（概率论与数理统计专业论文）破产时间和破产瞬间前后余额的联合密度函数.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t t h e w o r d r i s k i s k n o w n t o a l l o f u s , it e x i s t s i n o u r d a i l y l i f e . i n o r d e r t o a v o i d i t , i n s u r a n c e i n d u s t ry c o m e s i n t o t h e w o r l d . s i m u l t a n e o u s l y , t h e i n s u r a n c e c o m p a n i e s t h e m s e l v e s a r e i n f a c e o f t h e r i s k o f r u i n , s o w e f o c u s o n t h e p r o b l e m h o w t o o p e r a t e t h e c o m p a n y s t a b l y a n d t o k e e p a g o o d s o l v e n c y . i n r e c e n t y e a r s , r e s e a r c h o n r u i n t h e o ry i s a p o p t a s k . t h e r e a r e a v a s t a m o u n t o f l i t e r a t u r e o n s o l v i n g t h e u p p e r a n d t h e l o w e r b o u n d s o f t h e r u i n p r o b a b i l i t y , c o m p u t in g a n d s i m u l a t i n g r u i n p r o b a b i l ity , c a l c u l a t i n g t h e d i s t r ib u t i o n o f t h e s u r p l u s b e f o r e r u in a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e d e fi c i t a t r u i n , a l s o t h e i r j o i n t d i s t r i b u t io n . i n t h i s p a p e r , f o r t h e c la s s i c a l r i s k m o d e l , w e p r e s e n t a n e x p r e s s i o n o n t h e j o in t d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e t i m e o f r u i n , t h e s u r p lu s i m m e d i a t e l y b e f o r e a n d a t r u i n . b y u s i n g t h i s e x p re s s i o n w e d i r e c t l y a n d r e s p e c t i v e l y v e r i 斤t h e g e n e r a l i z e d d i c k s o n s f o r m u l a , a n d c a lc u l a t e t h e e x p a n s i o n o f t h e d e n s i ty f u n c t i o n o f fi n i t e - t i m e r u i n w i t h a n e x p o n e n t i a l i n d i v i d u a l c l a i m a m o u n t d i s t r i b u t i o n a n d a z e r o s t a r ti n g s u r p l u s . w e a ls o f i r s t l y p r e s e n t a n e x p re s s i o n o n t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e t i m e w h e n t h e n e g a t i v e s u r p l u s f i r s