（计算数学专业论文）求解变分不等式的两个新方法.pdf

摘要 变分不等式问题作为描述平衡问题的重要工具，在网络经济，交通规划，对 策论，工程管理，以及区域科学等领域有着广泛的应用目前已提出多种迭代算 法求解不同类型的变分不等式问题，如临近点算法，牛顿法，交替方向法，投影 算法和算子分裂法等本文主要针对求解结构型变分不等式和可分离结构型变 分不等式提出了两种新的方法 第一，通常我们引入拉格朗日乘子，将带线性约束的变分不等式问题转化为 一般的结构型变分不等式问题，再利用增广拉格朗日方法进行求解考虑到子 问题不容易求解，我们提出了一种新的基于增广拉格朗日的算法，每次迭代，我 们只需要非精确求解一个良态的非线性方程组子问题在比较宽泛的条件下，我 们证明了算法的收敛性并通过数值实验验证了新算法的有效性 第二，我们提出了一种新的交替方向法在新算法巾，每次迭代我们求解一 个变分不等式子问题和一个非线性方程组子问题相比传统的交替方向法在每 次迭代中求解两个变分不等式子问题，新方法的非线性方程组子问题更容易求 解在较弱的条件下，我们同样给出了新算法的收敛性另外大量的数值实验表 明，新算法是稳定的，有效的 关键词：变分不等式，非线性方程组，增广拉格朗口法，交替方向法，全局 收敛性 a b s t r a c t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sa r i s ei nm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s ，s u c h a 8n e t w o r ke c o n o m i c s ，t r a f f i ce q u i l i b r i u m ，g a m et h e o r ya n de n g i n e e r i n g m a n a g e - m e r i t al o t so fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd i f f e r e n tt y p e sv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s h a v eb e e nw e l ld e v e l o p m e n t ，f o re x a m p l ep r o x i m a lp o i n ta l g o r i t h m s ，n e w t o n t y p em e t h o d s ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d s ，p r o j e c t i o nm e t h o d sa n do p e r a - t o rs p l i t t i n gm e t h o d s ，e t c i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ya i mt op r o p o s et w on e w m e t h o d sf o rs o l v i n gs t r u c t u r e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n ds e p a r a b l es t r u c t u r e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s f i r s t l y ，w ec o n s i d e rag e n e r a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e mw i t hl i n e a rc o n - s t r a i n t s b yi n t r o d u c i n gal a g r a n g em u l t i p l i e r ，w et r a n s f o r mt h eo r i g i n a lv a r i a - t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e mt oas t r u c t u r e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e ma n dt h e n s o l v ei tb yt h ea u g m e n t e dl a g r a n g em e t h o d h o w e v e