（无线电物理专业论文）fdtd和tdie中几个关键问题研究.pdf

摘要 摘要 本文提出了一种用于色散介质f d t d 计算截断的通用各向异性完全匹配层 ( u n i a x i a lp e r f e c tm a t c hl a y e r , u p m l ) 吸收边界。然后，系统深入地研究了时域 积分方程方法( t u n ed o m a i ni n t e g r a le q a t i o n 。t d i e ) 计算金属目标电磁散射中的 若干关键问题。 以非色散介质的u p m l 吸收边界的理论为基础，考虑到常见色散介质模型相 对介电系数可用j6 0 为自变量的分式多项式表示的特点，应用移位算子时域有限 差分方法( s h i f t o p e r a t o rf i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，s o f d t d ) ，给出一种适 用于常见色散介质模型( 包括德拜模型、洛仑兹模型、德鲁模型等) 的通用色散 介质u p m l 吸收边界。本文通用吸收边界用于一维、二维和三维情形截断真空、 绝缘介质和各种色散介质的算例，以及与c p m l 吸收边界吸收性能的比较表明本 文吸收边界的良好的通用性和吸收效果。 给出一种节省计算内存的u p m l 实现方案。分析了u p m l 吸收边界的特点， 通过将吸收边界相关三维数组用若干个二维数组代替的方法，减少计算所需的内 存。将本文方法用于地下探测等复杂问题的处理。 对时域积分方程( t d i e ) 方法求解直导线和弯曲导线表面电流时的一些细节 问题做了详尽的阐述。讨论二维情形的电场积分方程的矩量法求解问题。分两种 情形：( 1 ) t m 情形。时域电场积分方程的求解采用矢量势的1 阶和o 阶导数方 案，无须用到标量势；( 2 ) t e 情形。时域电场积分方程的求解采用矢量势的2 阶导数方案。在阻抗矩阵和标量势的计算中非自身单元采用近似方法得到，自身 单元的计算须通过应用精确积分公式计算。 三维理想导体情形下，结合三角面片建模中r w g 基函数的特点，给出三维 导体t d i e 方法的m o m 数值方法求解的详细过程。阻抗系数矩阵和标量势中非 奇异积分采用近似方法，奇异积分采用对三角面片积分转化为三边环路积分的精 确积分方法计算。文中给出了三维导体的表面电流密度及远区散射场的数值结果， 与文献结果吻合。 关键词：时域有限差分法时域积分方法通用吸收边界色散介质移位算子 法矩量法 a b s t r a c t 3 a b s t r ac t i nt h i sp a p e r , ag e n e r a lf d t d a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o nb a s e do nu n i a x i a l p e r f e c tm a t c hl a y e r ( u p m l ) f o rd i s p e r s i v em e d i u mm o d e l sw a s p r o p o s e d t h e n ，t h e k e yp r o b l e m so ft i m ed o m a i n i n t e g r a le q u a t i o n ( t d i e ) m e t h o di ss t u d i e d s y s t e m a t i c a l l ya n dd e e p l y t h ee l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n g so fm e t a lt a r g e t s a r e c o m p u t e db yt d i e b a s e do nt h et h e o r yo fu p m l a b s o r b i n gb o u n d a r yf o rn o n - d i s p e r s i v em e d i u m ， t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ec h a r a c t e r i s t i ct h a tr e l a t i v ep e r m i t t i v i t yo fc o m m o nd i s p e r s i v e m e d i am o d e lc a nb ee x p r e s s e db yf r a c t i o n a lp o l y n o m i a l s o f j o d a n dc o m b i n gw i t ht h e s h i f to p e r a t o rf i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( s o f d t d ) m e t h o d a l lf d t d a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o na v a i l a b l ef o rt h r e ek i n d so fg e n e r a ld i s p e r s i v em e d i u m m o d e l s ，i e d e b y em o d e l ，l o r e n t zm o d e la n dd r u d em o d e l ，i sg i v e n n u m e r i c a lr e s u l t s o fo n e 。