（理论物理专业论文）yanglee零点理论在非平衡相变与量子相变中的应用.pdf

摘要 本文将李一杨平衡相变理论推广于研究沙粒分离的u r n 模型非平衡相变和一 维横场各向异性x y 模型量子相变。 首先，我们简单介绍了李一杨零点理论。李一杨把外场或逸度看成复变量， 研究配分函数零点在复平面中的分布，从而提供了一种定性定量研究临界现象的 方法。在热力学极限下，配分函数零点在正实轴上集聚的那些点晶给出了相变的 位置，同时在如附近的配分函数零点密度决定了相变的类型。我们也介绍了该理 论在格气和伊辛模型中的应用。 其次，我们系统地研究了振动颗粒物质的u m 模型中的二级相变。我们先讨论 了相交的动力学指标，如序参量及其涨落，也分析了各相中体系达到定态时粒子 的几率分布；接着，我们着重运用李一杨零点方法研究该模型的相变，取几率归 一化因子作为有效配分函数，它可以写成一个有效逸度z 的多项式，通过数值计算 得到：在热力学极限下，有效配分函数的零点位于= 复平面的单位圆上：在实际控 制参数复平面中，零点会聚于模型的相变点。因此，进一步验证了李一杨平衡相 变理论能够应用到更为广泛的非平衡系统。 最后我们采用李一杨零点方法对一维横场各向异性x y 模型在零温下的量子 相变作了较为系统的研究。在复外场平面中，我们根据配分函数的正实根找到了 各系统的临界点。对于均匀链，系统存在一个相变点；对于周期和准周期链，由 于各自旋集团和各向异性之间的竞争，模型在某些参数范围可能出现两个以上的 相变点。我们的结果与前人采用转移矩阵和数值计算方法得到的结果完全一致。 因此，我们进一步拓宽了李一杨平衡相变理论的应用范围。 关键词：李一杨理论，u r n 模型，非平衡系统，各向异性x y 模型，横场 量子相变，周期，准周期 i l a b s t r a c t 1 1 l ey a n g l e et h e o r yo fe q u i l i b r i u mp h a s et r a n s i t i o n si sg e n e r a l i z e dt os t u d yt h e n o n e q u i l i b r i u mp h a s et r a n s i t i o n so fa l l 啪m o d e lf o rt h es e p a r a t i o no fs a n da n dt h e q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n so fo n e d i m e n s i o n a la n i s o t r o p i cx yq u a n t u ms p i nc h a i l li na t r a n s v e r s ef i e l d f i r s t l y , w eb r i e f l y r e v i e wt h e y a n g l e et h e o r y w h i c hp r o v i d e sa ni m p o r t a n t q u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v et o o l i nt h es t u d yo fc r i t i c a lp h e n o m e n a y a n ga n dl e e p r o p o s e dt oi n v e s t i g a t et h ed i s t r i b u t i o no f p a r t i t i o nf u n c t i o nz e r o si nt h ec o m p l e xp l a n e ， i e ，t h ef i e l do rf u g a c i t yw e r et r e a t e da sc o m p l e xv a r i a b l e s i nt h et h e r m o d y n a m i cl i m i t ， t h ez e r o sa c c u m u l a t en e a r l yt h et r a n s i t i o np o i n t z o i nt h er e a la x i sa n dt h ed e n s i t yo f z e r o sn e a r z 0 d e t e r m i n e st h eo r d e ro ft h ep h a s et r a n s i t i o n w ea l s op r e s e n tt h e a p p l i c a b i l i t yo f t h et h e o r yt oa l ll s i n gm o d e la n d al a t t i c eg a s s e c o n d l y ，as e c o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o ni nan