（计算数学专业论文）调和αbloch函数和调和小αbloch函数的判别准则.pdf

摘要 1 9 9 9 年伍鹏程教授在文章i n c r e a s i n gf u n c t i o n s ，h a r m o n i c b 1 0 c ha n dh a r m o n i cn o r m a lf u n c t i o n s ”中，用给定的增函数刻画 调和b 1 0 c h 函数和调和小b 1 0 c h 函数以及调和正规函数的特征。2 0 0 1 年伍鹏程和乌兰哈斯又发表了题为c h a r a c t e r i z a t i o n so f 级 s p a c e s ，在该文中他们提出了级空间的概念。于是相应于i n c r e a s i n g f u n c t i o n s ， h a r m o n i cb 1 0 c ha n dh a r m o n i cn o r m a l f u n c t i o n s 文 章中的结果，本文在引进一个浮动参数口( o 口 ) 的条件下，用类似 的方法研究了调和口一b l o c h 函数和调和小口一b 1 0 c h 函数的判别准则； 而相应于文章c h a r a c t e r i z a t i o n so f 绋s p a c e s 中的结果，我们提 出了科，口空间，鲱，。空间，鳞，。空间和鲜，。空间的概念，并且得到了饼，口 空间和鲜，。空间的关系以及鲜，。空间和彰，。空间的一个关系。这些结论 改进了早期的一些已知结果。 关键词：调和口一b 1 0 c h 函数，调和小口一b 1 0 c h 函数，钟。空间， 鲱。空间，饼，。空间，鳞，。空间 中图分类号：0 1 7 4 a b s t r a c t i n19 9 9 ，p e n g c h e n gw us t l l d i e dm ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rh a r m o n i c b 1 0 c h 劬c t i o n s ，h a r i n o n i c1 i t t l eb 1 0 c hf u n c t i o n sa n dh a n n o l l i cn o n n a l f h n c t i o n sb ym e a n so fi n c r e a s i n gf h n c t i o n s i nh i sp 印e r 协z c 删s 砌g j 可“，z c f f d ，z s ，日a ，咒d 甩记b ，d c 办a ，z d 胁厂刀z o ，z 记肋厂7 押口，f k 刀c f f d ，z s ”i n2 0 0l ， p e n g c h e n gw ua n dh a s iw u l a nf o m a l l yi n 仃o d u c et h e 耿s p a c e si n t h e i r p 印e r 鳓口朋c f e r 加砌，z s 矿瓯印口c 甜 i nt b j s p a p e r ， c o r r e s p o n d i n gt or e s u l t so fm ep a p e rz 住c 玎阳s 西2 9 凡，z c f f d ，z s ，妃，7 挖d ，z f c 艿，d c 厅口，2 d胁朋d 甩记 d 删口，h 刀c f 面，z s ，a d d i l l g t h ec o n d i t i o no f 口( 0 口 o o ) ，w es h a l ld i s c u s sc h a r a c t e r i z a t i o n so fh a n l l o n i c口- b 1 0 c h 如n c t i o na n dh a m o n i cl i t t l e口- b 1 0 c hf h n c t i o na r e 百v e nb ym e a n so f i n c r e a s i n gm n c t i o l l s f o rt h er e s u l t so fp 印e r ( 场口朋c f 汐如m f f d ，z s 矿以 印日c 酷，w es h a l li n t r o d u c es o m en e wm n c t i o ns p a c e s ：t h e ya r e 饼。