r ，i ti sd i f f i c u l tt os o l v et h e s u b p r o b l e m ，t h e r e f o r ew ep r o p o s ean e wm e t h o d ，w h i c hi sb a s e do nt h et r a d i - t i o n a la u g m e n t e dl a g r a n g em e t h o d ，f o rs o l v i n gs t r u c t u r e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y p r o b l e m s i nt h en e wa l g o r i t h m w es o l v eaw e l l c o n d i t i o n e dn o n l i n e a re q u a t i o n i n e x a c t l ya te a c hi t e r a t i o n u n d e rm i l dc o n d i t i o n s ，w ee s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c e o ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m ，a n ds o m ep r e l i m i n a r yn u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t e t h en e wa l g o r i t h mi se f f i c i e n ta n dr e l i a b l e a n o t h e rp r o b l e mc o n s i d e r e dh e r ei st h es e p a r a b l es t r u c t u r e dv a r i a t i o n a li n - e q u a l i t yp r o b l e m ，w h i c hc a nb es o l v e db yt h ee f f e c t i v ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o n m e t h o d h o w e v e r ，t w ov a r i a t i o n a li n e q u a l i t ys u b p r o b l e m sa r ea l s od i f f i c u l to r i m p o s s i b l et os o l v eb yt h et r a d i t i o n a la l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d s i nt h i st h e - s i s ，w ep r o p o s ean e wa l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d ，w h i c hc o n t a i n sav a r i a t i o n a l i n e q u a l i t ys u b p r o b l e ma n daw e l l - c o n d i t i o n e dn o n l i n e a re q u a t i o n ss u b p r o b l e m c o m p a r e dt ot h et r a d i t i o n a la l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d ，t h en o n l i n e a re q u a - t i o n ss u b p r o b l e mi se a s i e rt os o l v e m o r e o v e r ，t h eg l o b a lc o n v e r g e n c ei se s t a b - l i s h e du n d e rt h em i l da s s u m p t i o n sa n ds o m ep r o m i s i n gn u m e r i c a lr e s u l t sa r e r e p o r t e di nt h el a s tp a r to ft h et h e s i s