（计算数学专业论文）求解浅水方程的群速度控制方法.pdf

论文题目：求解浅水方程的群速度控制方法 专业：计算数学 硕士生：汪晓东 指导教师：朱庆勇教授 中文摘要 浅水方程的数值解法是计算流体学中的一个十分活跃的课题。众所 周知，此类方程的一个重要特点是无论初值是否光滑，其解都可能出现 间断。解的间断性给数值模拟带来了巨大困难，高于一阶精度的数值方 法在间断附近会产生非物理振荡。虽然二阶t v d 格式可以很好的控制间 断，但是其在临界点退化为一阶格式，使得它对于光滑解也不是高阶的。 因此如何克服间断附近的非物理振荡并提高解的分辨率成为首先要解 决的问题。本论文基于此，从非物理数值振荡产生的物理原因出发，提 出了群速度控制( g v c ) 格式，我们证明了此方法既能控制振荡，又具 有较高的分辨率。针对带源项的非线性双曲守恒律方程，时间上我们利 用二阶龙格库塔方法离散，空间上使用群速度控制方法离散，对于源项， 采用一个分裂方法进行处理。最后的数值算例求解结果证明了所给方法 可以很好的控制非物理数值振荡并具有较高的分辨率，好于一般的二阶 t v d 方法。此外，这个方法还具有计算量小、形式简单等特点。 关键词：浅水方程，g v c 方法，分裂方法，源项 求解浅水方程的群速度控制方法 t i t l e ： m a j o r ： n a m e ： a s t u d yo ng v c s c h e m ef o rs h a l l o ww a t e re q u a t i o n s c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s w a n gx i a o d o n g s u p e r v i s o r ：z h uq i n g y o n g ( p r o f e s s o r ) a bs t r a c t t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n si sa l la c t i v er e s e a r c h d i r e c t i o n , w h i c hh a ss i g n i f i c a n ta p p l i c a t i o ni nc f d i tw i l lb ek n o w nt h a tt h es o l u t i o n m a yb ed i s c o n t i n u o u sw h e t h e rt h ei n i t i a lv a l u ei ss m o o t ho rn o t t h ed i s c o n t i n u o u s s o l u t i o nt a k e sl a r g ed i f f i c u l t yi nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n an u m e r i c a lm e t h o dw h o s e v e c i s m ni sh i g h e rt h a n f i r s to r d e rc a nb r i n g n o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n s n e a rt h e d i s c o n t i n u i t y a l t h o u g ht h es e c o n do r d e rt 、厂ds c h e m ec a nc a p t u r es h o c kw a v ew e l l ，i t d e g e n e r a t e st of i r s to r d e rs c h e m ea tt h ec r i t i c a lp o i n t s ，i ti sn o tah i g ho r d e rs c h e m ef o r c o n t i n u o u ss o l u t i o n s oh o wt oo v e r c o m et h en o n p h ) 7 s i c a lo s c i l l a t i o n sa n di m p r o v et h e r e s o l u t i o nb e c o m e sap r o b l e mi nt h ef i r s tp l a c e b a s e do nt h a t ，i nt h i sa r t i c l ew ed e v e l o p ag v c s c h e m e ，w h i c ht a k e sa c c o u n to ft h er e a s o no fn o n p h y r s i c a lo s c i l l a