（计算数学专业论文）非线性边界积分方程的高精度机械求积法.pdf

非线性边界积分方程 的高精度机械求积法 3 r6 5 4 6 1 5 计算数学专业 研究生程攀指导教授吕涛 摘要：本文提出了解非线性边值问题的边界积分方程的高精度机械求积法 积分算子被分解成单调的h a n n e r s t e jn 算子和一个紧算子后，运用s i d i 求积 公式，建立了非线性离散方程组并借助a n s e l o n e 的渐近紧收敛理论和 s t e p l e m a n 定理，证明了离散方程组的解存在性、唯一性、收敛性和精度阶 0 ( 3 ) 使用o s t r o w s k i 的不动点定理，提供了三阶收敛的迭代法数值试验 说明了该方法的可靠性 关键词：求积法，非线性边值问题，边界积分方程 h i g ha c c u r a c y m e c h a n i c a l q u a d r a t u r em e t h o d f o r s o l v i n g n o n l i n e a r b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s m a j o rc o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s g r a d u a t e ds t u d e n t c h e n g p a l l t u t o rl t l t a o s u m m a r y ：t h i sp a p e rp r e s e n t sm e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sf o rs o l v i n gt h e b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so fn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a f t e rt h e b o u n d a r yi n t e g r a lo p e r a t o r i s d e c o m p o s e d i n t ot h es l i mo fam o n o t o n o u s h a m m e r s t e i no p e r a t o ra n dac o m p a c tm a p p i n gb yt h es i d ir u l e ，w ec o n s t r u c tt h e n o n l i n e a rd i s c r e t e e q u a t i o n s u s i n g t h e a s y m p t o t i c a l l yc o m p a c tt h e o r y o f a n s e l o n e a n ds t e p l e m a n t h e o r e m ，t h ee x i s t e n c e ，t h eu n i c i t y ，t h ec o n v e r g e n c e a n dt h ee r r o re s t i m a t ew i t h o ( h 3 1o ft h ed i s c r e t e e q u a t i o n s a r e s h o w n b y f i x e d - p o i n ta r g u m e n t so fo s t r o w s k i ，am o d i f i e dn e w t o ni t e r a t i o nw i t ht h et h i r d o r d e ri sp r e s e n t e d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a to u rm e t h o d sa r ee f f e c t i v e k e y w o r d s ：m e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d ，n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n 2 第o 节绪言 f j r i z z o l 2 0 j 和t a c r u s o 首先将积分方程的直接法应用到弹性静力学 l a u ( x ) = o x q u q ( o 1 a ) 1 o = 一u ：一g ( 材) + j ( 石) ：- g ( x ，材) + g 。( x ) ( 工r )( o 1 6 ) l o n 在r 上给定的实函数；是二维的l a p i a c e 算子，晏表r 上的外法线导数， u ( y ) 一去f r u ( x ) 毒l 。