k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，n o n l i n e a re q u a t i o n s ，a u g m e n t e dl a - g r a n g em e t h o d s ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d s ，g l o b a lc o n v e r g e n c e - l v - 第一章绪论 第一章绪论 本章，我们首先给出变分不等式的定义：然后，介绍增广拉格朗口方法，交 替方向法及一些预备知识：最后，给出本文结构 1 1问题描述 变分不等式问题是指，在qg 彤上找一点矿，使得 ( z z + ) t f ( x + ) 0 ，v z q ，( 1 1 1 ) 其中厂为舻_ r 他的映射，q 为舻的非空闭凸子集我们把变分不等式问题 ( 1 1 1 ) 记作v i ( f 2 ，厂) v i ( f t ，厂) 问题包括非线性互补问题( 当q = 兄罩时) 与 非线性方程组问题( 当q = 舻时) 等v i ( q ，| 厂) 问题在数学规划，经济，交通 规划，网络经济，对策论，最优决策以及区域科学等诸多领域都有广泛应用，详 见参考文献【1 ，5 ，1 1 ，4 7 ，4 8 】等 可分离的结构型变分不等式是v i ( n ，厂) 问题的一种特殊情况，是指找一点 u q ，使得 ( u 一乱+ ) r f ( u + ) 0 ，v u q ，( 1 1 2 ) 其中 u = ( i ) ，f c u ，= ( 5 i ；) ， c 1 1 3 ， q = 0 为给定的线性约束的罚参数 交替方向法解大规模问题很有效，原因就在于它是通过求解一系列的 小规模的子变分不等式问题来实现求解原问题的但对于结构型的变分不 3 1 4 本文页献 等式问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 和( 1 3 1 ) 一( 1 3 2 ) ，子问题往往也不容易求解，故如何 简单有效的求解子问题是研究交替方向法的关键为此很多人做了大量的 工作，如：一类是通过引进临近项的方法将子问题中的映射由单调性转变 为强单调性，近似的求解子问题产生迭代序列，从而使子问题容易求解，见 ( 4 ，1 0 ，2 3 ，2 5 ，2 8 ，2 9 ，3 6 ，3 7 ，3 9 1 ) 另一类则是对罚参数p 的修正卢太大会导 致算法发散，p 太小又会影响收敛速度，因此如何合理选择p 也是至关重要的 h e 和y a n gf 4 1 1 中，不是给p 某个固定的值，而是允许其在一定范围内单调 变化( 非增或者非减) ，大大提高了算法的效率后来，k o n t o g i o r g i s 和m e y e rf 4 6 1 在迭代中将单调非增的正定矩阵序列选作参数p h e 等 3 9 中又将罚参数选 为变化的矩阵应用于交替方向法的求解中 1 4 本文贡献 ( i ) 改进的增广拉格朗日乘子法 本文针对子变分不等式问题不容易求解的情况，给出了改进的增广拉格朗 日方法新算法中，每步迭代求解一个非线性方程组来代替求解子变分不等式 问题由于非线性方程组是好条件的，故许多有效的方法( 如牛顿法) 均可直接 用于求解，这使得整个算法变得简单；再者，从计算的角度来看，求解非线性方 程组相比求解变分不等式问题容易很多，而且我们只需非精确的求解该非线性 方程组，从而使得整个算法的计算量减小同时自适应的来选取罚参数，更加提 高了算法的有效性在相同的条件下，我们证明了新算法的收敛性，给出的数值 实验结果也表明了算法的有效性 ( i i ) 改进的交替方向法 在利用增广拉格朗同法求解可分离的结构型变分不等式问题时，由于此变 分不等式结构的特殊性及变量之间耦合的特点，使得求解变得很困难而利用 交替方向法对其进行求解时，每步迭代需要去求解两个子变分不等式问题，有 时候这类子问题是不容易求解的鉴于此，本文给出了一种改进的交替方向法 每步迭代，求解一个良态的非线性方程组及一个子变分不等式问题来代替求解 原问题，在一定程度上提高了算法的有效性和可行性在映射是单调的及变分 不等式问题的解集是非空的条件下，我们证明了算法的全局收敛性给出的数 值实验结果同样表明了新算法的优越性 第一章绪论 1 5 基本知识 在本文中，我们假设映射都是单调映射，且变分不等式问题的解集非空首 先，我们把2 一范数记为忙l | = 历，记局( ) 为舻到q 上的投影映射，即 p h ( z ) = a r g m i n l l y z i ily q ) ( 1 5 1 ) 当q 是非负挂限 z r n i x o ) 时，有 