（应用数学专业论文）时滞作用下一类捕食食饵模型的复杂动力性和差分方程的振动准则.pdf

江苏大学同等学力硕士学位论文 摘要 在种群生态学中，捕食与食饵一直是研究的热点。本部分对捕食 者具有选择投放的混合型捕食一食饵模型进行研究，首先考虑该系统 平凡平衡点的局部稳定性；接着根据由泛函微分方程特征方程的一些 性质得到当时滞很小时正平衡点是局部渐近稳定的，然而又发现当 时滞增大时，稳定性将失去从而会出现h o p f 分支；而且还找到了保 证系统一致持久和正平衡点全局稳定的充分条件，并且在此条件下 时滞对系统的持久性是不起作用的；最后还给出了数值模拟来说明结 果的有效性。 在第二部分中主要考虑的是一类二阶脉冲时滞差分方程，利用 适当的变换以及脉冲微分不等式的离散形式来讨论其的振动性，并 且发现脉冲扰动对方程的振动性起着至关重要的作用。最后给出具体 例子加以说明。 ： 关键词：捕食食饵模型，平衡点，h o p f 分支，一致持久， 全局稳 定，差分方程，振动性，脉冲扰动，时滞 江苏大学同等学力硕士学位论文 a b s t r a c t i np o p u l a t i o ne c o l o g y , t h ep r e d a t o r - p r e ym o d e lh a sa l w a y sb e e nah o t s p o to f r e s e a r c h i nt h i sp a r t , w ei n v e s t i g a t ead e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hm i x e dt y p e f u n c t i o n a lr e s p o n s ea n ds e l e c t e dr e c r u i t m e n to nt h ep r e d a t o r t h el o c a ls t a b i l i t yo ft h e t r i v i a le q u i l i b r i ai sa n a l y z e da n di ti sf o u n do u tt h a tt h es e to fs u c he q u i l i b r i ac o n s i s t s o fau n s t a b l en o d ea n dt w os a d d l ep o i n t s a c c o r d i n gt os o m ep r o p e r t i e so ft h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o ni nf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i ti sa l s on o t e dt h a tt h e p o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ew h e nt i m ed e l a y i ss u i t a b l es m a l l ， w h i l eal o s so fs t a b i l i t yb yah o p fb i f u r c a t i o nc a no c c u ra st i m ed e l a yi n c r e a s e s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h eu n i f o r mp e r s i s t e n c eo ft h em o d e la n dt h e g l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r ea l s og i v e n i nt h i sr e s p e c t , i ti ss e e nt h a t t h e d e l a yh a sn oe f f e c tu p o nt h ep e r s i s t e n c eo ft h em o d e l f i n a l l y ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e d t h en e x tp a r ti sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h eo s c i l l a t i o no fac l a s so f s e c o n d o r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s a r eo b t a i n e d ，a n da ne x a m p l ew h i c hi l l u s t r a t e st h a ti m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n sp l a ya v e r yi m p o r t a n tr o l ei ng i v i n gr i s et oo s c i l l a t i o n so fe q u a t i o n sa r ea l s oi n c l u d e d k e y w o r d s ：p r e d a t o r - p r e ym o d e l ，e q u i l i b r i u m ，h o p fb i f u r c a t i o n ，u n i f o r mp e r e s i e n c e ， g l o b a ls t a b i l i t y , d i f f e r e n c ee q u a t i o n , o s c i l l a t i o n , i m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n ， t i m e l a g 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论 文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名： 。年r 月影日 指剥币签名涵绣计 。9 年y 月喝 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月 日 江苏大学同等学力硕士学位论文 第一章绪论 本章对捕食一食饵模型和二阶差分方程的生物背景及发展状况作总体介绍， 同时阐述了本课题的研究内容、研究目的和研究意义。 1 1 捕食一食饵模型及二阶差分方程研究的背景介绍 1 9 2 5 年，v i t ov o l t e r r a 未来的女婿一一位名叫d a n c o n a 的年轻动物学 家在于v o l t e r r a 交谈中指出，在第一次世界大战随后的几年中，在亚德里亚海 湾北部捕获的食肉鱼的比例比过去上升，而被食肉鱼食用的鱼类比例则下降。 