水刊d s 。 = 一1 瓦0 u l 。g i x y 拶r( 。2 ) 把边界条件( o 1 b ) 代入得 吲一三鼻u ( x ) 毒l o g f x - y f d s 。一熹r g ( x ，u ) l 。g l x 刊d s x = 一妻j j g 。( x ) l 。g i x yl d s 。 x r ( 。3 ) 这里x = ( z l ，茸2 ) ，y = ( y 1 ，y 2 ) ，ix - y 卢( x 1 - y 1 ) 2 + ( x 2 一y 2 ) 2 显然( o | 3 ) 是一个非线性边界积分方程若u ( x ) 由( o 3 ) 解出内外点的值可 由 u ( y ) = 去f u ( x ) 毒l 。g l x - y 旭一磊1 土瓦0 u l o g 卜yj d s 。 y q u q ，( 0 4 ) 给出 对于方程( 0 3 ) 的数值解法已被不少的作者使用配置方法和g a l e r k i n 方 法江3 4 1 讨论了但是离散矩阵的每个元素的生成，对于配置法不得不计 算一重奇异积分，对于g a l e r k i n 法不得不计算二重奇异积分运算量大，同时 精度低，仅是o ( h 2 ) 机械求积法却能省去离散矩阵的每一个元素的奇异积分 的计算，只须赋值方可生成矩阵元素但在理论上和数值处理上存在诸多困难 迄今，尚未发现有文章使用求积法解( 0 3 ) 本文首先使用奇异求积公式1 8 l ， 建立了( 0 3 ) 的机械求积法，利用a n s o lo n ”1 的渐进紧收敛理论和s t e p l e m a n 定理，证明了离散方程组的解存在收敛且精度为o ( h 3 ) ，使用0 s t r w s k i 的不 2 动点定理，得到三阶收敛的修正n e w t o n 迭代求积法：最后，给出算例说明 了该方法的可靠性 本文前三节是基础知识：第四节根据具体的问题，利用机械求积法以及 一、二节中的知识得出方程组鳃的存在唯一睦：第盘、六节给出解方程的数 值方法是适定的以及利用此方法计算得到的一些算例 第1 节边界积分方程 由于只对边界进行离散划分为有限个单元，而内部利用经典解( 如 调和方程内部利用g r e e n 函数) 来表示，这是精确的，近似情况仅发生在边 界上所以，它比一般有限元法精度高，它有如下优点 1 ) 由于仅在边界离散化，未知量大为减少 2 ) 可以对计算对象的任何需要点和剖面求解，不必对所以单元进行计 算 3 ) 由于仅在边界离散，其计算误差也仅限于边界和边界附近 4 ) 计算无限大连续体和半无限大连续体问题，如地下工程、基础工程等 带来很大方便 正是由于具有上述优点，近年来，边界元法的发展非常迅速，使之成为一 种强有力的数值计算方法 在国内，边界元法的研究起步较晚，19 7 8 年杜庆华教授对此方法作了 综述和推荐 2 2 1 ，开始了国内边晃元法的研究冯康、胡海昌、何广乾等一 大批著名数学和力学家加入到边界元法的研究行列，使我国的边界元法研 究得到了迅速的发展 为了求解椭圆形方程，需要把微分方程化为边界积分方程下面我们将 利用g r e e n 公式和基本解得到直接边界积分方程法，利用位势理论得到间接 边界元法由于二维问题可能具有对数奇性，可能比三维问题分析更复杂， 所以详细的给出7 z 维情况下的边界积分方程的形式 4 1 1 直接边界元法 1 1 1g r e e n 公式f 2 3 1 把一个区域上的积分转换为区域边界上的积分从根本上说是基于g r e e n 公式的应用。对于在豆上k g 续且在q 内有连续偏导数的任一向量函数w ， w ( c 1 ( c a ) n c o ( 豆) ) ”成立 ld i v w d x = ，w n d s ( 1 1 ) 其中出= 出；呶，搬表示r 上的度量，n 是r 的单位外法线向量 g r e e n 第一公式 在公式( 1 1 ) q u - 令w = u v v ，其中“，v c 2 ( c a ) n c ( 孬) ，得g r e e n 第 一公式 iv a u c l x + 留“v v d x = p v “n d s ( 1 2 ) g r e e n 第二公式 在( 1 2 ) 中交换“和v 的位置，并把所得式子与上式相减，得g r e e n 第 二公式 i o ( v a m u a v ) d x = r ( v v u n - u v v n ) d s ( 1 3 ) 若“，v 在r2 上有紧支集，则上述g r e e n 公式对无限区域d 也成立 1 1 2 基本解 为了描述物理学和力学中集中作用的物理量，如点电荷、单位脉冲、集 中质量等，我们引入d f 阳c 一万函数作为它们的密度函数，它在r “中满足 性质 1 ) 8 ( x - y ) ：伫? ( 1 4 ) 【x = y 。 