c 酬t 七喜0 当q 是一个盒子x r 1 i a x b ，a ，b r n ) 时，有 ( r ( z ) ) t = 仨bi, 若x t o 时，有 脚，= 裂i i x 旧 投影映射有如下重要性质： 引理1 5 1 若q r n 为一非空闭凸集，岛( ) 为r 竹到q 上的投影映射， 对任意z ，y 舻，任意z q ，有 ( 口) ( x r ( z ) ) t ( 名一r ( z ) ) o ； ( 6 ) 1 i p q ( z ) 一忍( 可) i i i i x y i i ； ( c ) f i p q ( z ) 一p q ( u ) 1 1 2 i i z y i | 2 一l i p q ( x ) 一x + y p q ( y ) 1 1 2 下面给出变分不等式问题中几种映射的基本定义 定义1 5 1设，是集合q 形一r 他的映射，则 5 一 ( 1 5 2 ) ( 1 5 3 ) ( 1 5 4 ) 1 5 基本知识 ( a ) 称，在q 上是单调的，如果厂满足 ( z y ) t ( ，( z ) 一，( ) ) 0 ，v x ，y g t ；( 1 5 5 ) 如果上式不等号严格成立，则称，在q 上述是严格单调的； ( b ) 称，在q 上是强单调的，如果存在系数p 0 ，使得f 满足 ( z 一可) 丁( ，( z ) 一，( 可) ) p i i z y l l 2 ，v x ，y g t ；( 1 5 6 ) ( c ) 称，在q 上是l i p s c h i t z 连续的，且l i p s c h i t z 系数为l 0 ，如果f 满足 l i f ( x ) 一s ( y ) i i l ij z y | i ，v x ，yeg t ； ( 1 5 7 ) 根据以上定义可以看出，强单调一定是单调的，反之则未必 求解v i ( n ，f ) 问题等价于求解下述投影方程 引理1 5 2 【1 2 】对任意p 0 ，x + q 的充分必要条件是 z + = rx + 一m ( x + ) ) ( 1 5 8 ) 记 e ( z ，p ) = x r ( z p 厂( z ) ) ， 易知e ( x + ，) = 0 ，从而我们有如下结论 引理1 5 3 求解y ，( q ，- 厂) 问题等价于找e ( z ，卢) 的零点 证明：见参考文献【1 2 】- 由以上引理可知，e ( z ，p ) 描述了当前点z 与解点z + 之间的远离程度，对于 评价函数e ( z ，p ) ，当将其看作是参数p 的函数时，e ( z ，p ) 有如下单调性质： 引理1 5 4 对任意z 冗n ，任意压 p 0 ，下列不等式成立 l i e ( z ，p ) i i | i e ( z ，p ) i l ；( 1 5 9 ) 及 竿竽 ( 1 5 1 0 ) 8 一 b 、。 第一章绪论 证明：见参考文献【5 6 】 1 6本文结构 本文的核心部分分为两章，分别给出了求解带线性约束变分不等式的新的 增广拉格朗日法，及求解结构变分不等式的新的交替方向法 在第二章，在w a n g 等f 5 5 1 及h a n 【2 3 】的基础上，给出了一种求解带线性 约束变分不等式的改进的增广拉格朗日法并在假设条件不变的前提下，我们 给出了算法的全局收敛性证明，同时也给出了数值实验 在第三章，将原有的交替方向法进行推广，提出一种针对求解可分离结构型 变分不等式问题的新的交替方向法，并给出了算法的全局收敛性证明及数值实 验 在第四章，针对提出的两个新方法给出相关的总结和展望 7 第二章改进的增广拉格朗日法求解变分不等式 本章中，我们考虑求解v i ( f l ，) 问题，其中 或者 q = q 1 = z r na x = b ，z k ) ， q = q 2 = z r na x b ，z ) 2 0 0 0 年w a n g 等【5 剐针对q = q 1 或者q = q 2 的情形下的v i ( f l ，厂) 问题， 提出了一种修正的交替方向法具体方法如下： ( i ) 给定扩，通过解下列线性互补问题计算y 惫， ( y 7 一y k ) t ( 4 z 南一b ) 一a ( f ( x 七) 一a 丁y 南) ) 0 ，v y 7 o ；( 2 1 1 ) ( i i ) 通过求解下列非线性方程组来更新x 惫+ 1 ， x 七+ 1 + f ( x 忌+ 1 ) = x 南+ f ( z 居) 一7 ( f ( x 七) 一a t y 七) ， ( 2 1 2 ) 其中7 ( 0 ，2 ) 为一个常数 2 0 0 3 年h a n 【2 3 在q = q 1 ，k = 邱时提出了一种新的交替方向法他首 先对线性约束及非负约束引入拉格朗日乘子y ，然后将原问题( 