（运筹学与控制论专业论文）基于广义等值面提取的多视场深度像融合.pdf

中文摘要 建立等值面方程是基于深度数据的隐式曲面造型问题的一个重要方面。根据 等值面方程，可以设计相应的算法从深度数据中提取等值面，从而实现深度数据 嚣聚合。文中舞密一耪广义夔等毽瓣方程，其鬓论簌撂是“最，l 、二黍遥远豹潦裂” 和“空间点对应的向缀图解”。在广义的等值面方程中注入了采样点的方向信息， 由此可以解释设景“权函数”的标准以及隐式曲丽造型中其他的一些几何获系。 广义等傻露方程提供了一个清晰的物理帮几何含义鲍描述，它必设计等值蕊提取 算法提供了一个薪的方法。 关键词：曲面重构隐式曲面造型多视场深度像融合广义等值顾方程 a b s t r a c t o n eo ft h ei m p o r t a n ti s s u e si ni m p l i c i ts u r f a c em o d e l i n gi st h ec o n s t r u c t i o no fa l l i s o - s u r f a c ee q u a t i o nf o rt h ea p p l i c a t i o no fm u l t i - v i e wr a n g ei m a g ei n t e g r a t i o n o n c e s u c ha l le q u a t i o ni sb u i l t ，t h ea l g o r i t h mc a nb ed e s i g n e dt oe x t r a c ti s o s u r f a c ef r o mi t ， w h i c hi n v o l v e si np r o v i d i n gas o l u t i o nf o rt h ee q u a t i o n i nt h i sa r t i c l e ，w ep r o p o s ea m e t h o dt oc o n s t r u c tag e n e r a l i z e di s o - s u r f a c ee q u a t i o n ( g i e ) ，w h i c hi sb a s e do n v e c t o r - m a pr e a s o n i n ga n dl e a s t m e a n - s q u a r ea p p r o x i m a t i o n i n t h i s a p p r o a c h ，w e i n t r o d u c et h ed i r e e t i o n a li n f o r m a t i o ni n t ot h ee q u a t i o nf r o mw h i c ho n ei sa b l e 协b u i l d u pac l e a rg e o m e t r i c a lo rp h y s i c a lp i c t u r et oe x p l a i nt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e w e i g h tf u n c t i o na n ds i g n e d d i s t a n c e t h i sr e s u l th a sg e n e r a l i z e d t h ee q u a t i o no b t a i n e d b y c u r l e s s u n d e rt h ec o n s t r a i n e dc o n d i t i o n ，t h eg e n e r a l i z e di s o - s u r f a c ee q u a t i o ne a r b es i m p l i f i e dt ot h ec u r l e s se q u a t i o n w ea l s oa p p l yt h eg i et om e r g em u l t i - v i e w r a n g ei m a g e s e x p e r i m e n t a l r e s u l t sa r ea l s op r e s e n t e d k e yw o r d s s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ，i m p l i c i ts u r f a c e ，m u l t i - v i e wr a n g ei m a g e s i n t e g r a t i o n , t h eg e n e r a l i z e d i s o - s u r f a c ee q u a t i o n ( g i n ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得：苤洼盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：了彳阿瓢签字日期：。