（运筹学与控制论专业论文）riordan阵理论及其在cauchy数研究中的应用.pdf

r i o r d a n 阵理论及其在c a u c h y 数研究中的应用 摘要 寻求证明恒等式( 尤其是证明含特殊组合数的恒等式) 的方法是组合数学研究 的主要内容之一本文运用r i o r d a n 阵理论，结合指数型部分b e l l 多项式，得到了 广义c a u c h y 数的诸多性质及若干包含众多特殊组合数的恒等式 本文的主要工作如下： 1 对目前r i o r d a n 阵理论、c a u c h y 数、而a d ib r u n o 公式和指数型部分眈盯 多项式在国内外的研究状况进行了综述 2 利用常数口、k 和( 工) 。l 、 。1 2 推广了两类c a u c h y 数，得到三类广义 c a u c h y 数( 口一c a u c h y 数、k - c a u c h y 数、a c a u c h y 数) 以及它们的发生函数， 并利用这些发生函数得到了它们的一些重要性质及若干与广义c a u c h y 数有关的恒 等式 3 利用f a dd ib r u n o 公式和各种l a g r a n g e 反演公式，结合指数型部分b e l l 多项式的定义，得到若干包含某些特殊组合数的恒等式 关键词：r i o r d a n 阵；两类c a u e h y 数；两类s t i r l i n g 数：b e l l 数；f a i ld ib r u n o 公 式 r i o r d a na r r a yt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o ni nc a u c h y n u m b e r sr e s e a r c h a b s t r a c t i nc o m b i n a t o r i c sr e s e a r c h ，o n eo ft h em a l uc o n t e n t si s l o o k i n gf o rt h ew a yo f p r o v i n gt h ei d e u t i t y ，e s p e c i a l l yt h ei d e u t i t yi n c l u d i n gt h es p e c i a lc o m b i n a t o r i a ln u m b e r s b a s e do nt h et h e o r yo ft h er i o r d a na r r a ya n dt h e ( e x p o n e n t i 棚p a r t i a l 盯p o l y n o m i a l s ， t h i sp a p e rg e t ss o m ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e dc a u c h yn u m b e r sa n daf e wi m p o r t a n t i d e n t i t i e sw h i c hi n e l u d es p e c i a lc o m b i n a t o r i a ln u m b e r s t h e m a i ur e s u l t sa r ea sf o u o w s ： 1 t h ei n t r o d u c t i o nt ot h er e c e n td e v e l o p m e n to ft h er i o r d a na r r a y 、t h ec a u c h y n u m b e r s 、f a & d ib r u n ef o r m u l aa n dt h ec e x p o n e n t i a l ) p a t t i a lb e l lp o l y n o m i a l s 2 b yc o n s t a n t 口、ka n da t h i sp a p c rg e n e r a l i z e st w ol d n d so ft