（概率论与数理统计专业论文）na阵列加权和的收敛性和一个强极限定理.pdf

摘要 概率极限理论是概率论的主要部分之一，是概率统计学中极为重要 的基础理论极限理论最初主要以研究独立随机变量为主，但是在实际 的应用当中，许多样本或者样本函数都是不独立的所以随机变量的相 依性的提出是非常重要的，于是在2 0 世纪8 0 年代，j o a g - d e v 与p r p s c h a n 提出了n a 随机变量序列的概念，随后在这方面就得到了许多与独立随 机变量序列相类似于的结果。这些结果在随机过程方向的研究非常有用 本文则主要考虑n a 阵列加权和& = n 可粕的情形 本硕士论文由三章组成，主要讨论了n a 阵列加权和s 住的几种处处 收敛性和一个强极限定理 第一章主要介绍了问题研究的背景，该领域的研究现状和与文章内 容相关的一些定义、定理和不等式等预备知识 第二章计论了n a 阵列加权和& 的最大部分和的概率不等式以及由 此概率不等式得出乳_ 0眠的条件，和& 的【广r 收敛其中1 r 2 的条件 第三章得出了一个关于n a 阵列加权和的强极限定理 关键词：n a 列o ，几乎处处收敛性；l - r 收线强极限定理 a b s t r a c t l i m i tt h e o r yi so n eo ft h ek e yb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r y , a n da l s ot h ei m - p o r t a n tf o u n d a t i o no fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s i nt h ee a r l yt i m e ，p e o p l es t u d y l i m i tt h e o r ym a i n l yo ni i dr e a lr a n d o mv a r i a b l e h o w e v e r ，i nt h ep r a c t i c a la p p l i c a - t i o no fo t h e rf i e l d s ，m a n ys a m p l e sa n ds a m p l ef u n c t i o n sa r en o ti n d e p e n d e n t i ti s v e r yi m p o r t a n tt h a tt h ed e p e n d e n c yo fr a n d o mv a r i a b l ei si n t r o d u c e d s o ，t h ec o n - c e p to fn e g a t i v ea s s i c o i a t i o n ( n a ) r a n d o mv a r i a b l ew a si n t r o d u c e db yj o a g - d e va n d p r o s c h a ni nt h ee i g h t i e sa tl a s tc e n t u r y t h e n ，p e o p l eo b t a i nal o to fc o n c l u s i o n so n t h en a , s e q u e n c e s ，w h i c ha r es i m i l a rt oi i dr a n d o mv a r i a b l e t h e s ec o n c l u s i o n sa r e f l l l l yu s e f l f lf o rt h es t u d yo nr a n d o mp r o c e s s i nm yp a p e r ，im a i n l yd i s c u s ss o m e p r o b l e m so ft h ew e i g h t e ds u m sf o rn as e q u e n c e sw i t hd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n t h ep a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，i tm a i n l yd i s c u s s e dt w oc o n v e r g e n c e s a n das t r o n gl i m i tt h e o r yo ft h ew e i g h t e ds l i m sf o rn as e q u e n c e sw i t hd i f f e r e n t d i s t r i b u t i o n t h ec