（物理学专业论文）楔形与圆锥形颗粒堆的应力凹陷问题研究.pdf

i ： o d p 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：卑日期：盟年月三日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ，ffi。t、 中南大学硕士学位论文摘要 摘要 颗粒物质的宏观力学行为远比我们熟悉的牛顿流体和胡克固体 复杂，其非线性程度、耗散机制的种类和强度，边界条件的不确定性， 都远超过后者。即使简单的静态颗粒堆，如何分析其中的应力分布仍 是一个未完全解决的问题。 目前文献上对静态颗粒体的应力分布问题主要有两种处理思路。 一种倾向认为它具有本质上的不确定性，因此原则上讲不存在对任意 几何形状颗粒体都普遍适用的方程组，可用于应力分析计算。但对某 一特定几何情况，比如桌面上的圆锥形沙堆，其应力张量的分量之间 可能近似满足某个代数关系，又称应力关系。注意应力关系并不是普 适的理论方程，其具体形式不仅与所考虑的颗粒样品几何有关，甚至 还可能与它的制备历史有关。另一种处理这个应力问题的思路是认为 静态颗粒体属于非线性弹性固体类材料，因此只要已知边界条件，其 中的应力就确定了，并可从一个合适的弹性势能函数出发，用经典弹 性理论方法计算。也就是说，用弹性理论框架能得到对任意几何形状 和制备历史的颗粒体都适用的一般完备方程组，而不同情形下的那些 应力关系只不过是这组方程的一些近似特解。 物理文献中曾对颗粒堆应力分布提出多种不同的唯象应力关系 模型，包括著名的固定主轴模型和新近提出的切应力模型等。本文通 过计算它们对弹性方程的符合情况，定量考察了“应力关系 与“弹 性 方法之间的联系，并在此基础上，对比讨论了这些应力关系的合 理程度和改善修正的途径。结果表明它们在堆内部都能较好地满足弹 性方程，在靠近自由边界时有明显偏差，但可通过降低侧边界附近的 切应力强度的方法加以改善。另外，利用切应力模型定性的考察了考 察了应力的空间相似性和堆底的“压力凹陷 之间的联系。通过分析 结果得出：堆内部不同高度圆堆的切应力分布是否具有空间相似性和 中心凹陷的现象有关联，同一个堆的“上层 的切应力的强度比“下 层”的越大时，越有利于凹陷的产生。 关键词：颗粒堆，应力分布，切应力模型，非线性弹性理论 中南人学硕十学位论文 a b s t r a ( 了r a b s t r a c t m a c r o s c o p i cm e c h a n i c a lb e h a v i o ro fg r a n u l a rm a t e r i a li sm o r e c o m p l e xt h a nt h eo u rf a m i l i a rn e w t o n i a nf l u i da n ds o l i dh o o k ，o fw h i c h t h en o n l i n e a re x t e n t ，t h et y p ea n di n t e n s i t yo fd i s s i p a t i o nm e c h a n i s m s ， u n c e r t a i n t yo fb o u n d a r yc o n d i t i o n s a r ea l lf a rm o r ec o m p l e xt h a nt h e l a t t e r e v e nf o ras i m p l es a n d p i l e h o wt oa n a l y s i si t ss t r e s sd i s t r i b u t i o no f i sy e ta nu n s o l v e dq u e s t i o nu pt on o w t h e r ea r em a i n l yt w ot r a i n so ft h o u g h t so nt h ec a l c u l a t i o no ft h e s t r e s sd i s t r i b u t i o ni nt h es t a t i c g r a n u l a rm a t e r i a l o n ei sd i s p o s e dt o b e l i e v et h eg r a n u l a rm a t e r i a li se s s e n t i a l l yi n d e t e r m i n a c y ，s ot h e r ei sn oa u n i v e r s a lt h e o r yc a nb eu s e df o rt h es t r e s sd i s t r i b u t i o na n a l y s i s