h ec a u c h yn u m b e r s a n dg e t st h r e ek i n d so fg e n e r a l i z e dc a u c h yn u m b e r s ( 口c a u c 幻n u m b e r s 、k - c a u c h y n u m b e r sa n d a c a u c h yn u m b e r s ) w i c ht h e i rg e n e r a t i n gf u n c t i o n s b a s e do nt h e s e r e s u r s t h i sp a p e rg e t ss o m ec h a r a c t e r sa b o u tt h e s eg e n e r a l i z e dc a u c 脚n u m b e r sa n d s o m ec o m b i n a t o r i a li d e n t i f i e si n e l u d i n gt h e s eg e n e r a l l z e dc a u c h yn u m b e r s 3 t h i sp a p e rg a i n ss o m ec o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e sb yu s i n gt h e ，锨硪b r u n of o r m u l a i n v e r s i o nf o r m u l ao fl a g r a n g ea n dt h e ( e x p o n e n t i a l ) p a r t i a l & 盯p o l y n o m i a l s k e y w o r d s ：r i o r d a na r r a y ；t w ok i n d so ft h ec a u c h yn u m b e r s ；t w ok i n d so ft h et h e s t i r l i n gn u m b e r ；t h eb e l ln u m b e r s ；f m ld ib r u n of o r m u l a 础创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刍茛雨量g 签字日期：历7 年ff j 砷日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：旁跃同垒 签字日期：曰年r 月冲日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： _ o 卜， - , - 9 - n - 签- 7 ：执竖逛：胆吣 签字吼q 年r 叩f 一 j 电话 邮编 鲤鱼g 匪壁监厘基在g 竖虹熬受蕴虫曲廛且 1 引言 1 9 9 1 年l o u i sw s h a p i r o 等在( d i s c r e t ea p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s ) ) 杂志上提出 r i o r d a n 阵的概念后，组合数学工作者渐渐发现r i o r d a n 阵在组合数学中是个重要 的计数工具，尤其在寻找组合恒等式方面，已经发现它可与算子、指数族、树等 联系在一起证明组合恒等式目前r i o r d a n 阵仍吸引着不少组合数学工作者，他们 主要对其性质和应用方面进行研究在文献 1 中，r e n z os p r u g n o l i 等讨论了由所 有r i o r d a n 阵构成的群的性质，结合l a g r a n g e 反演公式，推广了著名的a b e l 恒等 式和g o u m 恒等式，并且证明了大量包含两类s 矗d i n g 数等其他特殊组合数的恒等 式在文献 2 中，r e n z os p r u g n o l i 等利用r i o r d a n 阵得到了f a i r 硪b r u n o 公式的 推广形式，并利用它发现了许多有关二项式系数和两类s