h a p t e ro n em a i n l yi n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n do ft h en as e q u e n c e ，i t s s t u d ys t a t u si nt h ef i e l d ，a n ds o m ed e f i n i t i o n s ，t h e o r m ，i n e q u a l i t yh a dr e l a t i v et ot h e p a p e r t h ec h a p t e rt w od i s c u s s e dt h e s ei n e q u a l i t i e so fm a x i m a lp a r t i a ls l i mf o rn a s e q u e n c e ，t h e nig a i nt h ec o n d i t i o n so ft h ew e i g h t e ds l i m sf o rn as e q u e n c e s 岛_ 0 a s w i t ht h e s ei n e q u a l i t i e s a n dt h ec o n d i t i o no ft h ew e i g h t e ds l i m sf o rn as e q u e n c e s & 生j0 ，( 1 7 2 ) t h ec h a p t e rt h r e ei nm yp a p e r ，ig a i nas t r o n gl i m i tt h e o r mo ft h ew e i g h t e d s u m sf o rn as e q u e n c e s k e y w o r d s ：n ar a n d o mm a t r i cs e q u e n c e s ；c o n v e r g e n c ea s ：l - rc o n v e r g e n c e ； i i i s t r o n gl i m i tt h e o r m i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：届雩必歹年铂、 j 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文， 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打。 嚣) 作者签名：厣零哆日期簪白乙日 导师始扬雒日期私明 n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 1 绪论 1 1 问题产生的背景 概率极限理论从概率论分支出来，人们都以研究独立随机变量为主， 但也一直致力于削弱独立的限制，于是在2 0 世纪6 0 年代，人们提出了各 种能真包含独立列的相依列的概念如p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ( p a ) 序列及其它 一些正相依序列，研究成果主要包括强平稳p a 序列的中心极限定理，弱 不变原理及其他类型的强平稳正相依序列的b e r r y - e s s e n 定理随后，在 2 0 世纪8 0 年代，人们又相继引入了n e g a t i v ea s m c i a t i o n ( n a ) 等负相依性概 念，j o a g - d e v 和p r o s c h a n 提出了n a 的概念：。 定义：称随机变量x l ，恐，x n ，n 2 是n a 的，若对 1 ，2 ，札 的任 何两个不相交的非空子集a l ，a 2 均有c 伽( ( 五：i a 1 ) ，厶( 咒：i a 2 ) ) 0 ， 其中 ，尼是任何两个使上述协方差存在的且对各个变元均非降( 或均非 升) 的函数称随机变量列 x 是n a 的，若对任意n 2 ，x 。，x z ，是 n a 的 由于n a 随机变量在实际问题当中有着非常广泛的应用如可靠性理 论，渗透性理论及多元统计分析等模型中的应用所以，近年来对n a 列极限理论的发展十分迅速，得到了很多与独立情形一致的结论1 9 8 4 年，n e w m a n 在文献【2 2 】中介绍了多种正负相依序列的渐近独立性和极限 定理方面的一些结果，其中包括了强p a 序列与n a 序列的中心极限定 理，强平稳p a 序列的弱不变原理以及其他类型的强平稳下相依序列的 b e r r y - e s s e e n 定理等从这以后，在对p a 序列和其他一些正相依序列的 研究方面都不断地有些新成果出来，但对n a 序列的研究工作就相对来 说少得多但在n a 方面的理论研究还是得到了一些与独立序列一些致 的非常漂亮的结果1 9 9 2 年m a t u l a 为n a 序列建立了k o l m o g o r o v 型的上 界不等式和三级数定理，加上p e t r o v 所建立的可适应于n a 序列推广的 硬j ：学位论文 b o r e l c a n t e l l i 引理，打开了人们对n a 序列的躺收敛性和完全收敛性的 道路。