，t w o 。a n dt h r e e d i m e n s i o n a le x a m p l e st h a tt h i sg e n e r a la b s o r b i n gb o u n d a r y t r u n c a t e dv a c u u m ，d i e l e c t r i c ，a n dav a r i e t yo fd i s p e r s i o nm e d i aa r ep r e s e n t e d i n a d d i t i o n ，t h ea b s o r b i n ge f f e c t i v e n e s so fo u rm e t h o da n dc p m la b s o r b i n gb o u n d a r y c o n d i t i o na r ec o m p a r e d t h en u m e r i c a lr e s u l t si l l u s t r a t et h eg e n e r a l i t ya n dt h eh i g h e f f e c t i v e n e s so f p r e s e n t e ds c h e m e a ni m p l e m e n t a t i o n , w h i c hc a ns a v et h ec o m p u t e rm e m o r yo fu p m l ，i sg i v e n t h ec h a r a c t e r i s t i c so fu p m l a b s o r b i n gb o u n d a r ya r ea n a l y z e d a n dt h em e t h o do f s u b s t i t u t et h r e e - d i m e n s i o n a l a r r a y s ，w h i c hu s e di nu p m lc o m p u t a t i o n ，f o r t w o - d i m e n s i o n a la r r a y sr e d u c e st h en e e do fc o m p u t e rm e m o r y a tl a s t ，t h i sm e t h o di s u s e dt od e a lw i t hc o m p l e x p r o b l e m ss u c ha sc o m p u t i n gt h es c a t t e r i n go ft h e u n d e r g r o u n do b j e c t s t h ed e t a i l so fc o m p u t a t i o ns u r f a c ec u r r e n to fs t r a i g h tw i r ea n db e n dw i r eb y t i m e d o m a i ni n t e g r a l e q u a t i o n ( t d i e ) m e t h o da r ee l a b o r a t e d t h es o l u t i o no ft h e e l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n 、析t hm o m e n tm e t h o di nt w o d i m e n s i o n a lc a s ei s d i s c u s s e d i tc a l lb es e p a r a t e di n t ot w oc a s e s ：( 1 ) t mc a s e t i m e d o m a i ne l e c t r i cf i e l d i n t e g r a le q u a t i o ni ss o l v e db yv e c t o rp o t e n t i a lo f1o r d e rs c h e m eo r0 - o r d e rd e r i v a t i v e s c h e m e t h es c a l a rp o t e n t i a ld i d n