（计算数学专业论文）随机代数riccati方程的数值解法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了解随机代数r i c c a t i 方程的相关问题 首先，本文介绍了随机代数r i c c a t i 方程的背景以及来源，然后简单介绍了已经存 在的解经典的代数r i c c a t i 方程的方法 在本文的第二部分，本文介绍了些解随机代数r i c c a t i 方程时需要用到的定义、 引理等基础知识然后，本文详细阐述了如何利用n e w t o n 法解随机代数r i c c a t i 方程， 并研究了该算法的收敛性。 第三部分是本文的核心部分利用n e w t o n 法解随机代数r i c c a t i 方程时，迭代的每 一步需要求解一个混合型l y a p u n o v 方程，然而目前多用迭代法解该混合型l y a p u n o v 方 程，得到的解是不精确解，会对n e w t o n 法解随机代数r i c c a t i 方程产生影响，因而实际上 是不精确n e w t o n 法在这一部分，本文主要分析了不精确n e w t o n 法解随机代数r ic c a t i 方程的收敛性分析表明当l y a p u n o v 方程的近似解的误差在一定范围内时，不精确 n e w t o n 法解随机代数r i c c a t i 方程仍然收敛而且，当误差还满足一定条件时，仍然有二 次收敛性在这部分的最后，本文介绍了几种解上述混合型l y a p u n o v 方程的迭代法 在第四部分中，本文构造了一种新的迭代算法解随机代数r i c c a t i 方程，并证明了该 迭代算法收敛到随机代数r i c c a t i 方程的解这种新迭代算法的优点是每一步需要解的 方程为普通l y a p u n o v 方程，比混合型l y a p u n o v 方程要简单缺点是收敛速度较慢在这 一部分的最后，本文进行了数值试验，对n e w t o n 法、不精确n e w t o n 法和新的迭代法解 随机代数r i c c a t i 方程的收敛速度进行了比较 关键词；随机代数r i c c a ti 方程；n e w t o n 法；混合型l y a p u n o v 方程；不精确n e w t o n 法；迭代法；二次收敛性。 随机代数r i c c a ti 方程的数值解法 n u m e r i a lm e t h o d sf o rs t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o b l e m sr e l a t i v et ot h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n f i r s t , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n db a c k g r o u n do f t h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cf i c c a t i e q u a t i o n a l s o ，w eg i v es o m em e t h o d st os o l v et h ec l a s s i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o nw h i c h s o m eo t h e rr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e d i nt h es e c o n dp a r t ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hw o u l db eu s e dw h e nw e s o l v et h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n t h e nw ep r e s e n tt h ep r o c e s so f n e w t o n s m e t h o df o rt h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o ni nd e t a i la n ds t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h