（计算数学专业论文）若干不可微约束优化问题的近似函数法.pdf

摘要 本文针对管理科学与工程领域经常涉及到的一些重要的优化模型，结 合近几年备受关注的几类最优化算法，如极大熵方法、近似函数法。对算法 的性质、收敛性以及算法的改进与推广进行了一定的探讨。主要内容如下： ( 1 ) 半无限优化问题是工程设计领域经常遇到的一类问题。由于这类问 题求解有相当的困难，目前尚缺乏十分有效的算法。我们针对约束半无限极 大极小问题构造了极大熵方法。研究了该算法的一些性质并在较弱的条件下 证明了方法的收敛性。数值试验表明该方法解决这类问题不仪计算速度快而 且精度较高。 ( 2 ) 非线性f l 问题是一个常见的不可微优化问题，它经常出现在网络 和系统设计等实际问题中。针对约束非线性f 1 问题构造了光滑近似函数 法，研究了其性质。该算法克服了之前一些算法特别是极大熵函数法易溢 出、h e s s i a n 阵渐趋病态的缺陷。并在适当的假设下，该算法是全局收敛的。 初步的数值试验表明了算法的有效性。 ( 3 ) 将光滑近似函数法应用于求解非线性规划问题，该方法通过解一个 可微的“准”精确罚函数逐渐去逼近原问题的最优解。并且可以通过参数的 选取来控制解的误差，给出了几个演示性的算例。 关键词：极大熵方法，光滑近似函数，半无限问题，收敛性，约束最优 化问题 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os o m en u m e r i e a lm e t h o d sf o rs o l v i n go p t i m i z a - t i o np r o b l e m si nt h em a n a g e m e n ts c i e n c ea n de n g i n e e r i n gs e t t i n g t h em e t h o d sw c c o n c e mw i t ha r et h em a x i m u m e n t r o p ym e t h o da n ds m o o t ha p p r o x i m a t i n gf u n c t i o n m e t h o d ；a n dt h em a i n w o r ko f t h ed i s s e r t a t i o nc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 1 1 1 es e m i i n f i n i t er a i n - m a xp r o b l e mo f t e na p p e a r si na l le n g i n e e r i n gd e s i g n s e t t i n g am a x i m u me n t r o p ym e t h o db a s e da l g o r i t h mf o rs e m i i n f i n i t em i x - m a xp r o b - l e m sw i t l le q u a l i t ya n d o ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n t sa r ee s t a b l i s h e d p r o p e r t i e so ft h e m e t h o da r es t u d i e da n di t sc o n v e r g e n c ei sp r o v e n n u m e r i c a lr e s u l t sa r cp r e s e n t e d w h i c hs h o wt h a tt h em e t h o di se f f e c t i v e 2 t h en o n l i n e a rf 1 p r o b l e mi s a l li m p o r t a n tn o n d i f f e r e n t i a b l eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m i ti so fg r e a tp r a c t i c a li m p o r t a n c et on e t w o r ka n ds y s t e md e s i g n as m o o t h a p p r o x i m a t i n ga l g o r i t h mi sp