th a v et ob eu s e di nt h i sc a s e ( 2 ) t ec a s e t h e t i m e - d o m a i ne l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o ni ss o l v e db yv e c t o rp o t e n t i a lo ft w oo r d e r d e r i v a t i v es c h e m e t h en o n s e l fe l e m e n t so ft h ei m p e d a n c em a t r i xa n ds c a l a rp o t e n t i a l i sc o m p u t e db ya p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，w h i l et h es e l fe l e m e n t s o ft h ei m p e d a n c e 4 f d t d 和 i d l e 中几个关键问题研究 m a t r i xa n ds c a l a rp o t e n t i a li sc o m p u t e db ye x a c ti n t e g r a lf o r m u l a c o m b i n i n g w i t l lt h ec h a r a c t e r i s t i c so fr w gb a s i sf u n c t i o n si nt r i a n g u l a rp a t c h m o d e l i n g ，t h ed e t a i l e dp r o c e s so fu s i n gm o m n u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et d i eo f t h r e e - d i m e n s i o n a lp e co b j e c t si s g i v e n n o n s i n g u l a ri n t e g r a lo fr e s i s t a n c e c o e f f i c i e n tm a t r i xa n ds c a l a rp o t e n t i a la r ec o m p u t e db ya p p r o x i m a t i o nm e t h o d a n dt h es i n g u l a ri n t e g r a l sa r ec o m p u t e db yt h ep r e c i s ei n t e g r a t i o nm e t h o do f c o n v e r t i n gi n t e g r a lo ft r i a n g u l a rf a c e t s i n t ot r i l a t e r a ll o o pi n t e g r a l t h es u r f a c e c u r r e n td e n s i t ya n df a r - z o n es c a t t e r e df i e l do ft h r e e d i m e n s i o n a lp e co b j e c t so f o u rm e t h o da r eg o o da g r e e i n gw i t hr e s u l t so ft h el i t e r a t u r e k e yw o r d s ：f d t d ，t d i e ，g e n e r a la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ，d i s p e r s i v em e d i a , s h i f to p e r a t o rm e t h o d ，m o m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：。左! b 垂 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位仍然为 西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保 存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期丝之! i 。竺 e t 期趔! ：至! ： 第一章绪论 第一章绪论 【提要】本章对本论文的研究背景和意义进行了综述，对时域有限差分( f d t d ) 方法中吸收边界问题和时域积分( t d 正) 方法的研究现状及概况进行了回顾，简要 介绍了作者的研究工作和主要贡献。 