e n e w t o n sm e t h o d 耶1 et h i r dp a r ti st h em o s ti m p o r t a n tp a r to ft h i sp a p e r w ef m dt h a ts o m em i x e d - t y p e l y a p u n o ve q u a t i o n sn e e dt ob es o l v e dw h e nw es o l v et h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a f ie q u a t i o n u s i n gt h en e w t o n sm e t h o d a tp r e s e n t ，u s u a l l yw eu s ei t e r a t i o nm e t h o dt os o l v et h e m i x e d - t y p el y a p u n o ve q u a t i o na n dw i l lg e tt h ei n e x a c ts o l u t i o n s o ，t h i sw o u l di m p a c tt h e s o l u t i o no f t h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o na n dt h en e w t o n sm e t h o db e c o m e st h e i n e x a c tn e w t o n sm e t h o d t h e ni nt h et l l i r dp a r t ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h ei n e x a c t n e w t o n sm e t h o df o rt h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n 、f i n dt h a ti ft h ee r r o ro ft h e s o l u t i o no fm i x e d t y p el y a p u n o ve q u a t i o ns a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s ，t h e nt h ei n e x a c t n e w t o n sm e t h o df o rt h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o ns t i l lc o n v e r g e a l s o ，g i v e nm o r e q u a l i f i c a t i o n ，t h ec o n v e r g e n c ei sq u a d r a t i c i nt h ef o l l o w i n g ，w ei n t r o d u c es e v e r a li t e r a t i o n m e t h o d sf o rt h em i x e d - t y p el y a p u n o ve q u a t i o n i nt h ef o u r t hp a r t ，w em a k eu pan e wi t e r a t i o nt os o l v et h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t i e q u a t i o n ，a n dw ep r o v et h i sn e wm e t h o dc o n v e r g e st ot h es o l u t i o no ft h i se q u a t i o n 1 1 1 e a d v a n t a g eo ft h i sn e wm e t h o di st h a tw en e e dt os o l v ear e g u l a rl y a p u n o ve q u a t i o nw h i c hi s e a s i e rt h a tt h em i x e d t y p el y a p u n o ve q u a t i o n h o w e v e r , t h er a t eo ft h en e wm e t h