（运筹学与控制论专业论文）不动点定理的一些等价形式及推广.pdf

贵州大学硕士学位论文 摘要 不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微 分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。本文 首先整合了以往文献关于不动点定理的一些等价形式，然后在h 空间中建立了 新型的不动点定理、截口定理及应用。 全文共分为三章： 第一章，简要介绍本文将要用到的凸分析，拓扑空间和集值映射中相关的概 念和性质。 第二章，整合了不动点定理的一些等价形式。首先，简单介绍了b r o u w e r 不动点定理的几个重要的推广形式，然后通过一系列证明得出不动点定理的若干 等价形式：b r o u w e r 不动点定理k k m 定理营f k k m 定理k y f a n 极大极小 不等式b r o w d e r 不动点定理k y f a n 不等式i k y f a n 极大极小不等式的几 何形式铮k y f a n 截口定理f a n - b r o w d e r 不动点定理k y f a n 不等式i i 。 第三章，首先，介绍了h 一空间中一些重要的概念。其次，在h 空间中建立了 新的f a n - b r o w d e r 型不动点定理及其几种等价形式。作为应用，研究了h 空间 中最近点和不动点的存在性问题，将张( 1 9 9 9 ) 的结果推广到h 空间中。最后， 在局部凸h 空间中建立了新的f a n - h a 型截口定理及一些相应的等价形式，将吴 ( 2 0 0 0 ) 的结果推广到局部凸h 空间中。作为应用，我们在h 空间中研究了极 大极小定理，把吴( 2 0 0 0 ) 中的相应结果改进和推广到h 空间。 关键词：不动点定理截口定理h 空间局部凸h 空间 贵州大学硕士学位论文 a b s t r a c t f i x e dp o i mt h e o r yh a sb e c o m et h em a i nc o m p o n e n to fn o n l i n e a ra n a n l y s i s i t i sa p p l i e ds u c c e s s f u l l yi nm a n yf i e l d ss u c ha sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c y b e r n e t i c s ， e c o n o m i cb a l a n c et h e o r y ，g a m et h e o r ya n ds oo n i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , w ed i s c u s s s o m ef i x e d p o i n tt h e o r e m sa n dt h e i re q u i v a l e n tf o r m s a n dt h e n ，w ee s t a b l i s hs o m e n e wf i x e dp 0 砬t h e o r e m sa n ds e c t i o nt h e o r e m si nh - s p a c ea n dg i v es o m e a p p l i c a t i o n s t h i st h e s i sc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w es i m p l yi n t r o d u c es o m eg e n e r a lc o n c e p t sa n dp r o p o s i t i o n s a b o u tc o n v e xa n a l y s i s ，t o p o l o p ys p a c ea n ds e t - v a l u e dm a p p i n g s i n c h a p t e rt w o ，w e d i s c u s ss o m e e q u i v a l e n t f o r m so ff i x e d p o i n t t h e o r e m s f i s r t l y , w es i m p l yi n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n so fb r o u w e r f i x e dp o i n tt h e o r e m a n dt h e n ，w eo b t a i nt h a tb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，k