（光学专业论文）非均匀加宽激光器的横向不稳定性的研究.pdf

摘要 横向效应是影响激光器不稳定性的重要因素，l a l u g i a t o 等人从二十世纪8 0 年 代开始，对均匀加宽激光器的时空动力学行为、低阈值不稳定性、斑图动力学等问题 进行了系统的分析，并在实验中成功获得了激光斑图。 对于非均匀加宽激光器，理论和实验都已证明由于各种非均匀加宽效应的影响其 时间动力学行为有别于均匀加宽激光器，其时空动力学行为也应有别于均匀加宽激光 器。本文将以l a h g i a t o 等人对均匀加宽激光器的研究为理论基础，建立非均匀加宽 激光器的时空动力学模型，并对其横向不稳定性和横向不稳定阈值加以分析。 另外，本文将以h e n e 激光器中的激光斑图为研究对象。通过调节菲涅尔数，对 非均匀加宽激光器的时空动力学行为进行初步讨论。 关键词：非均匀加宽横向效应激光斑图菲涅尔数 t r a n s v e r s ee f f e c tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ei n s t a b i l i t yo fl a s e r s t h er e s u l to ft h e s p a t i o t e m p o r a ld y n a m i c s ，l o wt h r e s h o l di n s t a b i l i t ya n dp a t t e r nd y n a m i c so fh o m o g e n e o u s l y b r o a d e n e dl a s e r sa l ep r e s e n t e df r o m1 9 8 0 sb yl a l u g i a t oc t ca n dl a s e rp a t t e r n sa l es t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y i ti sp r o v e dt h a ti n h o m o g e n e o u s l yb r o a d e n e dl a s e r sa l ed i f f e r e n tf r o mh o m o g e n e o u s l y b r o a d e n e do n e se i t h e ri nt h e o r yo re x p e r i m e n t ，s ot h es p a t i o t e m p o r a ld y n a m i c sw i l lb e d i f f e r e n t b a s e do nt h er e s e a r c ho nt h eh o m o g e n e o u s l yb r o a d e n e dl a s e r , t h em o d e lo ft h e s p a f i o t e m p o r a ld y n a m i c so fi n h o m o g e n e o u s l yb r o a d e n e dl a s e r si ss e tu pa n dt h et l a n s v e l s e i n s t a b i l i t ya n dt h ei n s t a b i l i t yt h r e s h o l di sa n a l y z e di nt h i st h e s i s m o r e o v e r , t h ed y n a m i c a lt r a n s v e r s ep a t t e r n sw h i c ha p p e a ri nh e - n el a s e ri sa n a l y z e d t h e s p a t i o t e m p o r a ld y n a m i c so fi n h o m o g e n e o u s l yb r o a d e n e dl a s e r s i sd i s c u s s e di n i t i a l l yb y c h a n g i n gf r e s n e ln u m b e r k e yw o r d s ： i n h o m o g e n e o n s l yb r o a d e n t r a n s v e r s ee f f e c t l a s e rp a t t e r n sf r e s n e ln u m b e r 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，非均匀加宽激光器的横向不稳定 性的研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：f 盈盏! ! 年立月丑日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 困盗堡年月丑日 指导导师签名：室! 