随后，人们又发现n a 序列( 不要求强平稳性) 与独立序列有着完全 相同的强大数律，其中k o l m o g o r o v 强大数律由m a t u l a 建立m a r c i n k i e w i c z 强大数律由苏淳和王岳宝建立，也有着相似的完全收敛性这些结论为 研究n a 序列提供了非常有用的理论依据 但n a 随机变量是不同于其他相互独立随机变量，它有着其本质的优 点，因此，n a 序列虽有着很多与独立序列完全相似的结果，但也有着其自 己独特的结论，从而改进了独立序列的相应结果，如张立新大文献 4 】中研 究了n a 序列的重对数律，刘立新和程士宏得蓟了不同分布n a 随机变量 列的强大数律，他通过由s h a o 在文 5 】中给出的概率不等式对n a 列建立 了若干强大数律，将由p e t r o v 得出的经典的独立随机变量序列的强大数律 推广到了n a 序列的情形在文献f 2 4 l 到文献f 2 7 】则都讨沦了关于5 1 a 列 的其他收敛性，渐近性和极限定理这些深入的结果大部分都是考虑简单 的n a 列，前对于加权和形式的n a 列一样的有着其研究价值本文就从 考虑5 r a 阵列加权积的概率不等式入手，通过概率不等式来研究他的收敛 性和极限定理 1 2 预备知识 1 2 1 概率空间与随机变量 定义1 设q 是由一些元素组成的非空集，其元素( 通常记作u ) 叫 做点或基本事件通常称q 为基本事件空间 记为由q 的某些子集组成的集类，如果它具有性质： ( i ) f ； ( i i ) 若a i ，i = 1 ，2 ，则ua ：； ( i i i ) 若a ，则a 。， 那么称为事件的盯域，并称中的元素为事件 n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 定义2 设p ( a ) ( a ) 是定义在盯域上的实值集函数，若它满 足条件： ( i ) 对每一a ，有0 p ( a ) s1 ； ( i i ) p ( f 1 ) = 1 ( i i i ) 对任意的a 。( n = 1 ，2 ，) ，a 。n a 。= 仍( 几m ) ，有可列可加 性： 尸( ua 。) = p ( a 。) ， n = ln = l 则称p ( ) 是上的概率测度，简称概率，值p ( a ) 称为事件a 的概率三 元总体( q ，p ) 称为概率空间 定义3 设x = x ( u ) 是定义在q 上的有限实值函数，如果它关于 是可测的，就称x 为一随机变量( 简记为r v ) 1 2 2 数学期望 定义4 议x = x ( ) 是疋义在慨翠空i 司( 52 ，p ) 上的r v ，如朱 厶i x l d p o 。，就称的数学期望或均值存在，记作e x ，它由下式定义： e x = l d p 利用积分变换，也可写成： e x = 仁脚 定义5 设夕( z ) 是r 1 上的b o r e l 可测函数，如果r - v g ( x ) 的数学期望 存在，即e i g ( x ) f 0 ，成立： l i mp l 一x i e = 0 则称 ) 依概率收敛于r v x 简记为x n 与0 平均收敛 一5 一 硕士学位论文 定义1 0 设 x ，；n 1 是k 上的随机变量，若 l i r ae l k x t p = 0 n _ 则称 】p 阶平均收敛于r v x ，简记为2 0 5 无穷小条件 定义1 1 称r v 组列 x 抵七= 1 ，七n ，n = 1 ，2 ) 满足无穷小条件， 若对任给的e 0 l i mm a xp i 七i = 0 n _ l k k n 。 1 2 4 一些重要的不等式 概率不等式 1 、若acu a i ，则 尸( a ) 尸( u a t ) p ( a t ) ii 2 、p 聪刚z 吾p 刚z 尸 掣刍i 凰i z ) 吾尸 l 尥i z 矩不等式 1 、对任意正数r 和c ，e i x i ( x lsc ) 1 7 e i x l 7 2 、( c r 不等式) e i x + y 1 7 c ：( e i x i + e l y r ) ，其中g = 1 若0 1 ，；1 + i 1 = 1 有 i e x y is ( 昱i x l p ，弋t 。i 。