（概率论与数理统计专业论文）研究保险公司破产前发生的索赔次数.pdf

ii ab s t r a c t bt h i s p a p e r w e f i r s t c o n s i d e r t h e n u m b e r o f c l a i m s o c c u r r i n g u p t o r u i n i n t h e s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l f o r w h i c h 山 。 i n t e r - o c c u r r e n c e t i m e s b e t w e e n s u c - o e s s i v e c l a i m s i s e r l a n g ( 2 ) - d i s t r i b u t e d we o b t a i n a r e c u r s i v e f o r m u l a e a n d c l o s e d f o r m u l a e f o r l a p l a c e t r a n s f o r m , w h i c h c a n a ll o w t h e c o m p u t a t i o n o f t h e p r o b a b i li t y o f r u i n o n t h e n th c l a im。 。( 。=1 , 2 , . f u r th e r , 。c o n s i d e r t h e s a m e p r o b l e m in t h e p e r t u r b e d s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l , a n d g e t s o m e r e s u l t s s i m - i l a r t o t h e s p a r r e s u r p l u s a n d e r s e n m o d e l . we c a n i n v e rt t h e l a p l a c e t r a n s f o r m t o g e t t h e p r o b a b i li t y f u n c t i o n b y s o f tw a r e p a c k a g e s s u c h a s m a t h e m a t i c s . 玩c h a p t e r 2 , w e c o n s i d e r i n t h e s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l t h e n u m b e r o f c l a i m s u p t o r u i n . i n t h e fi r s t p a rt w e 山 。 。 血“t h e s u r p l u s m o d e l . we d i s c u s s a r e c u r s iv e f o r m u l a e a n d a c l o s e d f o r m u l a e o f t h e l a p l a c e t r a n s f o r m i n s e c t io n 2 . 2 a n d i n s e c t i o n 2 . 3 ， 二印 e c t i v e l y . i n c h a p t e r 3 w e a l s o s t u d y t h e s a m e p r o b l e m i n t h e p e r t u r b e d s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l. s i m i l a r l y t o c h a p t e r 2 , w e fi r s t i n t r o d u c e t h e p e r t u r b e d s u r p l u s m o d e l i n s e ct i o n 3 . 1 , a n d t h e n w e d e r i v e a r e c u r s i v e f o r m u 二 a n d a c l o s e d f o r m u l a e o f t h e l a p l a c e t r a n s f o r m i n s e ct i o n 3 . 2 a n d 3 . 3 , r e s p e c t i v e l y . k e y w o r d s : c l a i m n u m b e r u p t o r u i n , s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l , e r l a n g ( 2 ) - d i s t r i b u t e d , p e r tu r b e d s p a r m a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l , l a p l a c e t r a n s f o r m , r e c u r - s i v e me t h o d 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内 容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅 览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印 件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 高 x ln ,z o o ?年 月1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密， 在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 蒲沁 学位论文作者签名: 高 a k 解密时间: g 1 0 o j 年 月 .1 o 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年，可少子5 年) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年， 可少于1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 急 _ 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的 成果。 除文中己经注明引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已 公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 高 i aj 如 叮 年 月 止 日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h e m a i n p r o b l e m i n r i s k t h e o ry i s t h e p r o b a b i li ty o f t h e s u r p l u s p r o c e s s o f a n i n - s u r a n c e c o m p a n y b e c o m i n g n e g a t i v e , w h i c h i s c a ll e d r u i n p r o b a b i l i ty , e i t h e r fi n i t e 。 