鲨! ! 兰兰! 童年三月三呈日 第一章绪论 1 1 引言 混沌是一种普遍现象，在科学上属于非线性动力学，自从2 0 世纪以来，混沌学作 为- - i _ 新科学传播速度之快，波及空间之广，是前所未有的。自从1 9 7 5 年h h a k e n 从理 论上证明激光器具有内在的混沌特性后，人们对激光器的不稳定性的认识提高到一个 新的层次，而且对激光器依时间变化( t i m ed e p e n d e n t ) 的动力学行为研究得比较深入。但 是研究结果同时表明，理论上的激光器的不稳定阈值与实际值有很大的差别，于是人 们开始考虑激光器的横向效应。l a l u g i a t o 等人从二十世纪8 0 年代开始系统地研究均 匀加宽激光器的时空动力学行为，解决了激光器的低阈值不稳定性、合作频率锁定、 激光静态斑图和动态斑图等问题。 对于非均匀加宽激光器，理论和实验都已证明由于各种非均匀加宽效应的影响其 时间动力学行为有别于均匀加宽激光器，其时空动力学行为也应有别于均匀加宽激光 器，但现在只有个别实验涉及到这方面的研究。 激光斑图动力学是属于非线性动力学系统斑图动力学研究内容的一部分。非线性 动力学系统的斑图动力学是一个十分有趣又具有重大理论和实际意义的问题，它的主 要研究内容是关于各种非线性系统中的斑图形成，也涉及斑图的裂变( 即所谓的时空 混沌) ，对它进行研究的理论基础是描写确定性运动的非线性偏偏分方程。 1 9 5 2 年a m t u r i n g 首先应用线性稳定性分析方法研究斑图的形成，第一次把宏观 系统的时空斑图形成与线性稳定性分析方法起来，即增加某一控制参数使系统远离平 平衡态，则系统会出现不稳定性。根据不稳定性分析，还可以对空间斑图的形成进行 分类。以此为开端，随着流体力学、化学、生物学以及物理学等各学科中理论和实验 成果的不断累积，斑图动力学已成为非线性理论中的一个重要分枝。 l u g i a t o 等人早在1 9 8 3 年就曾指出，激光的横向效应对激光器动力学行为有重要 作用。随后，在理论上建立了球面镜环形腔均匀加宽激光器的m a x w e l l b l o c h 方程，并 用以讨论考虑横向效应时激光器的阈值特性、频率特性，并建立激光斑图动力学。同 时，在实验上也观测到这些激光现象。 1 9 8 8 年，c t a m m 利用h e n e 激光器成功设计了双横模激光器的频率锁定实验， 又于1 9 9 0 年做成了激光器中空间斑图的双稳性与光学转换实验。这两个实验证明了非 均匀加宽激光器的时空动力学行为有别于均匀加宽的情形，并得到了激光斑图。对本 文的实验部分有参考意义。 1 9 9 4 年，m b r a m b i l l a 和l a l u g i a t o 等人，在研究均匀加宽激光器的时空都力学 行为时，提出了通过控制菲涅尔数( f r e s n e ln u m b e r ) ，得到复杂激光斑图的方法，并 提出了通过单一模式的现象延伸推导出多重模式现象的方法。 以往的研究对象主要是针对均匀加宽激光器，本文将参考其研究方法，建立非均 匀加宽激光器的时空动力学系统，分析其不稳定性，对由于光场的横向效应引起的光 学时空混沌现象进行研究。这就是本文的意义所在 1 2 国内外研究现状 1 横向效应和时空不稳定性： 众所周知，激光器的辐射光束会表现出一种不平凡的横向趋势。这种特性常被看 作是负面的。不仅是由于这种现象广泛存在于激光器中，更是由于这种效应的初期很 难被控制。基于上述原因，人们千方百计地想要通过改变光束的出射孔径来限制激光 束的大小。近些年来有一种思想意识正在形成，空间上以及时空中横向效应的影响代 表了现象的本质。 在以往讨论的各种光学混沌都属于时间混沌，关于时空混沌，目前似乎还没有一 个准确的定义。一般认为，系统的时空混沌行为是指系统不仅在时间上有混沌行为， 而且经过长时间发展后，在空间上也有混沌行为。这种看法当然比较模糊。实践表明， 尽管如此这并不影响人们去认识和探索时空混沌现象1 1 j 。 关于时空不稳定性，以往讨论较多的是流体中的湍流，这是比低维混沌复杂得多 的现象。实际上，如果分析瑞利贝纳特对流实验就会发现，在对流未出现以前，无论 在时间上空间上如何变换，其对称性都保持不变。但是，对流出现分岔，造成对称性 破缺，自发形成空间斑图( p a t t e r n s ) 。许多处于远离平衡态的非线性动力系统，都观测 到空间自组织现象，有空间斑图出现。例如在非线性化学中，由于扩散运动，导致形 成空间结构，称此为图灵( t u r i n g ) 不稳定性【2 】。后来在光学现象中也观测到图灵不稳 定性。分别在于，光学定态斑图的形成，是由衍射和模式之间的耦合造成的，而不是 由于扩散运动。 在非线性光学系统中同样存在斑图动力学现象，但其发生机制与其它非线性系统 有所不同。其它非线性系统的斑图动力学行为是基于扩散过程，而在非线性光学系统 中是基于衍射和模式间的非线性耦合作用1 3 】。 非线性光学系统的斑图动力学研究包括激光斑图动力学研究和非线性光学效应中 的斑图动力学研究。