l q ，i 1 ； i e ( x y i 芗) i ( e ( i x i p l 够) ) ；1 ( e ( i y i a i 够) ) i l n s 5 、( m i n k o w s k i 不等式) 对r 1 ， nn ( e i 码1 7 ) ；s ( e i 玛l ) ； j = l j = l ( 昱( i x j l 7 l 够) ( e l 冯| r l 够) ；1 8 矗 j = l j = t 6 、( m i n k o w s k i 伴随不等式) nn e ( i x 歹1 ) 7 e t x j l ，1 ， j = lj = l e ( i x j l ) e l x j l , r 1 ， j = lj = l ( e i x j l 7 ) b ( e i 冯附， o ，记岛：n 玛 j = l ( 1 ) p ( 。m 她a x 。i s , i z ) 冬等 若i 码l c ，还有 p ( 滕侧 啦! 一锚 ( 2 ) 设有， 1 ，e l x j l 7 l c j n ( e ls u 、p s i p ) 吉sq s u p ( e l s i p ) 古，其中p 1 ，g 1 且；1 + ：= 1 n ln l 1 1 3 本文的主要工作 自从上个世纪八十年代由j o a g - d e v 和p r o s c h a n 提出n a 随机变量序 列的概念以来，n a 列的极限理论也开始了迅速地发展，在一些方面得到 了与i i d 相一致的结论，也还有一些结果还改进了独立列的相应结果，如 n a 随机变量序列的概率不等式、矩不等式、几乎处处收敛性、完全收敛 性、中心极限定理、强大数定律、重对数律等但大多数结论都是对于 n a 随机变量序列的情形来讨论的而对于n a 随机变量阵列形式及n a 阵列的加权和形式的一些问题的讨论还是不够完整，还有待于进一步的 深入探讨 定义：称 ，1 j k ，n21 为n a 随机变量阵列，若对任何自然 一8 n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 数n ， ，1 j k n ，几1 都是n a 序列，其中k ，n 1 是正整数列 基于上述问题和思想，本硕士论文的主要工作为： 在第二章讨论了n a 阵列加权和& 的最大部分和的概率不等式 p k m k a x 。i s ：, l z s2 p 1 m ，a 0 ，y x ，y 2 ， y k 。为一组正数，且y m a x ( y 1 ，y 2 ，y k 。) ，毋满足 k e x o i ( x , j u j ) + 谚p ( 协) 】b y ( 2 2 1 ) - - x 记& ：釜，若0 b y 0 ，有 尸( m a x 瓯z ) s 、l k n m a xg l k n ，1 燃瓯 七 翟j 1 十l ， i 鼬x k z i 协) - be - t z e e x p ( 黼。魄) j-1 d 尸 矗尸 ( 2 2 3 ) 由于对1 j k n ，e m i n ( ，耽) e z n j 0 ，又由d o o b 非负下鞅不等式， 对任意的p 1 ，得 e e x p ( 1 m 七a 气x 。t u 七) e e x p ( 磷。死) e e 印攀p ( 疋一e 死) 】 e m 七a n xe x v t ( t 七一e 瓦) 】 ( 寺) p e e x p t ( t 一e 驯 1 2 一 ( 2 2 4 ) n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 由( 2 2 1 ) 式及文献 8 ，定理1 】的证法，对k n ，有 e e x p ( t m i n ( z n j ，协) ) = 1 + t e m i n ( z , , j ，协) + e ( e 。z 南一t 一1 ) j ( 协) + ( e 。珊一t 蜥一1 ) 尸( z 町协) 51 十r e t a i n ( ，约) + 竿 e 2 ，( 协) + 谚尸( 酬 se x p t em i n ( ，协) + 竿【e 2 j ( 协) + 谚尸( 训 所以 e 刚t n ) 0 ，代入上式，于是再由( 2 2 3 ) 式即得( 2 2 2 ) 式证 时有 推论2 2 1 若对定理1 1 中的y = y 1 = y 2 = = y 七。则当0 卅e 唧 ；一( ；+ b - 拶- - r - y ) n ( 1 + 器) 证明同样令 所以也有 巩= m i n ( x n l ，协) ，死= m i n ( z n j ，蜥) j = lj = l 尸( 鼍多瓯z ) s 尸( 1 m y ) + 尸( m s 七a s x n u k z ) 1 3 硕士学位论文 以下的证明完全类似定理1 1 的证明证毕! 定理2 2 2 设 x 巧，1sj 七。 为n a 阵列，e 0 ，e x 毛霹，j = 1 ，2 ， ， 乃 为一实数列，记& ：釜，b 。