b u tf o ra p a r t i c u l a rg e o m e t r y ，l i k eas a n d p i l eo nat a b l e ，ac o n s t i m t i v er e l a t i o n ( o r s t r e s s r e l a t i o n ) b e t w e e nd i f f e r e n tc o m p o n e n t so ft h es t r e s st e n s o re x i s t t h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o ni sn o tau n i v e r s a lt h e o r ye q u a t i o n ，o fw h i c ht h e e x p r e s s i o n i sn o to n l yr e l a t e dw i t ht h e g e o m e t r yo ft h es a m p l ei n c o n s i d e r i n g ，b u ta l s or e l a t e dw i t ht h ep r e p a r e dh i s t o r yo ft h es a n d p i l e t h eo t h e rt h o u g h to fs o l v i n gt h es t r e s sp r o b l e mi sr e g a r d i n gt h es t a t i c g r a n u l a rm a t e r i a la se l a s t i cr i g i dm a t e r i a l ，s oo n c et h eb o u n d a r yc o n d i t i o n i s g i v e n ，t h es t r e s sd i s t r i b u t i o ni n i ti sf i x e da n dt h es t r e s sc a nb e c a l c u l a t e df r o mas u i t a b l ee l a s t i ce n e r g yu s i n gt h et y p i c a lm e t h o do ft h e e l a s t i ct h e o r y i tm e a n st h a t ，i nt h ee l a s t i ct h e o r yf r a m e w o r k ，w ec a ng e t as e r i e so fg e n e r a lc o m p l e t ee q u a t i o n sf o rg r a n u l a rm a t e r i a lo fa r b i t r a r y g e o m e t r ya n dp r e p a r a t i o nh i s t o r y ，m e a n w h i l et h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o ni n d if f e r e n tc o n d i t i o ni sj u s tt h e a p p r o x i m a t ep a r t i c u l a rs o l u t i o no ft h i s g r o u po fe q u a t i o n s s e v e r a ls t r e s s r e l a t i o nm o d e l sh a v eb e e ns u g g e s t e di n p h y s i c a l l i t e r a t u r e ，i n c l u d i n gt h ef a m o u sf i x e dp r i n c i p l ea x em o d e la n dr e c e n t l y p r o p o s e dt a n g e n t i a ls t r e s sm o d e l b yc a l c u l a t i n gt h ed e g r e eo ft h e y c o m p l i a n c ew i t ht h ee l a s t i ce q u a t i o n s ，aq u a n t i t a t i v es t u d yo ft h er e l a t i o n b e t w e e nt h es t r e s s r e l a t i o na n de l a s t i ca p p r o a c hi sc a