s p a c e ， 鲱。s p a c e ，饼， s p a c ea n d 鲜， s p a c e w ew i l ls m d yt h er e l a t i o no f 鲱，。s p a c ea n d 彰，。s p a c e a n dt h er e l a t i o n o f 鳞， s p a c ea n d 鳞， s p a c e ，w ew i l lg e ts o m en e wu s e m lr e s u l t sw h o me x t e n de a r l i e rr e s u l t s k e y w o r d s ：h a n n o n i c 口一b 1 0 c h 如n c t i o n ，h a 咖o n i cl i 砌e 口一b 1 0 c h 凡n c t i o n ，饼，。s p a c e ，彰，。s p a c e ，饼， s p a c e ，彰， s p a c e 附录： 学位论原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本文不包含任何其他人和集 体已经发表和撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：主垠欠 2 统谬年丐月了口日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅；本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：圭缘火 导师签名： 年月日 引言 函数论的研究主要涉及实分析，复分析及泛函分析而复分析的研究又主 要涉及亚纯函数的正规族和值分布理论，r i e m a n n 曲面，正规函数与b l o c h 函数，复变函数空间等方面以上所涉及的这些方面，复变函数空间理论 和b l o c h 函数的研究有着悠久的历史，得到了丰富而优美的结果。它们都是 几何函数论中的重要内容，关于它们的研究已获得不少深入的结果，而近年 来的发展表明，函数空间理论和b 1 0 c h 函数与数学的其它分支有着广泛而密 切的联系，并引起许多研究者的兴趣 国外的著名数学家r a u l a s k a r i ，p l a p p a n ，m e s s e n ，n d a n i k a s 和c h p o m m e r e n k e 以及日本的s 、h m a s h i t a 对函数空间和b f d c 函数方面进行 深入的研究，这主要体现在他们发表的文章o nq b z d c s p a u c e sa n dm u l t i p l i e r so fd i r i c h l e ts p a c e s ， s o m eb a n a c hs p a c eo fa n a l y t i cf u n c t i o n s ， c r i t e r i af o ra na n a l y t i cf u n c t i o nt ob eb l o c ha n dah a r m o n i co rm e r o m o 卜 p h i cf u n c t i o nt ob en o r m a l ，c r i t e r i af o rf u n c t i o n st ob eb l o c h ，f u n c t i o n so f u n i f o r m a l yb o u n d e dc h a r a c t e r i s t i c 等等( 参见【5 ，1 0 ，1 1 ，2 3 ，2 4 】) 在国内， 从事复分析，b l o c h 函数和正规族理论研究的专家学者主要集中在中国科学 院，北京大学，汕头大学，南京师范大学，重庆大学和华东师范大学等等 特别是杨乐，张广厚等著名数学家，他们在这方面都有着突出的贡献，并且 取得了显著的成果 对于函数空间理论的研究，早在1 9 3 0 年就开始了对h a r d y 空间的研 究1 9 9 3 年在香港举行的国际复分析会议上由芬兰数学家r a u l a s k a r i 和 美国数学家p l a p p a n 在文章c r i t e r i af o ra na n