测条件下当 前模式态的概率密度函数：而式子右端第一项可以看作是当前观测资料的概率分布( 观测 场) ：右端第二项是在过去t 时刻之前的所有观测条件下当前模式态的概率密度函数( 背景 场) ，可以是通过某磐形式的同化和短暂预报之，后的当前模式态。 2 1 2 从b a y e s i a n 理论到k a l m a n 滤波 根据前面得到的贝叶斯理论( ( 2 1 0 ) 式) ，要想进行具体的同化工作，就必须对概率 密度函数的形式进行简化处理。现在假设：误差增长是线性的；概率密度分布是服 从正态分布的，因此就有过去t 时刻之前的所有观测条件下当前( t 时刻) 真实模式态x r 的 概率密度函数： 尸( x 。lv “) - n ( x ? ，p t b ) o c e x p 一去( x ，一x ? ) t p ? 川( x 。一x ? ) 】 、 z ( 2 1 1 ) 这里，x 6 是背景场模式向量( 第一猜测场) ；p b 是背景误差协方差矩阵。 同样可以得到当前观测资料的概率分布： 第二章集合资料同化理论及其发展应用 p ( y f j x f ) n ( y t , r ) 堋p 【_ l ( h x t - y t ) t r - 1 ( h x t - y t ) 】 ( 2 1 2 ) 这里，y 是观测向量；h 是观测算子，使得模式向量向观测向量转换；r 是观测误差协方 差矩阵。 于是可以得到在过去所有观测条件下当前真实模式态的概率密度函数： 坤，i 、i ，) e x p 卜扣一x n x ，一x ? ) 一互1 ( h x ，嘎) t r 1 ( h x , - y ，) 】( 2 1 3 ) 对于( 2 1 3 ) 式，我们需要得到的是概率密度函数的极大值，亦即 施f ) - * 一x ? ) t 衅_ l ( x ，一x ? ) + ( h x t - y t ) t 一( h x f - y f ) 】 ( 2 求( 2 1 4 ) 式( 代价函数) 的极小值，该式也是许多同化方案( 从三维变分到k a l m a n 滤波) 衍生的共同起点( 如，l o r e n c 。1 9 8 6 ；p a r r i s ha n dd e r b e r , 1 9 9 2 ) 。对( 2 1 4 ) 式求导， 并进行一系列的变换，可以得到k a l m a n 滤波关于分析场x 口的信息： x r a = x ，b + k ( y r 二h x ? ) ( 2 1 5 ) 其中， k = 群h t ( h p ? h t + r ) 一 ( 2 1 6 ) ( 2 1 5 ) 式简单的讲，即为分析后的模式态x 4 是通过背景场x 6 和观测增长( 观测场 与背景场的差异) y h x 6 之间的加权平均来估计的，权重是矩阵k ( 如，d a l e y , 1 9 9 1 ) 。 如果观测误差相对小于背景误差，那么分析场就更加靠近观测，反之亦然。矩阵k 被称作 为增益矩阵，它起到的是一个用观测增长在相对附近的模式格点上来调整背景场的作用。 一般而言，离观测点越近的模式格点要比远离观测点的模式格点受到观测值的影响( 修正) 要大。 给出了p 6 、r 和观测点的信息( 暗含在h 内) ，就可以求出分析误差协方差矩阵p 4 ： 第二章集合资料同化理论及其发展应用 晔= ( i l ( i i ) 衅 ( 2 1 7 ) 从这里0 - 7 以看出，k a l m a n 、德坡小仅刚以求得最近似明模式悉( 分柳场) ，i 劂时也对分 析态的不确定性进行量化。( 2 1 7 ) 式说明，分析误差协方差是对背景误差协方差的一个修 正。 在k a l m a n 滤波中，假设模式变量是根据下式进行积分的 x t + i2 m x f + 7 7 ( 2 1 8 ) m 是模式的积分算子( 模式状态转换矩阵) ，在k a l m a n 滤波中假设为线性的。7 7 代 表的是模式系统的噪音，是一个均值为0 ，且与时间无关的量。这样，对于一个模式和同 化系统，什1 时刻的背景场x f + l b 可以通过下式由t 时刻的分析场x ? 来预报： x f b + i = m x t ( 2 1 9 ) 同时k a l m 锄滤波需要估计下一个同化时刻的背景误差协方差矩阵哎l ，假设系统噪 音与切线性动力过程不相关，即( m ( x ? - x , ) r t ) = 0 ，于是t + 1 时刻的背景场误差协方差 n 口 矩阵- f + l 就由下式得到： 哎。= ( ( x 久。一x 州) ( x 鼻，x t + 1 ) t ) = ( ( m x ? 一m x ，- r ) ( m x ? 一m x ，一叩) t ) = ( ( m ( x t x ，) 一7 7 ) ( m ( x ? - - x t ) - 7 7 ) t ) = m p t m l + q ( 2 2 0 ) q 是系统噪音协方差矩阵，q = 如町t ) ，在实际操作中，对q 的分析和估计是相当 复杂的( 如，d e e 1 9 9 5 ) 。下图表示的是k a l m a n 滤、波窨粘的分析和预报过程o 1 2 第二章集合资料同化理论及其发展应用 i ， 璺豳淞一 i 翳妒9 ? ? ”謦”j一：i棼。j 。”9 ”：? 。? 8 麓；堍 。： f o r e c a s ts t e p 妻i u p d a t es t e p、i i致 雩 ；x b = m x ?誊x r a = x ；+ k ( y ，h x f 毗 = m p t 。m t + q 薹 彤= ( i k h ) p , b ； 匿，垂熏：x 露凄鳓。誓2 群h t ( h p , b h t + r ) - ： 嘲磁溺鑫i 翻罗 图2 1k a l m a n 滤波的分析和预报沉程图 k a l m a n 滤波的特点： 针对线性系统提出的k a l m a n 滤波是k a l m a n 滤波的最初提出形式。在k a l m a n 滤 波里，模式代表的系统与观测系统是线性的，即m 和h 表示的是线性关系。此情形下的 k a l m a n 滤波给出的状态估计是最优的。 k a l m a n 滤波可以看作是统计( 最优) 插值的拓展。与传统的统计最优插值相比， 它使得预报误差随模式动力发展而发展，与模式动力保持一致。其不但包含对变量的预报 和分析，还包含对误差的预报和分析，真正实现了误差的流依赖( f l o w - d e p e n d e n c e ) 。而统 计最优插值和三维变分的预报误差是给定的，脱离了模式的状态和动力发展，因此可以造 成结果偏离模式动力远离模式状态。 k a l m a n 滤波相比四维变分同化有一个明显的优点就是k a l m