（凝聚态物理专业论文）热力学噪声驱动下dcsquid系统的随机动力学.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s h e s t s 摘要 高温超导体的出现极大地推动了工作在液氮温区以卜( 7 7 1 ( ) 薄膜超导 量子干涉器件( s q u i d ) 的发展。随着：j ：作温度的升高，器件内部噪声对 器件性能的影响越来越大。理论上研究直流超导器件( d cs q u i d ) 的出发 点，是利用等效电路( r c s j ，r s j ) 来分析器件的物理行为。 本文首先将回顾理论和实验上直流超导量子干涉器件的研究进展和现 况，主要介绍理论研究的出发点，研究方法和研究意义。第二：章将介绍利用 周期性势条件解析求解描述非对称d cs q u i d 的朗之万方程组剥应的福克一 普朗克方程。第三章主要介绍利用小参数展开的方法近似求解带有桥式电阻 的d cs q u i d ，研究了桥式电阻大小的引入对器件性能的影响，得到了弓数 值模拟方法致的结论。 数值模拟方法是研究d cs q u i d 物理性能的基本方法之。第四章利用 分离自由度，提出了一种便于数值模拟基于r c s j 模型的d cs q u i d 物理性能 的简单方法，并通过数值模拟方法研究了此类模型在非对称和带有分流电感 情况f 物理性能。 阻尼型直流超导量子干涉器件f d cr s q u i d ) 是一种非常重要的压敏转换 器元件。理论 对其研究很少，第五牵将研究此类器件在备类刁i 同情况f 的 输出电压情况，特别研究了热涨落对器彳，f 性能的影响。 关键词：d c s q u i d ，噪声，福克普朗克方程，非对称，分流电感，阻 尼型器件 a b s t r a c t t h ea d v e n to fh i g h ts u p e r n d i i c t t ) r sg a v eg r e a ti m p e t u st ot h ed e v e l o l ：, 一 m e n to ft h i n f i l ms u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mi n t e r f e r e n c ed e v i c e s ( s q u i d s ) f ( ) i _ o p e r a t i o na tt e m p e r a t u r e s u pt ot h eb o i l i n gp o i n to fl i q u i dn i t r o g e n ，7 7 kw i t h t h ed e v e l o p m e n to fo p e r a t i o nt e m p e r a t u r e ，i n t r i n s i cn o i s eo ft h ed e v i c eh a sa i u u c hs t r o n g e re f f e c to ni t sp e r f o r m a n c e r e s e a r c h i n gt i l ed cs q u i dt h e o r e t i c a l l yi s b a s e do ne q u i v a l e n tc i r c u i tm e t h o d ( s u c ha sr c s j ，r s jm o d e l ) f o r a n a l y z i n gi t sp h y s i c a lp e r f o r m a n c e 1 1 1t h i st h e s i s ，w ew i l lr e t r o s p e c tt i l er e s e a r c he v ( f l v e m e n to fd cs q u i dt h e n r e t i e a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y ，a n di n t r o d u c et h er e s e a r c hs p r i n g b o a r d ，m e t l m d s a n ds i g n i f i c a n c e i nc h a p t e r2 ，i tw i l lb ei n t r o d u c e dt h a th o wt os o l v et h e f o k k e r - p l a n c ke q u a t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h el a n g e v i ne q u a t i o n sw h i c hd e p i c t t h ek i n e t i c so fd cs q u i dh o wt os o l v et h ef o k k e r p l a n e ke q u a t i o nd e p i c t i n g t i mk