a l y t i cf u n c t i o nt ob eb l o c h a n dah a r m o n i co rm e r o m o r p h i cf u n c t i o nt ob en o r m a l 首先提出了q 口空间 的概念( 参见 5 】) ，多年来砩空间引起很多数学家的兴趣并且得到了很多 经典和漂亮的结果2 0 0 0 年r a u l a s l 【a r i ，p l 印p a n 和r z h a o 合作的文 章o nh a r m o n i cn o r m a la n d 础f u n c t i o n s 中提出了q ：l 和q ：0 - 空间等概 念( 参见【9 】) 2 0 0 1 年乌兰哈斯和伍鹏程合作提出了q 空间的概念并得 到一系列结果至今q 耳空间仍然是复函数几何理论研究的热点，有很多问 题尚未解决 b z o c 九函数空间是由美国数学家p l a p p a n 引入的( 参见【4 ) ，相应于 b 2 d c 函数空间，又引入了小b f d c 函数空间，它们的定义我们将会在正 文中给出对于b f o c 九函数空间，我们可以定义范数，i i 川b = i ，( o ) i + s u pl ，) ( 1 一2 ) 这样，b f d c 函数空间在该范数下是一个b n n n c 九空 间，并且b 是不可分的在1 9 7 4 年，a n d e r s o n ，c l u n i c 和p o m m e r e n k e 发 表了题为o nb l o c hf u n c t i o n sa n dn o 咖a lf u n c t i o n s 的文章( 参见f 4 1 ) ，该 文对j e 7 f d c 函数空间的研究有重要意义，它阐述了有关b f d c 函数的很多 性质，为以后的b f o c 空间指明了方向1 9 9 8 年伍鹏程在发表了题为0 n i n c r e a s i n gf l l n c t i o n s ，b l o c hf u n c t i o n sa n dn o r m a lf l m c t i o n s 的文章( 参 1 见f 2 0 1 ) 中研究了b f d c 九函数和正规函数的判别准则时引进了一个增函数， 伍鹏程将该文中的b f o c 函数和正规函数替换为调和b 2 d c 函数及调和正 规函数时，得到了文i n c r e a s i n gf u n c t i o n s ，h a r m o n i cb l o c ha n dh a r m o n i c n o r m a lf u n c t i o n s 中的结果( 参见【2 1 】) 关于b f o c 函数空间还有许多漂 亮的结果，在此我们就不一一列举 但是对函数空间和b l d c 九函数的研究还不是很完善，还有很多值得我 们去研究例如给定一个参数q ( o o ) 的q 参n 和q 争o n 空间以及调 和q b f d c 函数和调和小q b f d c 函数的研究还有很多问题尚未解决， 所以需要对这方面有更多的研究，从而使其更加完善 本文主要工作包括两个部分，其一是对调和q b f d c 函数和调和小q b f d c 函数的判别准则的研究关于这个部分的研究，许多数学家对q b f o c 危函数和小q b f d c 函数已经做了大量的讨论，也获得了很多有用 的结果，在对一b f d c 函数研究中，研究这类函数在单调递增函数t 上 的性质有着重要的作用，但是对于这一领域的研究还不是很完善本文的研 究主要通过引进某个参数，我们将在调和b f d c 函数和调和小b f d c 九函数 与t ( 夕( z ，o ) ) 和t ( ( z ，o ) 的一些关系及性质的基础上，对调和口一b z o c 函数和调和小q b f d c 函数在单调递增函数丁上的性质进行讨论并将 主要运用值分布理论的知识和积分的估计，用类似于伍鹏程关于调和b 2 d c 九 函数和调和小b f d c 函数理论研究的方法得到调和q b f o c 危函数和调和 小q b f d c 危函数的判别准则，其中得到的结果将推广早期的一些相关结 果，并且对调和q 一沂m n f 函数和调和小q 一d r m n f 函数的研究起到一 定的作用这些结果本文将在第二章给出其二就是将调和q b