矿歹年肛月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解岙壅盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者繇了秘蚁 新虢 签字日期：) 伊；年户月彳日 f f 勿1 帮 签字日期：马年2 月尹口日 第一章绪论 第一章绪论 随着计算机技术的普及和进步，计算机辅助设计与制造技术( c a d c a m ) 也得 到了迅猛的发展，自由曲面造型技术在现代工业产品的设计和制造中有着广泛的 应用。然而在许多情况下，只有产品模型和实物模型，而没有产品的定义和图纸。 为了适应先进制造技术的发展，需要将这些样件和实物转化为c a d 模型。这种 根据实物模型和样件测量数据，建立数学模型，得到其设计思想，从而进一步修 改原有设计，然后将这些模型和表征用于产品分析、制造和加工生产的过程就是 逆向工程。随着数控测量技术的发展，逆向工程技术己被广泛应用于航空、航天、 造船、汽车和模具等现代制造业的各个领域。 1 1 逆向工程简介 逆向工程技术是随着计算机技术的发展和成熟以及数据测量技术的进步而 迅速发展起来的一门新兴学科与技术。它的出现，改变了原来c a d 系统中从图 纸到实物的设计模式，为产品的快速开发以及快速原型化设计提供了一条新的途 径，广泛地应用于机械、轻工、航空、汽车、家电、玩具等领城。同时，它与九 十年代新崛起的快速成型制造技术( r p m ，r a p i dp r o t o t y p em a n u f a c t u r e ) 相结合， 可快速实现复杂物体的三维拷贝；若经c a d 系统修改参数重新建模，更可以实 现零件的变异复原。 传统的产品开发流程是一种预定的顺序模式，即从市场需求出发，抽象出产 品的功能描述( 规格及预定指标) ，然后进行概念设计，在此基础上进行总体设计 和详细的零部件设计，制定工艺流程，设计工具夹具，完成加工及装配，通过检 验及性能测试，这种开发模式的前提是已经完成了产品的蓝图设计c a d 模型。 然而在很多场合下，产品的初始信息状态不是c a d 模型，而是各种形式的物理 模型或实物样件，这就需要用到逆向工程技术。 几何造型技术作为一个有力的设计工具已经广泛用于各工业新产品的设计 开发领域，然而现实世界中也有许多物体无法用c a d 系统来描述，从原始的物 体实物出发，自动地建立它的几何模型，这个类似重建的过程就称之为逆向工程。 所谓“逆向”实际上是相对于传统的c a d c a m 系统工作流程而言的，可以这 么认为，传统的计算机辅助设计是首先来源于一个设计思想，然而根据该思想建 立几何模型，并最终生产出产品的过程。与此相反，在逆向工程当中，首先拥有 的是一个物理或实物模型，通过对它进行数据采集，曲面重建，从而得到它的几 何模型和设计思想的过程。 第一章绪论 逆向工程技术在许多工业领域中有着广泛的应用。例如在仿型设计中，需要 克隆某个产品，然而通常却没有该产品的原始设计草案或文档；又如在零件的修 改与改良设计中，需要从现存的产品出发，构造出他的几何模型，从而可以利用 现有的c a d 系统进行进一步的分析与优化，从而开发出新的产品：在汽车工业 等领域，车体外壳的美学设计显得尤其重要，对于众多设计师而言，他们更喜欢 的是在真实的雕刻或油泥模型上进行设计，实物模型相对于计算机二维屏幕而言 更能真实的反映物体的形状，更有利于设计师阐释他的设计思想；另外，在特制 的服装、鞋帽等产品定制领域，由于每个人的面部，身体结构不同，统一的尺码 并不一定适合客户的要求，又由于批量小，甚至可能就只生产一件产品，用传统 的设计方法，冗长费时，在经济上来说也是不合适的。 1 2 表面数据获取技术 在逆向工程中，物体的表面数字化是关键的第一步，是逆向工程的基础。只 有获取测量数据，才能进行误差分析和曲面比较，进一步进行曲面重建( c a d 建 模1 ，同时测量点的分布和数量也直接影响这后继曲面重建方法的效率和熏建曲 面的品质。实物的三维离散采样速度及数据质量是影响逆向工程技术应用的重要 因素之一。现有的三维数据的获取方法基本上可分为两大类，即接触式与非接触 式，如图1 - 1 图1 - 1 几何数据获取方法分类 簿一濑绪论 接触式测蹩是指利用接触式测爨仪器对实物外表谣进行测爨。在接触式测凝 方法中，猊城蹩搽瓣纛爹t ( c m m ) 憩一魏笈震较为痰熬涎量设备，它是巅蠲健感 器实瑰灏爨头在工俘上移动，将复絷瓣三维瑟瑟溅蚕转毒艺必二壤溯鲞，按趣蘧蘸 率的变化不均匀地布点，从简记录下路径点的坐标憾。它具有噪声低、精度离( w 运0 。5 u r n ) 、整复性好篷键点：毽测爨速发慢、效率低，瘴攘力移辩性交彩翡存 在容易零l 超攘黧交澎产生测塞误差，对软蒋对象溅潋徽凑密溯爨，鬟要对灏头表 黼损伤鞠测头半径迸张补偿，而且辩测激不能触殿的微细表稀怒无法测及的，不 翁获得遂续的艇标点。测蕊数据的特点楚高精度低密度。 羧撂稼麓方式戆不闻，嚣按皴斌测爨法蜀分洚您攀法、互驻c t 、越声波浚 秘磁共掇( m r i ) 等。