i n fi n i t e t i me . mu c h a b o u t t h i s h a s b e e n s t u d i e d a n d s a i d i n t h e a c t u a r i a l li t e r a t u r e . we k n o w t h a t 让r u i n i s t o o c c u r i t d o e s a t 比。i n s t a n t o f a c l a i m. we c a n比u s t h i n k o f r u i n n o t b y d i r e c t l y a d d r e s s i n g t h e w a i t i n g t i m e o f t h e e v e n t r u i n ( fi n i t e t i m e r u i n p r o b a b i li ty ) , b u t t h i n k o f t h e w a i t i n g t i m e i n t e r m s o f n u m b e r o f c l a i m s t h a t o c c u r u n t i l t h e p r o c e s s g e t s r a i n e d , i f i t d o e s . t h i s i s n o t a n e w a p p r o a c h , f o r i n s t a n c e , s t a n f o r d a n d s t r o i n s k i ( 1 9 9 4 ) d e a l t w i t h t h i s p r o b l e m i n t h e c l a s s i c a l m o d e l f o r p h a s e - t y p e d i s t r i b u t e d c l a i m s i z e . s t a n f o r d e t a 1 . ( 2 0 0 0 ) e x t e n d e d t h e s a m e a p p r o a c h t o s o m e n o n - p o i s s o n c l a i m p r o c e s s e s . b o t h p a p e r s d e a l t w i t h t h e p r o b l e m勿s ir 勿i n g t h e i n c r e m e n t ( p o s i t i v e a n d n e g a t i v e ) o n t h e r i s k r e s e r v e b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e c l a i m s a s t h e d i ff e r e n c e b e t w e e n 山e r e v e n u e e a r n e d a n d t h e c l a i m a mo u n t . e g f d i o d o s r e i s ( 2 0 0 2 ) c o n s i d e r e d t h e s a m e p r o b l e m i n t h e c l a s s i c a l m o d e l w h o s e s i z e i s g e n e r a ll y d i s t r i b u t e d , a n d i n g e n i o u s l y a p p li e d t h e d u a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t i m e t o m i n a n d d u r a t i o n o f a n e g a t i v e s u r p l u s , o n c e r u i n h a s o c c u r r e d , w i 山a n i n i t i a l s u r p l u s z e r o , w h i c h l e d h i m t o o b t a i n a r e c u r s i v e e v a l u a t i o n a n d a c l o s e d f o r m u l a o f l a p l a c e t r a n s f o r m w h i c h a r e e x p r e s s e d w i t h d e r i v a t i o n s a n d c a n a ll o w t h e c a l c u l a t i o n o f 血 p r o b a b i li t y o f r u in o c c u r r i n g a t t h e n t h ( 。=1 , 2 , :c l a i m . i t i s e a s y t o 。 t h a t f o r m u l a i n e g i d i o d o s r e i s ( 2 0 0 2 ) a r e e s t a b l i s h e d o n t h e s u p p o s i t i o n t h a t s a f e ty l o a d i n g i s m o r e t h a n z e r o . z h a n g a n d wu ( 2 0 0 6 ) a l s o c o n s i d e r e d i n t h e c l a s s i c a l s u r p l u s m o d e l t h e n u m b e r o f c l a im s o c c u r r i n g u p t o r u i n a n d e x t e n d e d s o m e r e s u l t s 纽e g i d i o d o s r e i s ( 2 0 0 2 ) b y a d i ff e r e n t m e t h o d a n d w i t h o u t t h e r e s t r ic t io n o n s a f e ty l o a d i n g . f u r t h e r m o r e , t h e y in v e s t ig a t e d t h e s a m e p r o b l e m i n t h e p e r tu r b e d c l a s s i c a l s u r p lu s m o d e l . i t i s w e ll k n o w n t h a t i n t h e p e r t u r b e d c l a s s i c a l s u r p l u s m o d e l m in c a n b e c a u s e d b y o s c i ll a t i o n a n d b y a c l a i m , a n d t h e t i m e o f r u i n i s a l w a y s z e r o i f t h e in it i a l s u r p l u s i s z e r o ( s e e d u f r e s n z a n d g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ) . h e n c e , 山e y u s e d a d i f f e r e n t a p p r o a c h p r e s e n t e d b y s t a n f o r d e t a l .