t l y r e c o v e r t o 0 , i n a d d i t i o n , w e i n v e s t i g a t e t h e c a s e t h a t t h e i n d i v i d u a l c l a i m a m o u n t d i s t r ib u t i o n i s e x p o n e n t i a l k e y w o r d s : j o i n t d i s t r i b u t i o n ; r u in p r o b a b i l i ty ;t h e n e g a t i v e s u r p l u s fi r s t l y r e c o v e r t o 0 ; f i n i t e r u i n t i m e ; t h e g e n e r a l i z e d d i c k s o n s f o r m u l a . 符号说明 符号说明 f ( a ) 一 一一参数为a的r fa 数 u ( t ) - 一 一 - 一 一一 - - 一一 时刻保险公司的资本盈余 u 一一 一 一 承 保 人 的 初始 准 备 金 c 一- 一一 一 一一 单位时间内收取的保费 n o x t ? 0 )索赔次数 ( 强度为兄的泊松过程) x o ( n _ 1 ) - 一- - 一 一 一 一索赔额 ( 独立同 分布的非负随机序列) n 一一一一- - - 一一 一表示密度函数的n重卷积 不 一. _ _ _ t o - - - - p . ( - 卜 一破产的最小时刻 负余额首次恢复到零值的时刻 一 在初始准备金为“ 的情况下的概率 p ( x ) , f ( x ) - 一 一- 一 分布函数 h ( t , u , x ) - - -更新函数 u 时的破产概率 鱿 e 一变换 为平 威金!肠 一一一一 力嗽s(.以以 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本; 学校有权保存学位论文的印 刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印件和电 子版; 在不以赢利为目 的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动 。 学 位 论 文 作 者 签 名 :眷国 峰 z o o 年 ! 月.)a -h 经指导教师同意，本学位论文属于保密， 在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 渝 5 -f- o r rc 5 4e 私t 0 新 (,%粗 o7j+ loc k 20 -f , 17t 20 砚 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取 得的成果。 除文中己 经注明引用的内 容外， 本学位论文 的 研究成果不包含任何他人创作的、 己 公开发表或者没 有公开发表的 作品的内容。 对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的 其他个人和集 体， 均已 在文中以明 确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位论文作者签名: lo挥 第 t 章 引言 第1 章 引言 1 . i破产理论综述 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于保险、金融、 证券投资以及风险管理等领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学 模型，来描述各种风险业务过程。 风险理论作为经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论 已广泛应用于投资和保险等行业之中。投资者经常需要选择那些损失小、 收益大的项目，而保险公司是获得投保人缴纳的保费收益，同时承担投保 人所面临的相关风险，保险公司和投保人也要面对风险和收益进行风险选 择。为了更科学的进行选择，就要对风险过程进行多方面的具体研究，其 中对其稳定性的重要指标一 日 破 产概率相关问 题的研究，形成了一个重要的 研究领域一一破产理论。 破产 理论 ( r u in t h e o ry ) 是风 险 理论 ( r i s k t h e o ry ) 的 核 心内 容， 现己 公 认， 破产理论的研究溯源于 瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，至今己有百余年的历史。