t i r l i n g 数的组合和式的封 闭形式及它们的近似值，提出了真假r i o r d a n 阵的概念及它们之间的转化在文献 3 中，赵熙强等结合徐利治先生的工作，把r i o r d a n 阵理论应用于 ：；，f ( n ，七) d = 妒( m ，) ，得到了大量有用的恒等式 c a u c h y 数是一类重要的特殊组合数在文献 4 中，d o n a t e l l am e r l i n i 等利用 发生函数和r i o r d a n 阵理论发现了有关c a u c h y 数的一些性质在文献 5 】中， l c o m t e t 给出了s t i r l i n g 数与c a u c h y 数之间的关系并得到了它们的递推关系式以 及当n 。时c 。州和e n ! 的近似值在文献 6 中，郑德印将这两类c a u c h y 数统 一为广义c a u c h y 数，利用其指数型发生函数得到了两个递推关系，并运用积分的 计算技巧证明了广义c a u c h y 数的卷积和广义s t i r l i n g 数之间的一个关系， 结合指 数型部分b e l l 多项式和第二类b e r n o u l l i 数给出了该数的两种不同形式，但对 c a u c h y 数并没有给出直接的组合意义解释 砌ad ib r u n o 公式是组合数学中重要公式之一在文献 7 一1 6 中，m k a w a g i s h i q 出q 臣堡论握基垄丛衄数虹蠹生数廛旦 等给出了此公式不同的证明方法在文献 1 7 中，l h e r n a n d e z 等给出了此公式一 个更为简短的证明，并且利用f a & d ib r u n o 公式得到了计算逆映射高阶导数的线性 递推关系式 指数型部分b e l l 多项式是由下式定义： 萎以。告= 击t 萎k 三， 这里口。为指数型部分b e l l 多项式，它是组合数学中一类重要多项式在文献 5 中，l c o m t e t 给出了指数型部分b e l l 多项式和指数型完全b e l l 多项式的表达式， 并指出了这两种b e l l 多项式之间的关系，以及指数型部分b e l l 多项式的一些特殊 值在文献 1 8 中，r n a t a f i n i 等给出了指数型部分b e l l 多项式的一些重要性质及 应用，提出了这种特殊多项式的推广形式，并展示了此推广形式与一般b e l l 多项 式之间的联系在文献 1 9 - 2 4 1 中，j r i o r d a n 等把它与分拆联系起来并应用于 b l i s s a r d 问题、两类l u c a s 多项式的表达式、f r e u d t y p e 多项式递推关系式的 构造、可数集上的对称函数的表达式 本文主要研究r i o r d a n 阵理论及其在c a u c h y 数研究中的应用具体内容如下： 第一章简要综述了目前r i o r d a n 阵理论、c a u c h y 数、f a & d i b r u n o 公式和指数 型部分b e l l 多项式等在国内外的研究状况 第二章介绍了r i o r d a n 阵和指数r i o r d a n 阵的概念及相关的一些重要定理，引 入常数口，k 和 推广了两类c a u c h y 数，得到口一c a u c h y 数、k - c a u c h y 数和 兄- c a u c h y 数以及它们的发生函数，并利用这些发生函数得到了它们的一些重要性 质在此基础上结合某些特殊组合数寻找到了若干与广义c a u c h y 数有关的恒等式 第三章利用f a ? t d i b r u n o 公式和各种l a g r a n g e 反演公式，结合指数型部分b e l l 多项式的定义，得到一些有关特殊组合数的恒等式 2 q 盟塑匪强硷厦甚垄盟虹熬丑窥虫鲍应围 2 两类c a u c h y 数的推广 c a u c h y 数是一类重要的特殊组合数在文献 5 1 中，l c o r a t e t 给出了两类 c a u c h y 数，定义如下： 定义2 1 设c 。= j ：( 工) 。出，色= 1 2 d x ，则称c 。