激光斑图动力学是本文的研究内容之一。 激光器的斑图动力学行为是指由于各种横向效应的作用，使激光输出的横向分布 随不同条件的变化而呈现出不同的花样。从本质上讲，这是一种空间自组织现象，即 在无外界强迫时系统内部自发形成的有序行为i ”。 2 对均匀加宽激光器的研究： m b a r m l i l l a 和l a l u 西a t o 等人在理论和实验中对均匀加宽激光器的斑图动力学行 为进行了全面系统的分析【5 j l “，建立了均匀加宽激光器的时空动力学方程，解决了激 光器的低阈值不稳定性【7 l 【8 ) 、合作频率锁定【9 - 1 1 1 、激光静态斑图和动态斑图等问题。研 究结果是得到了“光学漩涡”状的斑图。这种斑图有别于非均匀加宽激光器。 2 值得注意的是，他们提出了种改变激光斑图的方法，就是通过对菲涅尔数的调 节。其在空间上的缺点是干扰比较大。这些现象与在其他一些领域中发现的现象比较 一致，比如在流体动力学中，在非线性化学反应中，以及在生物学中。在光学中提供 了一种研究方法，就是通过单一模式所产生的现象延伸推导出多重模式所产生的现象。 他们之间的关联可以有着广泛的应用前景，就是在一个完善的物理光学系统中或者类 似的系统中，将横向系统中的信息进行编码。 对均匀加宽激光器的研究理论，是本文对非均匀加宽激光器研究的思想基础。 3 对非均匀加宽激光器的实验研究： 近年来，科学证实无论是在被动或者主动的非线性光学谐振腔中都可以形成不稳 定的或改变稳定的横向辐射斑图。c t a m m 等人曾以h e n e 激光器为例，用实验描述 了双横向模式激光器的频率锁定【1 2 l 形成的激光斑图和接近简并的t e m 。，模和t e m ，。 模的“合作锁频”形成的空间稳定斑图【1 3 】。 激光器中接近简并的t e m 。，模和t e m ，。模之间的相互作用已经被证实。当这两种 模式震荡频率之间的差异减小时，就会产生一种变化，就是一个接近正弦的“模式竞争” 强度的调制经过周期性的和无规则性的脉冲而达到频率的锁定产生一种稳定的a e u ；， 混合模式。这种由频率锁定而形成的混合模式是最近在非线性光学谐振腔中预测会出 现的稳定的横向模式的一个简单实例，是由接近简并，横模之间的竞争引起的频率锁 定。 4 建立非均匀加宽激光器时空动力学方程的思想方法： 在激光的半经典理论范围内，关于非均匀加宽激光器的m a x w e l l b l o c h 方程，可以 有几种具体形式，例如：用原子的密度矩阵，建立非均匀加宽激光器的m a x w e l l b l o c h 方程；或可直接从二能级原子的光学布洛赫方程出发，建立非均匀加宽激光器的 m a x w e l l b l o c h 方程。当考虑到光场的横向效应时，在平面波理论的m a x w e l l b l o c h 方 程中，应将忽略的因素考虑进去。首先，要考虑由于光场的有限横截面与光场振幅和 相位的径向变化造成的衍射效应。其次，还要考虑由激光器的光学谐振腔球面镜引起 的波形畸变。最后，要考虑由泵浦机制造成工作物质反转粒子数的纵向分布和横向分 布引起的增益变化。 1 3 研究内容 本文将参考l a l u g i a t o 等人对均匀加宽激光器的研究，分析非均匀加宽激光器的 时空动力学行为。 首先，参考建立非均匀加宽激光器时空动力学方程的思想方法从系综密度矩阵出 发，结合描写光场的m a x w e l l 方程，讨论了二能级原子与光场的作用，同时考虑原子 3 ( 分子) 运动等非均匀加宽效应以及各种横向效应对激光动力学行为的影响，进而推 导出描写非均匀加宽激光器时空动力学行为的运动方程 其次，结合时空动力学方程，研究非均匀加宽激光器的不稳定性和横向不稳定阈值。 设计实验，以h e - n e 激光器为研究对象，讨论通过调菲涅尔数分析激光横向斑图的形 成和改变的方法。 4 第二章均匀加宽激光器的斑图动力学 本章主要介绍m b r a m b i l l a 和l a l u g i a t o 等人在均匀场极限条件下以及光场按高 斯拉盖尔( g a u s s l a g u e r r e ) 函数展开的基础上，对球面镜环形腔激光器的横向效应进 行的解析分析，从中得到了横向效应的一些基本性质，例如合作频率锁定，斑图，光 学涡旋，及其动力学现象【5 1 1 1 。本章内容是我们后面对非均匀加宽激光器的时空动力学 行为讨论的基础。 2 1 激光器中的横向效应 2 1 1 环形腔的空腔模式结构 本小节在旁轴近似下，讨论了球面镜环形腔的本征函数，边界条件和本征频率。 这些结果是研究球面镜环形激光腔中横向效应的基础。 我们考虑由曲率半径民的两球面镜和两全反射平面镜组成的环形腔。如图2 1 所 示 3 一 图2 1 球面环形腔 ，其中，腔总长度为c 激活介质长度为l 两球面间距离为l 位置o 是参考系统的原 点( z = o ) ，从它出发沿腔光轴最后在位置4 完成一周。位置2 位于半周处，点1 和1 ， 3 和3 表示球面镜反射前后光束的位置。 