f d c 函数 和调和小q b f d c 函与q t 空间相结合，提出q 孚o 和q 争- o q 空间的概念， 同样通过研究【o ，+ ) 上的单调递增函数丁( r ) 的对数级和对数型的性质的 讨论，得到它们的一个关系关于这个部分的研究，乌兰哈斯，伍鹏程等通 过对调和j e 7 f o c 函数和调和小b l d c 函的研究得到了一些结果，这些推广 了早期的一些结果，本文将在第三章介绍他们的结果及本文得到的结论 2 第一章预备知识 在这个部分我们将介绍b f d c 九函数，小b f d c 函数，调和b f d c 九函数及调 和小b f d c 函数的基本定义和一些经典的结果，这些内容参见文献 5 ，2 0 ，2 1 】 1 1b l o c h 函数的基本理论 为了方便，我们将先给出一些常用到的记号： 记d = z c ：h 1 ) 是复平面上的单位圆盘，a d = z ：= 1 ) 为d 的边界 对于o r 1 ，令( n ，r ) = z d ：i 妒n ( z ) l 7 ) 是以n 为中心7 为 半径的双曲圆盘 对任意o d ，妒口( z ) = 罟蓑( z d ) 是m o b i u s 变换通过简单的计算 可知 妒i 1 = 妒n ，l 妒：( z ) l = 样，( 。，z d ) 如果 z = 妒口( u ) = 篙，z = z + z 可，d a ( z ) = 捌秒 则有 啡) 吡删2 州小( 样) 2 州 记 出，0 ) _ l o g i 害1 1 。g 志， 是单位圆盘d 上以。为奇点的g r e e n 函数 再设t ( r ) 是【0 ，+ o 。) 上的非负单调递增函数，定义丁( r ) 的对数级d ( 参 见【2 0 】) 为 1 i ms u p 型掣 r o o l o gr 其中l o g + z = m 觚 l o gz ，o ) ，如果o p 。o ，则定义丁( r ) 的对数型 ( 参见【2 0 】) 为 盯：l i ms u d ! 竺墨二三盟 3 接下来我们将给出b l o c h 函数的几个定义和几个简单的性质 定义1 1 1 设，是d 内的解析函数，如果，满足： s u p ( 1 一吲2 ) i ，7 ( z ) i ， n d 我们称，是b f o 曲函数，记作厂b 相应于b f o c 函数空间，又引入了小b f d c 函数空间，其定义为： 定义1 1 2 设厂是d 内的解析函数，如果，满足： 。l 陋( 1 一l z l 2 ) l ，k ) l = o ， l z i 1 我们称，是小b f d c 危函数，记作厂岛 关于b l o c h 函数和小b l o c h 函数有以下已知结果： 定理1 1 1 2 0 】设t ( r ) 是【o ，十) 上的非负单调递增函数，且觋警= c ，如果t ( 7 ) 的对数级p 和对数型仃满足下列条件之一s ( i ) j d 1 ，盯为任意数， ( i i ) p = 1 且仃 2 则厂b 的充要条件是 厅( 厂) = s u p 虹n ( ，) = s u p 1 厂k ) 1 2 t ( 9 ( z ，o ) ) d a ( z ) o o n d口dj 王 如果，b ，则存在一个常数k ，使得 b ( ，) k b ( ，) 2 定理1 1 2 【2 0 】令t ( r ) 同定理1 1 1 中所述，则厂岛的充要条件是 l 黔i ，k ) 阿夕( z ，n ) ) d a ( z ) = o d 定理1 1 3 2 0 】设t ( 7 ) 是【o ，+ o o ) 上的非负单调递增函数，且j 觋警= c 1 ，盯为任意数， ( i i ) p = 1 且仃2 则对d 内的每个非常数的解析函数，我们有 s u p ，k ) 1 2 丁( 9 ( z ，o ) ) d a ( z ) = o o o dj 矗 4 定理1 1 4 2 0 】设t ( r ) 是【o ，1 】上的非负单调递增函数，且j 觋警= c ，则，b 的充要条件是 ：酱髟l 州弦( 吣，0 ) ) 州牝o 。 