：壹田，z o ， 1 ，若o 可) + e e x p 咕一( 考+ u - y - r - y ) l n ( 1 + 器) 尸m 坳a x ( 吲划夕m 燃a x 。( 一酬 s ，) + e e x p y 一( 考十矿b y 岬+ 嚣) 】 所以 尸 m 燮a x 。i 1 z 】- 尸 。戮i i2 詈 + 2 e e x p 卜( t + 丁x 2 b ) l n ( 1 + 丢) 所以结论成立证毕! 上面讨论的都是n a 随机变量阵列的最大部分和不等式，而对于n a 随机变量阵列加权和& ：釜a n j x 巧而言，考虑s k ：釜x 可与 j = lj = l m 蜓a x 。i & z 一1 4 一 ”鄙竺慨阻 + q h 孚 十 一 p唧 舱l 。 z 一 墨 ，、 p 一 & 燃 p 因为 s k l = 所以： n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 a 嘶x 可l i = l k 赋( ) 。x 巧l j - - - _ 工 i 孥黔( n 可) i j 七n 、。 m s x i a n i l j k 。 h i i = l k i i = i p m s 七a s x 。i s k l z p m j s a x l n 可i m 七& 。x 则由定理1 2 的( 2 2 5 ) 式有 = p m k a x n i戳i x 阿i z i = 1 p 嬲慨险耐”键m a xi i 南 托e 刚邮+ 知m c h o 可i ) + 2 e 唧蚪研x 2 b n 岬+ ( 2 2 7 ) t ( mi a x j o ，j = 1 ，2 ，有 p i i z ) c p x i z ，e x 2 0 0 记= m a x j k ni a n j i = d ( 簖1 ) ，b n 0 有 而由( 2 2 8 ) 式知 所以 令 尸fm a xi 。l k 七= 1 2 一t + 研e 2 b n n - - - - 1 2 e p fm a x l n - - - ij - - 1 i a n j ) 2 玩 t m a x j k 2 k 。 曰， j = t ) 】 + t m j s a x e 哪邓+ 南m ”j s 那么下面只需证i 且2 1 1 0 0 址 z 1 6 一 a j 1 ) 2 b n ) = 既 x o k 触 意! l t l 纛熊 一t n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 得 k n 一 壮n = l 驴j - - t l 南 意 n = lj = l j z 。 n = l 又由于 即有 所以有 o ok 1 1 c p i x i n = lj = l 5c k n p i x l n = l ” a n j l 懋l i = 。( k 1 ) ， 1 9 擎i a n d i j s j t n 赢 t m a x l n n j l j k “ 南 m a xi c n i j k c k 札p i x l c e t 。k n n = l e x 2 0 ，则 ( i ) e ( i x l 7 1 ( i x l n ) ) 冬r t r - i p ( 1 x i t ) d t ( i i ) e ( i x i z ( i x i n ) ) = a r p ( 1 x l 凸) + rr 0 。t r - i p ( i x l t ) d t 一1r 一 耍 邶 一 j 上 万 l 训 聊砖 ，莎腼 蹬 獬 躺 n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 定理2 3 1设 ，1 歹七n 为n a 阵列，e x n j = o ，歹= 1 ，2 ，设 1sr li=1_7 证明对v 1 isk ，令 x - , = x n i ( i x i i i o t i i i - 1 ) 一i i i _ 1 j ( x 0 i n 。t i _ 1 ) 义：= i 1 ( i x n i i i i l 一1 ) + l a 。i i 一1 i ( x 瓜 i i i 一1 ) 则由n a 序列的性质知 霸； 与 x 幺 仍然为n a 序列，并且 又已知e x 产0 所以有 令 x - , + x ：= k e l n m l = e l ( x 幺+ 碟) 1 7 i - - - - 1i - - - - i k = e i q m ( 群i e 戤) 十。m ( 群一e x 。 ，、。1 7 = l 七n七n c e i n m ( x 幺一e x 幺) 1 7 + c e i n m ( 碟一e x 幺) 1 7 i - - - 1i - - - - 1 i k七n c ( ej a i x 。