从波动方程出发， v 2 e ( r ，卅一7 1 孑o e ( r ，z ，f ) = 0 ( 2 1 ) 其中z 是光场沿光轴方向传播的坐标，r 是径向坐标。 在旁轴近似下，方程的解有如下形式： e e p ( r ，z ，t ) 一a e ( ，z ) p k 一哪 ( 2 2 ) 在柱对称系统中，解应有三个下标，分别与轴向、径向和角向自由度有关。为简 5 单起见，一般忽略了纵模下标，并且暂时不考虑角向分布。 在场包络沿轴向慢变的假设下，有下面微分方程 誓+ 白v i 小0 泣s ， 4 是此方程的解。拉普拉斯算符 v ：。罢+ 三旦 ( 2 4 ) o r 。ro r 为方便驾见，引入变量 州肛，州匀啦r ( 2 5 ) 其中九一幼，则 等一i i 等+ 石1 轳0 眩6 ， 解为 4 c b 们一南4 c 舌务e x p c 知e 印a g 务一c 2 p + d t 强4 暑， c z m 其中，( p - o ，1 ，2 ，) 是p 阶l a g u e r r e 多项式。注意到在纵轴的原点( 零= o ) 处， 4 ( p ，叩) 有平面波前。函数则，( 叩) 和“( ，7 ) 分别定义如下： ，( ，7 ) = ，7 0 ( 1 + ( 叩，o ) 2 ) “2 ( 2 8 a ) 拓) 。三 ：+ 舔) ( 2 8 b ) 分别表示位置，7 处光束的腰宽和波前的曲率半径。 试中叩o = 1 ，( o ) - ，；是一任意参数。在无量纲形式中，叩0 是g a u s s l a g u e r r e 光束的瑞 利范围。 在其他区域内( 2 6 ) 式的解仍有( 2 7 ) 式形式，但不是最小腰宽，另外还多一个 相位因子。 模函数4 ( p ，印) 的一个重要性质是：对叩的每个值，解 a a p ，7 7 ) ( 对p = l ，2 ，3 ) 组成一正交集， 6 ；d p p a v ( p ，叩) 4 ( p ，7 ) ； ( 2 9 ) 对径向坐标，它还是一个完备集。这些函数为腔场的展开提供了一个有用的正交 完备基。参数y ；的任意性带来了灵活性。可选择适当订，使解与任何谐振腔的几何结 构相吻合。定义光束参数9 0 ) 一1 上+ l ( 2 1 0 ) - i _ + 一 z g ( 叩) “( 叩) v 2 0 ) 在光束平移和球面镜反射中遵守基本迭代规则，从位置0 的给定参数值吼开始，在光 束绕腔一周后形成q 4 ，满足条件吼= 吼，以保证光束参数与初始值相一致。 为简单起见，选择高度纵向对称的腔，有 - ，；- 三( 蔓2 ：i 觜”2 c z ， 其中岛一r l ，r 是球面镜曲率半径，- 工几 用类似的方法，在1 2s 叩s 圭一j 1 区间，可构成模函数4 ( p ，叩) 的解析形式。在此情 况下的柬腰为 谚乓 ( 2 1 2 ) 咿弓 2 其中口2 是在，7 - ( 2 l ( 图2 1 中2 ) 处的光束参数。在此区域内模函数的显式为 4 ( 伽) 一毋国：( 叩一2 l ) ) e x p ( 叫2 p + 1 ) t 姐- 1 毕扩 ( 2 1 3 ) 其中 眦：咖南。荫唧c 一赢+ r 南 c z 函数 ，：0 ) 和“：0 ) 由( 2 9 ) 式定义。叩。代替为 哟印：( e 2 l ) 一鬲1 ：7 1 - 1 _ 帕2 + 三( 竽+ 1 ) 2 ) ( 2 1 5 ) 7 式在位置1 ( 即，7 一妻) 与由( 2 1 2 ) 式给出的经第一个球面镜反射后的光场相位匹配 中算出。在接近垂直入射下的反射，有 筑；e x p ( 一f 三旦_ ) 2 ( 2 1 6 ) p o 立即得到 一( m 砖) + 恤- l ( 艺钞 旺 经一周后，在位置4 的空腔解与位置0 的解有关： 4 ( 4 ) 一p 却4 ( 0 ) ( 2 1 8 ) 现在考虑空腔谐振。对p 阶径向解的边界条件为 砟( p ，0 ，f ) 一e e ( p ，红，f ) ( 2 1 9 ) 4 ( o ) 一e 姊“4 ( 4 ) ， ( 2 2 0 ) 从式( 2 2 0 ) 、( 2 1 8 ) 和( 2 1 7 ) ，有 4 ( o ) 吣蛳“4 ( 4 ) 。t 詈。抚n + 2 ( 2 p + 1 ) ( t a n 4 ( 去) + t a n 4 ( 艺) ( 2 2 1 ) n = 1 ，1 ，2 是纵模下标；p = o ，1 ，2 ，o oo0 本征频率用纵向下标n 和横向下标p 标明。纵模间隔由2 石n c 几给出，而相邻横模之间频率间隔为 q , p + l - - ，- 她“詈- l ( 专+ t a n 。1 嘞 c 2 忽， 若考虑角向有变化的情况，则拉普斯算符( 2 5 ) 式可写成 v ：一万0 2 + 矿0 2 。兰o r 2 + 吾昙+ 专鲁 c 2 ， ( 2 7 ) 式的解一空腔本征函数有形式： 似删一啦去e 匆附2 4 c 焉妙即，e 一一矾却 泣2 4 ， 其中 珊( z ) 篁( 1 + ( 三) 2 ) 2 ，r 0 ) 曩三笪，鲁c ( 2 2 5 ) 参量一( o ) 是最小腰宽，z 。- k 。喀2 是腔的瑞利长度。