t i o n s w ep r o v e t h em e t h o dn o to n l yc a nc a p t u r et h es h o c kw a v e ，b u ta l s oh a sg o o dr e s o l u t i o n f o rt h e n o n - l i n e a rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hs o u r c et e r m s ，w eu s et h es e c o n do r d e r r u n g e - k u t t am e t h o di nt h et i m ed i r e c t i o na n dg v cs c h e m ei nt h es p a t i a ld i r e c t i o n a s p l i t t i n gm e t h o dw i l lb ea p p l i e dt ot h es o u r c et e r m s t h en u m e r i c a le x a m p l e si n d i c a t e t h a tt h em e t h o dc a nc o n t r o lt h en o n p h y 7 s i c a lo s c i l l a t i o n sw e l la n dh a sh i g h e rr e s o l u t i o n i t i sb e t t e rt h a nt h es e c o n do r d e rt v ds c h e m e m o r e o v e r , t h em e t h o da l s ot a k e sl e s sc p u t i m e k e y w o r d s ：s h a l l o w w a t e re q u a t i o n s ，g v c ( g r o u pv e l o c i t yc o n t r 0 1 ) s c h e m e ，s p l i t t i n g m e t h o d ，s o u r c et e r m s 第页 论文原创性声明内容： 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 学位论文作者签名：而易融确、 日期：认噼h 月6 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的 的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以 篡麓篓蓑鬻? 鬣：戽办钐 学位论文作者签名乃饧魄西、导师签名：印胁7 矽 日期：乙噼f1 ，月 6 日 日期：勿劢挣，月莎 日 求解浅水方程的群速度控制方法 第一章引言 本论文研究浅水方程的数值模拟问题。浅水方程是双曲守恒律方程的一种特殊 形式，它带有源项。简便起见，我们在论文中很多理论推导都会利用一般的双曲守 恒律方程作为模型。 本章我们主要参考文献【1 ，2 ，2 9 ，首先介绍了选题背景，包括浅水方程数值方法 的发展背景和的研究现状，随后讨论了浅水方程数值模拟过程中的一个主要难题 间断解的改进问题，最后介绍本论文的主要研究内容。 1 1 选题背景和意义 1 1 1 浅水方程的发展背景 浅水方程是计算流体力学中的一类重要方程，是非线性双曲守恒律方程的特殊 形式，它带有源项。浅水方程可应用于河道流量、溃坝决堤、污染物输运扩散、河 道输沙、洪水预报、河口潮汐、涌浪、盐水入侵、近海风暴潮和海上油膜扩散等问 题。 一维浅水方程( 圣维南方程) 是由法国人圣维南提出，它可以很好的描述一维非 恒定水流。后来，人们把圣维南方程推广到二维，在水压力沿水深服从静压分布等 假设下，二维浅水方程可由三维不可压流n a v i e r - s t o k e s 方程作深度平均而得到。 浅水方程由于其广泛的应用背景而颇受关注，浅水方程数值方法的研究也是计 算流体力学和计算水动力学的重要课题。浅水方程的数值方法主要有有限差分法、 有限元法和有限体积法等三大类，而有限差分法是使用最早和应用最为广泛的数值 方法。有限差分法建立在经典的数学逼近理论基础上，方法简便、灵活、易于实现 第l 页 求解浅水方程的群速度控制方法 且具有高度的通用性。早期的研究主要偏重于理论方面，c o u r a n t 、l e w y 和 f r i e d r i c h s 3 】证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的存在性和唯一性；在 研究双曲型方程的特征性时，他们提出了特征线方法，给出了著名的稳定性判别条 件c f l 条件，至今仍有重要指导意义。