；陌+ c e i x 邻 kk e x 砸i1 2 = ，e l n m 碟i = 如 - - - 1i - - - - 1 1 9 讨论，l 1 1 = 因为 e l l 。t k t l 2 = 硕士学位论文 阎磁t 1 2 i - - - - 1 a n i l 2 e i x 砸1 2 ( i x 。“1 1 2 n i i - 1 ) 4 - l a n i i p ( 1 x 砸i i o 。t i _ 1 ) 】 a n i l 2 e i x d 2 i ( i x 哦i i n 砸| - 1 ) + p ( 1 x 砸l a n i 一1 ) i = li = 1 = 以4 - j 2 k j l ( m a x f a n d ) 2 e i x t 1 2 1 ( i x t l l a , i 。1 ) 由条 i = 1 ( m a xl a n d ) 2 e t x 扎t 阳l i 川。) i = 1 k c ( m a x l i ) 2 广| 一叫i 州z c ( m a x 川) 2 七n o 坩1 c k t - _ 。_ 2 2 l a i l - t x s l i pi - 1 j o- 1 件( i i ) 又因为 得 x s l i p i l i l 尸( i 刘 x ) d z k - - - 1 p ( 1 x n 一 x ) d x k = l _ 0 以= p ( i x 。t i 门 当i n 。；i _ 1 充分大时，由条件可知 n n l _ s l i p i _ 1 i l c k n s 以l i pi 一1 k = l 尸( 刚 l a , i 一1 ) 尸( 1 一 i n n t i - 1 ) s k = l 2 0 一 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) = = n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 即 所以 所以 所以 s 甜u p 一言刑i 时1 陋k i i t 鲰獗分朝晰1 讨论如 也s u p i 一1 p ( 1 x 。七l l a n i i 一1 ) 蚓。c e 。2 l k - - - 1 以_ 0 ，l = 以+ 也一0 j 1 2 一e 碟1 7 = e l a i 1 7 e i x 七n = 【( 蚓e ) ( t t t ( 1 i l a , i 。1 ) + 尸“t i l a , i 。) 】 kk = l a , 1 7 e i x , 1 7 ，( | t i i n 戚i _ 1 ) + p ( 1 x d l a , i 1 ) j k， 2 善k 一帆i 叶尸( 陬一 i | - 1 ) + r 。，- 1 p ( i x n d l l - 1 ) 酬 kk， = i 尸( i t i i 。) 十r 酬一。，。1 p ( 1 i 。)如-1l a , i i - = 1 v l n 引 k n s u p i 一1 尸( i 七i l a n i i _ 1 ) t ， i + ，_ ( m a ) ( 蚓) 7 k ，_ = e r - 1s u p i 。p ( i x n k l z ) d x ( 2 3 3 ) v i i - 1 i 1 看 由下面条件可知 k 莎1 苫刑i l a , i _ 1 ) 鲰 2 1 硕士学位论文 而对于r ( m a xl a n tj ) 7 k n 0 。a n 扩t 矿。1 s u p _ 1 尸( 1 七i x ) d x l l k - - - 1 当x 充分大时，v e 0 ，据条件知 所以 厂 矿- 1s u p i “一l i l 所以 s u p i i i l p ( i x 。七i z ) c x k = l 尸( i 剐 州z 仁 咖毗i ) r k o 因此 故 ，一ls u p i l i 1 x r - - i x 一。d x l = e ，一1 一。d x j l a , ，i - 1 = 高 _ ( i t i - 1 ) 卜1 = 击( 蚓。1 ) 卜。 c e k 一一 c 后i _ 1 5 2p ( i x 。七i k - - - 1 如一0 & 量0 2 2 一 ( 2 3 4 ) z ) d zsc 蔚；+ 1 露：c e 。