k m t h e o r e m ，f k k mt h e o r e m ，k yf a nm i n i m a xi n e q u a l i t y , b r o w d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ，k yf a ni n e q u a l i t yi , t h eg e o m e t r yf o r mo fk y f a nm i n i m a x ，k yf a ns e c t i o n t h e o r e m ，f a n - b r o w d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dk yf a ni n e q u a l i t y i ia r ea l l e q u i v a l e n t i nc h a p t e rt h r e e ，f i r s t l y ，w ei n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sa b o u th s p a c e a n d t h e n w eo b t a i nan e wf i x e dp o i n tt h e o r e mo ff a n - b r o w d e rt y p ei nh - s p a c ea n d s o m ee q u i v a l e n tf o r m s a sa p p l i c a t i o n ，t h e s er e s u l t sa r eu t i l i z e dt os t u d yt h ee x i s t e n c e p r o b l e m so f f i x e dp o i n ta n dn e a r e s tp o i n ti nh - s p a c e t h e s er e s u l t s a r eg e n e r a l i z a t i o n s o fz h a n g ( 1 9 9 9 ) i nh s p a c e f i n a l l y , w ee s t a b l i s han e ws e c t i o nt h e o r e mo ff a n - h a t y p ei nl o c a l l yc o n v e xh s p a c ea n ds o m ec o r r e s p o n d i n ge q u i v a l e n tv e r s i o n s a s a p p l i c a t i o n s ，s o m em i n i m a xt h e o r e m si nh - s p a c ea r eo b t a i n e d t h ea b o v er e s u l t s i m p r o v ea n de x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nw u ( 2 0 0 0 ) t ot h eh - s p a c e k e y w o r d s ：f i x e dp o i n tt h e o r e m ，s e c t i o nt h e o r e m ，h - s p a c e ，l o c a l l yc o n v e xh - s p a c e 贵州大学硕士学位论文 前言 开始引人注目的不动点理论，起源于b r o u w e r 的工作。1 9 0 9 年，他以曲面上一对一的 映为自身的连续映射为题，创立了不动点理论。他的著名结果，后来被称为b m u w e r 不动 点定理。1 9 2 7 年，s c h a n d e r 证明了b a n a c h 空间中的不动点定理。1 9 3 5 年，t y c h o n o f f 进一 步将b a n a c h 空间中的不动点定理推广到局部凸线性拓扑空间。 从2 0 世纪3 0 年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题。1 9 4 1 年，k a k u t a n i 把b r o u w e r 不动点定理推广到有限维空问集值映射的情形。1 9 5 0 年，b o h e n a n b l u s t ，k a r l i n 把s c h a u d e r 不动点定理推广到b a n a c h 空间集值映射的情形。1 9 5 2 年，f a n 和g l i c k s b e r g 分别把 t y c h o n o f f 不动点定理推广到局部凸h a u s d o r f f 线性拓扑空间集值映射的情形，称为 k a k u t a n i - f a n - g l i c k s b e r g 不动点定理或k - f - g 不动点定理。