i n e t i c so fd cs q u i dw i t har e s i s t i v e l ys h u n t e dr e s i s t a n c ew i l lh ei n t r o d u c e di nc h a p t e r3 t h ee f f e c to ft h es h u n t e dr e s i s t a n c ei sr e s e a r c h e du s i n gt h e m e t h o do fe x p a n d i n gas m a l lp a r a m e t e ra n dt h em s a l t sa r ew e l la g r e e dw i t h j t h en u m e r i e a ls i m u l a t i o n s n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sab a s i cm e t h o dt or e s e a r c hd cs q u i d 、i nc h a p t e r 4 w ep u tf o r w a r das i m p l em e t h o dt os i m u l a t ed cs q u i d s c h a r a c t e r i s t i c sl w s e p a r a t et w of r e e d o m si n t of o u r i ti sa l s oi n v e s t i g a t e di ) yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s i nt h ee a s eo fa s y m m e t r ya n ds h u n t e dw i t hr e m s t a n c e d cr s q u i d sa r eu s e da sv e r ys e n s i t i v ev o l t a g e - t o f r e q u e n c yc o n v e r t si n t h ef e m t o - a n dp i c o v o l tr a n g et h e r ea r ef e wp a p e r sr ) 1 r e s e a r c h i n gi tt h e o r e t i c a l l y i nc h a p t e r5 ，e f f e c t so fm a n yp a r a m e t e r so i lt h eo u t p u tv o l t a g es i g n a l m 研a s 与t 张e r s 论i h 文f j s 停 a r ei n v e s t i g a t e dn u m e r i c a l l y 。 k e yw o r d s ：d cs q u i d ，n o i s e ，f o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n ，引s y m m e t r i c s h u n t e dr e s i s t i v e l yi n d u c t a n c e ，r e s i s t i v es q u i d 硕士学位沦文 m a s t e r s1 h e s i s 第一章d cs q u i d 物理模型与研究进展 1 1 研究历史和进展 以j o s e p h s o n 效应为基础的超导量子干涉器件 s u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u m i n t e r f e r e n c ed e v i c e 简称s q u i d ) 对外磁场的微小变化非常敏赌，是一种对磁 通量极灵敏的探澳q t - i 。在医疗、军事、地质勘测等方面有着广泛的应用【1 1 。 对于这种离灵敏度的量子干涉器件，其灵敏度不可避免地要受到各种因素的 影响。特别是近十几年来。随着高温超导材料的实现和不断发展，系统中的 各种涨落f 如热噪声) 效应f 分突出地显现出来。因此，研究噪声对器件的影 响，对提高器件的灵敏度有着十分重要的意义。 目前理论上研究噪声对d cs q u i d 物理性能的影响出发点是基于r s j 模 型f 2 ，3 ，将器件舶动力学行为用南超导结两端相位为自由度的二维l a n g e v l n 方 程进行描述，研究方程的主要途径为数值模拟方法和对相应f o k k e r p l a n c k 方 程的解析求解。相对来说，数值模拟方法类似于实验仿真，只要达到模拟精 度，可作为可靠的数据，且方法简单。所以自模型提出以来绝大部分的理 硷工作主要通过数值模拟方法展开：而对于解析方法，其出发点是求解二 维l a n g e v i n 方程组对应的f o k k e 卜p l a n c k 方程，找出各自由度在演化过程中的 定态几率分布，进而研究讨论器件的物理性能，但是对于此类途径一直缺乏 有力的方法，进展缓慢。 