（概率论与数理统计专业论文）轴对称变形强化护环残余应力的解析解.pdf

摘要 摘要 解析解既可以全面彻底地阐明它所表达的力学图景，又可以作为标准 解，促进广泛应用的各种数值解的产生。因此它在理论和工程实际中都有 很大的意义和价值。论文是将数学工具与弹性力学有机地结合，致力于理 论和工程实际中解析解的研究，在分析研究轴对称物体内残余应力解析解 的基础上，重点讨论了轴对称变形强化护环的残余应力，并构造位移函数， 得出该残余应力的解析解。 首先，对轴对称物体内的残余应力进行分析，通过构造既满足双调和 方程又满足边界条件的应力函数，得出其相应的解析解，并推出轴对称物 体无限长时的极限，即为著名的s a c h s 公式。s a c h s 公式的导出，说明s a c h s 法只是应力函数法的一种特殊形式，也说明应力函数法具有更广泛的适用 性。 其次，对轴对称变形强化护环的残余应力进行理论分析，并在此基础 上对两炮喇叭口爆炸成形强化护环拐点离上端面远时的情况进行研究，采 用轴对称圆柱薄壳有矩理论，构造位移函数，得出该情况下残余应力的解 析解，为求解拐点上移后各残余应力的解析解打下了基础。 最后，推出两炮喇叭口爆炸成形强化护环拐点离上端面近时、拐点在 上端面时、拐点外移时这三种情况下残余应力的解析解。 关键词护环；残余应力；解析解；位移函数：应力函数 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nc a ni l l u m i n a t et h em e c h a n i c sv i e w st h a ti tw a n t st o c o n v e y , a n da l s o c a np r o m o t et h ee x t e n s i v eg e n g r a t i o no ft h en u m e r i c a l s o l u t i o na sas t a n d a r ds o l u t i o n t h e r e f o r ei th a sv e r yg r e a tv a l u ei nt h et h e o r y a n dt h ee n g i n e e r i n g t h ep a p e ri sd e v o t e dt os t u d y i n gt h ea n a l y t i c a ls o l m i o n , w h i c hi so f t e nu s e di nt h e o r ya n de n g i n e e r i n g ，i nt e r m so fm e c h a n i c s , c o m b i n i n gt h em a t h e m a t i c sw i t he l a s t i c i t y ，t h ep a p e ra n a l y z e st h er e t a i n i n g r i n gr e s i d u a ls t r e s so ft h ea x i s y m m e t r yo b j e c t ，a n dm a i n l yf o c u s e do nt h e r e s i d u a ls t r e s so ft h ea x i s y m m e t r ya n a m o r p h i cr e t a i n i n gr i n g ，t h e ne d u c e s a n a l y t i c a ls o l u t i o nt h r o u g hc o n s t r u c t i n gd i s p l a c e m e n tf u n c t i o n f r i s t t y ，t h ep a p e ra n a l y z e st h er e t a i n i n gr i n gr e s i d u a l s t r e s so ft h e a x i s y m m e t r yo b j e c ta n dc o n s t r u c t e ss t r e s sf u n c t i o ns a t i s f i e dw i t hb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n db i h a r m o n i c e q u a t i o n , t h e nw o r k so u tt h ec o r r e s p o n d i n g a n a l y t i c a ls o l u t i o na n dt h el i m i to f t h ea x i s y m m e t r yo b j e c tw h e ni ti n f i n i t el o n g ， i ti st h ef a m o u ss a c h sf o r m u l a e x p o r t i n gs a c h sf o r m u l as h o w st h a ts a c h sw a y i sa l le