定理1 1 5 2 0 】设t ( r ) 是 o ，1 】上的非负单调递增函数，且舰掣= c ，则，岛的充要条件是 l 将叭z ) 陬尼( z ：口) ) d a ( z ) = o d 1 2 调和b l o c h 函数的研究 在这个部分我们简单介绍调和b f d c 九函数和调和小b f d c 函数的定义 和几个已知结果 定义1 2 1 如果d 内的实值调和函数u 满足： s u p ( 1 一吲2 ) i v ；u ( z ) i ， o d 我们称u 是调和b f d c 九函数，记作u b ，其中 v z 让( z ) = ( 札z ，札) ，且i v z 乱( z ) l = 钆；+ u ；， 参见【4 ，5 ，1 4 】 定义1 2 2 如果d 内的实值调和函数u 满足： 。1 陋( 1 一2 ) i v ：u ( z ) l = o ， 我们称钆是调和小b f d c 尼函数，记作乱磁，参见【4 ，5 ，1 4 】 伍鹏程给出了调和b f d c 函数和调和小b f d c 尼函数的一些性质( 参 见【2 1 】) ，他证明了以下结论 定理1 2 1 设t ( r ) 是 o ，+ o o ) 上的非负单调递增函数，且1 i 硬警= c ，如果丁( r ) 的对数级j d 和对数型盯满足下列条件之一： ( i ) j d l ，为任意数， ( i i ) p = 1 且盯 2 5 则( z ) 是调和b 2 d c 函数的充要条件是 脚) 2 ：錾髟i v 州圳2 t ( 9 ( 脚心) o o 并且，对在d 内调和的乱，存在常数k ，使得 厅( u ) k b ( u ) 2 定理1 2 2 设丁( 7 ) 如定理1 2 1 中所述，则u ( z ) 是调和小b f d c 函数 的充要条件是 晋m 1 l v ：札( z ) 陬9 ( 础) ) d a ( z ) = o d 定理1 2 3 设丁( r ) 是 o ，+ o o ) 上的非负单调递增函数，且舰警= c 1 ，盯为任意数， ( i i ) j d = l 且盯2 则对d 内的每个非常数实值调和函数也，我们有 ：3 够i v 州阿觚硼) ) d 鲍) = 定理1 2 4 设丁( r ) 是 o ，1 】上非负单调递增函数，且= c o 。， 则乱是调和b f d c 危函数的充要条件是 船髟i v 删阿( 比 定理1 2 5 设t ( 7 ) 是【o ，1 上非负单调递增函数，且舰= c o 。， 则u 是调和小b f d c 危函数的充要条件是 譬m 1 i v 。札( z ) 阿 ( 郇) ) d a ( z ) = o d 6 第二章调和q b f d c 九函数和调和小q b f d c 危函数的研究 在研究调和b 2 d c 忍函数和调和小b 2 d c 危函数的过程中，通过所得的结 论，我们最想解决的问题是：能否在加入一个浮动参数a ( 0 a ) 的 条件下，用同样的方法去研究单位圆盘上的调和函数的情形，但是由于加入 了参数q ，这样在证明过程中就出现了许多问题，为此我们将参数q 分 为0 q 1 和l q 两种情形进行讨论，得到了调和q b f d c 函 数和调和小口一b 2 d c 危函数的判别准则 2 1 基本定义和引理 定义2 1 1 设q 是任一大于零的实数，如果d 内的实值调和函数缸满 足： s u p ( 1 一吲2 ) o i v ：札( z ) i o 。， 2 d 我们称t l 是调和q b j d c 忍函数，记作u 磁，其中 v z 乱( z ) = ( 钆z ，) ，且l v z u ( z ) l = 、u ：+ “；， 当q = 1 时，b 2 是通常的调和b 2 0 c 危函数空间，参见【2 0 ，2 l 】 定义2 1 2 设口是任一大于零的实数，如果d 内的实值调和函数乱满 足： 1 i m l ( 1 一汗) 口l v 。u ( z ) i = o ， i z l 1 我们称u 是调和小乜一b 2 d c 函数，记作“璐q 当q = 1 时，磁n 是 通常的调和小j e 7 z d c 函数空间，参见 2 0 ，2 1 】 并且在【2 1 】中有以下几个引理： 引理2 1 1 设t ( r ) 是【o ，+ ) 上的非负单调递增函数，且丁( 7 ) 不恒为 零，对任意的调和函数钆，不等式 ( 1 一2 l v d u ( 。) 1 2 c l v ：u ( z ) 阿9 ( 名，n ) ) 批( z ) ， d 对所有的n d 都成立，其中c 是与“无关的常数 引理2 1 2 设丁( r ) 是【o ，+ ) 上的非负单调递增函数，且觋警= c ，u b ，如果t ( r ) 的对数级p 和对数型盯满足下列条件之一： ( i ) j d 1 ，盯为任意数， 7 ( i i ) j d = 1 且盯 2 则对任意o d ，有 厅，。