r r i e d a n do nt h i s b a s i s ，w ec o m p a r e a n dd i s c u s st h e r a t i o n a l i t yd e g r e e o ft h e s e s t r e s s r e l a t i o n s t h er e s u l ts h o w st h a tag o o da g r e e m e n tb e t w e e nt h e m o d e l sa n de l a s t i c t h e o r yc a nb es e e nw e l li n s i d et h ep i l e ，w h i l e r e m a r k a b l ed e v i a t i o no c c u r sa sf r e eb o u n d a r yo fp i l es i d ei sa p p r o a c h e d t h ed e v i a t i o nc a nb eh o w e v e ri m p r o v e db yd e c r e a s i n gs t r e n g t ho f t a n g e n t i a ls t r e s sn e a rt h eb o u n d a r y i na d d i t i o n ，aq u a l i t a t i v es t u d yu s i n g t h et a n g e n t i a ls t r e s sm o d e l i sc a r r i e df o re x a m i n gt h el i n kb e t w e e nt h e s p a t i a ls i m i l a r i t yo fs t r e s s ( o rt h er a d i c a ls t r e s sf i e l ds c a l i n gs h o r tf o r r s fs c a l i n g ) a n dt h e p r e s s u r ed i p u n d e ras a n d p i l e t h er e s u l ts h o w s t h a tt h er s fs c a l i n gi sa s s o c i a t e dw i t hd i po b s e r v e di nd i s t r i b u t i o no f n o r m a ls t r e s s ：w h e nt h e u p f o ft h es h e a rs t r e s si n t e n s i t yi sg r e a t e rt h a n ”l o w e r ”t oal a r g e rd e g r e e ，t h em o r en o t a b l eo fd i pa p p e a r k e yw o r d s ：g r a n u l a rp i l e ，s t r e s sr e l a t i o n ，t a n g e n t i a l s t r e s sm o d e l ， g r a n u l a re l a s t i ct h e o r y 中南大学硕+ 学位论文目录 目录 摘要i a b s t r a c t n 第一章绪论l 1 1 引言1 1 2 静态颗粒堆的几个物理性质一2 1 2 1 颗粒的堆积密度和挤压膨胀2 1 2 2 沙堆的静止角和颗粒中的摩擦力3 1 2 3 粮仓效应和j a n s s e n 连续介质模型4 1 2 4 颗粒堆中力的分布5 1 3 颗粒弹性理论简介7 第二章应力关系模型介绍9 2 1 引言9 2 2 一点的应力状态与摩尔圆1 0 2 3 不完备的力平衡方程1 2 2 4 库伦屈服条件1 3 2 5i n c i p i e n tf a i l u r ea tt h es u r f a c e 边界条件14 2 6 标度不变性假设l5 2 7 应力关系模型1 6 2 7 1 极限平衡模型1 6 2 7 2b o u c h a u dc a t e sa n dc l a u d i n 模型16 2 7 3 固定主轴模型1 7 2 7 4o r i e n t e ds t r e s sl i n e a r i t y 模型18 2 7 5 切应力分布模型18 2 8 小结一l9 第三章切应力抛物线模型的修正2 0 3 1 楔形堆2 0 3 1 1 颗粒堆应力分析方法2 0 3 1 2 固定主轴模型2 1 3 1 3 切应力分布模型2 3 3 2 圆锥堆2 4 3 2 1 不完备的力平衡方程2 4 3 2 2 应力关系模型2 