溅藩瓿瓣视觉教忒秘先龟技洙瓣菠袋，采用光奄方法辩嚣攘 触测量技术樽到迅速发展，新的测嫩技术如激光技术、材料转移的光谱技术、三 绥全惠照稳鼹示鼓拳不薮鹣溪理，撩瘟懿灏量方法鸯稳接法，漾痰麴像法，全惑 法，激蠢三角形法等。鞠霞渡溺量纂零器理是褥溺嬲瞧魏竞瓣投影至l 羧测薹l l 露上， 髓到被测曲谣轮廓高度的调制，光栅影线发生变豫，解调变形光栅图像，建立变 澎光栅强像与被测曲瓣鲶麟离度的函数关系，求出被测曲面形状的三维信慰测羹 鞭理及畿路缨褥筵单。稳豫篷翁瓣谰骞稳移法耨辩立蟹努褥法。穰囊睁交换是数 字图像熊瑗中簸基零帮霄效鹣颓城努辩方法，累鼹颥谱分柝警毅解调曲面三缎傣 息，速度快，检测自动化獠度高。棚位法测量的优点怒速度快，测辍范围大，成 零蘸；袋蠡燕只戆测爨起获不大懿较警逡懿蘧蠢，麴鬻交继器l 熬懿逮方，会爨瑗 大瓣攘麓，铡惫精凄较低。蒸予忍秘建鬈三囊移簌理瓣激光三魏形浚是鏊髓斑弼 最广泛的非接触式测鬣方法。三角测缀的基本原理是出半导体激媳器发出的激漱 邋过聚搬透镜在被测辫愁上终戍必藤势发射，光敏元 孛( 如p s d ) 接收其数射池， 羧鬟其焱p s d 主翁餐鬟，鬻可溺爨馥灏是熬空阗攫撂。 霹懿市滋上已商黼纯的光学三雅浏凝系统髯：藤鬻3 ds c a n n e s 公司囊产 的r c v c r s a 激光测头，豳本m i n o l t a 公司生产的v i v i d 7 0 0 ，螽湾智泰生产魄 i s h 鞫辘激毙麴疆系翻设餐等，这黉浚蘩魏羟攒逮瘦蜀这每移1 5 0 0 0 点，溺蘩 精度在圭国0 1 2 5 - - 0 。1 0 0 0 ) m m 之蓠，徐穆适中，瓣测爨对象袭舔麴必学特毯溪求 不高。由于谶年在分瞬域测攫技术上的突破，使得棚位法的测爨精度得至0 进一步 遗提衰，现法骞较为实_ 薅| | 熊系统甏键，魏德国g o m 公司煞a t o s 流动光学三坐 标溅量系统，溺塞逮凌大予每秒4 3 0 0 0 赢，蕈竣精发炎翘0 3 m m ，熬蒋测鬃壤壤 大于0 1 m m m 。 第一章绪论 1 3 逆向工程中的曲面重建 逆向工程中最重要的一步就是曲面重建，构造出物体的几何模型。我们知道， 描述物体表明形状信息的数学表达式称之为物体的几何模型，也称为蓝面的数学 模型，它是对物体进行分析、计算和绘制的根据，是研究曲面性质的重要工具。 曲面是指具有某种性质的点的集合。从理论上讲，每张曲面都有它自己的数学模 型。但是曲面的数学模型的存在是一回事，而人们对它的掌握又是另外一回事。 有很多复杂的曲面，其模型并未为人们所掌握，例如人的头颅、动物骨头、雕塑、 工艺品的外形以及野外地形等；也有很多复杂曲面虽有数学模型，但是未掌握在 需要者的手中，例如复杂叶片、复杂机械零件和某些出土文物器皿的外表面等。 对这种数学模型没有被人们掌握的曲面，或者数学模型虽有，但没有掌握在需要 者手中的曲面，重新建立数学模型的过程就称之为曲面重建。蓝面重建是要为已 存在的曲面建立模型。它有两个方面的含义。第一意味着已有的曲面是曲面重建 的根据，可以根据需要在该曲面上采集各种数据以进行曲面重建；第二意味着已 有曲面是衡量重建曲面所得的曲面模型质量好坏的标准，要求建立的模型能忠实 地恢复已有曲面地形状。这两点正是曲面重建与自由曲面表示的区别所在。 近十年来，随着激光扫描设备的发展，包含被测物体更多细节的海量数据获 取成为可能，并且成为高精细测量建模的发展方向。但对于形状相对复杂的物体， 如具有孔洞、内腔、手柄等构型特点时，一次测量并不能保证数据的完整性。通 常需要对物体进行多次测量，并对测量点集进行合并，因而并不能保证整个点集 的拓扑构型。另外，在某些曲面重建的应用中，数据来源于c t 扫描，数据是分 层组织的。由于数据来源的不同造成数据组织形式的不一致，多数曲面重建算法 都是将数据点作为散乱点，提出了基于散乱数据点的曲面重建方法。根据重建曲 面的表示形式不同可将曲面重建方法分为以下四种。 1 3 1 参数曲面重建方法 长期以来，参数曲线曲面一直是描述几何形状的主要工具，它起源于飞机、 船舶的外形放样工艺，由c o o n s 、b e z i e r 等大师于上世纪6 0 年代奠定其理论基 础。c o o n s 曲面、b e z i e r 曲面、n u r b s 曲面等不仅成为几何设计的主要工具， n u r b s 已被作为工业产品数据交换的s t e p 标准，也作为描述工业产品几何形 状的唯一数学方法。基于参数曲面也是曲面重建中常用的方法。 1 9 9 5 年b a j a j t l l 在1 9 9 5 给出了一种稠密、规则采样数据的曲面重建方法。 它首先构造一个c7 连续的分片代数曲面作为定义域曲面，计算出它的有向距离 场函数，利用a 一形，得到该定义域曲面的分片线性逼近，并在此定义域曲面上 第一章绪论 重建出连续的b e r n s t e i n - b e z i e r 曲面片作为重建曲面。 1 9 9 6 年e e k 2 1 等人提出了用b 样条曲面对任意给定拓扑网格进行重建的方 法。 1 9 9 7 年g u o 靶在提出了一种具有任意拓扑形状的参数曲面重建方法，他首 先利用a 一形构造出一个简单曲面 r 使之反映出原曲面的拓扑结构，然后在此 基础上重建出一个曲率连续的参数曲面作为重建曲面。 