为第一类。“c h y 数， e 。为第二类c a u c h y 数 下表给出两类c a u c h y 数开始的几个值 n o l23 l11 g l 一 _ 264 159 c 。 1 264 在文献 4 中，d o n a t e l l am e r l i n i 给出了上述两类数的指数型发生函数： 争r _ 。l ：= 而t ，驴鲁= 雨湎t 两 2 1r i o r d a n 阵的定义及主要定理 定义2 2 设d ( r ) ， ( f ) 是两个实函数d ( f ) = 呶t ， ( f ) = k t ，其中 _ l d 0 ，定义实数序列 畋( f ) ，( 七= o j , - ) 如下： i d o ( f ) = d ( f ) ， 【以( f ) = d ( f ) ( 咖( f ) ) 若d 础= i t “】d i ( f ) ，则称无穷下三角矩阵( d 础i ，l ，k 为非负整数，k 忍) 为以( f ) 关于r 的r i o r d a n 阵，简称r i o r d a n 阵，并记为d = 0 ( f ) ，_ i l ( f ) ) = ( d “ 毯塑4 9 n 匪堡论盈基查g h ! 虹墼班荭生凶廛旦 n h = f = g i 。r d a n 阵d = ( 击，芒_ ) 为m ，c a ，矩阵，因此，r i o r d a n 阵可看作是 p a s c a l 矩阵的推广形式 在所有r i o r d a n 阵组成的集合中，定义两个r i o r d a n 阵的乘法如下： 若d i = ( d ( f ) ，_ j l ( f ) ) ，d 2 = ( p ( f ) ，口( f ) ) ，则d i 与d 2 的乘积定义为： d = d i d 2 = ( d ( f ) p ( 咖( f ) ) ，口( 晓( f ) ) ) 在上述乘法定义下，所有r i o r d a n 阵构成一个群1 = ( 1 ，力为其单位元素 定理2 1 “1 ，( f ) 是序列 ，i 。的发生函数，则 d 础 = i t 4 】d ( f ) ，( 胁( f ) ) ( 2 1 ) 从文献 1 ，2 可看出，定理2 t 在寻找组合恒等式尤其是含有特殊组合数的恒 等式时发挥重要的作用通过适当的变化，还可得到著名的a b e l 恒等式及g o u l d 恒等式 通常我们在证明组合和式时经常用到以下恒等式： 荟d 。- = 旷】r 骂啬 ( 尺f 。砌n 阵所有元素和) ， 萎( 一1 ) k d n 1 = 旷】羔 ( 尺f o 砌h 阵所有元素交错和) ， 驴矿明篙等 ( 带有权重的行元素之和) 利用r i o r d a n 阵寻找恒等式是组合数学研究过程中常用的方法，那么如何判别 一个无穷下三角矩阵是r i o r d a n 阵呢? 下面将给出具体的判别方法 定义2 3 给出r i o r d a n 阵d = ( d ( r ) ， ( f ) ) 及序列a = ( 4 心，设a ( f ) 是序列 a 的发生函数且 ( r ) = a ( f ( f ) ) ，则称a 为r i o r d a n 阵d 的a 序列 4 b i q 盟垫睦堡论厘墓盔g 盟h y 錾盟塞虫鲍廑用 定理2 2 矩阵( d 础i ，l ，七为非负整数，k ，1 ) 是无穷下三角矩阵，r i d 。0 ， 给定某一序列a = i 盯， ，“r a o 0 ，若 d + 1 t + i = 4 0 d ，i + 4 l d 。，t + 1 + 口2 d + 2 + _ 4 ，d i + j 脚 成立，则无穷下三角矩阵( d “ii ，k 为非负整数，k n ) 为r i o r d a n 阵( d ( 力， ( f ) ) ， 其中d ( o 是 d 抽 。“豹发生函数，域f ) 是方程矗( f ) = a ( t h ( o ) 的唯一解，且0 例2 1p a s c a l 阵p = 给定某序列a = 4 ， j 毫的发生函数a ( f ) ，且a ( _ ) c 五i ，令y = 击，则 a ( ) ，) = 1 + y 即4 0 = 4 l = l ，日，= o ( j 2 ) ，因为 。