s p e c i a lf o r mo fs t r e s sf u n c t i o nw a y , a l s os h o w ss t r e s sf u n c t i o nw a yh a s m o r ec o m p r e h e n s i v e a p p l i c a b i l i t y s e c o n d l y , t h ep a p e ra n a l y s e st h er e s i d u a ls t r e s so ft h ea x i s y m m e t r y a n a m o r p h i cr e t a i n i n gr i n g ，t h e ni nt h eb a s eo ft h i sc o n c l u s i o ni ta n a l y s e st h e i n s t a n c et h a tt h ei r d l e x i o no f t h er e t a i n i n gr i n gi sf a r 丘o mt h ee n ds i d ea d o p t t h et h e o r yo ft h ea x i s y m m e t r yc o l u m nt h i ns h e l l ，a n dc o n s t r u c tan e w d i s p l a c e m e n tf u n c t i o n , t h e nw o r ko u tt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h er e s i d u a l s t r e s su n d e rt h i s 血t a n c e t h i sc o n c l u s i o ne s t a b l i s h e st h ef o u n d a t i o nf o rt h e r e s i d u a ls t r e s sw h e nt h ei n f l e x i o nm o v e s u p l a s t l y ，t h ep a p e ra n a l y s e st h ei n s t a n c et h a tt h ei n f l e x i o no ft h er e t a i n i n g r i n gi sn e a rt h ee n ds i d e ，t h ep o i n to fi n f l e c t i o ni so nt h et o pa n dt h ep o 缸o f i n f l e c t i o nm o v e so u t s i d e ，t h e ne n d u c e st h e a n a l y t i c a l s o l u t i o no ft h e s e a b s t r a c t i n s t a n c e s k e y w o r d sr e t a i n i n gr i n g ；r e s i d u a ls t r e s s ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n ；d i s p l a c e m e n t f u n c t i o n ；s t r e s sf u n c t i o n i i l 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文轴对称变形强化护环残余应 力的解析解，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均己 在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字参 羽d 臼 日期：加衫年月五扫 燕山大学硕士学位论文使用授权书 轴对称变形强化护环残余应力的解析解系本人在燕山大学攻读硕士 学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学所 有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完全了解 燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕山大学，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密区 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：嘉l 承d 每 日期：炒年吖月五日 导师签名： i 、 叫义 日强：p 鸪年| t 玛勰 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 弹性理论的产生与发展 弹性理论又称弹性力学，是研究载荷作用下弹性体中内力状态和变形 规律的- 1 7 学科。弹性力学是- 1 7 经典学科，回顾历史，弹性理论是在不 断解决工程实际问题的过程中逐步发展起来的。