1 9 6 7 年，b r o w d e r 在局部凸 h a u s d o r f f 线性拓扑空间建立了集值映射的不动点定理。1 9 6 8 年，b r o w d e r 又在一般h a u s d o r f f 线性拓扑空间中建立了集值映射的不动点定理，这一定理是变分不等式研究中的基本定理， 称为f a n b r o w d e r 不动点定理。1 9 9 9 年，张石生通过引入转移开( 闭) 映射，转移上( 下) 半连续等概念将f a n b r o w d e r 不动点定理作了进一步推广。 1 9 8 7 年，c h o r v a t h 引入一类具有抽象性，一般性的空间，即h 空间。1 9 9 2 年。张等在 h 空间的框架卜，研究了f a n - b r o w d e r 不动点定理及其在社会平衡问题中的应用。1 9 9 7 年， 向在h - 空间的框架下，不依赖k k m 技巧，建立了新的集值映射不动点定理。2 0 0 2 年，崔 采用转移开( 闭) 集值映射的概念，在h 空间中深入研究了f a n - b r o w d e r 不动点定理及其 在社会平衡问题中的应用。 本文首先简单地介绍b r o u w e r 不动点定理的几个重要的推广形式，然后，通过一系列证 明得到了不动点定理的若干等价形式。在张( 1 9 9 2 ) 和崔( 2 0 0 2 ) 的启发下，本文将张( 1 9 9 9 ) 的结果推广到h 一空间中，建立了新的f a n - b r o w d e r 型不动点定理及其几种等价形式。作为 应用，研究了h - 空间中最近点和不动点的存在性问题，将张( 1 9 9 9 ) 的结果推广到h 空间 中。 在变分不等式理论中，截口定理是十分重要的内容，它在经济数学理论、对策论及相补 问题中有重要的应用，因此一直受到人们的重视与研究，并做了许多好的工作。1 9 6 1 年， f a n 在线性拓扑空间中建立了一个f a n 型截口定理，称为k y f a n 截口定理。1 9 8 0 年，h a 在 线性拓扑空间中对f a n 型截口定理进行了改进和推广，放宽了紧性和凸性的条件，得到的定 贵州大学硕士学位论文 理称为f a n - h a 截口定理。1 9 9 1 年，张和康等将k yf a n 截口定理作了进一步推广，对变分 不等式理论的进一步研究起到了积极的作用。1 9 9 4 年，张和康等在h 空间中建立了鞍点定 理和截口定理。2 0 0 0 年，吴对f a n - h a 截口定理作了进一步的改进和推广，并得到一些等价 形式。因而，在前人的基础上对截口定理的进一步研究也是非常必要的。在沈( 2 0 0 0 ) 的启 发下，本文将吴的结果推广到局部凸h - 空间中，建立了新的f a n - h a 型截口定理及一些相应 的等价形式，将吴的结果推广到局部凸h - 空间中。作为应用，我们在h 一空间中研究了极大 极小定理，把吴中的相应结果改进和推广到h 空间。 贵州大学硕士学位论文 第一章预备知识 在本章中。我们简要介绍本文将要用到的凸分析，拓扑空间和集值映射中相关的概念和 性质。 定义1 1 1 ( 见【3 】) 设a 是线性空间x 中的一个子集，如果v x l ，x 2 4 ，旯【0 ，1 ，总有 五一+ ( 1 一a ) x 2 a ，则称a 为x 中的凸集。 显然，a ，x 都是凸集。 引理1 1 1 ( 见d 9 1 ) 凸集的基本性质： ( 1 ) 任意多个凸集的交为凸集； ( 2 ) 若一l ，a 2 是凸集，则4 + a 2 = 口i + 口2 ：a l a 1a 2 a 2 是凸集 ( 3 ) 若r o ，a 为凸集，则鲥= t a ：a a 也为凸集 ( 4 ) 若4 为凸集，v h ，x z ，j 。4 ，v ，如， o 且z t o l = 1 ，则： _ a 。 定义1 1 2 ( 见 3 ) 设c 为线性空间z 中的凸集，：c 哼r 为实值函数 、口t l ，x 2 c ，v 名【o ，1 】， ( 1 ) 如果厂( 五x l + ( 1 一z ) x 2 ) s ( 而) + ( 1 2 ) f ( x 2 ) ，则称，为c 上的凸函数； ( 2 ) 如果f ( a x t + ( 1 一旯) x 2 ) 可( 而) + ( 1 一a ) ，( x 2 ) ，9 4 i j g g f 为c 上的凹函数。 引理1 1 2 ( 见 2 6 ) 设c 为线性空间x 中的凸子集， ( 1 ) 厂是凸函数一，是凹函数； ( 2 ) f ，g 为凸函数，+ g 则也为凸函数； ( 3 ) ，为凸函数，t 0 ，则矿也为凸函数； ( 4 ) 厂为凸函数，v x l x n c ，v 九o ，：。 = 1 ，则 ，( ：。 