1 1 研究背景及意义 计算电磁学的时域数值方法包括时域有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i n ，f d t d ) 、时域积分方程法( t i m ed o m a i ni n t e g r a le q a t i o n ，t d i e ) 和时域 有限元方法( t i m ed o m a i nf i n t ee l e m e n tm e t h o d ，n ) f e m ) 等。时域有限差分方法 是y e e 【l 】提出的求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法，可用于处理复杂目标和非 均匀介质物体的电磁散射、辐射问题。为了在有限计算区域模拟无界空间中的电 磁问题，必须在计算区域的截断边界上设置吸收边界条件，而吸收边界条件的处 理也相对复杂，是f d t d 研究的关键问题之一。与f d t d 相比，t d i e 理论公式要 复杂一些，但是由于采用表面离散，所以未知量要少得多，而且边界条件是自动 满足的，没有吸收边界条件处理等问题。文献【2 】首次将t d i e 应用到计算电磁学 领域，但是受到计算方法和计算机性能的限制，直到2 0 世纪9 0 年代，t d i e 才获 得较大的进展【3 - - i 7 。 由于计算机容量的限制，时域有限差分方法模拟电磁问题只能在有限区域进 行。为了能模拟开域的电磁散射过程，在计算域的截断边界处必须给出吸收边界 条件。自从f d t d 方法产生以来，对于吸收边界的研究一直是热点问题之一【8 h 1 3 】。 吸收边界从最初开始的插值边界，到后来广泛采用的m u r 吸收边界1 9 ，以至于上 世纪9 0 年代发展起来的完全匹配层吸收边界【l l 】【1 2 1 ，其吸收效果越来越好。近年来， 人们对f d t d 方法应用于色散介质进行了大量的研究。目前，f d t d 中适用于截 断色散介质的最为常用和有效的吸收边界为卷积完全匹配层( c o n v o l u t i o n a lp e r f e c t m a t c hl a y e r ，c p m l ) 吸收边界【1 3 】。 c p m l 的设置和处理与计算域内同吸收边界相邻的色散介质类型有关。若与吸 收边界相邻的介质为单极点德拜介质，则c p m l 区域内安培定律的工方向分量的 表达式为【l 训 即。鲁+ g s e x + = 怯等一吉鲁 + ( 等吒拳警) m z ， 对于其他色散介质模型，例如洛仑兹模型、德鲁模型等，方程( 1 1 ) 的右端保持形 2 f d t d 和t d l e 中几个关键问题研究 式不变，而左端随着介质类型的变化而变化。这一特性使得c p m l 在处理不同类 型的色散介质时需要编制不同的程序，算法和程序的通用性差。 文献【1 5 】中魏等人给出了一种适用于各种常见色散介质模型的通用时域计算方 法一一移位算子时域有限差分方法( s h i f t - o p e r a t o rf i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ， s o f d t d ) 0 6 1 。本文给出建立在各向异性完全匹配层【l4 】( u n i a x i a lp e r f e c tm a t c h l a y e r , u p m l ) 吸收边界的基础之上适应于s o f d t d 计算的通用吸收边界。本文 的通用u p m l 吸收边界不仅可用于截断常见色散介质模型，包括德拜模型、洛仑 兹模型、德鲁模型等，还可以用于截断非色散介质，如自由空间和绝缘介质，程 序具有良好的通用性。为处理半空间等有多种介质的复杂计算空间提供了一种普 适的吸收边界，更易于工程化实现。 时域积分方程法是近年来发展较快的时域数值分析方法之一。该方法在一定程 度综合了时域有限差分方法和矩量法( m e t h o do fm o m e m ，m o m ) 的优点：时域 步进求解，无需设置吸收边界条件，离散单元在导体表面，计算精确度高；结合 傅立叶变换，能一次计算宽频带响应，计算效率高。 时域积分方程法中可以处理电场积分方程也可以处理磁场积分方程，本论文 讨论电场积分方程的求解。时域电场积分方程的求解一般采用时域矩量法，通过 展开函数( 基函数) 及试验函数( 权函数) 的构造，求得散射体上电流的分布， 进而求解散射体( 辐射体) 的散射( 辐射) 特性。目标瞬态散射特性的计算可以 采用直接时域的方法，也可以应用频域积分方程法。频域方法结合快速傅立叶f f t 技术变换也可以得到时域响应，但所需计算量大，也难以处理近场问题。通常， 时域积分方程的求解基于时间步进技术( m a r c h i n g o n i n t i m em e t h o d ，m o t ) ， 其优点是思想简单，容易数值实现。r a osm 【7 】系统地介绍了t d i e 方法；d o d s o n sj 掣r 7 】用改进的t d i e 方法计算目标的散射问题；p o c o c kmd 等【1 8 】利用三维t d i e 方法计算三维物体的瞬态散射；r a y m o n da 掣1 9 】运用外推法结合t d i e 方法计算 目标的散射。 