作为描述几何形状的主要工具，参数曲面重建也是最常见的曲面重建方法。 1 3 2 隐式曲面重建方法 参数化表示具有许多优点，如计算曲线曲面的几何量简单，曲线曲面的显示 方便，具有离散等优良性质等。然而，在另外的一些几何操作，如，判断一个点 是否在曲线或曲面上以及在哪一侧时，参数表示曲面极为不便，与之相反，隐式 化表示给这些操作带来了极大的方便，同时，隐式化表示在曲线曲面求交方面也 有极其重要的应用。因此，在曲面重建中，也越来越多地使用瞌面地隐式化表示。 我们将在第二章中，重点介绍隐式曲面。 1 3 3 变形曲面重建方法 许多复杂曲面都是由多张曲面拼接构成，无法用一张参数曲面或隐式曲面的 将其重建出来，也有的曲面形状特别奇特，用参数曲面或隐式曲面来表示则显得 格外复杂，近年来有人提出了一种变形曲面重建技术，通过事先确定一个初始拓 扑结构，构造一个初始曲面，让它沿着一定的方向进行形变，最终得到的曲面作 为最终的重建曲面。 m i l l e r 4 1 等于1 9 9 1 年在中提出了一种几何变形模型进行闭曲面熏建。先将 一种小模型放入需要重建的闭曲面内部，然后让其膨胀变形，同时以要重建的曲 面上的采样点作为对膨胀变形的约束条件。当几何模型的变形达到某一平衡点 时，就得到该曲面的数学模型。 r u p r e c h t 5 】则是通过赋予曲面一定的物理属性，例如，质量、刚度等，曲面 的变形通过模拟曲面的受力情况来定义。曲面的物理属性和外力的综合作用，使 得曲面最终变形为所求的重建曲面。 t u r k 和o ，b f i e n l 6 】提出了一类利用二维物体隐式形变技术对切片数据进行曲 面重建的方法。它的数据点来源于医学图像的c t 切片，通过建立各切片间的过 渡曲面来实现整张曲面的重建。 第一章绪论 1 3 4 细分曲面重建方法 为了解决具有复杂拓扑形状的曲面重建问题，人们提出并发展了细分曲面重 建方法。细分曲面是一类采用组成曲面的多边形网格的点、线、面及拓扑信息完 整地描述地曲面。它从初始多面体网格开始，按照某种规则，递归地计算新网格 上的每个顶点，这些顶点都是原网格上相邻的几个顶点的加权平均。随着细分的 不断进行，控制网格被逐渐磨光，在一定条件( 一定的细分规则) 下，细分无穷多 次之后多边形网格将收敛到一张光滑曲面。 细分曲面的最大优点就是算法简单，并且几乎可以描述任意复杂的曲面，基 于细分曲面的重建方法在特征动画设计和复杂的雕塑曲面重建中得到了高度的 应用。 1 9 9 4 年h o p p e l 7 1 等人提出了用细分曲面进行曲面重建的方法。该方法分为 三个步骤，首先，构造一个由大量三角面片构成的三角网格作为原始点集的逼近， 然后，对该三角网格进行优化，减少网格顶点，提高拟合精度，最终，通过调整 控制网格的顶点数目、位置与连接关系，从而得到最终的重建曲面。该方法对于 重建带有尖锐特征边，以及具有任意拓扑形状的曲面可获得满意的效果。 由于计算机技术的进步和人们对细分曲面研究的进展，细分技术获得了长足 的进步，越来越多的研究者讨论了如何用细分曲面拟合或插值散乱点，进行曲面 重建的问题。 1 3 5 其它曲面重建方法 人们在发展了曲线曲面的多种表现形式的同时也创造出了不同曲面重建技 术和方法；此外，由于数据点集的采样方式不一致造成了不同的数据组织形式， 从而也导致了重建方法的不同，基于网格简化的曲面重建方法，基于截面线的曲 面重建方法，基于距离场插值的曲面重建方法，基于硬件技术的曲面重建方法， 基于体绘制技术的曲面重建方法，扫成面、旋转面等特殊曲面重建方法。随着逆 向工程的发展，还将有越来越多的新的曲面重建技术发展出来。 1 。4 三维数字造型技术 三维激光或光学数字化技术可以算是逆向工程的一个应用技术。它是利用计 算机辅助的相干光和非相干光方法获得真实世界中散射物体的空间三维形状以 及表面纹理显示的理论和技术。三维数字像的计算机辅助几何造型是最新发展的 三维激光或光学数字化技术的核心内容之一。三维数字成像及其造型技术能够将 第一章绪论 真实物体以数字化的形式快速复制到计算机中【8 ，因此是一种很有前途的三维数 据场可视化技术。 三维数字成像及造型技术是在综合现代光学和激光技术、微电子技术、计算 机应用等技术的基础上所形成的一个新兴的交叉型高新技术领域，它将对整个工 业界产生重要的影响。例如，制造工业的工程师可将三维数字像应用于逆向工程， 用以产生新型模具；高精度的三维数字化技术将从根本上改变工业检测技术和质 量控制，具有为制造过程提供实时反馈的能力；在医学工程中，人们可将三维数 字成像用于获取人体骨骼和解剖学中的人体器官的三维数字像，从而推动假肢制 造和器官移植的发展；影视界可利用三维数字像在商业影视中产生大量的特殊效 果。此外，三维数字像造型技术对虚拟现实、多媒体技术、计算机辅助教学、远 程医学、三维广告制作、计算机几何造型、计算机动画等领域也有重要的应用价 值。可见，三维数字成像及造型作为一种三维视觉和三维数据场可视化的理论和 技术具有广泛的应用前景。 