1 1 1 ) 转化为如 下等价的形式： a ( w + ) l ( w w + ) 0 ，v w q ， 其中 及 ，z 、 一l 可g c 小咖，= ( 八_ 秒) ，q = 彤 、 b 0 = 0 8 ， - 、 b j = a 第二章改进的增广拉格朗n 法求解变分不等式 y 是胛扣的子集( 1 icr m ，= 毋，y = m a 对于给定的u 七= ( z 岛，扩) ： ( i ) 通过非精确求解下列非线性方程组找预测点( 牙七，雪七) ， c k ( f ( ) 一a t y 七) + o z 七) = 0 ，( 2 1 3 ) 使得 l 旷( 牙凫) l i o l l x 七一牙七l i ， 其中 矿( 牙南) ：= c k ( ，( 牙知) 一a t y 知) + ( 牙七一x k ) ( i i ) 向y 作投影，得矿： 影知= p y b 七一( a 牙七一n ) 】， 这里c 岛k ，( 1 一, 7 ) i i a i l 2 】，c 0 及口( 0 ，1 ) 为两个常数 ( i i i ) 更新迭代 仳七+ 1 = u 凫一q 七夕( “七) ， 产生新点u 七+ 1 = ( z 七+ 1 ，y k + 1 ) ，其中 9 ( u 七) = 夕( z 七，知) = ( ，2 秒k 七) 一_ 雪a 知t 雪知) ， 步长o l 凫取为 a 七= 夕( 乱惫) t ( 矿一矿) 川夕( “忌) 1 1 2 以上两种方法都是行之有效地求解v i ( f 2 ，f ) 的好方法，并且他们都是通过 求解良态的非线性方程组系统( 如( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ) 来求解子问题然而，尽管 ( 2 1 1 ) 为线性互补问题，仍较难求解；再者，在h a n 2 3 】中，k = 殿过于特殊 化，不具有一般性，并且拉格朗日乘予的维数由原问题的n 维增加到了m + 礼 维鉴于此，本文提出一种新的求解变分不等式的增广拉格朗日方法该方法每 步迭代只需非精确求解形如( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 的良态的非线性方程组，然后通过 简单计算可得到下一个迭代点；另外，为了提高计算效率，我们自适应地选取参 数p ；然后，在合理的假设条件下，证明了新算法的全局收敛性，并且通过数值 实验验证了新算法的有效性 2 2 算法 本章我们在w a n g 等 55 】及h a n 2 3 】的算法的基础上提出了新的增广拉格 朗日方法 2 2算法 算法2 2 1 ：新的增广拉格朗日法： s o 选取非负序列_ 亿) 满足 o o t k 0 ，y ( 0 ，2 ) ，任意初始点u o 一( 。o ，y o ) kxy ，及非负序列 辄) 满足 穰 + ， k = 0 令k ：= 0 ： s 1 计算 及 其中 e l ( z 七，y 知，反) = x 七一r 陋后一z k ( f ( x 2 ) 一a 丁雪2 ) ， s 2 找点z 七+ 1 k ，使得 其中 及 q 七。 e 2 ( z 七，y 七，熊)= y 七一矿， 矿= p y 扩一p k ( a x 七一6 ) 】； e 南( z 南+ 1 ) | l , l 七l l e l ( x 七，y 南，p k ) l l ，( 2 2 1 ) e 七( z 南+ 1 ) ：= ( z 七+ 1 一x ) + f l a ( f ( x 岛+ 1 ) 一f ( x 七) ) + 7 0 l k e l ( z 七，y k , 凤) e l ( ，y 七，风) 1 1 2 + 慨( z 七，y 南，仇) 1 1 2 一仇e 2 ( z ，y 惫，凤) t a e l ( x 知，y k , 玩) i i e 2 ( z 南，y 七，俄) 一f l k a e l ( x 南，y 七，凤) 1 1 2 2 1 e l ( x 七，y 七，凤) 1 1 2 + 1 0 第二章改进的增广拉格朗门法求解变分不等式 s 3 计算 y 知+ 1 = y 七一 y 0 k e 2 ( 扩，y k 仇) 一a e l ( z 七，y 七，凤) 】；( 2 2 2 ) s 4 选择参数凤+ 1 满足 凤+ 1 【1 ( 1 + 亿) 觑，( 1 + 亿) 玩】； s 5 如果l l e ( u 七+ 1 ，仇) | j e ，则停止；否则，令k ：= k + 1 转步s 1 注1 ：新算法的关键步骤在步s 2 ，通过求解非线性方程 z 十k f ( x ) = d 知， 来得到解点z 七“，其中 d 七：= z 惫+ p k f ( x 南) 一7 e 1 ( z 七，y k , 陬) 由于映射厂是连续且单调的，因此算子j + 凤厂是强单调的，从而此线性方程组 是好条件的，故可用很多有效的方法( 如牛顿法【7 ，1 3 】) 直接进行求解；另外， 为了提高计算效率，我们构造非线性准则( 2 2 1 ) 对其进行非精确求解 注2 ：根据 亿0 ， 可推出 令 q ：= ( 1 + ) 2 1 ， 我们可得g + o 。