r o p o s e dt os t u d yt h en o n - - d i f f e r e n t i a b l ec o n s t r a i n e dn o n l i n e a r1 1 p r o b l e m t h i sm e t h o da t t e m p t st oo v e r c o m es o m ed r a w b a c k so ff o r m e r m e t h o d se s p e c i a l l yt h em a x i m u me n t r o p ym e t h o d t h ea l g o r i t h mi sg l o b a lc o n v e r g e n t u n d e rm i l dc o n d i t i o n s p r i m a r yn u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h ea l g o r i t h mi s e 街c i e n t 3 a ne f f i c i e n ta l g o r i t h mf o rs o l v i n gn o n l i n e a rp r o g r a m m i n gi sp r e s e n t e db y a p p l y i n gt h es m o o t ha p p r o x i m a t i n gf u n c t i o n t h ea l g o r i t h mi sb a s e do nad i f f e r - e n t i a b l ea n d a l m o s t e x a c tp e n a l t yf u n c t i o na n das u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nt e c h - n i q u e t h es o l u t i o ne r r o ro fs u b p r o b l e m sc a nb ec o n t r o l l e db ys e l e c t i n gs u i t a b l ep a - r a m e t e r s p r e l i m i n a r yn u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h mi se f - f e c t i v e k e y w o r d s m a x i m u me n t r o p ym e t h o d ，s m o o t ha p p r o x i m a t i n gf u n c t i o n ，s e m i - i n f i n i t em i n m a xp r o b l e m ，c o n v e r g e n c e ，c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 前言 刖吾 1 论文背景 最优化问题早在上一个世纪就有人研究过，例如s y l v e r s t e r ( 1 8 5 7 ) 提出的 在平面上找一个包含n 个给定的最小圆的问题，就可以归结为一个最优化 问题。最早将最优化方法应用到经济管理领域的是前苏联数学家康托洛维 奇。1 9 3 9 年，他在列宁格勒大学所作的题为“生产组织与计划中的数学方 法”的报告中，讨论了交通运输和生产计划中所提出的线性规划问题，并给 出了一种解法一解乘数法。 本世纪4 0 年代中期，电子计算机的出现，为最优化方法的发展注入了强 大的活力。半个世纪以来，最优化方法得到了迅猛的发展，新的优化模型和 求解方法不断出现，其应用已经拓广到工程、国防、经济、管理等许多重要 领域。 本文的内容属于方法研究，主要针对管理科学与工程领域的一些重要的 优化模型，对近几年备受关注的几类最优化算法( 如极大熵方法和光滑近似 函数法) 的性质、收敛性以及算法的推广与改进进行了一定的探讨。 下面我们将对极大熵方法的研究进展作一介绍，最后一部分介绍本文的 主要工作。 2 极大熵方法的研究现状 在最优化领域，许多问题的数学模型都直接或间接地涉及到最大值函 数，例如各种带约束和不带约束的、有限的和半无限的极大极小问题。而最 大值函数是不可微的，这就使得众多求解可微优化问题的优秀算法不能直接 用来求解这类问题。因此，构造能够很好地近似最大值函数的可微函数，并 用它取代优化问题中的最大值函数，无疑会对这类问题的求解带来很大的方 便。