（应用数学专业论文）沪深300指数的分形分析及在股票价格预测中的应用.pdf

独创性声明 本人声明，所肇交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：熨哆l 日期：埘u l 堡 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：粒导师签名：毕日期：业二”3 武汉理工大学硕士学位论文 摘要 本文以分形理论为基础，从非线性的角度研究了我国股票市场的特征以及 价格运动过程中蕴含的一些规律，希望为投资者提供一些可借鉴的方法。本文 以沪深3 0 0 指数作为研究对象，运用r s 分析方法对它进行长记忆性检验，用 来考察我国股票市场的整体分形结构特征；并基于分形市场的短期可预测性特 点，运用付昱华等人的变换分形分布模型和本文改进的变换分形模型对中国石 化股票价格进行短期预测。 本文的创新之处是： ( 1 )利用r s 分析方法计算出我国沪深3 0 0 指数的h u r s t 指数： h = 0 5 9 ，0 5 h l 所以表明我国股票市场存在长记忆性，是一个非线性的分形市 场。 ( 2 ) 根据分形方法的短期可预测性，利用付昱华等人的变换分形模型预测 中国石化股票价格，选择某一时刻的变换作为参数，预测效果不是很好。误差 比较大。 ( 3 ) 对付昱华等人的变换分形模型加以改进，由于过去的股票价格对以后 的股票价格会产生一定的影响，以及存在一些偶然性，所以付昱华等人选择某 一时刻的维数作为参数，误差会比较大。我们就选择离预测时刻最近的一段时 刻作为分形参数。通过计算，我们发现改进的分形方法误差比较小，要优于变 换分形方法。 关键词：中国股市；分形理论；r s 分析：变换分形；分形预测 武汉理工大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h i sa r t i c l eb a s e so nt h ef f a c t a lt h e o r i e s ，s t u d i e st h ef e a t u r ea n dt h ep r i c em o v e r u l e sw h i c he x i s t e di no u rs t o c km a r k e t i ti s e x p e c t e dp r o v i d i n gs o m er e f e r e n c e m e t h o d sa n dt h ea p o c a l y p s ef o ru s e r s t h i sa r t i c l et a k e sh u s h e n 3 0 0a sar e s e a r c h s u b j e c t ，u s i n g r s a n a l y s i sm e t h o dt ot e s tl o n gm e m o r ys e x ，a n di n v e s tt h ew h o l e s t o c km a r k e tr e v i e wo ft h ef r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c s b a s i n go nt h es h o r t t e r mp r e d i c t a b l e s e x u a lo ff r a c t a lm e t h o d s ，w eu s et h et r a n s f o r mf r a c t a ld i s t r i b u t i o nm o d e lo ff u y u h u a sa n dt h ei m p r o v e dt r a n s f o r mf r a c t a ld i s t r i b u t i o nm o d e lo ft h i sa r t i c l et o f o r e c a s tt h ec h i n ap e t r o c h e m i c a ls t o c kp r i c e s ( 1 ) u s e r s a n a l y s i s m e t h o dt oc a l c u l a t et h eh u r s t i n d e x o f h u s h e n 3 0 0 ：h = o 5 9 ，0 5 h d i m ( a ) 的集合a ，称为分形集。