（概率论与数理统计专业论文）个体风险模型的复合泊松近似.pdf

摘要 在保险精算实务中，经常要考虑在一定时期内某一保险组合的所有保单的索赔情况 对某一保险组合的n 份保单，记其未来的索赔量分别为焉，局，x 。且具有如下的表 达形式： 耻 孑喜甾 其中f ，j 1 为一列独立的贝努里随机变量序列，l i = 1 表示第i 份保单至少发生一 次理赔f k ， 1 为一列独立的严格取正值的随机变量，并且两列随机变量之闯也相 互独立个体总理赔额为s = ：，托对上述个体风险模型，我们感兴趣的是总理赔额 的累积分布函数b ，或者其停止损失保费7 r s ( d ) = e m a x ( s d ，o ) ) ，d 0 ，或者其在 险值i i a r 。= 巧1 ( 口) ，o t ( 0 ，1 ) 但是当l q 的值较大时，要计算这些数值会变得非常困 难常用的处理方法是对上述个体风险模型用复合泊松分布来逼近，即构造复合泊松随 机变量t = 竺1 k ，其中n p o i s s o n ( a ) ，a 为参数， k ，2 l 为独立同分布的取正值 的且与n 独立的随机变量序列由此我们就可以通过复合泊松分布在计算上的优越特性 来简化计算。目前人们做了大量的研究工作，去寻找能较好的拟合个体风险模型的复合 泊松模型。 本文具体讨论了在风险独立的情况下，使用不同的方法对个体风险模型进行复合泊 松近似，比较了不同近似方法的好坏程度对近似结果依赖于索赔发生时索赔额的分布 的情况，进行了进一步的拓展。给出了一些保险实务的例子，对一些特殊情况进行了具 体计算在本文最后，介绍了风险相依条件下使用复合泊松近似的情况， 关键词：个体风险模型，复合泊松近似，衡量准则，理赔额，独立性 a b s t r a c t t h ei n s u r a n c ec o m p a n yu s u a l l yh a v et oc o n s i d e rt h ec l a i ma i n o u n to fap o r t f o l i o o v e rag i v e np e r i o di l l p r a c t i c e i nt h ei n d i v i d u a lr i s km o d e lc o n s i s t i n go fni n s u r a n c e p o l i c i e s ，t h er i s kx ic o r r e s p o n d i n gt ot h ei t hc o n t r a c ti su s u a l l ye x p r e s s e di nt h ef o r l r l ： 咒：k i 厶= 1 1 0 i f 厶= 0 w h e r e i sab e r n o u l l ir a n d o mv a r i a b l et a k i n gt h ev a l u e1w h e na tl e a s to n ec l a i mi sf i l e d w h i l et h ec o n t r a c ti s v a l i d ，a n dki s as t r i c t l yp o s i t i v er a n d o mv a r i a b l e t h ev sa r e t y p i c a l l ya s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n to fe a c ho t h e ra n do fa l lt h er ：s o f p a r t i c a l l yi n t e r e s t i st h ec u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf so ft h ea g g r e g a t ec l a i m a m o u n ts = e ：1 托，a n df u n c t i o n st h e r e o fs u c ha st h es t o p l o s s p r e m i u mr s ( d ) = e m a x ( s d ，0 ) 1 ，d 芝0 ，t h ev a l u e a t r i s kv a r d = 巧1 ( n ) ，q ( 0 ，1 ) b u ti t i s g e n e r a l l yd i f f i c u l t t oc o m p u t et h e s eq u a n t i t i e sf o rl a r g en u s u a lw a yi st oa p p r o a c hsb y t = 备k ，w h e r e nf o l l o w sap o i s s o nd i s t r i b u t i o nw i t hi u e a naa n dh ，y 2 i sas e - q u e n c eo fi n d e p e n d e n ta n di n e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e sa a da l s oi n d e p e n d e n t o fn t h u s w ec a ns i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o nb yu s i n gt h ec h a r a c t e ro f c o m p o u n dp o i s s o n d i s t r i b u t i o n s of a r ，p e o p l ed oal o to fe f f o r tt of i n dt h eb e s tc o m p o u n dp o i s s o nr i s k m o d e lw h i c ha p p r o a c ht h ei n d i v i d u a lr i s km o d e l t h i sp a p e rd i s c u s st h ed i f f e r e n tw a y st oa p p r o a c ht h ei u d i v i d u a lr i s km o d e lb yc o r n p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l ，a n dm e a s u r et h eq u a l i t yo ft h ea p p r o x i m a t i o no fsb ytd o a f a r t h e rw o r kw h e nt h ea p p r o x i m a t i o nr e s u l td e p e n d so nt h ed i s t r i b u t i o no fc l i a ma m o n n t g i v es o m ee x a m p l e si nt h ei n s u r a n c ef i e l da n dt a k es o m ec a l c u l a t i o ni l lt h es p e c i a ls i t u a - t i o n f i n a l l y t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ec o m p o u n dp o i s s o na p p r o x i m a t i o n sf o ri n d i v i d u a l m o d e l sw i t hd e p e n d e n tr i s k s k e y w o r d s ：i n d i v i d u a lr i s k ，c o m p o u n dp o i s s o na p p r o x i m a t i o n ，m e a s m l ep r i n - c i p l e s ，c l a i ma m o u n t ，i n d e p e n d e n c y 石国锋硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 韩天雄教授华东师范大学统计系主席 周斌副教授华东师范大学统计系 汤银才副教授华东师范大学统计系 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 作者始刀司饵 日期： 哪、f 。7 7 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少景复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定。 日期： 学位论文作者签名： 一两 炒搠 咖 期名匪签9m导 一鳆1 磊 第一章绪论华东师范大学硕士论文 第一章绪论 在保险精算实务中，经常要考虑在一定时期内某一保险组合的所有保单的索赔情况 下面给出一个经典的风险模型，对某保险组合的1 1 份保单，记其未来的索赔量分别为 x 1 ，x 2 ，) ，且具有如下的表达形式： 噩= 孑黧 其中 ，i 1 ) 为一列独立的贝努里随机变量， k ，i _ - 21 ) 为一列独立的严格取正值的 随机变量，并且两列随机变量之间也相互独立p ( = 1 ) = 肌取q i = 1 一戤，在精算运用 中权重p i 很小，理解为第i 个风险单位发生理赔的概率其个体总理赔额为s = bx ， 对上述个体风险模型，我们感兴趣的是总理赔额的累积分布函数毋，或者其停止损失保 费7 r s ( d ) = e m a x ( s d ，o ) ) ，d 0 ，或者其在险值y n = 巧1 ( o ) ，d ( 0 ，1 ) 或者条 件v a r = e ( s is v a r 。) 