6 3 2 3 计算结果2 7 3 3 小结2 8 第四章颗粒堆应力的非线性弹性分析2 9 4 1 线性弹性理论2 9 4 2 线件弹性力学边值问题的两种解法3 1 4 3 颗粒的非线性弹性理论3 2 4 4 小结3 3 第五章应力关系作为颗粒弹性方程的近似解3 4 5 1 楔形堆问题一3 4 i v 南人学硕士学位论文目录 5 2 圆锥堆问题3 6 5 3 小结3 8 六章总结与展望3 9 考文献一4 1 录z l ! ； 谢z 1 6 读硕士期间的主要研究成果4 7 v 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 颗粒堆积物( 如沙堆、白砂糖等) 是人类生活和生产中经常遇到和处理的材 料，但它的许多基本性质却至今未被彻底理解和掌控【1 3 】。近二十多年来一些物 理研究者注意到了这一状况，并开展了相应的研究工作【4 5 】。颗粒物质表现出许 多不同于普通液体或弹性固体的行为，人们至今还没有形成完全一致的看法和理 论，如支配宏观应力场( 即粗粒化( c o a r s e - g r a i n i n g ) 平均应力【6 】) 在这类物体中 传播的基本方程；循环加载下表现出的塑性蠕动和棘齿现象【7 8 】；随着间歇拍打 或摇动颗粒物质的密度会缓慢地向一平衡点弛豫【9 1 ；沙丘表面声波的反常波速和 崩塌时发出的特别鸣响【1 0 】；交通流与颗粒流【1 1 1 3 】；气态等等。近年来吸引了不 少学者的关注和兴趣，有关颗粒物质的基础研究己成为软物质物理中一相当活跃 的研究领域。 其实人们在很早就已经发现颗粒物质的一些独特性质并将其用于生产和生 活，开展对颗粒物质的研究已有很长的历史。沙漏作为计时器比水漏更简便、准 确，就是利用了沙从孔中流出的速度不像水流那样随压强改变的特性。通过簸箕 的颠、摇、晃把沙粒、谷皮等杂质从米中分离出来，则是利用外加振动实现颗粒 分聚( s e g r e g a t i o n ) 的常见例子。这一现象的发现相当久远，我国至少在南朝 ( 4 1 2 5 8 9 ) 就有“簸之扬之，糠秕在f ； 。洮之汰之，沙砾在后 ( 世说新语) 的说法了。文艺复兴后的几个世纪以来，不少著名的科学家研究过颗粒物质。库 仑4 j 最早提出沙堆倾斜角度与摩擦系数的关系。1 8 3 1 年法拉第发现了振动使颗粒 形成对流而堆积起_ 来【1 5 】。1 8 8 5 年雷谢1 6 】指出如果颗粒紧密堆积在一个弹性袋中， 任何外加作用都会使颗粒体积增大，称之为雷诺加压膨胀原理。l8 8 4 年英国科学 家r o b e r t s 首先注意到“粮仓效应”，德国工程i ) i t i j a n s s e n 于1 8 9 5 年提出一个模型【1 7 】 对此现象进行了解释即著名的j a n s s e n 模型，此模型直到现在仍被普遍接受。 静态颗粒体的力学行为特征是一般物质的基本信息。近十几年以来，一些物 理学研究者仔细考察了粮仓和沙堆中的静应力问题，但仍未形成统一的认识 1 1 8 - 3 2 o 颗粒物质的力学行为远比我们熟悉的牛顿流体和胡克固体复杂，其非线性程 度、耗散机制的种类和强度，边界条件的不确定性，都远超过后者。揭示这类复 杂材料的力学规律是当前颗粒物理的重要研究课题。本文将仅限于考虑静态楔形 圆锥形颗粒堆应力张量的空问分布问题。尽管般地讲，静态颗粒体的应力必须 中南大学硕士学位论文第一章绪论 满足力平衡方程和库仑不等式【1 4 】，并且在自由边界上等于零，但这些约束不能完 全确定它的分布。如何弥补基本方程的不完备和边界条件的不足是颗粒理论面临 的一个挑战。 目前文献上对上述应力问题提出了两种处理方法。一种倾向认为静态颗粒体 的应力分布具有本质上的不确定性，因此原则上讲不存在对任意几何形状颗粒体 都普遍适用的其它方程，可用来闭合力平衡方程组【2 丌。但对某一特定几何情况， 比如桌面上的圆锥形沙堆，其应力张量的分量之间可能近似满足某个代数关系， 又称应力关系【2 8 3 0 】。注意应力关系并不是普适的理论方程，其具体形式不仅与 几何有关，甚至还可能与所考虑的颗粒样品的制备历史有关。另一种处理这个应 力问题的方法是认为静态颗粒体属于非线性弹性固体类材料，因此只要已知边界 条件，其中的应力就确定了，并可用经典弹性理论方法计算引。也就是说，用 弹性理论框架能得到对任意几何形状和制备历史的颗粒体都适用的一般完备方 程组，而不同情形下的那些应力关系只不过是这组方程的一些近似特解。 近年来对颗粒堆曾提出过两种具体形式很不一样的应力关系，一种称为固定 主轴模型或f p a l 3 0 1 ( f i x e dp r i n c i p l ea x e s ) ，另一种可称做切应力分布模型【3 4 】。 本文将通过计算它们对弹性方程的符合情况，定量考察“应力关系”与“弹性” 方法之间的联系，并在此基础上，对比讨论前者的合理程度和修正改善的途径。 