（运筹学与控制论专业论文）半正定函数的稳定性判据.pdf

中文摘要 稳定性理论在控制理论和应用中起到关键作用，而时变系统稳定性问题的 研究是个非常困难的问题本文用l y a p u n o v 第二方法对一般非线性时变系统进 行稳定性分析利用半正定的时变函数作为候选l y a p u n o v 函数，给出平衡点一 致渐近稳定( u a s ) 的判据，即建立在给定l y a p u n o v 条件基础上的集合稳定性以 保证整个系统的一致渐近稳定结果这个方法把寻找时变系统l y a p u n o v 函数的 范围从正定函数扩大到半正定函数由于l y a p u n o v 函数没有系统的构造方法， 因此这种扩大的方法在理论研究和控制实践中都具有重要价值 本文主要分为三个部分： 第一部分为引言在这一部分中，首先简述阀题的研究背景，再给出一些概 念及已有的一些结果 第二部分为本文的主要定理，并给出详细的证明同时给出一个具体的应 用例子 第三部分是本文工作的小结 关键词：非线性时变系统，集合稳定，一致渐近稳定 s t a b i l i t yt h e o r yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ec o n t r o lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n w eh a v em u c ht r o u b l ew h e nw es t u d ys t a b i l i t yt h e o r yf o rt h et i m e - v a r y i n gs y s t e m s t h i sp a p e rp r e s e n t ss t a b i l i t ya n a l y s i sf u rg e n e r a ln o n l i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e m s i t u s e sap o s i t i v es e m i d e f i n i t et i m e - v a r y i n gf u n c t i o na sac a n d i d a t el y a p u n o vf u n c t i o n t o p r o v i d e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h e u n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e e q u i l i b r i u mo ft h eg i v e nt i m e - v a r y i n gs y s t e m s t h i sm e t h o de x t e n d st h er a n g eo ft h e l y a p u n o vf u n c t i o n , f r o mp o s i t i v ed e f i n i t ef u n c t i o n s ，t op o s i t i v e s e m i d e f i n i t e f u n c t i o n s s i n c et h e r ei sn os y s t e m a t i ca p p r o a c ht oc o n s t r u c tal y a p u n o vf u n c t i o ni n g e n e r a l ，t h i sm e t h o do nt h ee x t e n s i o no ft h er a n g eh a si m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei nb o t h c o n t r o lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n si ni n d u s t r i e s t h i sp a p e ri so r g a n i z e di nm a i n l yt h r e ep a r t s ： t h ef i r s tp a r ti sa ni n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f t h es t u d i e dp r o b l e ma n dp r e s e n ts o m en o t i o n sa n dr e s u l t si nt h ep r e v i o u sl i t e r a t u r e s t h es e c o n dp a r ti st h em a i nt h e