o d s c o n v e r g e n c ei ss m a l l e rt h a nt h eo t h e rm e t h o d s i nt h ee n do ft h i sp a p e r , w eg i v es o m e n u m e r i c a le x a m p l e sa n dd e v e l o pt h ea r i t h m e t i cc o m p a r eo ft h e s et h r e em e t h o d s k e yw o r d s ：s t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ；n e w t o n sm e t h o d ； m i x e d t y p el y a p u n o ve q u a t i o n ；i n e x a c tn e w t o n sm e t h o d ；i t e r a t i o nm e t h o d ； q u a d r a t i c 一i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 遨丛数丛丝凼壶礁篮数碴鲜酋 作者签名： 通猛日期：斗年l 月上i _ 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：塑盛型垡数坠幺豳壹煎亟趋j 玺硷毪 作者签名：捌箍日期： 幽年上月l 日 导师签名：茎! 幽主互 日期：猃! 拿年1 月王日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 。1 问题背景及国内外的研究情况 考察如下随机线性二次( l q ) 最优控制问题： m i ne x ( ) r 纷( 小掰( ，) 7 r 掰( f ) 西 s t 出( ，) = 血( ，) + 鼬( f ) 衍+ 白( f ) + d 甜( f ) 咖( r ) 4 0 ) = r ” ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中a ，b ，c ，d ，q ，r 是常数矩阵，彳，c r 蹦”，b ，d r “”，q s ”，r s 肼；w ( t ) 是定义 在完备概率空间上的一维标准布朗运动，te 【o ，) ，w ( o ) = 0 ；“( ) 是开环控制这里表 示 以实对称矩阵的集合 解上述随机线性二次最优控制问题的一个有效方法是求解如下的随机代数r i c c a t i 方程( s a r e ) 的最大解： j ，( x ) 。o( 1 4 ) 【r + d 丁x d 0 其中，( x ) = 彳7 x + 黝+ q + c 7 船一( 船+ c f 如) ( r + d 7 肋) _ ( 矿x + d 丁x c ) ，彳，b ，c ， d ，p ，r 定义同上 无穷区间l q 最优控制问题最先被k a l m a n 1 提出，是一类重要的最优控制问题，在理 论和应用方面都有极其重要的意义而随机l q 最优控制问题则是由w o n h a m 2 开创，之后 很多学者开始进行研究并广泛认为该理论已经完善，可以参见 3 ，4 ，5 然而，在e 6 中 c h e n 和z h o u 等发现一类无穷区间上的带控制矩阵r ( 不定矩阵) 的随机l q 最优控制问题 仍然适定，这使得很多学者又开始研究这一类随机l q 最优控制问题研究发现在r 是奇 异或者不定的情况下的随机l q 最优控制问题有着广泛应用，例如有价证券选择和控制污 染等方面，具体内容可以参见 7 ，8 ，9 当c = d = 0 时，l q 最优控制问题退化为确定性问题，研究表明这时可以通过解经典 代数r i c c a t i 方程( a r e ) 么r 工+ x a 一戈鼹一1 8 7 x + p = 0( 1 5 ) 来求解l q 最优控制问题这时，虬( ，) = - r - 1 8 7 x + x ( t ) 是该问题的最优控制a r e ( 1 5 ) 是 近代蜀、也鲁棒控制和最优控制理论中较简单也是被研究的较完善的二次矩阵方程， 其数值求解在过去的三十多年中一直是数值代数界和控制论界关注的重要课题综观 随机代数r i c c a t i 方程的数值解法 a r e ( 1 5 ) 解法的研究历史，常见的方法归纳起来有：迭代法、矩阵符号函数法、标准型法、 不变子空间法等，具体内容可以参见 1o 下面简要介绍一下几种有代表性的a r e 的数值 解法 1 迭代法n 0 3 这类方法的研究较早，其想法是把r i c c a t i 方程看成关于x 的非线性代数方程组，用 代数方程组的迭代法予以解决分为简单迭代法和n e w t o n 迭代法 i 简单迭代法 4 ，五+ t + 鼍+ l a = 一q + x b r - 1 b 丁五 女= o ，1 ，2 如果a 是稳定的( 彳的特征值的实部皆小于零) 则取= 0 时 五) ：。