（计算数学专业论文）三维问题的有限体积增量未知元方法.pdf

兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 摘要 多层方法是一类非常重要的数值方法增量未知元方法主要是在有限差分的 条件下，来实现多层方法。众所周知，使用多层方法去处理n a v i e r - s t o k e s 是非常 困难的。 本文主要是针对去掉v p 以后的三维不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程，将有限 体积方法和增量未知元方法结合起来，得到了三维的有限体积增量未知元方法。 在口格式的基础上，利用有限体积方法，得到了一种多层算法，并且考虑了这种 多层算法的线性稳定性。最后，通过数值试验验证了这种多层算法的有效性。 关键词：有限体积；增量未知元：多层方法：0 - 格式；线性稳定性 兰型奎兰婴星堡主兰垡堡苎 a b s t r a c t m u l t i l e v e ln u m e r i c a lm e t h o d si sav e r yi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o d i n c r e m e n t a l u u k i l o w n sw c r ci n t r o d u c c dt od e f i n em u l t i l e v e lm e t h o d si naf i n i t ed i f f e r e n c ec o n t c x la s i sw e l lk n o w nt h eu s eo fm u l t i l e v e lm e t h o d st od e a lw i t hn a v i e r - s t o k e se q u a t i o ni sv e r y d i f f c u l t i nt h i sp a p e r , w ec o m b i n e dw i t i if i n i t ev o l u m em e t h o da n di n c r e m e n t a lt m l g q o w n s m e t h o df o ri n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k c se q u a t i o n s o nt h eg r o u n do - s c h e m et oa p p r o x i i n a n et i m ed e r i v a t i v e ，w eu s ef i n i t ev o l u m em e t h o df o rt h es p a c ed i s e r e t i z a t i o n t h e n ，w e g e tam u l t i l e v e la l g o r i t h ma n dc o n s i d e ri ts t a b i l i t yc o n d i t i o n f i n a l l y , w eg i v eas i m p l e e x a m p l e t h a tp r o o f t h ee f f e c t i v eo fm u l t i l e v e la l g o r i t h m k e yw o r d s ：f i n i t ev o l u m em e t h o d ；i n c r e m e n t a lu n k n o w n s ；m u l t i l e v e lm e t h o d ；o - s c h e m e s ；l i n e a rs t a b i l i t y 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均己明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：珐牡日期：羔竽 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校 保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查 阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人 离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第 一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 撇：牛聊躲触眺出 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 第1 章引言 多层方法是非常重要的一类数值方法，主要用于精确描述和模拟大规模 的现象，如湍流的模拟。