o r e m sa n dt h e i rd e t a i l e dp r o o f m e a n w h i l e ，a n e x a m p l e i sg i v e nt os h o wt h e v a l i d i t yo f t h er e s u l t s t h et h i r dp a r ti sa s u m m e r y o nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e m s ，m u a s ，u n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：盘菇盗日期：盏丑：兰 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：氲蒇稚导师签名： 日期：塑9 ：鱼：羔 第一章引言 1 1 研究背景 稳定性概念十分重要任何实际系统在各种干扰下能否保持预定的工作状 况或者平衡状态，这就是个稳定性问题由l y a p u n o v 第二方法所建立的一般理 论框架至今仍然是稳定性理论的基本平台( 【l 5 】) 1 9 6 0 年，l a s a l l e 发现了l y a p u n o v 函数与解的极限集之间的关系一个运动 的极限集位置的研究，就是考查该运动的渐近行为利用极限集的不变性，适当 选定l y a p u n o v 函数能够给出极限集位置的信息作为其最直接的应用，可以获 得著名的k r o s o v s k i i l a s a l l e 稳定性判据对于一般时变系统，该定理不再成立 如何将k r o s o v s k i i l a s a l l e 的这种思想，推广到时变系统，是目前正在进行深入研 究的理论课题 时变系统稳定性的研究不仅有其理论上的需要，而且有其深刻的应用背景 控制理论中的跟踪问题需要研究时变系统的稳定性即使自治系统，有时也无法 用时不变的反馈控制器镇定下来。而需要时变控制器从数学角度看时变系统的 稳定性有许多分类，但从控制理论鲁棒的观点看，本文仅对一致渐近稳定性的问 题感兴趣 对于时变系统的稳定性分析。l y a p u n o v 第二方法的基本特征是，寻找一个正 定函数，使其沿着系统的轨道的导数负定在很多控制应用中，这个导数经常是 半负定，对于时不变系统，处理这个问题的有力工具是l a s a l l e 不变原理但是 l a s a l l e 不变原理不能直接应用到时变系统这是因为在时变系统中。m 极限集 一般来说不再是不变集( 【5 】) 因此，在推广过程中遇到实质性的困难当前，在 控制论界现有的文献中大致有三种不同的方法都是在l y a p u n o v 一致稳定条件 的基础上，进一步施加什么条件能够保证一致渐近稳定性一种方法是利用极限 2 方程的概念早期的工作可追溯到a r s t e i n 和l a s a l l e ( 【7 一1 0 】) 近期的工作是l e e 和j i a n g ( 1 1 - 1 3 】) 他们在时变系统极限解存在的基础上，引进了弱0 - 状态可测的 概念来保证系统的一致渐近稳定性另一个方法是文献【2 0 】中提出的6 一p e 条件 ( d 一持续激励条件) ，它被成功地应用到一类非线性时变系统( 【2 1 】) 这两种方法 之间是存在某种意义下的等价关系这两种方法有一个共同特点，都是在一致稳 定的基础上，施加某种条件保证一致吸引的问题目前这些方法都无法处理半正 定函数的情况 除了上面提到的两种方法之外，还有第三种方法，即传统的l y a p u n o v 第二 方法处理时变系统的稳定性众所周知，如何构造l y a p u n o v 函数，没有系统的方 法因此扩大寻找l y a p u n o v 函数的范围也是十分有意义的研究工作文献【2 4 】利 用时不变半正定函数作为候选l y a p u n o v 函数来研究时变系统的稳定性其证明 过程依赖于建立在文献【6 】中的定理2 ，是具有严格条件限制的时变系统的某种 l a s a u e 不变原理因此其方法不宜进一步推广到时变的半正定函数本文研究 用时变的半正定函数作为候选l y a p u n o v 函数来研究时变系统的稳定性，给出了 一致渐近稳定的判据 为了克服零状态集一般不具有正不变性的特征，本文引进集合条件一致渐 近稳定的概念利用时变系统某种类不变原理的思想，建立了时变系统一致渐近 稳定的判据推广了k r o s o v s k i i l a s a l l e 定理至时变系统的情形 1 2 预备知识 本文考虑如下的时变系统 童一f ( t ，工) ( 1 ) 其中，：r + x d 一彤，d c _ r “是包含并一0 的开集，f ( t ，0 ) - 0 ，v t e r + 本文需要 如下的基本假设： 3 假设l ：，连续且关于x 满足局部l i p s c h i