数值模拟方面的主要工作： 1 9 7 7 ，t e s c h e 3 ，4 1 等人利用数值计算的方法，得到了热噪声作用一f d c s q u i d 的基本特性和有关调制参数的最佳值；研究了有电流噪声时d c s q u i d 的电压功率谱、电流功率谱和电压电流关联功率谫的性质。 1 9 8 5 ，k e n p u k u 5 提出了带有分流电感的d cs q u i d 模型，并利用数值 模拟方法分析了此类器件的物理性能。此模型的优点是在约化电感参数较大 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 的情况下引入分流电感可提高器件的传输系数和耦合性能。 1 9 8 8 ，高温超导体出现，预示着后来采用高温超导材料的d cs q u i d 器件 的内部噪声将极大的增大，噪声对器件的物理性能将产生更大的影响。 1 9 9 5 ，k e n p u k u 6 数值模拟了人噪声对带有分流电感的d cs q u i d 器件 的物理性能影响。 1 9 9 5 1 9 9 8 ，r d e b r u y n o u b o t e r 7 - 9 数值模拟了四终端超导量子干 涉器件器件的物理性能。 1 9 9 9 ，m i i l l e r 1 0 利用数值模拟方法研究了非对称情况下噪声x c d c s q u i d 器件的物理性能影响。 2 0 0 0 2 0 0 2 ，g t e s t a 1 l 一1 3 1 等人系统利用数值模拟方法系统研究了噪声 对非对称并带有分流电感情况f d cs q u i d 的物理性能影响。发现当非对称和 分流电感同时出现器件的传输系数将太幅度提高，这对于器件的优化设计具 有重大意义。 2 0 0 3 ，j a a c e b r o n f l 4 1 等人用数值模拟方法研究了s q u i d 阵列的物理性 质。 解析理论方面的主要工作： 1 9 6 9 ，v a m b e g a o k a r 和b i ，h a l p e r i n 1 5 利用类比单个b r o w n i a n 粒子在 外力作用下的运动研究了热涨落作用一 s d cs q u i d 系统的物理性能，得到了 与实验符合的物理结果。 1 9 9 8 ，c h e s c a 1 6 研究了热涨落作用一f d cs q u i d 系统，得到了约化电感 参数为小量时的定态概率分布和器件的特性函数。 1 9 9 9 ，c h e s c a 1 7 研究了微波照射下热涨落x c d cs q u i d 系统的影响得 到了约化电感参数为很大时的定态概率分布和器件的特性函数。 2 0 0 2 ，g r e e n b e r g 1 8 ，1 9 】研究了当约化电感参数很大时热涨落对d c s q u i d 系统的影响。 2 0 0 2 ，y a j i a 2 0 ，2 1 将非平街统计巾势条件方法引入，研究了热涨落 2 对o cs q u i d 系统的影响，这一方法适用于任意大小的约化电感参量和噪 声。 2 0 0 3 。g r e e n b , r g 2 2 将展开理论推广刘非对称情况。 1 9 9 6 至今大量的理论和实验结果 2 3 - 2 s i 提高了人们对s q u i d 器件中较高 热涨落效应的认识。但是对于工作在大涨落下的d es q u i d 器件，理论和实验 的一致程度没有r fs q u i d 符合得那么好。实验中测量到的白噪声总是比理论 预测的高出1 2 个数量级。是什么原因导致了实际测量到的自噪声值比预测 的高昵7d k o e l l e 1 j 总结了近期提出的五种可能：第一个解释是对器件基本 参数测量的不精确导致，然而这不能成为大多数数据偏差的原因；第二个解 释是低温8 q u i d 的经验表明环境噪声和输出器件的噪声可能成为不可预知的因 素；第三个可能性是s q u i d 的电感值被低估了，例如，由于比期待的动力学电 感值高。e n p u k u 曾发文指出实际的电感值是预测值的1 4 - 2 倍。这就可以解 释很多区别。然而，对于一些4 0 p h 的器件，实际值甚至是理论值的4 倍，这 是不合理的。这一解释也基本被排除掉：第四个解释是超导结的电流相位关 系已远远偏离了正弦关系，多余的临界电流将导致对勰值的高估。而而且对 于传输系数等参量而亩是归一化参数，这将导致对器件工作参数的错误估 计；第五个可能的原因是出现了共振，传输中的线性响应，和电容反馈效应 一样，将显著地影响器件的工作性能。所有这些可能的原因都不排除，发表 的d es q u i d i 作时的噪声数据与实验细致测量的l v 关系曲线还存在很大差 异。 在高温超导量子干涉元件研翻方面，日本九湘大学k e n p u k u 2 4 和u 柏林联邦物理技术研究所合作研制成功世界上性能最好的高温超导量子干涉 元件( s q u i d ) 传感器。由于采用了壤优化设计和高性能约瑟夫森结技术，传 感嚣的性能和再生能力大为提高，因此该传感器可用于医学和工业用途。 