由于计算机内存和计算能力的增加，使这类问题 的解决逐步变成了现实。 有限体积法是2 0 世纪8 0 年代发展起来的一种强有力的数值方法，主要用 于流体动力学问题的研究。它如有限差分方法和有限元方法一样得到了广 泛的关注和研究。特别是近十几年以来，对于许多复杂的实际问题的数值 计算和数值模拟，如大气和海洋问题，有限体积法显示了它独特的效果。 其主要优点在于可以保持方程的某些物理性质，如守恒性等。 增量未知元方法首先是由r t e m a m 等人提出来的( 见1 1 1 ) ，用于在有 限差分的环境下，近似惯性流形和定义多层方法。其主要思想是将未知量u 分解成几个部分，对于两层，分解成大单元y 和小单元z ，r p u = y + z 。 而对于y 和z 不同的显、隐处理，则可以得到不同的格式。之后，得到了 这种方法具有小的条件数( 见【2 】) ，从而引起了人们的注意。又陆续在不 同情况得到了许多新的增量未知元方法，如小波增量未知元( 见 3 】) 、块 增量未知元方法( 见【4 】) 、二维的有限体积增量未知元方法( 见 5 】) 等。 对于不可压缩的n a v i e r - s t o k e s 方程，在有限差分的情况下，一般使 用m a c 网格( 见【6 】) 或者与此类似的交错网格：定义压力在单元的中 间，速度在单元边界的中间。在文献 7 】中，将增量未知元方法与交错网格 结合起来。这就需要定义两种增量未知元，一种对于压力，另一种对于速 度。这样极大的增加了计算量和推广到多层的难度。 本文主要是将经典的有限差分用有限体积代替，即定义速度和压力都 在控制体的中心，这样就克服了上述的困难。然后将有限体积方法和增 量未知元方法结合，定义了三维的有限体积增量未知元，在此基础上构 造了有限体积格式和使用了增量未知元的格式，去处理去掉x t p 以后的三 维n a v i e r - s t o k e s 方程。提出了一种交替计算的多层算法，然后讨论了这种 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 算法的线性稳定性。最后通过数值试验验证了这种算法的有效性。而对于 三维问题的研究。则更接近于实际情况。 在这篇文章里面，我们只考虑b u r g e r s 方程，而对于n a v i e r - s t o k e s 方 程。将会增加新的困难。我们可以把b u r g e r s 看作是n a v i e r - s t o k e s 方程经过 简化以后得到的方程。我们以这个方程作为基础，以后去逐步发展n a v i e r - s t o k e s 的算法。令q 是j 汐中的有界区域，其边界为a q 。我们考虑如下的方 程： 侥y 一7 a v + ( v v ) v y y l 括0 = ，伽q 【0 ，刁 2g o 礼a q = v oi n q ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) ( l 0 3 ) 其中y = ( 口i ( x l ，z 2 ，：9 3 ，) ，v 2 ( x l ，x 2 ，茁3 ，t ) ，u 3 ( 窖l ，x 2 ，x 3 ，t ) ) 是速度( 未知 的) ，f ( x l ，x 2 ，t ) 、g ( x l ，z 2 ，t ) 和v o ( z l ，沈，z 3 ，t ) 是给定的，且x = l ，砚，x 3 ) 是q 中给定的一点。 本文结构安排如下，第二章里我们定义了一些网格和未知量用到的记 号。第三章里我们定义了三维的有限体积增量未知元方法。第四章里我们 利用有限体积方法提出了多层算法和格式。第五章我们探讨了所提出多层 算法的线性稳定性。最后，第六章里我们计算了一个实际的例子，并通过 对比说明了所提出多层算法的合理性，从中也可以看到这种算法的优越 性。 2 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 第2 章记号 为了方便起见，我们考虑如下的区域q = ( 0 ，l 1 ) x ( o ，l 2 ) ( 0 ，l 3 ) 。 我们采用两层的长方体有限体积网格进行离散，在每一条边上方别 以a x l 、a x 2 和z 3 为步长进行等分，得到了粗网格上的控制体。则粗网 格m o 上的控制体的大小为茁1 a x 2 x x 3 ，且 乙。茹l = l 1 ， k ： a x 2 = 如， k z 3 = l 3 ，其中小。， k ， k 是整数。然后把粗网格上控制 体的每条边三等分，得到了细网格m 1 上的控制体。则细网格上控制体的大 小为硝呓a 磊，其中西= a x l 3 ，呓= a x 2 3 ，= a x 3 8 。 如图1 ，我们给出了粗网格上的一个控制体，通过离散以后可以得到2 7 个大 小相同的细网格上控制体。一个细网格上的控制体用肠他来表示，粗网格 上的控制体用 q j k 来表示。