o n - e q u i l i b r i u mu r nm o d e lf o rt h e s e p a r a t i o no fs a n di ss t u d i e d d y n a m i c a li n d i c a t o r so ft h et r a n s i t i o ns u c ha st h eo r d e r p a r a m e t e ra n di t sf l u c t u a t i o n sa r ee x h i b i t e d t h es t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni n e a c hp h a s eh a sa l s ob e e nc a l c u l a t e d w ef o c u so nt h ea p p l i c a t i o no ft h ey a n g - l e e t h e o r yi nt h em o d e l t h en o r m a l i z a t i o nf a c t o rp l a y st h er o l eo fa ne f f e c t i v ep a r t i t i o n f u n c t i o n ，w h i c hc a nb ee x p r e s s e da s ap o l y n o m i a lo ft h ee f f e c t i v e f u g a e i t yz n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ss h o wt h a ti nt h et h e r m o d ) 7 n a m i cl i m i tt h ez e r o so ft h ee f f e c t i v e p a r t i t i o nf u n c t i o na r el o c a t e do n t h eu n i tc i r c l ei nt h ec o m p l e x ：p l a n e i nt h ec o m p l c x p l a n eo ft h ea c t u a lc o n t r o lp a r a m e t e r , c e r t a i nr o o t sc o n v e r g et ot h et r a n s i t i o np o i n to f t h em o d e l t h u s ，i ti s 自 n t h e re v i d e n c ef o rt h ea p p l i c a t i o no ft h el e e - y a n gt h e o r yi na w i d e rc l a s so fn o n e q u i l i b r i u ms y s t e m s f i n a l l y ，w ea p p l y t h e t h e o r y t o s t u d y t h e q u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o n so f o n e - d i m e n s i o n a la n i s o t r o p i cx yq u a n t u ms p i l lc h a i ni nat r a n s v e r s ef i e l da tz e r o t e m p e r a t u r e i nc o m p l e xf i e l dp l a n e ，r e a la n dp o s i t i v er o o t so f t h ep a r t i t i o nf u n c t i o nm a r k t h et y p ea n dl o c a t i o no ft r a n s i t i o n f o ru n i f o r mc h a i n ，t h e r ei so n ec r i t i c a lp o i n t f o r p e r i o d i ca n dq u a s i p e r i o d i cc h a i n ，t h e r ei sm o r et h a no n ep h a s et r a n s i t i o np o i n ta ts o m e p a r a m e t e rr e g i o nb e c a u s eo ft h ec o m p e t i t i o nb e t w e e nt h es p i nc l u s t e ra n da n i s o t r o p y o u rr e s u l t sa r ei ng o o da g r e e m e n tw i t ht h a to b t