t ) ：。 ， ) ( j e n s o n 不等式) 。 定义1 1 3 ( 见 2 6 ) 设c 为线性空间z 中的凸集， 贵州大学硕士学位论文 f ：c 专r ，v x i ，x 2 c ，v 2 0 , 1 】 ( 1 ) 如果f ( a x l + ( 1 一x ) x 2 ) m a x f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) 。则称厂为拟凸函数 ( 2 ) 如果( 五而+ ( 1 一x ) x 2 ) m i n f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) ，则称厂为拟凹函数。 关于凸( 凹) 函数与拟凸( 凹) 函数的关系有下述引理： 引理1 1 3 ( 见 2 ) f 为定义在凸集c 上的实值函数， ( 1 ) ，为凸函数，则f 必是拟凸函数： ( 2 ) ，为殴函数，则，必是拟凹函数； ( 3 ) f 是拟凸函数营一厂是拟凹函数。 注1 ：( 1 ) 和( 2 ) 都不可逆。例如y = x 3 ，x 卜1 ，1 1 ，可以证明该函数是拟凸的，也是 拟凹的，但该函数即不是凸的也不是凹的。 拟凸函数还有下述性质： 引理1 1 4 ( 见e 2 8 ) ，为定义在凸集c 上的实值函数，则 ( 1 ) ，在c 上拟凸铮v r r ，集合，= 缸c ：厂( 曲r ) 是凸集； ( 2 ) ，为拟凸函数，v x l ，x 。c ，v ，九o ，e t o 。丑= l ，则有 厂( ：乃而) m a x b e ( x , ) ，f ( x 。) ) 成立。 根据拟凸函数与拟凹函数的关系可得： 引理1 1 5 ( 见 7 ) f 为定义在凸集c 上的实值函数，则 ( 1 ) 厂在c 上拟凹营v r r ，集合，= 缸c ：f ( x ) ，) 是凸集； ( 2 ) f 为拟凹函数，v ，x n c ，v ，九o ，二 = 1 ， 则有 ，( ：丑x ，) r a i n f ( x , ) ，f ( x 。) 成立。 根据凸集的性质还可得： 引理1 1 6 ( 见 2 8 3 ) ( 1 ) f 为凸集c 上的拟凸函数臼v r r ，集合 l ，= 缸c ：f ( x ) r ) 为凸集。 定义1 1 4 ( 见 5 ) 设x 是一拓扑空间，厂：z 专r 是一函数，称厂在x 上是下半 连续的，对任意x o x ，若对任意网 x 。) x ，当x 。一时，有 f ( x o ) j i 址f ( x ) = l i m i n f f ( x ) ：反之，v z 当x 。呻时，有 x 。- + x o x a _ 而 f ( x o ) l i r a ，( x ) = l i ms u p f ( x ) ，则称厂在z 上是上半连续的。 知 屯斗 ，在工上是上半连续一f 在x 上是下半连续。 引理1 1 7 ( 见 9 ) 设x 为一拓扑空间，：x + r 是一函数，则以下结论等价 ( 1 ) f 在x 上是下半连续； ( 2 ) 对任何r r ，水平集e = 缸i 厂( z ) ，) 是并中的闭集； ( 3 ) 对任何r r ，集合g ，= x x l ，( d ，) 是x 中的开集 ( 4 ) 厂的上方图e p i f = ( x ，) x x r l f ( x ) r ) 是x r 中的闭集。 引理1 1 8 ( 见 9 ) 设，是任何指标集，e 是线性拓扑空间，d c e 是凸集 ，：i i ) 是d 上的一族凸泛函， g 。：i d 是闭集b c e 上的一族下半连续泛函，定义 对任意x d ，f ( x ) = s u p z ( x ) ；对任意x b ，g ( 工) = s u p g 。 ) 。则厂在d 上是凸的， i e fl e ， g 在b 上是下半连续的。( 若设 仍：f i ) 是闭集bc 7 e 上的一族上半连续泛函，则 妒o ) = 1 9 能( x ) 在b 上也是上半连续的) 定义1 1 5 ( 见 1 ) 设厂，g ：x _ y 为连续映射，存在连续映射疗：x i _ y ，使 h ( x ，0 ) = ，( x ) ，日o ，1 ) = g ( x ) ，工x 时，称，和g 是同伦的，h 称为厂到g 的同伦。 定义1 1 6 ( 见 1 ) 设y 是拓扑空间，z 是y 的一个非空子集，如果z 的恒等映射 以：x 斗x 和某常值映射g ：x j x ( g ( x ) 为一点) 是同伦时，称x 为可缩的。 定义1 1 - 7 ( 见 1 ) 设( z ，f ) 是拓扑空间，如果x 2 品g a ，其中对任意口j ，g 。是 开集，即g 。f ，则称 g 。) 。，是x 的一个开覆盖 如果在x 的任意开覆盖中都存在有限子覆盖，即存在口l ，a 2 ，口。，使得 贵州大学硕士学位论文 x 2 品g ，则称空间x 是紧的 定义1 1 8 ( 见 2 2 ) 设 “。