（运筹学与控制论专业论文）向量优化的若干理论研究.pdf

北京交通大学博 士学位论 文 中文摘要 中文摘要 摘要：向量优化问题是在约束条件下求多于一个目标的极值问题它的理论和 方法在现代社会经济中具有十分广阔的应用，比如经济规划、生产管理、金融投 资、项目评估、工程设计、交通运输、环境保护以及军事决策等本文共分四章， 主要致力于向量优化三个方面的研究：欧几里德若当代数向量优化的谱标量化、 不确定多目标线性优化问题的鲁棒方法和向量优化在对策论中的应用 第一章描述了向量优化问题的基本概念和研究意义，对向量优化及其与本文 相关的三个研究方向的发展历史和现状进行了综述介绍了本文研究所需的基本 概念和相关理论，继而提出了本文所要研究的主要内容 第二章借助欧几里德若当代数中谱函数的概念，引入了欧几里德若当代数向 量优化新的标量函数一一谱标量函数，并进一步定义了相应的谱标量优化问题及 其谱标量解基于谱函数的特殊性，刻画了谱标量函数满足k 一增性( 严格k 一 增性) 的充分条件，继而建立了谱标量解集与欧几里德若当代数向量优化问题k 一 弱有效解集和k 一有效解集的包含关系特别地，建立了特殊谱标量解集一一加 权谱标量解集与g 恰当k 一有效解( 此解为多目标优化问题中的g 恰当p a r c t o 有效解在欧几里德若当代数向量优化问题中的推广定义) 集的包含关系同时，还 建立了特殊谱标量解集一一迹谱标量解集与b o 恰当k 一有效解集的包含关系 最后，给出了谱标量解集映射满足上半连续且紧的充分条件及下半连续的充分必 要条件 第三章考虑了不确定信息的多目标线性优化问题采用鲁棒方法将其转化为 易处理的确定的多目标优化问题，并给出确定性多目标优化问题p a r e t o 有效解存 在的条件最后，通过计算实例验证了该方法的有效性 第四章借助多目标优化问题三种模标量优化问题解的概念，定义了向量对策 三种新的n a s h 平衡点。1 一模理想一n a s h 平衡点、2 模理想n a s h 平衡点和o 。 模理想一n a s h 平衡点，并给出了这些理想一n a s ht - 衡点存在的充分条件 关键词：欧几里德若当代数；向量优化问题；有效解；弱有效解；恰当有效解； 谱函数；谱标量优化问题；鲁棒方法；理想n a s h 平衡点 ! ! 室壅亟大 学博 士 学位论文中文摘要 分类号：0 2 2 4 l l a b s t r a c t a b s t r a c t ：v e c t o ro p t i m i z a t i o ni st h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mw h i c hs o l v em o r e t h a no n eo b j e c t i v c su n d e rs o m ec o n s t r a i n t s t h et h c o r ya n dm e t h o d sf o rt h ev e c - t o ro p t i m i z a t i o na r ew i d e l yu s e di nt h ea r e a so fm o d e r ne c o n o m i cp l a n n i n g ，p r o - d u c t i o na d m i n i s t r a t i o n ，f i n a n c i a li n v e s t m e n t ，i t e me v a l u a t i o n ，e n g i n e e r i n gd e s i g n ， t r a n s p o r t a t i o n ，e n v i r o n m e n t a lp r o t e c t i o n ，m i l i t a r y , e t c i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y s t u d yt h et h e o r yo fv e c t o ro p t i m i z a t i o ni nt h r e ea s p e c t s ：t h es p e c t r a ls c a l a r i z a t i o n o fe u c l i d e a nj o r d a na l g e b r av e c t o ro p t i m i z a t i o n ，t h er o b u s tm e t h o d sf o rs o l v i n g u n c e r t a i nm u l t i o b j c c t i v el i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e ma n dt h ea p p l i c a t i o ni ng a m e t h e o r y t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ed