极大熵方法就是在这种思想指导下建立起来的一种最优化方法。 极大熵方法的作用不仅限于此，对一般的约束优化问题，通过最大值函 数将多约束问题转化为单约束问题，再用极大熵方法求解，从数值实验的角 度看也有独到的优点。 最早使用极大熵函数近似最大值函数的是k r e i s s e l m e i e r ( 1 9 7 9 ) 和s t e i n h a u s e r 。他们在研究系统控制设计问题时使用了这一方法，但并没有给出 刖 这一方法的来历。此后，h a j e l a ( 1 9 8 2 ) 和s o b i e s k i f l 9 8 5 ) 等将该方法成功地应用 于解决某些工程中的优化问题。由于极大熵函数可以看作是最大值函数的一 种上包络，国外称之为k s 函数或包络函数( e n v e l o p ef u n c t i o n ) 李兴斯( 1 9 8 7 a 1 9 8 7 b ) 在用j a y n e s 最大熵原理研究约束优化问题的代理 约束方法( s u r r o g a t ec o n s t r a i n tm e t h o d ) 时发现，乘子罚函数的惩罚项经过适 当的近似后，将得到一个与极大熵函数类似的表达式。1 9 9 1 年，李兴 斯( 1 9 9 1 a ，1 9 9 l b ) 利用代理约束的概念和最大熵原理导出了极大熵函数，并 研究了极大熵函数与最大值函数之间的性质。这是目前文献中见到的关于极 大熵方法的最早的理论工作。 极大熵函数还可以通过另外两种方法推导出来：一种是李兴斯( 1 9 9 1 m 利 用向量的l 。模的性质推导出来的；另一种是唐焕文( 1 9 9 5 b ) 等利用共轭函数的 性质推导出来的。 经过近十五年的发展，极大熵方法在算法设计、理论分析和应用等方面 都取得了较大的进展。 3 本文的主要工作 本文的研究重点是极大熵方法和光滑近似函数，主要内容概述如下 ( 1 ) 半无限优化问题是工程设计领域经常遇到的一类问题。由于这类问 题求解有相当的困难，目前尚缺乏十分有效的算法。我们针对约束半无限极 大极小问题构造了极大熵方法。研究了该算法的一些性质并在较弱的条件下 证明了方法的收敛性。数值试验表明该方法解决这类问题不仅计算速度快而 且精度较高。 ( 2 ) 非线性z l 问题是一个常见的不可微优化问题，它经常出现在网络 和系统设计等实际问题中。针对约束非线性f 1 问题构造了光滑近似函数 法，研究了其性质。该算法克服了之前一些算法特别是极大熵函数法易溢 出、h e s s i a n 阵渐趋病态的缺陷。并在适当的假设下，该算法是全局收敛的。 初步的数值试验表明了算法的有效性。 ( 3 ) 将光滑近似函数法应用于求解非线性规划问题，该方法通过解一个 可微的“准”精确罚函数逐渐去逼近原问题的最优解。并且可以通过参数的 选取来控制解的误差，给出了几个演示性的算例。 第1 荜约谏半尤限扳人擞小问题的撇人熵方法 第1 章约束半无限极大极小问题的极大熵方法 1 1 引言 随着科学的发展和社会的进步，工程设计变得越来越复杂。发生这一变 化的因素很多，譬如( 1 ) 人们对产品性能的期望值越来越高；( 2 ) 环境和资源对 人类提出越来越严格的限制；( 3 1 人们提出了越来越多的雄心勃勃的计划。 摆在人们面前的复杂的工程设计问题有很多，例如，在结构工程领域， 需要保证摩天大楼能经得起地震的考验，原予反应堆的造价需要降到一个可 接受的水平；在控制工程和电子工业领域，人们要求仪器设备和产品具有 可靠性、高性能，有时设计还需要考虑到最坏( w o r s tg a g ed e s i g n ) ：在汽车工 业，需要节省能源同时还能消除污染的环保汽车；在空间开发领域，人们要 设计出形状复杂、灵活性高、具有大的空间结构的航天器，特别是它们的控 制系统，要求达到一个空前的水平。 上述工程设计问题中，不少可以直接或问接地归结为半无限最优化问 题( p o l a k ( 1 9 8 7 ) ) 其中较常见的一种形式是约束半无限极大极小问题( p ) r a i n 妒( z ) z q ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 其中q = z l z 舻，9 。( z ) 0 ，i = 1 ，m ；g i ( x ) = 0 ，i = m t + 1 ，m ， 妒：舻一冗由下式定义 妒( 。) 2m 戕 ( z ) ，m ( z ) i m a x l j1 ( z ，。) ，黝忱( 。，。) 