为实现高性能设计，该研究组对器件参数进行了优化，使约瑟夫森结达到 约1 0 q 电阻，临界电流约2 0 ua 。确立了双晶粘接技术，用3 0 6 倾角取代一 3 盘 般的2 4 。和3 6 8 6 。因此，这种高温超导量子干涉元件传惑器能侈将地磁的 分辨奉由三亿分之一提高到十亿分之一。与使用液氯f 约s q u i d 传感器相比， 虽然其分辨力较差，但是由于使用价廉、易得的液氨，因此这种传感嚣也可 以用于测定脑磁场，其应用范围已经扩展到生物磁测定，无损检验和全球环 境监测等领域。 r 1 2 d cs q u i d 等效电路模型 图1 1 ：t h ee q u i v t d e n tc i r c u i to fd cs q v mh b e d0 nr c g j , - o d d 一般理论上采取等效电路理论来分柝约瑟夫森器僻的物理行为。其体描 述时，将超导结看成由一个理想的约瑟夫森结( 只有超导电流通过) 与结 电阻r 和结电容c 相并联，如图( 1 1 ) 所示，此即r c s j 模型。对于小面积隧道 结，超导微桥以及点接触结，当其电容很小时，往往可以忽略不计。可以 用一个最简单的等效电路模型来描述：一个理想的约瑟夫森结与结电阻r 并 联，如图( 1 2 ) 所示，此即r s j 模型，此模型也是以后讨论的基础。 4 盒 图1 2 ：t h ee q u i 词e n tc i r c u i to fd cs q u i db a s e do i lr s jm o d e l 对于直流超导量子干涉器件f d cs q u i d ) ，其工作原理为：选取适当直流 偏置工作点，将特测磁场信号变为电压信号，再将电压信号放大并以适当的 方式读出和显示，就可以构成一个直流超导磁强计。 1 3 d cs q u i d 随机动力学方程组 为了定量讨论d cs q u i d 器件参量对k 西。曲线和v 一西。曲线的影响t 必 须考虑超导环电感l 和超导环内环路电流j ( t ) 的重要作用。下面将介绍描述d c s q u l d 与时阃相关行为的随机动力学方程组。假定d cs q u i d 利用船j 模型来 描写如髑( 1 2 1 中的等效电路所示。d cs q u i d 在常电流外源的偏置下， 我们定义环路电流j ( o 为： 1 = ( ) + 五( t ) ( 1 1 ) | ，( t ) = ( 如( t ) 一 ( 0 ) 2 ( 1 2 ) 5 假定外磁场在超导结中产生的磁通町圣。，两个分流电阻上的嗓声电压 为，h 和。结遵循约瑟夫森方程。, - 7 b a 得到： = 厶8 i n 妒i + ( k 一 吼) n( 1 3 ) s q o d 的总端电压v 为： 两个结的位相差为： 屯= i , s i n 忱+ ( v 2 一i k ) r d 妒l d t = ( 2 e 志) v , d a 2 d t = ( 2 e 助k v = h + l l d l l d t + m d l 2 d t v = + 如d 1 2 d t + m 奶出 仇一仇= 2 霄西奶 击为s q u i d p q 的有效磁通( 即总磁通) ， 西= 圣1 + 奶+ 西。 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 由l 和垂2 为j l 和如在s q u i d 环内产生的磁通，西。为外加磁通( 即外磁场在s q u i d 环 内的几何磁通) 。也为准静态磁通i 扫： ：s q u i d 对吼的响应是周期性的( 周 期为圣o ) ，所以下面的限定在0 吼s 西o ，它可以代表住吼( n + 1 ) 圣。的 普遍情况。垂1 和蛋2 分别与 和足成正比，有c l = 一西1 和c 2 = + 西2 厶，式 中的正负号是由于考虑了电流 和如在超导环内产生的磁通是反向的缘故。 对于对称情况，有c ，= c 2 = l 2 ，于是，总磁通表达式变为： 西= 瓯+ l j 6 ( 1 1 1 ) 为? 摊尊，主1 ，盐，c 。，岛和材姆参量之弼韵关系式，我们饭定在莱一时 间艏关工作模式中。d 出o 而d 如d 亡= 0 ，则沿整个环路的感应电压降 为v = l l d l d t m 越疵，在这里忽略了超导结和分流电阻的作用。环 中磁通量变化率产生的电压v = c 1 蛆i d t ，于是我们得到c 1 = 厶一m 。 由于偏置电流i 为常数，于是我们得到d j d t = 一d l i d t = d 1 2 d t ，从而可以 把( 1 7 ) 和( 1 8 ) 简化为： v = k 一( l 2 ) d j d t( 1 1 2 ) v = k + ( l 2 ) d j d t( 1 1 3 ) 互癣系数村的作用已经包含在这两个方程之中。 最终需要得到的是t ，和y 的表达式，它们仅仅用偏置电流，外加磁场屯 以及五，冗，上等s q u i d 参量来摇述。利用以上关系式，可以得到： 。，丘= ( 妒1 一伽) 丌卢一2 西。卢西o( 1 1 4 ) y 一龛( 却l 肚+ d 忱d t ) ( 1 1 5 ) 袅堕o ，一厶8 l + ， (116)dt22 兄 。 