但是当n 的值较大时，要计算这些数值会变得非常困难常 用的处理方法是对上述个体风险模型用复合泊松分布来逼近，即构造复合泊松随机变量 t = 兰k ，其中n p o i s s o n ( ) ， 为参数， m ，i 1 ) 为独立同分布的取正值的且与 n 独立的随机变量序列由此我们就可以通过复合泊松分布在计算上的优良特性来简化 上述的计算 但是对上述个体风险模型做复合泊松近似，自然就会产生一系列的问题，即什么样 的复合泊松近似才是一个好的近似? 用什么标准去衡量近似的好坏程度? 近似的方法又 是什么? 这篇论文就将围绕这几个问题展开讨论为了讨论与研究的方便，在对复合泊 松模型的参数进行选取的时候，我们关心的只是参数a ，而对于k 的分布，在研究当中 一般都是取相对应的k 的分布 到目前为止，为了寻找一个能较好的拟合个体风险的复合泊松模型，前人已经做了 不少的研究工作，并且得到了一些富有成果的结论虽然如此，在个体风险模型的复合 泊松近似方面还没有一个较为完备的理论本文在对前人的研究结果做了总结的基础上 对复合泊松近似的应用做了进一步的推广。下面我们就来具体讨论个体风险的复合泊松 近似。 第二章复合泊松近似的两种方法 华东师范大学硕士论文 2 第二章复合泊松近似的两种方法 52 1距离的定义 对于个体风险模型的复合泊松近似，我们总希望所做的近似与原有模型之间的差异 越小越好，如果两者之间的差异太大，则这种近似就没有什么意义。为了衡量近似程度 的好坏，下面我们引入个体分风险模型与复合泊松模型两者之间距离的概念其中玛表 示个体风险的分布函数，砰表示复合风险的分布函数。( 下同) k o l m o g o r o v 距离： d k ( s ，t ) = s u p l f sx ) 一砰( z ) i ( 2 1 ) z 0 停止损失距离： s u p l 仃s ( x ) o 0 7 r t ( x ) 全变差距离： d w v ( s ，t ) = s u pi p ( s a ) 一p ( t a ) a e b ( r ) 显然，d k ( s ，t ) 曼d r y ( s ，t ) 2 2 经典的复合泊松近似 ( 2 2 ) ( 23 ) 对于第一节中提到的任一随机变量五，常用的方法是用参数为( p 。，凡t ) 的复合泊 松随机变量去近似。由此我们可以保证随机变量五和m 两者的数学期望相等，即 e x i = e 取h ，m ，k ，相互独立，则这些随即变量的和y = nk 仍是复合泊 松随机变量，参数为( a ，f ) ，其中a = ：。p i ，f = ：l 譬r 下面我们就来讨论此 种复合泊松近似与原有模型之间拟合程度的好坏，即两者距离的大小。首先给出几个引 理： 引理2 2 1 ：曲y ( s ，t ) = s u p ( s ( a ) 一t ( a ) ) a e b ( r ) 证明： s u p ( s ( a ) a e b ( 础 丁) ) = s u p 【m a x s ( a ) 一t ( a ) ，s ( a 。) 一t ( a g ) a e b ( r ) = s u p m a x s ( a ) 一t ( a ) ，t ( a ) 一s ( a ) ) 】 a c ：b ( r ) 第二章复合泊松近似的两种方法华东师范大学硕士论文 3 = s u pi s ( a ) 一t ( a ) i 带 a _ 日( r ) 引理2 2 2 ：令局，恐，五；和y l ，k ，k 为两列独立随机变量，则有 nnn d t v ( 墨，k ) d t v ( x i ，k ) ( 24 ) i = 1 j = l i = 1 证明：令五，k 的分布函数分别为晟，鼠，1 i n 先证明n = 2 时的情况t d t v ( x 1 + x 2 ，h + 蚝) = s u p t 只+ f 2 ( a ) 一g 1 ；g 2 ( a ) i = = s u p i f 1 ( a x ) f 2 ( d x ) 一 g 1 ( a x ) g 2 ( d x ) i r + 0 0，十o 。，十 = s u p i f 1 ( a z ) 兄( d z ) 一g i ( a z ) f 2 ( d z ) + g ，( a x ) f 2 ( d x ) j o 。