( 1 9 9 4 ) , ( 2 0 0 0 ) a n d e g i d i o d o s r e i s ( 2 0 0 2 ) , a n d g a v e s o m e fi n i t e e x p r e s s i o n s w i th d e r i v a t i o n s i m i l a r t o t h e c l a s s i c a l s u r p l u s m o d e l . t h e i d e a s o f t h i s p a p e r w e r e o r i g i n a ll y m o t i v a t e d 勿 z h a n g a n d wu ( 2 0 0 6 ) . i n t h i s p a p e r , w e s h a ll c o n s i d e r t h e s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l a n d t h e p e r t u r b e d s p a r r e a n d e r s e n m o d e l s i m u l t a n e o u s l y , w h e r e t h e i n t e r - o c c u r r e n c e t i m e s b e t w e e n s u c c e s s i v e c l a i m s i s e r l a n g ( 2 ) - d i s t r ib u t e d , a n d a l s o s tu d y t h e n u m b e r o f c l a i m s o c c u r r i n g u p t o r u in , r e s p e c t iv e l y . w e s h a ll o b t a i n a r e c u r s i v e f o r m u l a e o f l a p l a c e t r a n s f o r m s i m i l a r t o z h a n g a n d w u ( 2 0 峋， w h i 山c a n a ll o w t h e c o m p u ta t i o n o f t h e p r o b a b ili ty o f r u i n o n t h e 毗 日 . 汕。( n =1 , 2 ， 二 o u r p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . 玩c h a p t e r 2 w e c o n s i d e r i n t h e s p a c e a n d e r - s o n s u r p l u s m o d e l t h e n u m b e r o f c l a i m s 叩t o r u in . i n t h e fi r s t p a rt w e in t r o d u c e th e s u r p l u s m o d e l . w e d i s c u s s a r e c u r s i v e f o r m u l a e a n d a c l o s e d f o r m u l a e o f t h e l a p l a c e t r a n s f o r m i n s e c t i o n 2 . 2 a n d i n s e c t i o n 2 . 3 , r e s p e c t i v e l y . i n c h a p t e r 3 w e a l s o s t u 勿t h e s a m e p r o b l e m i n t h e p e r tu r b e d s p a rr e a n d e r s e n s u r p lu s m o d e l . we fi r s t i n t r o d u c e th e p e r t u r b e d s u r p l u s m o d e l i n s e c t i o n 3 . 1 , a n d t h e n “ d e r iv e a r e c u r s i v e f o r m u l a e a n d : c l o s e d f o r m u l a e o f t h e l a p l a c e t r a n s f o r m i n s e c t i o n 3 . 2 a n d 3 . 3 , r e s p e c t i v e l y . c h a p t e r 2 r e s u l t s i n t h e 印a r r e a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l ht h i s c h a p t e r w e s h a ll c o n s i d e r i n t h e s p a r r c a n d e r s e n s u r p l u s m o d e l t h e n u m b e r o f c l a i m s u p t o r u i n , 山 . w e s h a ll g i v e a r e c u r s i v e f o r mu l a e a n d a c l o s e d f o r m u l a e f o r l a p l a c e t r a n s f o r m , w h i c h c a n a ll o w血 c o m p u t a t i o n o f t h e p r o b a b i li t y o f r u i n a t t h e 砒 ( n =1 , 2 , ) c l a i m . 2 . 1 t h e s p a r r e a n d e r s e n s u r p l u s mo d e l we d e fi n e t h e s p a r r es u r p l u s p r o c e s s u ( t ) , t _ 0 。 u 仕 ) =。 + 一 s 仓 ) ，t _0 ， ( 2 . 