：口a ) 是集x 的覆盖所成的族，如果满足下面条件 ( 1 ) 对z 的覆盖“，如果存在口a ，使“。 “，则“扣。：口a ) ( 2 ) 对任意口，a ，存在y a ，使“， ”。，u ， u ，； ( 3 ) 对每一口a ，存在卢a ，使之“。 ( 4 ) x c f f ：x ，y x ( x 力，存在口a 使“。中没有一个元同时包含点x 和y ； 则称 “。：口a ) 是集x 上的一个一致结构，集z 连同它的一致结构 u 。：口a ) 称为一 致空间，可以记为( x ，似。：口椰) 。为方便起见仍记为x 。一致结构 “。：口a ) 的子 u a ：毋( b c 爿) 称为一致结构的基，如果对每一口a ，存在b 使 “。 注2 ：设“，v 是集x 的覆盖，如果对v 的每一元v 存在u u 使v c u ，则称覆盖v 加细覆盖”，记作v 甜；如果覆盖 u u v ：u n v o ) ：v v ) 加细“，则称v 星加细 u ，记作v 之”。 定义1 1 9 ( 见 1 ) 当集合x 的覆盖族= u a ) 满足下列条件时，称为一致覆盖族 ( 1 ) 若x 的覆盖”对于某个。西，使”。 “，则”中 ( 2 ) 若“。，则有某个“，使“， o ，使y = x - - t ( y o x ) ) 设死z 专2 。是集值映射，如果 ( 1 ) 对任意x x ，t ( x ) n l x ( x ) 0 ，则称丁是内向的； ( 2 ) 对任意石zt ( x ) n l x ( x ) o ，则称r 是弱内向的； ( 3 ) 对任意x zt ( x ) n q x ( x ) a ，则称丁是外向的； 8 贵州大学硕士学位论文 ( 4 ) 对任意z 兄t ( x ) n 鲰( x ) a ，则称t 是弱外向的。 1 9 6 7 年，b r o w d e r 证明了如下集值映射不动点定理，本文将此定理称为b r o w d e r 不动 点定理； 定理2 1 9 ( 见 3 2 ) 设e 是局部凸的h a u s d o r f f 线性拓扑空间，z 是e 中的非空紧 凸集，t ：x 2 5 是具有闭凸值的，上半连续的，弱内( 外) 向的集值映射，则r 在x 中 必有不动点。 1 9 6 8 年，b r o w d e r 又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为 f a n - b r o w d e r 不动点定理： 定理2 1 1 0 ( 见 3 0 ) 设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧子集，集值映 射s ：x 斗2 。满足： ( 1 ) 对任意x x ，s ( 曲是x 中的非空凸集 ( 2 ) 对任意y x ，s - 1 ( y ) = p z ：y s ( x ) 是z 中的开集 则存在x + x ，使z + s ( x + ) 。 2b r o u w e r 不动点定理的若干等价形式 本：肖主要目的是整合了b r o u w e r 不动点定理的若干等价形式，我们将按照下面图示给出 相廊的证明： b r o u w e r 不动点定理 乍 b r o w d e r 不动点定理 k k m 定理= f k k m 定理= k y f a n 极大极小不等式k y f a n 不等式i k yf a n 极大极小不等式的几何形式 定义2 2 1 ( 见 1 4 ) 设e 是线性拓扑空间，x 是e 的非空子集，g ：z 0 2 8 是集 值映射，若对任何有限集 _ ，) cx ，有c o x l ，x 2 ，x 。 c 吕g ( 工，) ，则称g 为k k m 映射。 9 贵州大学硕士学位论文 定义2 2 2 ( 见 9 ) 设e 是线性拓扑空间，x 是e 的非空子集，g ：x - - - ) 2 5 是集值映 射，若对任意x x ，g ( x ) 与e 的任一有限子空间三的交三n g ) ，按l 中的拓扑是闭的 则称g 是有限闭的。 下面给出无限维形式k k m 定理： 定理2 2 1 ( 见 1 4 ) 设e 是线性拓扑空间，x 是e 的非空子集，g ：x 斗2 。是k k m 映射且是有限闭的，则集族 g ( x ) ：x x ) 具有有限交性质。 证明：设存在有限集 五，l ) c x ，使口g ( x 一) = 彩( 4 ) e l 是由 z v ，x 。) 所张成的有限维子空间，c = c o x 1 ，l ) ，n c c l ，设d 为三上的欧氏度量。由假定 对每一i = 1 2 ，n ，l n g ( x t ) 为l 中的闭集，故由式( 彳) ，口( l n g ( x t ) ) = a 。