( 2 2 4 ) 式中4 是p 阶l a g u e r r e 8 多项式p = o ，1 ，2 ，是径向下标，f = 0 ，1 ，2 ，是角向下标模函数a p 。在璜向平 面中形成一完备正交集，遵守正交关系： 1 | ：d c p 蠹d r r a p | q ，节，如a ；f q ，币，砼一6p ，6 te i 2 2 6 ) 从而光场慢变包络f ( ，妒，：，f ) 可用g a u s s l a g u e r r e 函数展开： f ( ，妒，z ，f ) 一( z ，t ) a p ( r ，妒，z ) ( 2 2 7 ) 其中模振幅丘一般是复函数，环形腔的本征频率为 c o n , a , ； 新厅+ 2 ( 印制i + 1 ) s _ 1 【( 1 一去) ( 1 一争严， ( 2 2 8 ) 其中以，p ，z - 0 ，1 , 2 。对不同反射镜组态的谐振腔，上式除方括号中几何依赖系数外， 其结构是相同的。 2 1 2 激光器中的斑图 光学系统中的斑图性质，与流体力学，非线性化学反应和生物学中斑图十分相似。 说明斑图作为非线性现象具有普遍性 1 4 】。斑图的研究，除理论意义外，在图象的编码 和处理中还有潜在应用。 腔模的横向轮廓选择g a u s s - l a g u e r r e 模( 见( 2 2 4 ) 式) 厶( 脚) 。去e ( 2 p 2 ) e 2 铀咖警( 翻啦 噼( 2 馆鬣c o s ( 1 办4 0 ) , i - 1 ( 2 2 9 ) 其中p = 0 ，1 ，2 是径向下标，l = o ，1 ，2 是角向下标；p 是径向坐标， p 一 2 + y 2 ) m 一形( 其中w 为光束腰宽) ； 爿，。遵守正交条件 ed 午d o p a m 婶，奶a b ，奶；6 f 6 t i 娩3 0 ) 假定激活介质是均匀加宽二能级原子系统，跃迁频率为魄，线宽 n ，激发区呈半径y 。的高斯形，刚平衡粒子数反转的横向分布有 x ( p ) 一e x p ( 一2 p 2 妒2 ) ，妒= 2 r ：c o ( 2 3 1 ) m a x w e l l b l o c h 方程及其定态解 假定原子谱线和横模的频率简并族2 p + z 一口是近共振的。称是族模的共同频 率，而其他腔模不是损耗大就是其频率离原子谱线太远( 比起原子线宽要大得多) ，因 而只有频率简并族q 参与激光发射。激光场可写成 e ( p ，妒，z ，t ) f ( p ，9 z ，t ) e x p ( - i 叹t + 积；z ) + c ( 2 ，3 2 ) f 是归一化慢变包络，k q 一c 是族模的共同波数，瓦是模牵引频率， 一 t i ) 囊0l 。 i c 4 - y 上 c t 是腔阻尼常数。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ，( p ，妒，f ) 艺厶( f h “( p ，妒) ( 2 3 5 ) p j 其中求和号上“”表示求和限于族模模振幅厶遵守发展方程 孥一忙a ) 厶一2 嗬d 面矗p p a p 。( 删砌，) ) ( 2 3 6 a ) 其中失谐参数a o ) q 。- - o ) q - f o a ，- - o ) q ，泵浦参数为c 一等，口是单位长度光场的增益参 r y “ 数，l 是激活腔区的长度。 原子的b l o c h 方程为 等巩( m ，) d ( 伽，f ) 一( 1 + f ) p ( p ，舛) ) ( 2 3 6 b ) 詈；叫 r e 阶卿，f ) 即肋f ) + d ( p 舰旷础) ) ( 2 3 6 c ) 从( 2 3 6 b ) ( 2 3 6 c ) 得定态 肌面烈力 ( 2 3 7 ) 1 0 p ，掣坠乌z ( p ) ( 2 3 8 ) i + a 2 + i r ( p ，9 ) 1 2 趴一 “ 而( 2 3 6 a ) 式变为 厶。贸杰r d 矗卯寺慧毒箭若斧z c 力加r cz ， 两种特殊情况的讨论 我们主要介绍2 p + z t l ( 两个简并模) ，2 p + z - 2 ( 三个简并模) 情况下系统的行 为。分析限于a 一0 情况。定态 ，( i d ，妒) t 芝b p 。( p ，彩 ( 2 4 0 ) 求和限于简并族的模。 ( i ) 2 p + f - 1 情况，这时空腔模是两个炸面包圈模： 岛t 1 - 南m ( 2 p 2 ) ”2 e 。，2 p + 印 ( 2 4 1 a ) ,ff 1 2 一( 兰“2 ( 2 p 2 ) 1 1 2 e - p e - 如 ( 2 4 1 b ) 这些模的强度轮廓见图2 2 。从一般单模定态解得到方程 ，。町螂老岳础， 旺铊， 其中葺一2 玎陬。；1 ，2 ) 是模( f - 1 , 2 ) 的归一化振幅。 当泵浦轮廓由( 2 3 1 ) 给定时，激光闽值为 2 卵一( 学) 2 ( 2 4 3 ) 图2 2 炸面包圈模的强度分布图2 3 定态输出强度与泵浦参数关系 图2 3 为岛。( f - 1 , 2 ) 宅态曲线( 不同妒值) ， b o 。