e s c r i b et h ec o n t e n t sa n ds i g n i f i c a n c eo ft h ev e c t o ro p t i m i z a o t i o np r o b l e m w ea l s os u m m a r i z et h ed e v e l o p m e n t so ft h ev e c t o ro p t i m i z a t i o ni n t h r e ea s p e c t sa s s o c i a t e dw i t ht h i st h e s i s r e c a l l i n gs o m eb a s i cc o n c e p t sa n dr 争 s u l t so ne u c l i d e a nj o r d a na l g e b r aa n dv e c t o ro p t i m i z a t i o n ，w eo u t l i n et h ec o n t e n t s s t u d i e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ean e ws c a l a rf u n c t i o no ft h ev e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e mb yv i r t u eo ft h es p e c t r a lf u n c t i o ni ne u c l i d e a nj o r d a na l g e b r a c o r - r e s p o n d i n g l y , w ed e f i n et h es p e c t r a ls c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e ma n ds p e c t r a l s c a l a rs o l u t i o n b a s e do nt h es p e c i a l i t yo ft h es p e c t r a lf u n c t i o n ，w ep r o v i d et h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n ss u c ht h a tt h es p e c t r a lf u n c t i o na r ek - i n c r e a s i n g ( s t r i c t l y k i n c r e a s i n g ) i ne u c l i d e a nj o r d a na l g e b r a ，a n de s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i pb e - t w e e nt h es p e c t r a ls c a l a rs o l u t i o ns e ta n dt h ek 一( w e a k l y ) e f f i c i e n ts o l u t i o ns e t o ft h ee u c l i d e a nj o r d a na l g e b r av e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m p a r t i c u l a r l y , w e e s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea d d i t i v es p e c t r a ls c a l a rs o l u t i o ns e ta n dt h e g p r o p e r l yk - e f f i c i e n ts o l u t i o n ( t h ee x t e n d e dd e f i n i t i o no ft h eg p r o p e r l yp a r e t o e f f i c i e n ts o l u t i o no v e rt h ee u c l i d e a nj o r d a na l g e b r av e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m ) s e to ft h ee u c l i d e a nj o r d a na l g e b r av e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m m e a n w h i l e ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et