时域方法的优点主要有以下几点：第一，时域算法更适合具有大瞬时带宽的宽 带信号的研究；第二，时域算法可以更为直观的理解场的传播与相互作用；第三， 时域算法可以更为方便直接的处理非线性媒质和时变媒质的散射问题和辐射问 题；第四，在时域测量、计算机模拟中可以采用时间窗方便地消除不必要的反射 波的影响或者用于电大尺寸目标的模拟；第五，采用时域模拟方法求解目标的固 有谐振频率更为直接，便于目标识别研究。由于计算机的应用，时域电磁过程的 实验和模拟分析也得到迅速发展。时域电磁学已成为一个重要的研究领域，时域 电磁场计算方法已是计算电磁学的一个重要分支。在电磁波在科学、工程技术和 日常生活中已经得到广泛应用。对于目标探测、电磁兼容等方面有重要作用，与 其它方法相比，更适合宽带信号的计算，并且更加直观。文中时谐因子取e x p ( 础) 。 第一章绪论 1 2 本文的主要研究工作及内容安排 本论文主要研究电磁学时域计算方法f d t d 和t d i e 中几个关键问题的处理， 内容分为两个部分。第一部分给出了一种色散介质f d t d 的通用u p m l 吸收边界， 并分析其吸收效果，进行了改进和应用；第二部分详细介绍了t d i e 中一维、二维 和三维金属目标表面电流的m o m 数值求解过程。本论文各章的内容安排如下： 第一章为绪论，主要介绍本论文的研究背景及意义。针对本文研究课题，简 单回顾了时域计算方法、f d t d 吸收边界和时域积分方法国内外的研究现状和进 展，分析了现有吸收边界用于色散介质计算的不足和时域计算方法的优点。介绍 了本文的研究内容和作者的主要工作。 第二章详细介绍了色散介质u p m l 通用吸收边界的理论推导过程和f d t d 的 实现方法。基于移算子时域有限差分方法，给出建立在各向异性完全匹配层吸收 边界的基础之上适应于s o f d t d 计算的通用吸收边界。 第三章分析通用u p m l 吸收边界用于截断真空、绝缘介质和d e b y e 、l o r e n t z 和 d r u d e 模型色散介质的吸收效果，与c p m l 吸收边界进行了对比，并给出了计算 区域存在多种色散介质的吸收效果分析，证明本文通用u p m l 吸收边界的正确性、 通用性和良好的吸收效果。 第四章提出了一种通用u p m l 吸收边界节省内存的方案，介绍了通用u p m l 吸收边界在半空间和探地问题中的应用。 第五章在细导线散射微分一积分方程及其推迟势公式基础上详细介绍了应用 矩量法求解直导线和弯曲导线表面电流的过程。推导出了阻抗矩阵和标量势中奇 异积分的精确积分公式，并对求解过程中的一些细节问题做了详尽的阐述。 第六章讨论了二维情形时域积分方程求解问题的详细解决方案。给出的数值 计算结果与文献结果一致。 第七章介绍了三维情形下理想导体t d i e 微分积分方程的求解。分析了r w g 基函数的特点。详细介绍了三维导体的m o m 数值方法求解过程，给出阻抗系数 矩阵和标量势中非奇异积分的近似方法和奇异积分的精确积分计算方法。并计算 了三维导体的远区散射场，数值结果表明本章理论分析的正确性。 4 f d t d 和t d i e 中几个关键问题研究 第二章色散介质u p m l 通用吸收边界理论公式 【提要】首先简要介绍了非色散介质的u p m l 吸收边界基本理论，然后，结合常见 色散介质相对介电常数可用蛔为自变量的分式多项式表示的特点，应用移算子时 域有限差分方法，给出了一种建立在各向异性完全匹配层吸收边界的基础之上，适 用于常见色散介质模型，包括德拜模型、洛仑兹模型、德鲁模型等的通用色散介质 u p m l 吸收边界。详细介绍了色散介质u p m l 通用吸收边界的理论推导过程和 f d t d 的实现方法。 本章在各向异性完全匹配层【1 5 1 吸收边界的基础之上，结合色散介质通用计算方 法一一移位算子时域有限差分方法，给出一种适用于常见色散介质模型( 包括德 拜模型、洛仑兹模型、德鲁模型等) 的通用u p m l 吸收边界。 2 1 非色散介质的u p m l 吸收边界简介 s a c k s ( 1 9 9 5 年) 和g e d n e y ( 1 9 9 6 年) 提出各向异性介质p m l 理论并应用于 f d t d 区域的吸收边界【1 1 】【1 2 】。各向异性介质p m l 在f d t d 计算中常用作高有耗介 质或有倏逝波时的吸收边界。 2 1 1 平面波入射到单轴介质时的反射和透射波 i = 口0 兰0 。 ，盂i = c 0 兰。0 c2200b00 d ， = l 口 l ，如= i c l ( 2 。) l 其晶轴平行于z 轴。可以证明对于单轴介质情况可以区分为t m 旧y 0 ，e y = o j 和 t e 忙，0 ，h ，= o ) 波。