我们使用一些记号去表示这些控制体的中心， 用大写字母对应粗网格上的控制体，小写字母去对应细网格上的控制体。 如图2 1 ，图2 2 和图2 3 ，我们将粗网格上的一个控制体分成了上、中、下三 个部分，并且对每一个细网格上的控制体都作了记号。 图1 3 兰塑盔兰! ! 婴星堡主兰垡丝奎 图2 1 图2 2 图2 3 4 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 量： x , l - y - g t l i 网格m l 上，中心在巧惫的控制体颤批，我们定义如下的速度未知 v i j k = 五i 五1 弼五批y 如- 血z 血s 迸一步，我们用r ，n ，f 。，r d ，r z ，r r 分别表示细网格上的控 制体锄 的前面、后面、上面、下面、左面、右面的交界面， 用，珏，d ，z ，r 分别表示它们的中点( 如图3 ) 。我们定义细网格交界 面上的速度未知量如下， 巧= 砸b 厶y 出- 出s = 硒1 k = 蕊b 厶y 血t 慨讫= 蕊b = 碉1 二y 如z 慨w = 硒1 图3 5 搠萋i 厂几厂止 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 第3 章定义三维有限体积增量未知元( f v i u s ) 在这一部分，我们对于速度v = ( t ，1 ， 0 2 ，啦) 的第一个分量 0 1 定义有限体积 增量未知元。而对于第二个和第三个分量，我们采用相同的方法进行处 理。 定义3 1 f v i u s 假定己知细网格上的速度，对于粗网格上的控制 体 c i j k ，定义大单元乳( 对应于粗网格上的速度未知量v 1 ) 和小单元z l ， 如下： ( y 1 ) i j k = ( z t ) i + 1 j ，女= ( z 1 ) i l d ，k = ( 句) f j + 1 ， = ( z 1 ) i d 一1 = ( z 1 ) i d ，k + l = ( z 1 ) i j ，一1 = ( z 1 ) i + l d + l ，i = ( z 1 ) i + , o 一1 ，i = ( z 1 ) i + 1 , f , k - i - 1 = ( z 1 ) i 十1 , j 。k 一1 = ( 名1 ) i 一1 j + l 。k = ( 以) i 一1 j 一1 。k = ( 2 1 ) i 一1 d , k + l = ( z ) i - l d 一1 = 【v 1 ) i j k ( v 1 ) i + l j 圹i ( 2 ( 剪1 ) f j k + ( y 1 ) i + i 朋) ( u 1 ) “神一i ( 2 ( 1 ) j 脒+ ( y 1 ) r 正耳) ( v 1 ) i a + l 圹；( 2 ( 饥) 删+ ( y 1 ) x , s + l ，x ) ( t ，1 ) 铲1 圹i ( 2 ( y 1 ) i j k + ( 玑) _ 1 耳) ( 钉1 ) i d , k + l - - 百1 ( 2 ( 咖j k + ( 础，肛+ 1 ) ( t j l ) j ，一1 一i ( 2 ( y 1 ) i j k + ( y 1 ) i , 正k 1 ) ( v 1 ) i + l j + i ，k 一言( ( 讥) j 腑+ ( 耖1 ) h l ，j j r + ( y 1 ) i , j + i ，k ) ( u 1 ) i + l d 一1 ，i i ( 1 ) 珊+ ( g ，1 ) “1 ，z + ( y i ) i , s - i ，k ) ( v 1 ) i + l , j ，1 一i ( ( y 1 ) i j k + ( y 1 ) i + i ，正膏+ ( 讥) l j , k + i ) ( v 1 ) i + l , j , k - i 一去( ( y l b s r + ( y 1 ) i + l ，正膏+ ( y 1 ) i , 正k 一1 ) ( 1 ) t 一1 d + l ，一i ( ( v 1 ) i j k + ( 耖1 ) f 一1 ，j , k + ( y 1 ) l , j + 1 耳) ( v 1 ) i l j 一1 ，一去( ( y 1 ) i j k + ( y 1 ) i 一1 。正耳+ ( 讥) j ，一1 k ) ( u 1 ) i l j ，七十1 一言( ( 暑1 ) j j k + ( 寥1 ) f 一1 ，j 耳+ ( 1 ) f ，j , k + i ) ( 1 ) i l j ，k 一1 一i ( ( 暑1 ) j r + ( 讥) ，- 1 ，正耳+ ( 掣1 ) l j 耳一1 ) 6 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 ( z 1 ) i d + l ，抖1 = ( v 1 ) q , 4 + i ，k + l 一去( ( y 1 ) i j k + ( y 1 ) t ，j + l ，k + ( 讥) j ，正j h l ) ( 1 ) i d + 1 ，一1 = ( t ，1 ) 1 d + 1 。