收敛于 r i c c a t i 方程的对称解。 这种方法的优点是形式简单，有全局收敛性但不足之处也是明显的，即每步要解一 个l y a p u n o v 方程，而该类方程的数值解法尚待完善，且收敛是线性的，速度也不快 i i n e w t o n 迭代法 记 ，( x ) = a7 彳+ 黝+ q - x b r - 1 b r x 贝t jj ( x ) = 0 的n e w t o n 迭代为 k + 。= k 一( 丘) 一，( 也) 即： ( 么一础叫召7 ) 2 也卅+ k + 。( a - b r 一1 b r x k ) = x k b r 一b 五一q 如果破1 b r 半负定，么，一龇1 艿丁) 可稳( 存在矩阵f 使得a b r - 1 b f f 的特征值的实部 皆小于零) ，( 义) 2o 有对称解( j ( ) o 表示( x ) 是半正定矩阵) ，那么 五) ：。收敛 于r i c c a t i 方程的最大对称解置( 设置s ”且j ( 置) = 0 ，若对任意满足a ( x ) 0 的 x s ”都有以x ( 即置一x 对称半正定矩阵) 成立，则称墨是方程j ( x ) = 0 的最大 对称解) 可以参见文献 1 0 2 矩阵符号函数法n 0 1 设m = 名二r 三卜号函数她n c 砧脚c 耻瞪甜这里 s ，r 斛“，贝f l a r e ( 1 5 ) 的可稳解( a b r - 1 8 7 x 的特征值的实部皆小于零) 满足 0 小= 一 1 n 6 ， 大连理工大学硕士学位论文 所以若a r e ( 1 5 ) 存在可稳解，解方程( i 6 ) 即可得到 计算s g n ( m ) 可用如下的n e w t o n 迭代得到： 形( o j - m 似+ 1 ) = w 似) 一号( 形o ) 一( 沙似) 。1 ) ，七= o ，l ，2 ，) i 、 ，。 7 这类方法的计算量较大，对初始矩阵的选取要求较高，否则就会不收敛或收敛得很 慢，因此本方法适合和别的算法结合使用 3 标准型法n 町 标准型法是指把a r e ( i 5 ) 通过变换转化为另一代数r i c c a t i 方程 j r 贾+ 爻盈+ 委一2 4 2 = 0 来求解，其中碧= f r 灯，j = f - 1 4 f ，6 = f - 1 b r 1 8 7 1 f ，亘= f 7 1 妒为某种意义下的标 准型或某种程度的稀疏矩阵该方法的数值困难是相当明显的，如果f 的条件太差，变换 后的方程将很不精确，甚至连稳定性的判断都很困难 4 不变子空间方法n a r e ( 1 5 ) 的系数矩阵可以构造出一个2 n x2 n 阶的h a m i i t o n 矩阵 日= 匕一岁h 弘日的不变子蛳则奇在人使得 匕一，j 帆l z jh k z j【- 一q 一么r 可以证明x = 眩_ 1 即为a r e ( 1 5 ) 的解，则解a r e ( 1 5 ) 即转化为求解日的不变子空间 若c 0 ，d 0 ，确定性的l q 最优控制问题变为文章最开始讨论的随机l q 最优控制 问题，在这种情况下解决该问题需要解决上述的s a r e ( 1 4 ) 求问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的最优 控制即需要求s a t e ( 1 4 ) 的最大解若丘为s a r e ( 1 4 ) 的最大解，则根据经典的l q 理论， 材( f ) = 一( r + 置d ) 叫( b r 置十x + c ) x ( t ) 是随机l q 最优控制问题的最优反馈控制由 于s a r e ( 1 4 ) 有一个约束条件尺+ d 7 1 x d 0 并且( r + d r 如1 叫中包含了未知变量彳，这 使得解( 1 4 ) 是非常困难的研究发现解经典a r e 的方法，如矩阵符号函数法、不变子空 间法等都无法解s a r e ，因而必须寻找其他方法r a m i 和z h o u 在 1 1 中指出s a r e ( 1 4 ) 一 定存在唯一的最大解皿，并且证明了可以通过研究线性矩阵不等式( l m i ) 的半正定规划 来解决方程( 1 4 ) 之后，z h e n g 等人在 1 2 中证明了应用牛顿法可以有效解决s a r e ( 1 4 ) ， 随机代数r i c c a t i 方程的数值解法 同时解的收敛性也是二次的下面简单介绍一下利用l m i 来解方程( 1 4 ) 的方法，n e w t o n 迭代法将在下一章作具体介绍 l m i 的半正定规划方法1 ： 若存在z 满足j ( z 1 0 ，r + d 7 1 z d 0 ，那么半正定规划问题( s d p ) ： m a x v r ( x ) s t m ( x ) o ，x - z 0 的唯一最优解是s a r e ( 1 4 ) 的最大解 其州彬示z 抛雌) = r 笛笏羔7 嬲嚣2i 1 。