( f - 1 , 2 ) 稳定条件为 2 c ! s 1 其中 ( a ) 1 ；c ，一m ；( b ) 妒一2 5 ；( c ) 妒；1 5 。定态 ( 2 4 4 ) ，一f d p 4 p 雨2 而p 2 e - 2 p 2 z(p)(245a) 利用( 2 4 2 ) 式，把方程( 2 4 5 a ) 写成 z c z c ，一f 矗p 4 p 石5 ；! ! 考；骞z c p ， e 2 4 s b ， 此式表示条件( 2 4 4 ) 对所有参数c 和1 ；f - 值都满足。即单模定态b o 。( f - 1 , 2 ) 总是稳定 的。这意味着有两个定态共存。因而有双稳态。 划。珍 汤。闲 巡丝 芴蕊 一l ol - i o 1 ( i ) 2 p + l = l( i i ) 印+ l = 2 图2 4 炸面包圈的等相位线 这些定态解有一个位于原点的相位奇点，等相位线是从原点发出的径向直线。如 图2 4 ( i ) 所示。绕原点一周得到+ h 或一纫的相位积累，或1 拓扑荷，依赖于岛l l ， 还是鼠，：解。 ( i i ) 2 p + z 一2 情况，这时简并族由三个模组成： 如；( 与v ：( 1 2 p 2 ) p ( 2 4 6 a ) 口0 2 1 一( 与? 2 2 p z e - p 2 9 + 却 ( 2 4 6 b ) b 0 2 2 ；( 与“2 2 p e 一撕 ( 2 4 6 c ) 对4 。模，单模定态方程为 1 2 啊圳p 若等岳加， 对炸面包圈解遵守的定态方程为 ，一2 呵和2 p 瓦4 砜p , e _ z p l - z ( 力 其中 4 。解的阈值为 五吲“k 。 ，2 、班l 铲【i j 棚 ( 2 4 7j ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 a ) ( f 一2 ，3 ) ( 2 4 9 b ) 2 掣k 蔫等 旺s 炸面包圈解的阈值为 砑l 学3 ( 2 5 ) 显然，2 c 掣2 c 掣。在妒一0 0 时，等号成立。 单模定态解稳定性分析有如下结果： f d p 4 p j ! ；吞糍z c p ，。 c z 5 2 ， 则4 。定态解是不稳定的 j ：d p 4 p ! ! 旦二二兰舌；i 曩；铲z c p ，。 c z s s ， 则炸面包圈定态解是不稳定的。 图2 5 表示在二维参数空间( c ，妒) 中( 2 5 2 ) 式所示的稳定区。曲线1 是单模解 的激光阈值，而曲线2 和4 分别给出了( 2 5 2 ) 和( 2 5 3 ) 式不稳定阂值。炸面包围的 激光阈值位于曲线1 和2 之间，在图上没有画出，因为这些解只有在曲线4 的右边才 是稳定的。 总之，在图2 5 的s 区只有对称的, 4 1 。单模定态解是稳定的，在区域4 h 和0 - 4 h 中， 所有( 2 4 6 ) 式的三个定态解都是不稳定的，而在d 一4 h 区内，4 。解是不稳定的，b 矗 解是稳定的。 廿 图2 5 参数空间图( c ，妒) 预计在4 h 区，0 - 4 h 区和d 4 h 区内，存在一些多模定态解。它由以三个模为基的 线性组合所决定： f ( p ，妒) - 4 0 ( p ，伊) g l + j k l ( p ，妒) 9 2 + b 如( p ，彩占3 ( 2 5 4 ) 通过解方程，可以系统地研究稳定多模定态斑图的模式结构。首先注意到( 2 5 4 ) 式中 相位因子，可用下法确定，令振幅占l 是正实数，( 2 5 4 ) 式可写成 f ( p ，伊) - 4 0 ( p ，o o ) 9 1 + j k l ( p ，伊) i 占2 l e 坞+ b o z 2 ( p ，9 ) 1 9 3 l e 坞 ( 2 5 5 ) 每个斑图通过旋转产生无数个可能的斑图。由( 2 5 5 ) 式，若执行角度旋转，等效 于改变炸面包圈模的振幅的位相，从岛到见+ 和岛到岛一2 ，意味着在旋转下晚和 岛可以任意改变，但其和岛+ 岛保持不变因此每个定态多模斑图的结构仅依赖于g ， i g ：i 和k j 和睦+ 岛，而斑图在横向平面中取向，由岛和岛的特定值所定。在所有多模 定态解的计算中发现岛+ b 一万。 当以连续方式离开稳定区时，就会出现多模定态解。例如，从s 区的纯模4 。出发， 穿过图2 5 中曲线2 ，系统进入一新的定态，此时4 。仍占主要，但两个炸面包围模已 存在，并有相等权重。模结构可用 1 4 i g ：h g ，l ( 2 5 6 ) 表征。它的强度轮廓如图2 6 ( i i ) 所示。因有四个亮斑，称4 h ( f o u rh o l e ) 斑图。在 图2 5 中，曲线2 以上的整个区域是4 h 区。在曲线2 上发生的组态变化，相应于柱对 称破缺现象。同时还有奇偶对称性伊一妒中破缺。 从d 4 h 区( 炸面包圈稳定的区域) 往外移动时，同样形成新斑图。形似炸面包圈， 但己畸变。这是由于另外两个模的贡献。若初始是纯：。