其中，d i m ( a 1 为集合a 的h a u s d o f f 维数( 或分 维数) ，d i m ( a ) 为其拓扑维数。一般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分数。 ( 2 ) 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 依据b e n o i tm a n d e l b r o t 的对分形的定义，一个分形就为一个对象，它所含 的部分是以某种特殊的方式与整体相关的。自相似性是分形的最为典型特征。 如分形形状在空间方面显示出自相似性，而分形时间序列则在时间方面体现出 了自相似性。一般上严格来讲，分形形状是对称的分形，它是利用一个甚至几 个简单结构或规则不断地迭代，从而生成具有分形维的自相似物体，但是在现 实中这种情形还是很少见到，相对简单的有序迭代而言，随机分形却更为常见 一点。 j ，一一一：，一。 总的来说分形自相似性就是为任意局部与整体之间存在某种相似性，这是 分形的一个特征，分形具有两个典型的特征，另外一个就是具有长记忆性( 或 称长期相关性、状态持续性、长期依赖性) ，也即是过去的信息将对未来的信息 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 产生某种长期的影响或者制约。 在欧氏几何空间中，一般上几何体的维数都是为整数的，如点的维数为零、 线的维数为一、面是二维、体是三维的等等。但是，根据欧氏空间的定义平面 实际上应该是一个没有任何间隙的平滑的表面，一个三维物体就应该是一个纯 粹的立体形状物，也就是在整个表面上它是可微的，没有间隙或洞。根据这个 定义，现实生活中的一些现象就很难用欧式维来定义了。比如，常见的中空的 柜子，它既不是三维的，也不是二维的。 所以上述的现象使得我们要找到一种能够定义其维数的理论，于是就出现 了分形几何中，在这一理论中维数就不再是单一的整数。也即，在分形几何中 某一对象( 或物体) 的维数既可以是整数，也可以是分数的。这个时候这一维 数就被称为分形维。在分形几何中我们可以通过分形维( f r a e t a ld i m e n s i o n ) 来 描述一个物体的不规则、不光滑、和复杂的程度，定量地刻画与描述分形填满 空间的能力。所以说分形维在分形几何中占有非常重要的地位。 在分形几何中，一条直线的分形维是1 0 ，一个几何平面的分形维数为2 o ， 当然这与其欧几里德维数是相同的。但是，一个随机游动时间序列则可能具有 1 5 0 的分维数。这是因为根据直线的线形规模，一条线将会规模变化，此时它 的分形维仍就是1 o 。然而，对于随机游动时间序列它有5 0 的上升或下降的随 机游走的概率可能性的，因此，它的分形维就为1 5 0 。更为复杂的，假设某一 时间序列的分形维是在大于1 小于1 5 0 的，那么它的光滑程度就比随机游走好， 但是比一条直线粗糙一些( 它会具有更多的变化和转折点) 。分形维数是描述分 形特征的重要定量参数，这种从整数维向分数维拓展与过度，为复杂性现象的 理论研究提供与指明了一种新的研究方法和方向，也为其他进一步深入的研究 奠定了坚实的基础。 3 1 2 分形时间序列 在自然界中分形也是比较常见的现象，如松树、白云、大气结构等都是具 有分形的普遍自相似性特征，此外分形结构还具有较强的错容性，也即它能够 使系统在演绎或迭代的过程中，保持整体的确定性条件下，能够容纳和包容外 一部因素的随机性冲击，从而产生出创新个体与演绎多样性【l 7 1 。 一一一 相对于自然现象的复杂性，在证券市场里也是同样，股民或投资者常常并 不是一接受到市场信息就立刻做出买入或卖出等的决策，而是等着确认信息或 1 3 武汉理工大学硕士学位论文 等到趋势已非常明朗之时才会作出反应或决策，但这一行为模式有可能导致一 个有偏的随机游动，这种随机游动被称为分数布朗运动，也就是分形时间序列。 一般上大部分的经济与金融时间序列( 价格波动) 都是分形时间序列，而这些 分型时间序列都具有自相似性，显著的长记忆性，显然这也是分形的两个最为 基本的基本特征。 虽然分形时间序列是随机分形的，但它同样具有分形的两个典型特征，其 中的自相似性大多表现在不同时间标度上有类似的统计特性( 如同分布等) 。从 数学理论的角度来说，分形时间序列的这两方面的特征可以通过具体的指标来 检验，如分形维、h u r s t 指数、分形分布中的稳定指数以及长记忆模型中的分形 差分参数等。 