2 本文的主要工作 由于s a r e 的复杂性使得求解该方程较困难目前，在前述介绍的解决a r e 的多种方 法中，只有迭代法能够比较有效的解决s a r e 本文即是针对利用迭代法解决s a r e 展开的 下面是本文的主要工作： 首先，本文介绍了有关s a r e 的解的一些性质以及要解s a r e 时将会用到的一些定义、 引理其次，本文详细介绍了n e w t o n 法解s a r e ( 1 4 ) 的过程在这部分读者将会发现在利 用n e w t o n 法解s a r e ( 1 4 ) 时必须要解一系列形如m7 1 彳+ x m + n 7 删= 尸的混合型 l y a p u n o v 方程，其中m ，尸皆为已知矩阵通常情况下要用迭代法解该混合型 l y a p u n o v 方程，因而得到的解一般是不精确解，此时会对n e w t o n 法解s a r e ( 1 4 ) 的收敛 性产生影响接下来本文主要讨论混合型l y a p u n o v 方程的解的误差对s a r e ( 1 4 ) 的解的 影响情况，即研究不精确n e w t o n 法解s a r e ( 1 4 ) 的收敛性本文最终证明当该误差满足 一定条件时，不精确n e w t o n 法得到的解的序列仍然收敛到s a r e 的最大解丘而且当误 差还满足某个条件时，仍然具有二次收敛性最后，本文提出了一种新的迭代法解s a r e ( 1 4 ) ，并证明了该算法的收敛性 大连理工大学硕士学位论文 2n e w t o n 法解s a r e 本文将用到以下符号： x o ( 0 其中，( z ) = 彳7 z + 五二4 + q + c 7 k 一( 叉君+ c r 如) ( 露+ d 7 x d ) _ 1 ( b 7 x + d r x c ) ，么，b ，c ， d ，q ，尺是常数矩阵，a ，c r ”，b ，d r 肼”，q s ”，尺s 小 2 1 预备知识 这一节介绍用迭代法解s a r e ( 2 1 ) 时要用到的一些基本的定义、引理及性质 定义2 1 ：设么= ( ) r ，b = ( ) r 舢，则称如下的分块矩阵 彳pb = 口1 l b0 1 2 b 臼1 。b a 2 l ba 2 2 b a 2 月b 1 b 2 b a m n b r 咿埘 为彳和b 的e r o n e c k e r 积 定义2 2 ：对任意的a = ( a ，) r 梢“，定s ( v e c ( a ) 为如下的向量 v e c ( a ) = ( q l ，l ，q 2 ，2 ，q 。，。) 7 ， 称其为矩阵的拉直运算 容易证明k r o n e c k e r 积与矩阵的拉直运算有如下关系： 弓f 理2 1 “们：设a r m x ”，b r “。“，x r 脚。”，贝i j ( 1 ) v e c ( a x b ) = ( b 7 oa ) v e c ( x ) ( 2 ) ( 彳固召) 1 = a r 圆b r 随机代数r i c c a t i 方程的数值解法 ( 3 ) 若么足“”，召r 雕”，v e c ( a ) 7v e c ( b ) = 妒( 么7 1 b ) 引理2 2 n 叼：设西，甲，g r 舢 ( 1 ) 工s ”是方程 7 彳+ x o + 甲r x w = g( 2 2 ) 的解当且仅当v e c ( x ) 是下述方程的解 ( 厶圆7 + 7 圆厶+ 甲丁 甲r ) v e c ( x ) = v e c ( g ) 一( 2 ) 如果存在x 0 使得7 x + x o + 甲丁胛 0 ) 都有墨x ，则称以为代 数系统q 的最大解 如无特别说明，本文沿用置代表s a r e ( 2 1 ) 的最大解 定义2 4 3 ：若存在常数矩阵三使得对于任一个初始值，如下方程 f 出( f ) = ( 彳+ 艿己) x ( f ) 刃+ ( c + d 互) x ( ，) 谚渺( f ) 【x ( o ) = x o r ” 