( 札) = 厂i v 。“( z ) 1 2 t ( 9 ( z ，。) ) d a ( z ) 2 丌k ( t ) b ( u ) 2 ， 其中，k ( 丁) = 詹释 o o 引理2 1 3 设t ( r ) 是非负单调递增函数，r o ，1 】，且t ( 7 ) 不恒为零，则任意在d 中调和的函数u ，不等式 ( 1 一i 。1 2 ) 2 l v n u ( 。) 1 2 c 7 i v z 荆阿九( 钠) ) 以( z ) ， d 对所有的o d 都成立，其中c ，是与u 无关的常数，九( z ，n ) = 1 一i 妒口( z ) 1 2 引理2 1 4 设t ( 7 ) 是【o ，l 】上的非负单调递增函数，且警= c ，u b h ，则对任意o d ，有 i v ：札( z ) 1 2 丁( 危( z ，。) ) d a ( z ) 2 丌巧( 丁) j e 7 ( 让) 2 ， d 其中，k ，( 丁) = 詹替 o 。 2 2 几个引理 相应于以上几个引理，关于调和口一b f d c 危函数和调和小q b f d c 九函 数也有类似的下列引理，我们接下来将给出这几个引理及其证明 引理2 2 1 设丁( r ) 是【o ，o o ) 上的非负单调递增函数，且r ( r ) 不恒为 零，又q 是大于零的实数，则对任意的调和函数，不等式 ( 1 一2 q l v 口札( 口) 1 2 c i v ：u ( z ) 1 2 ( 1 一m 缸一2 丁( 9 ( 那) ) 拟( z ) ，( 1 ) d 对所有的n d 都成立，其中c 是与“无关的常数 证明令z = 妒n ) ，研= u c ：l u i r ) ( o o ，则在( 3 ) 式右边取7 = r o ，即得 ( 1 一2 q i v n 扎( n ) 1 2 c ，l v ：札( z ) | 2 ( 1 一2 0 2 丁( 9 ( 础) ) d a ( z ) ， 9 其中c ，2 南( ) 2 p 2 2 0 当o q 1 时，由u d r ，知 于是，由( 2 ) 式得到 碍n ( 让) = 1 咄删2 外卟| 2 ) 鲁 v ：u ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 2 q 一2 t ( 9 ( z ，o ) ) d a ( z ) t ( 1 。g 吾) ( 卜i 。l 在( 4 ) 式右边取r = r o ，即得 ( 1 一i 口1 2 ) 2 q l v 乱( n ) 1 2 c 2 v u 日( u ) 1 2 d a ( 。) 卟1 2 ) 2 q 2 ( 等) 2 铲2 l v 洲0 ) 1 2 呻1 2 ) 2 。( 鲁严_ 2 i v n 酬2 v ：u ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 2 a 一2 t ( 夕( z ，n ) ) d a ( z ) ， 其中c 。2 南( 舞) 沁2 综合1 0 和2 0 ，令c = m a x c 1 ，c 2 ) ，则有 ( 1 一2 ql v n u ( 。) 1 2 圭c l v 。u ( z ) 1 2 ( 1 一2 删丁( 夕( 硼) ) d a ( z ) d ( 4 ) 在所给条件下成立 引理2 2 2 设t ( 7 ) 是【o ，+ ) 上的非负单调递增函数，且躲警= c ，让磁( o q 。o ) ，如果t ( r ) 的对数级p 和对数型盯满足下列条 件之一： ( i ) p l ，盯为任意数， ( i i ) j 9 = 1 且口 2 则对任意n d ，有 碍，口( u ) = l v ：u ( z ) | 2 ( 1 一汗) 2 q 一2 t ( 夕( z ，n ) ) 以( z ) 2 丌c ( 丁) 磁( u ) 2 ，( 5 ) 其中，c ( 丁) = 詹辨 。o 1 0 d 1 1 ，f，jl、l，、l， 1 一r 1 一r g g o o，l，i ，jl， 丁 丁 r r 丌 丌 d d 证明设o d ，由( 1 一2 ) - 2 d a ( z ) = ( 1 一2 ) - 2 d a p ) ，我们有 碍，。( u ) = 们v 。u ( z ) 1 2 ( 1 一汗) 2 a - 2 t ( 夕( 那) ) d a ( z ) 。