定义 n 函数旯：c _ 【o ，+ ) 如下：五( x ) = e d ( x ，l n g ( x ，) ) ，x c ，则对任意x c ，旯( x ) 0 ( 若不然，设x o c ，五 o ) = 0 ，则对任意i = 1 , 2 ，”，c t ( x o ，l n g ( x ，) ) = 0 ，从而 l n g ( x j ) ，即仨盆( l n g ( x 。) ) 再令，：c c 如下 f ( x ) = 志喜d ( x , l n g ( 珈则，连续。由b r o u w e r 不动点定理，在c 上有不动 点，即存在；c c l ，使；= 厂( ；) ，记= f ：i l ，2 ， ) ，a ( x ，l n g ( x 。) ) o ，则对 每一f ，x 诺l n g ( x 。) ，从而xg g ( x 一) ，于是x 诺g ( x ，) ( b ) 。由于g 是k k m 映射，所以有 ；叫- ) = 丽1 d ( ；加g m 。2 志善d ( - 加g ) x t c o ) c 昌g ( _ ) 这与式( b ) 矛盾。 作为k k m 定理的直接推论，下面是k yf 3 6 关于有限维k k m 定理的无穷维推广 称其为f k k m 定理： 定理2 2 2 ( 见 3 1 ) 设eh a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 是e 的非空子集，g ：z 斗2 5 是具闭值的k k m 映射，且存在点x 。x ，使g ( ) 是e 中的紧集，则会g ( x ) o 。 1 0 贵州大学硕士学位论文 证明：因为对任意x x ，g ( x ) 是e 中的闭集，因此g ( x ) n l 是l 中闭集( l 是e 的 任一有限维的子空间) ，即g 是有限闭的。于是由k k m 定理， g ( 工) ，x z ) 具有有限交 性质，即v x l ，x 2 ，x 一x ，n 野x f ) a 当然也有口 g ( x ，) n g ( ) ) 5 盆g ( x 一) o 因为o ( x o ) 是紧集， g ( x ) ng ( x o ) ：x x )g ( x o ) 中的闭集族，具有有限交性质，由 理1 l - 1 1 ，它具有非空交，即g g ( x ) n g ( ) ) g ，于是3 g ( x ) 彩 下面给出k yf a n 极大极小不等式定理： 定理2 2 3 ( 见 3 7 ) 设e 是h a u s d o m 线性拓扑空间，x 是e 的非空紧凸集 ：z x 斗r 满足： ( 1 ) 对任意y x ，妒( x ，_ ) ，) 关于x 是下半连续的 ( 2 ) 对任意x x ，9 ( x ，y ) 关于y 是拟凹的； 则存在x o x ，使s u p q ( x o ，力= ，j ，) s，x ) 。 , m i 尹s 摊u p jq , ( xs 牲u p 伊( x y e x 证明：当s u p q ，( x ，x ) = t - 0 0 ，命题显然成立。当s u p q ，( x ，x ) + o o ，令y = s u p 伊( x ，x ) 。 l e x1ex|ex 对每一j ，x ， g ( y ) = 扛x ：e ( x ，y ) y ) 。由条件( 1 ) 和引理1 1 7 ，g ( ，) 是z 中 的闭集。一t q i e g ：x 斗2 。是k k m 集值映射：由条件( 2 ) ，对任意x z ，妒 ，y ) 关于y 是拟凹的，从而对任意x x ，任意的有限集 y i ，y 。 c 和任意的儿c o y l ，y 。 有妒( x ，y o ) m 。i 。n q ( x ，y 一) ( a ) 。若不然，存在某一有限集 m ，y 一) c z 和某一 y o c o y l ，y 。) ， 使得贴，y o ) 烈x ，y o ) ，j = 1 , 2 ，n 。由于p ( x ，y ) 关于y 是拟凹的，于是 y x ：伊( x ，y ) 伊( x ，y o 为凸集，从而 y x ：妒 ，y ) 矿 ，y o ) 为凸集，于是 y x ：妒o ，y ) 妒 ，y o ，即有妒 ，y o ) 妒0 ，y o ) ，矛盾。故式( 爿) 成立。由式 ( 4 ) ，特别应有伊( ，y 。) i l n 。i 。n 9 ( ，y ，) ，于是哟妒( 蜘，y ，) ，从而存在女，1 k n ， 贵州大学硕士学位论文 使妒( y o ，y k ) y ，可见，y o g ( y 女) = x x ：妒( x ，y k ) s ，) ，也即y o y g ( y ，) ，这 表明g 是k k m 映射由f k k m 定理， q g ( y ) g ，取x ，3 g ( _ ) ) ，则 v y x ，伊( x ，y ) y 因而有m 啦s u p 伊 ，y ) s u p o ( x ，y ) s u p p ( x ，x ) ( b ) 。