在三维数字像造型技术中( 见图卜2 ) ，由于受到观察方向和物体本身形状的 限制，在物体和成像系统之间没有相对运动( 旋转和平移) 的情况下，不可能一 次得到描述物体形状的全部信息。从任意一个方向摄取的原始的深度图像只能反 映物体表面某一部分的形状。要得到物体的完整描述，需要从不同方向和角度采 集物体，然后把所得到的深度图像转换到同一个坐标系中，在这个坐标系内完成 对物体的造型。 深度图像的匹配和合成是三维数字像造型中两个最为关键的技术，它们决定 了最后的造型结果。匹配的涵义是需要找到两个深度图像之间的变换关系，经过 此变换后，两深度图像中对应物体表面上相同的区域会重合。匹配的精度直接影 响到合成结果的好坏。合成的涵义是在经过匹配的深度图像中，融合相重叠的部 分，用无冗余的方式描述深度曲面，得到物体表面的完整表达。最后，通过适当 的方式把合成的结果表示出来，如三角形网格的表达、着色表达、在深度曲面上 叠加纹理的表达等。 本论文工作的重点就是围绕三维数字像造型的这两个关键技术开展研究。利 用隐式曲面技术进行曲面重构。 1 5 本论文研究课题的背景及主要内容 本论文研究课题的背景是国家自然科学基金项目：“多分辨动态三维数字成 像及造型”( 项目号：6 0 2 7 5 0 1 2 ) 及广东省自然科学基金项目“多分辨动态三维 数字成像及造型( 项目号：3 1 8 0 4 ) 的重要内容之一，论文的核心内容是围绕 第一章绪论 基于广义等值面方程的深度像融合的研究。 本论文后面的章节安排如下：第二章介绍隐式曲面技术及其在几何重建中的 应用；第三章主要推导广义等值面方程，并论证其可行性；第四章用i c p 细化匹 配方法进行深度像的匹配；第五章是一个完整的实验过程；最后一章对全文进行 总结并提出需进一步研究的工作。 图i - 2 系统流程图 第二章隐式曲面 第二章隐式曲面 隐式曲面是一种重要的几何形体描述方式。直观的定义，隐式曲面可看作是 三维空间中满足某一条件的点集。这个条件可以用一个数学方程的形式来描述， 不妨记为厂，且该方程以空间点p 为参数。如果点p 满足胴= o ，则p 点在曲面 上。 隐式曲面与现在常用的参数曲面( 如b e z i e r 曲面，b 样条曲面，n u r b s 曲面 等) 有着明显的不同。对于许多方程来说，穴p ) 的值与尸点到方程的零等值面的 距离存在一定的对应关系。这一特性是隐式曲面所特有的。 在参数曲线曲面中，曲线或曲面上任一点的空间坐标都通过一个参数方程来 计算，曲线曲面的参数方程确定了从其定义的参数空间到所嵌入空间的一个映 射，这种映射使参数曲面容易实现计算机显示、进行纹理映射等操作。反之，隐 式曲面则将各坐标值作为一方程的参数。一般情况下，可记为讯y ，力= c ，c 为 胄“空间中的一点，而，则定义了一个从r 到r ”豹映射，通常n 为即c 为 一常数。当c 等于0 时，所有满足 o ，y ，力e r i 耶，y ，z ) = o 的点集定义了一个 曲面称之为隐式曲面，记为厂。方程厂即隐式曲面方程。方程厂可以是任何数学 表达式，当其为多项式函数时通常叫作代数曲面。也叫作等值面( i s o 。s u r f a c e 或 c o n t o u r s u r f a c e ) 2 1 隐式曲面与参数曲面的关系 目前几何造型中常用的曲面形式是参数多项式曲面，如b e z i e r 曲面，b 样 条曲面，n u r b s 曲面等。上述参数多项式曲面存在特有的控制多边形结构。用 户可通过直观地交互操作来定义曲面形状，并能方便地计算参数多项式曲面的曲 率、确定曲面的边界及边界上的切向等，将多片参数蓝面光滑拼接起来。参数多 项式曲面的分片特性使这类曲面特别容易多边形化，从而方便绘制一j 。但是，因 为参数域通常取为矩形、圆柱面或三角形这些简单形状，使得难以用单张参数曲 面来描述一个复杂曲面，特别是当用分片参数曲面来描述一个封闭形状时，会遇 到边洞问题【2 9 1 ，这往往需要求解一个复杂的协调方程，增加了用户的交互难 度，而且如果协调条件选取不恰当可能导致无解。 隐式曲面由于能自然的表达实体及不同实体间的光滑过渡而引起人们的关 注。隐式曲面方程实际上定义了物体的体内区域而参数曲面仅描述了物体的表面 信息。对隐式曲面而言，确定一点是在体上、体内还是体外是非常容易的。通常 根据点代入隐式曲面方程结果的符号就可以判定( ，p ) = o ，则p 在曲面上，) 0 ， 第二章隐式曲面 则p 在曲面外，肋) 同时，可以近似认为观察点在无限远处，它对应于正交投影的情况。 在此情况下，可以假设 于是方程( 3 1 7 ) 可以简化成 蚓c o s o 年h _ 0 卅h i 1 嗣圳 争垫眺：o 智o n i 当蚓 吲，说明观察位置就在等值面上，方程( 3 1 7 ) 变为 智0 锄r , l i d ，i i c 。s 既= 。 事实上，这种情况在实际应用的情况中是不可能出现的。 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 第三章广义等值面方程 在一般情况下，方程( 3 1 7 ) 的中括号罩的向量的合成对等值面方程起着重要 的贡献。而这种情况的几何表示对应于透视投影，向量吲与蚓都要进行考虑。 