r a c es c a l a rs o l u t i o ns e ta n d t h eb op r o p e r l yk - e f f i c i e n t s o l u t i o ns e to ft h ee u c l i d e a nj o r d a na l g e b r av e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e mi se s - i n t a b l i s h e d a tl a s t ，w ep r o v i d et h eu p p e rs e m i c o n t i n u i t ya n dc o m p a c t n e s so ft h e s p e c t r a ls c a l a rs o l u t i o ns e tm a p p i n g u n d e rs o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s ，a n dt h e n e c e s - s a r va n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st og u a r a n t e et h el o w e rs e m i - c o n t i n u i t yo ft h es p e c t r a l s c a l a u rs o l u t i o ns e tm a p p i n gb yv i r t u eo ft h ec o n c e p to fe s s e n t i a ls o l u t i o n i nc h a p t e r3 w ec o n s i d e rt h eu n c e r t a i nm u l t i o b j e c t i v el i n e a ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m b a s e do nr o b u s tm e t h o d ，i tm a y b er e f o r m u l a t e da st h et r a c t a b l em u l t i - o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m a tl a s t ，t w on u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt o i l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h er o b u s ts o l u t i o n so ft h ec o n c e r n e dp r o b l e m s i nc h a p t e r4 ，b yv i r t u eo ft h es o l u t i o nc o n c e p t st ot h r e en o r m s c a l a ro p t i m i z a - t i o np r o b l e m s ，w ed e f i n et h r e en e wn a s h e q u i l i b r i u mp o i n t so ft h ev e c t o rg a m e , i e 1 n o n n e di d e a l - n a s he q u i l i b r i u mp o i n t ，2 - n o r m e di d e a l - n a s he q u i l i b r i u mp o i n t a n d 。n o n n e di d e a l n a s he q u i l i b r i u mp o i n t a n dt h ec o n d i t i o n st og u a r a n t e et h e e x i s t e n c eo ft h et h r e ei d e a ln a s he q u i l i b r i u mp o i n t sa r ep r o v i d e d k e y w o r d s ：e u c l i d c a nj o r d a na l g e b r a ，v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m ，e f f i c i e n t s o l u t i o n ，w e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n ，p r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o