模，则新模组态是 蚓沫，i 爿岛i ( 2 6 1 ) 斑图轮廓如图2 6 ( i i i ) 所示，称卵形( o v a l ) 斑图，它存在于0 - 4 h 区。从炸面 包圈过渡到卵形要穿过图2 5 的曲线4 ，也是柱对称破缺现象。应指出的是，炸面包圈 组态不是柱对称的。 综上所述，2 p + f 一2 情况下，有四类稳定斑图：4 。单模解；炸面包圈解；4 h 解 和卵形解。并且4 h 模在d 4 h 区与两个炸面包圈模共存，在0 4 h 区与卵形模共存。 图2 62 p + z = 2 ，稳定斑图的横向强度分布 下面讨论单模定态解的相位奇点和等相位线。对炸面包圈斑图，在原点有一个奇 点，拓扑荷为+ 2 或一2 ，分别与模日0 2 。或口。相对应，其等相位线是一些从原点出发沿径 向远离的线。如图2 4 ( i i ) 所示。而4 坩单模解则没有任何奇点，因为光场相位与伊无 关。 在多模情况下，相位奇点的描述需要更细致分析。对一般光场形式( 2 5 5 ) ，把模 1 5 函数( 2 4 6 ) 式代入，从买鄙和虚邵r e f = 0 和i m f = 0 ，得到f 囱一对方程： t a n ( 2 妒) 。i m 9 2 + i i n 9 3 ( 2 5 8 ) r e 9 3 二r e 9 2 2 p 2 。，生鳖l 一 ( 2 5 9 ) 4 2 & - c o s ( 2 妒) ( r e 9 2 + r e 9 3 ) - s i n ( 2 妒) ( i i n 9 3 - i m 9 2 ) 对四个角度，( 2 5 8 ) 式的解： 妒- 矿+ 七三，k - 0 ，1 , 2 ，3 ，一至4 歹s 署 ( 2 6 0 ) 在直角坐标下( x p c o s 妒，y p s i n 妒) ，方程( 2 6 0 ) 确定两条垂直线 y - t a n ( 鼢，_ ) ，高x 而( 2 5 9 ) 式是中心在原点的角锥方程。由( 2 5 8 ) 和( 2 5 9 ) 式组成的系统，最多有 四个实解，这意味着简并族2 p + f 一2 的相位奇点最大数目为4 。 把( 2 5 8 ) 式代人( 2 5 9 ) 式，考虑到条件包+ 岛t 万。在多模定态解中总是满足 的，就得到相位奇点离原点距离p 的方程： 2 疋；( ，掣) _ 1 ( 2 6 1 ) 相位奇点位于同一直线上，并距原点有相同距离( 以或n ) 。等相位线由下式决定 t a n 一面i m f ( 1 2 p 2 ) i i n g 。+ 劲2 s ( 劫o ( i m 9 2 池岛) + s i n ( 2 , r x r e 9 2 一r e 9 3 m ( 1 2 p 2 ) r e 9 1 + 2 p 2 ( c o s ( 2 l p ) ( r e 9 2 + r e 9 3 ) + s i n ( 却) ( i m 9 3 - i m 9 2 ) ) 一c o n s t( 2 6 2 ) 为要得到4 h 和卵形斑图的相位奇点和等相位线，必须把两种斑图的模成分代人( 2 6 2 ) ， ( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 式。 现在考虑4 h 解：在4 h 斑图中两炸面包圈模的振幅是相等的，即i g ：；b i 。从( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 式，4 h 解有四个相位奇点，其坐标为 j d ，p 一。 ，万。坠旦+ 三 ( 2 6 3 ) 以p 一万伊。广+ i 旺 见图2 7 ，并有拓扑荷+ 1 或1 ，位于对角线上的奇点有相同符号，因此整体是中性的， 很像一组点电荷产生的静电场力线。 1 6 。 、衄 否 。t - 1- 0 5o 0 5 l x 图2 7 图2 6 ( n ) 的等相位线 ( 1 ) = 石4 ，( 3 ) - 3 ；r 4 ，( 5 ) 一5 r r 4 , ( 7 ) = 协4 图2 8 图2 6 ( i i i ) 的等相位线 ( 1 ) 一石4 ，( 3 ) t 3 j r 4 ，( 5 ) 一勋4 ， ( 7 ) - 勋4 对卵形斑图，只有两个相位奇点。条件( 2 5 7 ) 式意味着解只有n 方程有解，n 的方 程右边是负的( 见( 2 6 1 ) 式) 。反过来也一样，若考虑以b 。占优势的卵形斑图，则n 的方程有解。相位奇点的拓扑荷符号1 依赖于斑图中哪个炸面包圈模占优势来定。像 在炸面包圈模情况那样，相位奇点阵有净拓扑荷t 2 ，等相位线类似于两个相同符号的 点电荷产生的静电场的力线，如图2 8 所示。在参数空间( c ，妒) 中扫描，观察稳定斑图 之间的渡越。图2 9 是图2 5 的部分放大。从稳定的炸面包圈斑图出发( d 4 h 区中a 点) ，固定吵，缓慢扫描泵浦参数c ，直至s 区的e 点，则先观察到炸面包圈连续过渡 到卵形斑图，然后不连续地跃到4 h 斑图，最后又连续地过渡到九单模解。 图2 1 0 为泵浦参数c 从a 点到e 点绝热地减少时，模振幅，i g ：l 和g ，的准定态 值的变化起初只有炸面包圈曰。