一1 ” 、袅訾：生+ j 一厶8 i n 如+ 玩 (117)r22 仃出 。1 ”7 方程( 1 1 4 ) 至0 1 7 ) 即为要推导的最后方程组。在方程( 1 1 4 ) 中引入了参量卢： 8 = 2 l l c 奄o ( 1 1 8 ) 称为约化电感参量。 以上纳推导是在对称情况下完成的。对于非对称情况，整个推导与对称 情况类似，只需蔓引入非对称参量即可。方程( 1 1 4 ) 至( 1 1 7 ) 可以全面定量地 描述d cs q u i d 的物理行为，大多理论上的工作都围绕此套方程组展开。 7 l j l + , 4 一殷非线性系统的触机理论瞄9 】 由上节可知，描述d cs q u i d 物理行为的方程组为一套非线性动力学方程 组。在非线性随机理论中，噪声，l a n g e n v i n 方程和f o k k e r - p l a n c k 方程是研究 非线性随机理论的基础。 设：岳= ( 。l ，霉2 ，。鲫) 代表i 1 个随机变量，则l a n g e n v l n 方程的一般形式 可表示为： o x + o t = 扛，# ) + g i j ( x ，) 白o ) ( 1 1 9 ) j = 1 其中 = i ，2 ，札。白( ) 为具有零平均和6 楣关函数的高斯白噪声。l a n g e n v i n 力矗( t ) 的头两i l f l = 矩为； = 0( 1 2 0 ) = d 白j p 一)( 1 2 1 利月克莱默斯一莫依尔展开，可求得与上述l a n g e n v l n ，y 程对的f o k k e r - p 1 舢1 c k 方程： 1 0 p ( x r , t ) = 一莩矗慨) 如纠+ j l x 午t v 午, 弧两) 如纠( 1 2 2 ) 其中， 球，t ) - 地型警叫州) + i d 夸脚瓦0 妁( 1 2 3 d f j ( 州) - l i r a 业盟韭! 警趔蚓= d 蛐 ( 1 如果f p e 描述一个变量局限于有限空闻的“物理豹”随机过程，那 么，随着时阃t 的增长，系统可能会趋于唯一的解这个解叫渐近解。如 果( i 2 2 ) 中的漂移和扩散系数d i 扛) 和上k ( z ) 均与无关( 即f p e 是自洽的) ，则 这一渐近解必定为定态解。在f p e 的研究中，定态解的研究具有头等重要的 8 意义其原因在于定态解反映系统的长时间行为，经过各种长短不同的瞬态 过程后，系统就会被这种长时间行为所统治，所以绝大多数时问内人们对系 统进行测量得到的正是这种定态解的性质。 9 第：簟非对称d cs q u m 的热力学噪声理论 描述对称d cs q u m 相位演化的动力学方程对应的f o k k e r - p l a n c k 方程是 一类满足开放性周期势条件的特殊方程。本章将证明在电感非对称( 口o ) 和临界电流非对称( 口0 ) 情况下，方程仍满足这类性质。并介绍通过求解 的非对称情况下台由度的定态几率分布p ( 审，妒) ，求解各物理量的统计性质， 最后将指出此套理论的适用范围和不足之处f 3 0 】a 2 1 定态几率分布 基于r s j 模型，非对称d cs q u i d 相位演化可用以下动力学方程组描述。 为了便于求解，这里只考虑电癣非对称( 工l l 2 ) 和临界电流非对称 ( 厶。k ) 。( 在电阻非对称情况下对应的而k k e 卜p 1 8 1 l c l 【方程将不满足开放 性周期势条件) t ，= 轰吼一南一萼) - 警 ( 2 1 ) 鱼堕：冬一一一( 1 _ 。) l 。s i n 丑十h (22)21 r r d t2 虿一j 一【1 一o ) l e n 0 1 十1 1t 2 。j ：凳堕：冬+ l ，一( 1 + a ) 厶s i n 如+ 如 (23)dtj 茅元= i 十j 一【1 十a j 。8 1 1 1 如十。帕 t 矗d j 这里，为超导环中的电流。蟊( ) 为超导结的相位，西。为待测量的外磁通，为 加在超导环上的恒流，厶为超导结的临界电流。两个独立的电流噪声j 帆( t ) 为 高斯自噪声，并满足 ：o ， ：2 k 阡口t 5 。6 0 一t ，) ( 2 4 ) 这里b 是b o l t z m a n n 常数，f 是绝对温度，七，m = 1 ，2 。 1 0 引入变量西= 慨如) 2 和妒= ( 6 l + 南) 2 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) ，可以 得劐 鬈= 一t 2 r ( 一九) + 学+ 姒8 i 妒c o s 毋一s j 咖c 妒+ 铆( t ) ( 2 _ 5 ) 害= 警+ 批屯8 i n 毋c 妒一地耐n 妒c o s 咖+ t l j ( t ) ( 2 6 ) 其中铆( t ) = ( 。一( t 灯r # o ，协( t ) = ( t ) + ( 出可，= 斯魁西o ，i = x o l x ，以= 7 r 吼西o ，口 r ( t ) 和” r ) 依然是高斯自噪声。 满足 = = 4 。