一1 一去( ( ! ，i ) i j k + ( y 1 ) i ，j + l ，k + ( 可1 ) l j , k 一1 ) ( z i ) i d 一1 ，+ 1 = ( v 1 ) i d 一1 ，k + l 一；( ( y 1 ) i j k + ( y 1 ) i ，一1 ，k + ( ! ，1 ) j ，j , k + i ) ( z 1 ) i d 1 ，t 一1 = 1 ) 甜一l ，一1 一；( 泓) u k + ( 扰) ，一1 ，k + ( 暑，1 ) j 。点j 卜1 ) ( z 1 ) i + i j + i ，南+ l = 0 且 是固定的，取时间步长为a t = 驯m ，其中肌是个整数。对于n = 0 ，l ，t ，定义p 是y 在时刻k = n a t 处的近似值在下面的文章中， 我们采用时间有限差分去近似时间导数。也就是说我们并不是在时间和空 间上都采用有限体积方法，而是只在空间上采用有限体积方法，时间上采 用有限差分去近似问题( 1 0 1 ) 和( 1 0 2 ) 。这样我们就可以使用隐格式去近 似扩散项。 4 1在细网格上计算v n + l 为了求解y m + l ，在时间上，我们对于扩散项采用0 格式，对于非线性项 采用a d a m s b a s h f o r t h 格式。具体考虑如下的差分格式： v n + j l 王_ ；一v n = 7p 1 + ( 1 一p ) i p 卜；( y n v ) y n + 互1 ( y n v ) i ，l + 口，n + 1 + ( 1 一日) 尸 其中0 口1 然后，对于上式的两边同时在细网格的控制体如批上积分。对于其中的 每一项，有： 对于时间导数项，可得： 厶。v n + l - ；v n d x 。k d = 衅呓骘 对于扩散项，可得； a v d x ，d 电 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 厶。挚 j v v n 如t d 龆+ z v y 毗t d 龆+ v y z v y n d 。叱。+ z v y n 如。d 钇 一z 盟o x 2 z 。屯+ z 两o v 电屯一，鼍岫 z 甏如l d x 2 - z 差“。 兰铲z i + 兰学研 兰学z ：磊+ 兰皆窖i 对于非线性项，可得： n d 铂屯。+ z v y 佃k 如。 屯+ z 甏如。屯 z 3 + 兰斧z 磊+ 垦学羁 ( v v ) v d 。屯屯 j 如j k f 成。口1 以。钉1 + v 2 0 。：钉1 + v s o = 。v l d z 。屯d z s l 氏玎。口1 以，忱+ v 2 0 2 2 v 2 + a 功忱如l d 如3l k 玎ku 1 以。v 3 + 抛a j 现均+ v 3 0 = 3 珊如。d 。d f - ) 巧j 毛。以- l 如- d a 如s + ( 忱) 啪j 。如。臼l 如。屯。如。 i ( ”1 ) 泓如。良t 现d 敏屯电+ ( 也) 缈氏。砚电如屯 ( 口1 ) 玎f a , 如，也- 如。如a + ( v 2 ) o kf a 曲况。如。d 。d = 3 f ( ) 巧成。o z a v l d x t d z 。屯 l ( 铅) 瓣岛。a v 2 d 。t 屯屯i ( v 3 ) i j k 如。包a v a d = ，屯d = 3 f ( v 1 ) i j kf l c j kt ，1 l d s + 似) 班j k 钉1 2 d s + 慨) 泓丘蚋 i ( 可1 ) 巧比。眈t d s + 池) 珊厶j 。v 2 n z 2 d s + 他) 巧 七。 ( 口1 ) 嵇厶l j 。- d s + ( 耽) 巧kj j c 目。v a n = 2 d $ + ( v 3 ) j k 亿。 1 4 | | i | + | i + i l + 、lilii， s s s d d d 似 似 似 咀 眈 地 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 ( 1 ) 巧( 正t ，l 屯d 勰 ( t ，1 ) 泓( 正。2 如。如。 0 1 ) 西( 正地屯。如。 ( v 3 ) i j k ( f 。v l d z 如2 ) 巧女( j ：it ，2 如，屯 ( ) 巧女( j = v a d x ，如。 正如。d 铂) + ( 晚) 西k ( 矗钉1 屯。也。一lv z d 。屯。) j l , t j 2 屯屯) + 渤协( 五砚虹d 龆一以v 2 d x 。屯) j ：铅如。d x 3 ) + 池) 班( 厶姐屯，屯。一f ! v s d x 。d 粕) f v l d 。d x 2 ) j ：l 地如。d x 。) f j ：l 蛳屯。d 缸) ( 地) 巧( ( t ，1 ) “z i 呓一( t ，1 ) d 耐a 呓) ( ) 玎k ( ( 忱) 。z i 畦一( u 2 ) d 吐a ) ( 姐) 批( ( 抛) 。