的解满足烛e x ( f ) 7 x ( f ) = 0 ，则称系统( 1 2 ) 的反馈控制甜( r ) = 厶( ，) 均方稳定 如果系统( 1 2 ) 存在一个形如u ( t ) = 厶( f ) 的均方稳定的反馈控制，则称系统( 1 2 ) 均 方稳定，其中三是常数矩阵 引理2 3 1 ：设系统( 1 2 ) 均方稳定，则 ( 1 ) 存在矩阵三对于任意的矩阵y 都存在一个唯一的矩阵x 是如下方程的解 ( a + b l ) 7 x + x ( 么+ 说) + ( c + d 正) r r ( c + d 正) = 】， ( 2 ) 反馈控制u ( t ) = 缸( f ) 均方稳定当且仅当不等式 ( a + b l ) r x + 。v ( 彳+ b ) + ( c + d ) r x ( c + d l ) 0 大连理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 若x = x s ”ij ( x ) o ，r + d 7 x d 0 ，则s a r e ( 2 1 ) 有最大解丘而且， 反馈控制甜( f ) = 一( 天+ d r 置d ) 1 ( 墨+ d r 置c ) x ( f ) 是均方稳定的 定义2 5 ：若 五 c s ”，且五+ 。墨，则称矩阵序列 五) 单调下降；若存在矩阵 j 满足贾以，k = l ，2 ，称 置) 有下界同理可定义序列 k 单调上升和 五 有上界，单调下降和单调上升序列统称为单调序列 引理2 4 ：若对称矩阵序列 五) 单调有界，则必存在矩阵z s ”满足 l i m 鼍= 兄 丘+ 证明：只证明单调下降有下界的情形 设v xe r ”，已知 邑) 单调下降有下界，则数列 x 7 五0 单调下降有下界，所以 x r x x ) 为c a u c h y 列，即v 占 o ，存在正整数，使得尼 时x r ( 五一咒+ 。x l 时， 矿五v 一1 1 t x k + m v l 2 = 矿( 鼍一五+ 。) v 1 2 u t ( 以置+ ，) 甜v 7 ( 也一以+ 。) v 占2 即数列 u t 五v ) 为c a u c h y 列特别的，数列 衫勺) 收敛 令 x u 2 娅e j x k e j 丘= ( ) ，f ，j = l ，2 ，z 那么 ! 昀五= 置 七 2 2n e w t o n 法解s a r e 的收敛性分析 这一节中，我们将分析s a r e ( 2 1 ) 的n e w t o n 迭代算法是否收敛以及若收敛，其收敛 速度如何 j ( x ) = 0i 拘n e w t 。n 迭代格式为：置+ ，= 置一( ) ，( 墨) 即： 瓦( 爿0 。一置) = 一，( 墨) ，f = o ，1 ，2 ， ( 2 3 ) 随机代数r i c c a t i 方程的数值解法 其中为算子了在x q = x s ”ir + d r 腮非奇异的 处的一阶强微分直接计算可 得： j ：s ”js ”，0 ( 日l = 么：h + h a ，+ c r h c ， 4 、， 以= a - b ( r + d 7 x d ) 。1b r x + d ，x c ) ，q = c - d ( r + d r x d ) 叫( x + d r x c ) 将( 2 3 ) 式进行化简得： a ? x i + x i a i + c ? x c i = - q - z ，t r l i i = k 2 ， 0 2 曲 其中4 = 么+ b ，c ：= c + d ，厶= 一( 足+ d 7 置一，d ) _ ( b 7 叉l ，+ d ，天o 。c ) 下一步就是选取初始值，我们按如下的步骤选取五 首先，要求系统( 1 2 ) 均方稳定那么根据定义2 4 ，可以选取常数矩阵厶使得系统 ( 1 2 ) 的反馈控制甜( f ) = 厶x ( f ) 均方稳定根据引理2 3 ，方程 ( a + b l o ) 7 x o + x o ( a + b l o ) + ( c + d l o ) r x o ( c + d l o ) = 一q l o r 慰0 存在唯一解) c o 我们就将x o 作为n e w t o n 迭代的初始解令以= 彳+ ，c o = c + d l o ，上 式变为 4 7 k + k 4 + c 0 7 c o = 一q 一厶r 砜 ( 2 5 ) 综上，( 2 5 ) 式和( 2 4 ) 式即为n e w t o n 迭代算法 下面分析n e w t o n 迭代算法的收敛性有如下定理： 定理2 1 1 ：设系统( 1 2 ) 均方稳定，且 x = x s ”ls ( x ) o ，r + d7 x d 0 ，z x 则：对于f _ l ，2 ， ( 1 ) 反馈控制u ( t ) = 厶x ( f ) 是均方稳定的 ( 2 ) 按迭代格式( 2 5 ) 式和( 2 4 ) 式得到的序列 置) 三。