这些工作结合其他一些数学家研究的偏 微分方程的数学理论，构成了有限差分方法的数学理论基础。然后v o nn e u m a n n 、 r i c h t m y e r 和l a x 等人研究并建立了非线性双曲守恒律方程的数值方法理论，特别 是弱解的理论，为含有涌波和其他间断的流动数值模拟打下了理论基础。v o n n e u m a n n 还提出了数值方法的线性稳定性分析方法，该方法仍在广泛应用。 浅水方程属于非线性双曲型方程，这类方程有个特点，即不管初始值如何光滑， 其解都可能出现间断。早期提出的求解非线性双曲型方程的差分格式，如 l a x - w e n d r o f f 格式和m a cc o r m a c k 格式等，对于没有大梯度的定常光滑流动，计算 结果都能令人满意。但当出现诸如水跃、溃坝波、涌浪等强间断时，数值解会产生 虚假振荡。低阶格式如一阶迎风格式和l a x - f r i e d r i c h s 格式，虽然可以有效消除数 值振荡，但往往过于耗散，造成离散精度下降及间断抹平的现象，从而与物理现象 相悖。处理间断是浅水流动数值模拟的关键，也是难度所在。高分辨率格式就是为 更好的处理间断问题而设计的，所谓高分辨率是指在解的光滑区域至少有二阶精 度，而且涌波过渡陡峭，不产生非物理的振荡。 本论文就是针对浅水方程，重点研究其高分辨率数值模拟方法，并在溃坝问题 中予以应用。 1 1 2 国内外的研究现状 近二十年来，齐次的双曲守恒律方程数值方法的研究取得了很大的进展，发展 了许多有效的计算格式，这些格式已经成功地求解了空气动力学中的e u l e r 方程。 考虑到浅水方程是带有非齐次项的双曲守恒律方程，那么对于齐次的浅水方程，其 和e u l e r 方程的类似性让我们想到可以直接移植空气动力学中的格式来计算它。浅 水方程的源项( 非齐次项) 代表了河道底面坡度和摩擦阻力，故齐次浅水方程只适合 于平底的光滑流动，而我们知道实际的浅水流动都处于重力和摩擦阻力的共同作用 第2 页 求解浅水方程的群速度控制方法 下，需要考虑底面坡度和摩阻的作用。目前空气动力学中的成熟和新发展的格式推 广于非齐次浅水方程是计算浅水方程的热点问题之一。 8 0 年代，h a r t e n 一1 第一次提出高分辨率方法和t v d ( t o t a lv a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 的概念，为差分方法的研究掀开了研究高潮。由于t v d 格式可以保持数值解的单 调性，所以它可以有效的抑制间断附近产生的振荡，该格式已经被广泛的用来求解 浅水方程【5 - 8 】。但是其精度至多只能达到二阶，且在局部极值点处精度只有一阶， 且对多维闯题不存在高于一阶的t v d 格式。所以为了进一步提高格式的精度并改 善格式在极值点处的形态，后来的一些学者( 包括h a r t e n ) 提出了一类新的格式 本质无振荡( e s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y ) 格式。与t v d 格式比较，e n o 格式放宽了 对总变差施加的约束，允许总变差微小的增加。e n o 格式在重构过程中，通过比较 差商绝对值的大小自适应地选择插值模板，以达到高阶的精度，并且避免了虚假的 振荡。s h u 和o s h e r 【9 】在随后的工作中提出了基于点值重构和t v dr u n g e r - k u t t a 时 间离散的通量形式的e n o 格式，这种格式对多维问题计算量会比之前的方法小很 多。 e n o 格式在重构过程中有着一些缺点，如模板选择上以及不利于并行计算等。 基于此，l i u 、o s h e r 等人提出了加权e n o ( w e n o ) 格式【1 0 1 ，它是在网格均值形式的 e n o 格式基础上发展起来的。w e n o 的基本思想是将e n o 格式只选择最光滑模板 改进为每一个可能模板的加权平均，而权值可以度量模板的光滑程度。在求解双曲 守恒律方程中，e n o 和w e n o 格式取得了良好的效果【l l 】。 此外，傅德薰和马延文等人【1 2 】从非物理振荡产生的原因进行分析，提出了群 速度控制方法，其对于振荡有着很好的抑制效果。文 1 3 ，1 4 针对空气动力学方程 组提出了一种高精度的群速度数值方法，文 1 5 】采用群速度直接控制方法重构紧致 型格式求解多尺度复杂流动问题，文 1 6 】利用直接群速度控制方法重新构造具有六 阶精度的紧致型差分格式，达到了改善激波数值解的目的，文 1 7 】利用群速度控制 方法求解了可压缩流体运动问题，文【1 8 】提出t i k 阶群速度控制方法，文【1 9 】针对二 维r i e m a n n 解采用了群速度控制方法进行了数值求解。 第3 页 求解浅水方程的群速度控制方法 1 2 间断解的数值模拟 本小节里我们主要讨论双曲守恒律方程中间断问题的数值模拟方法。 