a i n e db ye m p l o y i n gt h et r a n s f e rm a t r i x a n dn u m e r i c a lm e t h o d t h e r e f o r e ，o u rw o r ko p e n sn e wp e r s p e c t i v e sf o rt h ea p p l i c a t i o n o fl e e - y a n gt h e o r y k e yw o r d s ：l e e y a n gt h e o r y ，u r nm o d e l ，n o n e q u i l i b r i u ms y s t e m ，a n i s o t r o p i cx yc h a i n ， t r a n s v e r s ef i e l d ，q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n s ，p e r i o d i c ，q u a s i p e r i o d i c i i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名 日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 第一章李一杨零点理论 第一章李一杨零点理论 1 1引言 1 9 5 2 年，李一杨f i _ 2 1 提出了研究平衡相变的著名的l e e - y a n g 零点理论，他们 把外场或逸度看成复变量，研究配分函数零点在复平面中的分布，从而给研究临 界现象提供了一种非常重要而有效的方法。在这两篇论文中；他们以严格的数学 方法证明了两个极限存在定理，说明了统计力学中的配分函数在热力学极限下能 够描写相变中的两相及相变；并且具体讨论了该理论在格气和伊辛模型中的应用。 在平衡态相交中，热力学极限下配分函数零点在正实轴上集聚的那些点：0 给出了 相交的位置，同时在z o 附近的配分函数零点分布决定了相变的类型。从此这个方 法被广泛地应用到各种平衡系统【h 】，如p o r t s 模型、准周期i s i n g 模型、反铁磁x s i n g 模型和g r i f f i t h s 奇异性等。因此李一杨零点方法成为研究平衡态相变的一种经典 方法。后来，f i s h e r 9 研究了复温度平面中的零点分布，同样得出了关于相边界和 临界现象的信息。f i s h e r 零点方法也得到很多关注 7 , 8 a o , 1 1 l 。近年来，人们对李一 杨零点相变理论在非平衡态相变和量子相变中的应用越来越感兴趣【屹。9 1 ，然而， 由于非平衡系统和量子系统本身比较复杂，李一杨零点方法讨论非平衡态相变和 量子相变具有一定的难度，在这些系统中应用并不是很多。因此，本文希望进一 步拓宽李一杨平衡相变理论的应用领域，讨论的模型分别为具有非平衡特征的u r n 模型和具有量子相变的一维横向磁场中的各向异性x y 模型。本章中，我们首先 简单介绍一下李一杨零点理论以及它的几个简单应用。 1 2基本概念和背景 相变是普遍存在于自然界的一种突变现象，也是统计物理中引起人们极大兴 趣的问题之一。根据热力学理论可以把相变分成不同的类( 或级) ，它是按照化学 势口( 也可以用自由能或吉布斯函数) 在相变点的行为来划分的。如果在相变点，p 连续但其一阶导数不连续，则称为一级相变；若p 及其一阶导数连续，而二阶导 数不连续，则称为二级相变。一般地说，如果的以阶导数不连续，而低于玎阶 的导数均连续，则称所述的相变为行级相变。二级和二级以上相变通常称为连续 相变。一级相变伴随着明显的比容的突变与潜热的产生，并可能出现亚稳态，如 第一章事一插零点理论 普通的固液气三相的变化，在外磁场中的超导转变等。二级相变中比容连续变化， 没有潜热的产生，体系的宏观状态不发生任何突变，但体系的对称性发生突变， 具有对称性破缺。比热、压缩率、磁化率等物理置随温度的变化会出现突变或无 穷尖峰，如超流以点) 、没有外磁场的超导转变、气液临界点、铁磁反铁磁相变、 渗流模型的几何相变等都属于二级相变。二级相变的相变点称为“临界点”，在临 界点附近系统将表现出一系列特殊的性质，如某些热力学量趋于无穷，有很强的 涨落和关联等，这些现象称为“临界现象”。其实“二级相变”、“临界现象”、“连 续相变”指的是一回事。除温度以外，相变还有其它控制参量：如渗流模型中的 占空比、金属绝缘体转变中的电导率等 2 0 - 2 2 1 。 自1 8 6 9 年安德鲁斯( t a n d r e w s ) 发现临界乳光开始到1 9 4 4 年以前这一段时间 可认为是人们研究临界现象的第一阶段。1 8 7 3 年范德瓦尔斯( v a nd e rw a a l s ) 应用 分子动力学理论讨论了气液两相转变和临界点的问题，麦克斯韦随即对之提出了 等面积法则。1 8 9 5 年居里指出了铁磁相变与气液相变的相似性，这启发外斯( p i e r r e w e i s s ) 于1 9 0 7 年提出了顺磁一铁磁相变的分子场理论( 亦称平均场理论) 。