收敛，而且 置) ：。满足 z 一。置置+ l z ，且! 硒工= 置 证明：z x ，即：s ( z ) 0 ，r + d 厂z d 0 令m z = b t z + d t z c ，n z = r + d t z d 那么直接计算可得： s 暂( x o - z ) + ( 一z ) a o + c ：( x o z ) c o ( 2 6 ) = 一j ( z ) 一( z 厶+ a 幺) rm 1 ( z 厶+ m z ) 0 ， 所以有r + d 7 k d r + d r z d 0 对任意的k 1 ，假设k 一1 时反馈控制u ( t ) = 厶一x ( ，) 均方稳定，并且x k l z 接下来证明z ，( ，) = 厶x ( ，) 均方稳定，鼍 z 由假设可知r + d 7 1 也一l d r + d r z d 0 ， 直接计算可得： 名( 以一，一z ) + ( 五一- z ) a k + ( 五一。- z ) g = 一( 岛一厶一1 ) 7 ( 冗+ d7 鼍一，d ) ( t k ；) 一了( z ) 一( z 厶+ 畋) 7 蛭1 ( z 厶+ 心) z ，则由引理2 3 和( 2 7 ) 式知：甜( ，) = z , x ( t ) 均方稳定 又有 ( 五一z ) + ( 鼍- z ) 4 + 口( 五- z ) g = 一，( z ) 一( 心厶+ 鸩) r 蛭1 ( z 厶+ 鸩) z 综上，根据数学归纳法 “( f ) = 厶x ( f ) 均方稳定，置 z ，净o ，1 ，2 直接计算可得对f = l ，2 ， 衫( 置一。一置) + ( z 一。一z ) 4 + 口( 耳。一墨) g = 一( 厶- l , 一，) 7 ( 尺+ d r z 一。d ) ( 厶- l , 一。) o ( 2 8 ) m t - u ( t ) = 厶z ( f ) 均方稳定，所以由引理2 2 和2 3 知：置一。一置0 ，即 置一，置 ( 2 9 ) 综合x z 和( 2 9 ) 式可得： x i 1 置 z ，i = 1 ，2 ， 即：迭代序列 置) ：。单调递减有下界，由引理2 4 可知 z ) ：。收敛， 设 l i m x j = x 。 + 接下来证明立= 丘 令 厶- - - ( r + d r 墨d ) 。1 ( 置+ d ，x c ) 随机代数r i c c a t i 方程的数值解法 对于i = 1 , 2 ，有 a t ( 置一。一置) + ( z 一。一置) 4 + 掣( z 一。一置) e = 一( 厶一l , - ，) 7 ( 火+ d 7 置一，d ) ( 厶一o ，) 一j ( 置) 一( t 一丘) 7 1 ( 尺+ j d7 置d ) ( 丘一丘) - - ( l , 一o 。) 7 1r + d 丁置一。j d ) ( 厶一o 。) 一( 丘一厶) rr + d r 墨d ) ( 厶一厶) 0 已知z f ( ，) = l , x ( t ) 均方稳定，由引理2 2 和2 3 得到 墨一l 丘，i = 1 ，2 ， 于是 毫= l i m 置丘 ( 2 1 0 ) 令 延= r + d t 文。d 由( 2 1 0 ) 式知定尺+ d r x + d 0 在( 2 4 ) 式两边令i 0 0 ，得到 么一喀1b 丁毫+ d r 毫c ) 7 盅+ 文 4 一喀1b r 毫+ d 7 定c ) + c 一喀1b ，毫+ d ，幺c ) 7j a c 一噙1b 7 毫+ d 7 z c ) = 一q 一 詹1b 7 1 定+ d r 毫c ) rr 露1 b 7 立+ d r 毫c ) 即 彳7 置+ 丘彳+ 9 + c r z c - ( 耍, e + c ，盅d ) 露1b r 毫+ 毫c ) = o 也就是了( 毫) = o 由( 2 1 0 ) 式和且是s a r e ( 2 1 ) 的最大解可知： x + = x 定理2 1 说明n e w t o n 迭代算法可以收敛到s a r e ( 2 】) 的最大解 2 。2n e w t o n 法解s a r e 的收敛速度分析 这一节中，我们将给出两个定理来说明n e w t o n 迭代法解s a r e 的收敛速度是二次的 定理2 2 1 ：在定理2 1 的条件下，存在常数一 0 使得下面的式子成立 0 墨一矧f 训丘一耳。