对于双曲守恒律方程，不管初始值如何光滑，解可能是有间断的，对应的物理 问题是流场中激波或切向间断的产生。这一特性使得对其的求解有着它特殊的困 难，流场中间断解的数值模拟成为计算流体力学中所研究的重要问题之一，也是本 文所要解决的问题，所以我们有必要重点研究下间断解的数值模拟方法。 间断解的数值模拟方法主要有两类：间断解装置法、间断解捕捉法。 间断解装置法的基本思想是将间断解作为非连续的边界面来处理m ，此方法 的优点是计算精度高，而且在间断面处满足“熵条件 ，故可以认为所得到的数值 解是唯一的物理解。然而它所求的气体运动的流场结构为已知，这在大多数情况下 是困难的，因为流场事先是未知的。 目前应用最广的是间断解捕捉数值模拟方法。其基本思想不是将间断解分离出 来作为边界处理，而是采用合适的计算方法自动捕捉间断解，在间断解和光滑区域 用统一的计算格式。最初人们采用一阶精度格式捕捉间断解，可得到间断解的单调 解。然而因一阶精度的格式具有较大的差分耗散，使得差分解过激波的梯度被抹平， 其物理特性失真。而且在粘性绕流的计算中，过大的差分耗散将掩盖流场中真实的 物理耗散，关于数值耗散、数值色散等概念我们将在第三章讨论。二阶精度的差分 格式所给出的数值解在间断解附近将产生非物理的振荡，且可能出现非物理的弱 解。根据前人的研究成果我们知道，为了正确模拟间断解，首先要求正确模拟间断 解处的间断条件，以便得到准确的间断解速度，为此差分格式必须是守恒型的。 为了得到双曲守恒律方程的唯一物理解，还要求差分解满足离散熵条件( 见 【2 1 】) ，或者在差分格式中增加人工耗散项，以消除切向间断产生的可能性。2 0 世 纪8 0 年代，h a r t e n 提出了t v d ( t o t a lv a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 格式，使得间断解捕捉 方法有了重大发展，基本上解决了高阶精度差分解在间断附近的非物理振荡问题， 但是其面临一个在局部极值点降阶的问题。国内外很多学者深入研究了激波的数值 模拟问题，提出了c s c m 方法、n n d 格式、m m b 格式、精致差分格式、群速度控 制格式以及耗散比拟方法等，可详见文 2 2 2 5 1 ，这些方法都以高分辨的性能模拟了 第4 页 求解浅水方程的群速度控制方法 间断解。此外，除了有限差分法之外，很多学者利用有限元法和有限体积法等方法， 也提出了一些模拟间断解的数值方法，详见文 2 6 ，2 7 1 。 1 3 本论文的研究内容 在本论文中，我们在前人研究的基础上，创造性的将群速度控制方法应用到浅 水方程的数值模拟问题中去，证明了解的t v d 性质，同时针对源项，我们采用了 一种分裂的方法，同时也证明了其t v d 性质和极大模性质。最后将二者耦合，用 其计算一维以及二维溃坝问题，结果令人满意，证明了方法可以很好的克服间断附 近的非物理振荡并具有高分辨率。 我们研究的浅水方程是一种特殊的双曲守恒律方程，它带有源项，所以可以归 类为带源项的非线性双曲守恒律方程。 由前面的介绍我们知道，非线性双曲守恒律方程一个重要特点是无论其初值函 数是否光滑，其解都可能出现间断。这种间断性给方程的数值模拟带来了很大的困 难，精度高于一阶的数值格式会在间断附近带来非物理振荡。2 0 世纪8 0 年代发展 起来的t v d 和e n o 格式可以很好的捕捉激波，其中t v d 格式在临界点退化为一阶格 式，从而使得它即使对于光滑解也不是高阶的，而e n o 格式也有其自身的一些缺点 ( 模板选择和不利于并行计算等) 。另外t v d 和e n o 格式都是从数学角度出发构造的， 并没有从物理角度出发分析非物理振荡产生的原因。 基于以上，我们主要寻求一种求解浅水方程的有限差分方法，使其既能克服间 断解附近的非物理振荡，另外也能提高精度，使得解具有高分辨率的特点。群速度 方法是从物理角度分析非物理振荡产生的原因，并提出改进间断解的办法。 本文取模型方程为一般的非齐次的双曲守恒律标量方程 挑 苛 一+ 一= j ( “) ( 1 一1 ) 8 ta x 我们研究该类型方程的数值方法。具体来说，对于空间导数，我们使用群速 度控制( g v c ) 方法( 3 1 节有详细介绍) 进行离散，时间导数我们利用二阶 r u n g e r - k u t t a 方法，至于非齐次项，我们采用分裂的方法( 详见3 2 节) 进行处 第5 页 求解浅水方程的群速度控制方法 理。 论文的具体章节安排如下： 第一章介绍了论文研究的背景和意义、浅水方程的国内外研究现状、对间 断解数值模拟的发展等，同时简要介绍了本文的研究内容。 第二章我们介绍本文研究的一些预备知识，其中包括双曲守恒律方程和浅水 方程的理论知识。 第三章为本论文的重点，研究了g v c 格式和分裂方法。