另一相 关现象是合金的有序一无序相变。1 9 2 8 年g o r s k y 首先引入有序度概念，接着b m g g 和w i l l i a m s 提出了长程序概念，这理论也属于平均场理论。1 9 3 9 年c e m u s c h i 和 e y r i n g 讨论了晶格气体模型，所有这些使人们对这类现象的相似性加深了认识， 而朗道则首先试图对所有二级相变提供统一描述。在相变理论发展上一个重要的 进展是1 9 4 4 年昂萨格的二维伊辛模型严格解，它揭开了人们研究相变的第二阶 段。但人们并非一下子就理解了它，在四十和五十年代曾把昂萨格的严格解作为 与物理实际无关的数学来看待，终于在六十年代这种情况改变了。而导致第三阶 段开始的是w i d o m 理论，它揭开了重整化群方法发展的序幕。 1 3 李一杨零点理论 从吉布斯统计力学的基本原理和公式出发，以单一数学表达式能否同时描写 相变问题及其所涉及的各相? 这是在三十年代中叶开始发生争议的问题。梅逸 ( m a y e r ) 等基于他们所得到的集团展开式对气一液凝结现象曾给出了一个理论解 释叫。他们得出的气一液等温线水平部分不在上升，因而在定性上就与实验不符， 但是，他们的理论毕竟给出了曲线的水平部分，预言了气一液相变的开始。然而， 2 第一章事一杨零点理论 理论中粒子间的相互作用起者决定性的作用，这种表述形式存在一定的缺点，即 如果人们想把凝聚现象和液态理论以一种严格的方式包括到这种表述形式中去， 则人们必定会遇到一系列数学上的困难。 随着伊辛模型( i s i n gm o d e l ) 的各种近似解，特别是昂萨格的二维伊辛模型严格 解的发表，人们认识到：在伊辛模型下，根据统计力学的基本原理和公式确实具 体求出了相变的临界温度近似值，它们各自在不同程度上反映了许多相变现象， 尤其是昂萨格的严格解指出：在热力学极限下，某些热力学函数在临界点附近呈 现奇异性，但是，这些工作并不能以严格的数学方法给出一般的证明：在热力学 极限下，统计力学中的配分函数能够描写相变中的两相及相变。基于这些，杨振 宁和李政道【1 。2 1 两人于1 9 5 2 年提出了一种方法，使人们能以处理气态一样自然的 方式对凝聚现象和液态现象进行严格的数学讨论。 考虑一个由个粒子所组成的系统，系统的总势能为二粒子相互作用势能项 之和，u = “( 吩) ( f _ ，) ，在这个理论中假设二体相互作用只受下式所给条件的 约束 f “( ，) = 佃当，a 一 u ( r ) 0 当 口 m ) = 0 。因此，对于实际系统，级 数( 1 2 ) 为：的( 矿) 次多项式 巨( ：，t ，矿) = l + q l z + q 2 2 2 + + q 0 z 村( 1 4 ) 其中各系数q ，均为正，q os l ，所以豆l ，可见，函数i n e 作为z ，t ，v 的函数是 一个性态良好的函数，也就是说，矿取有限值( 不论多大) ，有l n e 所导出的任何热 力学函数不可能有任何数学上的奇异性 所以讨论热力学极限下的情况，对应( 1 3 ) ，这时写为 巳= 1 i m 己l n 兰】 (15)kt v - l t , v 。 。7 ：避熹( ! l i l 三) (16)vvr _ * a h ：、 、7 这里必须是严格的数学意义的看待矿_ 。的极限，l i r n 和：一的次序并非总能交 换。问题是这些极限是否存在呢? 当然，气相的极限确实存在，上式给出了正确 的气体状态方程，但在凝聚相的情况却不是很清楚。杨一李理论解决了这一问题， 一般地证明了：热力学极限下将出现热力学函数的奇异性，而( 1 5 ) 、( 1 6 ) 式确实 给出了包含气相和凝聚相状态方程、相变的完整描写。 在v _ m 极限下，杨一李理论首先证明了极限之存在，即杨一李第一定理，其 表述为 ( 1 ) 对于所有的正实数= ，极限函数l i m v “l n e 】存在； ( 2 ) 这个极限函数是= 的连续、单调递增函数； ( 3 ) 这个函数与容器的形状无关( 除非容器特别古怪，使得容器的表面积增加得 比y 2 “还快) 。 为了研究v “i 釜l n f 的极限，我们注意到巨配分函数互是z 的m 阶多项式 ( v 有限) ，以气表示在复= 平面上互= o z 零点，则 量( 乙t ，矿) = z o ( v ，难”= 兀( 1 一 ( 1 7 ) 按定义，各是方程 q ( 矿，丁弦”= 0 ( 1 8 ) 的肘个根，很显然，各4 通过q 应为参量矿和r 的函数，他们必然与粒子间相 互作用的性质有关。一般地说，各靠为分布在复z 平面上，但不可能在正实轴( 因 第一章李一杨零点理论 为方程( 1 8 ) 的系数均为正实数) ；另外，对于所有的系数均为实系数的代数方程而 言，若4 为其一根，则z k 也是该方程的根，所以在整个复平面上的分布对于实 轴对称。 当y 为有限值( 无论多大) ，以的总数时精确地等于系统最多所能容纳的粒子 数，故m 正比于体积矿。那么当y 越来越大，根的总数也成比例增加。