设t m 平面波入射到界面，入射面为x o g ，如图2 1 ，则 豆= 飒e x p ( 一厦尹) = 讽e x p - j ( k = x + 吒z ) ( 2 - 3 ) 第二章色散介质u p m l 通用吸收边界理论公式 5 z = e o f r 8p o p rp 毋透铽 ，0 _ ， ， w “似i ；，t 二 反射 图2 1 平面波入射到单轴介质表面 在z 0 区域，各向异性介质中的麦克斯韦方程为 v 雷：一譬：一扣云：一脚。瓦詹 巴 。 一p ( 2 6 ) v 厅：等：如西：j e e 。i 豆ta 。l p 其平面波解为 雹，o c e x p ( - 无式( 2 - 7 ) 其中乏为透射波矢量。对于平面波，( 2 6 ) 式中算子v 可作如下替换： 可j j k t 于是，( 2 6 ) 式变为 一一= 一 毛x e = 掣l 如h 一一= 一 屯xh = 喇s l s p e 由上式并利用公式孑( 厅云) = ( 石a ) 石，( 云舌) 孑= 厅( 方石) 可得 一= 一i ，一一、= 一 毛x 占p ( 毛日) + 七2 ，h = 0 一= = 一i ，一、 = 一 毛x 肛p 【毛e ) + 七2 9 p e = 0 ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 6 里里塑里堡生些全茎壁塑墼堕窒一 _ - _ - _ _ - _ _ - 一一 式中k 2 ：“q ，根据相位匹配原理，波矢量在界面的切向分量为连续，因而有 畏t = 囊k 。+ 乏k 。 q - 1 1 ) 其中k 为入射波矢量的x 分量。( 2 1 0 ) 式中的第一式可写为矩阵形式，即 f - k 2 c 一口卅砭0 a - l k 扭k 0 以i 1 0 k 2 c 一口一七：一b - i 08 日yi = o ( 2 - 1 2 ) lk 咖q 0 d k 2 一口一k 三j l m ：j 欲使上式有非零解，其系数行列式应当等于零，由此可得 k 2 c 一砭口一碟矿= 0h y 0 ，e y = 0 ( 2 - 1 3 ) 同样，由( 2 1 0 ) 式第二式可得 k 2 a 一七：c 一碟d = 0e y 手o ，日y = 0 ( 2 - 1 4 ) 对于t m 波，透射波磁场为 豆：= 夕儡。e x p - j ( k 地x + k z ) 】 式中f 为透射系数。由( 2 9 ) 式得透射波电场为 豆= 毒乳j j i ：覆) 霉：f 1 专t 耋1 ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) 最= 杀 1 之1 耋， 芝 f 风e 坤c 一，c k x + k z 刈 。2 ，8 ， ：上( 圾口一6 1 ) h oe x p e - j ( k , , , x + k t ：z ) & 、 根据边界条件，在z = 0 界面有 h l j ，= h 2 y ，e l ，= e 2 j 将( 2 4 ) 、( 2 t 3 ) 、( 2 1 8 ) 式代入上式得 l + r = f 七垃( 1 一r ) = k 口- 1 f 可解得反射系数为 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 第二章色散介质u p m l 通用吸收边界理论公式 7 透射系数为 其中k 垃= k ，c o s o ，。由( 2 - 1 3 ) 式可得 k 垃= 石肛可 = 石归i 瓦丽 2 1 2 无反射条件 由( 2 2 1 ) 式可见，反射系数f = 0 的条件是 吒= k 口- 1 将此条件代入( 2 1 3 ) 式，得 k 2 c k 2 a k 2 b = 0 或 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) k 2 c a 一k 2c o s 20 f k 2s i n 20 ，b - l a = 0 ( 2 - 2 6 ) 欲使上式对任何9 ，成立，要求 6 = 口 t m 波 c = 口 对于t e 波，同样( 对偶性) 可得r = 0 的条件为 d = c t e 波 口= c 合并( 2 2 7 ) 与( 2 2 8 ) 式我们得到无反射( r = 0 ) 条件为 1l 口= c = 一= 一 bd 亦即单轴介质相对本构参数( 2 2 ) 式变为 口00 i = 瓦= 1 0 口ol 1 00 0 j 根据入射波一侧介质情况，g e d n e y 给出上式中a 的两种选择【1 2 1 口：1 + 旦 入射波一侧为无耗介质 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 3 1 ) 一 一一 一 一以 k k l 二+ 七| 七 一姚 魄一一 8 f d t d 和t d i e 中几个关键问题研究 或 口= ，c + 入射波一侧为有耗介质 ( 2 3 2 ) j 雠。 显然，( 2 - 3 1 ) 式可以看作( 2 - 3 2 ) 式的特殊情形。下面讨论入射波一侧为无耗介质情 况。将( 2 31 ) 式代入( 2 2 4 ) 式得 k 却= 屯( + 去卜一云砭 p 3 3 ， 将( 2 3 3 ) 式代x , ( 2 1 5 ) 式得 百2 = 夕讲。