1 6 3 8 年由于建筑工程的需 要，伽利略( g a l i l e o ，g ) 首先研究了梁的弯曲问题。以后，胡克( h o o k e ，r ) 根 据金属丝，弹簧和悬臂木梁的实验结果于1 6 7 8 年正式发表了弹性体的变形 与作用力( 更精确地说，应变与应力) 成正比的物理定律，为弹性理论打下 了坚实的物理基础。但当时仅局限于处理梁、杆、柱、拱等一维工程结构 问题。1 8 2 1 - 1 8 2 3 年纳维( n a v i e r , l m h ) 和柯西( c a u c h y g l ) 导出了弹性理 论的平衡方程，为弹性理论奠定了严密的数学基础。到这个时期弹性力学 就有了稳固的基础，弹性力学已经可以简化为在指定的边界条件下求解某 些微分方程的数学问题( 静力学) ：或在指定的边界条件和初始条件下求解 运动方程的数学问题( 振动或动力学) 。此后许多学者致力于解决二维、 三维的典型工程结构问题【m 】。例如：1 8 5 5 年，圣维南( s a i n t v e n a n t ) 提出 了柱体关于扭转与弯曲的解答。为了满足土木、机械、航空、造船、原子 能、石油化工等一系列工程需要，2 0 世纪以来弹性理论取得了重大进展， 已成为工程结构强度设计的重要理论依据。由于弹性理论基本方程的复杂 性，要精确求解各种复杂工程结构的问题在数学上存在不少困难。里茨 ( r i t z , w ) 和伽辽金( g a l e r k i n ) 分别于1 9 0 8 和1 9 1 5 年提出了基于能量原理的 直接解法，开创了近似求解弹性理论问题的新途径f 3 l 。随着高速大型电子 计算机的发展，有限差分法、有限单元法、边界元法 4 - - 1 1 】等各种有效的数 值计算方法如雨后春笋般地涌现出来。 2 0 世纪下半叶，弹性理论进一步深化和发展，许多基本概念和基本问 题己被深入和细致地研究，并与其它物理因素相互结合，从而出现了许多 新的学科。诸如：断裂力学、细观力学、热弹性力学、粘弹性力学、磁弹 燕山大学理学硕士学位论文 性力学、压电介质弹性力学等，它们极大地丰富了弹性力学的研究领域和 应用范围。工程建设中的实践表明：弹性力学在促进数学和自然科学基本 理论的建设和发展过程中起到了相当重要的作用。在形成严密的理论体系 和求解各种复杂问题的过程中，弹性理论和数学建立了紧密联系，数学的 研究成果被用来有效地求解弹性理论问题。反之，弹性理论从力学角度提 出的数学问题，又历来是数学家们研究的热门课题【l “”j 。 1 2 护环残余应力问题的研究现状 护环是汽轮发电机中的关键零件之- - ”l 。它是用来紧箍发电机转子两 端绕组线头的圆环，形状简单，但要求特别高的强度和好的塑性，残余应 力低、不导磁。护环环坯能否沿轴向膨胀，决定于胀形时环坯各点的应力 状态。环坯在建立高压与胀形过程中，其端部与中间部分分别要受到冲头 机械力与液体压力的作用，从而产生胀形。如果不能同时满足屈服条件， 环坯就会不均匀变形【m 1 7 1 。例如，环内液体未能迅速建立起高压状态，或 环内液体的高压状态遭到破坏，则环坯两端在冲头机械力作用下，产生局 部扩径，呈喇叭口形。此外，如果环坯尺寸设计不合理，两端变形阻力大 于中部，环坯就会胀形成为鼓胀形。再者，如果材料冶金质量控制不严， 固溶处理工艺不当，胀形前机械加工不合理，就有可能导致环坯形成裂纹， 甚至胀裂。护环胀形是由弹性阶段进入塑性状态的。所以质量分析时，不 但要分析塑性应力，而且也要分析弹性应力。在护环弹性应力的计算中， 其内壁看成受常压作用，这是与实际情况有出入的1 4 1 。 残余应力的研究是从本世纪初开始的。残余应力问题可以说还是一块 正在被开垦的处女地，它属于弹性理论的范围。残余应力是在没有外力作 用下，存在于物体中的一种内应力。它的特点是：在物体中残余拉应力和 残余压应力并存，且互相平衡，任何物体中都存在着残余应力，只是分布 规律与大小不同而已。残余应力是一个不可忽视的问题，产生的原因很多， 但几乎都是由外部因素的改变造成的【2 扣3 。1 。 在残余应力的理论与实践方面，有些专门著作对其进行阐述，其中包 2 第1 苹绪论 括著名的萨克斯( s a c h s ) 残余应力测量理论【3 9 撕】。s a c h s 法是1 9 2 7 年形成的， 它有两个不足：一个是它将本来沿轴向变化的残余应力粗略地简化为沿轴 向不变；另一个是它采用平面应变假设，但其推导又与其假设相悖。s a c h s 法只限于平面问题，对空间残余应力的理论与实验研究成果很少。为此， 论文主要对护环空间残余应力的分布做了进一步的研究。 在两炮成形护环残余应力的计算中，燕山大学刘助柏教授推导出了拐 点离上端面远、拐点离上端面近、拐点在上端面这三种情况的回弹力学模 型，并可以进行回弹时的应力计算。但该计算是在弹性基础梁的结构力学 理论上进行的。这种计算比应用拉梅( 1 a m e ) 公式的计算前进了一大步，但 忽略了弯曲时层与层之间的挤压，所以该计算是近似的。如果壁厚与中径 的比值大于0 4 ，这种误差会更大【4 7 1 。 刘助柏教授还对轴对称变形强化护环残余应力产生的机理、测量与消 除等理论方面进行全面、系统的研究，从变形强化后的回弹入手，把轴对 称变形强化护环中的残余应力，分为两个平衡系统去分析研究，即把力学 的一个空间问题分为两个二维问题的叠加去处理，并得到了相应的解决。 