= ( 氇一以旷睁( m n 净足构觚阵的徘所以 p a s c a l 阵是r i o r d a n 阵由矗8 ) = a ( 珐( f ) ) ，得矗( f ) = 去， 删归萎d n , o t n = e 。( 。n 卜焉1 所以黝删阵h 击，南 正如一般的r i o r d a n 阵一样，指数r i o r d a n 阵也在寻找恒等式的过程中发挥着 重要的作用下面给出它的定义和有关它的定理，莠且通过例子给出它的简单应 用 5 o o o o o o l ； o o o o 0 i 6 ； o o o o l 5临； o o o ，4 m 加； o o，3亏=2； o l 2 3 4 5 6 ； 墅幽g 睦理监厘墓查! ! 曼虹墼丑荭虫曲座届 定义2 4 设。( f ) ，五( f ) 是两个实函数。( ，) = 萎五百t k ，五( f ) = 萎垃 西t k ， 其中丘0 ，定义实数序列 反( f ) ，( 七= 0 , 1 ，) 如下： f d o ( 牡地。 胁( f ) 警 若。础= 【鲁乏( f ) ，则称无穷下三角矩阵( 。础fn 。七为非负整数，七 ，为玩( f ) 3 毛q ：t 的指数r i o r d a n 阵，简称指数r i o r d a n 阵，并记为西= - 0 。 若在所有指数r i o r d a n 阵组成的集合中，定义两个指数r i o r d a n 阵的乘法如下： 若西。= ，西：= ，则a 与西：的乘积定义为： 西= a 龟= 在上述乘法定义下，所有指数r i o r d a n 阵构成一个群，= 为其单位元 素，而对指数r i o r d a 蚪阵刍： ，其逆元为万： ，其 d ( ( f ) ) 中及f ) 是( f ) 的自反函数，即反五( f ) ) ：左( 反f ) ) ：f 定理2 3 指数r i o r d a n 阵参= ，序列 力1 彬的指数型发生函数 夕= 蔷五岳，则 弘。五= 【鲁。( f ) 夕( 衲 ( 2 l3 ) 溉骆扯e t a i , g ( 。学列y k ， u ) 6 蹙q 1 4 丛睦堡淦厦墓在鳗虹熬盟蕴主鳆廑且 = 荟c 知，c 鲁如，譬 = c 知，；c 书学， 令y = ( f ) ，则 静柏和，荟c 警等舭，警竽= c 舡撇咖_ 引理2 1 嘲。薹s ：( n ，七) 告= 竺专竽，s ：( n ，是第二类f 订咖数 引理2 2 b 。j ( 1 l ，= s 2 ( n ，七) ，以。为指数型部分b e l l 多项式 证明：由萎吃t i t n = 去( 萎三) ，得 。2 础m ”篆= 去c 萎鲁 = 扣叫 七! 、 2 。萎。妁o 象 v 2 ”7 ，i ! 比较上式两端鲁的系数则得到引理2 2 - 弓i 理2 。b 。，。c ，2 ，s ，一= g 弘4 。 碱由望t 告= 击c 娶奢，得 。p “- 2 ，3 ，。i t i = 去( 萎而t m 刁 7 ：生。* ez e ， 七! 又因= 互睁。所以 枷zs，“告=00；ksn 孔卜告 ，o s t s ： # 比较上式两端；的系数则得到引理2 3 n ! 例2 2 指数尉。砌n 阵西= , 于( 力= ( f + 1 ) = 荟( 工) t 岳 2 础= 0 垡：= 爿t 西1c 刍t t ，由萎i t a = 击( 萎鲁有 。础= 寺荟t ( 1 d ) i t n = 口础( 1 l ，由引理2 2 有。a , k - - - - $ 2 ( 啊，又由定理 2 3 知 ；五= e s ：( m 七) ( 工) 。 卸1 2 0 = 【鲁1 + 矿凡! = r 麓等纠， 理：；i疗! 即 e s 2 ( n ，七) ( j ) 。= 工 ( 2 4 ) t 卸 式( 2 4 ) 正是 5 中s ，( ，1 七) 的定义式 q 煎垫睦堡j 金丛甚在竖虹熬盟宜生的廛盈 由萎匕卜“旷q h 。1 爿巾】，有 s ：( n ，七) ( j ) 。= i ：i 1 ) ”k 4 - k x ( 工+ 七) “，则由引理2 3 得 i 卸 i 卸 丢s：cn，七，c工，。=丢兰生!