2 ) l 万( x y ) d x = 1 ( 1 5 ) 一般地，称满足方程 一a u ；8 ( x y )( 1 6 ) 的解“( x ，y ) 为微分方程的基本解用g r e e n 函数和基本解可得调和函数的 基本积分关系式 定理1 1 设z f c 2 ( t a ) n c l ( 豆) ，u 是l a p l a c e 算予的基本解，则有 f f 象一“等) 峨一l 池出= 裟 ， 特别，若u 满足调和函数，则有 的) 吣) = 胁丽o u 一群鼍) 掇 y r ( 1 8 ) 其中，口( y ) = 笔 ，口( y ) 是过y 点的f 的两条切线间的夹角( 包含在q 的 部分) 对于无界区域甜，只要对u 在无穷远处的性态作出限制，可得到类似的 积分关系式 1 1 3 直接速界积分方程 当我们用( 1 7 ) 式表示l a p l a c e 方程各种边值问题的解时，必须要事先知 道“和娑在r 上的值一般我们只能知道“o u e r 上的数值中的一个 d 玎o n 或一部分，另一个或其余部分要由关系式( 1 8 ) 来确定 对d c h i e t 问题，甜在r 上的值“。己知，由表达式( i 8 ) 得一个以譬l g n l ， 为未知量的第一类f r e d h 。l m 积分方程；对n e u m a l l n 问题，祟l 上的值g 。 d 门i ， 是给定的，同样由表达式( 1 8 ) 可得一个以“l 。为未知量的第二类f r e d h o l m 积 分方程；对r o b i n 问题，边界条件可写为 a “ = 一。g o 一日“ o n 或 “( x ) ：土( g 。一a = u ) 代入表达式( 1 8 ) ，也可得到第二类f r e d h o l m 积分方程 为了描述内边值和外边值问题，我们定义门：表法线在f 的外部区域 q 中部分，拧：表法线在r 的内部区域q 中部分；u - ( y ) = l i r a u ( x ) ， y f ，u - ( y ) = l i r au ( x ) ，以及 f 塑逊：l i r a a u ( y ) 竺，、“瓤孤 y r( 1 t 9 ) i 曼塑：l i m a u ( y ) 。 一 【a n j一一时a n ， 计算出边界值蹦一，甜+ ，罢冬和善睾以后，可以得到“在区域中的表达式 伪?d ” 定理1 2 设r 是光滑闭曲线，甜是q 和q 中的调和函数，一阶偏导 数在q + r 和在q + r 上分别连续，且甜在无穷远有性质 嬲毒，h 枞 。， 则“在平面上有表达式 u ( y ) = 鼻a ( x ) u ( x ，y ) + 越x ) 垒穹竽d s 。y q u q ( 1 1 1 ) u - ( y ) + u + ( y ) 2 ：r a ( x ) u ( x ，y ) + 肛( x ) 掣d s 。y r ( 1 1 2 ) 州c|n 其中u 是a u = 0 的基本解， 吣，= 掣一掣 1 4 x ) = “+ ( x ) 一u - ) x f x f 1 2 间接边界元法 根据具体的物理问题，用基本解( 点源函数) 和线性迭加原理可以直接得 到各种形式的积分表达式，通过求解边界积分方程来达到求解该物理问题对 应的微分方才定解问题的耳的 1 2 1 位势 根据静电学理论，在空间某点x = ( x ，工，x ，) 带电量为q 的点电荷产生 一静电场，适当选取单位制，其在点x 以外任何一点y = ( y ，y ：，儿) 处的电 位是 “：l f x - - y ( 1 1 3 ) 由线性迭加原理，连续分布的电荷所产生的位势可表不为积分形式 设电荷以密度仃( x ) 分布在一个曲面f 上，则由这些电荷产生的电位是 咖) 2 l 尚掇 ( 1 1 4 ) 这个积分称为单层位势 现设位于轴l 上间距为h 的电荷g 和一q 都趋于它们中间点x ，电荷移 动方向和轴线l 的方向重合并使q 变动保持 = q h 常数 称为偶极子轴若曲面r 是一个有向曲面，即有内侧和外侧，其上分布了 具有矩密度( x ) 的偶极子，其方向与曲面r 的外法线方向n ，相同，这种分 布所产生的电位等于 山) = m x ) 毒( 南 ( 1 1 5 ) 这个积分称为双层位势 对于二维情况，可以类似的得到几种位势 单层位势 吣) = 去i 吣) n 产， 双层位势 埘，= 去伽c 工，毒t n 却。 m 1 2 2 住势性质1 2 0 】 定理1 3 若密度函数o - ( x ) 在r 上是一个连续函数，则单层位势除在 r 以外是调和函数，且在穿越r 时是连续的，但其法向导数在穿越边界时 有跳跃 掣= 掣+ 去砉n 南喊埘 8 u ( y + ) ：一塑+ 1 f r 6 ( x ) 旦l n 去d s 。y r ( 1 1 9 ) on +2 2 n 8 n yf x y l 。 、 定理1 4 若密度函数a ( x ) 在f 上是一个连续函数，则双层位势除在 r 以外是调和函数，而穿越f 时产生第一类间断 u 奄卜警+ 扣毒- n 南a s x 州1 z 。， “y ，= 掣+ 去似x ，毒- n 南a s 。