另外，由 于值均为y 的函数，所以当矿增加时各在复平面上的位置可发生变化。当 v _ + o o 时，肘- - - yo 。，e ( ：，y ，t ) = 0 的某些根可能任意趋近于正实轴上一点，如 z o ( 或一些点) ，也就是说，在z d 的任一领域，不论多么小总包含着一些零点。此 时，第一定理，y 。i n e 本身仍连续，但导数可以不连续，这种奇异性意味着系统 发生相变，与此有关，杨一李证明了第二定理，即 若在复z 平面中有个包含一段正实轴的区域胄内总不包含巨( z ，n = 0 的根，则 对区域r 中的各z ，舰哆l i l 互】，舰矿“萄卺l n e ，舰矿。1 咭知2 l i l e 均存在， 它们是z 的解析函数，而且在r 中毒l 与l i m 可以互易 ，v p l i r a 。( dd ：v 一1ha-_-)2旦口=(，lim。vinh a 一1 l i l e )( 1 9 ) p 呻”d：口= r 、7 根据杨一李定理， t a f ( z , r ) 。舰 吉h 亘】，则对于区域r 中所有的z 可将( 1 5 ) ，( 1 6 ) 写为 寺= f ( z ) ( 1 1 0 ) 三：熹f ( ：) ( 1 1 1 ) 这两个式子即为确定状态方程的参数方程。现在讨论以下情形： 第一，设当矿_ o o 时存在一个包含整个正实轴的区域r ，于r 中无巨( z ，矿) = 0 的根，如图l ( a ) ，在此情形下，对于所有正实轴上的z 而言，函数p k t 和v 都会 是解析的。消去z ，我们就可以得到p v 等温线，它的斜率处处为负。很显然， 其上没有任何奇异性，对于所有的v 值，系统一直保持单一态，如图1 ( b ) 所示。 第二，设当v 寸o o 时，e ( = ，矿) = 0 的根趋近于正实轴上的一点气，而在区域 蜀，恐内没有兰( = ，矿) = 0 的根，于是，杨一李第二定理分别适用于区域墨和岛， 如图2 ( a ) ，同前分析，在z z o 系统分别以单相存在，可称为相1 和相2 ， 而在z = 气处两相共存。由定理一，在气点p 仍是连续的，但一般说来，其导数 第一章李一杨零点理论 可以不连续，即函数p k t 的斜率不连续，函数v 也不连续；图2 ( b ) p - v 曲线中， 系统压强p 保持为常数，而比容经历了一个有限的变化( 从对应于相1 的v l 值变化 到对应于相2 的屹值) ，很显然，系统正发生着相交。 im=p j j 一。， i m ： 圈1 ( a ) r e z fn 厂i t 仓2 7 r e = 图1 ( b ) v v 圈2 ( a )图2 ( b ) 总之，杨一李理论把相变问题同“巨配分函数的零点在复：平面上的分布”以 一种非常简单联系起来了：相变发生在复：平面正实轴上的那些点气，当矿- - - o o 时，巨配分函数一( z ，y ) = 0 的根趋于z 。 那么，如何根据零点分布判断相变的类型呢? 我们给出一个简单而自恰的推 导m 1 。定义复自由能f ( = ) 2 熙咕l n 毫】，由第一定理可知极限存在，则将之改写 为 f ( z ) = i 出( z ) i n ( 1 一二- ) ( 1 1 2 ) 其中p ( z ) 是热力学极限下复平面中零点局域密度。因为自由能f ( z ) 的虚部 y ；i i n f ( z ) 是多值的，为了方便起见，我们取妒( = ) - i r e f ( ：) = 肛( z ) 1 1 1 1 1 一爿， 令z = x + 妒，则 第章李一杨零点理论 p 2 去v 2 妒( ：) 0 1 3 ) 由此我们可以看到9 ( = ) 类似于静电学中的势，只要能在含p 的奇异点的边界区域 对p ( d 积分，势就会是一个连续函数。那么复平面中相交界的势必须满足 仍( ：) = 仍( z )( 1 1 4 ) 设上式的解为一条曲线c ，它与正实轴交于气点。引入弧长j 表示沿曲线到相变 点的距离，为了得到曲线c 单位长度的零点线密度a ( s ) ，取曲线c 上长度为出的 - d , 段在a 区域内，a 区域的两条边平行于c ，另两条边垂直于c 。在该区域内对 p ( z ) 积分，则 i 如p o ) = i u ( s ) s s ( 1 1 5 ) j 运用散度定理，结合( 1 1 3 ) 式，则 p 肿) = 去产v 【v 肿) 】= 挈v 纯( 沪v 砚( z ) h ( 1 1 6 ) h 为在该点与c 正交的单位矢量。由哥西一黎曼条件a ，驴( ：) = a y e ( z ) 、 a y 9 ( z ) = - a ：吵( ：) 可知 v 妒( z ) 卉= v y ( z ) f( 1 1 7 ) f 为在该点与曲线c 正切的单位矢量。联立( 1 1 5 ) 、( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 得到 乒( j ) = 五1i d 【y 2 ( z ) 一( 叫 ( 1 1 8 ) 假设在热力学极限下，在气点存在相变，任一边的自由能可写为 五2 ( 司= f ( z o ) + 岛，2 孑+ q 2 三2 + ( 1 1 9 ) 其中2 = ：一z o ，自由能沿实轴是实数，故b 、c 也为实数。