堡!ii；掣1 c z s ， i 卸i 卸、 1 ，t 一 这一节对本文以后将用到的有关r i o r d a n 阵的定理作了简单介绍，并利用指数 r i o r d a n 阵的概念得到了与第二类s t i r l i n g 数及指数型部分b e l l 多项式有关的恒等 式在以下内容中，我们将会发现在许多定理的证明和例子的应用中，r i o r d a n 阵 都粉涫着非常美雄的角色 2 2 口- c a u c h y 数的定义及性质 本节我们在定义2 。1 的基础上引入常数口，给出了两类口一c a u c h y 数，定义如 下： 定义z s 设鲁= j ：( j ：口d x ，- 铲g ( 一- ：( 一? a 产，其中口为常数，则称 f ：为第一类口一c a u c h y 数，c 。c t 为第二类口- c a u c h y 数 下表给出了两类口一c a u c h y 数开始的几个值 nol23 l 口2 一1口，一三口2 十三 c ： l 口+ 一 6 242 l 口2 2 口+ 三口3 9 口2 + 6 a - 9 ： l 口一一 2624 显然，当a = 0 时，c ：是第一类c a u c h y 数c 。，c ”a 是第二类c a u c h y 数0 。 定理2 4 第一类和第二类口一c a u c h y 数的指数型发生函数分别为 9 & 笾盘n 睦理论厘基在避虹錾班密主数廛用 以f ) = 争= 篱， ( 2 6 ) 眠f ) - 争= 掰 ( 2 7 ) 证明：设有胁砌n 阵。= c c - + r ，“舯，则吒。= ( 挖：七) 令 = 化 如 于是由定义2 5 有 利用恒等式 莩( ，矩+ r 七 ( n ：七 = 、l m r - 十t - $ 。，q ， 鲁= 心卜卅丽t ，得 取工：口d x = 砉( 厅：州净 = i t 4 】( 1 + f ) 4 f ( t ) l t = f 】 邛“，黼， 鲁= ：( 工：ad x 卸4 ，焉 若令 = f 仁工d x ，因为 莓( 。二七) ( 。 矧， 鲁= f ：( ：卜卅志， 1 0 丝血b 睦堡途厘墓垄监虹熬班盔虫的廛围 利用定理2 1 和定义2 5 得 等= f ：( 一：口卜= 砉 n ：七 ：( 7 卜却“，瓮苦詈- 在( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式中，令t = 1 ，就有定理2 5 定理z s 萎等= 而2 u ，萎等= 瓦2 五。c 定理2 6 c ：= 鬈+ 彪知 o 1 ) c ：= 珏磁- 一n ! 争k o ( n 上- k ) ! 垒k ! 鲁= ( 萎鲁篙脏t 暑= 旧 一薹箐篙t 让明：埘z 8 ) 瓦， 旷1 篱堋等( 1 + 力 稍篱巾1 篱， 由( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式知鲁= 等+ 喾兰轰，两边同时乘以竹! 即得( 2 8 ) 式 对( 2 9 ) 式， 竖：! ! 生) 二 r ! 。i n ( 1 + n d 螋 = l 。 t - t 竽 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 鲤些b 隆堡论厘基垄g 竖h y 墼盟盔虫数廛厦 = 抑篙+ 抑篱一l i t ”，篱志 整理之后即得( 2 9 ) 式 对( 2 1 0 撼f l q ( 1 “= 篱半，得 】( 1 + ，) 4 = 新糟1 1 1 一半1i 卸1 _ ， 又因为【f 】业t= 镨，则利用( 2 6 ) 式有 七十i 上式整理后即得( 2 1 0 ) 式 对( 2 f1 1 ) 式l 桫4 ：豁半，得 ( 1 + f ) 一：夕【t k 】坠坚譬f 一4 】1 n ( 1 + t ) 口1 ( 1 + f r 4 。萎州嵩簪- i - 一f 1 2 0 u 1， 又因为( 2 7 ) 式则得 = 骞署篙， 上式整理后即得( 2 1 1 ) 式 在这一节里，我们引入常数口给出了口一c a u c 坶数的概念，并利用定理2 i 得到了它们的指数型发生函数及它们之间的一些关系在下面我们将主要介绍两 类口一c a u c 砂数的应用 一觑禹 。 l n岛口一行百 筹百 。 