t z 条件，即任给一个紧集口c d ，存在常 数厶，0 ( 与t 乏0 无关) ，使得 ，( f ，x 1 ) 一f ( t ，x ：) i i - li i x , 一而，v x l ，x 2 e b ，t e r + 由假设1 可知任给初值( r ，亭) r + x d ，系统( 1 ) 存在唯一的解，用妒( f ；f ，言) 表示， 且关于初值p ，宇) x d 具有连续依赖性( 1 2 6 1 ) 假设2 ：系统( 1 ) 是完全的，即v ( f ，亭) r + x d ，它的解妒( f ；f ，亭) 在p ，+ o o ) 上整体 存在 注：这个假设说明对任意的初始时刻f 和任意初值亭d ，始于( r ，亭) 的轨道 妒( f ；f ，亭) 不会产生有限逃逸，即解的存在区间都是p ，+ m ) 本文中，将使用以下概念： 若连续函数a ：r + 一r + 严格递增k a ( o ) - 0 ，则a 属于k 类函数，用a e k 表示 。若连续函数卢：r + x r + 一彤对每个固定的f 2 0 ，p ( s ，t ) 是关于s 的k 类函数， 并且对每个固定的s ，p ( s ，t ) 是t 的递减函数，则卢属于碰类函数，用卢碰表 示 定义1 ：称系统( 1 ) 的平衡点工一0 是一致稳定的，如果v s ，0 ，了屯，0 ，使得 v f 2 0 及亭d ，轨道妒以f ，亭) 在t 之f 有定义，且下式成立 亭母4 0 妒o ；f ，亭) 0 使v f 之0 及亭d ，轨道伊o ；f ，亭) 在f _ r 有定义，且下式成立 亭b = 争i l 驴( f ；f ，亭) l i t ，t f + t 定义3 ：称系统( 1 ) 的平衡点x 一0 是一致渐近稳定( 记为u a s ) ，如果它既一致稳 定，又一致吸引 定义4 ：设x 一0 z c r “称系统( 1 ) 的平衡点z 一0 关于z 一一致稳定( 记为 4 z u s ) ，若v o ，j 6 ， o ，使得v f 苫0 及亭z ，轨道妒( f ；l 亭) 在v t 之f 有定 义，且下式成立 亭见i q z n 伊o ；f ，o i l 0 ，存在z 0 ，使得v f 0 及亭2 ，轨道妒o ；f ，亭) 在v f f 有定义，且下 式成立 亭玩f l z 辛妒( f ；f ，亭) 0 ，满足0 o 使得0 磊0 6 且 i i 驴( t ；- o ，岛) i i o ，s f + f o ；( 4 ) 0 驴瓴+ ，；，岛) i i t 岛( 5 ) 其中+ f 。是从初始时刻，初始状态岛出发的轨道第一次离开球氏的时间 由于6 ，o 是任意的，可选取一列岛c 气满足l i m0 i i - o ，f f 黼- - + n + ，j 之。及 o 使得 妒p ；，) c 岛，s ，+ c ；( 6 ) 妒瓴+ ；，) 0 = ，v 竹+ ( 7 ) 其中+ ，是从时刻状态出发第一次离开球芝。的时间列。 往证存在某一p + ，使得0 妒( o + ；o ，岛) 0c ，这与( 7 ) 矛盾，于是可得 所需的结果 因为石一。是m o a ，所以，j ，7 o ，对每一给定的 o ，存在乙) 0 ，使得 对v f 苫0 。 也岛n m 。一l l 舛；f ，z ) o c 粤，v t 乏f + 己 ( 8 ) 由于 f 。一u s ，所以可取g 。，使得i t n m 。c _ b ，n m 。，即面。n m 。包含 在m 。的吸引域内 由假设1 可知，满足解对初值的连续依赖性的条件，所以将其应用到紧集 | f ，f + 王。】瓦，v f 芏。上去，可得，对给定的，0 ，3 a o ( 与f 无关) ，使得 v 工，y e b ，。及f p ，+ 毛】，有 1 1 - , - 3 , 1 1 t a 一妒o ；f ，x ) 一妒o ；f ，y ) “t 要，v f 之o ( 9 ) 因为豫 c 气且满足。l i - m 。i i - 0 ，所以j + 使得当斗2 有0 磊i i s a 在( 9 ) 中取石一，y 一0 ，则对v f 0 ，当n 有 ， i iq o ( t ；f ，) i i c i e o ，v f p ，f + t 。】 特别，当f 一2 0 时也成立，于是当n ：n ot f f n 妒( f ；，毛) o t 鲁，v f h ，+ 乇】 ( 1 0 ) 由( 6 ) 可知：当厅z 有o t ot 碍所以，当n z 有o t 碍一 碍 若在( 6 ) 中取t m z n + e 一乙，则_ t f 一+ 碍一t l + ，于是由( 6 ) 可得当 n2 竹。时，有 i i 伊瓴+ 碍一l ；，) h c 定义乙一地+ 辞一；，邑) ，则k ) 。c b 。因此乜) 是有界序列由聚 点原理，可取它的收敛子列不失一般性，设它仍为怯) ，! 觋乙一；i 。由条 件( 2 ) 和( 3 ) ，有 o 噬q 卜l i m ( z 一) l i m v ( r + t o 一，妒瓴+ e 一；l ，) ) 主! 