y r z ， 但是其法向导数存在且相等 1 2 3 问接边界积分f i - , l 蔓 由于单层位势或双层位势分别满足调和函数，把l a p l a c e 方程的解表示 成具有待定密度函数的某种位势，然后使它满足给定的边界条件就得到关 于密度函数的积分方程 首先，把单层位势和全平面上的积分表达式( 1 1 1 ) 联系起来研究若 “在穿越f 时是连续的，则有 咖) 一击i 嘶) 1 n 卜y 够， y 幽u q ( 1 2 2 ) 其中 盯( x ) ：掣一i o u ( y ) o no n 对于d r i z h l e t 问题，由单层位势的连续性，由( 1 2 2 ) 可得边值材。应当满 足的关系式 “。( j ，) = 一瓦1 盯( x ) l n 卜y 晦 y 1 1 ( 1 2 3 ) 得到第一类f r e d h o l i n 积分方程 对于n e u m 锄问题，由于单层位势在1 1 上的法向导数是不连续的，竺 在边界r 的值可写为 坐：( 生一生) 2 + ( 坐+ 立1 2 a n 、加一加“、加一加 ：一旦+ f 生+ 生1 2 2 、魂一钿+ 7 把关系式( 1 1 2 ) 代入，得到联系未知密度函数盯( y ) 和已知函数g 的边界积 分方程 一警一去) 未t n 嘏、= g ( y ) ，y r z a ， 得到第二类f r e d h o l m 积分方程 同样地，把双层位势和全平面上的积分表达式( 1 1 1 ) 出发来考察，蓿 o u 穿越r 时是连续的，则有 u ( y ) = 一去f r 吣) l n | x - y p s 。y q u q ( 1 z s ) 对于d r i c h l c t 问题，保持娑穿越r 的连续性延拓到区域q ，中去，“在 r 上的值“。可写为 ”甜 一“。 l 材 + u 。 ，甜 + u + 2 t + 广一亏+ 厂 把表达式( 1 1 2 ) 代入得 一半一去) 旦g n l n d s 。_ u o ( y ) ，y r ( s ) 得到第二类f r e d h o l m 积分方程 对于n e u m a n n 问题 掣= 一去去l n | i d s x = g o ( y ) y r 是一个超奇异的边界积分育棵 第2 节奇异积分的计算 由于积分方程司能具有奇性，将会极大的影响方程的计算，我们将借助 e u l e r m a c l a u r i n 公式得到高精度s i d i 求积公式，构造出高精度的奇异积分方 程的计算。 2 1 高精度梯形公式 计算有限区间b ，6 上的积分 r 厂( x ) 出= ，( ，) ( 2 1 ) 最简单的求积公式是复合梯形公式 趴伊 降川川) + 。啪卅+ 掣 ，( 2 z ， 其中 向：尘! ” 0 如果被积函数是光滑周期函数( 周期为6 一盘) ，则梯形公式是一个精度很高的 公式；如果被积函数是解析周期函数，梯形公式的精度甚至是指数阶的( 当 h 斗0 ，误差按指数函数趋于0 ) ；如果被积函数不是周期函数，则梯形公式精 度就很差下面我们利用b e r n o u l l i 多项式的性质来证明 一个七次多项式b k ( x ) ，k 0 ，称为b e r n o u l l i 多项式，如果它按以下递推关 系得到 a ) 鼠0 ) = 1 ， b ) b k ( x ) = k + 最一。( x ) ，k 1 ， c ) f b 。( x ) 出= o ，七1 根据递推关系可以求出各阶b e m o u l l i l 多项式，并从递推关系b ) 和c ) 得到 反( 0 ) = b k ( 1 ) ，k 2 ( 2 3 ) 这表明b e r n o u l l i 多项式可以周期化开拓到整个实轴上这样就得到b 。q ) 的 以l 为周期的开拓函数 只( x ) = x - - h 一昙 其f o u r i e r 展开式为 p ( x ) = 一鲁专, 2 s i n 2 ( ，2 n 玎 n x ) 对其逐次积分得 ( 2 4 ) ( 2 5 ) p ：，( x ) = ( 一) 1 喜鬻，= 1 ，2 ，( 2 6 ) p ，+ ，( x ) = ( 一) 1 薹；鬻，= 1 ，2 ，( z ，) 由b ) 知p ，( x ) 是b j ( x ) ! 以1 为周期的开拓它具有性质 p 。( x ) = p 。o ) ， p ：川( o ) = p ：川( 1 ) = 0 ，= 1 , 2 ， p ：即) = p ：一) = ( 一1 ) 川主n = l 面2 矿= 丽b 2 j ( 0 ) ，h 2 ， 利用p i ( x ) 易得e u l e r - m a c l a u r i n 展开式 疋埋2 1 右f c t o ，栉j ，则 竽州咿吖( 川) + 丁f i n ) = 驴( 壮+ 掣胁h 例 + + 篱旷 ) ( 旷严1 ) ( 。) 