i | ， 口 行 ，l q 血匪堡：| 金星篡在竖虹熬班究生的应旦 2 3 口一c a u c h y 数的应用 引理2 4 唧f ( t ) - j 2 荟色鲁这里吼茭t 3 b e r n o u l l i 数 +，f 定理z t g e i ：b e r n o u l l i 数吼和第一s t i r l i n g 数窿 ，有下面的 恒等式成立 ( 口斗砉崩等高， ( 砉鲥警淼，北 碱由 k 甩 一k 啦! ”汕书得 萎鲥吼杀：!茅1l-o ， l ：k = 半， i = o l “l 令t = - t ，则 剁：卜t 等= 半 由( 口斗旷，矿“= 如半旷1 ，篱， 利用( 2 6 ) 式即得( 2 1 2 ) 式又因为 邛 卜舯幽掣旷1 ，篱， 利用( 2 7 ) 式就得( 2 1 3 ) 式一 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 笾血b 睦堡论厦珏查h 皱墼班究生的廛眉 一亡i七l(一1)7，!吲bk 。善饼t j 等j “1 ，卸j t 推论z ，蠢薹萎k m 七 k ，) j 若= ( 口：1 荟白。, 缶kl m 七j l k ，f 1 二j i 黑= ( ：) ，其咩一口。 利用定义2 5 我们引入常数k ，得到了两类k - c a u c h y 数，定义如下： 定义2 6 设丛笋= i 工- 以i - 口卜，望笋= f 文一? 口卜，其中七和口均为 下表给出了两类k - c a u c 砂数开始的几个值 n012 c ( 七，口) 七 竺+ 磁 一+ 一膏+ 口七一雠 z 七一础 2 32 e 。( 毒，口) 七 一堡+ 础一竺：二垡七：+ a z 七一础 232 稠z s s o ? 卜n 引篙等， f 五：卜邛4 ，篙箸，其中孟为常数 矾由( ：r 渤卅叫”，得 歧乒= 璐勃_ 1 ) “- s x s 出 1 4 匿堡鱼! 陉堡监厘基在盟鲢熬班豇虫的廛旦 = 去喜阱旷筹 = 筋萎j f l f n 小7 篙 七砉翱篙 又唧，；h 占一，瑚，篇卸勺宰，由定舭- 有 船币矿“】 宰| f = l n 爿邛4 ，错 料= 璐喜舯妇 = 寺喜阱矿丝j + ln ! 台l 刊一7 = 台训, f n 7 删高 币矿言朝高， ；h 占一j = 朝，高邛7 ，竿，得 j ： 蚓枷印4 ， 竿 地爿邛4 ，篙等 定配s f n - i - 口 - 掣邛4 ，半杀# ， c z 埘 邕鲤鱼n 匪蕉：| 金厘墓在墼数熬盟豇虫鲍座且 j i 一卅= 掣邛4 ，号蔫等， 亿 其中后和口均为常数 证明：利用引理2 5 和卷积公式，得 = 言已9 1 喘 设置如砌阵。= m 硝m ，则“，= ( n ：0 ，那么由 利用定理2 1 则有 纠川篙等删= 喘， f。：6。)=tr4，ct-，。【，cr，：=r】=：cr4，!-!：舒 即得( 2 1 4 ) 式 利用引理2 s 和莩( m ：露 ( 。：七) = 。m r + + s n ，得 时：健吼二乒 = 辩歹 叉诤 1 6 乒协 盯一朋 吼。芦。脚 = i i a 托 肛 r 西堡血g 匪堡i 盆厦基垄堡数熬班宜生趋廛旦 = 骞( n ：彦，篙筹 而由定理z - 和= 】生美未譬，( f ) = ! 盖暑譬，得 ! ! 尘：二! ! 堕：! h a ( 1 + n 容易看出式( 2 1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 给出了两类l f - c a u c h y 数的指数型发生函数： c 砸) _ e 。c , 眠a ) 等= 幽杀竽， o ” 1 ， = 驴枷) 鲁= 幽赫# 卸1 、， 在定理2 8 中可以看到当七= l 且口= o 时，第一类k - c a u c h y 数c 。( 七，口) 为第一 类c a u c h y 数c 。，第二类k - c a u c h y 数e 。( t ，口) 为第二类c a u c h y 数0 。