鳃y 纯，妒瓴；，” 。! 鳃y 瓴，磊) 0 ，存在t 0 ，使得对 v f 0 及亭d ，都有 i l 亭i i 0 满足0 6 ，使得对v f 苫0 及亭兄c d ，都有 0 妒( f ；f ，亭) 0 0 ，对这上述的6 ，存在瓦) 0 ，使得 v f 2 0 及z e n m l ， ，圳i t 鲁，v t ，, r + t 6 取t - r + t j ，则 。妒( r + 瓦；r ，z ) l i c 喜，v f z o 及z e b , n m ， ( 1 7 ) 对上述给定的，0 ，再次利用平衡点x 一0 一致稳定的性质，可得 j0 叼，使得v r 0 ， v 亭只c a , 0 伊( f ；f ，亭) h 0 使得当f 。2 _ r + l 时 i i 妒以；f ，亭) - - z0 c a 类似于定理l 的证明，把解对初值的连续依赖性的性质应用到紧集 p + 乃，f + 瓦+ l 】赢上，v f z o ，可得：对给定的f z o ，j 万，o 使得 i i - x l l c i o 妒o ；f ，工) 一妒( f ；l y ) i l c 罢，v f p + 瓦，f + 瓦+ 五】 i 2 0 ) 因为a 是任意的，所以可取| ；ls 五由( 1 8 ) 可知， v 亭吃 i l 妒( r + 瓦；f ，亭) 0 t ，i i z t r 取工。妒p + 瓦；f ，亭) _ ，y z _ ，满足i l 伊( r + l ；f ，亭) 一z i i s i 因此， 由( 2 0 ) 得 i i 妒o ；r + i t , ，妒p + 瓦；- r ，亭) ) 一妒( f ；f + 五，z ) 肛言，v f p + 瓦，f + i t , + 五1 1 0 特别，对t f + 瓦+ e ，可得 9 ( f + 五+ 巧；r + 五，妒p + 五；f ，劝一妒( r + 五+ 五；f + 五，孑) 一( 要， 即 。 伊p + 五+ 乃；f ，勤一矿p + 五+ 瓦；f + 五，z ) i i 0 ，存在。瓦+ 五，o ，使得对v f o 及亭d ， 6 妒 + 五+ t 6 ；r ，亭) 0 6 ，v f2 0 ， 其中i i t i i ( 叩于是由一致稳定性( 1 6 ) i i 妒( f ；f + 五+ 瓦，伊p + 五+ 毛；f ，亭) ) 0 ，v t 毫f + t ， 即 妒( f ；f ，亭) h g ，v t 七f + t 由定义表明平衡点x 一0 是一致吸引的因此，工- 0 是一致渐近稳定的证毕 定理3 设系统( 1 ) 满足假设1 和2 ，若存在函数矿( f ，工) c 1 俾+ x d ，r ) ，半正定函 数 ) 之。且彬( o ) 一o ( ，一1 ，2 ) 使得 彬( 力s 矿( f ，工) s 彬o ) ( 2 3 ) 矿( f ，x ) 一i o v + t ，曲墨一a o ，工) ) ( 2 4 ) v ( t ，石) 尺+ x d ，其中a k ，且系统( 1 ) 的平衡点z 一0 是m ，一u a s ，其中 m - - 协d 1 x ) - 0 ，则系统( 1 ) 的平衡点x 一0 是一渐近稳定的 证明：除( 1 9 ) 之外，其他与定理2 的证明完全一样 令y o ) 是一阶微分方程 y 。一a ( y ) 1 1 的解，y e o , r ，其初始条件为y p ) 一矿( r ，亭) 啊( 亭) 之0 由比较原理知 v ( t ，伊o ；f ，亭) ) 五y ( f ) ，t 苫f 由引理3 4 ( 【5 1 ) ，存在定义在【o ，r ) r + 上的k l 类函数卢( s ，f ) ，使得 v ( t ，p ( t ；l r ，亭) ) sy o ) s 卢( 暇( 亭) ，t - 3 ) ， 所以由( 2 4 ) 可知 啊( 妒( f ；f ，亭) ) sy ( t ) s 卢( 暇( 亭) ，t - 3 ) 从上式可知，v f 苫0 ，亭只，暇 o ；f ，亭) ) 一0 ( f m ) 所以 妒o ；f ，宇) 。膨- ( f 一) ，v f 2 0 ，宇只 同时，因为点石一o 一致稳定，可得v 亭玩4 妒( f ；f ，亭) e ，v 3 2 0 所以 妒o ；l 亭) 一_ ，( f 一* ) 因此 妒o ；f ，亭) 曰，n m l ，v f 0 。 证毕 注：从等式( 1 5 ) 中可以看出，零集v t 0 与零集v ；0 是相同的从自治系统的情 况来看( 【5 】) ，零集v - 0 是零集v 一0 的子集，因此该问题在1 9 9 8 年被解决但对 时变系统呢，仍然不得而知本文仅解决了其中的一种情况 2 2 一个例子 考虑时变系统 i x ：- 占- ( p 1 ，+ 五e ，- t ) x ) 1 一而 其中g ( t ，0 ，x 2 ) 一o 显然，原点是平衡点用候选l y a p u n o v 函数 v ( t ，石) 一o + e “k 22 0 ， 显然可取：o ) ；2 ，形x ) 一2 x 1 2 y ( f ，工) 沿着系统轨道的导数是 v o ，工) 一一e - t 工1 2 2 ( 1 + e 。) 