1 3 论文的主要构思及选题的意义 在弹性力学中，它是在更为广泛的前提下，运用数学解析为工具，导 出了求解弹性体内各点位移或应力的基本微分方程。对于这种方法的应用 范围，从原则上来讲是不受限制的1 4 s 侧。 众所周知，弹性力学解比材料力学解更精确，这是因为后者为使问题 简化、可解，总要作出若干假设，由此而被忽略的因素也较多，得出的结 论带有一定的近似性；而前者假设较少，被考虑的因素增多，加上严密的 数学推导，往往能得出更加精确，更具一般意义的结论，并可验证材料力 学公式的精确程度。 在弹性理论中，假想物体内部为无数个单元平行六面体和表面为无数 个单元四面体所组成。考虑这些单元体的平衡，可写出一组平衡微分方程， 但未知应力函数总是超出微分方程数，因此弹性理论问题总是超静定的， 必须考虑变形条件【5 5 锕1 。由于物体在变形之后仍保持连续，所以单元体之 燕山大学理学硕士学位论文 间的变形必须是协调的，因此可得出一组表示形变连续性的微分方程，同 时还要用广义虎克定律表示应力与形变之间的关系。另外，在物体表面上 还须考虑物体内部应力与荷载之间的平衡。这样，我们就有足够的微分方 程以求解未知的应力、形变与位移 5 9 - 6 1 】。上述这些微分方程还可以简化为 以应力为基本未知函数的微分方程，或以位移为基本未知函数的微分方程。 这些都是偏微分方程，要从纯数学上来求出通解是很困难的，也是不必要 的。所以在弹性力学中采用逆解法和半逆解法。 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数母， 用公式 吁昙h 一害应l甜+ = 丢( 胛2 妒一吾警 呼秘妒一纠 驴铲舡缈妒一纠 求出应力分量，然后根据应力的边界条件来考虑问题，在各种形状的弹性 体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可 以解决什么问题【6 2 6 引。本论文主要是采用逆解法对轴对称物体内的残余应 力进行研究。 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和 受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函 数妒，然后来考虑，这个应力函数是否满足相容方程，以及原来所假设的 应力分量和这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和 位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然也就得出正 确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察 6 9 - 7 0 l 。 论文首先对轴对称物体内的残余应力进行分析，经推导计算，构造出 即满足轴对称问题的双调和方程又满足边界条件的应力函数，得出残余应 4 第1 章绪论 力的解析解，并推出轴对称物体无限长时的极限，即为著名的s a c h s 公式。 s a c h s 公式的导出，说明s a c h s 法只是变应力函数法的一种特殊形式，也说 明变应力函数法具有更广泛的适用性。 其次，对轴对称变形强化护环的残余应力进行分析，给出回弹力学模 型及回弹时的应力计算。为求解护环残余应力的解析解打下了理论基础， 并以两炮喇叭口爆炸成形强化护环为例，构造位移函数，得出拐点离上端 面远时残余应力的解析解。 然后，再对两炮喇叭口爆炸成形强化护环拐点离上端面近时、拐点在 上端面时、拐点外移时这三种情况进行分析，分别得出各情况下残余应力 的解析解。 1 4 课题涉及的基本方程及一般理论 1 4 1 轴对称问题的基本理论 设想一旋转体，且作用于旋转体的力是轴对称地分布。在均布的内压 力或外压力，或沿截面作环状分布的均布力的作用下而变形的圆柱体及截 锥体，以及类似的物体，均可作为实例。 以z 轴为旋转体，以r 表示与：轴垂直的轴。这两个坐标：与r 已足够， 因为坐标相同的所有的点的情况是相同的。 因为任何子午面2 0 r 是物体的及荷重的对称平面，所以在子午面内不 可能有剪应力。因此，对于位于子午面内的任意点，通过该点在予午面内 截取的面积素即这点应力状态的主平面。以盯。表示作用在这平面上的主应 力。 除子午面以外，通过坐标为z 与，的点，尚可取与z 轴垂直的第二个截 面，及与以上两截面垂直的第三个截面。这两个新的截面的子午面上的截 线将各平行于，及z 轴。 由于对称，在这两个截面内的点：、r 处的剪应力，只能与子午面相 平行，以盯：、盯，表示作用于截面内的正应力，以f 。、f ，表示剪应力。这 些应力显然是：与，的函数陋5 确】。 燕山大学理学硕士学位论文 1 4 2 按应力解题 在描述轴对称问题中的应力、形变、位移时，用圆柱坐标：、，、0 比 用直角坐标x 、y 、z 方便得多。这首先是因为，如果以弹性体的对称轴 为z 轴，则所有的应力分量、形变分量和位移分量都将只是z 、r 的函数， 而与0 无关。 ( i ) 平衡微分方程 ( 2 ) 几何方程 铲芒，知= 生，铲譬，：芒+ 兰( 1 - 2 ) 6 ，2 言知2 亍乞2 i 5 言+ 石 ( 3 ) 物理方程 将前三式相加，得 其中体积应变 及体积应力 s ，= = i 。