3 1 3h u r s t 指数 英国水文学家赫斯特( h u r s t ) 在长期研究尼罗河水位的工作中提出的一种 统计量也即是h u r s t 指数，当时，赫斯特利用这一指标来检验“不可控制的水流 入量部分遵循随机游动的假设。经过后来研究者不断研究发现：这一统计量 能够运用到所有时间序列分析中，它有着广泛的用途，因为它能够很容易的地 标记出分形时间序列。 把h u r s t 指数划分为三个区域： ( 1 ) h = 0 5 0 ( 2 ) 0 h 0 5 ( 3 ) 0 5 h s l 0 这里h 就是表示h u r s t 指数，w - = 型处芋这三个不同的值域范围中就标志他 们是不同类型的时间序列。 ( 1 ) 当h 为0 5 0 时，就说明该时间序列之间是没有联系的，相互独立的、 随机的，如果会出双对数坐标图，我们会发现他们都是一个一个独立的点，这 就是说我们不能根据现在的信息来预测未来的信息。 ( 2 ) 当0 h 0 5 时，说明此时间序列是具有反持久性的。这种时间序列比 随机序列具有更强的突变性，且比随机序列更多的逆转，因此，它经常被称为 “期望回归 或者“均值复归 。我们绘出它的双对数坐标图，会发现它是一条 十分参差不齐的曲线，会出现很多的尖点和折点。一般上就是，假设系统在当 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 前是向上走的，而它在下一期间很大概率上会向下走。这种时间序列在现实生 活中是不常见的。 ( 3 ) 当0 5 h 1 0 时，说明此时问序列具有长记忆性，也就是我们所说的 分形时间序列。也即若该时间序列当前是向上( 下) 走了，那么它在下一个期 间大多会将维持当前的运动方向，当h 越靠近o 5 0 时，其趋势将越呈现出不确 定性，时间序列的曲线也将越良莠不齐。 3 1 4 分形维与h u r s t 指数的关系 一般情况下，一个时间序列的分形维数( d ) 与h u r s t 指数( h ) 存在着十 分密切的关系，我们可以通过下面的关系将其进行互相转换： d = 2 h 其中日即是前面提到的时间序列的h u r s t 指数，而d 则为时间序列的分形维 数。 3 2 分形分析方法 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美 籍数学家曼德布罗特( b b m a n d d b o r t ) 1 9 6 7 年首先提出的。经过四十多年的的发 展，分形理论的应用越来越广泛，其中之一是作为检验市场分形特征的分析的 方法。从最开始的尺s 分析，+ 进而到修正的尺s 分析，接着是y s 统计检验， 到现在的v s 检验方法。随着不断地分析研究，检验市场分形特征的分析的方 法得到不断地改进，这些改进是基于对现实的不断研究，对原有分析方法的不 断提高，不断地提高分析的科学性，使得我们研究的结果与实际更相符。在这 些方法中r s 分析和v s 方法都是采用对样本的时间序列的分析研究，得出其 h u r s t 指数，以h u r s t 指数来检验其分形特征。而修正r s 分析和y s 方法与其 原型不同，修正后的方法是通过比较统计量与临界值来得出分形特征的相关结 论。 本文检验市场分形特征所使用的方法为经典r s 分析方法。经典尺s 分析 的具体操作如下：分析我们需要的序列自身的特定特征值的累积离差序列，求 的其某特定方面的特征值，由此为基础，分析新坐标的统计量和每组元素个数，l 间的相互关系，以此关系来研究时间序列的h u r s t 指数，通过这些过程求出时间 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 序列分形特征。 我们研究某个时间序列的一个样本 五，x 2 ，以 ，该样本的期望与其方差分 别是： i 2 吉善毛 毛2 一己毛 刀百 霹2 去i = l ( 葺一瓦) 2 需要分析的序列的累积离差序列定义为： & = ( 薯一瓦) ，k = 1 ，2 ，以 3 2 1r s 分析 重标极差分析的r s 统计量为： ( 慨噜= 妻( 点i = 1 一矗i = i )s rs “ h u r s t 指出，z 值与时间序列的r s 值间是有一定的数学关系的，经过研究得 出其关系如下： ( 足s ) 。2 ( = 兰) 式中h 叫做h u r s t 指数。 l o g l o g 相关图是根据( r s ) 。与”值的相关关系绘制而成的，在运用基于最 小二乘的回归就能够求