j o o一 一g i ( a x ) c 2 ( d z ) l r + ，+ o o ，十o 。 = s u p j r ( a x ) f 2 ( d x ) 一 g 1 ( a 一。) 如( d z ) + f 2 ( a z ) g ( d z ) a j 一 j o 。o o 一g 2 ( a x ) g l ( d x ) 1 = s u p i ( r ( a z ) 一g i ( a z ) ) f 2 ( d z ) + ( f 2 ( a 一茁) 一g 2 ( a z ) ) g l ( d z ) l s u p i ( f 1 ( a z ) 一g 1 ( a x ) ) f 2 ( d x ) l + 8 ，“p l ( f 2 ( a x ) 一g 2 ( a 一茹) ) g 】( d z ) j 一。 j o 。 茎s u p f l ( a ) 一g l ( a ) l 十s u p l f 2 ( a ) 一g 2 ( a ) i 对于一般性情况的证明，只需将上式中的f 2 替换成f 2 + f n ，将g 2 替换成g 2 + g n 即可。 下面我们将研究个体风险模型s = 墨。恐与复合泊松模型t = ：l x 之间的距 离。其中m ，配，y n 是独立的复合泊松分布，各自的参数分别是( p l ，f ) ，扫z ，) ，( p n ，砘) 并且民= q 品+ 鼽民 定理2 2 1 ：如下的上限成立 d t v ( s ，t ) 疵 t = 1 ( 2 5 ) 第二章复合泊松近似的两种方法华东师范大学硕士论文4 证明：对于随机变量墨，m 及v a b ( r ) 尸( a ) 一尸( k a ) = 吼a o ( a ) + 肌f ( a ) 一等e 一“f 警( a ) k = 0 ” = q 。g o ( a ) + 鼽民( a ) 一( e - p 5 0 ( a ) + p i e - - p l 民( a ) + 碧e 一磺( a ) ) k = 2 q i 5 0 ( a ) 十飙r ( a ) 一e 一“5 0 ( a ) 一鼽e n 只( a ) 由不等式g e 1 ，可以得到q t 5 0 ( a ) 一e - - p i 5 0 ( a ) s0 则： p ( 五a ) p ( m a ) a 凡；( a ) 一觑e 1 5 r ( a ) = 鼽只( a ) ( 1 e - - m ) p ；民( a ) s 最 所以d t v ( s ，t ) ：。d t v ( 墨，m ) s 警。群 社 定理2 2 1 告诉我们当每张保单发生索赔的概率p 都很小的时候，上述的复合泊松近 似较好。 如果我们把个体风险模型s = ：。五中那些发生索赔时索赔额的分布相同的保单 组合在一起，形成一组新的个体风险模型。这种组合过程叫做保单的同质化。对同质的 保单组合，如果墨，p 。 1 ，则我们可以得到比定理1 更好的界在实践中我们处理的 个体风险模型往往包含大量的保单，所以条件墨。轨 1 很容易满足。 定理2 2 2 ：对同质的保单组合，即而。= = 氏。= f ，则有 蚓驴) s 露 ( 2 6 ) 为了证明定理2 的结果，我们先做如下的假设； 令。，厶为一列独立的贝努力随机变量，p ( 厶= 1 ) = p l i 并且令n 服从参数为 ) 、= ：l p 。的泊松分布，且与1 1 ，厶独立。定义n = 竺1 ，p = p ( n = k ) ，则 的概率母函数为g n ，( z ) = 兀：。( q i + a z ) 引理2 2 3 ：如果= = 砘= f ，则 n 取+ 取。h + 取。= q f “ i = 0 第二章复合泊松近似的两种方法 华东师范大学硕士论文 5 证明：对左右两式同时作l a p l a c e s t i e l t j e s 变换 左边： 右边 n e e 一8 x 1 + + _ = i i e e 一8 墨 = l 碍( ，佃。d r ( z ) ) j 0 妒= 圭p ：r 一i= o ” e - s x d f ( 。) ) j 由拉普拉斯变换的唯一性就得到f x ，+ h ：+ + 殿。= 墨。只f 4 j 引理2 2 4 ：如果f n = = 比= f ，则 如y 由y ( 7 ，) 证明：令c = i 1 ，竹) ：p i 只) ，其中只= p ( = i ) ，爿= p ( n 7 = i ) 由此定义 的c 为一非空集合。 由引理2 2 3 ，我们可以得到：v a b ( n ) p ( s a ) 一p ( t a ) = 爿f “( a ) 一r f “( a ) i = 0i = 0 只) f + ( 4 ) ( 只一p i ) f “( a ) i = l “( 只一只) = p ( n g ) 一p ( n g ) i e c i = i d r v ( n 7 ，) 所以我们要证明定理2 2 2 ，我们只需要证明结果d r v ( n ，) 曼联即可。 