另外圆锥堆的应力问题将原来文献 3 4 】中切应力模型中切应力强度a 由一个常 数变为随高度z 线性变化的函数( ( 3 2 8 ) 式) ，通过改变线性关系中系数7 7 的值， 考察空间相似性和堆底的“压力凹陷 之间的联系。 1 2 静态颗粒堆的几个物理性质 颗粒物质独特的性质主要体现在以下两个方面【35 】：一是温度丁不能激发颗粒 发生象分子热运动那样的无规运动，这是由于我们讨论的颗粒尺度d ( 芝l u n ) 较大，其重力势能m g d 比尼。丁大1 0 1 2 倍以上。因此也就无法利用温度来描述颗粒 系统的统计规律。静止颗粒体除非受到外力作用，否则系统的结构永远保持不变。 其次是由于颗粒间的作用主要是接触力或非弹性碰撞，对单个颗粒本身物理性质 不敏感。颗粒体系为能量耗散体系，外界的作用或颗粒的运动能量会通过与颗粒 之间的摩擦、非弹性碰撞而耗散。 1 2 1 颗粒的堆积密度和挤压膨胀 我们知道，流体与固体不同点之一是任何切变应力都会引起流体的流动，而 固体则不。重力及颗粒之间的摩擦力能使一堆颗粒保持某种形态，且承受一定的 应力而不发生屈服和运动。静止颗粒堆的这种性质和固体很相似，然而在某些情 2 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 况下，个很小的力就能使颗粒堆产生流动甚至崩塌，这又类似于流体。对于固 体和液体，当温度和压力确定时，密度是确定的，而颗粒的堆积密度则不确定， 与堆积的方式和历史有关。尺寸相近的颗粒的堆积密度( 或称体积分数) 约在 0 5 6 , - - 0 6 4 之问的范围内。若颗粒的大小不同，堆积密度会更大。相同尺寸的颗粒 物质的无序堆积密度低于六方密堆积时的堆积密度0 7 4 ，而高于简单立方的堆积 密度0 5 2 。 对堆积的颗粒施加一作用( 如敲击存放颗粒的容器) ，颗粒密度会发生变化， 变大还是变小取决于颗粒的初始堆积密度。若颗粒原来堆积得很密，则敲击使密 度降低，即体积膨胀，称为雷诺膨胀【i 引，这是颗粒物质的独特行为。若颗粒初始 堆积密度很小，则敲击使密度增大。 1 2 2 沙堆的静止角和颗粒中的摩擦力 在地上堆一个沙堆时，缓慢地从上方添加颗粒，沙堆逐渐增高，其倾角口越 来越大，如图1 1 所示。当超过某一角度以时，开始崩塌，沙堆的倾角迅速减小 到p ( 只 吃) 。已称为静止角( t h ea n g l eo f r e p o s e ) ，包称为崩塌角。通过测量， 人们发现静止角和崩塌角的差别万= 以一p 2 0 。研究还表明：只有沙堆足够 大时，只和眈才有分别。d u r a n 3 6 , 3 7 】估算，当组成沙堆的颗粒数不少于8 0 0 0 个时 才可区分p 和氏。显然，印和色的存在与颗粒间的摩擦系数有关，库仑早就注 意到这个问题。假定坡面上的剪切应力和正应力分别为f 和仃。，他发现二者有如 下关系： f = t o 。= ( t a n 吼炒。 ( 1 1 ) 其中t 是库仑内摩擦系数。一般物质的以3 5 0 。最近的研究表明，这一角度还 与沙粒的堆积密度有关1 38 1 。对于尺寸单一的球形颗粒，还与颗粒的尺寸有关。沙 堆在静止角附近的崩塌是一个重要现象。p b a k f 3 9 j 等人由沙堆的崩塌提出了自组 织临界性的概念，但后来h a l i u 和n a g e r 的实验否赳4 0 1 。 乞 耋 图1 - 1 沙堆示意图 颗粒物质的许多特征都与其摩擦性质有关，颗粒i 日j 的摩擦是一个复杂的问 题。实验表明，颗粒物质问的剪切静擦系数约在0 7 左右，而h o r v a t h 更详细的实 验表明，颗粒问的摩擦力与颗粒的堆积密度呈指数关系4 。他把一根圆棒插入颗 3 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 粒中，通过测量拉出圆棒所需的力来测量颗粒的摩擦力，发现，随堆积密度c 呈指数增长：f ( c ) = k e x p ( c c ) ( c + 0 0 1 5 ，k 为拟合参数) 。胡林【4 2 】等人近 年用类似的实验，通过提拉颗粒中的圆棒测量了颗粒填充高度及棒径对摩擦力的 影响。结果表明，圆棒在颗粒中受到的摩擦力f 随其伸入颗粒的深度h 和棒的直 径d 的增加而增大。 1 2 3 粮仓效应和j a n s s e n 连续介质模型 颗粒物质的一个奇特的现象是其静态时的应力分布。和水不同，装满颗粒的 粮仓底部的应力并不随高度线性增长，而是到一个特定的高度后不再增加。1 8 8 4 年，英国科学家i r o b e r t s 首次发现粮仓底面所承受的力在粮食堆积高度约大于底 面直径的两倍后达到饱和而不再增加，并对此作了报道【 】。这些丢失的重量到哪 儿去了呢? 