首先从差分格式的理 论入手，深入探讨了非物理振荡产生的原因，利用f o u r i e r 分析法对方程进行分析； 接着我们提出了群速度控制方法，并给出了一个具体的群速度控制算子，证明了半 离散方程的t v d 性质；最后，对于源项，我们采用所介绍的分裂方法进行处理， 证明了它的极大模性质和t v d 性质。 第四章利用我们所提出的方法，分别给出了求解一维和二维溃坝问题的一些 算例，计算结果说明了所给方法的好处。 第6 页 求解浅水方程的群速度控制方法 第二章预备知识 浅水方程是带源项的双曲守恒律方程组的特例，所以本章里，我们首先介绍双 曲守恒律方程的概念和其他理论知识，在此基础上引入浅水方程的相关知识。 2 1 双曲守恒律方程的理论 本节介绍双曲守恒律方程组的一些基本理论知识，其中包括双曲守恒律方程组 的概念、r i e m a n n 问题、弱解、熵增条件和双曲守恒律方程的一些常见模型。 考虑一阶偏微分方程 警+ 鼽，) 警扎，) - 0 p d 其中u ( f 是五f 的函数，即驴d = 砂气五o ，垦竺和垦竺分别是u ( d 关于f 和x 的偏 a玉 导数。 方程( 2 - 1 ) 可以写成向量形式 u + 彳虬+ b = 0 ( 2 - 2 ) 其中 u = d i 叫舻 ：l u ( m ) l 6 l 6 2 ： k ，a = 如果矩阵么和向量b 中的每个元素都是常值，则称方程( 2 2 ) 为线性常系数方程；如 果乃= ( 五f ) ，屯= 乞( 五f ) ，则称方程( 2 - 2 ) 为线性变系数方程；如果矩阵彳是向量 【，的函数，那么方程( 2 2 ) 称为拟线性方程；如果b = 0 ，则称方程( 2 2 ) 5 1 齐次的，反 第7 页 为 2 小 坍 聊 ； 2 2 晓 吒呸； ； 求解浅水方程的群速度控制方法 之，为非齐次的。 定义2 1 ( 守恒律方程) 守恒律方程是指可以写成如下形式的偏微分方程 u + f 缈) 工= 0 ( 2 - 4 ) 其中 r 驴1 ) l u = p i i l 驴肘) l l d if ( 2 ) ，f ( = l1 i l 肘) ( 2 5 ) 向量u 称为守恒变量，向量f ：f ( u ) 称为通量，f ( 的分量f 是【，的分量u ( ) 的 函数。 定义2 2 ( 雅可比矩阵) 通量函数尺的雅可比矩阵为 彳( u ) = 丽o f = o f ( 1 ) o u ( m ) o f ( 2 ) o u ( 肼1 o f ( 肺) a f ( 肼) o f ( 肼) o u ( 1 )a u ( 2 )a u ( 脚) ( 2 6 ) 矩嘲啪每个元素旷丽o f ( o ，由链式i 去贝| j 警= 等尝守恒形式的方程 ( 2 - 5 ) - ( 2 6 ) 可以写成拟线性形式 u + 么( u ) 玑= 0 ( 2 - 7 ) 它是拟线性方程( 2 - 2 ) 的一种特例 彳( 【，) 的特征值记为 ( u ) ，九( u ) ，九( u ) ，与a ( u ) 对应的右特征向量记为 k ( = 碍n ，砭n ，碟 2 ，它满足氆叫d ( = 凡艮d ( ，同理可定义左特征 向量，不赘述。 定义2 3 ( 双曲型方程) 方程( 2 4 ) 称为双曲型的，如果它的雅可比矩阵有m 个 实特征值 ( u ) ，九( u ) ，丸( u ) 和m 个线性无关的特征向量k 1 ( u ) ， 第8 页 m 西一 护一护护一舻 俨一护舻一护 求解浅水方程的群速度控制方法 k m ( ，如果m 个特征值都是实的且互不相等，则称方程( 2 4 ) 是严格双曲型的。 下面考虑双曲守恒律方程的初值问题 j u + ，( u ) 菩= 0 ( 2 8 ) 【u ( x ，o ) = u o ( x ) 如果 u ( x ，。) = ( x ) = 【u l , ，x x 三 ( 2 9 ) 其中，是两个不同的常数状态，这样的初值问题称为r i e m a n n 问题。 双曲守恒型方程的初值问题( 2 8 ) 即使初值函数无穷可微，也不可能保证大范围 的连续可微解存在，因此必须推广问题( 2 8 ) 解的定义，允许含有有限间断线的分片 连续可微函数v ( x ，f ) 作为其解。 定义2 4 【3 0 】含有有限间断线的分片连续可微函数u ( x ，f ) ，如果对任意分段 可微的闭回路r 都满足积分方程组 q v ( x , f ) 出一，( u ( x ，t ) ) d t ：0 ( 2 - 1 0 ) f 则称它为方程( 2 - 8 ) 的弱解。 弱解u ，f ) 在它的间断线x = 考( f ) 上满足关系式 f + 一f 一：( u + 一u 一) 旦晕垒，u ：u ( ( f ) o ，f ) ，f ：f ( u ) ( 2 - 1 1 ) a t 此式称为间断关系或r a n k i n e h u g o n i o t 条件。 弱解概念的引进，扩大了求解范围，但这样推广后导致了弱解的不唯一。