n ，s p e c t r a lf u n c t i o n ， s p e c t r a ls c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m ，r o b u s tm e t h o d ，i d e a ln a s h - e q u i l i b r i u mp o i n t c l a s s n o ：0 2 2 4 l v 符号说明 歹，表示欧几里德若当代数； 舻，表示n 维实向量空间； 魍， 表示n 维非负实向量空间； k ，表示欧几里德若当代数了中的对称锥； i n t k ，表示欧几里德若当代数歹中对称锥k 的内部； r ，表示欧几里德若当代数了中的秩； e ，表示欧几里德若当代数歹中的单位元； ( ，) ， 表示欧几里德若当代数了的内积； o ，表示欧几里德若当代数歹的若当积； | i | 1 2 表示2 一模范数； ”| 1 1 ， 表示1 一模范数； ”0 。，表示。一模范数； y ，表示定义在实数域冗上的有限维向量内积空间； “k ”，表示了中的偏序； z ky ， 表示z y k ； x 卜ky ，表示x y i n t k ； z 笋ky ， 表示x y k o ) ； e ( y ) k ，表示y 中所有k 一有效点组成的集合； 民( y ) k ， 表示y 中所有k 一弱有效点组成的集合； 9 ( y ) ，表示y 中所有g 恰当k 一有效点组成的集合； 召2 ( y ) k ，表示y 中所有b o 恰当k 一有效点组成的集合； t ( s ，) ，表示s 在y 点处的切锥； ( z ) 0 = 1 ，r ) ， 表示z 的特征值； t r ( x ) ， 表示z 特征值的和； d e t ( x ) ， 表示x 特征值的积； m i n ，表示求极小值； v e c ( a ) ，表示矩阵a 的向量形式； f = ( x ，f ) 诞n ， 表示向量对策； 北京交通大学博士学位论文符号说明 n = l ，礼) ， 表示局中人的集合； 五0 = 1 ，n ) ， 表示第i 个局中人的策略集； 口，表示证明结束 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 同唔矜 签字日期：佬佃穸年5 月i ie l 午 乃乙 箨 厶 豸 i ， 铄 。 签 期 煨 b 斟 字 整 北京交通大学博士学位论文独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：y 目秀每含签字日期：伽口孑年石月，日 2 致谢 本论文的工作是在我的导师修乃华教授的悉心指导下完成的，修乃华教授严 谨的治学态度和深厚的数学功底以及高尚的人格给了我极大的帮助和影响另外， 他在生活上也给予了我无微不至的关怀在此衷心感谢三年来修老师对我的关心 和指导 特别要感谢中国科学院应用数学研究所的韩继业教授，他对科学的献身精神、 谦虚和严谨扎实的工作方法使我终生受益，在此表示衷心的感谢 刘彦佩教授，常彦勋教授、冯衍全教授、郝荣霞教授和王周宏副教授等对于 我的科研工作和论文都提出了许多宝贵的意见，在此表示衷心的感谢 在撰写论文期间，罗自炎、周金川、孔令臣、邵泽玲、屈彪、王高阳、王小苗、 许燕、秦林霞、王苏皖、曹静杰、以及杨建仪等同学对我论文中的一些研究工作 给予了热情帮助 最后，我要感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的 学业 第一章绪论 本章描述了向量优化的基本概念和研究意义对向量优化及与本文相关的三 个研究方向的发展历史和现状进行了综述介绍了本文研究所需的基本概念和相 关理论最后，概述了本文所要研究的内容以及获得的主要结果 1 1 向量优化的基本概念及意义 人们在政治、经济和日常生活中常常需要作出决策要做出好的决策，首先 需要给出判别决策好坏的标准当只用个目标作为判断决策好坏的标准时，人 们会设法选择使这一目标在某种意义下达到“最优”的决策这类决策问题就是 传统的单目标优化问题但在现实世界中，衡量一个决策优劣的指标往往不止一 个，一般需要多个指标来衡量，而这些指标之间又常常是互相矛盾的如何协调 这些矛盾，兼顾各个指标，选出最满意的方案，是人们在现实生活中经常遇到的 难题，向量( 多目标) 优化问题因此应运产生所谓向量优化问题为在约束条件下 求多于一个目标的极值问题，其数学模型可以抽象为以下形式： r a i nf ( x ) s 亡z x ， ( 1 1 ) 其中x 为约束集合，f ：x _ y 为向量值函数，y 为向量空间向量优化问题出 现在许多领域中，例如经济分析、金融管理、工程设计、生态保护、社会可持续发展 以及国家安全等 1 ，5 ，2 8 ，2 9 ，3 8 ，4 6 ，4 7 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，7 1 ，8 9 ，9 7 ，1 