他的工作奠定了非寿险随机模型的基本结构 形式，也奠 定了 保险风险理论的基础， 在此基础上， h a r a l d c r a m e r ( 1 9 5 5 ) 构筑了非寿险数学模型的概率基础，使得风险理论成为应用概率统计的一 个非常活跃的分支. 破产理论是研究风险经营者经营状况的方法理论，主要应用于风险经 营过程的稳定性分析， 预测经营者在有限时间内和最终破产的可能性大小， 从而对经营策略起到指导性作用。在进行风险决策前，对将来要进行的风 险经营过程进行稳定性分析有重要的现实意义和理论意义，尤其在投资和 保险行业，其现实意义更加明显， 通过对破产概率的估计和预测，可决定 是否对一项目 进行投资，通过对一新险种将来经营过程的稳定性分析，可 以决定是否开发这一险种，同时对该险种保费厘定也有指导作用，可以通 过调节保费来达到减小风险经营过程的破产可能性的目的。 破产理论的研究既有其实际的应用背景， 也有其概率论上的研究价值。 事实上， 一类非 常重要的 随 机 过程， 即p o i s s o n 过程， 正是l u n d b e r g 首 次 在1 9 0 3 年 的 博 士 论 文 中 提出 的， 不 过l u n d b e r g 的 工 作 不 符 合 现 代数 学的 严 t 第 i 章 引言 格标准，它的严格化是以 h a r a l d c r a m e r为首的瑞典学派完成的， c r a m e r 将l u n d b e r g 的 工作建立 在坚实的 数学 基础 之上， 与 之同时， c r a m e r 也发 展 了 严格的随机过程理论。另外h a n s u . g e r b e r 是c r a m e r 之后当代研究破产 论的国际领先学者，他不仅将较方法引入到破产论的研究中，而且深化了 经典破产论的研究内容。另一方面，人们依据风险模型的不同提法，针对 保险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率或统计模型进行修正，附加 必要条件，得到种种在不同方面进行完善的保险风险模型，使得模型更接 近保险公司的实际运作过程， 这使得风险模型的研究变得非常富有挑战性， 所以对不同风险模型的破产概率研究在国际上一直是人们关注的一个焦 点，但国内从事这方面研究的人员还比较少。 1 . 2研究破产理论的意义与重要性 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是 主要的风险因素。为了保障保险公司财务经营的稳定及减少损失波动，保 持足够多的保单数目是必不可少的。保险公司必须统筹安排:应备有多少 准备金用于赔付，应将多少资金注入投资，以增加收益。保险公司最基本 的经营目 标就是要提高保险公司的偿付能力，确保稳定运作。因此， 科学 地预测保险公司未来的保费收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司 的破产概率，等等，都是十分重要的课题。我国的保险事业起步较晚，保 险业可能采用的金融投资工具有限，投资增值能力也较差，因此更加需要 加强保险公司的经营管理。 保险公司一方面应采取各种措施增加保单数额， 稳定风险波动，另一方面合理地厘定保险费率，科学测算未来的风险和收 益，这己经成为我国保险业必不可少的稳定经营手段。人们所关心的是保 险公司在每一时期的破产概率及最终破产概率，破产概率及其相关的 l u n d b e r g 指数 ( 也称调节系数 ) 是一个重要的经营安全性的测度， 是衡量保险 公司 偿付能力的主要指标之一， 破产概率可以 作为综合保费和索赔过程的 保险公司 稳健性的一个指标，是风险管理的一个有用工具。 破产概率高意 味着保险公司不稳定，这时保险人必须采取诸如进行再保险或提高保费等 措施，或者还可以设法吸收一些额外的资本金。 破产概率使得我们可以对不同的保单组合进行比较，但是需要注意的 第 . 章 引言 是我们不可以对破产概率理解绝对化，这是因为实际上它并非真正表示保 险公司将在近期倒闭的概率。首先，破产可能会等到数个世纪才会真正发 生: 其次， 在计 算破产概率的时候， 对过程的 一些潜在干涉( 如分红利或者 对一些索赔记录不 好的风险变量 提高保费等 ) 都被忽略了;再者，一方面通 货膨胀的影响和另一方面资本金的收益被假设成正好相互抵消了。 破产概 率只考虑到保险风险，而没有考虑到管理上可能发生的重大失误;最后， 破产的情况仅仅是一个数学概念而己，当资本金过程变为一 1欧元时，保险 公司实际上并没有倒闭，而资本金过程变为+ 1 欧元时，保险公司几乎没有 了偿债能力。 1 . 3国内外研究现状分析 破产概率的计算是精算学的一个经典的问题。