1 ) w h e r e u ( u _ 0 ) i s t h e i n s u r e r s in i t i a l s u r p l u s , c t h e c o n s t a n t in s u r e r s r a t e o f p r e m i u m ，二t im e , s ( t ) 一 , n (l ) x ; th e a g g r e g a t e c l a i m a m o u n t u p t o t i m e t , n ( t ) t h e n u m b e r o f c l a i m s i n t h e s a m e t i m e in t e r v a l , s ( t ) =0 i f n ( t ) =0 , a n d x ; _ t a s e q u e n c e o f i .i . d . r a n d o m v a r i a b l e s r e p r e s e n t i n g th e i n d i v i d u a l c l a im a m o u n ts . x ; i s d e p e n d e n t o f n = .w e d e n o t e b y b 件 ) a n d 城 习t h e c o m m o n d is t r i b u t i o n f u n c t i o n a n d d e n s it y f u n c t i o n o f x r e s p e c t i v e l y , w i th b ( 0 ) =0 , s o t h a t a ll c l a i m a m o u n t s 二 c h a p t e r工 r e s ul t s i n t h e s p a r r e an d e r s e n s ur p l u s mo d e l p o s i t i v e . l e t t i 霆 1 b e a s e q u e n c e o f i .i .d r a n d o m v a ri a b l e s r e p r e s e n t i n g t h e in t e r - o c c u r r e n c e t i me ss u c c e s s i v e c l a i m s ( t i i s 山 。 t i m e u n t i l 山 。 fi r s t c l a i m o c c u r s ) w i t h c o m - m o n p r o b a b i li t y d e n s it y f u n c t i o n k ( t ) , rc ( t ) = a n t e u ( t 0 ) ， h e n c e , t h e c l a i m n u m b e r p r o c e s s n ( t ) i s a r e n e w a l p r o c e s s , a n d t h e s u r p l u s p r o c e s s m o d e l i s t h e s p a r r e a n d e r s e n m o d e l . d e fi n e t h e t i m e o f r u i n , d e n o t e d b y t , b y u ( t ) 0 ， v t . t， 耐8 了.少、.气 - t a n d l e t 0 ( u ) 二1 一 0 间d e n o t e t h e s u r v i v a l p r o b a b i li t y w h i c h c a n b e f o u n d i n d i c k s o n ( 1 9 9 9 ) f o r t h i s ri s k p r o c e s s . l e t p ( u ; n ) b e t h e p r o b a b i li t y t h a t r u in o c c u r s b e f o r e o r a t n t h c l a im恤二1 , 2 , f r o m in i t i a l s u r p l u s u _ 0 a n d p ( u ; 动b e t h e r e s p e c t i v e p r o b a b i li t y f u n c ti o n . o b v i o u s l y , we h a v e t h a t p 扣 ; 1 ) 二p ( u ; 1 ) , p ( u ; n + 1 ) =p ( u , n + 1 ) 一 p ( u ; n ) , n _ 1 ，( 2 . 2 ) a n d v ,间= 溉p 恤 ” )， 0 间二 ，厩p ( u ; n ) . ( 2 . 3 ) 2 . 2 th er e c ur s i vef o r m u l a e f o r p 扣 ; n + 1 ) i n t h i s s e c t i o n 。 s h a ll d e a l w i t h t h e c a l c u l a t i o n o f t h e l a p l a c e o f t h e p r o b a b i l i ty p ( u ; n +1 ) , n =1 , 2 ， 二 h e n c e f o r th , t h e l a p l a c e t r a n s f o r m o f p ( u ; n +1 ) c hap t er 2 . res ul t s in t he s p arre ande rs e n s urp l us mode l i s , a s u s u a l , d e fi n e d b y a s; n + ， 一 1 一 、 ( ; + ) c o n d i t i o n i n g o n t h e t i m e a n d t h e a m o u n t o f t h e fi r s t c l a i m , w e h a v e t h a t p (u ;1 ) 一 / “ 。 ) l b (. ) * * 一 1 a 2 :一 ” 1 一 。 (u + )* p 恤 ; 。 +1 ) r w_r d 咋 ct 一 p (u ;1 ) + 1 . v t“ 一 ” j b (x ) p (u + ct0一 n ) d x d t , 夕 ( 。 ; 。 + 1 ) =关 0 o启 e一 厂 ctj a2te at f b(x)p (u +0 0“ 一 n)dxdt ， p ( u ; n + 1 ) i p -。 ，_ . f 份 = 土 了k ( - u ) 了b ( x ) p ( y 一 x ; n ) d x d y j u c j o 一 a 2厂 (， 一 u )e a(v- u)b * p (y ; n )dy , n “ 几_1 ( 2 . 4 ) s e t t i n g y s i m i l a r l y , =u+c t , a= we h a v e t h a t a a n d t h e * p ( y ; n ) =厂b ( x ) p ( y 一 x ; n ) d r . ， 。 ，1) 一 厂 (一 、 e- o(i- )1 一 b (x )jd x . 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