其中 ：形一r ，“= 1 ，m ) 和：r n + 1 一r ，0 = 1 ，f ) 通常满足某种 连续可微的假设。如果变量的取值区间不是 0 ，1 1 ，总可以作一个压缩和平移变 换，使得新变量的取值区间为【o ，l 】。 半无限问题是一类比较复杂的优化问题，数值求解十分困难。虽 然已经有一些求解这一类问题的算法( 例如p o l a k ( 1 9 8 7 ，1 9 9 2 ) ，c v o n n ( 1 9 8 7 ) ， 筇i 章约寐。拉无限擞人极小闪题的极人熵方法 a n a k a ( 1 9 8 8 ) 等1 ，但总的来看，能有效求解这类问题的算法还不多。 本章采用与求解有限极大极小问题的极大熵方法类似的思想，给出了一 种整体逼近方法，即构造妒) 的一个光滑的近似函数，称之为极大熵函数， 将求解问题f p l 车 化为求解一个约束的可微优化问题，使问题的求解得到了简 化。 虽然正如p o l a k ( 1 9 9 2 ) 指出的：由于模型的不准确和测量手段、加工工艺 带来的误差。在许多情况下，并不一定需要获得原问题的精确解；然而有限 的数值试验表明，使用本章的方法得到的解具有很好的精度，而且由于避免 了序列极小化过程，并可以构造有效的搜索方向( 通常用拟牛顿法求解) 。因 而也有较快的计算速度。该方法易于实现，容易为工程设计人员掌握。 1 2 算法及性质 首先注意问题( p ) 中的目标函数_ 】p ( z ) 可用下式定义而不失一般性。 l p ( z ) = m “ m a x l j 0 1 ( z m 一，m a x l j 午, z ( z ，。) ) ( 1 钏 以下讨论的妒( z ) 均f 1 3 ( 1 2 1 ) 定义。 假设h 假设( 1 2 1 ) 式中的每一个函数协( z ，t ) 关于z 在某开集上连续可微， 关于t 在 o ，l 】上连续。 根据可测集上函数k 模与l o 。模之间的关系，可以得到妒( z ) 的下述近似形 式( 王云诚( 1 9 9 5 ) ) ： m 厕习1n 砉z 1 驯球 z 固 其中p o 为充分大的参数。 令g ( 。) = m a x 肌( 。) ，i = 1 ，m 7 ；士肌( z ) ，i = m 7 + 1 ，m ) 则容易看 出q = x l a ( z ) o ) 构造与g ( z ) 相应的熵函数 - mm 召( z ，q ) = ；i n 【e 卵2 + ( e 豫2 + e 一”。) 】 ( 1 2 3 ) 1 扛= 1t = 仇+ 1 笫1 章约泵半尤限扳人微小问题的极人墒方江 其中q 是一个充分大的正参数。显然百( z ，g ) 与g ( x ) 的成员函数仇( z ) ，i = 1 ，m 具有同阶的可微性，并且 g ( z ) 召( z ，q ) 冬g ( z ) + 兰q 打l ( 2 m 一 ，) ( 1 2 4 ) 在问题( p ) 中，当约束区域q 的内部是空集。特别，当至少含有一个等式约束 时，q = z i g ( z ) = o 为了使熵函数法能处理包括这种情况在内的问题( p ) ， 考虑 q q = 扛i 百扛，口) 百1 轨( 2 m m 7 ) ) ( 1 2 5 ) 从( 1 2 5 ) 可见，对于任意的q 1 都有qcq 口，即q q 是问题( p ) 的约束区域q 的 外包络，并且有下述性质 命题1 【4 l 设。口n 口，l i l 里。口= 牙，贝0 牙q q 1 - ( 期 定理1 5 1 在假设h 的情况下有l i m ( z ，p ) = 妒( z ) 根据定理l 和命题1 ，求解p 与q 充分大时的下述问题( p 1 ) r a i n ( z ，p ) z s t 配g ) 1 2 m m ) 可望获得问题( p ) 的近似解。 基于l a g r a n g e 乘子法解问题( 毋) ，构造( p 1 ) 的增广l a g r a n g e i 蚕数 l ( z ，u ，c ) = 。，p ) + 钍( 虿 ，口) 一兰q 轨( 2 m m ，) ) + ；( 砒】q ) 一扣2 m 一仇，) ) 2 笫1 节约束半尢限撇人极小题的橄人熵方法 算法 步o ：给定初始点。o ，初始l a r a n g e 乘子啦= 0 ，c 0 ，p 、q21 0 3 e 0 为计 算精度，h o = i 舻“，置k = l 步l ：以z k 一1 为初始点，用b f g s 方法求解m i ni ( x ，“，c ) ，设其解为。，转 步2 。 ( 1 a ) 若l l v 。l ( x k ，u k ，c ) r l 则结束，取。女为卿nl ( z ，u ，c ) 的近似解。