现在，对观察方向和深度面法向的夹角0 进行讨论： 1 当观察方向与深度面的法向平行时。即舌= 元，有c o s 口= 1 ( p = 0 ) 粥t + 楠亓 = 黼 j i = 这种情况，广义等值面方程简化为方程( 3 1 8 ) 2 ，当观察方向与深度面的法向垂直时，即帚上元，有c o s 口= 0 ( 口= r v 2 ) 隅哥+ 尚元卜 尚卜 3 当o c o s 0 1 ( o 口 ；2 ) 时，有如下不等关系 尚h 黼e + 尚痞卜删元 我们可以用图例表示上面各种向量关系 n 1 i 1 0 = 0 0 0 w 2 一 b a l 引，所以权函数可以简化成 w ( x , y , z ) 一o r i ( x , y , z ) 元：v r f ( x ，y ，z ) ( 3 2 1 ) o n 方程( 3 2 1 ) 就是广义等值面方程的权函数。 怎样定义一个权函数是设计等值面提取算法的一个重要考虑内容。大多数早 先的等值面提取算法都是用经验值来定义权函数，而没有一个坚实的数学推导。 所以，对比他们的工作，我q l 拘r - 义等值面方程在理论上更严紧，方程( 3 2 0 ) 作 为一个完整的权函数也可以在很多地方得到应用。 第四章深度像的匹配 第四章深度像的匹配 在三维数字成像造型技术中，深度图像的匹配是其中关键技术之一，它直接 影响到深度图像合成结果的好与坏。由于受到观察方向和物体本身形状的限制， 在物体和成像系统之间没有相对运动( 旋转和平移) 的情况下，不可能一次得到 描述物体形状的全部信息。在实际应用中，需要把物体放在成像系统前的工作区 间内，从一个方向得到描述物体 形状的深度图像：然后使物体或 摄像机发生相对移动，得到物体 其他部分的深度信息；重复此过 程，直至得到物体各个部分的深 度信息。如图4 - 1 所示，摄像机从 各个不同的方向采集深度图像。 从各个不同方向采集物体的 深度信息进行合成所带来的另外 一个好处是：减小噪声。由于c c d 摄像机本身的原因及其它的一些 不确定因素，所采集的深度图像 总存在着随机噪声。对于物体表 面上的某一点，用多个深度图像 中对应点的加权平均来代替对物 体的采样，从而可以减少误差， 使此采样点的值更接近于真实 值。 4 。1 匹配的概念 图4 1 从不同方向采集深席图像 在每个方向得到的深度图像是针对此方向的摄像机而言，也就是说，深度图 像是位于此摄像机的坐标系内。对于物体上的同一点，在不同摄像机坐标系内的 坐标互不相同。要从不同方向的深度图像中得到物体表面的完箍表达，首先需要 确定各个方向深度图像之间的变换关系，把所有的深度图像转化到以物体为中心 的同一个坐标系内，然后在此坐标系内融合从各个方向得到的深度图像，从而得 到物体表面的完熬造型。找到深度图像之间变换关系的过程叫作匹配 ( r e g i s t r a t i o n ) 。近年来，国际上已有大量的文献报道此方面的研究工作【l “”j i ”j 。 第p 4 章深度像的匹配 因此，匹配就是找到一个变换矩阵t ，利用此矩阵t 对一个深度图像做变换以后， 两个深度图像中对应物体表面上相同位置的点便会重叠在一起。 物体位置和方向的任意变化可认为是刚体变换，因为物体的移动只改变其位 置和方向，并不改变其形状和大小。因此，匹配也就是确定两个深度图像之间的 刚体变换。当摄像机从两个不同的角度得到物体的深度图像时，可把这两个深度 图像看作位于两个不同坐标系内的图像。物体上的某一点p 在两个坐标系内的坐 标分别是p 。= ( ，y l , z ，) 7 和p ：= ( x 2y ：，z ：) 。显然，两个坐标系之间的变换是刚 体运动，点p 在第一个视场中的坐标p ，可以通过旋转和平移变换到第二个视场 中的坐标p ，即有： p 2 = r p l + t 其中矩阵胄是3 x 3 的正交矩阵，代表旋转变换，且有： 纠 矢量t = ( f ，f ，t ；) 7 表示平移，或 者说t 是第一个坐标系原点在第二 个坐标系上的坐标，两个坐标系之间 一 的转换关系如图4 2 所示。 式( 4 1 ) 用于计算空间中同一个点 在不同坐标系中的坐标。当从两个不 图4 _ 2 两个坐标系之间的转换关系 ( 4 1 ) 同位置获取物体上同一点p 的深度值时，由于观察角度的不同，这一点在两个坐 标系中的坐标云和云也不相同。旋转第一个坐标系的坐标轴，使三个轴的方向 和第二个坐标系相应三个轴的方向相同；然后再将第一个坐标系的原点平移到第 二个坐标系的原点位置，在理想情况下，则p ，和p ：两点重合。 4 2i c p 算法一已有一种匹配方法 由于深度图像的匹配是深度图像合成、以至最终得到物体完整表达的必要前 提。近年来，国际上许多研究者已经在此方面进行了大量的研究工作。 一卜 = r 第叫章深度像的匹配 其中比较典型的工作是pj b e s l1 1 8 1 所提出的i c p 算法。此方法的具体过程如 下：假设要匹配的两个视图分别是p 和o ，p ，是视图p 中的采样点，q i 是视图 q 中和p i 相对应的点，所建立的目标函数是： e = d ，( 疋a ，g ，) ( 4 2 ) 其中d s 0 表示求解两个点之间的距离，瓦表示在第k 次迭代过程中的转换矩阵， 表示两个视图中对应点对的个数。