而2s 一2 ( 1 + e 。) _ 2 ( 2 3 ) s一2x,2，(24) 因为m 。- “，算：) e r 2 i x a o ，m ： 瓴，x 2 ) r 2 i 五一田，所以m 1 m ： 此时，对v 亭m 1 ，都有嘶皓) 一w 2 ( 亭) 一0 ，因为 0 蔓暇( 妒( f ；f ，宇) ) v ( t ；e p ( t ；r ，亭) ) y p ；妒( r ；f ，亭) ) 一y ，亭) ( 亭) 一0 ，v t 之f 所以 是正不变流形于是，v ( t ，x 2 ) e m 。，原系统在m 。上的限制是 呓一- x 2 它显然是u a s ，所以它是m a u a s 于是满足定理2 的所有条件，由定理2 可知整 个系统的零解是u a s 由于g ( f ，五，屯) 是任意满足g ( t ，o ，x 2 ) g o 的函数，无法求解析解，取 g ( t ，x a ，如) - x a 一，编写仿真程序，可得仿真结果为 由此仿真可知，整个系统的零解是一致渐近稳定的，与定理结果相符。 注：条件m u a s 的验证一般来说仍然是个困难的问题，如何有效验证m ，一 u a s 需要进一步研究 1 4 第三章小结 本文提供了判断非线性时变系统平衡点一致渐近稳定( u a s ) 的判据在 l y a p u n o v 条件的基础上，用m 1 - u a s 来保证整个系统相应的u a s 把寻找时变系 统l y a p u n o v 函数的范围从正定函数推广到半正定函数将l y a p u n o v 函数的适用 范围扩大本文中，回避讨论解的正极限集问题事实上，从证明中可见，正极限 集仅仅是m 的一个子集本文用l y a p u n o v 第二方法和分析手段给出了一般时变 系统一致稳定和一致渐近稳定的结果具有一定的理论意义 众所周知。时变系统的稳定性分析和鲁棒控制是个非常困难的问题本文工 作仍然需要进一步研究1 有效验证 一u a s 的方法：2 时变系统解的正极限 集的某种不变原理：3 与已有工作的关系与比较：4 在控制理论中的应用5 更一般的情形的稳定性判据这些仍然都是具有挑战性的工作，有待于进一步深 入仔细研究 参考文献 【1 】d a c y c l s ，“a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn o n a u t o n o m o n ss y s t e m sb yl i a p u n o v sd i r e c t m e t h o d ”, s y s t c o n t r o ll e t t , v 0 1 2 5 ，p p 2 7 3 - 2 8 0 ，1 9 9 5 【2 】z a r t s t e i n ，“u n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yv i at h el i m i t i n ge q u a t i o n s ”, j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，v 0 1 2 7 ，p p 1 7 2 1 8 9 ，1 9 7 8 【3 】c i b r y n e s ，a i s o d o r i ，a n dj w i l l e m s ，“p a s s i v i t y , f e e d b a c ke q u i v a l e n c ea n d t h e o o b a ls t a b i l i z a t i o no fm i n i m u mp h a s es y s t e m s ”, i e e et r a n s a u t o m a t c o n t r ， v 0 1 3 6 ，p p 1 2 2 8 1 2 4 0 ，n o v 1 9 9 1 【4 】c i b y m e sa n dm a r t i nc e ( 1 9 9 5 ) ，“a ni n t e g r a l i n v a r i a n c ep r i n c i p l ef o rn o n l i n e a r s y s t e m s ”，i e e et r a n s o n a u t o m a t i cc o n t r o l ，v 0 1 4 0 ，p p 9 8 3 9 9 4 5 1k h a l i lh 1 ( ( 1 9 9 6 ) “n o n l i n e a rs y s t e m s 2 耐e d ”n e wy o r k ：p r e n t i c eh a l l 【6 】j p l a s a l l e ，“s t a b i l i t yt h e o r y f o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”z d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，v 0 1 4 ，p p 5 7 - 6 5 ，1 9 6 8 【7 】a r t s t e i nz ，( 1 9 7 6 ) “l i m i te q u a t i o n sa n ds t a b i l i t yo fn o n a u t o n o m o n so r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ”n s i a mr e g i o n a l c o n f e r e n c es e r i e s 伽a p p l i e d m a t h e m a t i c s p h i l a d e l p h i a , p a ：s i a m v 0 1 2 5 【8 】8 a r t s t e i nz ，( 1 9 7 8 ) “u n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yv i at h el i m i t i n ge q u a t i o n s ”z d i f f e r e n t 缸le q u a t i o n s , v 0 1 2 7 ，p p 1 7 2 - 1 8 9 【9 】l a s a l l e ，j e ( 1 9 7 6 ) “s t a b i l i t yo fn o n a u t o n o m o u ss y s t e m s ”n o n l i n e a ra n a l y s i s , t h e o r y , m e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n s i ( 1 ) ，8 3 9 1 【1 0 a r t s t e i nz ，( 1 9 8 2 ) “s t a b i l i t y , o b s e r v a b i l i t ya n di n v a r i a n c e ”zo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，v 0 1 4 4 , p p 2 2 4 - 2 4 8 【1 1 l e et c ，l i a wd c a n dc h e nb v ，s ( 2 0 0 1 ) “ag e n e r a li n v a r i a n c ep r i n c i p l ef o r n o n l i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o n s ”1 e e et r a n s a u t o n tc o n t r o l , v 0 1 4 6 ，n o 1 2 ，p p 1 9 8 9 1 9 9 3 【1 2 】l e et c a n dc h e nb s ( 2 0 0 2 ) “ag e n e r a ls t a b i l i t yc r i t e r i o nf o rt i m e - v a r y i n g s y s t e m su s i n gam o d i f i e dd e t e c t a b i l i t yc o n d i t i o n ”i e e et r a n s a u t o m c o n t r o l , v 0 1 4 7 ，n o 5 ，p p 7 9 2 8 0 2 。 【1 3 l e et c a n dj i a n gz p ，( 2 0 0 5 ) “ag e n e r a l i z a t i o no fk r a s o v s k i i l a s a l l et h e o r e m 1 6 f o rn o n l i n e a rt i m e - v a r y m gs y s t e m s ：c o n v e r s er e s u l t sa n da p p l i c a t i o n s ”i e e e t r a n s a u t o m c o n t r o l , v 0 1 5 0 ，n o 8 ，p p 1 1 4 7 1 1 6 3 【1 4 i e 地t c ( 2 0 0 4 ) “o n t h e e q u i v a l e n c er e l a t i o n s o fd e t e c t a b i l i t ya n dp e c o n d i t i o n s ”i