7 r 2 r k b t 6 ( 一。，) ( 对应于二维l a l l g e v i n 方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的f o k k 睁p l a n 吐方程为： 翌塑客掣= 一a 队( 也妒) p ( 屯州) 】+ ；a 岛( 也i p ) p ( 也刚) 】( 2 8 ) 这里的a ( 也妒) 和b ( 曲，i p ) 为 月( 九们= f ，山、 i a 妒， = ( 哼似；撼嚣竺：j 嚣细弘。， 一 半+ 口“如s j n 毋c 嘲妒一“k 8 i n 妒c 毋，p 滑 。撕，= 掣( 。1 ：) 暇埘 一个多变量的f o k k r p l a n c k 方程通常藉况下 i 难精确求解，但在满足势 条件的条件下可以精确求解。方程( 2 7 ) 是这样的一类方程。但是其满足的是 一类特殊的开放性周期势条件f 3 1 。 z = z a = = 志 ( 一取咖曹2 譬篡s i n 嚣警= s i 毋n j c o s 字毋删勺r 肌，血“+ 姒c o s 妒一妒毋、 不难发现a 勿8 | p = a 乙i o 咖即满足势条件f 3 1 】。因此f o k k e r - p l a n c k ) 芎 程( 2 7 ) 的定态几率分布为 只( ，妒) = 斋e x p 一去渺一九) 2 + 萼 c 锵毋c 嬲妒+ a s i n s i n 妒 + 等( 卅妒) ) ( 2 1 2 ) 其中7 = ，r 2 七a t 上睇= l 1 4 l 声( l p = ( 奶2 ，r ) 2 i k 茸t ) ，口= 2 1 。l 1 击o 当b = o 和行= 0 时，对应为对称情况下的定态几率分布，l i p 只( 也妒) = 斋e x p 一刍( 咖口) 2 + 萼【c o s 咖c o s 妒+ q 8 i n 西s i n 妒l + 等订 ( 2 1 3 ) 其中口= 九十掣叶。 方程( 2 1 0 ) 归一化常数可以通过詹”如只( 也妒) d 卉= 1 求得，因此 = z 撕e 筹9 却仁唧【刍( 毋一矿+ 萼( 斓庐c o s 妒+ s i n 咖功 ( 2 1 4 ) 利用展开式： e 一。= b ( 尘) + 2 厶( 窖) e 0 8 n 曲 ( 2 1 5 ) ，i = l e 妯9 = 厶+ 2 ( 一1 ) “( $ ) 螂2 椰+ 2 厶阱l ( 茹) c a s ( 凯+ 1 ) 咖 m = 1m = o ( 2 1 6 ) 舰厶为m o d j 矗e db 酾吕d 函数，引入五个函数 。：，钉c m l p e 等9 如 ( 2 1 7 ) m 2 z 。8 m l p e 等9 如 ( 2 1 7 ) 1 2 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s ；，新8 i n 妒c o s m 僻酵9 如 ( 2 1 8 ) j o d m = 仁唧卜刍( 一妒 c 锵m 蛳 ( 2 1 9 ) e m = 仁e 州一刍( 川舳1 n m $ d 4 , f ( - , - 0 = o “厶( 萼删纠k ( 萼a b i n 伽如 从( 2 1 4 ) 一( 2 2 0 ) 可以得到f 3 2 】 = f ( o ，o ) v o + 2 【一1 ) ”r ( o ，2 m ) d 2 f l + 2 f ( 0 ，2 仇+ 1 ) 岛h + 1 m = l m = o 2t ”f ( n ，o ) 玩+ 4 妻妻( 一1 ) m f ( n ，2 r n ) 堕告 ，o ) 玩+ 4 ( 一1 ) ”f ( 塑气产型 n = ln 霉1 t n = 1 + 4 o o o o ( 一1 ) m ，( t l ，2 m + 1 ) 垦咝蔓磐( 2 2 2 ) + 4 ( 一1 ) ”，( t l ，2 m + 1 ) 墅业薯笋坠地( 2 2 。2 非对称d cs q u m f i 慌计性质 本节将推导出描述非对称d cs q u i d 统计性质的解析公式( 例如环流， 电流电压关系和传输系数) ，为了考虑热力学噪声对s q u i d 性质的影响，引 入噪声参数r = 2 仃口t ( 西。厶) ，有 7 = 竿 ( 2 2 3 ) 且由 = l ( d l v ) 可得，r 口r = l l f 。 2 2 1 环流 1 3 出： 在定志下，d cs q u i d 中环流的统计平均 可由方程( 2 1 ) 和( 2 5 ) 得 l e s i n 妒o o s 只( 庐，妒) 批 s i n 毋c 0 8 妒p ( 咖，妒) d 西d l p( 2 2 4 ) 为求解方程( 2 2 4 ) ，引入函数 m ( 仇m ) ：f 孙c 船妒厶( 警o o s 纠k ( 萼a 萄n 们如m ( 仇m ) 。上c 船妒厶( 等0 0 8 妒) k ( 等a 缸妒) 如 k ( 如m ) = z 打8 i n 妒厶( 萼o o s 曲k ( 萼n 8 i n 纠如 从( 2 1 4 ) 一( 2 i o ) ，( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) ，可以得到 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 半= 懈k 朋d t + 。