令b n 为任一自然数集，g = o ，1 ，k l 定义； 9 ( 南) = 高专( p ( b n c ) 一p ( n 曰) p ( c l k ) ) ，七= 1 ，2 ，一，g ( o ) = o 蓬：l 厂 o，【 n 矗 佃 。：l z = 。枷 a 时 ( k a b ( ) s p ( 口) ，k = l ，2 p ( n b n c k ) 一p ( n b ) p ( n 乙k ) sp ( n 口) 一p ( n b ) p ( n c k ) = p ( n b ) ( 1 一p ( n o k ) ) = p ( n b ) p ( n 车c k ) = p ( n b ) p ( n 七) =e器z-。7p(n一= p ( n 争柰高南 =”“e 一= b ) 箭e 。焉蠢南 = p ( n 印) r 南纠 茎。燕k 函两誉丽七f ：。( ) 4 = 忐 p ( n 童b ) 最墨。害南竞! p ( n b ) 最忐= k 只。p ( 。n e b ) 9 ( ) 学哥( 一 ) 夕( k ) p ( n eb ) 2 ，当k 茎a 时 ( k - 啪( 七) ；寄( p ( e b ) p ( q ) 一p ( e ba g ) ) 5 旨p ( b ) p ( 叭 要证明( 2 7 ) 成立，只要证明游p ( n 瓯) 茎1 ，即( a k ) p ( n g ) k r 令_ 厂( a ) = ( a k ) p ( ns 一1 ) 一r ，则可证明，( a ) 是a 的严格递增函数 1 m ) = 一南e “ o ，恕，( ) = 0 当k a 时，( 天) 0 即( a k ) p ( n c k ) 墨七r ( 2 7 ) 成立榉 2 3 不同参数选择下的复合泊松近似 f 2 。7 1 对于随机变量置，我们也可选取参数九= 一l n q l 的复合泊松随机变量k 去近似。由 此我们可以保证随机变量恐和k 两者不发生索赔的概率相等，即p ( 墨= o ) ：p m 2 第二章复合泊松近似的两种方法华东师范大学硕士论文8 0 ) = 取h ，k ，k ，相互独立，则这些随即变量的和l ，= 坠1 仍是复合泊松随 机变量，参数为( a ，f ) ，其中入= 銎l 一! n 啦，f = ：，平民 对予这种近似方法，我们分别用三种不同的距离来给出其拟合的上界。首先来考虑k o l m o g o r o v 距离。下面给出几个引理； 引理2 ，3 1 ：令f ，g ，和h 为任意的三个分布函数，并且假设存在常数a 和b ，使 得对任意的x ，都有； a f ( x ) 一g ( x ) s b 那么对任意的x a f h ( z ) 一g h ( x ) 茎b 证明t 由f + h ( x ) 一g 十口( z ) = j 茗妒扛一t ) 一g ( x t ) d h ( t ) 立即可以得到上式 引理2 ，3 2 ：令f l ，玛，r 和g 1 ，g 2 ， 的x 吼只( z ) 一g ( 茁) b i 则对任意的x ，我们有； 十r ( z ) 一g l g 。为满足如下条件的函数列：对任意 i = 1 2 礼 证明：用数学归纳法，由条件上式对n = l 成立，假设当n = k - 1 时上式仍成立。则我们利 用引理231 可得： a k ( g l + g k 一1 ) 最( z ) 一( g 1 十+ g k 一1 ) 十g k ( x ) 茎b k 将两式相加，即得：坠。t f l + + r ( z ) 一g 。* + g m ( 。) 警，以 社 为了证明的方便，我们引入如下的记号，令( c ) + = ? t t a x ( c ，o ) ，( c ) 一= m i n ( c ，o ) 定理2 3 1 ：对任意的x ，下式都成立 证明：根据引理2 3 2 ，我们只要证明n = l 时的情况即可此时 飓= q s o + v f v 妻e x 蔷砂 k = o ( 2 8 ) 魄 。黼 一 n g 半 日 一 o 。： 6 一 茹 ，k f 牛 一 k g 丰 十一 ea p+ 一 e 一 吼 。：i 一 z 蹄 第二章复合泊松近似的两种方法华东师范大学硕士论文 9 如果z 0 ，则f j ( z ) = f r ( z ) = 0 ，且由q e 一1 + ( p l e 一1 ) + 1 一e 一1 一a e 一12 o 即得上式成立。 