由于f ( z ) 的实部经过 相边界时是连续的，我们得到边界满足曲线 歹z ：孟z + 鱼d i( 1 2 0 ) c 2 一c 1 此处量、多分别是i 的实部和虚部。通过以上讨论，我们写出根据配分函数零点 分布判断一级和二级相变的条件。 一级相交：当b l 屯，自由能一阶导数不连续，零点曲线为双曲线，它平滑 地穿过相交点毛，益线在气的切线平行于虚轴( 垂直于实轴) ，且有( o ) = 譬， 第一章李一杨零点理论 即一级相变中零点密度在相变点为非零。 二级相变：若6 t = b 2 、c l 岛，零点曲线满足歹= i ，零点以x 1 4 的角度沿 直线趋近相变点。取歹= 哥：5 j ，则( s ) = 盟j ，即二级相变中零点密度线 石 性减少，在相变点趋向于零。 综上所述，我们可以通过零点在正实轴附近的分布情况来了解相变的类型： 零点分布垂直趋近正实轴且零点密度在相变点矗处非零为一级相变，零点分布以 x 4 趋近正实轴且零点密度向相变点线性减少则为二级相变。 l 。4 李一杨理论的几个简单应用 下面，对杨一李定理稍加评述，以便更好地阐明李一杨理论对理解相变所起的 作用。虽然，李一杨理论对自然界中所遇到的典型相互作用系统的q 。序列，在 矿_ o o 的极限下的零点分布还缺乏普遍性的论证，但至少李一杨在第二篇论文中 已有了一些系统，如一维、二维伊辛模型，可以作出零点分布性态的某些肯定结 论1 6 1 。他们证明了伊辛模型可以等当地讨论格气问题，从而精确计算了二维格气 相变区域并且给出了李一杨第三定理即圆周定理。 1 4 1 李一杨第三定理 圆周定理表明：若在格气的任意两个原子占据同点阵时的相互作用能为 啪否则0 ，则巨配分函数的所有零点都在复= 平面的一个圆上。 定理对原子间相互作用的范围或点阵的维数、大小、结构或周期性都不作任 何假设。对伊辛模型或格气，相变问题完全可以用根的分布函数g ( o ) 来讨论。当 n _ 。，即伊辛模型自旋数或格气体积无穷大，零点分布用g ( o ) 描述，则n g 徊) d o 就是在e i 0 与p 们“之间根的数目。显然，g ( p ) 满足：g p ) = g ( 一目) ，r g ( 疗) = 百1 。 李一杨计算出了伊辛模型中磁化强度、外场以及格气中压强、比容与g ( 占) 的关亲【6 l 吾= 鲁+ f 删蚶也c o s 口+ t ) d o ，= l 一4 = r g ( 口：丁! 罴d 口 ( 1 2 1 ) 以及格气中压强、比容与之的关系 台= g ( o ) l n ( z 2 - 2 z c o s 1 ) d o 第一章李一杨零点理论 地r 卯) 嚣赫棚 ( 1 z 2 ) 这样我们就可以通过分布函数g ) 计算出i - h 和p v 图的等温线，由等温线可 得到凝结相、两相共存和气相，而且对于那些简单分布的g ( o ) 可近似表述真实气 体的等温线。 1 4 2 静电比拟 因静电学是大家熟悉的物理现象，相变现象也可以用静电模拟来加以研究。 我们将复平面z 上的每个零点毛用垂直于该平面的一个均匀线电荷来表示，设线 电荷密度为e ，如将电荷放在z ，处，则在z 处的二维空间复数电场s ，= 2 e ( z 一= ，) ； 若有m 个同样的线电荷分别置于：= 五，= ：，处，则在z 处电场强度 弘面：一2 e i 1 2 3 ) 引入一复数势中，令占；一婴，则 o = - 2 e z l n ( z - - z ，) + c ( 常数) ( 1 2 4 ) 若m 个线电荷排列在与实轴垂直并通过实轴z o 点的直线上，并且关于实轴是对称 的，即若有一条线电荷在0 处，则必然有另一条线电荷在其共轭复数彳处。当 m 斗o o 时，线电荷密集成一均匀带电的平板。设五。与2 2 。为实轴上无限接近知两 旁的两点，对这两点来说，线电荷密集成的平板相当于一无限大带电平板，显然， 两点处电势就会保持连续，而电场强度呈现量值为4 z c r 的不连续，盯为电荷面密 度。 回到( 1 7 ) 式，可将它写成 兰：前( 1 一) ：f 1 - 1 ) ：丌m _ z _ z k ( 1 2 5 ) 兰= 兀( 1 一) = 兀一1 ) = 丌_ ( 1 2 5 ) k l l t k - l l t = i i 则 旦：h 三：上兰1 1 1 ( z - - z k ) + c (126)ktvv智、 、 吉= 熹c 古h 三，专姜去 ：， 第一章李一杨零点理论 将( 1 2 6 ) 与( 1 2 4 ) ，( 1 2 7 ) - 与( 1 2 3 ) 比较可纠8 邶1 上：一。：一旦 矿肘 旦；皇 k t2 1 竺 r 1 2 8 ) v2 、 这里印= m e 为全部线电荷单位长度电量，若其保持不变，v 0 0 相当于肘斗， 从上面的对比看出，当所有的解排列在气附近，p ( k t ) 虽然连续( 相当于中连续) ， 而v 。( 相当于占) 却可以发生突变。如v “突变即为一级相变，如v 。连续但其微商 或高次微商不连续，则相当于高级相变。 