否 则 ( 1 b ) 计算 d k = 一t t , v 。l ( z k ，u k ，c ) s 2 口吲姗 ( z k + s d k ，c ) ) z k + l 2 o k + 8 k d k 民= 8 k d k r k = v z l ( x k + l ，u k ，c ) 一v z l ( x k ，让k ，c ) = 簇州一簇刚卜簇， 令k = k + l 返回步1 步2 ：若im a x 召( z k ，q ) 一：轨( 2 m m ，) ，一警) 礴 步5 ，否则转步3 。 步3 ：计算p = 嵩警等杀鬻蒜三端，若卢 叩叫，f i e m l ( x 、。觚础朋拈1 、”1 ll 4 ， 定义l 点矿称为问题( p ) 的一个临界, 点( c f i t i c a lp o i n t ) ，如果存在霄( z 4 ，t ) ，i = 1 ，f 及”妒满足下述关系 令 妻z 1 抛蛳舡+ ，岫+ 塾v 删= 。 z 1 霄( 矿，t ) ( 忱( 矿，f ) 一妒( 矿) ) 出= 。 k 吼p + ) = 0 ，i = 1 ，一，m 7 三1 i = l 止霄( 矿，2 ) d 。= 1 霄( 矿，t ) 0 ，k = 1 ，zt f 0 ，1 】 k 0 扛1 ，m ， r a ( x ) = i 1 9 , ( x ) = 0 ，i = 1 ，m ， 知( z ) = i l g , ( x ) 0 ，n k _ 0 ，z + a k d k q ，d k d 由矿为问题( p ) 局部最优解知k 充分大时有妒( 矿+ a k d k ) 妒( 矿) 于是 妒。( z + ，d ) = l 。i j r a 。i i ，一。i f s s u 。p ，。( 。，。) ! ! ! 二! ：! ! ! ! ! ；! - _ ：二j ! 芝2 。墨舢s u p 堂等等幽 ：1 i m 。u p f 坐! 型坠型盟+ 地2 型坐型生塑盟1 k o 。 一 o kn 。 0 定理2 设矿为问题( p ) 的一个局部最优解。怫，i = 1 ， ；g i ，i = 1 ，m 在矿q 附近关于关于z 阶连续可微。如果l f d ( x + ，q ) = s f d ( x + ，q ) 则矿为问题( p ) 的l 临界点。 证：令 鲍 章约束半尤限极人极小问题的极人熵方法 其中 中1 = 一；i v g i ( x 4 ) 一w i v g i ( z + ) + v i v g i ( x + ) 1 i e ( z + 1 l = m 7 + l；= m + 1 九0 ，i i ( x + ) ；w 。0 ，v i 0 ，i = m 7 + 1 ，- ，m ) 圣2 = 吒( z + ，t ) v 妒f ( z + ， + ，) 2o ，i = 1 ，z ，t 【o ，1 】ot ) d t i r ( x 。一1 j ” 妻z 1 碱舭_ l z 1 碱州，垆删舻。 j ( z + ) = t 1 仇( z + ) = 0 ，i = 1 ，m 7 易知西1 ，圣2 均为肜中闭凸集。 如果垂1 n 圣2 c n 存在 使得 其中 a ；0 ，i j ( z ) ；磁0 ，嵋0 ，i = m ，+ 1 ，一，m 霄( 矿，) 20 ，i = 1 ，1 t 0 ，1 】 妻j ( 1 啦驰1 ，碱州彬，旷删肛。 i 1 薹上柞+ ，叩嘶+ ，咖+ 若k v g z ( 矿) - o a ；= 0 ，i l ，一，m 7 ) ，( z + ) ；a ；= t 嵋一蝣，i = 仇，+ 1 ，一，m 第l 鼋约束半尢限极人极小闷题的极人熵方法 显然 a ：0 ，a ：仇( z + ) = 0 ，i = 1 ，m 7 即矿为临界点。 如果圣1 n 垂2 = ，由凸集分离定理，3 d 0 ，p 形使得 y t d 卢z t dv y 西1 ，z 垂2 由于y = 0 西1 故 z t d 卢 0 t 扫y - o 妒( z + ) = 垂2 故 卿4 ，d ) - ：m 坩a , x ) 。r d 0 。 i = 1 3 釜j 主釜尘= ! = 墨显丝厶坐_ ：囡垄塑丝厶堕窑鎏，一 ，! ， 所以 其次 妻p 忱嘲帏棚出 ，。一邮疵 一鲁j a ( 昂。，；) l e 一雕7 2 m ( a 。( 喝，s 2 ) ) t = 1 。妻z 1 n ( 则( 墙) 一仍( 墙，啪出 ( 1 p ( a 岛) 一妒 ( 哆南，t ) ) d t 甄确劫瞩, p , t ) e d t + a 卜煮篙罴 泓( 枷脚也卸中震面e - r m 丽 o ，当n 【0 ，田时有 f 如+ a d ) = f ( x ) + a a f ( x ，d ) + o ( n ，d ) f ( z + q d ) = f ( z ) + q e x f ( 口，d ) + ；n 2 2 f ( z ，d ) + 。