呓一( 珊) d 磁a 吐) 对于，项，可得： 【厂i 如。屯。d 。= 硝如嚣k j j c m 。 因此，我们可以得到如下的有限体积格式在细网格上计算v n + l ： 警衅槲一7 el瞥n+li i n + l 衅如气谚+ 1 产l n + 1 郇 2vn_垫+l铲-n+l磊z3+2vin旦+铲ll n + l 哆+ 警西茹： 羔vi互+荦1w u + l 墨z ：) 十c 一( 攀硝呓+ 警z i 警易磊+ 警殇菇+ 警霉：z ： ! l 兰2 ：；乏盈矗z ：) = 口g i 。一a 。，巧n 。+ 1 + ( ，一：殇露； 耐耐耐瞄蟛瞒邕豸；吾；蝴姊蝎蟛吣蝎强蝎姊蟛蟛m 惭 ，-lii一，jli、，ililri、，fi = + l l + + + + + 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 。fo t ) ( ( t ，) ? 一( ”) r ) 呓+ ( 吨) ( ( 1 ) 孑一( u - ) ) 殖砖 一互l ( 砚) 孙( ( 圪) ? 一( 也) ；i ) 殇+ ( 砚) ( ( 地) 孑一( 比) ) 弓i 扣1 ) 弓( ( 协) ；一( 耽) p ) 呓磁+ ( t j 2 ) ( ( 蛳) 孑一( 地) ) 硝， 。f ( 啦) ( ( 口1 ) ：一扣1 ) 2 ) 硝吐，f ( 他) 蒹1 ( 扣1 ) 2 一0 1 ) ：以) z i 吐 一if ( 铅) ( ( 忱) ：一( 抛) 2 ) 耐。：l + ii ( 诒) 蒹1 ( ( 钝) 2 一( 砚) ：q ) 磷呓 ( 均) ( ( ) ：一( 协) 2 ) 吐南、( 垤) 蒹1 ( ( 魄) 2 一( 姐) ：- 1 ) 硝吐 ，f ( t j l ) 蒹1 ( ( 1 ) 一一( u 1 ) r - 1 ) 砚喝+ ( t 1 2 ) 蒹1 ( ( t ，1 ) 2 一扣1 ) 7 _ 1 ) 吐磊 + ii ( 可1 ) 蕊1 ( 她) r 1 一他) r - 1 ) + 锄) 蒹1 ( 沁) 一他) - 1 ) l 、( 1 ) 蒹1 ( ( 地) f 1 一( t ，3 ) r - 1 ) 。：以+ ( t j z ) 蒹1 ( ( 地) ；一( ) 。) 吐磊 共甲趸界圆日可速度，用如f 明摘值将兵代替2 吩=下v,b+vd_lkk = 监吐笋址k = 兰照学 k ：堡掣过：半w ：坠粤咝 注4 1 当疋f 麒是个边界单元如注3 2 所示，为了让差分格式适应第一类 边界条件。对于非线性项，我们不使用插值来代替交界面的速度，而是使 用如下的处理方式： 2 瓣巧2 啼一两 对于扩散项，使用： 茁：兰铲= 吐z 3 墨学 吐砖兰学= 圣宣学 z i 硝兰学= 硝吐丝譬 1 6 ( 4 1 1 ) 4 2 在粗网格上计算 下面，我们将会得到一个格式，用来在粗网格上计算大单元y n + 1 这 个格式是在粗网格上计算y “+ 1 格式的基础上得到的。在这儿，为了计算方 便，我们在时间上采用显格式离散。如下： v n + 矿1 - v n = ，y a v 一( 俨v ) v - + ，t l 对于上式两边，两边同时在细网格的控制体 k 上积分，可得： 。：2 ；警= 7 ( 警$ i + 兰皆。： + 警z 5 + 警+ 兰羔气三乎二雹z ； + 警衅吐) 一僻篆僦矧他鸿耐琢 ( t j l ) ( ( 均) 一( 地) 7 ) z x 4 a 4 池) ( h ) 孑 ( v 2 ) n l l v 2 n 池) ( ) 扣1 ) ) 硝+ ( ) 瓢( 0 1 ) ： ( 。) ) 硝磁+ 池) ( ( 钉2 ) 2 ( 地) ) 磁磁+ ( ) ( ( 口3 ) 暑 使用如下的线性插值代替交界面的速度 圩= 华 = 华 k = 垃监2 = 场出2 k = 毕 k = 华 ( 4 2 1 ) 则格式( 4 2 1 ) 可化为： 衅喇芝乎= 7 ( 产瞒+ 产耐舀 1 7 、li， 醍、；| 呓 苟西西 、；埯埯冶 嘶 砚 ，l，l，l 一 一 一 + 兰! ! 之! ；i 兰塾z ：+ ! 堡! 墨! 麦上塾呓z ；+ ! j ：! ! i ：丢里z i z ： + ! i 2 1 i ：i 堡z ：) + 吐：z 5 墙* f ，垒铲( ( ( 算。础一( v 1 ) l j ，t ) + 垒华盘( 抛) ( ( t j l ) 轨k 一( 扎吱 一l 垒兰垡( 钉。) 舀。( i 也) 苒。础一( 也) o ，舭) + 冒笋( 砚) 瓢( ( 忱) o + 孙一( 口。) 一，0i 、垒! ；乎( t ，。) 孙( ( ) 嚣，矗。一( 坞) o ，囊：) + ! ! ! 学( t ，。) 舀。( ( 蜘) + ，e 一( 忱) 一1 ，t ) 下面，我们将格式( 4 2 2 ) 中的矿用定义3 1 中的y 和z 代替，则其中每一 项可得： 对于时间导数项，可得： 殇兰1 n 铲+ 1 1 1 1 1 ；z ：z 3 v c 越t + 铲l v n 对于扩散项，可得： ( 4 2 2 ) 7 ( 兰铲z i 鸸+ 警矗z ：+ 攀吐 + 警。