同时， 我们知道一般的物理问题都要求有“物理意义 的解，即要求有唯一解。从弱解中 选出所要求的唯一解，这就引出了熵条件，其可以对弱解加以限制。 如果存在u 的一个凸函数三( u ) 称为熵函数，和一个u 的连续可微函数及称为 熵通量函数，满足下面的相容条件 昙三( u ) +- t ( u ) = 0 ，( u ) f ( u ) = 丁( u ) ( 2 - 1 2 ) 0 tl “ 称( 厶丁) 为熵对。 第9 页 求解浅水方程的群速度控制方法 定义2 5 【3 1 】 对于任意妒c o ( r r 。) ，熵条件或熵不等式为 ( 2 1 3 ) 设双曲守恒律方程( 2 - 8 ) 的第f 个特征值为九( u ) ，其对应的右特征向量为 k ( o ( u ) = 碍n ，砭n ，碟) 7 ，由微风方程鱼t t t = 丑( u ) ( 江1 ，2 ，聊) 定义的曲线称为 ( 2 - 8 ) 的i 特征线。每个特征速度九( 【，) 又定义一个特征场，称为九特征场。 双曲守恒律方程的r i e m a n n 问题( 2 8 ) 和( 2 - 9 ) 的几个基本波解为：激波、接触间 断和稀疏波。特别的，对于带有源项的浅水方程而言，只有激波和稀疏波两种基本 波解，关于这三种波解的定义可见【1 】。 下面列举一些双曲守恒律方程的特例： 1 ) 线性对流方程 丝+ 口丝= 0 ( 2 - 1 4 ) 夙苏 是最简单的双曲型方程，这里“和厂 ) = 口“是标量，口是常数。 2 ) 无粘b u r g e r s 方程，或者叫激波模型方程 一o n + 甜坐：0 ( 2 - 1 5 ) 研苏 这里“和厂 ) = ”2 2 是标量，该模型方程的c a u c h y 问题常常发展和生成间断解， 特别是所谓的激波，通常利用它来进行间断解方法的设计、分析和模拟试验。 3 ) 一维气体动力学e u l e r 方程 其中 u = 兰 ，f c u ，= ，竹 j e l 甜2 + p u ( e + p ) ，p = ( ) ，一1 ) ( e i p “2 ) ( 2 1 6 ) 这里p ，u ，m = ( p u ) ，p ，e ，) ，= 1 4 分别是密度、速度、动量、压强、单位体积的总内 能和绝热指数。相应的础e m a n n 初值条件为 第l o 页 求解浅水方程的群速度控制方法 期= c 加u v x o ； 仁 许多的间断解方法的设计和构造，都利用e u l e r 方程的r i e m a n n 问题进行守恒 性、可靠性和准确度的数值试验，从而判断和检验方程和格式的优劣。 2 2 浅水方程 2 2 1 浅水流动的物理意义 符合以下条件的均匀流体的流动称为浅水流动【2 9 1 ： 1 ) 有自由表面； 2 ) 以重力为主要驱动力，以水流和固体边界之间及水流内部的摩阻力为主要 耗散力，有时还存在着水面气压场、风压力及地转柯氏力等的作用； 3 ) 水平流速沿垂线近似均匀分布，不必考虑实际存在的对数或指数等形式的 垂线流速分布； 4 ) 水平运动尺度远大于垂直运动尺度，水深小于1 2 波长，垂向流速及垂向加 速度可忽略，从而水压力接近静压分布。 2 2 2 一维浅水方程 式中 一维浅水方程( 圣维南方程) 是圣维南在18 7 1 年提出的。 守恒形式的圣维南方程为 昙u + 丢聊= s ( t o ( 2 - 1 8 ) 第1 1 页 求解浅水方程的群速度控制方法 u = 匀，f = 喜+ g ，s = 兰如+ g 彳。s ，。一影， 其中彳为断面过水面积，q 为断面平均流量，g 为重力加速度，& 为底坡，墨为摩 墨= 雨n 2 q l q i ( 2 1 9 ) 这里r 为水力半径，以为曼宁粗糙系数。厶和l 为压力积分项，分别表示为 = r ( 岫) 6 ( 砌砌小r ( ) 笔生 ( 2 - 2 。) 式中h 为水深，7 7 为断面最低点以上的高度，b 为7 7 相应的断面宽。 对于矩形、三角形或梯形的河道断面，和厶可表示为 1 1 = h 2 ( - 孚+ 了h s l 鸠甜哇警+ 考譬) ， 式中是断面垂向壁面梯度，岛是断面底部宽度。 其中 旦u + 旦f ：s ( 2 2 2 ) 西苏 u = 乞 ，= ：+ 丢g 南： ，s = 羔。& 一号， 方程( 2 2 2 ) 的雅司比矩阵为 止c 2o 群：三 其中甜= 垒c 2 = 丝，e 是河宽。彳的特征值和特征向量分别是 = u + c ，疋= 甜一c ，k n - - ( 1 ，a ) tk 2 = ( 1 ，九) r 。 求解浅水方程的群速度控制方法 2 2 3 二维浅水方程 水流是三维不可压流，n a v i e r - s t o k e s 方程是描述该运动的基本方程。二维的 n s 方程可以完全描述二维浅水流动。 