， + ，及g 0 及s u p 伉) 铲= ：励 + o 。 + 砚 脚 及 + 尸亿 +0 脚 及 + + q 脚 瓯 脚 i l g 及以g+q 脚 = +1 脚 = g 2 3 收敛性分析 在步s 2 中，参数q 七可看作步长，因此在每步迭代中都要求q 凫恒正，以下 引理说明了步s 2 中q 七满足该要求 引理2 2 1 若助| | a | | 1 ，则对任意的k 0 ，如果( z 七，y 七) 不是v i ( f 2 ，f ) 的解，那么 1 q 如西 证明：对o k 的分子部分利用c a u c h y - s c h w a r z 不等式及已知条件p k l l a i i 励i i a i l l ，整理得 l i e l ( z 南，y k 风) 1 1 2 + i | e 2x 七，y k 凤) 1 1 2 一凤e 2 ( z 。，y 南，仇) t a e l ( z 七，y k , 仇) i l e l ( x 七，y 七，风) 1 1 2 + ij e 2x 知，y 凫，仇) | 1 2 一p k l l a i i i l e 2 ( z 七，y 七，卢k ) l l l l e l ( z 南，y 七，熊) | i i l e i ( x 七，y k 反) 1 1 2 + i i e 2 ( z 南，y 七，p ) 1 1 2 一i i e 2 ( 扩，y 凫，反) l ll l e l ( z 詹，y 七，凤) i i 丢( l e l ( x a , y a , 觑) 肌i i e 。x k , 扩，酬2 ) ， ( 2 2 3 ) 同样，对于分母部分，有 2 1 1 e l ( x k ，y 忌，玩) | | 2 + i l e 2x 知，y k , 仇) 一j 3 凫a e l ( z 惫，y k , 觑) 1 1 2 2 1 1 e l ( x 七，y kz k ) l f 2 + 2 l i e 2 ( z 岛，y 知，风) 1 1 2 + 2 磁i i a i l 2 l i e l ( z 七，y 七，凤) 1 1 2 4 ( i l e i ( x 七，y 七，风) 1 1 2 + l l e 2 ( x 知，y k , 反) 1 1 2 ) 联合上述两个不等式即可推得结论 口 在接下来的分析中，我们假设励i i a i i 0 ，使得对任意 的k k o ，下列不等式成立： l i ( z 七+ 1 一z + ) + 仇【( ，( z 菇+ 1 ) 一，( z + ) 】l | 2 + i i y 七+ 1 一可+ 1 1 2 ( 1 + c 瑗) jj ( z 七一z + ) + 凤【( ，( z 南) 一t 2 + i l y 七一可+ l | 2 2 3 收敛性分析 一号( | f e ，( x ky k 驯f z + | | e 2 ( z 后，矿剧f f 2 ) 其中c = 1 2 s 7 2 证明：据e 七( ) 的定义，有 ( 2 3 6 ) z 忌+ 1 + p k f ( x 知+ 1 ) = o k ( x 七+ 1 ) + z 南+ p k f ( x 2 ) 一一y q 惫e l 七，y k , 凤) ( 2 3 7 ) 由式( 2 2 2 ) 和式( 2 3 7 ) ，可得 i i ( z 詹+ 1 一z ) + 风 厂( z 磨+ 1 ) 一f ( x ) i l l 2 = i i ( x 七一z + ) + 成 厂( z 后) 一f ( x + ) 】一h q 七e 1x ky k , 风) 一e ( z 南+ 1 ) 川2 = i i ( z 七一z 4 ) + 玩 ，( z 南) 一f ( x + ) 】2 + i i ，y q 七e 1 ( z 奄，y k , 凤) 一0 凫( z 七+ 1 ) 1 t 2 + 2 0 k ( z 七+ 1 ) 丁 ( z 七一z 4 ) + 厥( ，( 。七) 一f ( x + ) ) 】 一2 7 a k e l ( x 知，y k , 风) t 【( z 七一z + ) + f l k ( f ( x 知) 一f ( x + ) ) 】 又据c a u c h y - s c h w a r z 不等式，有 2 0 k ( x 奄+ 1 ) t 【( z 惫一z + ) + 凤( ，( z 七) 一f ( x + ) ) 】 箍i i ( x k - - x * ) + i l k ( f ( z 惫) 叫) n ( z 七一z + ) + 凤( 厂( z 七) 一厂( z + ) ) 1 1 2 + i o k ( x ) 1 1 2 ( 2 3 8 ) e 1x k , y k 仇) 帜2 3 9 ) 其中最后一个不等式利用了式( 2 2 1 ) 据假设镌 + o 。