由引理 y e x ，e xl e x 1 1 8 ，s u p 矿( x ，y ) 是x 的下半连续函数，由引理1 1 1 4 ，注意x 是紧集知必存在x ， v e 芏 使s u p p ( x o ，y ) = m i n s u p p ( x ，y ) ，结合式( 曰) 有，存在z ，使 y e x“y e x s u p 9 , ( x o ，力=s u p p ( x ，y ) s u p 妒( x ，功。 y e x ，e jm * 下面是k yf a n 极大极小不等式的另一重要表达形式，我们称其为k yf a n 不等式i 定理2 2 4 ( 见 1 7 ) 设e 为h a u s d o r f f 线性拓扑空间，z 为e 中的非空凸紧 集，妒：x x x r 满足： ( 1 ) 对任意x e x ，妒( x ，x ) 墨0 ； ( 2 ) x c 任意t y x ，妒( x ，y ) 关于x 下半连续 ( 3 ) 对任意x x ，伊( 芹，y ) 关于y 拟凹 则存在x + z ，使得对任意y x ，矿 + ，y ) 0 。 证明：显然，定理中的条件( 2 ) ( 3 ) 满足k y f a n 极大极小不等式定理中的条件，由k y f a n 极大极小不等式知，m i n s u p o ( x ，力s u p 妒( x ，x ) 。又由条件( 1 ) 知， o e 阼艇 m i n s u p p ( x ，y ) s u p 妒( x ，x ) 0 ，存在x + x ，s u p p ( x , y ) s 0 ， o e y e x j e xv e j 即存在x ，对任意y x ，伊( x ，y ) 0 。 f 面我们给山k yf a n 极人极小不等式的几何形式： 定理2 2 5( 见 1 4 ) - 垃e 为h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 为e 中的非空凸紧 集，f c x x 满足卜列条件： ( 1 ) 对任意y x ，f 2 ( y ) = 缸x ：( x ，y ) r 是开集； ( 2 ) 对任意x x ，r l ( y ) = ) ，x ：( x ，y ) r ) 是凸集； ( 3 ) a n f = g ，其中= ( x ，x ) ：z ) ： 则存在工。x ，使r i ( ) = 彩。 墨塑查兰堡主兰堡篓墨一 k yf a n 极大极小不等式与其几何形式是等价的，以下给出证明： ( 1 ) k yf 极大极小不等式辛k y f 极大极小不等式的几何形式 令舻：x x 专 o , 1 1 如- f ： ，、f 1 ，( x ，y ) f 妒【w ) 2 1 0 ，( w ) 芒r fo ，a o 则有 x x ：矿( z ，y ) 旯 = x - r 2 ( 力，0 旯 ) v y x 。 由于对任意y x ，伊( x ，y ) 关于x 下半连续，根据引理1 1 7 ，r 2 ( y ) 是z 中的开集， 再由于对任意x x ，伊 ，y ) 关于y 是拟凹的，r l ( 工) = 秒e z ：p ( x ，y ) 是凸集由 的定义及式( 4 ) ，r n = 彩。于是由k y f m 极大极小不等式的几何形式，存在氐x ， 使r l ( ) = 。，即砂x ，妒( ，y ) - - # 。故有晋妒( ，) ) 磐妒( x ，x ) 。因为对任意 y x ，矿( x ，y ) 关于x 下半连续，所以s u p ，妒( 马力也关于x 下半连续。注意x 是紧集，故 v e 存在；x ，使翟伊( ；，y ) = m ，。i 。n s u x p 妒( 工，y ) s ，u 。p 妒( ，y ) 磐矿o ，x ) 贵州大学硕士学位论文 引理2 2 1 ( 见 9 ) 设e ，f 是局部凸线性拓扑空间z 中的两个非空凸集，占有内点 且如f ( e ) n f = a ，则存在闭超平面日；2 x x ， ”分离e 与f ，其中对于固 定的f = y 表示厂( x ) = y 。 下面我们利用k yf a n 极大极小不等式证明b r o w d e r 不动点定理 证明：( 一) 设r 是弱内向的。以下用反证法证明不动点的存在。假定对任何 x x ，x 硭r ( x ) ，由于 x 是e 中的紧凸集，r ) 是e 中的闭凸集，e 是局部凸空间，由 引理2 2 1 ，i x 与丁( 曲可用闭超平面严格分离。即存在 e 和实数口，使 v y r ( x ) ， 搿 ( a ) 。令j ( x ) = x ，由工连续 y e 口) 与 y e ， a 都是开集。显然有 r ) c y e ： 口) 。因为t 与1 都是上半连续 存在x 的开领域u ) ，使v z u ( x ) ，都有t ( z ) c y e ： 口) ，即v z u ( z ) ，y t ( x ) 都有 口 0 当且仅当x u ( x ，) ，且屈( x ) 是连续的。