】+ 广出 ( 2 s ) 把这个渐近展开式与r i c h a r d s o n 外推结合得到r o m b e r g 算法 定理2 2 令g ( x ) c 2 k ，6 ，取向= ( 6 一a ) n ，则成立梯形公式的渐 近展开式 驰 学+ g ( 川) + + g ( 州川瑚+ 半】 = e 小冲+ 掣矗2 ) _ g 训+ + 篱妒) ( 柏“气口) + h 2 k + l + 肋i x i - a ) ( x ) 出 ( 2 9 ) 推论 2 1 若g ( x ) c 2 k ，b ， 且 g ( 6 ) = g ( 口) ， g ”( 6 ) = g ”( 口) ，g 2 “1 ( 6 ) = g z k - i ( 口) ，又设常数m 0 ，使 g 2 “( x ) m ，a x b ，则 j ? l g ( x ) d x t ( g ) l c n 2 ， ( 2 1 0 ) 并且常数c = m ( b 一口) 2 k + 2 2 2 万2 k - i f ( 2 七+ 1 ) 与n 无关，其中 f ( 七) = “是r i e m a n n z e t a 函数 i = 1 根据定理2 ，我们得到前面所述的关于梯形求积公式对于周期函数的高 精度的性质 2 2s i d i 公式 计算奇异积分方程或弱奇异积分方程，需要计算奇异积分 r 皿= ? 磐级 ( 2 1 1 ) 或弱奇异积分 r g i ( 班k = 肚一，i ( i n k t 1 ) 9 9 ( x ) d x ， ( 2 】2 ) 其中g ( x ) 和g 1 ( x ) 皆是以参变量t 为奇点的函数，一1 - 1 ，则成立 渐近展开 d ( ) = r g ) d x h 菪g ( x ，) = 薯篱妒。”舻1 6 ) k 玎 一2 篓；兰i i ；产g 姑”c ，) 办2 p h l + 。c 力2 ”) c 2 ，4 ， 定理2 5 t t g ( x ) e c2 ”k ，6 】而g ( 工) = k - t l “l n x f k ( z ) ，s 一1 ， 则成立渐近展开 砌) = r g ( x ) 出，：誊，g ( x j = 薯篱旷i ) ( 矿g 弋6 ) k ” 一2 薯地型篙堕必 + o ( h 2 ”) ， ( 2 1 5 ) 特别，当s ：o 时，f ( o ) = 一1 1 n ( 2 石) ，导出求积公式 o o ( g ) 一，妻，啦) “。g ( 去) g ( f ) 向， ( 2 1 6 ) ，o ， 上， 其误差有渐近展开 e 胛) - 2 薯篱气啪2 川+ d ( 驴) ( 2 1 7 ) 第3 节 非线性方程组的数值解法 非线性方程组的数值解法在实际问题中有广泛的应用，特别在各种非线 性问题的科学计算中更显出它的重要性因此，近几十年来其发展十分迅 速，很多经典迭代法有了新的发展由于n e w t o n 法收敛快，工作量较少， 我们主要介绍n e w t o n 迭代法及由它发展起来的新方法 3 1n e w t o n 迭代法 设映像f ：d cr “斗r ”定义非线性方程组 f ( x ) = 0 ，( 3 i ) 假定x d 是方程的一个解，工d 是x + 的一个近似，由_ ) c 定义映像 l ：r ”一r “为 三。( x ) = a k ( x x ) + f ( x ) ， ( 3 2 ) 其中a k l ( r ”) 为非奇异n 阶矩阵，显然三。 。) = f ( x + ) ，若用线性方程 组 三。( x ) = 爿。( z z 。) + f ( x 。) = 0( 3 3 ) 的解x = x “1 作为方程( 3 1 ) 的新近似，即 x “1 = z 一再1 f ( x 。) ，七= 0 ，l ，一，( 3 4 ) 该近似为非线性方程组的线性化迭代法通常a 。与以及f ，f 7 等有关，当 4 。取法不同就可得到不同的迭代法对所有k ，取a k = a l ( r ”) 非奇异 于是得到 x “= _ f + 一a 。f ( x ) ，k = o ，1 ，( 3 5 ) 它称为n 维平行弦法若取4 ；f ( x 。) 则得到 x “。= _ c 。一【f ( x 。) “f ( x ) ，k = o ，1 ，( 3 6 ) 称为简化n e w t o n 迭代法这里f7 o ) 就是f 的j a c o b i 矩阵若取 a 。= f ) ，则可得到n + 1 次近似迭代 x “= x 一i f ( x ) 】。f ( x 。) ，k = o ，l ，( 3 7 ) 这就是解非线性方程组的n e w t o n 迭代法这里f ( ) 就是f 的j a c o b i 矩 阵 定理3 1若f ：d c r ”一r “在x + 处f r e c h e t 可导，x 是方程( 3 1 ) 的解，s o c d 是x 的邻域，又设a ：s 。cd 呻l ( r ”) 在x + 连续， a ( x ) 非奇异，则存在闭球s = 多( x ，艿) cs o ，使映像( 3 5 ) 在工s 上有定 义，且在x 处有f r e e h e t 导数 g ( x ) = i 一 a ( x ) 】- 。