0 0 ，1 1 2 ，1 3 0 ，1 5 4 在这些问题中，判断决策“好”或“坏”的标准( 指标) 是多个的，甚至是无穷多 个，这就涉及到决策者的“偏好”对于这类优化问题，“最优解”的概念与数值 优化问题中解的概念有本质的不同，它们是一种均衡或平衡的概念这种判断好 坏的思想更加符合时代的追求和企望例如，经济增长和环境保护是两个决策目 标，决策者寻求它们之间的均衡又例如，在几十年前，国家有“多、快、好、省” 的方针，这是4 个互不相容的决策目标决策者只能追求它们之间的均衡，如果 强行要求每个目标都要最优，般是不可能的，必然会犯错误所以向量优化总 是以牺牲一部分目标的利益来换取另一些目标利益的改善，正如，v o nn e u m a n 和m o r g e n s t e r n 1 2 6 】指出：这种多目标的情形，肯定是无最优值的问题，而是几 个相互冲突的最优问 第一章绪论 题特有的和扰人的混合这类问题不能用传统的数学方法来处理”因此，向 量优化的理论和方法的研究对现代经济和社会发展具有十分重要的意义 向量优化问题的理论研究和应用已有几十年的历史为什么许多学者对向量 优化问题显示出巨大的研究兴趣? 概括起来，由于向量优化问题呈现了下面的鲜 明特点。 1 ) 强烈而丰富的实际背景为向量优化问题的研究提供了许多新的问题和模型； 2 ) 向量优化问题，特别是变动偏好结构的向量优化问题需要新的数学概念、方法 和工具去处理，有可能形成新的数学研究的方向； 3 ) 向量优化问题与数理经济、网络经济、决策和对策理论以及非线性分析中的许 多问题有紧密关系，这就极大地拓广了向量优化理论研究和应用的范围 向量优化包括了广泛和丰富的内容，如解的定义、求解方法、最优性条件、 解的连通性、对偶性、解的稳定性、向量优化问题的不确定性研究，以及在其它 领域中的应用等等本文仅对向量优化的三个方面进行研究：向量优化的谱标量 化、不确定多目标线性优化问题的鲁棒方法和向量优化在对策论中的应用 1 2 向量优化发展概况 向量优化的思想萌芽于1 7 7 6 年经济学中关于效用理论的研究1 8 9 6 年，经 济学家p a r e t o 1 2 7 1 首先在经济平衡的研究中提出了多目标规划问题，并给出了后 来称之为p a r e t o 最优解的素朴思想1 9 4 7 年，v o nn c u m a n 和m o r g c n s t e r n 1 2 6 1 在对策论的著作中提到多目标规划问题，引起了人们对多目标规划的重视1 9 5 1 年，k o o p m a n s 1 0 7 在生产与分配的活动分析中提出了多目标最优化问题，并第 一次提出了p a r e t o 最优解的概念同年，k u h n 和t u c k e r 1 0 9 1 从数学规划的角度 给出向量集值问题的p a r e t o 最优解的概念，并研究了这种解存在的充分条件和必 要条件1 9 5 4 年d e b r e u 3 9 】对评价均衡的研究，以及1 9 5 8 年h u r w i c z 7 7 】对把 问题推向抽象空间考虑，使得向量优化这一学科基本形成1 9 6 8 年，j o h n s c n 9 9 1 出版了关于多目标决策模型的第一部专著从此，不少学者先后转入这一研究领 域，并取得了许多成果直到2 0 世纪7 0 年代和8 0 年代经过众多学者的努力，终 于建立起向量优化的基本理论基础，使它成为应用数学的一个新的学科分支下 面介绍本文涉及到的向量优化有关理论方面的发展概况 2 北京交通大学博 士 学位论文 1 2 1 标量化方法 如何求向量优化问题的“最优解”? 众所周知，单目标优化问题的最优解( 即， 最大解或最小解) 是由一维空间中的全序确定的，很容易求出而这个重要特征对 于向量优化问题中的“最优解”的确定是无效的，主要是因为向量空间中的序一般 是偏序而不是全序为了克服这个困难，可以将向量优化问题转化为单目标优化问 题，通过求单目标优化问题的最优解( 最大解或最小解) 来得到向量优化问题的“最 优解”，这就是所谓的标量化实际上，标量化是在寻找求向量优化问题嘬优解” 方法的过程中逐渐形成的标量化方法是向量优化理论和算法研究的一个重要方 面其重要性可类比于经济分析中的价值函数( v a l u ef u n c t i o n ) ，概率统计学中的分 布函数，模糊系统中的隶属函数诺贝尔经济学奖获得者d e b r e u 在其名著t h e - o r yo fv a l u e 中花了相当篇幅讨论了价值函数问题近些年来，人们对向量优化 问题的标量化理论做了相当多的研究【2 ，4 ，6 ，2 6 ，2 7 ，3 0 ，3 1 ，3 5 ，【4 0 】- 4 2 1 ， 4 4 ，4 5 ， 4 s 1 ， 5 7 1 一【6 l 】，【6 3 】， 7 2 1 一 7 8 1 ， 7 0 ，s 0 1 ，【8 2 卜 s 4 1 ，【8 7 】一【9 7 】， 1 0 1 ，1 0 2 ，1 0 4 ，1 0 8 ，1 1 1 ， 1 1 5 1 一 【1 2 