这个现象被解释为由于颗粒与筒仓壁之间存在摩擦力，筒仓壁承担了 部分颗粒重量所导致。粮仓效应早在一百多年f i l l ( 1 8 9 5 年) 就由德国工程t ) $ j a n s s e n h 用连续介质模型对此现象做出了定量解释【4 3 1 ，目前这一模型已被人们普遍接 受。j a n s s e n 模型主要是基于两个假设f 1 4 3 】： ( 1 ) 筒仓中颗粒介质的水平应力仃。，盯。与垂直应力盯。成比例： 仃。= 盯。= k s i t 。= 一k j p ( z j ( 1 - 2 ) k ；是特征系数，压力p = 一仃。如1 2 所示，对于面积为积2 、厚度为龙的水平 颗粒薄层，力平衡条件为 一p g + 罢= 姜盯一( 1 - 3 ) 一 + = i 盯。l 睨瓜 i r = r 其中仃。为壁所承受的应力，这里，为径向坐标，z 的方向以向下为正。 p ( = ) o 口 夕( z ) + 旁 - 2 r 图i - 2 筒仓中颗粒压力计算的示意图 ( 2 ) 假定在仓壁的每一处，摩擦力都达到了它的最大允许值即满足著名的 l d av i n c i 和a m o n t o n s 定律( b o w d e na n dt a b o r ，19 7 3 ) ： 仃。= 一，仃，= 一i ，k p ( 1 4 ) 其中一是颗粒与仓壁的摩擦系数。将( 1 - 2 ) 和( 1 - 4 ) 式代入( 1 3 ) 式，得到 4 l_i h， 中南人学硕士学位论文第一章绪论 芍a p + 簪咖；p g ( 1 - 5 ) 次尺 解此方程可得出z 处的压强为 p ( z ) = ，。【l e x p ( 一z 旯) 】( 1 6 ) 这里引入特征长度见= r l ( 2 , ur 尼，) 。p 。= p 9 2 为颗粒高度远大于特征长度时的压 强饱和值。由( 1 6 ) 式可知，当z 名时，即颗粒高度大于特征值五时，p p 。， 底面压强趋于饱和。由力= r ( 2 1 t r 七，) 可估计出特征长度彳约为尺的三到四倍， 即颗粒高度达到圆筒直径两倍左右时，再增加颗粒高度也不会使底面压强继续增 大。 1 2 4 颗粒堆中力的分布 静态颗粒堆中的力的分布也是目前为止没有完全搞清楚的问题。考虑地面上 一锥形放置的苹果堆，试问在底面的一层节果中哪个受到的压力最大而最容易被 压坏。直观地认为是处在底面中心的那个，因为它上面堆放的苹果最多，所以 萋。：厂一 l ：左圣毒l 叁孓。、 ： 甫丽丽x 。汪铀繁 毫 、 。一一一、 o 妇o 似o , ot i 艉 囝囊圈圆 圈| 圈网 图1 3 不同的制备方法得到相同外形的沙堆( 圆锥形或楔形) ，堆底压力分布不同【棚。 受到的压力应该最大。然而，事实却并非总是如此，实验表明底部中心的那个苹 果受到的压力有可能比同一层它周围的苹果要小。同样地，对于地面上一无粘性 的颗粒堆，堆底压力分布的最大值并不总是在底部的中心，还可能在两边，即底 部压力分布呈现一低陷结构。如图所示的两幅图是l v a n e l 【4 4 】等人用不同制备方 式( 上面的两幅图片是点源式，下面的两个是落南式) 制得的两种不同的堆( 圆 锥颗粒堆和楔形颗粒堆) ，相应的每幅图左边的曲线是实验测得的颗粒堆底部( 只 给出右半个堆的，左边和右侧对称) 的压力分布图。可以看出不同的制备方式得 到了不同的应力分命图，尤其是制备方式影响了沙堆底部是否出现中心凹陷。换 句话说即：沙堆底部压力低陷的存在与否跟沙堆的制备过程有关。如果是用点源 式( 1 0 c a l i z e d s o u r c e ) 且p 从一固定点( 或线) 往下轻轻撒落形成的沙堆( 锥形或楔 中南人学硕+ 学位论文 第一章绪论 形) ，底部存在压力低陷；而如果是用落雨式( r a i n i n 曲即从一平面往下均匀撤落 形成的沙堆( 锥形或楔形) ，则底部不存在压力低陷，如图1 2 所示。 目前出现了多种对中心凹陷的解释。其中有e d w a r d s 的成拱结构【4 5 1 ，他们认 为堆的负荷不是垂直的，而是沿斜线向下传递到地面的一点，并且该点的压力比 例于通过它的斜线长度，由于最长的斜线在两边，因此有压力低附4 6 1 。也许这种 直观的解释能够概括颗粒体系的部分特性，但是并不全面。另外，还有一些人假 设颗粒堆内部的不同的应力分量之间存在一个固定的代数关系即应力关系来解 释压力低陷的现象。女l w i t t m e rjp ，b o u n c h a u d 等人提出的f p a 模型，以及文献 3 4 】 新近提出的切应力模型，但尚未获得统一的认识。 从上面的例子可以看出，颗粒物质中力如何分布以及施加的作用力如何传播 是个复杂的问题。颗粒通过接触而发生相互作用，接触的摩擦力及互相支撑的成 拱效应决定了力的分布。我们知道，当把一个物体放在斜面上时，即使斜面的倾 斜角在一定范围内改变或施加的外力小于某一定值，物体仍可不发生移动，这表 明物体所受到的摩擦力不是定值。