如果z 0 ，则： f s ( ) 一毋( z ) = g e - a 十( p 一沁。) y ( 茁) 一e - - a o o箸k 矽( z ) q e _ 十( p 扩1 ) 、 又因为卢秒( 茁) sr ，( 。) ，所以又有 b ( 茁) 一毋( 茁) q e 一1 + ( p 一1 + e 一1 ) f i ，( z ) q e 一1 + ( e 一1 一q ) 定理得证弗 我们注意到如果a 九e “t ，i = 1 ，2 ，n ，则根据 1 一( 1 + 丸) 。呐：1 一e 姒l 饿h 1 一e 竿 攀， ( 2 8 ) 式右边的上界就可以简化成如下的形式： 吼一e k 十( a 一九e 一1 t ) 十 a e t ， 可得对任意的x ： o 茎砖( z ) 一毋( z ) 墨( p + q i i n 吼) i ( f n 吼) j ( 2 9 ) 即d k ( s ，t ) j 1 坠1 ( i n q t ) 2 接下来我们讨论拟合的全变差距离的上界同样的先给出几个引理； 引理2 3 3 ：令f ，g ，和h 为任意的三个分布函数，并且假设存在常数a 和b ，使 得对任意的集合a ，都有t i f ( a ) 一g ( a ) is b 那么对此集合a i f h ( a ) 一g 十廿( a ) is b 引理2 3 4 ：令f 1 ，r ，职和g l ，g 2 ，g 。为满足下列关系的分布函数列，对 任意集合a 1 只( a ) 一g 。( 4 ) i b 1 第二章复合泊松近似的两种方法华东师范大学硕士论文 1 0 那么对此集合a f l + 玛+ t r ( 4 ) 一g ，* g 2 。t + g 。( a ) l b i 0 = 1 定理2 ，3 ，2 ：对任意的集合a ，下式成立 n 砖( a ) 一f r ( a ) i 【( m e k ) + + ( 鼽一 i e 一沁) 十】- ( 21 0 ) 4 = 1 证明：只需证明在n = l 时的情况即可，因为 o o 、k f s ( a ) 一f t ( a ) = q 如( a ) + p ( a ) 一箫e - x 矽( a ) 由此可以得到： ( 呼一e a ) 一+ ( p a e 一 ) 一一1 + e 一 + 天e 一 墨f s ( a ) 一f t ( a ) s ( g e a ) + + ( p 一, l e 一 ) + ， 定理得证襻 如果选取参数九= 一l nq i ，则对于任意的集合a n， n i f a ( a ) 一f t ( a ) i 慨+ q i l n q i ) 0 p 1 1 ( f v ，t ) 一e “备【 一t ) 1 1 ( f v ，o ) + ( 凡，t ) j 茎( b ，t ) 一h ( 毋t ) k = 1 o o 、k p h ( f ，t ) 一e e 一 u k n ( v ，) ( 2 t s ) 因为( r ，0 ) = 乱，所以由( 2 1 8 ) 式我们可以得到 ( p 一1 + e - a ) n ( f v ，t ) 一( a 一1 + e - a ) u 曼n ( f s ，t ) 一n ( f t ，t ) ( p a ) n ( 凡，t ) 又因为0sn ( f v ，t ) “，对任意的t 0 ，可以进一步得到 ( e 一 一曲一十1 一a e - - a t 茎n ( f s ，t ) 一n ( f r ，t ) s ( p a ) + 就 由此定理得证。铲 如果选取参数九一p ，i = 1 ，2 ，n ，则对于任意的t 一；札穰 e u ( 吼一e 1 ) g ( 砖，t ) 一n ( f r ，t ) o 。k = 1k = l 如果选取参数九= 一f n 口i ，i = 1 ，2 ，礼，则对于任意的t n n 一；u ，( f 蛳) 2 o ) ，n 2 ，k = 1 ，2 则可定义随机变量序列 x 胁i 1 ) 如下： x m ：= k m k 。， z l ，k = 1 ，2 实际上，x 兢是第k 类保险组合中第i 个发生索赔的保单索赔额度下面假设第k 类保 险组合含礼 份保单 定义 k = 串a n k ： o ，i ，显然风。的分布为b ( n k ，热j ， 七= i ，2 。 由1 1 可得下面两个引理： 引理3 1 1 ： x 胁i 1 ) 为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为f h 。( z ) 引理3 1 2 ：对固定的礼k ，t 和 x mi 1 ) 相互独立， k = l ，2 由以上引理可得到以下结论： 定理3 1 1 ：对任意n k 1 ，有e k n k l k 。