f7 ( x + ) ( 3 8 ) 且有p ( ，一【4 ( x ) 】。f ) ) o ) ，使映像g ( x ) = x - i f7 0 ) r f ( x ) 对所有x s 有定义，且n e w t o n 法生成的序列扛。 超线性收敛到x ，若还 设 扩( 工) 一f ( x + ) l t _ ( o l l x - x + i ， v x e s ，a 0 ， ( 3 9 ) 则n e w t o n 迭代序列x 。) 至少二阶收敛 3 2 修正n e w t o n 法 n e w t o n 法收敛速度快，但是每步迭代要计算 个分量函数值，及”2 个 偏导数值a ，“) ( f ，j = 1 , 2 ，力) 并求一次矩阵的逆，工作量较大若 利用简化n e w t o n 迭代法，每步只计算聆个分量函数值，但是收敛速度慢，只 有线性敛速我们吸取n e w t o n 法收敛快与简化n e w t o n 法工作量省的优点， 把m 步简化n e w t o n 步组成一次n e w t o n 迭代，得到下面的迭代步骤： f x 枷= x 4 x = x 。一 ，( x ) 。f ( x k , i - i ) ，f = l ，肌，七= o ，l ，( 3 1 0 ) i x “1 = x 抽 这种迭代方法称为修正n e 卅o n 法f 1 2 1 其每一步只计算一次j a c o b i 矩阵， ) 及求一次逆【f ( ) 】- l ，中间做m 次简化n e w t o n 步其具有卅+ 1 阶敛速， 当m = l 时是n e w t o n 迭代法，当m = 2 时，表达式为 x “= x 一 f ( 工) 】“ 尸( x ) + f ( x 一 f7 ( x ) 】。f ( x ) ) 】，k = 0 , 1 ，( 3 1 1 ) 具有三阶敛速 3 3 带参数的n e w t o n 法 在n e w t o n 迭代法中，当f 0 ) 奇异或病态时，n e w t o n 迭代就不能使 用，需引入参数五。使f ( x ) + ，非病态，此时得到迭代 x “= x 一【f7 ( x ) + 丑， 。f ( x 。) ，k = 0 , 1 ， ( 3 1 2 ) 当五足够大就可以使矩阵f ( x 。) + a ，对角占优，从而消除奇异性，其局 部收敛定理 定理3 3 设x 是方程( 3 1 ) 的解，f ：d c 2 r “- - r ”在x 的邻域 瓯d 上连续可微且f ( x + ) 非奇异，又设一一，成为矩阵f 0 + ) 的特征 值，令 删n 甚脚o ) 刁= 叫n 1 u , 1 2 百i 耻肛 0 或r e l ， 0 的特征值，可取= + 0 0 或，7 = + o o ， 则对任意的a ( 一，7 ) ，由迭代产生的序列x cs o ，且收敛于z 第4 节机械求积法 4 1 积分方程解的存在唯一性 首先定义积分算子 ( k “) ( y ) = j r “( y ) 七( 矗y ) d s 。， ( 4 1 a ) ( 6 少) ( y ) = j ，( y ) 6 ( x ，y ) d s ， ( 4 1 b ) 这里女( y ) ：! o l o g lx - y l ，6 ( x ，y ) ：l 1 0 9 ix y l ，那么( o 3 ) 可等价地表示 hu h x h 为算子方程： ( j k ) u + b ( g ( 1 ，) ) = 墨g 。( 4 2 ) 为了研究( 4 2 ) 的可解性，下面给出两个假设条件 ( 1 ) d i a m ( q ) 1( 4 3 a ) ( 2 ) v u 尺，g ( ，“) 是可测的；v x r ，g ( x ，) 是连续的；其次昙g ( 工，“) 是b o r e l 可 u u 测函数且满足： o ，昙g ( x ，“) o 令e 【o ，2 万】表所有直到m 阶导数且以2 丌为 周期的连续函数构成的函数空间在e “ 0 ，2 1 r 上定义算子 ( k 百) ( ，) 2jk ( t ，r ) f i ( r ) d r ， ( 腼w ) 2 i b ( t ， c ) k ( r ) d r ， 方程( 4 2 ) 变为 ( i 一足) 万+ 百( g ( 西) ) = 】曩矗， f 4 4 a ) ( 4 4 b ) ( 4 5 ) 其中订( f ) ：“( x o ) ) ，g ( 玎) ：g ( “( 工( r ) ) ) ，g o ( f ) ：g 。( x ( f ) ) ，万( f ，r ) ：一1 厅 + l x ( ，) j l o g i x ( t ) 一x ( r ) 1 ，和 k ( t ，f ) = 去等x 蒜善辫h 刀 ( x t ( f ) 一l ( f ) ) 2 + ( x 2 ( ，) 一x 2 ( r ) ) 2 。 