3 1 ， 1 2 8 ， 1 3 3 一 1 3 7 ，【1 4 0 一 1 4 3 ， 1 4 6 ， 1 4 8 一 1 5 0 ， 1 5 2 ，1 5 3 ， 1 5 5 】一 1 6 0 ， 1 6 8 - 1 7 0 ， 获得了突破性进展并受到了重视 标量化方法作为求向量优化问题“最优解”的一个最基本的方法，是伴随 着向量优化理论的发展而逐渐地成熟的早在上世纪5 0 年代，g d e b r e u 通过 定义评价函数来解决经济中的均衡问题上世纪7 0 年代到9 0 年代，g e a r h a r t ， h u a n g ，w i e r z b i c k i ，y u ，j o h n ，p a s c o l e t t i ，l u c ，w a n g ，h u 等学者对标量化理论进 行了深入的研究 2 7 1 ， 4 0 1 一【4 2 】， 5 7 ，5 0 ， s 2 1 一i s 4 ，i s 7 ，s s ， 9 1 】_ 9 6 】， 1 0 4 ，1 1 6 ，1 1 7 ，1 2 8 ， 1 3 4 ，1 4 0 ，【1 4 8 一 1 5 0 ， 1 5 5 ，1 5 6 ，1 5 9 ， 1 6 8 一 1 7 0 1 ，并得到了许多具有很好性质的标 量函数，如加权函数 3 1 】，f p 模函数【1 6 9 ，1 4 1 ，c h e b y s h e v 模函数【2 6 ，m i n k o w s k i 泛函【8 3 】，参数逼近函数( 9 5 】等等本世纪以来， m i g l i e r i n a 1 1 9 ，1 2 0 ，1 2 1 ，1 2 2 ， 1 2 3 ，r u b i n o v 1 3 7 ，d r u m m o n 4 4 ，4 5 ，k o s k i 1 0 s ，r a d u l o a n 1 3 3 】等学者又给出了一 些更广泛的具有良好性质的标量函数，并研究了这些标量函数优化问题的解与向 量优化问题“最优解”的关系g u t i e r r e z ，j i m e n c z 和n o v o 7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 6 1 还建立 了某些标量函数优化问题的近似解与向量优化问题近似嘬优解”之间的关系 由以上对标量函数的研究看来，寻求一类具有概括性的新的标量函数是值得我们 研究的 3 第一章绪论 1 2 2 不确定数据向量优化的研究 在一些实际向量问题中，由于计算或操作的误差，其数据很难被精确给出如 生产计划问题中产品的最大销售量不确定性；风险管理问题中未来需求和市场定 价等数据的不确定性；构架优化问题中材料性质测量的误差解决不确定信息向 量优化问题的主要思想是将其转化为确定的优化问题根据不确定集合的不同， 解决不确定信息向量优化问题的方法很多 6 7 ，1 3 9 ，较经典的方法为随机方法【1 7 ， 3 2 ，3 7 ，1 2 5 ，1 3 1 ，1 3 8 ，1 4 4 对于一个简单的不确定向量优化问题，随机方法( 不 确定集合中的数据是满足某已知分布的随机变量) 会使问题复杂化，甚至无法求 解并且精确估计不确定数据的概率分布，这一点也是很难做到的 鲁棒方法( 不确定集合为有界且闭的) 作为一种当今较为流行的求不确定优 化问题的方法，已有很多国际知名学者对其进行研究，并得到了许多经典的结果 【8 】- 【16 】，【1 8 】- 【2 3 】， 3 3 ，叫，【6 4 】- 【6 6 】，【6 8 】此方法( 求得的解较保守，即，在最坏的情况 下求最好的解) 对于某些对解的精确性要求不高的问题是一个相当有效的方法，因 为它可以将某些简单的不确定优化问题转化为多项式时间内可计算的问题f 9 ，1 1 ， 1 2 ，1 4 ，1 5 ，19 】 到目前为止，众多学者利用鲁棒方法解决了一些单值的不确定优化问题，如 线性优化问题 9 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 9 】、二次优化问题【1 4 ，6 4 ，6 8 】、半定优化问题 【1 3 ，6 5 】、锥优化问题【2 3 】等等利用鲁棒方法讨论不确定数据向量优化问题，是 我们所致力研究的方向 1 2 3向量优化在对策论中的应用 所谓向量对策( 多目标对策) ，其实是每个局中人的支付函数为向量值的对策 自b l a c k w e l l 2 4 】发表了关于向量形式零和对策的文章，s h a p l e y 1 4 5 】引入向量对 策的平衡点的概念以来，以向量值函数为支付函数的对策问题的研究已经逐步受 到关注实际问题一般都是含有多个目标的，因此向量对策更符合现实的应用 正如s h a p l c y 1 4 5 】中所提到的，对策的支付函数大多数是有多个成分的向量值函 数的形式近些年来，围绕向量对策的研究，学者们借助向量优化问题的p a r e t o 有效解、p a r e t o 弱有效解、加权解、弱加权解定义了向量对策的p