：磊+ 警+ 警吐z ) ：7 ( 墨兰! ：i ：；笙生生z i 。；+ 墨垒! 复2 ：i ； 弛z ：z 3 + 墨筮铲近) + 吾( 兰垒铲z i 而 + 兰垒铲吐+ 兰竺铲呓+ 兰垒铲z ：z 3 + 兰垒i i ；i i 兰丝茁i + 兰童! 三；i ；兰鳖吐z ：) 1 8 协冯 也 ”件”订一” 饥 睨 诏 帆她b差每 垒磁扣。) 承( p t ) 拜，j ，。( 砚) o - j t ) + 垒茧乒盎( 抛) ( ( t ，z ) o + 坫一( 秽t ) o t ，t 2 一l 垒i 笋扣。冯。( 他) 锋。j ，k 一她) o l j ) + 4 3 型挚扣z ) ( ( u z ) + t 一( 0 n j 一，2i 垒：垩 学 1 ) 孙( ( ) 各。j ，。一( 珊) o - j ，t ) + 垒! 尘2 矗“k v z ) ( ( ) + 一( t ，。) 一t ) ， 一( 鞋 。) ，。十。一o - ) 舀。t 一- ) 、 勤, k + l - - 他) 卜，) i 【蛳) 兽+ ，一( ) 孙一，) ，垒垡( 船) b k ( ( 乱) + l ，k 一( 2 1 ) 乙一l ) + 1 3 型净杰( 蛳) 一l 垒班( 可2 ) b k ( ( 现) + l ，k 一( z 2 ) 乙一1 ，k ) + ! 望五笋慨) b k 垒! 学( 抛) z 膈( ( 句) o 十，一( z 3 ) 易一1 。女) + 1 3 1 盟( y 3 ) i j k f 垒互学 1 ) 孙k ( ( 可1 ) 锋1 k 一( 玑) 奠l ，j , k ) 一i 垒 争矗0 1 ) 孙k ( ( 掣2 ) 锋1 j 耳一( 抛) 奠1 j , k ) i 型学( 驵) z 珊( ) 苒l 。j , k 一( 簪3 ) e - 1 朋) ，7 f 垒警出( 2 ) b k ( ( 3 1 ) 勋+ l ，耳一( 暑1 ) z ，一l ，耳) 一 i 垒! 争五 z ) b k ( ( ! 2 ) z j + 1 ，k 一( 抛) z j l 。k ) l 垒! 争盘( 掣2 ) 7 心( ( 可3 ) z ，+ 1 。耳一( 可3 ) z ，一l ，k ) 垒 学( 驺) ( ( 玑) z j ，j h l 一( 玑) z 埘一1 ) 一l 垒! 警五国3 ) b k ( ( 驰) z 砧“l 一( 抛) 置一1 ) l 垒5 兰五( ! 3 ) ? j k ( ( 船) zj 耳+ 1 一( 蜘) zj ，耳一1 ) 对于，项，可得： 如建埒k = z i 2 ：伪嚣 时间上，我们在粗网格上计算的时候。固定小单元z 。也就是说，对 1 9 、ii-、 曲 垃班璎亿 一一 一 拈 砧 础 三圭曼妄浆 仇渤 、l-、 、v、v、v炒炒耖 钇 忽 一 一 一 胁胁胁 。雒 彩 彩 三薹胁觚觚溆篆学 于细网格上给定的解俨，从中我们可以得到小单元z 哪，然后我们在下面 的而个时间步里，将z m 固定。最后，使用下面的格式计算y 叶1 ： + 掣笋衅) 弋篆a x 酣激n 陇n o 篓二溪葛j 二( 篆2 豢k y 2 l l j k 麟割) 一l 垒茧乒五( 耽) 知( ( 砘) 器+ 1 k 一( 沈) 嚣一l ，) l 垒i 乎( 抛) ? 脂( ( 幻) 嚣+ l ，一( 幻) 嚣一1 ，) 一( 薹2 蒜( y 3 ) i j 菠三铡) 一i 垒! i 学( 船) ? 詹( ( 砘) 嚣，+ l 一( 勿) 嚣，自一- ) i 垒茧 五7 ”j r ( ( 幻) 嚣，女+ 1 一( 忽) 麓女一1 ) 一( 篆嘲n 蹴1 - - 二鹾1 n j , k j , k j , kj , k ；) 一i 垒兰域( 可1 ) b 耳( ( 抛) 知1 ， 一( 现) l ， ) l 垒茁蛆( 掣1 ) z ( ( 船) 苒l ，一( 船) 奠1 ，) 一( 篆纛黻k k 三篱) 一 l 垒! 班( 耽) b 耳( ( 抛) z n 1 一( 耽) z j l ，耳) i 垒i 班( 抛) z 蹦( ( 抛) z “l ，一( 2 f 3 ) z j l ，耳) 2 0 ( ( 1 n 正耳+ 1 一( 3 f 1 ) zj 耳一1 ) ( ( 耽) z 删十1 一( 抛) n 正耳一1 ) l + 硝z ：z ：尼膈 ( 4 2 3 ) ( ( s 3 ) z 正耳+ l 一( 蜘) z 4 k 1 ) 上面的格式给出了当控制体，j k 远离q 的边界的情形。当j j 】r 是个边 界单元( 如注3 2 所示边界) ，我们使用f v n ，s 修正的定义( 注3 2 ) 得到了 如下的格式计算l ? 老： + + 吐z ：兰挚吾( 兰堡e 铲嗣z 3 兰堑铲硝+ 翌竺玉铲z ：磊+ 兰盘铲建 可2y勃f=t-i-yfj,kzi+兰坠铲$i) + 7 ( 墨羔铲z i 西+ 至羔铲z ：z 3 + 警a x 扯：) 一 。 一、一。， 鲺2 血“k y 。