上霉尝穹黑掣) 1 ， 2 x ( x l ( r ) ) 2 + ( x 2 ( ，) ) 2 。 显然在上述两个条件下，方程( 4 5 ) 有唯一解存在 4 2 离散方程解的存在唯一性 ，f t = r 取正整数n ，并令矗= 2 t r n ，f = j h ，j = 1 ，一，f t 用梯形公式川近似积分 算子蟊的近似， ( 瓦百) ( ，) = 确，庐( r a j = 1 f 4 6 a ) 由周期函数的性质得e 7 1 ( j 面) ( f ) 一( 瓦玎) ( f ) = o ( h 2 ”) ，用s i d i t 8 求积公式构造近 似积分算子百，导出了f r e d h o l m 近似” e ( g ( 动= 唼砸川g ( m 伪州l 。g 西h + 1 0 咖，( f ) u g ( ( 4 6 b ) 且成立渐近展开 百( g ( 豇) ) 一e ( g ( 西) ) = 2 蓦篁警g 2 “( 西( t ) ) h 2 n 十。+ 。( 2 “) ，这里f k ) 是r i e m a n nz e t a 函数的导数( 4 5 ) 相应的近似函数方程为 ( j e ) 瓦+ 瓦( g ( 瓦) ) = 巨，爵( 4 7 ) 令f = i h ，i = 1 ， ， j l i 么( 4 5 ) 相应的离散方程组 ( ，一露? ) 群+ 爵( g ( “- - 。h ) ) = - - 。h g 0 6 ( 4 8 ) 其中 “- - 。h = ( 玩( ，) ，g ( t 。) ) ，季：= ( 磊l ，一，季。) 7 = ( 亭。( f ) ，- ，g o ( t 。) ) 7r 。h = 七。17 ， = j i ( f 。，f ，) k ，彤= 钆比。= 6 ( f ，f 棚麓 显然( 4 8 ) 是n 阶非线性代数方程组由( 4 8 ) 解出后内( 外) 点的值可由下式 近似公式求得 毗) = 去喜啪，) 毒l 吲圯) 刊m 川 一去： ，) + 赢o ， ，) 一拶。川, - - h t ) l o g lx ( ty z 石川 y q u q 。， ( 4 9 ) 下面来研究( 4 8 ) 的解存在性和收敛性，为方便记z 。= 刃， h 。z 。= 髟( g ( 乙) ) ，霞。乙= ( ，一x - 2 ； ) z 。，d = d i a g ( d l 一，以) ， 其中 d ，= r 4 _ 万11 。g i x ( f ) 一x p ，) 1 1 z 如) l d t ，于是( 4 8 ) 成为 丘。+ b n z 。= 孵： ( 4 1 0 ) 引理4 2 。9 1 ( s t e p l e m a n ) 设映射a ：r ”斗l ( r ”) ，b ：r “- - 4 l ( r ，r ”) 及f ：r ”斗r “是连续的，又设l l 4 ( x ) 】。临c + ，| l 爿( x ) 】_ l b ( x ) 临c ： + 。f i f x l l c 3 旧，v x r ”，那么，对任一b e r ”，方程 a ( x ) x = b ( x ) b + 剧有解 引理4 3 ”在上述两个假设条件下，戌= 瓦g ( 2 ) 在c o ，2 石】中渐近紧 收敛于查= 百g ( z ) 即 言。与百( 4 1 1 ) 有了引理4 2 和引理4 3 ，下面给出( 4 8 ) 的解的存在性和收敛性定理 定理4 1 在上述两个假设条件下，且1 不是魁，露的特征值，那么方程( 4 8 ) 的解存在且它的解：。和( 4 5 ) 的解z 有误差估计 忪一z 。i i = o ( h 3 ) ( 4 1 2 ) 证明：因i 是充分光滑函数，由 5 ，6 知，费的逆存在且一致有界，即 l i i 一1i i - - - c 佃，而l l 霞一1 d 悃i | 乏1 id 1 1 - c 2 0 ) ，c ，2 。m 。a x 。 1 0 9 1 嘉| | 从而有 b z 。 i i m “c 。惚( 善 o g ( 2 e w ：。i 。嬖) 卜l o g 娑i ) h + l c i + s 吲善n - i 甙2 e - i 2s i n ! - - 。g 譬+ 崛 蛳。( ) d l 。g s i n 抄o g 譬埘 l c 0 堕( i l 。g ( e - 2 三) 。g 坐i ) + l c ”月 三弓+ l c = l c + 0 0 于是( 4 1 0 ) 满足引理4 2 的条件，从而( 4 8 ) 有解存在 其次证明方程( 4 8 ) 的解唯一，设z 。和n 都是( 4 7 ) 的解代入( 4 7 ) 然 后相减得 ( 一瓦) ( z 。一y 。) + 玩g ( = 。) 一瓦g ( y 。) = 0 一功 器二“蜘卜嘉 万 v 一抛 一 鸭 锯 一疗一厅 ( ，一瓦) ( z 。- y 。) + 耳g ( 乙) 一e ，g ( y 。) = 0 ， 根据假设( 2 ) ，利用中值定理得 ( ，一瓦) ( z 。