q i 的求解过程如下： q f = m a t c h ( t k l p f ，a ) m j 耙 ( ) 表示求解两个视图中对应点对的函数。 ( 4 3 ) 通过最小化对应点之间的距离可得到两个视图之间的转换参数。在式( 4 2 ) 中同时存在着多个未知的关系：首先，两个视图之间的转换参数( 设为第一组) 不知道；再者，两个视图之间的对应顶点( 设为第二组) 也是未知的。因此，同 时确定这两组参数是不可能的。所采用的方法是假设第一组参数固定，求解第二 组参数；然后再假设第二组参数固定，求解第一组参数。重复此过程，直至得到 最后的转换参数。在初始给定的转换参数下，求解两个视图之间的对应顶点，根 据对应顶点集合求解两个视图之间的转换参数( 假定对应顶点是固定的) ，同时 求得对应顶点在新的转换参数之下的均方差，根据均方差来判断是否达到精确的 匹配；如果没有达到预定的要求，在新的转换参数下( 假定转换参数是固定的) ， 求解两个视图之间的对应顶点。重复此过程，直至所得到的均方差小于事先给定 的阈值，则得到两个视图之间的变换参数。 在i c p 方法中，有两个非常重要的问题：初值的选取和两个视图中对应顶点 的确定。初值的选取直接影响到最后的计算结果。如果所给初值不当，算法就会 形成局部最小化，造成迭代不能收敛到正确的结果。对应顶点的确定方法影响到 迭代方法的收敛速度，并且算法的大部分时间花费在寻找对应点上；而保证对应 点对的有效性则决定最后所得转换参数的精确程度，要对顶点进行细化匹配。 由于，我们用的是3 d o d s 数字化系统 3 u 对物体的深度像进行采集，可以交 互的可视化控制初值的选取，而顶点的细化匹配，我们利用四元数法1 2 ，将在 下一节中解释。 第四章深度像的匹配 4 3 利用单位四元数法细化匹配 两个深度图像之间的转换是刚体变换的结果，因此可进一步分解为旋转变换 和平移变换。旋转变换包含绕着三个坐标轴转动的角度，平移变换包含沿着三个 坐标轴移动的距离。此外，由于从不同方向得到深度图像时所引进的误差等原因， 两个深度图像存在着整体上的缩放。这样，两个深度图像之间共存在七个自由度， 两个深度图像上的三个采样点( 每个点有三个坐标) 即可决定它们之间的转换关 系。但在需要匹配的两个深度图像中，往往存在着许多处于重叠区域的采样点， 考虑用所有处于重叠区域内的采样点来计算两个深度图像之间的转换矩阵，可以 得到更糟确的结果。 4 3 1 单位四元数 _ +_ _ 四元数是四元矢量：q = q 。+ q ，i + q ，j + q ：k ，其中第一项为四元数的标量 ( 实) 部分，其余为矢量( 虚) 部分，利用四元数可方便的表示旋转。如果用单 位矢量”= i n ；，h ：】表示旋转轴，用o n 表示绕着旋转轴转动的角度，则四元数 中的各个分量可表示为【2 0 1 q o = c o s ( o 2 ) q ：= s i n ( o 2 ) n ， q y = s i n ( e 2 ) n y q ：= s i n ( o 2 ) n ： ( 4 4 ) 单位四元数是归一化的四元矢量，即满足g ：+ g ：+ g ：+ g ；= 1 。利用单位四 元数表示旋转就可以保证所对应的旋转矩阵是标准正交矩阵。用单位四元数表示 刚体变换的旋转矩阵为： r ( g ) = q 0 2 + 吼2 qv 2 q 2 2 2 ( q ，q ，+ g o q ：) 2 ( q ，q ：一q o q ，) 2 ( q ，q 。一q o q ：) q o qx + qv qz 2 ( q ：q ，+ g o q ，) 2 ( q ，q ：+ g o q ，) 2 ( q ：q ，一q o q ；) g o g ，一g ，+ g ： ( 4 5 ) 计算出单位四元数后，就可利用式( 4 5 ) 计算出旋转矩阵。 空间一点p = ( x ，y ，z ) 7 的四元数，表示实际上只有四元数的矢量部分( 虚部) 该矢量就是空间点p 的矢量表示： 第四章深度像的匹配 _ r = r = a - i + y ，+ z 女 ( 4 6 ) 设p 。由点p 通过矩阵r ( q ) 旋转得到： p 。= r ( q ) p ( 4 7 ) o 0 o 若，是点p 的四元数表示，那么旋转后点的四元数表示，j 可由四元数g 直接计 算得到： r = q r 旷 ( 4 8 ) _4斗 a 此处g + = q 。- q ，i - q ，j q ：k ，表示g 的共轭四元数。四元数乘法定义如下 r q = ( r o q o 一g 。一0 9 ，一g ：) 斗 + ( r o q ，+ g o + 0 9 ：一口y ) f 一 + ( r o q y 一g ：+ 0 9 0 + g 。) ， 一 + ( r o q ：+ g y 一0 9 ，+ 口o ) _ 】 ( 4 9 ) 深度图像之间的刚体变换可以很方便的用七个元素( 吼，g ，g ：，吼，q 。，q ；，9 6 ) 来 表示，前四个量是单位四元数，后三个量是相对平移量。