虽然有可能求出没有破 产的概率( 生存概率 ) 的矩母函数， 但是破产概率仅仅对两种类型的索赔分布 才容易计算出来，它们是指数分布及其和、混合和组合以及只取有限个值 的分布。对于其他一些分布来说，通常我们可以建立起一个优雅的并且足 够精 确的上界 估计， t ( u ) _ 0 ; 称为计数过程。 例i 设 函 数n ( t ) 表示 到时 刻t 为 止进入 某商 场的顾客 人数， 则 n ( t ) , t ? o 是一个计数过程.如果n ( t) 表示在时刻t 商场中的所有顾客的人数，则随机 变量n ( t ) ,t _ 。 不是计数过程. 例2设n ( t ) 表示到时刻t 为止在某一地区中出生的人数，则( n ( t ) , t 0 ) 是一个计数过程. 对于计 数过程( n ( t ) ,t 0 ) , n ( t ) 必须满足以下条件: ( 1 ) n ( t ) _ 0 ; ( 2 ) n ( t ) 的值均为整数; ( 3 )如果s o ， 事件发生次数的分 布在区间 ( t i + s , t2 + s ) 和区间( t t, t z ) 的分布相同， 则称计数 过程 n ( t ) ,t _ o 具有平稳增量。 2 . 1 . 2 泊松过程 定义i 如果计数过程( n ( t) ,t 2 :0 ) 满足以 下条 件， 则称为具有参数a ( a 0 ) 的泊松过程二 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 ( 1 ) n ( 0 ) = o ; ( 2 )计数过程具有独立增量; ( 3 )在任何长度为t 的区间内， 事件发生的次数服从参数为a t 的泊松分 布，即对于任何s ,t ? 0 p 毛 n ( t + s ) - n ( s 卜n ) = ( a t ) e a 儿! , n om 注意，条件( 3 ) 说明泊松过程有平稳增量， , 1 , 2 . . . . 因为n ( t + s ) 一( s ) 的分布只依赖 于t, 与区间 起点s 无 关。 ( 3 ) 中令s = 0 ，得 - - 一 、 方 ) k q u._ . _ r l iv l t pi q = 一- 二 丁 - -， = u ，1 ，乙 ， 尤! 所以有 m ( t ) = e n ( t ) = a t , 这就是说 o t ) 间隔中事件出 现次数的平均值为a t , a 称为过程的强度。 在实际中， 很多随机 现象都满足( 1) 和( 2 ) ， 但是否满足( 3 ) 似乎并不很明确。 为 此我们给出另一等价定义: 定 义2 如 果 计 数 过程 n(t)j_0 满足以 下条 件， 则 称为具有参数a ( a 0 ) 的泊松过程: ( 1 ) n ( 0 ) -0; ( 2 )计数过程具有独立和平稳增量; ( 3 ) p ( n ( h ) = 1 卜a h + o ( h ) ; ( 4 ) p n ( h ) 22) = o ( h ) e 定义2 中条件( 3 ) 表明， 在充分小的时间间隔中事件出 现一次的概率与时 间间隔的 长度成正比， 条件( 4 ) 表明 在很小的时间间隔内 事件不能出 现两次或 两次以上。 以 上的条件也可以 表示为: ( 1 ) n ( 伪 幼; ( 2 )计数 过程 具 有 独立 增量 ; ( 3 ) p ( n ( t + h ) - n ( t ) = 1 ) = a h + o ( h ) ; ( 4 ) p ( n ( t + h ) 一( t ) ? 2 ) = o ( h ) e 第2章 经典风险模型概述及相关的基础知识 考虑一个泊松过程( n ( t ) , t _ o ) ， 表示( 0 ,t 时间间隔内发生的 索赔次数， 设 t ， 表示第一次索赔事件发生的时间， 对于n 1 ，设t 。 表示在第( n - 1 ) 次和第n 次索赔事件间隔的时间，则 t ,n = 1 ,2 , . . . 称为到达时间间隔序列。 命题1 强 度为11 的 泊 松过 程 n ( t ) , t _ o 的到 达 时间间 隔t i ,t 2 , 是相互 独 立的随机变量序列，均服从均值为又的指数分布. 证明: 因为事件t , t 是指第一次事件发生的时间大于t ，即在区间( o , t i 中 没有事件发生，根据泊松过程的定义，有 p ( t , t ) = p ( n ( t ) = 0 卜e u p ( t , s t 卜 1 - e - e - i l l 2 ! o o , t t l t m= s ) = p ( s ,s + t) 内 无 索 赔 发 生 i t ,= s 增量独立性= p ( ( s ,s + t ) 内 无索赔发生 增量 平稳性 = p ( n ( t ) - 0 = e 一。 