o r ，一p 8 + 仃：) 】 e 岛= b 。一p p ：+ 口，) 】 s ；= b ：一p p ，+ 口。) 】 譬( 1 3 ) 轳驴掣l p ：生丝o e ( 1 - 4 ) ，坞坞= 等+ 争+ 警( t - 5 ) o = 盯，+ d 口+ 仃 6 ( 1 6 ) 小 t 0 半坠昆笠静 生丹堕瑟 同样可以得到用形变分量表示应力分量的物理方程 e + s 。 e + p + ： 将几何方程式( 1 2 ) 代入物理方程式( 1 7 ) ，得出弹性方程 其中 。：堡+ 生+ 塑 务，出 当不计体力时，轴对称问题的平衡微分方程和相容方程为 v 2 仃。 v 2 j 。 v 2 f 牙 7 ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) ( 1 - 9 ) 、，、，、 尚尚南严赫赫氚赤 = = = = 盯 嘞 以 。 等爿钧习迎西粤尘七钧 南南尚艟氚瓢融蠢 巩 咖 以 哳 卸 部 塑鬲 。一岬。 枷 一1 1 一r， 卜卜 塑艴n 枷塞 盯 盯 一 一 一 一 飞一旷，一十 譬互帅 2一广o，。h o ， 一 + 卜 一 燕山大学理学硕士学位论文 其中 v 2 = 导弓昙专 在满足式( 1 9 ) 的同时，必须满足平衡方程及边界条件。 1 4 3 按位移解题 体积的增加 却a z f &o r， 可以改写为如下形式 。：坐+ 但+ 三乙 归i + 恼+ 才 或为 p = o w + d ( 1 - 1 0 ) 其中d 为以下运算记号 。= ( 导+ 匀 将式( 1 - 1 0 ) 代入物理方程式( 1 - 7 ) ，再代入平衡方程，而将后者写成如下形 式 窘+ 捅。o 扫w + 南昙肌= 。 昙m + 揣窘+ 研1 瓦0 2 w = 。 ( 1 - 1 1 ) ( 1 - 1 2 ) 这样，将荷重为轴对称的旋转体的应力问题，就归结于找两个函数_ 1 及v 。 这两个函数在任何点都必须使式( 1 1 1 ) 及式( 1 - 1 2 ) 成立，并同时在物体表面 满足边界条件。 若引入记号d 2 ，并设 第1 章绪论 d 2 - 石0d 西0l fa 一+ 牛导+ 7 1 石07 1 0 r加西l，j 却2r 务，2 则从式( 1 1 1 ) 及式( 1 - 1 2 ) 中消去w ，即将式( 1 1 1 ) 对z 及，微分，并由式( 1 1 2 ) 代入霎兰，便得 窘+ 2 d 2 害+ d 2 此= 。 ( 1 - 1 3 ) 上式可简写为 睁。2 2 删 m 同样可以列出位移w 所必须适合的四阶微分方程，如果首先将运算善d 施 于式( 1 一1 2 ) ，然后由式( 1 1 1 ) 引出善d u ，经简单运算以后，即得 参+ 2 等喀+ ( 。昙) 2 w = 。 m 柳 1 5 论文结构 论文共分4 章： 第1 章绪论。简要地介绍了弹性理论的产生与发展、护环残余应力 问题的研究现状、研究的目的及意义、课题的基本构思与设想、课题涉及 的基本方程及一般理论、论文的研究内容及章节安排。 第2 章轴对称物体内残余应力的解析解。通过构造一个既满足双调 和方程又满足边界条件的应力函数，得出轴对称物体内残余应力的解析解， 并得出轴对称物体无限长时的极限，即为著名的s a c h s 公式。 第3 章轴对称变形强化护环的残余应力。对轴对称变形强化护环的 残余应力进行分析，给出回弹力学模型及回弹时的应力计算。为求解护环 残余应力的解析解打下了理论基础，并以两炮喇叭口爆炸成形强化护环为 例，构造位移函数，得出拐点离上端面远时残余应力的解析解。 9 燕山大学理学硕士学位论文 第4 章轴对称变形强化护环残余应力的解析解。在上一章的基础上 得出两炮喇叭口爆炸成形强化护环拐点离上端面近时、拐点在上端面时、 拐点外移时残余应力的解析解，为进一步研究轴对称变形强化护环残余应 力的解析解奠定了基础。 l o 第2 章轴对称物体内残余戍力的解析解 第2 章轴对称物体内残余应力的解析解 2 1引言 残余应力是在没有外力作用下存在于物体中的一种内应力。它的特点 是：在物体中残余拉应力与残余压应力并存，且相互平衡。任何物体中都 存在着残余应力，只是分布规律与大小不同。残余应力的研究是从本世纪 初开始的。测量和计算残余应力的分布，沿用下来的方法是s a c h s 法。s a c h s 法是1 9 2 7 年形成的，它有两个不足，一是它将本来沿轴向变化的残余应力 粗略地简化为沿轴向不变；另一方面是它采用平面应变假设，但其推导又 与其假设相悖。残余应力的分布是三维的，只是由于三维问题过于复杂， 才将三维残余应力问题简化为平面问题。到目前为止，轴对称空间问题还 没有得到解决。随着工业的发展，测量和计算空间残余应力分布的要求越 来越迫切，计算机的应用也使得计算复杂的空间问题成为可能【1 0 l 。 