- y 。) + 瓦g ( 己) ( z 。一y 。) = 0 ， 其中三= y 。+ ，( 2 。一y 。) ，0 s ，1 因i l ( ，一瓦) 。1 1 + 。，由引理4 3 ， 得( ，一瓦) 一，磊g ( i ) 是 c o ，2 石】寸c o ，2 石】的渐近紧收敛放有= 。一y 。= 0 ，即z 。= y 。从而( 2 8 ) 的 解唯存在 ( 2 ) 下面来e n ( 4 1 2 ) 由方n ( 4 5 ) - - 与( 4 7 1 相减 ( z 。) 一( k z 一瓦乙) + b g ( z ) b o g ( z 。) = 0 ， 即 ( z z 。) 一( k 一k 。z + k 。z k 。z 。) + 百g ( z ) 一瓦g ( z ) + 巨g ( 2 ) 一百o g ( z 。) = 0 由 7 】知( 忍一k 。：) = o ( h “) ， 8 1瓦g ( z ) 一瓦g ( z ) = o ( h 3 ) 故 ( z 乙) 一豆j ( z z 。) + 瓦( g ( z ) 一g ( z 。) ) = o ( h 3 ) 由假设条件( 2 ) 和中值定理得 ( i - 瓦+ b 一g ( 三) ) ( z 一乙) = o ( h3 ) ， ( 4 1 3 ) 其中，三= z 。+ ，( z 一= 。) ，0 ，s 1 因1 不是瓦的特征值，从而( ，一瓦) 一存在且 有界由引理4 3 知 瓦g ( 三) o 瓦o ( e ) 故( ，一瓦十瓦g ( 三) ) 。存在且一致有界( 4 12 ) 证m 第5 节迭代法的收敛性 5 1n e w t o n 迭代法的构造 为了讨论方便记 f ( 瓦) = ( j ( 瓦) ， ( 不) ) 7 ， 其中，( 瓦) = z ，一h z ，毛一 毛( g o ，) 一玩) 瓦= ( z l ，“) ，= f，= f 于是方程( 4 8 ) 表为 对f ( 乞) 两边求导，有 a = f ( 瓦) = ( a ，( 瓦) ) 。= 【厶】? ， 其中 厶麓2 ( 4 8 ) 的牛顿迭代 乙- - k “= 露一【爿( ) 一f ( 菇) ，k = 0 , 1 ，2 ， 则( 5 4 ) 可改写成 “= w ( ) ，w ( = ) = z - 爿( z ) 】。f ( z ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 5 2 迭代法的收敛性 引理5 11 9 l ( o s t r o w s k i )设映象w ：d c r ”斗r ”有一不动点， 町一 z i n t ( d ) ，且在z 处为f 可导，w ( z ) 谱半径为 p ( w ( z 。) ) = 占( 1 ( 5 6 ) 则存在丌球s = s ( z + ，j ) c d ，对任意初值z 。s ，迭代序列( 5 5 ) 总是适定的且 收敛于z 引理5 2 p 1 2 井a , c l ( x ”) ，a “存在i i ，f f a 1f f o r - ，f f a c0 ， 筇 1 ，则c 可逆且i i c 一1 1 - 0 ，幽爿( = + ) 在z 处连续，敌对 0 0 ，使当z s = i ( z ，j ) s o 时，有| | a ( z 。) 一a ( z + ) 1 1 - 占，由引 理5 i 可知，对z s 彳( 乙) 】- i 存在，目- 1 1 爿( z 捌。临r 缶 0 ，对任意z 。s = i ( z ，占) 有 i i v ( z 。) 一f ( z ) 一f ( z ) ( z 。一z ) l l 占i i = 。= + | | ， 由z = w ( z ) 及上面的式子可知，对忱。s 有 3 0 1 w ( z 。) 一w ( z ) - ( i 一 爿( z + ) 。f ( z ) ) ( z 。一z + ) j l = 1 1 一【爿( z 。) 】f ( z 。) + 【爿( z + ) 。f ( z + ) ( z 。一z ) 1 l - o , ll f ，( z + ) l i 为固定量，占可任意小，由导数定义，w 在：+ 的f 导数为 w ( z + ) = ，一【爿( z + ) 】。1 f ( ：+ ) 定理5 1 迭代序列( 5 ，5 ) 总是适定的且收敛于z + ，其中z + j 噩f ( z 。) = 0 的解 证明：由引理5 2 知，w ( z ) = 卜一 爿( z + ) 一f 7 ( z + ) 所以p ( w ( z ) ) 2 0 0 其证明可仿定理4 1 对| | 或z l i 的估计 由 9 ，1 2 】知 定理s 2 在引理5 4 的条件下，若z + 是r ( z 。) = 0 的解，迭代序n ( 5 8 ) 是 适定的且三次收敛于z ，即成立1 1z “一：+ ) 临c 1 iz 一：1 1 3 第6 节数值实验 例1 考虑问题【4 ，取g ( “) = “+ s