脚 l r n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 3 n a 阵列加权和& 的强极限定理 3 1 引言 在文献【1 8 】中袁德美利用了截尾的方法和条件三级数定理作为工具， 研究了任意随机变量序列的性质，得到了矩条件下任意随机变量序列的 一类强极限定理和强大数定律，以及一些简单实用的结论本文则利用 n a 随机变量的矩不等式和b o r e l c a n t e l l i 引理，通过对n a 阵列加权和前 的加权系数做限制条件，得出了n a 阵列加权和的一个强极限定理为了 叙述和证明本章的主要结果，我们给出本章将要用到的两个引理： b o r e l c a n t e l l i 引理( i ) 若p ( a n ) o ，j = 1 ，2 ，有尸 j 粕i z ) sc p i x i z ， e x 2 ：仍 0 ，有 i = x j & = d ( 1 n 礼) 口) o s 2 3 硕士学位论文 证明令巩= 堕m a s , i s m i 所以要证岛= d ( n ( 1 n n ) 口) n s 成立，只需证 记n 七= 2 k + l 。令 o ( p i u k l e 礼；) 一n ；川x 哪i n 1 ) + e i x 喇i i ( i x 砌i 几 ) 】 j = t c ( 2 ；k 。) 一1 1 1 1 , ( 几应+ 几尾) j - - t c 2 一七一2 2 n i 侥 = c 2 七+ 1 七一。仍_ o ( k _ ) 即s u ；p l 。可i ( 犁) _ 0 n s 对m 一致成立 2 4 一 ( 3 2 1 ) 动“ 芦 = 一q 七 岛i 2x一七k 芦 e p 吼 n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 故对充分大的k 有 尸删e ：尸 等m a x i i = 尸 。 m 侧a x 叭i i e 2 即 令 所以 = 尸 l m 。 a 2 x q 喇x m j l j = 1 t l k p i x 。j l j = l i e 2 i k 七n 礼； + p l m m a x 。i i 删m 哪! 州。m a xi 一刚名 i i ( k ) = k = l 如( 南) = l i l ( k ) = n k p x i 礼l 尸 m a xi 一e i l m 1 那么( 3 2 4 ) 式 = c 2 一a 克一2 。a ( s u i pl m j l ) 2 a e ( 1 m 。a x k - -。 - - lj 2 2 ”o 由引理得 又知 所以 所以 2 k + 1m a x j n k ( s u pi n 删i ) 2 a j i 一e t m ) 2 a 如( 七) c 2 “a k - 2 a ) 、( s u 二p a m j ) 2 a k = lk - - - i e l y m j ( k ) 一e y i n g ( k ) 弘+ ( 2 七+ 1 m a x j n 知 ( 3 2 4 ) m ，a xe ( y m j ( 后) 一e y m j ( 后) ) 2 ) a 】 j s n k i l y m j ( 后) isn ；，l e k 叫( 七) l n l e ( y , n i ( k ) 一e k 蟛( 七) ) 2 m ，a xe ( ( 是) ) 2 e x 2 j s n k m a x e l y m j ( k ) 一e k 町( 后) 1 2 a 2 ( 七+ 1 ) q 一1 ) e x 2 j s n 知 厶( 七) c 2 。肌k2 幽( 吼l p i n 删i k = 1 ) 2 2 七“2 ( 川) ( h ) e x 2 + ( 2 七+ 1 e x 2 ) 1 c 2 一天是k - - 2 以( s u pi 。m j l ) 纵【2 k + 1 2 盎+ 1 入一1 + ( 2 知+ 1 ) a 】 k - - - 1 o n 仃巧旷( 2 a ( 七+ 1 + 2 a ( 七+ 1 ) 一2 6 一 ( 3 2 5 )p u j s q2 七 一 2 胁 c 1 所以 所以可得 所以结论成立证毕! o o 如( 七) o o k - - - - i e l u , l e o o k - - - - i 一2 7 n a 阵列加权和的收敛性和一个强极限定理 结束语 n a 随机变量是八十年代初引入的一类重要的相依随机变量，从提出 至今，对n a 序列的研究有了一定的成果，为n a 序列的应用提供了有力 的理论指导但n a 序列与独立随机变量序列相比有及鲜明的特点本文 主要从n a 序列的极限性质来考查n a 随机变量序列的特点从文章的第 二章中讨论了具有不同分布的n a 阵列加权和的最大部分和不等式并用 它的最大部分和不等式来讨论它的几乎处处收敛性，以及n a 阵列加权和 的平均收敛性( 其中1 r 2 ) 在第三章中以讨论了n a 阵列加权和的强 极限定理 n a 阵列加权和的研究还有着大量的工作，比如n a 阵列加权和的重 对数律及放宽矩条件的n a 阵列加权和的收敛性，强大数律，极限定理等 2 9 参考文献 【1 】苏淳，赵林城，王岳宝n a 序列的矩不等式与弱收敛明中国科学a 辑， 1 9 9 6 ( 1 2 ) ：1 0 9