岵i = 1 2 一 一1 0 一 大连理工大学硕士学位论文 证明：i = 1 ，2 ，时： ( 丘一鼍) + ( 置一置) 4 + 口( 置一z ) e = ( 丘一厶) 7 r + d r 墨d ) ( t 一厶) 则 ( 厶。4 r + 4 7 。厶+ e r 固c 1 7 1 ) w c ( 五一置) = w c ( ( 厶一厶) 7 ( r + d 7 1 置d ) ( 0 一厶) ) 已知掰( f ) = 三，x ( f ) 均方稳定，则由引理2 3 可以知道存在矩阵y o 使得 】，+ m + 口k 0 所以“( f ) = t x ( f ) 均方稳定，则由弓l 理2 3 可以知道存在矩阵y o 使得 4 y + m + 口取 o 使得下面的式子成立 证明：i = 1 ，2 ，时 0 置一k 。肚砭0 置一，一置一：眭，i = 2 ，3 ，4 a r , ( x j 一。一墨) + ( 互一，一置) 4 + 口( 耳。一置) c f = 一( 厶一o 。) 7 r + d r 工一。d ) ( 厶一厶一。) 所以有 w c ( 衫( k 。一置) 十( 砟。一_ ) 4 + 掣( k ，一置) e ) = v p c ( 一( 厶一0 。) ，( 尺+ d 7 置一。d ) ( 厶一0 。) ) 则由引理2 1 可以将上式转变为 ( 厶。4 7 + 4 7 1 圆厶+ g 7 圆c f 7 ) v p c ( k ，一e ) = v e c ( 一( 厶一0 ，) r ( r + d r 砟。d ) ( 厶一。) ) 已知厶圆4 r + 4 ro 厶+ g 7 pg 7 非奇异，则上式变为 v p c ( 置一一z ) 2 ( lq4 r + 4 r 圆厶+ c j r 。e r ) 1i p e c ( 一( 厶一4 - ) ( r + d 7 砟。d ) ( 厶一0 t ) ) 则有 l l z 一一x , i i f - - l i v e c ( 置。一z ) i l ： = 。4 丁+ 4 r 厶+ e 7 圆c f 7 丁il - ，e c ( ( 厶4 ，) r ( r + d r 砟，d ) ( 厶一0 ，) ) j i ， 忆。4 r + 4 7 p 厶+ e r 。e 卅：卜( 一( 厶一。) 7 ( r + d r 砟。d ) ( 厶一。) ) 1 1 2 = 敝。4 i ，+ 47 。厶+ q r 圆c ：；r ) 叫f l f f ( 厶一k ) ，( r + d ，耳。d ) ( 厶一。) | f f 。4 r + 4 7 。l + e r p c f 7 ) 叫j l ，l l 卜0 。圳r + d7 耳，d l | f 又有i = 2 ，3 ，时 一1 3 随机代数r i c c a t i 方程的数值解法 l i l _ ，= ( 尺+ d 7 1 墨一：d ) - 1 ( b 7 x i _ ：+ d r 墨一：c ) 一( 只+ d 7 1 x 卜，d ) - 1 ( b 7 耳，+ d 7 1 耳。c ) = ( 尺+ d 7 z 一：d ) _ 1 ( b 7 z 一：+ d7 置一：c ) 一( r + d 丁k 。d ) _ 1b r 耳：+ d 7 耳：c ) + ( r + d r z 一，d ) - 1 ( 曰7 4 ：+ d 7 1 五一：c ) 一( r + d 7 1 s i - - ，d ) _ 1 ( 召7 以，+ d r 耳。c ) = ( 尺+ d 7 五一：d ) - 1d 7 1 ( 五一。一置一：) d ( r + d r 五一。d ) - 1b 7 k ：+ d7 1 耳：c ) + ( r + d 7 墨一。d ) - 1e b 7 ( k ：一耳。) + ( z 一：一五。) c 所以有 忆一厶乩+ d 7 置一：。) d ，( 耳。一耳：) 。( r + 。r 耳，。) q ( 以：+ 以：c ) k + 胁+ 。r 墨p ) 。1 b7 1 ( 茸：一k ，) + 。7 1 ( z 一：一耳。) c 玑 缸妞+ 。7 置一：。) 。1 帅。酬( r + 。7 耳。) 叫帅b r 茸2 + d r 耳：c k 水彬置一。) q 眺+ i i d i i 肛蝴陋，一4 ：) 忆 已知 置) ：。的极限存在，所以 z ：。z 有界，槲l l x , i i f 朋 则 得到 s _ 2q - d 7 砟：c ) 小( ，+ j i d | l fj i c | l ，m 厶啤。叫k 墨。) 叫洳i i 1 1 ；( 1 1 驯f + i i 。i i f 忙i i f ) 聊 水+ 6 7 五d ) 。1 k b i i f + m f u c 叫，一耳：) 忆 令 a 2 = m k 。，五。)