这里列出一般的二维浅水问题的数学模型，我们采用a n a s t a s i o u 等人的比 较紧凑的控制方程形式 u + ( ，( u ) ) ，+ ( g ( u ) ) y5 日( u ) ( 2 2 3 ) f ( u ) = f 7 v f i j ，g ( u ) = g 7 一v g u 舯 u 蚓= “2 办+ 劝2 2l ，g 7 u v h 肚盼u 一 0 h u y 饥 ，h = v h u v h y 2 办+ 办2 2 0 一曲( + ) + 办c ， 一曲( + s o y ) + 办c ，“ 这里“x ，叱，分别是x 方向和y 方向的流速空间变化率，( ，妨) 分别是河床的摩 擦效应项，而( ，) 则是倾斜效应项，c 是c o r i o l i s 参数，是涡流粘度。 在第四章里我们会具体讨论形式更为简单的二维浅水方程。 第1 3 页 求解浅水方程的群速度控制方法 第三章g v o 格式和分裂方法 这一章是本论文的研究重点。首先通过对差分格式的理论分析给出几个重要 的概念，紧接着从差分格式的物理角度分析，指出非物理振荡产生的原因，紧接着 提出了g v c 格式；最后介绍了源项的处理办法一分裂方法，时间上我们简单讨 论了二阶r u n g e r - k u t t a 方法。 3 1 群速度控制( g v c ) 方法 当今数值方法的研究正在向方法内部的、固有的、微观的性质深入着，也就是 说更进一步地要求数值方法的精细、高分辨率和自适应性效果。比如说，同一个微 分方程，可以设计许多的差分格式，这些格式有些是稳定的、可靠的，而有的则是 不稳定的、不合理的。即使那些稳定的格式，也有不同的表现形式，例如有的表现 出很强的光滑效果，即呈现很强的数值耗散性效应；有的则可能导致在数值解梯度 大的地方产生寄生或者虚假振荡，呈现很强的数值色散性效应；特别是，有的格式 计算的数值解波形，或者波包，还会发生位置漂移、超前移位或滞后移位现象，这 就是所谓的群速度效应问题。 有限差分方法的稳定性和收敛性理论研究奠基性工作属于1 9 2 8 年c o u r a n t 、 f r i e d r i c h s 和l e w y 。2 0 世纪中期，v o nn e u m a n n 和r i c h t m y e r 等提出和发展了f o u r i e r 分析方法，使有限差分的理论分析工作得到了迅速的发展和广泛的应用。6 0 年代后 期，h i r t 和f r o m m l j 刘等人深刻地认识到有限差分格式内在的数值耗散性和数值色 散性效应的重要，分别提出了“启发性的判稳理论 和“减弱数值色散效应方法， 前者利用差分格式的二阶数值耗散余项的正负，来判断差分格式的稳定与否；后者 提出利用不同格式的组合，减弱或者消除数值色散效应引起的振荡和非线性不稳定 性。傅德薰和马延文等人中从数值方法中非物理振荡产生的原因( 群速度的不均一性) 第1 4 页 求解浅水方程的群速度控制方法 出发，提出了对群速度进行控制的g v c 方法。 3 1 1 非物理振荡产生的原因 考虑如。下的模型方程及箕半离散方程 罢l要：o，厂=他)(3-1)-i-一一= r = 7 z - a缸 “ 。、 丝+ 互：o ( 3 - 2 ) 现厶x 这里e 缸是一阶导数o f 苏的逼近，定义差分算子如下 砖乃= ( 如一乃) ，硭= ( + ) 2 ，= ( 3 - 3 ) 下面我们利用f o u r i e r 分析法对差分方法进行理论分析。 考虑厂 ) = 口甜及初值条件”( x ，o ) = e x p ( i o c ) ，这里后代表波数。不难得到方程 ( 3 1 ) 的精确解 u ( x ，f ) = e x p i k ( x - a t ) 】 ( 3 - 4 ) 由此可知，对于具有不同波数的波，他们都以相同的速度口传播。令 “j = e x p ( i k x j ) ，弓= a k 。e x p ( i ) ，乞= 砟+ 啦 ( 3 - 5 ) 我们知道初值条件为叶= e x p ( 吗) 的半离散方程( 3 - 2 ) 的解是 啪) = e x p ( 一口知e x p i k ( x j 一口去f ) 】 ( 3 - 6 ) 对比( 3 - 6 ) 和( 3 4 ) ，可知对于任意的| j ，k a x t r ，要求有t 缸一0 ，t k a x 一1 。口砖 和砖决定了差分格式的数值耗散与色散性质。根据口t 的正负来判断格式为正耗散 还是负耗散，a k r = o 则格式是非耗散的，负耗散型格式数值上是不稳定的，数值耗 散主要影响振幅的大小。数值色散效应是产生振荡、引起波传播速度不均一的根本 原因。 波的群速度，或简称群速，是指波振幅外形上的变化( 称为波的“波包”) ，其 求解浅水方程的群速度控制方法 在空l 司中所传递的速度。根据以上的讨论，本文中我们定义群速度为戤d a ，其 中a = k a x 。对于( 3 - 1 ) 的精确解( 3 4 ) ，墨= 仅，戤i d a = 1 。n ( 3 6 ) 的分析我们不 难发现，由于差分离散的误差导致对不同的波数k ，其传播速度不同，从而导致群 速度不均一，进而引起数值解产生非物理振荡。