争，唧渐，毕 +2oo，2m+1)堕半业+2妻耳(di+n+，dt-nk(o 0 ) d i + n + d t - n + 2 ，2 m + 1 ) 垒半+ 2 耳( 。 w i = un = j o or ，。、d 2 ，i + 1 + t i + d i 一2 ，l + d 1 舯l 一觚+ d i - + 加 + 4 ( 础m ) 塑坐芝兰里也= 塑型生兰世 + 4 妻妻( n , 2 m + 1 ) 坠生坠号竽出i _ m ( 0 o ) e t 一2 妻( 一1 ) m m ( 叩m ) 些譬垫尘 一z 妻坤，2 m + ，) 毕一2 m ( o ，1 ) 丝半 m = 0 一z 妻坼，o ) “! 1 - t - n + ；1 5 1 - n 一2 村( 亿 ， n = l 。o ，h 、点k + 1 + n + 蜀一n 咖+ e 1 + n - 撕+ e t - t t + 2 m 一4 m ( 础m ) 坠地羔坠坐型坐 刀尘，t l + n + d 凯一n + 上) 2 m + n + 2 + d 2 m n + 2 4 ( 2 。2 7 ) 仁仁厂厂 凸 一 n知n 联 。删科 4 2 2 2 平均电压 非对称d cs b u i d 中电压p 的统计平均可由方程( 2 6 ) 得到 警= 扣厶z 知仁咖咖咖删咖) 妣 一厶z 打仁咖c 饼蛾西曲如( 2 2 s ) 将( 2 1 3 ) 代入( 2 2 8 ) 并利用( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) ，( z 2 s ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 8 ) ，可以得到d c s q u l d 两端归一化电压( p 三 弛) ”= ；+ 口胁。阱z 圣o o ( - 1 ) 训0 1 2 m ) 毕 + z 量坤，。) 毕+ z 霎脚，0 ) 坠净 。 。历1 + n + e l n 加+ 颤+ n 二2 ，l + 毋一n + 2 r ，l + 4e e m ( 礼，2 m ) 塑业立坠地孚造她 j o 虽 1、玩m+岛mn+占+n+2+占一“+2lk( + 4 n , 2 m + 1 ) 坠型竺坠等她唑幽l i k ( 0 ，o ) d 1 + 2 o o ( 一1 ) m ( o , 2 m ) 2 m ) 一y - l + 2 m + ；“孔- 2 m 一 ，o ( 一1 ) ”(， + 。薹砷，毕+ z 妻n = l 聊，半 j 芒虽p kh 、d 2 m + l + n + d 1 一n 一2 m + d 1 + n 一2 m + d i - - 2 ” + 4 ( 如2 m ) 竺型生羔塑地哼兰业型竺业 。j 虽虽p ，。一1 、e 如+ 。+ 岛。一n + e 拥+ n 托+ 岛m n + 2 i + 4 耳( 忭，2 m + 1 ) 墅坐型垫型写型型堑业i 2 2 3 器件的传输系数 ( 2 。2 9 ) 由( 2 2 8 ) 可以得到d cs q u i d 的传输系数 象= 。卜啊+ 。扣m ，。m ，毕 +2妻0,2m+1)毕+。im(n,o)u(0 2 m +2 e m ( 毕 + 2 垒 纽+ 继号纽 j 芒j m ，q m 、点+ 1 押+ 蜀一r 一2 。+ 足+ n 一细+ 耳一。+ 2 m + 4 m ( 印m ) 塾世吐塾堂 塾业止塾业 。亡lp k 。dk+。+jd一。+d+。+2+珥。+212 + 4 ( m + 1 ) 垒蜓坐幽j 纽业兰坠业f ho ) d ，+ 2 妻( 叫m k ( 0 , 2 m ) 坠争 + 2 o ok ( 0 , 2 m + 1 ) 毕+ 2 妻坼0 ) 毕 o op r _ 。、珥m 十1 + 。+ d ；一。一2 t ，i + d l + n 一2 ，i + 珥一“+ 加 + 4 ( 啦m ) 垒业吐坐型号竺丝虻坐 虽o 。1露+。+e一。+。+州+_e一。+2ik( + 4 n ，2 m + 1 ) 垫型墨盐箐业丛地l n = l ，n = 目j f 2 3 0 1 其中磁= 扎既，联= 一n 玩 2 3 讨论 2 3 1 环流磁通关系 利用( 2 2 7 ) 可以讨论非对称性对环流磁通曲线的影响。从p ( ，妒) ( 2 1 2 ) ， 可以发现电感非对称，7 仅仅影响曲线的位置，而不影响环流的大小，因此这里 只研究临界电流的非对称对环流一磁通曲线的影响。 f i g ( 2 1 ) 显示了临界电流的非对称和不同热力学噪声参数下的环流一 磁通曲线。可以看出临界电流的非对称压缩超导环内的环流 噪声较 1 6 图2 1 ：c i r c u l a t i n gc u r r e n tv e r s u $ a p p l i e df l u x af u n c t i o no f a h e r e 口= o 4 ，= 0 1 ( d ) r = 0 1 ( 6 ) r = 0 5 小时( r = o 1 ) 在一个周期内临界电流的非对称将引起环流的非对称退 化( f i 9 2 1 a ) 。