这 表 明 毛 与 t , 相 互 独 立 ， 并 且 也 服 从 均 值 为 工 的 指 数 分 布 . 重 复 上 面 兄 步骤对t 3 , t 4 ,讨论，得iiie o 注意: 命题 1 所述事实与直观是完全相符的。事实上，由 于泊松过程具 有独立增量，所以从某一时刻索赔发生的情况与这时刻以前发生索赔的情况 相互独立。由过程具有平稳增量，知其分布也与先前那段时间的过程是一样 的，即有无记忆性，由初等概率论知识知道，具有无记忆性的连续型分布只 有指数分布，这正是命题1 的结论。又 表示单位时间内 发生的索赔次数， 所 以 粤 表 示 一 次 索 赔 发 生 所 需 的 平 均 时 间 间 隔 . 元 用s 表示第n 次 索赔发生的 时刻，则 s二 艺t , ,n _ 1 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 称为直到第n 次索赔发生的等待时间， 也称到达时间。 命 题2 : 等 待 时 间 戈 服 从参 数 为n , .1 的r 分 布 。 证明 : 因 为事 件 s _ n 卜 两边对t 求导数就得 f(t)=-.n 一 (iu y +1! i 一 黔 得证。 2 . 13 非齐次泊松过程 定义3 如果计 数过 程 n ( t ) ,t _ o ) 满足以 下的 条 件， 则称为非 平 稳或非 齐 次泊松过程， 且具有强度函数a ( t ) ,c _ 0 : ( 1 ) n ( 0 ) = 0 ; ( 2 ) ( n ( t ) ,t _ 0 具有独立增量; ( 3 ) p ( n ( t + h ) - n ( t ) ? 2 = o ( h ) ; ( 4 ) p ( n ( t + b ) - n ( t ) = 1 卜a ( t ) + o ( h ) e 注意: 非齐次泊松过程不再有平稳增量. 也就是说概率 p ( n ( t + s ) 一( t ) = k ) 不但依赖于s ，也与t 有关。 这也反映 在不同的t 有不同的强度r ( t ) 。在a ( t ) 有界时， 比 如a ( t ) s .l ,t 2 : 0 ， 这时可以 将非齐次泊松过程看作是强度为a 的泊 松过程中的一个随机的样本。具体的说，设在强度为兄 的泊松过程中有第 1 类 索 赔 ， 它 在 “ 刻 t 以 概 率 p (t)= 粤 发 生 ， 而 且 “ 其 他 索 赔 发 生 相 互 独 立 那 么 第1 类 索 赔 在 ( 0 , t 到 达的 数目n i( t ) 显 然 满 足 定 义3 中 的 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ， 而 且由 p n , ( t + h ) - n , ( t ) = 1 ) = p ( n ( t + h ) - n ( t) ) = 1 ) p ( 索 赔 是 第1 类 的 in ( t + h )- n ( t ) = 1 ) 一 ， 4 a ( r ) 十 。 ( h ) 兄 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 知也满足( 4 ) . 所以n i ( t ) 作为泊松过程的一个随机样本，是非齐次泊松过程。 2 . 1 . 4 复合泊松过程 定义4 设x 1 , x 2 ， 二为一列独立同分布的随机变量, n ( t ) , t 2 0 为强 度为 a 的 泊 松过程， 且与夏 x,n _ 仍 独 立。 令 戈 阳艺间 -一 0 q目 则称 s ( t) ,t _ 0 为复合 泊 松过 程. 若n ( t ) o ， 约定s ( 0 0 - 根据m a t h e m a t i c s a n d e c o n o m i c s 3 3 ( 2 0 0 3 ) 1 4 7 - 1 6 1 ) s (t)= 5 . x , - f(. )= 。 一 . ( ), .(c t) ，t 。 ， (2 .1 ) ,a石 n! 其中n 表示密 度函数的n 重卷积。 在风险论中， 这一过程的构造具有重大的意义: 如以n ( t ) 表示发生在( 0 , t 中的 索 赔次数， 以x ; 表 示第i 次的 索赔额， 则s ( t ) 就 等 于发生 在( 0 , t 中 的 索 赔总额。 从这个意义上讲， 可称 s ( t ) , n 0 ) 为索赔总额过程， 它由 参数a ( 单位 时间内 的索赔次数的期望值) 和索赔额的分布函数f ( x ) 所刻划。 这样， 索赔总 额服 从复 合 泊 松 过 程的 假 设 就 意 味 着， 在每 一 时 间 区 间 ( t ,t + d t 内 ， 或者 没 有 发生索赔 ( 相应的概率为1 - d d t , ) 或者 恰好发生一次 索赔 相应的概率为a d t ) a 在后一 种情况， 索赔额是一个具有分布函数f ( x ) 的 独立于任意其他因素的随 机变量。 