因此，即使对于两个相同的沙堆，其中处于相 同位置的颗粒间的摩擦力亦可不同，与颗粒放置和接触的历史有关。这种摩擦力 的不确定性给研究颗粒体系中力的分布带来了困难。 沙堆底部压力凹陷显示的只是颗粒物质边界上的力分御情况。为了了解颗粒 介质内部的应力分布，l i u 等人【4 7 】将一些玻璃珠浸泡在甘油和水混合而成的匹配 液中，在上面用活塞往下压，通过玻璃珠折射率的变化来反映出颗粒的受力情况。 钆 1 0 2 一 235o 7 l 图1 - 4 三维颗粒介质中的应力链图1 4 7 1 图1 - 5 上、下底面和器壁处颗粒的受力分布1 4 8 】 6 们 啦 吣呐 们 ， ， ， 中南大学硕十学位论文第一章绪论 在三维情况下观测到了不均匀的力链结构，如图1 - 4 所示。越亮的地方表示应力 越大，由图可见颗粒介质中存在着不均匀分布的各向异性的力链网格，颗粒介质 中只有一少部分的颗粒承担了大部分的压力，而其他的颗粒受力很小。实验显示， 在静止颗粒堆内部存在力链，但力链的分布规律及力链的形成规律目前还没有形 成统一认训4 9 , 5 0 】。 为了定量测量颗粒介质中的力分布情况，人们巧妙的在容器壁或底部铺上一 层炭纸，以颗粒压在炭纸七印记的人小来标定力的大小，从而得到颗粒中力的分 布。把各处测量的：，f 用平均值厶。归一为厂= 厶厶。，从而获得力的几率分和 p ( 厂) 。通过分析发现容器上下底和器壁处的颗粒受力分布没有差别( 如图1 5 ) ， 那些大于平均值的压力出现的几率随着压力的增大呈指数减小。此外，这一几率 分布形式与颗粒的排列( 无序或有序) 及粗糙程度无关【5 l 】。只有采用很软的颗粒， 在颗粒受压形变很大时分布才发生变化，此时大于平均力的压力出现的几率仍然 呈指数衰减，但衰减的坡度会变大【5 2 】。 1 3 颗粒弹性理论简介 静态应力分柿是任何系统的有用信息，也是连续介质力学【5 3 , 5 4 1 的一个重要结 果，对于颗粒材料( g r a n u l a rm a t e r i a l ) 也一样。( 颗粒材料、颗粒体和颗粒物 质是同一个概念。) 静态应力首先满足力平衡方程或者说是动量守恒方程v ，g ，= 0 ，这里的正， 是有六个分量的对称应力张量。注意这罩用到了爱因斯坦求和约定( 参看附录) 。 力平衡方程有三个。若要确定六个应力分量还需要另外的三个方程。对弹性材料 来说，这三个方程是由材料对变形的反应来提供的：取弹性能为应变s 。，的函数， w = 俳盯) ，那么应力为o r j b 削) = 一挑a 靠。 在颗粒体统中o r 。= 盯。( s 。，) 这样的应力应变关系不存在。因为如果这样的关 系存在的话，也就意味着线性增加( i n c r e m e n t a ll i n e a r i t y ) 成立，即 8 0 g = p 仃口a ) & 盯成立。这就意味着给一个衍j ，就对应一个确定的、可逆的 昆材。这一点和颗粒材料的非线性增加的特性 5 5 】是不符合的。 在远大于颗粒邻近问距的宏观精度上，我们可以把颗粒物质当作连续介质来 处理。虽然颗粒介质的形变主要是滚动和滑动引起的塑性形变，但是还有抵抗压 缩和剪切力时产生的弹性形变：塑性形变是不可回复的，并伴随有发热，而弹性 形变是可恢复的，能够储存弹性能，维持系统的静应力。将总应变写成可逆的弹 性应变与发热的、不可逆的塑性应变之和，即= u 。+ u ，p ，。y i m i nj i a n g 等人【泓5 8 】 建议将弹性能w ，作为弹性应变场l l ( 而不是总应变g 。) 的函数即w = ，山。) 。 得到静态颗粒系统中的应力盯。= 一挑锄它依赖于颗粒的弹性形变，而不是之 7 中南大学硕十学位论文 第一章绪论 前由于滚动或滑动引起的塑性形变。这种方法称为颗粒弹性( g r a n u l a re l a s t i c i t y ， 简称g e ) 。由赫兹接触关系的启示，得到了颗粒物质合适的弹性能表达式w 。 它的具体表达式和由此得到的应力应变关系即颗粒的非线性弹性理论将在第四 章作详细阐述。 需要指出是，目前颗粒非线性弹性理论已经成功地解释无粘性颗粒物质的一 系列重要特征【2 1 - 3 3 , 泓5 8 】，如库仑屈服、剪切膨胀、k u w a n o 和j a r d i n e 沏1 量的小变 形应力、应变增量性质、应力导致的材料各向异性、适应性流动法则、粮仓( s i l o ) 中的应力分布和联系粮仓的j a n s s e n 比与库仑内摩擦角的j a k y 公式、颗粒床顶部局 域点压作用的应力响应( 即b o u s s i n e s q 问题) 等等。这些具体和定量的结果强烈地 支持弹性理论对颗粒物体仍然有效的观点。 