也就是说两 类k - c a u c h y 数是两类c a u c h y 数的推广 在这一节里，我们利用上一节得到的结论，结合b e r n o u l l i 数吼和第一类s t i f l i n g 数得到了几个含有特殊组合数的恒等式，并在定义2 5 的基础上给出了两类 k - c a u c h y 数的概念以及它们的指数型发生函数 2 4 升阶乘与降阶乘的推广 前几节我们利用常数口、k 把c a u c h y 数推广为口一c a u c 缈和k - c a u c 砂数，在 这一节里，我们首先利用实数旯对升降阶乘进行推广，并得到了几个与特殊组合 数有关的恒等式这些恒等式将在下面几节中得到广泛的应用 p i | 0 = i i p k v 口 d 十kp j i 、， 口h n _ 一 武 坫 心得即 定义2 7 ( 工) 。称为降阶乘， 。成为升阶乘，其中工为任意实数 c 功。= 仨工一1 ) 。( 工一老+ 1 ) k 七e ：z 。+ ， 豫：j 。( h 1 ) 一 l 1 ， ( 工+ 七- 1 ) ，七z + 女= 0 引理2 6 旧，= j ：( n ，七) ( 工) f 引理2 7 吲( 力。= z s l ( ，k ) x ，s 1 ( n ，七) 是第一类s t i r l i n g 数 引理2 8 嘲 。= j ( 玎，i ) j ，s ( n ，七) 是第一类完全蹦砌占数 定义2 8 ( 曲1 称为川蜂阶乘， 。i 称为五升阶乘， c 妒肛颈卜2 抄- r ( 叫鬟 小= f 烈州乃”蚍k 篙 这里工、名为任意实数且a 0 由定义2 8 可得引理2 9 引理2 9 ( 一工) 。l j = ( 一1 ) 4 。 定理2 9 d 。1 2 = j ( m k ) x l r 。 t 曲 证明：由 5 ( ，l ，七) = ( 一1 ) s l ( n ，t o ) “，得 互咖朋= 互趴呐孚c 一争 1 8 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 警 d“ 舢 =矿 ， ，一越 妁 “ q 坦垫睦堡监丛墓垄避h y 趣研究虫鲍应用 又由引理2 7 有 娶”学c 一争萎c 一争。等 即 rx 、 = | _ 引( 一抑v “l 撑 = 萎( 一句4 ( 一争( 一三一t ) ( - 三一n + t ) 等 =m+加如m-1)a)鲁nl：o ，- = 萎 例3 2 设，( f ) = e 一l = 苦， = 1 ，于= l n ( 1 + f ) ，则五= ( 一1 ) “( 七一1 ) ! ， a ； 由引理2 2 和( 3 3 ) 式得 喜c 一- ，4c 七一t ，z s ：c n ，七，= _ ：i ：i i li v ， ，i ， 觚s 蝴归南， 一川_ ，五= ( 七冒p 1 由( 3 3 ) 式，得 喜( 七冒卜啦h 及州_ = 位置 阻t ， 由指数型部分b e l l 多项式的定义 薹告= 去c 蛋奢巾1 ，得 c x p ( - 卅“) e x p ( “善哥乎一 = b ( 1 ，2 l ，3 2 ， i 0 ：；u k ，t kc ，1 一f ) 一。+ l 壮 箭七! 题q 盟塑匪堡监及基查g 衄煞班究生鲍应用 = 丢百uk t k 驴( 却l “弦) l怠七! 留。l j = 荟永4 以“ = 磊冰芝。) 从而 m 2 h 弘川_ = 北竺2 ) 将上式代入( 3 4 ) 式，得 砉峭颤k 等k = k 。) = 0 i1 1 ： 智船! l一1 八n 一【，n 利用 5 中关于指数型部分b e l l 多项式的精确表达式可得下面的结论 定理3 2 对任意的形式幂级数，( f ) = 萎 岳，其中，0 = 。， ，( f ) = 荟五鲁为，( 力的自反函数，则有 砉扣可。嘉南争c 台t c 寺= b ：芰 c s s ， 其中盯( 万) 为n 的形如l k , 2 k ：打，k l + 2 k 2 + + 疗k = n ，t 0 的部分分拆集 合 例3 4 设，( f ) _ 去= 萎“，则五= 帆， i t - ! 】，_ - f - i 】( 争= 志蹦2 k - l , k ) ， 毯q 些b 隍堡论厘甚在竖虹数皿究生竣廛目 田引埋z 1 利t 3 b ) 瓦口j 得 业( 2 k - 1 ) ! c 2 ( 2 k - i , k ) 磊焉c 铷争钆 尚k = 羞 利用文献 5 中其他形式的l a g r a n g e 反