a r e t on a s h 平 衡点、弱p a r e t on a s h 平衡点、权p a r e t on a s h 平衡点和权弱p a r e t on a s h 平衡 点等等，并得到了这些n a s h 平衡点存在性的结果 1 9 9 3 年，w a n g 【1 5 1 】中给 出了向量对策p a r e t on a s h 平衡点存在性的条件；1 9 9 8 年，y u 1 6 7 1 用不动点定 4 北京 交 通大 学博 士 学位 论文 理和f a nk y 不等式的方法证明了向量对策p a r e t on a s h 平衡点的存在性是否 可以借助向量优化问题的其它解定义新的n a s h 平衡点，并给出其存在的条件? 讨论其存在的条件是否是p a r e t on a s h 平衡点和弱p a x e t on a s h 平衡点存在的条 件? 本文也将对这方面的问题进行研究 下面介绍一些与本文相关的基础知识和记号 1 3 基础知识 1 3 1欧几里德若当代数概述 我们将对欧几里德若当代数中的一些基本概念，性质和结论进行介绍( 参见 4 9 ，1 4 7 0 定义1 3 1 欧几里德若当代数( 歹，( ) ，o ) f ，简记为了) 是指：( 7 ，( ，) ) 是一个定 义在实数域上的有限维内积空间， ( x ，y ) 一x oy ：歹了_ 歹是一个满足下述z 条件的双线性映射： ( 1 ) z oy = yox ，v ，y j i 俐zo ( x 2 oy ) = x 2o ( z o 剪) ，vz ，y 了，其中x 2 ：= zox ， 矽( xoy ，名) = ( z ，yoz ) ，vz ，y ，z j 我们称z oy 为元素z 和y 的若当积此外，在歹中总存在一个元素e 满足： 称e 为7 中的单位元 zoe = eox = x ，vz j ， 给定一个欧几里德若当代数歹，我们说元素c j 是一个幂等元，如果c 2 = c 0 进一步，一个幂等元是基本幂等元，如果它不能分解为两个幂等元的和 设 0 ，j = 1 ，r 为了便于理解上述概念，我们给出三个常见的例子 例1 3 5 考虑m 维实欧几里德空间妒定义内积和若当积如下： m ( z ，y ) ：= x i y i ，z oy ：= z 木y ， i = 1 6 北 京交 通大 学博 士 学位论文 这里甄表示z 的第i 个分量，z 丰y 表示z 和y 的相应的分量乘积那么是 一个欧几里德若当代数，其平方锥为多面锥碎仰，邱：= z = ( x l ，z m ) t t w x i 0 ，i = 1 ，m ) j 单位元是所有分量为j 的元素集合 e l ，) 是 r ，l 中唯一的一个若当基底，其中勖是第i 个分量为j 而其他分量为0 的元素 对任意的z = ( z 1 ，) t 妒，它可分解为 z = x l e l + z m e m ， 其中z l ，z m 为z 的特征值 例1 3 6 给定礼维实欧几里德空间r m ，其内积如上例记。舻为z = ( x l ，z ；) r ，其中z l r 和z 2 定义若当积为 删= 。：= ( z 。捌渤) m 胙矽 则( 舻，( 。，) ，。) 形成一个欧几里德若当代数( ，简记为a 仇) ，其平方锥a ? 仅称二 阶锥，l o r e n t z 锥或冰激凌锥，为 人军：= ( z 1 ，z 多) t ：z 1 l l z z i l 2 ， 其中i | n 2 表示参模范数单位元为e = ( 三) 对任意的z a m ，它可以分解 为 z = ) q u t + x 2 u 2 其中 九= x l + ( 一1 ) 。l i z 2 | 1 2 ， 驴 ；聚：赢li j ，萎- w 为舻- 1 中任意向量且满足i i 伽1 1 2 = 1 例1 3 7 设s ”表示所有礼礼实对称矩阵组成的集合，其中内积和若当积分别 定义- k , 下； ( x ，y ) ：= t r ( x y ) ，xoy ：= ( x y + y x ) 2 容易验证，s n 是一个欧几里德若当代数，其平方锥为所有半正定矩阵组成的集 合肆单位元为单位矩阵e 集合 e l ，玩) 构成铲的一个若当基底，其中 第 一 章绪论 局一【1 ，2 ，礼 ) 是第( i ，i ) 个元素为1 其余元素为0 的对角矩阵任意给定 x s 他，存在列向量为q 1 ，的正交阵q 和一个实对角阵人= d i a g ( a i ) ，使得 x = q a q t = a x q l 订+ + h 蠢， 其中九( i = 1 ，n ) 是x 的特征值，吼( i = 1 ，n ) 是相应的特征向量 1 3 2 欧几里德若当代数向量优化问题简介 本节将介绍欧几里德若当代数向量优化问题及其标量化的基础知识，参见文 9 7 ，1 1 8 ，8 3 令歹7 ，了为两个欧几里德若当代数，歹的秩为r ，歹中的对称锥为k ，x 为 了中的非空子集，f ：歹7 _ 歹为向量值函数 欧几里德若当代数向量优化问 题( 简记为j v p ) 