由泊松过程的相应性质可以推出复合泊松过程也具有平稳与独立的增 量。 事实 上， 在长 度为h 的 时 间区间 上的 增量s ( t+ h ) - s ( t) 恰服从复合泊 松分 布， 其泊松参数为a h ，加项的分布函数为f ( x ) o 2 . 1 . 5 更新过程 泊松过程的到达时间间隔是独立同分布的服从指数分布的随机变量，如 果索赔发生的时间间隔是独立同分布的随机变量，但其分布是任意分布，这 样得到的计数过程就是更新过程。 具体地说， 设x,n = 1 , 2 , . 为一列具有共同 分 布f 的 独立随 机 变量 序列 ， 为 避免 不足道的 情况， 假设f ( 0 ) = p ( x a 0 ) l ( 我 们通常约定f ( 0 ) = 0 ) ，令 9 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 n = e x = r x d f (x ) 由x n _ 0 , f ( 0 ) 1 ，可知0 n u n 故当n - ) . + o o 时， 有又呻一 ，即以概率i 使得s o t 的n 至多 有有穷多 个。 这样( 2 . 1 ) 就可写成n ( t ) = m a x 夏 n , s _ 0 ，有m ( t ) _ 1 是停时，或称马尔 可夫时。 2 . 2几种常见的理赔额分布 常见的理赔额分布有指数分布、 伽马分布、 对数正态分布、 威布尔分布、 逆高斯分布等许多种，这里我们简单介绍几种。 2 . 2 . 1 指数分布 假设某种随机事 件在一定时期内发生的次数服从泊松分布， 则相邻两次 随机事件的间隔时间服从指数分布。指数分布在理赔额分布的理论研究中占 有十分重要的地位。指数分布的密度函数为 f ( x ) = a e - a , x 0 ( 2 .4 ) 分布函数为 f ( x ) = i - e - , x 0 ( 2 . 5 ) 指数分布又称为 寿命分布， 它是许多 产品寿命分布的 近似， 如灯泡的使 用寿命就服从指数分布。此外，在财产保险中，许多保险标的发生一次索赔 时的索赔量都近似服从指数分布。 另外， 指数分布的一个重要性质是和几何分布一样，具有无记忆性，即 对于任何非负实数s , t 满足: 1 t 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 p ( x s + t ix _ t ) = p ( x s ) o 2 . 2 . 2 伽马分布 假设某种随机事件在一定时期内发生的次数服从泊松分布，则第r 次随 机事 件发生 所需的间隔服从参数为 ( r , fl ) 的伽马 分布，其密度函 数为 a x ) 一 黑 。 一 t 厂一1 少 : ( 2 . 6 ) 若将r 的取值范围从整数域推广到正实数域即得通常的伽马分布，其密 度函数为 f ( x ) 几 a x a - i = 一e i ( a ) !一 打 , a o , a 0 当。 为正 整数时，又称其为e r la n g 分布。 2 . 2 . 3 帕累托( p a r e t o ) 分布 p a r e t o 分布的密度函数为 i (x ) = 华集 ， x 0 ( p十x 1 - ( 2 . 乃 分布函数为 1 . - -、 一 ，夕 ar i x) 0 1一 一( f + x ) a 可以 证明， 当均值,u = e ( x ) 保持不变， 并令“ 今。 时， p a r e t o 分布收敛到 指 数 分 布， 参数 为a 。 参 数为 ( a , q ) 的p a r e to 分 布 乘以 正 实 数。 之 后 仍 然服 从p a r e t o 分布， 相应的分布参数为 ( a , 叨) 。 在金融分析中，满足某些条件时， 随机利率 或投资收益等可近似地服从 p a r e t o 分布，某些物品的使用寿命也可用p o r e to 分布近似。 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 2 . 3余额过程 一般来说风险模型由三个过程组成: ( 1 ) 保费 收 入过 程 r ( t) ,t _ 0 ) , r ( t ) 表示 0 ,t 内 收 到的 总保费 ; ( 2 ) 理赔到 达的计数过程i n ( t ) ,t _ 0 ) , n ( t ) 表示 在 0 , t 内发生的理赔总次 数; ( 3 ) 理赔额序列( x k ,k ? 1 ) , x k 表示第k 次理赔的理赔额。 