2 2 力学模型 2 2 1 边界条件 图2 - l 未剥层时p 处的残余应力 f i g 2 - 1r e s i d u a ls t r e s si np w h e nt h el a y e ri sn o ts h e l l e d l l 燕山大学理学硕士学位论文 图2 - 2 剥层后p 处的残余应力释放、变形 f i g 2 2r e s i d u a ls t r e s si npi sr e l e a s e da n dd i s t o r t e dw h e nt h el a y e ri ss h e l l e d 图2 - 3 保持不变形的相当情况 f i g 2 3k e e pt h ei n s t a n c eo f f i x e d n e s s 将轴对称件逐次内剥层，当将内壁从半径口剥除到半径p 时，半径p 处 的径向残余应力乙和剪切残余应力砭同时被释放，相当于剥除后在半径 为p 的轴对称件内表面施加了一乙和一疋的应力。此过程可由图2 1 、图 2 2 、图2 3 来示意说明，并认为乙和疋沿坐标：变化。 为了将残余应力同外力在弹性体内引起的内应力相互加以区别，在此 称残余应力为卸载应力，其径向应力、周向应力、剪切应力和轴向应力分 别用乙、疋和己来表示；称外力在弹性体内引起的( 弹性极限内的) 内应力为非卸载应力，其径向应力、周向应力、剪切应力和轴向应力分别 第2 章轴对称物体内残余应力的解析解 用仃，、f 。和j ：来表示。 根据上面内剥层的力学模型，建立卸载应力与非卸载应力之间的关系， 从而有如下边界条件 当r = p 时 g r = - t r r ( 2 1 ) 当r = b 时 艮： 仁：， o e 卸。( 2 3 ) 当z = 圭时 f 伊：d s = o 1 弘。凼：o ls 式( 2 - 3 ) 中盯。和d 。分别为表面周向松弛应力和轴向松弛应力， 定律得 ( 2 - 4 ) 由广义虎克 其中，s 甜和g 。分别为表面周向松弛应变和轴向松弛应交，是每次内剥层 后，由贴在轴对称件外表面母线上的一些应变片所测得。式( 2 - 4 ) 中的s 为 轴对称件的端部面积。据广义s a i n tv e n a n t 原理，式( 2 4 ) 还可忽略。 2 2 2 构造应力函数 空间轴对称问题的应力函数曲应满足双调和方程 5 口 肛 肛 g g 寺寺 燕山大学理学硕士学位论文 ( 石0 了2 1 石0 气0 歹2x 人石0 芦2 4 1 石0 4 ，0 歹2 4 ) = 。 即 v 2 忙2 妒) _ 0( 2 - 6 ) 设式( 2 6 ) 的解为 妒= 厂( r ) s i i l 乜( 2 - 7 ) 其中j | = t 厅，厂( ，) 仅为半径，的函数。 将式( 2 - 7 ) 代入式( 2 6 ) ，整理后得 f o ) m ) 一( 吉诎2 ) ) + ( 专一等p 州删：固 取这方程的解为如下形式的级数 厂( r ) = q ，川0 。o ) ( 2 - 9 ) 这里因为r = 0 为此方程的正则奇点，所以当一0 0 ， + 有式( 2 9 ) 形式的 解。 将式( 2 - 9 ) 代入方程式( 2 8 ) ，整理得 q + f ) 2 g + f 一2 ) 2 r 9 “。- 2 k 2 c f 0 + 炉r 9 ”2 越4 q ，川= o 利用，”，r p 3 ，r p ，r 川，r 即，前面的系数为零，得系数间的关系如下 p 2 0 2 ) 2 c o = 0 ( p + 1 ) 2 ( p 1 ) 2 c 。= 0 ( p + 2 ) 2 p 2 c 2 + 2 k 2 p 2 c 0 = o g + 3 ) 2 0 + 1 ) 2 白一2 k 2 0 + 1 ) 2 c i = 0 = 警菇鼍等待啦a 因为c 。0 ，不妨设c 。- - 1 ，则有p = o 或p = 2 ，从而 c 2 j _ l = 0 ，f = 1 , 2 ，3 ， ( 2 1 0 ) 1 4 第2 章轴对称物体内残余应力的解析解 利用数学归纳法可证 ( f + 1 妊2 0 + 2 i ) 2 咕+ 2 ( i _ 1 汗( p + 4 ) 20 + 2 ) 2 i = 1 , 2 ，3 ， ( 2 1 1 ) 将式( 2 1 0 ) 、式( 2 11 ) 代入式( 2 9 ) 有 刷一瞻丽制篝丽 p 当p = 0 时 设 当p = 2 时得另一解 删= 宝i = o 紫 | i l ：， 以o ) = 善砑i k 2 - 2 r 2 j f 3 ( r ) = f l ( r ) l n r + e d 为式( 2 8 ) 的解。 将六o ) 代入式( 2 8 ) 整理有 詈z 巳等舟新t o ) 2 rj - 4 - 2 k ：妻，。d , i 2 r j - 2 + k 4 妻，。d , 止。 通过比较系数及利用数学归纳法可得 d o = o ，d 2 = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， 为式( 2 - 8 ) 的解。 设 d 2 ，= 一( f + 1 k ：，步上、 篇m ( 2 f ) 2 眺一1 ) 】2 4 2 2 2 f = 1 ，2 ，3 ， f 2 1 3 ) f 2 - 1 4 ) 厶p，：工。，h，一喜匹蒜。：。；，厶p ) = 工( r ) h r 一再匹西1 夏i j 向2 ( 2 1 5 ) 1 5 燕山大学理学硕士学位论文 六( r ) = 厂2 ( r ) i i l ，+ 6 ，r ”2 为式( 2 8 ) 的解。 将兀o ) 代入式( 2 8 ) 整理得 导疗一等矗+ y 。