( n 2 ，d ) a f ( x ，d ) t dk o f ( z ) 鲍2 章约束j f 线性“题的光滑近似荫教注 我们考虑问题( p ) 的更一般形式： m 。i nf ( z ) = i ( z ) t = 1 的最优性条件 ( g p ) s t c ( x ) = 0i 1 q 臼( z ) 2 oi = q + 1 - p 定理l 设d = z i q ( z ) = 0 ，i = 1 ，口；a ( x ) 0 ，i = q4 - 1 ，p ，矿d 为问 题( g p ) 的局部最优解。 = 1 ，m c l ，i = 1 ，p 在矿处一阶连续可微，则 对v d s f d ( x ，d ) 有a f ( x + ，d ) 0 其中s f d ( x + ，d ) = d i j o k ) ， 驴) 使n 0 ，o k 一0 ，z + + a k d 2 d ，d 一田 证明：由d s f d 知j q ) ， 驴) 使n _ 0 ，o l k 0 ，d k _ d ，z + q k 扩d 由z + 是局部最优解知k 充分大时，有 f ( x + + o k 驴) f x + ) 于是 f ( 矿，d ) ： l i mf ! f 苎：旦堑生l 二墨垒1 + f ( x * + a k d ) - f ( x * + a k d k ) i2o 、4 n k i o o ko 七 定理2 设 ，i 1m ；q ，i 1p ；f f ：x + d 附近一阶连续可微，若对v d s f d ( x * , d ) n d 0 均有f ( 矿，d ) o , 贝u z + 为问题( g p ) 的一个严格局部最优 解。 证明：若矿不为局部严格最优解，则了 ) cd 使得 令 茁七正，z 七十z + ，f ( x 七) ( s i g n f i ( x + ) ) v 五( 矿) r d ，对均中成立。 i c e ( z ) 一s i g n ( d t v f i ( x ) ) v ( z + ) 圣 i e e ( x + ) 故 于是 一s i g n ( v a ( x + ) 丁d ) d t v f i ( x + ) ( 哟n ( 矿) ) v 五( 矿) r d le(z),we(x+) a f ( x + ，d ) = ( s i g n f i ( x 4 ) ) v 五( 矿) + i d r v , ( z + ) i c e ( = )i e e ( x ) = ( s i 9 n ( z + ) ) v ( z ) t d + s i g n ( v f i ( x + ) t d ) d t v f i ( x ) ( s i g n a ( x + ) ) v ( 矿) t d i g e ( 。+ ) 若v c ，( x + ) r d 0 ，i i ( x + ) ) ，廖( z ) = il 嵋i 一 d r z 龟v 十l 一 o ，n k _ o ，d k d ，矿+ a k d 万 一2 8 0 0 ，o 麝_ 0 ，d 南一d ，矿+ q 七d k 西 由于面cd ，故k 充分大时 表明：i k ( z + ) 时， 故 i e ( 矿) 啻( 矿) 时， 因而 故 f ( x + + a k d 詹) f ( z + ) ，x + 十o t k d k d ( z + + o k d k ) = 0 ( z + + 口奄驴) i ：磁五( z + o l k d k ) v ；a ( z + + o e k d k ) 0 ，v i = s i g n f i ( x + o c k d ) ( z + + n d k ) i = v ；a ( x + + n k d k ) f 0 + + c r k d k ) = l 五( z + + o r k d k ) t = 1 = s i 妒a ( z 。) ( 矿+ o r k d 2 ) + v ；a ( z + + c t k d 2 ) g e 扛)i e e ( x ) 对充分大的k 成立。 一2 9 f j2 茚约糸非线性f ，旧题的丸滑近似龋数法 于是当k 充分大时 p f ( 矿) f ( 矿+ a k d ) = f ( z + + o r k d ) 一a ；q ( z + + o e k d ) 故 ( s i g n f i ( x ) )