白 磁( u ) 2 ( 1 一i z l 2 ) 一2 t ( 夕( z ，o ) ) d a ( z ) 。西 = 磁( u ) 2 t ( 1 0 9 高) ( 1 一2 ) 以( u ) = 2 础妒z 1 篱 = 2 丌c ( t ) 磁( 乱) 2 其中，c ( t ) = 詹等睾等 o o 对c ( t ) 的证明，参见文献 2 0 用 ( z ，q ) = l i 妒口( z ) 1 2 代替引理2 2 1 和引理2 2 2 中的9 ( z ，q ) 也可 得到类似的结果 引理2 2 3 设丁( r ) 是非负单调递增函数，r o ，1 】，且t ( 7 ) 不恒为 零，又q 是大于零的实数，则任意在d 中调和的函数u ，不等式 ( 1 一2 q v 口钆( n ) 1 2 c ，i v ：u ( z ) 1 2 ( 1 一m 孙一2 丁( 九( 础) ) d a ( z ) ， d 对所有a d 都成立，其中c ，是与n 无关的常数 引理2 2 4 设t ( r ) 是7 【o ，1 】上的非负单调递增函数，且躲警= c ，u 磁( o q o o ) ，则对任意n d ，有 i v ：钆( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 孙一2 t ( 九( z ，n ) ) d a ( z ) 2 7 r 口( t ) 磁( u ) 2 ， 。与 其中，a ( t ) = 詹鼍暑学 o o 引理2 2 3 和引理2 2 4 的证明过程与引理2 2 1 和引理2 2 2 是完全类 似的，我们省略其证明细节 2 3 主要结果及其证明 在本节中，我们将考虑调和口一b 2 d c 九函数和调和小q b f d c 函数 的情形，并得到定理2 3 1 和定理2 3 2 将格林函数9 ( z ，n ) 换为危( z ，o ) = 1 一i 妒a ( z ) 1 2 时得到定理2 3 3 ，这些结果推广了文 2 1 】中的相应结果 定理2 3 1 设t ( 7 ) 是 o ，+ ) 上的非负单调递增函数，且l i 骡警= c o o ，又口是大于零的实数，如果丁( r ) 的对数级j d 和对数型盯满足下 列条件之一： ( i ) j d l ，盯为任意数， ( i i ) j 9 = 1 且盯 2 则 ( 口) “磁的充要条件是 碍( u ) 2 ：哿碍，。( u ) 2 ：器髟i v z u ( 列2 ( 1 一2 ) 2 p 2 t ( 夕( z ，。) ) d a ( z ) 并且，对在d 内的调和函数牡有 c 碍( 让) 磁( 让) 2 c ，碍( u ) 其中，c ，c ，是与u 无关的常数 ( 6 ) u 璐q 的充要条件是 鸦碍，口( 乱) = o 证明( o ) “令” 若札磁，则磁( u ) 2 由引理2 2 2 有 碍，。( u ) = l v ：u ( z ) 1 2 ( 1 一1 名1 2 ) 2 。一2 t ( 名，。) ) d a ( z ) 2 7 r c ( t ) 磁( 札) 2 o o ， 所以 徘) 2 骝髟i v 州| 2 ( 1 制严2 孔阮训啡) 。乍”若 碍( 札) = s u p o d v 。u ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 2 n 2 t ( 夕( z ，口) ) d a ( z ) 0 当q 1 时，由( 3 ) 式知 e d ( 乱) 舻t ( 1 。g 吾) ( 等) 2 删( 1 一2 叩n 乱( q ) 1 2 r ( 0 ) 1 ) 设江1 0 9 ；，则7 2 t ( 1 0 9 ；) 的条件下，存在序列 如) ， = 碧由t ( r ) 的p 和盯的定义知，在( i ) 当n _ o 。时，t n _ ，使得 = j d 1 ， ( 6 ) 2 例。g 昙) ( 导严= 鲁) 2 a ， 1 + e t 7 瓤裂( 等) 2 q 屯 由( 6 ) ( 7 ) 式知 ：哿髟i v 州圳2 ( 1w ) 2 a _ 2 t 似那) ) d 鲍) = o o 当0 q 1 时，由( 4 ) 式知 强n ( “) 舻t ( 1 。g 吾) ( 鲁) 2 删( 1 一m 2 q i v n u ( 。) 