b , f ：( f + 2 ) 2 r , - 2 - 2 k 2 艺t ( 2 + f2 r + k 4 艺6 f p = o ， s o l i o，# o 通过比较系数及利用数学归纳法可得 b o = o ，b 2 - l = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， ”一熟一m a 6 2 一面币赫。1 2 3 ， 眦m ，一；| ；熟m ：陋岣 式( 2 1 6 ) 为式( 2 8 ) 的解，可判断，( ，) i = 1 ，2 ，3 ，4 收敛，j i f , ( r ) 、 p ) 、 六( r ) 、 ( ，) 线性无关，从而式( 2 8 ) 的通解为 妒= s i i l 舷 4 石( r ) + 4 工( ，) + 4 工( r ) + 4 ( ，) ( 2 1 7 ) 2 2 3 满足边界条件的解析解 将式( 2 1 7 ) 代入应力分量公式 咿丢h 一纠 旷昙( 胁弓考) 咿丢( 帅砌一刳 铲昙( 胁一纠 1 6 f 2 1 8 ) 第2 章轴对称物体内残余应力的解析解 式中为泊松比，经运算可得 f 仃，= k c o s k z a 。w l ，( ，) + 爿：w e ：( ，) + 爿； w l ，( ，) + 4 m 。( ，) 】 畦凳k c o s k z a ：? ：w 2 鼎3 w 3 鬈渊澎揣 l 盯：= 一 。 。( ，) + 彳：) + 彳，3 3 ( ，) + 彳。w 。( r ) 】 u - 1 刿 b 。= s i n k z a ，w 4 。( r ) + 一： o ：o ) + 爿，w 。，o ) + 4 w 4 4 0 ) 】 其中 w l ，o ) = o l e + 譬z 一七2 u f , w 。j 吣：a f ? + 吐一pa f l 7 ， f = 1 ，2 , 3 ( 2 2 0 ) w 3 。( r ) ：( 2 一m 三，一七z ( 1 一p e 卜 r w 4 i ( r ) = 0 一e ! 兰，l ! 三笋，+ _ j ：p ，7 ，。 代入边界条件式( 2 一1 ) 式( 2 3 ) 得 从而有 k c o s k z a l w i l 如) + 一2 w 1 2 ( p ) + 4 w 1 3 ( p ) + 4 w 1 4 ( p ) 】= 一巧 s i n 拓 a 。 w 4 ，d ) + 彳：d ) + 以k d ) + 以w 。如) 】= 一乙 k c o s k z a l w l l ( 6 ) + 彳2w 1 2 ( 6 ) + 坞w 1 3 ( 6 ) + a 4 w 1 4 ( 6 ) 】= 0 s i n 乜 a l w 4 。( 6 ) + 4 ，( 6 ) + a 3 w 4 ，( 6 ) + 4 ( 6 ) 】= 0 k c o s k z a l w 2 l ( 6 ) + a 2 w 2 2 ( b ) + a 3 ( 6 ) + 4 屹( 6 ) 】= 盯 一k c o s k z a j w 3 ，( 6 ) + 4 w 3 2 ( 6 ) + 坞b ( 6 ) + 4 b ( 6 ) 】= 仃。 4w 1 。( 6 ) + 爿：w l ：( 6 ) + 呜w i ，( 6 ) + a 4w 1 ( 6 ) = 0 4 w ，( 6 ) + 4 ( 6 ) + 4 w 4 3 ( 6 ) + 4 ( 6 ) ：o 爿，也，( 6 ) + 4 ：w 2 ：b ) + a 3 w 2 ，( 6 ) + 以w 。( 6 ) = _ ! ( 2 2 2 ) o u 5 “ a 1 w 3 。( 6 ) + 彳：w 3 ：( 6 ) + 4 ，( 6 ) + 4 w k ( 6 ) = i ! 互= 燕山大学理学硕士学位论文 所以 1w 亿) w 1 ：( 6 ) w 。，( 6 ) w i 。( 6 ) i =雠w：iibw42曷(bw4a(6(bw2；矧 l。( 6 ) w ：) w ”哆jw “忙j l iw 3 ，( 6 ) w ：( 6 ) w 3 ，( 6 ) m - ( 6 ) i 1 0 w 1 ：o ) w i ，o ) w 1 。( 6 ) 1 0 w 4 ：( 6 ) w 4 ，( 6 ) w “( 6 ) = i 熹w 。( 6 ) w ：3 ( b ) ( 6 ) l 罴w 3 ：0 ) w 3 ，0 ) 蝴( 6 ) i w i l ( 6 ) 0w 1 3 【6 ) w 1 4 【6 ) lw 4 ( 6 ) 0 w 4 ，( 6 ) w 4 。( b ) ：2 1 w 2 l ( 6 ) 彘屹) w “o ) 1 w 3 j ( 6 丽o z b 叱s o ) b ( 6 ) 1 w 。，( 6 ) w i ：( 6 ) 0w l 。( 6 ) 1w 4 。( 6 ) w 4 2 ( b ) 0p ) ，2 卜( 6 ) w 2 ：( 6 瓦o 忑 o b w z t ( 6 ) 1w ”( 6 ) w 3 ：( 6 ) = i a 蕊z b w s ( 6 ) m 。( 6 ) w 1 ：( 6 ) w 1 ，( 6 ) 0 w 。( 6 ) w 4 ：( 6 ) w 4 3 ( b ) 0 w 2 1 ( 6 ) w 2 2 ( 6 ) w 。