8 中南人学硕士学位论文 第二章应力关系模型 2 1 引言 第二章应力关系模型介绍 尽管颗粒物质是自然界以及人类生产生活中经常遇见和处理的材料之一，但 它的基本物理力学规律公认未被彻底掌握和理解【1 2 】。近十几年以来，一些物理 研究者仔细考察了粮仓( s i l o ) 和沙堆( s a n d p i l e ) 中的静应力问题，但仍未形成 统一认识。目前人们都同意颗粒材料中的静应力必须遵守力平衡方程，库仑不等 式，和自由表面边界条件，但对除此之外是否还有其他规律，如有具体形式如何， 仍存在着不同看法。 早在一百多年前，工程师就知道粮仓中的轴向压力不像液体那样随深度线性 增加，而是按指数规律趋向饱和值。这个现象被j a n s s e n 解释为由于粮仓的径向与 轴向应力分量之比仃，仃：，= j 和粮仓侧壁处的切向与法向力之比 ( 仃。盯，) = l 都是常数所致【4 引。从方法和观点上看，j a n s s e n 的前一个假设指的 是粮仓中的应力分量之间存在一个代数约束关系，或称应力关系。针对不同情况 建立合适的应力关系这个做法在土木工程分析中很常见，如在接近塑性屈服的区 域，经常会取库仑屈服条件作为其中应力应该满足的一个代数关系，有时称之极 限破坏模型( i n c i p i e n tf a i l u r em o d e l s 戈i f m ) t 3 2 】。类似的做法在一些物理文献中也有 报道。如文献【2 0 ，2 7 2 9 】认为粮仓以外的其他几何形状的颗粒物体，如沙堆，也有相 应的应力关系，但其具体形式与堆的制备历史有关。另一类分析颗粒静力分布的 方法是建立适合颗粒物质的弹性方程，如文献【3 3 】根据颗粒之间的赫兹接触性质而 提出的非线性应力。应变关系。 应力关系是一些适用范围相对狭窄的模型，即使对同一种颗粒材料，应力关 系也会随几何、区域、制备历史的不同而不同。尽管还不能算是普适性的材料规 律，它们能凝聚和概括一定的实验数据，有些在工程分析中有着重要的地位，比 o u j a n s s e n 关系和极限破坏模型6 0 , 6 1 】。弹性方程可用来分析任意几何形状材料中的 应力问题。作为一般性的理论，弹性方程应该能涵盖所有的应力关系，以表明它 的确描述了这些应力关系背后的实验结果。为此除了发展弹性理论和计算外，根 据实验数据寻找新的应力关系也将是有意义的工作。目前对粮仓应力了解的比较 深入，有关弹性计算结果符合j a n s s e n 应力关系和常数j 值与库仑内摩擦角矽之间 的工程经验关裂3 2 】，但仍然存在一些问题，如对常数j 和值至今仍有不同的报 道，还有待进一步的实验测量和澄清( 参看【2 1 】和其中的参考文献) 。相比之下对 颗粒堆应力的理解程度似乎要差一些，至今还没有像j a n s s e n 模型那样成功的应力 关系。近年来，这方面的报道主要集中在堆底法向压( 应) 力的最大值出现明显偏 9 第二章应力关系模型 轴、垂直于纸面向里为y 轴建立一个直角坐标系。 图2 - 1 楔形沙堆示意图1 3 0 。s = r c z 在自由表面等于1 在这个坐标系下，任何静态颗粒体内一点的应力可以用以下应力张量盯来表 示 f ，吒 仃= i l ( 2 1 ) i 吆吒j 这个张量有九个分量。假设规定当图2 2 所示的连续体中的体微元各面上的方向： 单元体截面外法线沿着坐标轴正方向，则此截面为正面；反之，截面的外法线方 向沿着坐标轴负方向，则称为负面。规定正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者 为正，沿坐标负方向者为负；负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐 x 盯口 图2 - 2 一点的应力状态【峨2 木定 标正方向者为负。这时关系盯帮= 盯 ，盯。= 盯。，盯瞄= 盯砂成立。这叫做切应力 互等原理。该定理表明，作用在相互垂直的两界面上的切应力大小相等。所以， l o 中南大学硕士学位论文第二章应力关系模型 仃为一对称矩阵，该3 x3 阶矩阵中只有六个相互独立的分量，分别是 o h ，o 料o o 错，o 女，o 惯。 为简单起见，仅考虑弹性理论的平面应变情况。平面应变问题是指具有很长 的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；重力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。这种弹性体的位移将发生在 横截面内，可以简化为二维问题。可以证明：在二维情况下一点的应力状态可用 一个摩尔圆( m o h r sc i r c l e ) 来表示。证明过程如下。 ( a ) 楔形微元 ( b ) 应力 ( c ) 力 图2 3 楔形微元 如图2 1 所示，坐标系( ，z ，m ) 是将坐标系( 五z ) 顺时针旋转f 角度得到，现在的