定义 映射f ：x 斗e ，f ( x ) = 屈( x ) 厶，则v x x ，y r ( x ) ，由于当x u ( x ，) 时 屈( 曲= 0 ，故当石u ( x ，) 时，由式( 爿) 口 届( x ) 一 l z lf = l i = 1 另一方面，令妒：x x x 哼r ，妒( x ，力= ，则易验证p 满足定理k y f a n 极大极小不等式的全部条件，因而存在x o x ，使s u p q ，( x o ，_ y ) s u p o ( x ，x ) = 0 。故 1 4 贵州大学硕士学位论文 v y x ，认，y 0 ) ，即 ，跏，从而即 0 ，y = x + t ( y o x ) ) ，由y 而知，存在 y 。zt 。 0 使y = l i m ( x o + f 。( ) ，。一x o ) ) 由式( d ) 有 = = l i m = 1 够水，) ，x o “a 【 一 j 1 盥 = 这与式( c ) 矛盾。 ( 二) 设7 1 是弱外向的，令五( x ) = 2 x - t ( x ) 。即 互( x ) = 2 x 一= ：g 丁( x ) ) ，v x z ，则易知五：x 2 8 是具闭凸值的、上半连续的集值 映射。 下证z 是弱内向的。 因为r 是弱外向的，x ，r ( 力n 丽a ，设y 。r ( x ) 且儿丽，则存在 j ，。x ，t 。 0 ，使y o = l i m ( x t 。( y 。一x ) ) 。i 而2 x - y o 正( 工) ， 2 x y o = 2 x l i m ( x f 。( y 。一x ) ) = t i m ( x + t 。( 比- x ) ) i x ( x ) ，故对任意 工x ，一( x ) n ，y ( x ) g 。因而五是弱内向的。由( 一) ，存在x z ，使 x + 瓦( x + ) = 2 x + 一z ：z t ( x ) ) ，即x = 2 x + 一z 0z o t ( x ) ，a l e x t ( x ) 这表明 r 有不动点。 由前面一节可知b r o w d e r 不动点定理是由b r o u w e r 不动点定理逐步推广而来的，显然我 们利用b r o w d e r 不动点定理可直接推出b r o u w e r 不动点定理。 于是我们可以得出下面结论： b r o u w e r 不动点定理营k k m 定理f k k m 定理营k yf a n 极大极小不等式铮b r o w d e r 1 5 贵州大学硕士学位论文 不动点定理k y f a n 不等式i 营k y f a n 极大极小不等式的几何形式。 3f a n b r o w d e r 不动点定理的若干等价形式 本节我们探讨了f a n - b r o w d e r 不动点定理的若干等价形式。我们将按照下面图示结构 给出相应的证明： k y f a n 不等式i f a n b r o w d e r 不动点定理营k y f a n 不等式1 1 0 k y f a n 截口定理 在前面一节我们已经给出了k yf a n 不等式i ，下面给出l ( yf a n 不等式的另一种表达 形式，我们称其为k y f a n 不等式i i ： 定理2 3 1 ( 见 9 ) 设j 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧子集， f ：x - - y ( - - o o ，+ 】，且厂恒不等于+ o 。，伊：j 寸r ，缈( x ，x ) 0 ，v x x ，且满足下 面条件： ( 1 ) 对任意x z ，f ( y ) + 妒 ，_ y ) 关于y 拟凸； ( 2 ) 对任意y 工，( x ) 一烈x ，y ) 关于x 下半连续； 则存在z x ，使f ( y ) + 妒( x ，y ) f ( x ) ，对任意y z 。 在1 9 6 1 年，k y f a n ( 见 3 6 ) 证明了下面的截口定理，我们称其为k yf a n 截1 5 1 定理： 定理2 3 2 设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧子集，a c x x 。满 足： ( 1 ) 对任意x x ，( x ，z ) a ； ( 2 ) 对任意x x ，抄x ：( x ，y ) 盛a ) 为凸集或空集； ( 3 ) 对任意y x ，讧x ：( x ，) ，) 4 为闭集； 则存在x o x ，使 x o ) x c a 。 注1 ：定理中( 2 ) ( 3 ) 也可改为：对任意x z ，d x ：( x ，y ) 椰为闭集： 1 6 贵州大学硕士学位论文 s ( 力= y x ，p ( x ，力 o ) 。假设v x x ，都存在y ，x ，使得伊( x ，y x ) 0 由假设 d x ，烈x ，y ) 0 ) 为凸集。又因为s - 1 ( y ) = 缸z ，妒( x ，_ y ) 2 0 ) 为开集，故 s _