1 2 r ( 0 ) 1 ) 同q 1 的做法有 溉裂( 等) 2 q = o o 由( 6 ) ，( 8 ) 式知 船髟i v 州圳2 ( 1 坩严- 2 丁m 那) ) d 心) = o o ( 7 ) 下面我们以危( z ，o ) = 1 一i 妒d ( z ) 1 2 代替定理2 3 1 中的9 ( z ，o ) ，我们可 得到定理2 3 3 定理2 3 3 设丁( r ) 是【o ，1 】上不恒为零的非负单调递增函数，且舰警= c 2 则空间q t 是平凡的，即q t 仅仅包含常数函数 定理3 1 1 令t ：【o ，+ ) _ 【o ，+ ) 是非负单调递增函数，并且满足 下列两个条件 ( 1 ) 存在一个常数p 0 ，使得 l i m 型：c o r _ 0 妒 ( 2 ) 如果t ( r ) 的对数级p 和对数型盯满足下列条件之一 ( i ) o p 1 ， ( i i ) p = 1 和盯 2 则q r = q 口 在本章第二、三节我们将考虑u 是调和函数的情形，并且得到定理3 3 1 和定理3 3 2 3 2 几个引理及一个性质 为了得到第三节的定理，我们需要先证明以下几个引理 引理3 2 1 对于每个非负单调递增函数t ：f o ，+ ) _ 【o ，+ o o ) ，空 间q 争口是b 皇的子集，即q 争，ac 磁 证明由引理2 2 1 知有不等式 ( 1 一2 q i v 口札( n ) 1 2 c l v ：u ( z ) | 2 ( 1 一1 z 垆一2 丁( 夕( 硼) ) d a ( z ) ( 1 3 ) d 1 7 在所给条件下成立所以有 s u p ( 1 一 d d 1 0 1 2 ) q i v q “( o ) l o ，有q ；，qc 磁 证明令乱q ：，q ，则有 l s u p 口训二 i v ：乱( z ) 1 2 ( 1h 2 ) 2 n 一2 9 p ( z ，o ) d a ( z ) = k o 。 令= 妒n ( z ) ，d ，= u c ：i u l 7 ) ，( o r 一 = i v 棚训2 ( 1 - ( m 2 a - 2 ( 1 。g 击) ( u ) ( 1 。g 昙) p ：厂i v u 日( u ) 1 2 ( 1 一m u ) 1 2 ) 勉一2 d a ( u ) ( 1 4 ) i u l o ，则在( 1 5 ) 式右边取r = 伯，即得 ( 1 一2 q i v n u ( 。) 1 2 c i v 。乱( z ) | 2 ( 1 一m 2 们旷( z ，。) 趴( z ) ， 其中c ，2 南( ) 2 沪2 2 0 当0 口 1 时，由川 r ，知 1 咄以) 1 2 1 ， ( i i ) j d = 1 和盯 2 则空间q 争，q 是平凡的，即q 争q 仅仅包含常数函数 该性质的证明与第二章第三节的定理2 3 2 的证明完全类似，在此我们 不再赘述 这个性质告诉我们，我们只需考虑非负单调递增函数丁的对数级0 p 1 和对数型0 盯2 的情形即可 3 3 主要结果及其证明 定理3 3 1 设t ： o ，+ o 。) _ 【o ，+ ) 是非负单调递增函数，并且满足 下列两个条件 ( 1 ) 存在一个常数p o ，使得 1 i 翌掣：c o ； r _ or p 2 0 ( 2 ) 如果丁( r ) 的对数级p 和对数型盯满足下列两条件之一 ( i ) o p 1 ， ( i i ) p = 1 且盯= 2 则q 争，q = q ；，q 证明令 她掣= c 0 ， 则存在一个固定的r 1 ( o ，1 ) 使得 p ( o ，) 丢警c + 1 ( 。 r 我们可以选定( 0 ，1 ) 使得 z d ( 口，) 令9 ( z ，o ) = l o g 首先我们假设u q 孕q ，且令 而且 s u p n dj 二 u i 妒n ( z ) r 1 i v z 乱( z ) 1 2 ( 1 一l z l 2 ) 2 q 一2 t ( 夕( z ，n ) ) d a ( z ) = k j = j v 2 让( z ) | 2 ( 1 一m 2 们旷( 硼) 以( z ) = + i v 名乱( z ) 1 2 ( 1 一m 勉一2 旷( 钠) 以( 2 ) ( 口，r o ) d ( 口，r o ) = 1 1 + 1 2 因此由引理3 2 1 有q 争ac 磁，从而 厶= i v z 札( z ) 1 2 ( 1 一m 2 0 2 9 p ( 揶) d a