则 戈 刚艺问 u ( t ) = u o + r ( t ) - 表示余额过程， 也就是保险公司在t 时刻的 余额 ( 或累积资 本) ， 其中u o 为初始准备金。 风险模型的最简单情形为经典风险模型。经典风险模型需要如下附加假 设 ( 1 ) 保费 收 入过程i r ( t ) ,t ? 0 为时间t 的 决定 性函 数r ( t ) = c t ,t 0 ， 其中c 是 一常数， 表示单位时间内收到的保险费 ; ( 2 ) 理赔到达的计数过程 n ( t ) , t _ 0 ) 为一 齐次p o i s s o n 过程，具有参数. 1 ; ( 3 ) 理 赔 额 序列 x k ,k ? 1 ) 为独立同 分布的非负 随机 变量序列， 它们 有共同 的分布函 数p ( x ) 和密度函 数p ( x ) ，且e , k = u o 表示保险公司 的 初始资 产; n ( t ) 常 数 。 是 单 位 时 间 保 费 收 入 ( 保 费 率 ) ; l r x是 总 理 赔 量 过 程 ， 为 一 复 合 p o i s s o n 过程， 其中n ( t ) 为一 随机点过 程， n (t ) 表示 ( 0 ,t) 内 理赔到达次数为 一 第2 章 经典风险模型概述及相关的基础知识 n ( r ) 参 数 为 a ( a 0 ) 的 p o is s o n 过 程 ， 当 n (t) = o 时 ， 艺x , = 0 . 该风险过程的一条样本路径见下图 ( 2 . 1 ) ( 2 9 ) 戈 刚v白1-1 s ( t ) = c t - 为 使 模型 具 有实际 意 义， 假定c - 川 0 . 由于随机变量 髻 ; -f(x)= e-ai ( - p (ct),to,x0o. n l ( m a t h e m a t i c s a n d e c o n o m i c s 3 3 ( 2 0 0 3 ) 1 4 7 - 1 6 1 ) ， 贝 1j 利用随 机 变量函 数分 布的 计 算，随机变量s ( t ) 的密度函数可表示为 f r o (x ) 一 艺 c - a l ( 之 t ) . 一寸-p- ( cl一x ) n : ( 2 . 1 0 ) 用本文的记号 f s (t)( x ) = 1 7 l v , q x j .l甲，ea 匕们l j t i tu 1 同k1 c - 一 ， 1 1 曰王少月 c 一 跳 ， 概 率 为 ; d x * 可 d x- + o ( - ) ， 以 及 这 一 跳 或 若 干 跳 使 轨 道 下 降 的 幅 度 范 围 之 宽度不可能超过d x , c 再由于模型中独立性的假设，可推知 1 1 = o ( d x ) 1 8 第3 章 重要公式及其应用 于是我们有，当x u ? 0 e 0 p ( u 一 x ) 一 t ( u ) 1 一 甲 ( 0 ) ， 若o u - 0 a p ( x + y )e - 0 p (4 e l f e 8 p . (t o s t , t + d t ) 一 r e sp , ( t o e t ,t + d t )，若 0 u ? 0 a p (x + y x f e sp _ (t , e t,t + d t)p (8 ) 一 e 0 r e sp (t o e t,t + d t)p (8 )，若 、s u 誉 p (x + y )e 0 今器，若 x u - 0 - pc (二 ， )一 e t (u - x )- p (u)1- 1(0)，若 。 u - 0 c 1 一 y ( 0 ) (1 一 p (x )。 一 已 黔 旱 毕丛 ，若 。 u 0 e 0 t( u 一 x ) 一 y ( u ) 1 一 甲( 0 ) ， 若0 x _ u 2 0 第4 章 负余额首次恢复到零值时刻t o 的分布m数 第4 章 负余额首次恢复到零值时刻t 。 的分布函数 4 . 1 t o 的分布函数 命题4 . 1 : t o 的 分布函数可表示为 n， ， ，、f， _ ，_、 ， _， _ _、护x， _ _ 、 _， _ 、 _ 、 ， f -y_ ， _ 、 j _ 、 ， _ 二 _ j _ p . ( t o 5 t ) =l l a p ( x + y ) ( 8 , ( x 一 u ) 一l 馆r ( x ) 9 5 _ ， ( 一 u ) d r ) ( l- % a ( y ) d a ) d c d y d sl - 9 , ( x ) 8 , - , ( - u ) d r ) ( 即.目刊 r口 ( 4 . 