2 “i j k ( ( 名1 ) 嚣“i 一( z 1 ) 嚣吐k ) 一l2 型l 垃( 抛) 7 缸( ( 勿) 嚣+ l ，一( 勿) 嚣一1 ，) l 垒苎5 2 硝“( y 。2 “) i j k ( ( 施) 嚣+ l ，女一( 幻) 器一l ，) 垒! 垡( 舶) z 膈( ( = ，) 器，+ 。一( z t ) 嚣，女一1 ) 一l 垒! ；学( 拈) ( ( 砘) 嚣，t + 。一( 砘) 嚣，k 一。) l 垒垡( 讹) 知耳( ( 龆) 嚣，+ l 一( 幻) 嚣，k 一。) n n n n 帆慨 荤i 。 伽卜伽卜蛳扣 牌兰妄碑 n 亿 n 班 飒 讥荤学 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 ，半) 一l 型挚( 可，) 学( 虮) 垒学b 勰j x l 丝6 丝 x 。一协+ i j k 垒净( 抛) l 垒学b 谶j k i 倒6 从 y 3 i j k 垒号乎( 始) 4 3 多层算法 ( v 1 ) z j r + ) n 1 。d , k 一2 ( 玑) i 可 ( y 2 ) i j k + ) 锋1 ，j , k 一2 慨) 未了邪， ( y 3 ) i j k + ( 伽) 锋1 ，心一2 ( 蜘) = 瓣 ( y 1 ) i j k + ( ! ，1 ) n ，n 1 ，耳一2 ( 掣1 ) ；= 了= 研 ( v 2 ) i j k + ) z j + 1 ，k 一2 渤) 了= 蕊 ( y a ) u r + ) z n l ，k 一2 慨) 了= 丽 淼y2)ijk麓薹剥+axlaz2axaf；jry3)ijk y 3 ) i , j , k ( + ( 抛) z 正耳+ l 一2 ( 蚴) 锄) i + ( + ( + 1 2 ( 船) 知) 在这篇文章里面，我们只考虑一种比较简单的两层算法。 第1 层，我们在细网格尬上使用格式( 4 1 1 ) 进行计算。 第。层，我们在粗网格m o 上使用格式( 4 2 4 ) 进行计算。 从t ；0 时刻开始直到最后，在第1 层上使用格式( 4 1 1 ) 在细网格上计 算 个时间步。然后，我们可以很容易得到大单元y 和小单元z 。之后， 在第。层上，将小单元z 固定在z m m n o ) ，使用格式( 4 2 4 ) 计算而个时间 步，从中可以得到y 。最后，交替重复计算就可以得到数值解了。 、j、-、 第5 章多层算法的线性稳定性分析 下面，我们考虑4 3 节给出的多层算法的线性稳定性。对于非线性稳定 性，我们将在以后进一步考虑。为了方便起见，我们只使用f o u r i e r ，y 法考 虑周期性边界。 定理4 1 【稳定性条件】在线性情形下，当；0 1 ，多层算法在满足条 件孚( 南+ 南+ 壶) 下是稳定的；当o s0 ；，多层算法在满足条 惭t ( 壶+ 壶+ 由) m i n ( ；，渤) 下是稳定的 证明：我们考虑一个循环的多层算法，即在细网格上计算玎个时间步， 接着在粗网格上计算而个时间步。 首先，考虑格式( 4 i 1 ) 的稳定性。将格式( 4 1 1 ) 的非线性项和，项去掉， 可得： 掣j n + l 一7i l n + l l t n + 1 吐 +二矿n生+铲lln+1+二yinj+铲lin+l砭+掣i+ij,k z ： + 掣z i 磊+ 掣z i 碹) + ( 1 一( 攀耐+ 喾z i + 警$ ： + 警+ 警。：南+ 髻茁：z ：) = 。 下面我们用f o u r i e r 力法，考虑它的稳定性，令： = 嚣慨- 血i + 岛z j 而+ 七硝 ( 5 0 2 ) 令 口；( 矗：t ) + 4 7 ( 1 一p ) ( ( 近：) s i n 2 ( 像。a z ：2 ) 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 + ( z i 3 z ：) 8 i n 2 ( 卢之z ：2 ) 4 - ( z i z ：z ) s i n 2 ( j 臼z ；2 ) ) 将( 5 0 2 ) 代入( 5 0 1 ) ，可得放大因子是 。( 硝a 呓a 3 i a i ) 一4 g , ( 1 一p ) ( ( 呓z i ) s i n 2 ( 忍。a 西1 ) ) e 1 = 一 一! ! ! ! 二鱼( ! 全堕全! 全生21 1 呈：! 鱼! 全垒丝2 ! 全堕全生全墨2 璺! ! 垒垒三i 丝塑 由于f 1 是放大因子，可得嗡1 = f 1 v 冼下面我们逐步得到大单元y 和 小单元z 的放大因子。使用定义3 1 ，很容易得到： = 啦! = 6 = 矗场k = 隅厂扒1q n 脒+ l + 蹦。，耳) = - _ 。一5 1 ( 2 + 毋吐k ) ) = f l z 。n j 一；， 同理，我们可以得到所有的小单元z 都有着相同的放大因子f 1 。 从中，我j f f n - - l 以看出在计算 个时间步长里，所有的变量k y 和z 都有 着相同的放大因子矗。