f i g ( 2 ：2 ) 显示了临界电流的非对称和不同电感参数卢下的环流磁 通曲线。与对称情况下的曲线对比。“涟漪”现象随着非对称参数d 的增大 而逐渐消失。 2 3 2 电流电压关系 本结分析了非对称性对电流一电压曲线的影响。对于相对较小的噪 声( r = 1 0 ) ，电流的非对称性将压缩平均# f i 压( f i g2 3 d ) 。而对于相对较大的 噪声( r = 5 0 ) i y 曲线将基本保持不变( f i g ( 2 4 ) ) 。 2 3 3 传输系数 利用表达式( 2 3 0 ) 来研究非对称性j $ j d c s q u i d 传输系数的影响。从p 似妒) ( 2 1 2 ) a n dp ( 2 2 8 ) 可知电感非对称7 7 仅仅影响相位，而不影响平均输出电压 的大小。为了便于与以前的工作对比，电流传输系数曲线( f i g2 5 ) 中所选 取的参数和文献f 2 2 1 一致。 f i g2 5 a 显示对于相对较高的噪声( r = 2 o ) ，电流的非对称减小传 输系数；而对于相对较低的噪声( r = o 1 ) ，电流的非对称增大传输系数 1 7 ttttia，j5-0掣4xt-，ard 图2 2 ：c i r c u l a t h l g c u r r e n t 瑚a p p l i e d f l u x 8 f u n c t i o n o f a 。h e r e j = 0 9 r = 1 5 ( d ) 口= 0 8 ( 6 ) 卢= 0 1 ( f i g2 5 c ) 。与此类似的结果以前文献也有讨论。但对于适当大小的噪 声( r = 0 5 ) ，当逐渐增大非对称参数。时，传输系数的峰值将先增大， 当a10 5 时，传输系数的峰值将随着a 的增大而逐渐变小。f i g ( 2 5 ) 还显示最 佳电流随着噪声参数r 的增大而增大。 2 4 此理论的适用范围和缺陷 此理论定性上的结果与数值模拟的结果一致，但在周期上却是数值方法 的两倍，而且定量上也存在很大误差。关键的原因在于此f o k k e r - p l a n c k 方程 的边界是开放而不是封闭的( 妒的范围开放) ，此方程是一类满足开放性周期 势条件的特殊方程f 2 3 ，3 1 i 。 此方程有一个特例，可以发现当偏流h = o 时，边界条件封闭，此时方程 严格满足周期性势条件，可精确求解。出于随着三个可调参数( 厶卢，r ) 的 变化自由度币，妒的定态几率分布是连续变化的，厶1 时的定态几帛分布可 看作是近似正确。 1 8 t号t5，is 山* r 一v 叼y 圈2 3 ：c i r c u l a t i n gc u r r e n tv e r e u 8a v e r a g ev o l t a g eh e r e 卢= 1 0r = 1 0 西= ，r ( o ) a 日 a f u n c t i o n o f a = 0 ( b ) 聃a f i m c t l o n o f o q = 0 a v * m p v o 呻, v h 忡 i 她v 图2 4 ：c i r c u l a t i n gc u r r e n tv e l 瞎t t $ a v e r a g ev o l t a g eh e r e 卢= 1 0r = 5 0 雪$ 丌( 4 ) a 8 8 f u n c t i o n 。f 印d = 0 ( 6 ) 柏a f u n c t i o n o f a 刁= 0 b i 确c u r 州i 目t t e c w r 州1 图2 5 ：t r a n s f e rf u n c t i o nv 8 b i a sc u r r e n t af u n c t i o no f 口h e r er = 0 5 卢= l o ”= 0 5lltl-jp e工211量p 鳙三章d cs q u i d a p , s 的燕力学噪声理论 利用高温超导材料制作的s q u i d 器件，由于转变温度t c 已经高于液氨温 区，对工作环境要求和成本大幅降低；但同时由于工作温度较高，系统热力 学噪声增大，使系统的传输系数下降，传统的s q u i d 器件在性能方面已经不 能满足实际的需要。为解决这一问题，一方面可以在器件设计时优化选择 参数：另外可以设计各类改型的s q u i d 器件用以提高系统的传输性能。这其 中研究最多的改型d cs q u i d 器件为在超导环中加入了电阻性分流电感的d c s q u f d 器件( d cs q u i d a r s ) ，近年来大量的文献f 5 ，6 ，3 3 - 3 5 通过数值模拟 方法对此模型的噪声行为进行讨论。实验和数值模拟( 小噪声背景下) 结果 均已表明桥式电感的引入有助于提高d cs q u i d 系统的耦合性能和传输系数。 本章将利用小参数展开方法n6 】来研