e x p ( - a ：2 ) o x p - j ( k 。x + k z ) 】( 2 3 4 ) 其中 a ：旦ka ：2 雠0 ( 2 3 4 ) 式表明若满足匹配条件( 2 3 0 ) 式，且参数a 按照( 2 3 1 ) 式选取，则不仅反射系 数为零，同时透射波的传播方向和入射波方向完全一致，即沿入射波方向直线前 进；且进入各向异性介质层后透射波将以指数衰减。所以满足无反射条件( 2 2 9 ) 式 的介质又称为完全匹配层( p m l ) 。 为了便于进一步分析，将( 2 一1 ) 和( 2 3 0 ) 式改写为 k00 s 一0 s 。z5 0j 2 - 3 5 o s 其中s ：= 口。以上矩阵称为匹配矩阵。于是，完全匹配层的本构参数可以表示为入射 波一侧介质的本构参数乘以匹配矩阵，即 2 = s ls zp 2 = p is z( 2 3 6 ) 耻 若u p m l 表面垂直于x 轴，则 ( 2 - 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) 第二章色散介质u p m l 通用吸收边界理论公式 9 及 2 1 3 棱边和角顶区 s y s r = l0 1 0 l 0 0 o l 0 s y l ( 2 - - 4 0 ) 在f d t d 区中u p m l 设置在截断边界附近，二维情况如图2 - 2 。这时有4 个平 面u p m l 区和4 个棱边区。三维情况如图2 - 3 ，这时有6 个平面u p m l 区，1 2 个 棱边区和8 个角顶区。在图2 2 所示二维情况的棱边区，出现从一种单轴介质到另 一种单轴介质的两种单轴介质的交界面，如图中a b 和a c 边。理论上可以从边界条 件出发讨论两种单轴介质界面的无反射条件。这里，应用匹配矩阵概念来简化讨论。 ：u 图2 - 2u p m l 的平面区和棱边区 ，i ， 一 ( a ) 整体图( b ) 角顶区的放大 图2 3 三维u p m l 的平面区，棱边区和角顶区 图2 - 4 表示图2 - 2 中两种u p m l 介质交界面，其中( a ) 是从各向同性介质到 u p m l ，表示电磁波从介质g 。，j l l 。) 入射到单轴介质( ：，p 2 ) ，且界面垂直于y 轴情况。 如前所述，无反射条件在形式上表现为透射波一侧u p m l 的介质参数等于入射波一 1 0 f d t d 和t d i e 中几个关键问题研究 侧介质参数乘以匹配矩阵s ，即( 2 3 9 ) 式。考虑图2 2 左下方棱边区，该棱边区中 垂直于x 轴的u p m l 界面a b ，将其重绘如图2 - 4 ( b ) 表示是从一种u p m l 到另一 种u p m l 。这时，该棱边区外侧的u p m l 参数已确定为qs ，和“s ，；将其作为入 射波- - f 贝u 介质参数。由于两种u p m l 介质界面a b 垂直于x 轴，其匹配矩阵为s ， 因此棱边区中的u p m l 参数等于s 。s y s r 和“s y s r 。同样，对于图2 2 左下方棱 边区中垂直于y 轴的u p m l 界面a c ，将其上侧u p m l 参数。s r 和“s r 乘以匹配矩 阵s 】，以后，可得棱边区的u p m l 参数为s l s x s 】r 和l s j s y 。注意至l j ( 2 3 8 ) 和( 2 - 4 0 ) 式所示sy 和s ，为对角矩阵，故 s r s y = s y s r( 2 4 1 ) y h = 4 s r ，2 = 毛s y 、 i k 毛玲 、 ，瓯，q s y v 、 歹 沁焱玲 ( a ) 从各向同性介质到u p m l( b ) 从一种u p m l 到另一种u p m l 图2 - 4 图2 2 中两种u p m l 介质交界面 因而可将棱边区的u p m l 参数重写为 矗蝴= s 1 s s yp “脚= p l s x s ， ( 2 - 4 2 ) 对于图2 3 ( a ) 所示三维情况，共有1 2 个棱边区，分为三种情形，除( 2 4 2 ) 式 适用于棱边平行于z 轴情形外，另外两种棱边的u p m l 参数为 嘛陀= s ls y s zp 。咖眩= p ls l ，s z 棱边舭轴 l g e d g e z ) ( = s l s z s zi i 嘶倒= “s z s j 棱j 2 1 y 轴 ( 2 - 4 3 ) 三维情况中三个棱边相交又形成8 个角顶区。将上述( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 式分别乘以匹 配矩阵s z 、s r 、s ，后，可得图2 - 3 ( b ) 所示角顶区的u p m l 参数为 第二章色散介质u p m l 通用吸收边界理论公式 1 1 渊= 9 1s x s y s z2s l i 伽= “ls x s y s z = j l l l 丝00 s x 0 s x s = 0 s y oo 盟 s z s r s ：00 s x 0 s x s ：0 s y o0 盟 s ： ( 2 - 4 4 ) 从( 2 4 4 ) 式也可过渡至l j ( 2 - 4 2 h 2 - 4 3 ) 式。