e e et r a n s a u t o n tc o n t r o l , v 0 1 4 9 ，n o 1 0 ，p p 1 7 6 8 - 1 7 7 2 【1 5 a e y e l s ，da n ds e p u l c h r e ，r ( 1 9 9 2 ) “s t a b i l i t yf o rd y n a m i c a ls y s t e m sw i t hf i r s t i n t e g r a l s ：at o p o l o g i c a lc r i t e r i o n ”s y s t e m s c o n t r o ll e t t e r s ，v 0 1 1 9 ，p p 4 6 1 4 6 5 【1 6 a e y e l s ，d ( 1 9 9 5 ) a s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fn o n a u t o n o m o u ss y s t e m s b y l y a p u n o v sd i r e c tm e t h o d s y s t e m s c o n t r o ll e t t e r s ，v 0 1 2 5 ，p p 2 7 3 - 2 8 0 1 7 i s i d o r ia ( 1 9 9 5 ) “n o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m s 2 埘e d ”s p r i n g e r - v e r l a g , l o n d o n 【1 8 k o l m a n o v s k yi a n dm c c l a m r o e hh ( 1 9 9 5 ) “d e v e l o p m e n t si nn o n h o l o n o m i c c o n t r o lp r o b l e m s ”c o n t r o ls y s t e m sm a g a z i n e , p p 2 0 - 3 6 【1 9 a r i a nv a i ld e rs c h a f t ( 2 0 0 0 ) “厶- g a i na n dp a s s i v i t yt e c h n i q u e si nn o n l i n e a r 【2 0 l o r i aa ，p a n t e l e ye a n dt e e la ( 2 0 0 1 ) “r e l a x e dp e r s i s t e n c yo fe x c i t a t i o nf o r u n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t y ”1 e e et r a n s a u t o m c o n t r o l , v 0 1 4 6 ， p p 1 8 7 4 1 8 8 6 【2 1 l o r i aa ，p a n t e l e ye a n dt e e la ( 2 0 0 2 ) “6 一p e r s i s t e n c eo fe x c i t a t i o n ：n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r ma t t r a c t i v i t y ”p r o c 4 1 “c o n f d e c i s i o n c o n t r o l , l a sv e g a s n v p p 1 9 8 9 1 9 9 3 【2 2 a e y e l s ，d a n dp e u t e m a n ，j ( 1 9 9 8 ) an e wa s y m p t o t i cs t a b i l i t yc r i t e r i o nf o r n o n l i n e a rt i m e - v a r y i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”i e e et r a n s o na u t o m a t i cc o n t r o l ， v 0 1 4 3 ，p p 9 6 8 9 7 1 【2 3 a e y e l s ，d a n dp e u t e m a n , j ( 1 9 9 9 ) “o ne x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fn o n l i n e a r t i m e - v a r y i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a u t o m a t i c a ，v 0 1