我们只需要考虑稳定性条件i 乓l i 1 ，即一1 专1 l 。我们注意到右边的不等式是成立的，因此只需要考虑左边的不等式，即 一( 今西z ：i t ) 一钾( 1 一口) ( ( a x 2 a 3 l a x 1 ) s i n 2 ( 忍。a d u 2 ) + ( 吐3 近) s i n 2 ( 卢乞z ：2 ) + ( 茹j $ ：) 8 i i l 2 ( 卢毛z 3 2 ) ) ( z i 。：t ) 一钾( 1 0 ) ( ( z ：；斫) s i n 2 ( 尾。a z l l 2 ) + ( 吐3 ) s i n 2 ( 卢乞z ：2 ) + ( a 硝z ：远) s i n 2 ( 艮。a 延i ) ) 整理可得： 4 7 ( 1 2 0 ) ( a t a 砰) s i n 2 ( 凡。z i 2 ) + ( t z 孑) 8 i n 2 ( 尾：a x ：1 2 ) 瓣 z 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 + ( a t a 孝) s i n 2 ( 卢毛2 ) ) 2 则得到稳定性条件是： 当；口1 ，格式( 5 0 1 ) 是无条件稳定的。 当o 口 ，t t f 式( 5 0 1 ) 在满足条件研t ( 1 z i + 1 z ；+ 1 瑶) 1 下是稳定的。 下面，我们考虑在粗网格上用格式( 4 2 3 ) 计算而个时间步的稳定性。 由于小单元z 是固定的，因此可以去掉( 4 2 3 ) 中的非线性项、，项，以 及z 项，可得： 妨v n 丛+ 铲lv i i = 1 3 ( 兰釜铲z i ， + 兰鱼铲茁i z ：+ 兰刍铲呓+ 兰堑铲硝z + 兰垒铲z i 迸+ 兰垒铲善i ) 其中n = n o ，n o + 而一1 使用与上面同样的方法，可得： 冯x = 嚣( 3 艮1 硝+ a 凡2 j 逆+ a 如3 后砖)( 5 0 。4 ) 将( 5 0 4 ) 的y 项代a ( 5 0 3 ) ，我们很容易得到放大因子是； 14 7 a 虿t 甜( 半) 一篓础华) 一瓣4 7 a t 础华) 因此，在粗网格上计l l - s o 个时间步里，可以得到l m + l = 岛y m 和z 叶l = z ”。可以得到稳定性条件是： 孚( 壶+ 砑1 + 南) ； ( 5 o s ) 亍( 研+ 砑+ 砑) 互 ( 5 ( 5 0 3 ) 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 最后，我们考虑一个循环如+ 五个时闻步，小单元z 和大单元y 的 稳定性条件是l 毋尊i 1 。可以得到：当 口1 ，小单元z 是无条 件稳定的，y 需要满足稳定性条件( 5 0 5 ) ；当o o ，稳定性条件 是：7 t ( 壶+ 壶+ 南) 眺( 氧渤) 。 注5 1 从上面的讨论中，我们也可以看出，上面提出的多层方法很容易 可以推广到多层( 多于两层) 。也可以看出，我们在粗网格上提出的格式 也可以使用隐格式，这样对于a t 就减少了稳定性条件的限制，但是增加了 计算量，延长了计算时间。 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 第6 章数值算例 在本小节中，我们将对以上提出的多层方法进行验证。为了方便起见， 我们来看一个简单的问题， a y 一- y a v + ( v v ) v = ， t ，1 = e t s i n z c o s z v l = s i n x c o s y v l2e t c o s y c o s z t j 2 = 一e ts i n y c o s z 眈= 一s i n x c o s y t j 22 一e t c o s x c 0 9 z 地2 一c o s y s i n z 姐= 一e t c o s x s i n y v 32 一e tc o s x c o s y v = 0 7 j 12s i n x c o s y c o s z 2 22 一c o s x s i n y c o s z v s2 一c 0 8 封c o s y s i n 名 q 【0 ，1 】 x 2 = 0 ， z 3 = 0 ， x l = 詈， z l = 0 ， x 3 = 0 ， x 2 = 三， x l = 0 ， 霉2 = 0 ， z 3 = 吾， 其它边界， t = 0 t = 0 t = 0 在上面的式子里取q = 【0 ，割 o ，暑】【o ，差】，y = 1 ，= ( ，2 ，3 ) ，其中 = e s i n x ( c o s y c o s z ( 1 + 3 7 ) + c 0 8 x ( c o s 2 z + c 0 8 2 y s i n 2 z ) ， ，2 = e 。s i n y ( 一c o s z c o s z ( 1 + 3 7 ) + e t c o s y ( c o s 2z c 0 8 2 x s i n 2 彳) ， 矗= e