模的振幅旧：i 存在，离开d 一4 h 区，舅和l g ，f 增长过 渡到卵形斑图。在图2 9 中d 点卵形斑图变成不稳定，相应于条件 2 9 ，一f g ：f i g ，| ( 2 6 4 ) 系统跃跳到4 h 组态，有i g ：i l g ，i 。随着c 的连续减小，作面包圈成分变得愈来愈小， 直至进入s 区，这时只有萤存在。 1 7 图2 9 图2 - 5 的放大，a - e 点位置图2 1 0 相位奇点距离的变化 如果我们分析相位奇点的运动，则卵形斑图不稳定阈值条件( 2 6 4 ) 的意义是清楚 的。在图2 1 0 中描述了随c 值绝热减小( 相应于图2 9 中从a 点e 点) 相位奇点离原 点的距离平方的变化关系。对小的g l 值，只有p + 的方程有解( 见( 2 6 1 ) ) ，当g 。= 0 时，即纯炸面包圈模时，以也为o ，并随g 。的增加而增加。这解释了与炸面包围模有 关的双拓扑荷相位奇点分裂为卵形的单拓扑荷的两个相位奇点以及这两个奇点的逐渐 分离，如图2 1 1 所示。画出了相应于图2 9 中a ，b 和c 点空间斑图的强度分布i f i 。方 程( 2 6 4 ) 是存在p 一解的阈值条件。阈值时，在无穷远处出现两个新的奇点，其拓扑 荷与卵形模奇点的拓扑荷相反。这是卵形模失稳的原因。四个奇点排列成以。n = 1 2 ，形成4 h 解。因而卵形4 h 过渡是非连续的。 图2 1 1 相位奇点的分离图( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 分别与2 9 中点a ，b 和c 相对应 如果我们以相反方向扫描参数c ，则只有从4 。单模到4 h 解的过渡。这在实验上 已被观察到。说明在4 h ，卵形和炸面包围斑图之间有滞后现象。 图2 1 2 表示4 h 斑图的l f l 分布，可清楚地看到存在四个倒置角锥，其锥心位于相 位奇点上。 2 2 激光器斑图的动力学 本节要介绍的情况是原子增益线宽可同时激发两个或更多频率简并模族，在不同 g a u s s l a g u e r r e 模之间竞争，导致激光器的输出出现周期振荡，准周期运动和混沌等动 力学行为。同时，还会出现光学涡旋的产生和湮灭，以及斑图旋转等极为复杂的时空 动力学现象。 2 2 1 理论模型 为使分析简单起见，对系统作某些限制： ，i c 几 ( 2 6 5 a ) 峨，o j q 舢c 儿 ( 2 ，6 5 b ) a 1 r 1 l z o ( 2 6 5 c ) ( 2 6 5 d ) 其中，( 2 6 5 a ) 和( 2 6 5 b ) 的物理意义是：只有最靠近共振的纵模族的模有足够增益 克服损耗，其他的纵模在动力学中不起作用，如图2 1 2 所示( 2 6 5 c ) 和( 2 6 5 d ) 是 均匀场极限，它们与( 2 6 5 a ) 和( 2 6 5 b ) 一起保证模振幅丘与纵坐标z 无关。因为 条件( 2 6 5 a ) - ( 2 6 5 d ) 不影响模函数4 ，所以与z 无关并不意味着总场包络f 沿z 是均匀的。限制( 2 6 5 e ) ，使g a u s s l a g u e r r e 函数在原子样品内与z 无关，有简化 形式 知( 伽) _ ( ( 2 p 2 ) l | ：! ( 2 p 2 p 2 ( 2 6 6 ) 这里p 是用最小腰宽对径向坐标进行了归一化，p - 上。 图2 1 2 谐振腔的本征频谱，三个纵模，q 是横模简并族，为跃迁频率 这样，在原子样品中的场包络与z 无关，因此慢变场包络可写成 1 9 ，( p 妒，) 。荔，( f m ( 岛妒) ( 2 6 7 模振幅的m a x w e l l 方程为 誓一【( 1 + 缸驴q d 析d p p a e 如砌，叫 ( 2 s 8 a ) 其中4 一是下标为p ，l 的模的频率与基模t e m 。的频率之差( 对r 归一化) ( 2 6 8 a ) 与 原子的b l o c h 方程耦合： 詈吼【f ( 伽，归( 伽，f ) - ( 1 + ) 即，) 】 i 2 6 8 b ) 詈叫+ r e 陋骱，) p ( p ，) + d ( p ，硝) 叫p ) 】 ( 2 6 8 c ) 6 。是原子离t e m 。模频率的失谐量( 以n 归一化) 。 粒子数反转的横向分布z ( p ) 是高斯轮廓 x ( p ) 一e x p ( - 2 p 2 妒2 ) ， 缈- 2 9 ( 2 6 9 ) 在( 2 6 7 ) 式中的求和号，包括所有模振幅，p = l ，2 ，1 = 0 ，1 ，。但在实 际激光器中，考虑到反射镜有限大小，激活介质的有限直径和存在腔内元件( 例如针 孔，调制器等) ；高阶横模有较高损耗，因此在动力学研究中只考虑最低的几个横模。 2 2 2 单模定态解的稳定性分析 通过适当选择原子线宽和横模的相邻族之间的频率间距，可实现只有族q = o 和1 的模参与激光过程。这些模为 - 4 ( p ) - - 4 , p ( 小班p 2 ( 2 7 0 ) 4 ( p ，妒) 一4 j ( p ，伊) 常下2p e 一9 2 p 印