若用r ( q ) 表示对应于 单位四元数的旋转矩阵，则深度图像之间的刚体变换表达式可表示为： _ 一 p 2 = r ( q ) p l + ( q 4 , 9 5 ，口6 ) 1 4 3 2 单位四元数和旋转角之间的关系 r 4 1 0 ) 物体的旋转变换可用绕着各个坐标轴转动的角度来表示，如果用a 、p 、7 分 别表示绕x 、y 、z 三个坐标轴转动的角度，则物体绕三个坐标轴转动的变换公式 分别是： 第四章深度像的匹配 r ，：。曼a 一。：“ l o s i n 口c 。s aj r ：愕泼1 r ，2 l 一。三：。兰卢j 耻瞄- 瞄s i n y y 0 0 1 l 00 1 j ( 4 1 1 ) r 4 1 2 ) f 4 1 3 ) 绕着各个坐标轴转动的角度所表达的旋转矩阵是上述三个式子相乘： r = r ：r ，r 。 c o s y c o s p s i n y c o s + c o s y s i n ，- s i n a s i n y s i n a + c o s ， s i n 卢c o $ t z i = ls i n y t c o s f lc o s y c o s a + s i n y s i n 卢s i n a c o s y - s i n a + s i n y s i n p c o s a ：l i s i n 卢c o s f l s i n a c o s f l c o f l d j 由于( 4 5 ) 式和( 4 1 4 ) 式中的旋转矩阵是等价的，矩阵中对应的元素也应 该相等，从而可得到： 利用( 4 1 5 ) 式，可得到绕三个坐标轴转动的角度( 单位用度表示) ： r 4 1 5 ) 口= 口s i n ( 2 ( q ：q ，+ g 。q 。) 0 一( 2 ( q ，q ：一q o q y ) ) 2 ) ) + 1 8 0 r e 卢= a s i n ( - 2 ( q ，q ：- q o q ，) ) 1 8 0 x ( 4 - 1 6 ) y = a s i n ( 2 ( q ，q 。+ g o q ：) “1 一( 2 ( g ，q ：一q o q ，) ) 2 ) ) 4 1 8 0 d r 从而，可以用单位四元数的四个分量表示绕坐标轴转动的角度。这样就避免 了直接利用角度计算所带来的数值不稳定性。 吼，以乱”珂一：刀撕哪撕 = 烈= 卢= 口| ；哆伽 p 葡p h 一 宝 卜 第凹章深度像的匹配 4 3 3 细化匹配 对于两个从不同位置得到的深度图像，当有较大的重叠区域时，则存在着大 量的对应点对( 在两个坐标系中，对应物体上同一点的坐标) 的集合 ( i ，蠢，) ，( 五：，p + 2 , ：) ( i 。，正。 匹配就是决定两个坐标系之间的刚体变换问题。在此刚体变换下，两个坐标 系中的对应点对重合。在刚体变换公式( 4 1 0 ) 中，共有1 2 个未知数，包括旋 转矩阵的9 个旋转参数和3 个平移参数，而每个对应点对可以提供三个等式，因 此，四个对应点对产生1 2 个方程就能解出1 2 个未知数。但常用的方法是使用所 有的对应点对来提高计算精度。下面就用四元数法来计算刚体变换。 在对应点对集合中，两个视图中点集的中心分别为： 云= 三静 用每一个点与中心相减得： 五= 告窆瓦 ( 4 1 7 ) + f = p l , i - - p ir 2 f = p 2 , 1 - - p 2 ( 4 1 8 ) 测量误差将导致两个深度图像中的对应点不能完全重合，但可以在最小方差 的意义上，通过求解旋转矩阵得到最佳的结果，其中旋转矩阵的求解对应下式的 极大值： _ ，f r ( q ) r 2 ，； ( 4 1 9 ) 上式中，r t ，f 、r 2 ，f 分别是矢量f 、r 2 ，f 的四元数表示，r 满f f ：r , ，= t f r 2 i = r 2 ，f 。 在四元数中，两个四元数的乘积可方便的表示为4 4 正交矩阵和一个四元矢量 的乘积，上面的( 4 1 9 ) 式可以表示为： 。6doo 口o _ 口 目 o 艺，f g ，2 ，；矿= 艺( r 2 ，g ) ( ，g ) = ( ：，i g ) 7 ( 1 ，。g ) = x q 7 n 2 , f r n l ，r q i = 1i m i = l 1 2 1 o n 。 。 n ， 4 。 = 9 7 ( 吆7 u ) g = 9 7 ( n a q = q 7 n q f 4 2 0 ) 第四章深度像的匹配 假设g 对应一个列向量，则使( 4 2 0 ) 式取得极大值的单位四元数对应于最 大正特征值的特征向量= ( g 。，q ，q ：，q ，) 。矩阵n 1 。和2 i 是由两个深度图像中 的采样点构成。假设： 4 4 。 呻 1 ，f = 1 ，= ( _ ，f ，y “，z l f )r 2 ，f = r 2 ，= ( x 2 ，f ，y 2 ，f ，z 2 ，) ( 4 2 1 ) 则此点对所对应的矩阵n 1 ，和2 ，分别为 1 ， n 2 f = 0 一x 1 ，f y i f z l ，fi x 1 ，f 0 毛f y ul y uz “ o x l 气fy u一 f o j 0 一x 2 f y 2