1 4 3 一维伊辛模型中的应用 1 9 4 1 年k r a m e r s w a n n i e r 采用矩阵法求出了一维伊辛模型的严格解【弭2 扪， 系统的哈密顿量为 h = - j o t 0 i + 。- b o j ( 1 2 9 ) 采用周期性边界条件，经过化解可将系统相应的配分函数写成 q n = ：+ 九： u 3 0 ) 其中五。= e p 7c o s h ( 3 b ) 土 e 一2 + p 2 s i n h 2 ( 卢丑) “2 。 把外场看成复变量，令 = = e , 0 8 = 7 2 n 3 1 1 则配分函数零点取以下形式 c 。s 呈+ ( 叩2 一s i n 2 詈 “2 ”+ c 。s 三一( ，7 2 一s m 2 詈 “2 ”= 。 c 。z ， 其中r = e - 2 。利用数学变换化解得到 c o s 0 女= - r 2 + ( 1 一叩2 ) c o s ( 2 k - 1 ) t r n 】 k = 1 ，2 ，n ( 1 3 3 ) 上式决定了在复平面= 配分函数零点的精确位置，当斗m ，零点的分布变成连 续分布。对于任意给定r 值，该分布被限制在单位圆的一个“马蹄形”线段上， 如图( 3 ) ，其起始点为e = c o s “( 1 2 r 2 ) = 2s i n 1 刁，而终点值为易= 2 i t 一9 。该分 1 0 第一章李一杨零点理论 布有一个朝实轴方向、张角为4 s i n 。r 的缺口，只有当刁= 0 ，即t = 0 时这个圆才 是闭合的。因此进一步证实了一维伊辛模型在任何有限温度下并不经历相变。 显然，在连续分布情况下分布函数g ( o ) 为 g ( o ) =2 x ( s i n s ( 0 2 ) 一可2 ) “2 o i r a o j 厂 、 。 ，、7 | 芏| ( 3 ) 当c o s 0 1 2 r 2 r e 2 1 5 小结 本章我们先介绍了相变的基本概念、分类及其研究的历史背景，| 接着详细阐述 了李一杨零点理论的内容和其应用。李一杨理论用数学方法严格证明了两个极限 存在定理，他们指出伊辛模型可以等当地讨论格气问题，并且得到了著名的圆周 定理。从而李一杨零点方法成为研究平衡态相变的一种经典方法。1 9 6 5 年，f i s h e r 9 】 复温度零点方法( f i s h e rz e r o s ) 进一步拓宽了人们研究相交问题的视眼，但据我们 所知，到目前为止运用l e e y a n gz e r o s 和f i s h e rz e r o s 方法研究非平衡相变和量子 相变问题还是很少。因此，本文期待将李一杨平衡态相变理论运用到更为广阔的 领域。下面两章我们就将李一杨零点理论运用到非平衡系统和量子系统，基于这 一理论所得到的物理结论与基于别的非相关方法所得到的物理结果是完全致 的。 第二章非平衡相变中的应用 第二章非平衡相变中的应用 2 1引言 非平衡相变广泛存在于各种系统2 6 也7 1 。近年来，人们对李一杨零点理论在非平 衡态相变中的应用越来越感兴趣 1 2 - 1 5 】，其动机是想把平衡态相变的概念应用到非 平衡态的相变中。李一杨 1 - 2 1 零点理论把外场或逸度看成复变量，研究配分函数零 点在复平面中的分布。在平衡态相变中，我们可以通过零点在正实轴附近的分布 情况来了解相变的类型。然而，在非平衡系统中，人们得不到平衡系统中的配分 函数，只能找出适当的有效配分函数( e p f ) 。以往的文献主要讨论了两种动力学模 型1 2 】：第一种是驱动耗散系统，这些模型中存在一个唯一的稳态，能够计算出微 观状态概率分布数，并把概率之和归一化因子看成有效配分函数，该有效配分函 数可以写成一个常数相变率的多项式( 相变率与尺度无关) ，热力学极限下它的零 点在正实轴附近会聚于模型的相变点；第二种是直接渗流模型，这些模型中把生 存概率p ( 0 看成有效配分函数，把占有几率p 看成复控制参量。在这两种非平衡 相变中李一杨零点方法的应用是相对直接的，而在2 - u r n 模型中情况却不一样， 事实上该模型中有效配分函数只能写成一个与尺度有关的复参量的函数。因此该 问题更具难度和挑战性。 u 1 t i 模型最早是由ee h r e n f e s t 与t e h r e n f e s t l 2 8 1 两人提出，后来l i p o w s k i 等人 为了解释颗粒物质体系的对称破缺现象，引入了l i p o w s k i d r o z u r n 模型1 2 9 】。模型 中假定了u r n 的温度7 与粒子数成线性关系，i b e n a 等人取其单峰简单形式采 用李一杨方法讨论了模型中的相变，虽然在定性上和e g g e r s l 3 0 1 的结论相符，但不 符合其定量关系。基于此，本文我们采用了e g g e r s 模型中的温度，与粒子数成二 次方关系，既定性又定量地得出了相变的类型和位置。首先我们简单介绍一下模 型所涉及的一些基本概念和研究背景。 2 2基本概念与背景 2 2 1 平衡相变和非平衡相变 - 平衡态相变是体系有序无序两种矛盾的表现，相互作用是有序的起因，热运 动是无序的来源。