= e 蛩i ，k = 1 ，2 详见【1 定理3 1 il 说明，对固定的礼1 ，礼2 ，上述个体风险模型也是两个相互独立的复合二项分布 模型的和即： 其中n = n 1 + n 2x 试 +y 湖 i | 琏 m m +h q 汹 | i s 堑三章与索赔额相关的复合泊松近似华东师范大学硕士论文 1 4 因此，讨论上述个体风险模型，只需讨论与其对应的复合二项模型即可 3 2 一些基本公式 下面引入 1 中的3 个准则，并在这3 个准则下来讨论逼近问题 ( b ) b 2 ( a ) ( c ) r ，a ( a ) v a r ( x i 一x t 一x 2 t t = 1i=1仁= 州埘t 。】t u e ( 墨一一如) 。 其中 五，i 1 ) 为一列独立同分布序列，且蜀与x 1 1 同分布，n ( a ) 服从参数为a 的 p o i s s o n 分布，与 咒，i 1 ) ， x k 。，k i 1 ) ， k ，钆女三1 ) 独立，k = l ，2 特别当 a = 0 时，令( a ) = 0 准则是分别求k ”i = 1 ，2 ，3 ，使得f 竹，i ( n i ) = m ，i 孑r ，；( a ) 上述3 个准则，是从不同角度来度量复合泊松分布对个体风险模型的逼近程度 r ，( a ) 是度量两者的绝对偏差；f n ，2 ( a ) 是度量逼近偏差的变化幅度；r ，3 ( a ) 讨论的是 偏差的平方 下面给出r 。- ( a ) ，r 2 ( a ) ，r ，3 ( a ) 的一些性质 引理3 2 1 ： ( ) r ，l ( a ) = e l ( a ) 一i 。一n 。l e x l ， ( b )r ，2 ( a ) = ( e x l ) 2 ( a + n l p l q t + n 2 p 2 q 2 ) + v a r ( x 1 ) e l ( a ) 一i 。一i 。h ( c ) r ，3 ( ) 、) = r ，2 + ( a n l p l n 2 p 2 ) 2 ( e x l ) 2 证明：由引理3 1 _ 2 ， k 和 x k ；，i l 相互独立，且( a ) 与 五，i 1 ) 及 礼1 时，令o i 。o 6 j = 嚷。逗( 1 一? ) 2 ) ”2 一，j = 0 ，1 ，一，n 2 ；- mj n 2 时，令b 。o c k = n 6 m ，= 0 ，1 ，n t = 0 。* d ! = ；c ，扛o ，1 ，n 一1 ；其中铊2 n 】十 。奄= z + 1 有如下引理： 引理3 2 2 ：( o ) ( b ) ( c ) e i ( ) 、) 一n 。一心：i = 2 ( i j ) 等e 。c + 一伽，一砌2 型翌盟二竖! 二坠1 ：一2 e 一- n r - 1d 3 a # + l ， d a 高 盟型掣= 2 e - an l - 1 而1 钳。姐 a a 2 乞j ! “ 证明： ( 。) e ( a ) 一。一。f = 2 e ( n 。，十n 。一) + 一e ( 眠- + 溉t 一( a ) ) = 2 ( 2 一j ) 等e “p ( 帆。+ n = = i ) 一n l p + 聊2 一a ) t = 1 ，= ” nt 一1、 = 2 ( 一j ) 等e 。q + a 一哪! 一嘲2 ( b ) 上式对a 求导，得 赴当划 、f l 。 7jc tl i r = 2 e - x i o ，= 1j = 0 筹) e 。+ h 伽 。 2 1 l 0 “间 一 壁掣 第三章与索赔额相关的复合泊松近似华东师范大学硕士论文 1 6 = 2 e 。 i = 1 = 2 e - x t 一2 z ( i j = o p i - 2 ，、 2 一( 卜j ) 。可 j = o 。 m 等咱高 + -j q 可1 矿可j “ 地“妻卜萎ct筹q尚+，i= l j = o j l ，。 4 1 、i n ln 、 = 一z e 。q 等十，= 一2 e - - 、c t 箐+ - i - 1j = o j = 0 i = j + 1 。 ：一2 e - 1 r d j m + 1 z 二， l ( c ) 再对上式中a 求导，得 0 2 z n ( a ) 。- - 。n 。, - - n n 2 口 n 一1 n - 1 2 e - 1 f 巩一2 e - 1 - 1 幻 。1 jz jo 。 j = oj = o ? l - - 2 = 一2 e - ) , o j = d n - - 2 + 1 ) d j + l 一d j a 一一l ” j = o e 一1 聂n - 2 ( 知，) 肚南讲 = 2 e - x i 1 勺+ l ，= 0 。 利用引理3 2 1 ，引理3 2 2 ，易得下面的引理 引理3 2 3 ： 掣= e x t ( 地 掣剐z + v a 删( ，_ 2 e 一1 薹n - - 1 蚪) a r ，3 ( a ) a ) 、 2 ( 一n l