为以下形式： m i nf ( x ) s t z x ( 1 2 ) 如果歹7 = 舻，了= ，则j v p ( 1 2 ) 为多目标优化问题( 简记为m o p ) 为了便于下面的介绍，我们需要以下记号在秩为r 的欧几里德若当代数了 中，k 为了中的对称锥，“k 为了中的偏序，且对任意的z ，y 歹，z ky 可写为y z k ；x ky 可写为y z i a t ( k ) ；x ：之xy 可写为y z k 【o 下面给出j v p ( 1 2 ) 在偏序关系“k ”意义下各种有效解的定义 9 7 ，1 1 8 ，8 3 定义1 3 8 令歹7 ，了为两个欧几里德若当代数，了的秩为r ，了中的对称锥为k ， x ，y 分别为，了中的非空子集， f ：了_ 了为向量值函数 以j 称y + y 为y 中的k 一绝对有效点，如果对任意的y y ，使得y + ky 4 ( y ) k 记作y 中所有k 一绝对有效点组成的集合 称矿x 为j 以矽中的k 一绝对有效解，如果f ( x + ) a ( f ( x ) ) k a ( 只x ) k 记作j 卯一纠中所有k 一绝对有效解组成的集合 俐称y + y 为y 中的k 一弱有效点，如果不存在y y ，使得y 一 0 ，使得对于满足玑 蝣的j ( j = l ，m ) j i ，有 堕二丝 ，d k _ o ( k o o ) ，使得 江l i m 颦 k - - * o o 6 1 k 极限存在，则称t 为点雪处关于s 的切向量雪处关于s 的所有切向量组成的 集合t ( s ，雪) 被称为s 在点雪处的切锥 定义1 3 1 3 令了7 ，了为两个欧几里德若当代数，了的秩为r ，了中的对称锥为 k ，x ，y 分别为，了中的非空子集，f ：了7 一了为向量值函数称+ y 为 y 中的b d 恰当k 一有效点，如果y + ( y ) k 且0 为切锥t ( y + k ，f ( y + ) ) 的 k 一有效点 腕( y ) k 记作y 中所有b o 恰当k 一有效点组成的集合 称矿x 为j v p ( 1 矽中的b d 恰当k 一有效解，如果f ( x + ) 召2 ( f ( x ) ) k b o ( ex ) c 记作j 仰以剀中所有b o 恰当k 一有效解组成的集合 j 澧1 3 1 4 参见 8 3 ，显然南 9 ( y ) 肆( y ) 砰，b 2 ( y ) k ( y ) k ， g ( ex ) 婶冬e ( ex ) 砰，b o ( f , x ) k e ( f , x ) k 接下来，介绍一些关于欧几里德若当代数向量优化问题标量化的基本概念和 结论 令歹7 ，了为两个欧几里德若当代数，了的秩为r ，歹中的对称锥为k ，x ，y 分别为，歹中的非空子集，f ：了7 _ j 为向量值函数，妒：了_ r 为单值函 1 0 北 京交通大学博士 学位论文 数称单值优化问题 m i n 妒( 剪) s t y y ( 1 3 ) 为y 的标量优化问题记y ( 妒) 为标量优化问题( 1 3 ) 的所有解组成的集合、 同样，称单值优化问题 m i n 妒( f ( z ) ) s t z x ( 1 4 ) 为j v p ( 1 2 ) 的标量优化问题记x ( e 妒) 为标量优化问题( 1 4 ) 的所有解组成 的集合 定义1 3 1 5 令了为秩为r 的欧几里德若当代数，k 为j 中的对称锥， 妒： 了一r 为单值函数 门 妒为歹上的k 一不减函数，如果 y z y 2 哥妒( 秒1 ) 妒( 驰) ，v y i ，y 2 歹； ( 2 ) 咿为ji 的k 一增函数。如果 y 1 ky 2 = = 争妒( 可1 ) ( 沈) ，即，( 歹= 1 ，r ) 在了上为k 一增的； 俐可1 净ky 2 号( 可1 ) ( 耽) ，即，0 = 1 ，r ) 在了上为严格k 一增的 证明根据引理2 1 3 ，对于l ，y 2 了， ( 1 ) ( 耽) + ( 可1 一抛) ，= 1 ，7 ， 入j ( 耽) ( 暑1 ) + 入l ( 抛一可1 ) ，v 彳= 1 ，r 1 8 北京交通大学博士学位论文 ( 1 ) 如果y l 耳2 ，即y l 一2 k ，由性质1 3 4 ，有( ! ，l y 2 ) 0 则 ( y 1 ) ( 耽) ，坳= 1 ，n ( 2 ) 如果y l ky 2 ，即y l y 2 i n t k ，由性质1 3 4 ，有( 可1 一y 2 ) 0 则 ( u 1 ) ( 沈) ，坳= 1 ，n ( 3 ) 如果y l 净ky 2 ，即y 2 一y l 一k 【o ，至少有a l ( 抛一y 1 ) ( 耽) ，坳= 1 ，r n 证明( 定理2 1 1 的证明) ( 1 ) 令y l ，耽f ( x ) 满足y x ky 2 ，根据引理2 1 4 ( 1 ) ，有 入( 耖1 ) 题入( 可2 ) ， 其中入( 秒1 ) = ( a 1 ( 可1 ) ，a ，( y 1 ) ) t ，a ( y 2 ) = ( 入1 ( 沈) ，入，( 秒2 ) ) t f y