城建专升本工程力学课件第九章梁的内力.ppt

第九章梁的内力,9-1概述,一、弯曲的概念,受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线。,梁：以弯曲为主要变形形式的构件称为梁。梁的纵向对称面：梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面。,楼板,火车轮轴,工程实例：,非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲。,弯曲的分类：,平面弯曲：当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生弯曲变形后，轴线也将保持在此对称平面内，梁的轴线成为一条平面曲线，这种弯曲叫做对称弯曲，也称为平面弯曲。（本章只解决平面弯曲问题）,二、梁的支座及支座反力,悬臂梁,三、静定梁的基本形式,简支梁,外伸梁,1）集中力。作用在梁上某点的横向力，常用单位为N或kN。2）集中力偶。作用在梁轴线上某点处，且矩矢垂直于梁的纵向对称平面（常用单位为Nm或kNm）。3）分布力。沿梁长度方向连续分布的横向力。分布荷载的大小可用单位长度上的荷载，即荷载集度q来表示，其常用单位为N/m或kN/m。,四、梁的荷载,9-2梁的内力及其求法,一、梁的剪力和弯矩,梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪力和弯矩。,剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为N或kN,弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩。单位是N.m或kN.m,二、剪力、弯矩符号的规定,1剪力符号规定截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负。2弯矩符号规定截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受拉为正，反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为负。,三、内力计算（截面法、简便法）,梁在截面mm上内力可由脱离体的平衡条件求得。根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：,可得,对截面mm的形心O取矩,可得,截面法：,例题91试求图a所示梁D截面上的剪力和弯矩。,解：（1）求支反力FC和FB（图b）。由平衡方程,，,解得,解得,（2）计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD,得,对截面mm的形心O取矩,得,（上侧纤维受拉）,(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。,左端脱离体,右端脱离体,简便法：,2）截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩，其正负与之相反。,(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。,1）不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。,左端脱离体,右端脱离体,例题92试求悬臂梁C截面上的剪力和弯矩。,解：,例题93求图示梁截面11和22上的剪力和弯矩。,解：,（1）求支座反力。考虑梁的整体平衡，由,（2）求1-1截面上的内力。,和,可得,（3）求2-2截面上的内力。,9-3内力图-剪力图和弯矩图,作内力图的方法：,1、列方程作内力图,2、简便法作内力图利用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系作内力图。,3、叠加法作内力图,列方程作内力图,剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力或弯矩随截面位置的变化规律。,假设梁截面位置用沿梁轴线的坐标x表示,剪力方程:,弯矩方程:,例题94图a所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）求支座反力。利用对称性及平衡方程求得,取距左端为x的任意横截面左侧的梁段，则梁的剪力和弯矩方程分别为,（2）列内力方程,（3）由内力方程作内力图。,弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。,剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条倾斜直线段。,说明梁跨中横截面上的弯矩值最大，为,。,（a）剪力图,（b）弯矩图,例题95图a所示的简支梁，在C点处受集中力F的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：1.求支座反力。利用平衡方程求得,2.列剪力方程和弯矩方程,此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。,对于AC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,对于BC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,3.作剪力图和弯矩图,如图b及图c。由图可见，在ba的情况下，AC段梁在0xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，为（负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。,1.M(x)、FS(x)、q(x)间微分关系导出,9-4荷载、剪力与弯矩间的关系,几何意义为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,整理后得,整理后得,几何意义为：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,又由,由上两式可以得到,.常见荷载下FS，M图的一些特征,集中力作用处,集中力偶作用处,若某截面的剪力FS(x)=0，根据，该截面的弯矩为极值。,利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：(1)求支座约束力；(2)分段分段确定剪力图和弯矩图的形状；(3)定点求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；(4)连线。,例题97图a所示的外伸梁，尺寸及荷载如图所示，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：(1)由梁的平衡求出支座反力：,（）作剪力图,AB段：FSA右=FA=8kN；FSB左=-12kNBC段：FSB右=0,此外，还应求出FS=0的截面位置，以确定弯矩的极值。设该截面距梁左端点为x，于是在x处截面上剪力为零，即,（3）作弯矩图,AB段：,B段：,例题98图a所示的悬臂梁，尺寸及荷载如图所示，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：(1)作剪力图,AB段：FSA=0，FSB=-qaBC段：FSB=-qa，FSC左=0,AB段：,BC段：,（2）作弯矩图,已知：图中梁的约束力为,思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。,正确答案：,(a),图中梁的约束力为,正确答案：,(b),图中梁的约束力为,正确答案：,(c),9-5叠加原理作剪力图和弯矩图,(1)在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,(a),这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。,(a),(2)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与