( 6 ) i 蔓 。( 6 ) w 3 ：( 6 ) 心，( 6 ) 兰生z 将式( 2 2 3 ) 代入式( 2 - 2 1 ) ，得 4 = 会，f - l ，2 ，3 ，4 ( 2 - 2 3 ) 第2 章轴对称物体内残余应力的解析解 e 嚣坞a 2 w 4 w 2 1 1 2 ”, 3 t v 4 w 1 3 3 。篡湍( z - z 4 )【咒= 一竺誊【一w 4 。( p ) + 。 ) + 。( p 爹+ 藉啪 p 2 ， 等+ 警十吉= 。 u 。2 由式( 2 2 5 ) 可解得周向残余应力和轴向残余应力的计算公式分别为 t o o = p ? t ”v p + p 鲁+ 乙 出 、7 疋= 一八o 印t = + 古乙 出 c z z 乃 式( 2 - 2 7 ) 为不定积分，积分常数由残余应力的端部边界条件确定，即当 z = 圭时，疋= 。，显然，积分常数为零。 2 3 k 一0 的极限 当七寸。( 七= 予) 时，由式( 2 1 3 ) 式( 2 1 6 ) 得 石( ，) = l ，z b ) = o ，z b ) = o ，石”( r ) ：0 f 2 ( r ) = r 2 ，矗( ，) = 2 ，m ) = 2 ，疗o ) ：0 五( r ) = h ，月( r ) = 吾，m ) 一7 1 ，( ，) = 7 2 ( 2 2 8 ) 正( ，) = ，2 i n r ，f ：( r ) = 2 r l n r + r ，聃) ：3 + 2 i n r ， p ) ：2 将式( 2 - 2 8 ) 代入式( 2 2 0 ) ，得 1 9 燕山大学理学硕士学位论文 w l 。o ) = o ，w 1 ：p ) = 4 卢_ 2 ，w 1 ，( r ) = 专，m 。( r ) = 4 p 一 心。( ，) = 。，( ，) = 4 p - 2 ，屹( r ) = 一7 1 ，( r ) = 4 p l n r 捌步1 ( 2 2 9 ) w 3 ，) = o ， w 3 ：( r ) = 4 ( 2 叫) ，m 0 ，( r ) = o ，w 。( r ) = 4 ( 1 n r + l x 2 - g ) w 。( r ) ：o ，w 。：( r ) ：o ，m 。，p ) ：o ，m 。o ) ：4 0 - ) ， 将式( 2 2 9 ) 代入式( 2 2 2 ) ，得 妒急病 铲一盖譬 ( 2 - s o ) a 4 = 0 将式( 2 3 0 ) 代八式( 2 - 2 4 ) ，得 卜垃io - 1 面均一志纠2 b 。， b 2 2 - - 广0 2 毒等日 一 其中 h = s 曲+ p s 曲，厂= 即2 ，以= n b 2 ( 2 3 2 ) 同理可得 = 毒卜) 面d h 一簪卅 式( 2 3 1 ) 、式( 2 - 3 3 ) 为著名的s a c h s 公式。s a c h s 公式的导出，说明s a c h s 法 是应力函数法的一种特殊形式，也说明应力函数法具有更广泛的适用性。 2 4 本章小结 本章对轴对称物体内的残余应力进行分析，通过建立力学模型，构造 2 0 第3 章轴对称变形强化护环的残余戍力 第3 章轴对称变形强化护环的残余应力 3 1引言 护环是汽轮发电机中的关键零件之一。它是用来紧箍发电机转子两端 绕组线头的圆环，残余应力低、不导磁。护环的质量和工艺技术水平直接 影响到能源、原材料和交通等基础工业的发展，因此，应用精确的数学分 析方法，正确分析构件的变形和回弹，具有重要的实际意义。本章对轴对 称变形强化护环的残余应力进行分析，给出回弹力学模型及回弹时应力计 算的理论依据。并在此基础上对两炮喇叭口爆炸成形强化护环进行分析研 究，得出拐点离上端面远时残余应力的解析解。 3 2 轴对称变形强化护环残余应力的分析 3 2 1 护环变形强化方法的分类与过去存在的主要问题 从研究残余应力的观点来说，护环变形强化的方法可分为轴对称和非 轴对称变形两种。前者有球面模具扩孔、爆炸变形( 图3 - 1 ) 、楔块扩孔和液 压胀形；后者有在半热和室温下的马杠扩孔 4 7 1 。 萋 璜捌溥蒌 l |。 | | | | | 图3 - 1 爆炸变形强化 f i g 3 - 1t h ee x p l o d i n gd e f o r m a t i o n 2 l 燕山大学理学硕士学位论文 本章研究对象只限于轴对称变形强化的护环。 球面模具扩孔和爆炸变形强化工艺生产的护环，常发生下列几种问题： ( 1 ) 切向残余应力普遍过高，而且在护环的高度上是不均匀的。在残 余应力的常规检查时，常发生一端合格，另一端不和格的情况。 ( 2 ) 球扩护环先脱模端的切向残余应力大，且在一个横断面上其应力 符号相同。某些爆炸变形强化的护环，也有类似情况。 ( 3 ) 爆炸变形强化护环，甚至出现过生产厂端部切环检验切向残余应 力合格的护环，在电机厂发生过自然置裂的情况。裂纹出现在近1 3 高度 处的内表面，呈横向圆周内裂，显然是由于轴向的残余拉应力所引起的。 实践说明，在上述两种轴对称变形强化的护环中，残余应力的分布比 较复杂，不但存在着三向残余应力，而且轴向、切向残余应力仃和仃。在 轴向上都是变化的。从护环端部切取应力环的常规检验方法，铡不出