例如设s ：= l ，便有s z = i ，因而( 2 4 4 ) 式过渡 为( 2 - 4 2 ) 式。严格地说( 2 4 4 ) 式已不再是单轴介质，但仍具有对角矩阵形式。 2 1 4 三维u p m l 的时域公式：绝缘介质- - u p m l 情形 实际应用中，在u p m l 吸收层的另一侧介质q ，“可以是绝缘介质，也可以是 导体或色散介质，如图2 5 ( a ) 绝缘介质，( b ) 金属，( c ) 色散介质所示。对于这 几类介质，u p m l 参数均可取以下形式： & 毯+ 墨s ，：k ，+ 三：( z + 兰 ( 2 4 5 )& 2j c j + _ l s y2k y + _ 上 2+ _ = = 一 ( 2 j 伽oj 0 3 匹 0j 哦。 以下推导是对于角顶区u p m l 的一般情况，适当简化后可用于棱边区或平面区边界。 u p m l ， u p m lu p m l 碰么以么锉么 绝缘介质金属色散介质 ( a ) 绝缘介质( b ) 金属( c ) 色散介质 图2 5u p m l 另一侧各向同性介质的几种情况 各向异性介质麦克斯韦旋度方程( 无源) 在时谐场情形为 v 12 j 盼e 一( 2 - 4 6 ) v e = 一j o l t h 将( 2 4 4 ) 式代x ( 2 - 4 6 ) 式第一式得 1 2 f d t d 和t d i e 中几个关键问题研究 o h ，a h 。 - - - - - - - - - - ：一- - _ - - - - - 二- t ，vo z 8 h 。a h - - j ：一- o zc 9 c o i l yo h x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 cxv 2 j 嬲l s y sz s l 0 0 0 s x sz s y 0 e bi ( 2 4 7 ) e j 上式中s x 、s y 、s ：取值如( 2 4 5 ) 式所示。为了便于得到时间推进式，引入中间变量西， 令 q = i s ze ， q 2 s i s x b ， 见2 岛i s ye ( 2 - 4 8 ) s x s vs z 于是， ( 2 4 7 ) 式变为 应用频域到时域算子关系 o h za l l y 挑a z o h xo h z a z瓠 o i l yo h x 苏 砂 = j , o 0 s z 000s 心 = i1 | d ，i i，ld ，i j o y ( o , ) - , a f 讲o ) 将( 2 - 4 5 ) 和( 2 - 5 0 ) 式代入( 2 - 4 9 ) 式得 o h ， o h y 却 a z o h x o h ， 瑟反 o i l yo h x 苏加 上式的x 分量为 等一警1 孕o t + 詈皿 _ 一2 k y + 二坫 o v o z h ( 2 4 9 ) ( 2 - 5 0 ) 溜刳p 5 ， ( 2 - 5 2 ) 其它y 和z 分量公式可通过x ，y ，z 的循环替代得到。上式在形式上与通常麦克斯韦 ；b - 程直角分量形式相同，便于f d t d 离散，构成从豆j 西的时间推进计算。 将( 2 - 4 5 ) 代入( 2 4 8 ) 第一式得 卜孟卜小+ 去卜 p 5 3 ， 1000000lrj o o 盟毛 ，一 + 1j 厉仇厉 丌i i i i i 儿 o k 0 k 0 b o 0 a 一西 第二章色散介质u p m l 通用吸收边界理论公式 1 3 即 j c o t cx d x + 警d 。= i s fz e 。+ 丑o ? e l s o s o “ 应用( 2 5 0 ) 式，上式的时域形式为 k ，警+ 詈皿书k ：鲁+ e ( 2 5 4 ) ( 2 - 5 5 ) 这是一个一阶微分方程。y 和z 分量公式可通过x ，y ，z 的循环替代得到。由上式 可构成从西一舌的时间推进计算。上述( 2 5 2 ) 和( 2 5 5 ) 式给出疗专西寸云的时间推进 公式。 将( 2 4 2 ) 代入( 2 4 6 ) 第二式得 a e ，8 ev c 、y d z 8 e ，o f ， 瑟o x o e yo e x 叙 砂 2 一j 掣1 s三ys：样0 0 p 卿 上式中s ，、j y 、s ：取值如( 2 4 5 ) 式。参照( 2 4 6 ) 式引入中间变量雪 色2 i s g 以岛2 “詈q垦2 地i s y 也 ( 2 - 5 7 ) 于是( 2 5 6 ) 式变为 8 e ，8 e 。 c y 宓 8 e ，o e - - - - - - - ：- 一- - - - ：二 d 2o x o e ya e x o x 钟 叫国圄 应用( 2 4 8 ) 及( 2 - 4 3 ) 式，得到上式的时域形式为 其x 分量为 o e 8 e 。 ：一： 钟d z 8 e ，0 e = 一： 0 z0 x