，易知存在0 ， 使得对任意的庇k o ，均有 t a k e l ( x 知，y k , 厥) 一o k ( x m ) f k = o 7 2 q 2 l i e ，( z = ，y 七，伉) i | 2 + ：2 - - ah e ，( 。知，可七，凤) | | 2 将式( 2 3 9 ) 和式( 2 3 1 0 ) 代入到式( 2 3 8 ) ，可推得 ( z + 1 一z + ) + 1 9 a f ( x 七+ 1 ) 一f ( x ) 川2 ( 2 3 1 0 ) ( 1 + 箍) 忖。) + 舢( 鹕叫】i j 2 均2 q 川e ，( x ky k 刚j z 1 4 盟懈 一 第二章改进的增广拉格朗n 法求解变分不等式 一2 7 a 七e 1 ( z 七，y 南，凤) t 【( z 七一x + ) + 仇( ，( z 知) 一，( z + ) ) 】 ( 1 + c 7 7 ；) i i ( z 七一z + ) + 凤【，( z 七) 一f ( z + ) 川2 + 2 7 2 q ；i i e - ( x ky k , 风) 1 1 2 2 t a k e l ( z 七，y 七，觑) t 【( z k x + ) + 仇( ，( z 血) 一f ( x + ) ) 】，( 2 3 1 1 ) 其中最后一个不等式根据引理2 2 1 据式( 2 2 2 ) ，可得 l y 知+ 1 一洲2 = i l 可七一y + 一1 o t k e 2 ( z 老，y 七，反) 一3 k a e lx 七，y 知，反) 州2 = 1 1 秒一可+ 1 1 2 + ，y 2 q ：i l e 2 ( z 七，y 七，凤) 一f l k a e l ( z 七，可凫，仇) 1 1 2 2 7 a 七( 可七一可+ ) t 【e 2 ( z 七，y k , 凤) 一d k a e l ( z 凫，y 七，凤) 】( 2 3 1 2 ) 将式( 2 3 1 1 ) 和式( 2 3 1 2 ) 相加并整理，借助于引理2 3 1 ，我们推得 i l ( z 知+ 1 一x + ) + 仇【，( z 七+ 1 ) 一f ( x + ) 川2 + iy 七+ 1 一可1 1 2 ( 1 + c 7 7 2 ) f j ( z 七一z + ) + 俄 ，( z 知) 一f ( x + ) 】i | 2 + l i y 七一可4 1 1 2 + 7 2 0 l ；( 2 i i e l ( z 七，y 忌，z * ) 1 1 2 + i i e 2 ( z 七，y 南，凤) 一z k a e l ( z 凫，y 凫，凤) 1 1 2 ) 一2 7 a k ( i i e l ( z 岛，y 南，凤) 1 1 2 + i e 2 ( z 七，y 七，p 惫) 1 t 2 ) 一2 7 a 惫傀e 2 扛七，y 七，风) t a e l 七，y 七，风) = ( 1 + 铆2 ) l i ( z 七一z 4 ) + 凤【，( z 知) 一，( z + ) 川2 + 1 1 秒南一可1 1 2 一- y ( 2 一，y ) q k ( 1 l e l ( z 七，y 惫，仇) 1 1 2 + | | e 2 ( z 七，y 七，卢七) 1 1 2 ) 一7 ( 2 7 ) q z k e 2 ( z 凫，y 七，凤) 丁a e l ( z 2 ，可凫，阮) ( 1 + c 7 7 2 ) l i ( z 七一z + ) + z k f ( z 惫) 一f ( x + ) 1 1 1 2 + 1 1 可七一矽+ 1 1 2 一型1 6 ( 恼( z 七，扩，仇) | 1 2 + 慨( z ，y k , 风) 1 1 2 ) ， ( 2 3 1 3 ) 其中第一个式子利用了o t k 的定义，最后一个不等式来自于式( 2 2 3 ) 和引理 221n 由于7 ( 0 ，2 ) ，0 凤+ 1 ( 1 + 亿) 凤及厂的单调性，根据上面的推导不难 得到 | | ( z 七+ 1 一z + ) + 仇+ 1 【( 厂( z 惫+ 1 ) 一f ( x + ) 】2 + i i 后+ 1 一秒+ i | 2 ( 1 + 亿) 2 ( 1 + c 7 7 2 ) 0 ( z 詹一z + ) + 凤 ( 厂( z ) 一厂( z + ) 11