对于连续相变，1 9 3 7 年l a n d a u 概括了v a nd e rw a n l s 和w e i s s 第二章非平衡相变中韵应用 等人的平均场理论精神，提出了序参量的概念。平均场理论的基本出发点是由一 个“平均了的场”即“内场”来代替其它粒子对某个特定粒子的作用，从而把复 杂的多体问题近似转化为单体问题，而序参量表征系统的有序程度，通过序参量 的变化可以获得临界点及临界指数。如对于单轴各项异性的铁磁体，可用自发磁 化强度矢量m 表示有序程度，而气液相变中可用两相的密度差p - p 。作为序参量， 在逼近临界点时，它们的值连续趋于零，临界指数为芦= 1 2 。在平衡态相变统计 模型和实验精确测量的基础上形成了描述相变的另一种概念标度律和普适 性。各种物理体系在相变时可以分成若干个普适类，每个普适类的临界特性完全 一样，存在相同的标度律，区分普适类的主要标志是空间维数d 和系统内部自由 度的数目或者说是序参量的个数n 。这样，只要确定了某种物质所属普适类，就 能知道它的标度律以及所有的临界指数。 另一方面，物理系统离开平衡态后，还可能陷入某种定态的有序或结构状态 中，如流体运动中发生的对流花纹、湍流现象，生物中的自组织现象等，这些有 序状态的形成对于b o l t z m a n n 平衡态统计来说是种高度不可几事件，这种状态的 形成称之为非平衡相变，用原有的平衡态统计原理己无法解释。p d g o g i n e 把这些 形形色色非平衡相变中出现的有序和结构称作“耗散结构”。它一般具有以下四个 特点：1 耗散结构发生在“开放系统”中，它要靠外界不断供应能量或物质才能 维持，这与平衡相变中产生的结构完全不同；2 只有当“控制参数”( 如流速、温 度差、摩擦系数等) 达到一定“阈值”时才能出现：3 它具有时空结构，对称性低 于达到“阈值”前的状态；4 耗散结构虽然是不稳定的产物，它一旦产生，就具 有相当的稳定性，不易被小扰动破坏。 2 2 2 颗粒物质 近二十年来物理学工作者们对颗粒物质表现出普遍的兴趣和关注 3 1 - 3 3 】。颗 粒物质，如沙子、面粉、谷粒等，一般指的是其线度在1ul l r l 0 4 m 的大量固体颗 粒的聚集体。由颗粒物质组成的系统，通常具有以下几个特点：l 系统由大量个 体颗粒组成；2 颗粒间的相互作用纯粹是经典的；3 粒子间只有在相互接触时才 有相互作用；4 粒子间的碰撞通常是非弹性的口”。颗粒物质在生物、药理学、化 学工程、食品和农业等领域有着广泛的应用，它还和火山爆发、沙丘的形成、 第二章非平衡相变中的应用 陆地侵蚀和滑坡等环境科学有着紧密的联系。 颗粒物质由于本身的摩擦和碰撞都会产生能耗，需外界不断提供能量，因此 也属耗散结构。当它发生粒子占有率的突变时，我们称之为“非平衡相变”。在这 里，我们运用非平衡态统计方法来考虑颗粒物质的“非平衡相变”问题。从后面 的研究分析可以看到：虽然颗粒体系发生“非平衡相变”，但有许多现象类似于平 衡态相变。 1 9 9 6 年，s c h l i c h t i n g 和n o r d m e i e r 研究了个著名的颗粒振动的实验p ”，实 验过程如下：用挡板将一个底面积为t 2 c m 2 ，高为2 0 c m 的容器隔离成相同的两部 分，在离底端2 3 c m 处的挡板上开一水平狭缝，在容器中放入1 0 0 个直径为i m m 的塑料小球，将该容器放在一个振动器上，进行垂直振动，发现当振动频率为 5 0 h z ，振幅a = 0 3 c m 时，即使小球开始集中在一边，他们也会很快地均匀分布到 容器两边，逐渐降低振动器频率，当降至3 0 h z 时，容器中小球的分布会发生自 发对称性破缺，即使小球开始时均匀地分布在容器两边，随着振动时间的增加， 小球的分布也会一边多于另外一边，见图( 1 ) 。 该实验一方面很好地展示了颗粒物质分布在一定条件下具有不稳定性和非 对称性：另一方面我们发现，它与统计物理学基本理论有密切关系，在体系发 生对称破缺时，系统不满足各态历经的等概率统计原理，系统分布函数偏离平 衡分稚函数的弛豫时间为t 一。 1 - 雌裱协音自稿： 图( 1 )振动颗粒物质将在一定的条件下发生分布的对称破缺 关于这个实验，不少人从流体力学出发，解析获得凝聚态( c o n d e n s e ds t a t e ) 和 稀疏气态( d i lu _ t eg a s ) 两相，并用分子动力学模拟的结果与之作比较【3 0 ，3 6 1 ，e g g e r s 第= 章非平衡相变中的应用 把这种颗粒物质在一定振动条件下发生的不对称分布的现象称为颗粒物质的 m a x w e l ld e m o n 3 0 1 ，即水平狭缝只允许左端的粒子往右端运动，而不允许右端的 往左边运动，对于粒子数多的那边，d e m o n 吸收其部分熵，使系统稳定时两边的 熵相同。e g g e r s 根据该实验提出了将一维柱状颗粒物质的运动方程和连续性方程 相结合的方法，在考虑一维和粒子数较多的情况下，通过流体力学方法获得了不 对称参量s 0 =