所以为了改进间断解我们必须对群 速度进行控制，这将在下- d , 节具体讨论。 定义3 1 【1 2 】如果搋d a 1 ，0 口 1 ，o a f ，则格式称为快格式，相应的差 分算子称为快算子；若存在使得当0 k a x x 1 ，而当 k o a x k a x 万时纸d a 1 ，那么格式称为混合格式，相应的差分算子称为混合 型算子。 下面我们通过几个具体的差分格式例子来说明上面所介绍的内容： ( 1 ) 二阶中心差分：c = 硭乃 代入半离散方程( 3 - 2 ) ，解常微分方程得到方程的解为 删= e x p 政( 。一口1 s i n f k a x f ) 】 ( 3 7 ) 容易看出i = 0 ，砖= s i n k a x ，由戤d o t = c o s a o ，格式是f 耗散的 出d 口：2 ( c o s a1 1 2 + 三， 5 0 口 1 ，此时掉子是快算子：当 2 2 2 j 。 ( 矿u 。) 2 ， 且 j ( u j 一吩- 1 ) 2 ( 吩一吩一z ) 2 ，从而得到专三詈 扣劲州狐 由以上的分嗣知嚏 o 成立，其余三种情况可类似证明，在这里不赘述。 由引理3 1 - j - 知，此时( 3 1 3 ) 的解具有t v d 特性 更简单的我们可以知道此定理对于( 3 1 2 ) 同样成立。 3 2 源项的分裂处理 这一章我们考虑带有源项的双曲型方程 罢+ 口o u ：s ( “)一+ 口= i “l a 出 、7 第2 0 页 ( 3 1 9 ) 其中s ( 甜) c ”( r ) 是l i p s c h i t z 函数( 扰2 ) ，k 是v s 的l i p s c h i t z 常数并且s ( o ) = 0 。 首先我们讨论一下时间离散考虑简单的e u l e r 前差： 甜”1 = “”+ 儿( 材“) ( 3 - 2 0 ) ) 如( 3 1 1 ) 所定义。( 3 2 0 ) 在一定模意义下是稳定的，如果有一个合理的时间步 长约束，即a t 气，则有 + 龇) ) l l - - i i ”0 ( 3 2 1 ) 这里的模可以取为总变差，因此又可以称为t v d 时间离散。我们主要讨论 r u n g e - k u t t a 型的时间离散格式： p=心甜u+址州蚋)，研(3-22)i气 = o 7 【甜( 。) = 材“，甜( m ) = 材“+ 1 引理3 2 【3 2 1 ：r u n g e k u t t a 型的时间离散格式( 3 2 2 ) 是t v d 的，如果 咿。，f l o _ 0 , 其中c2 呼卺称为高阶时间离散的c f l 系数 证明：如果系数a ，o ，岛o ，则( 3 - 2 2 ) 中的离散格式恰好是e u l e r 前差的凸组合， 且t - ! a 扩：1 ，如果& 卢。雠，则牡1 i 卜0 ( ，+ 出卢。) ”( 。4 8 i t ( o ) 0 ，进一步，如果 皇l 照址馘， a 2 0 由于a 2 0 + 口2 l = 1 ，有 弦2 0 = 忙加( ，+ 出色。a ：。三) 甜( o ) + a ：( ，+ & 及，a z l ) u o ) i i - - a 2 0h & 氏a 2 0 ) 川卜：扣+ a t e 2 t a 2 ，l ) 叫i a ：。i l u , o , i i + a ：，0 u l l - - - - - a 2 09 甜c 。9 + 口：。i 卜。i l = 8 “( 。0 由此可以进一步推出忖州l | ”8 ，从而得证。 同样的，可以定义l = b ，同样得到”1 k 眇”岵。 第2 l 页 时觚 一 时 风一 一 查堡鎏查查垂塑登垄壅丝型查鲨 一一 _ _ - _ _ _ ，- 一一一 将方程( 3 1 9 ) 分裂成下面的形式 + 口塑；0 + 口一。 苏 = s ( ”) ( 3 - 2 3 ) 对于( 3 2 3 ) 第一式，时间上使用二阶t v dr u n g e k u t t a 格式，缸为时间步长，空间 算子三如( 3 1 1 ) d p 割, ，即得 麓善o m ， 协2 4 ， k + 知m ， 。2 4 对于( 3 2 3 ) 第二式，我们处理为l d n 矿+ l - - 订n = 互1s ( 矿) + 三1s 州) ( 3 - 2 5 ) 定理3 3 ：如果成 0 ， 1 一去觚( g ) l + l ，a t k 所以g ( x ) 是一个严格单调递增的函数，从而方程( 3 2 5 ) 有唯一解 此外 l g ( x ) i h + 丢址卜o ) i + 圭址i s ( g ( x ) ) i h + 丢肛h + 圭疵i g ( x ) l ， 1 + ! 鹰 整理得i q ( x ) i + i x l ， l 一一f 七 一 第2 2 页 求解浅水方程的群速度控制方法 所以 1 + ! 龇 i l u , l