1 ) 证 明 : 利 用 f ( x ,y ,t lu ) 的 表 达 式( 3 .1 - 3 .3 ) 及 停 时 强 马 氏 性 ， 我 们 得 到t o 的 分 布函数公式为 p (to “ ) 一 b f p (t e s ,s + d s ,iu (t )le y ,y + dy )d y (t - s ) 一 b f f .f (x , y s lu )(d , (t 一 : ) 一 b b b a h (s ,u ,x )p (x + y )4) y ( 一 : )d x dy d s 声尸尸_产 x_、 护 一 ，v =l l l a p ( x + y ) ( s . ( x 一 u ) 一l -, ( x ) s , - , ( - u ) d r ) ( l zl g o ( y ) d a ) d cd y d s “川司 r刃口 下面给出索赔额为直属分布函数时t o 的分布函数展式， 为简便起见， 只 考 虑 u = o 的 情 况 。 记 ， 一 工 ， 则 p ( x ) - q e -l ，从 而 p (x 十 y )一 加 一。 e -16 = ，由 公 产 式 ( 4 . 1 ) 及住乃 ，我们需要分别进行如下计 算 r e-.6- 8,(x) 二 礁e fl xe a,等/( 。 一 x)d c 由伽马分布的定义， 一 f 鑫 e-b,e x, 上式 ( a s ) ( c s 一 x ) . - i n ! 1 ( n ) q e - 6 ( -)a e - . ( , s ) 一兰 n ! r ( n ) e -b . f (cs - x )-d x .乏词 第4章 负余额首次恢复到零值时刻t o 的分布函数 一 买 ( a s ) ( q c ) n e ( .l + p 广 ， 二 二 厂 下 厂 一 一 不 二 二 犷 ，.不 二 二 犷 ，-不 二 二 犷 ，l不 二 二 犷 ， l l l h+ ( l c x t 一 s ) , z m+l ) s e ， 一 ” ” 由 n a n +1 厂 m.( m一1 ) : 气 a+ p c ) ( 4 . 6 ) 4 . 2特例 ( 一 ) 在 索 赔额 为 指 数 分 布 函 数p ( x ) = 1 - e le 时 由命题4 . 1 ，当u =0 时，有限时间破产概率关于 t 的导数为 t. ( t ) =r r “ 一 y , t l0 )d x d y r a e -a (8 , (x ，一 f _ 8 , (x )8 , , (0 )d z )d x f ( f p (x + y )d y )a h (t,0 ,x )d x ( 4 . 乃 于是由 ( 4 .2 ) , ( 4 .4 ) ， 可知有限时间破产概率的密度函数展开式为 甲 。 、 ) = a t (a c fl r t2e ( a,* ) 石 二 石 nt ntl ) : 而由d i c k s o n (; t) 一 cfla ( 4 . 7 ) ( 4 . 8 ) ， 可得出结论 10 *(t) ( r 一 与 ( 4 . 9 ) 其中t o 2 ( t ) 表 示 分 布a 数 的 卷 积。 ( 习 在 表 达 式( 4 .7 ) 中 把t o ( ) , s , - , ( 0 ) 和i ( x , y 川 0 ) 中 的0 均 改 为u ， 可 见 ( 4 .6 ) 仍然成立，那么比较 ( 4 . 1 ) 和 ( 4 .7 ) 可推出，在指数情形有 p ( t e t , t + d t , iu ( t 习 e y , y + d y ) = p ( y ) y . ( t ) d t d y ( 4 . 1 0 ) 即 p . ( t 5 t , iu ( t ) i 5 y ) = ( 1 一 p ( y ) ) y . ( t ) 上式推广了所熟知的公式 p ( t :5 - , iu ( t )i s y ) = ( 1 一 p ( y ) ) ,f d ( 0 o ) ( 四) 结合 ( 4 . 1 ) ，( 4 . 8 ) , ( 4 . 1 0 )可推广 ( 4 .9 )为 p ( t o 5 t ) =to ( .) t . ( t )( q = 生) 结论 结论 本文第一章介绍了保险业风险管理的概念及重要性，总述了研究破产 概率的理论意义及实际意义与国内外研究现状分析，第二章介绍了风险模 型及相关的数学基础知识，如泊松模型、常用的理赔额分布等。第三章是 作者在硕士期间的主要工作，对破产时间和破产前后的盈余与亏空的联合 分布进行了求解。关于保险风险模型破产理论方面的研究，本质上都可以 归结到随机变量随几和的极限问题，因为盈余过程的表达式实质上就是随 机变量的随机和形式，所以利用随机和的极限理论就可以得到风险盈余过 程很多深入的性质，也就彻底解析了各种风险模型的破产概率、破产盈余 分布、 破产时刻等等一系列问题，使得保险破产理论的研究更加彻底和完 善. 同时关于随机和的极限问题方面的研究成果比 较少，而且研究起来难度 比