从那时起，v o l t e r r a 便开始专门从事生物模型的研究。 在v o l t e r r a 对生态学发生兴趣的同一年，a j l o t k a 出版了题目为自然 生态学基础的著作，在文中他讨论了捕食者与被食者相互作用的模型与 v o l t e r r a 考虑的不谋而合。显然可以肯定他们俩完全不知道对方的工作。故 此他们提出的下列数学模型现在都通称为l o t k a - v o l t e r r a 模型： l x = z ( 口一f l y ) ，口， 0 【y = y ( 一7 + 万力，厂，万 0 捕食一食饵模型有如下一般形式： f x t _ 厂( 功一y f ( x , y ) ， 【yly c ( x ，y ) ， 其中x = x ( t ) 和y = y ( ，) 分别表示在，时刻食饵种群和捕食者种群的大小。函 数f = f ( x ) 是来描述在没有发生捕食行为的情况下食饵种群的增长率，而函数 f = f ( x ，y ) 是用来描述捕食者的功能性反应( f u n c t i o n a lr e s p o n s e ) ，即在被食 者和捕食者的密度发生改变时，在单位时间内受每个捕食者侵袭的被食者的密 度变化量。函数g = g ( x ，y ) 是用来描述捕食者的数值反应( n u m e r i c a lr e s p o n s e ) ， 即捕食者种群的单位增长率。显然此函数与双方种群的大小都有关系。 在一些情况下，特别是当捕食者种群的规模较小时，通常假设捕食者之间 互相不干扰，故此捕食者的功能性反应和数值反应仅与被食者的规模有关，即 f = f ( x ) 和g = g ( x ) 。此类模型我们称为是食饵依赖的( p r e y - d e p e n d e n t ) 。 江苏大学同等学力硕士学位论文 1 9 6 5 年，h o l l i n g 在实验的基础上，对不同类型的物种，提出了三种不同的 功能性反应函数缈( x ) 1 ， 2 1 一 2 4 ： - 缈。x ，： 昙而。x 口 c 适用于藻类、细胞等低等生物， 【b xa i i 缈( x ) = 而a x ( 适用于无脊椎动物) i i i 纵力= 羔 ( 适用于脊椎动物) 通过分析，我们发现这三类函数在第一象限都是单调函数，然而，有些实验和 观察结果表明事实并非如此，例如，微生物动力学中的“抑制 现象，以及人 口动力学中的“群体防御 现象表明功能反应函数应该是非单调的。其中“抑 制 现象常发生在用作废水分解或水净化的微生物身上，为了建立这种现象的 模型，a n d r e w s 2 建议使用如下反应函数： 尸( x ) = 百i r e x , 了口+ 嬲+ x 一 它被称为m o n o d - - h a l d a n e 函数，在 3 中，c o l l i n g s 也使用了该函数并且称它 为h o l l i n gt y p e i v 函数。 食饵依赖的模型显然并不能反应在捕食过程中捕食者之间的相互作用。一般 地，当f = f ( x ，y ) 和g = g ( x ，y ) 时，我们称此类模型为捕食者依赖的 ( p r e d a t o r d e p e n d e n t ) 。特别地，当f = f ( x y ) 和g = g ( x y ) 时，称此类模型 为比率依赖( r a t i o d e p e n d e n t ) ，但此类比率依赖依赖模型建不可避免出现所谓 的“低密度问题 ，即捕食者种群的数量趋于0 时，而这类捕食者对食饵种群的 攻击率却趋于无穷。这显然有违常理。为了避免这一问题的出现，b e d d i n g t o na n d d e a n g e l i s 分别都提出了以下的功能性反应作为改良： 融 a + 如+ 哕 我们称之为b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应。其中系数是表示捕食率，系 数b 描述的是捕食者搜索食饵并吃掉食饵所耗费的时间，而系数c 则代表了捕食 2 江苏大学同等学力硕士学位论文 者之间相互干扰的系数。 以上的这些模型中两种群相互作用主要表现为使对方种群的出生率或死亡 率的增加或减少。在实际的建模中，还有一种思想可以表现两种群相互作用，即 改变对方的环境质量，例如增加或减少对方生存环境的容纳量。 基于上述的建模思想，l e s l i e 毛e 其论文 4 ，5 中研究了以下的两个两种群食 尸h：=。(眨r1一-嘭a1p昙)h，尸, 雕二乏雾归， 其中r i , a ，o = 1 ，2 ) ，岛都是正的，i 和r 2 分别表示食饵和捕食者的增长率，参数岛是 来描述食饵种群个体之间的竞争力，捕食者的环境容纳量是与食饵的数量成正比 的。l e s li e 强调此模型优于l o t k a v o l t e r r a 模型是由于如下事实：对于食饵和捕 食者种群来说，他们的数量不能无限地增加，而是都存在上极限。上述两个模 型中的j l 项被称为l e s l i e g o w e r 功能性反应，并且该项可以描述由于捕食者 1 h 所钟爱的食物的数量的减少从而导致它种群规模的减小，而因为r 2 0 ，所以当 该食饵严重匮乏的时候，捕食者可以选择其它种群作为食饵。 近几年，由于l e s li e g o w e r 型三种群食物链模型的数学分析比较复杂，一 些学者 6 ，7 ，8 只是从数值分析的角度展开研究。台湾的著名学者h s u t h l h u a n g 9 ，1 0 通过详细的定性分析研究了以下l e s li e - g o w e r 模型： = r x ( 1 一争慨 产y 卜针 3 江苏大学同等学力硕士学位论文 离驽弘 4 江苏大学同等学力硕士学位论文 方程( 1 1 ) 通过合适的半隐欧拉近似( s e m i i m p l i c i te u l e rt y p e a p p r o x i m a t i o n ) ，可得如下差分方程： a x ( n ) = g ( n ，z ( ，l ”，n n o 显然两者之间是存在着紧密的联系的。对于该差分方程的研究也是具有现实意 义的。 1 2 本课题的研究内容 前半部分我们考虑以下捕食者具有选择性投放以及混合型功能性反应的捕 食一食饵模型： 及初值条件 其中 x ( r ) 少t ( f ) x c ，一而a l y ( t ) ) x c ， 器弘吲x x o ( t ) = 仍( f ) 0 ，y o ( t ) = 仍( f ) 0 ，一f o ，缈= ( 仍，仍) c ( 卜f ，o 】，霹) ，霹= ( x ，y ) ：x o ，y o ) 先考虑该系统平衡点的局部稳定性；接着根据由泛函微分方程特征方程的一些性 质得到当时滞很小时正平衡点是局部渐近稳定的，然而又发现当时滞增大时， 稳定性将失去从而会出现h o p f 分支，而且还找到了保证系统一致持久和正平衡 点全局稳定的充分条件，并且在此条件下时滞对系统的持久性是不起作用的； 最后还给出了数值模拟来说明结果的有效性。 在第二部分中考虑的是以下一类二阶脉冲时滞差分方程， 0 g g 一1 ) x a , 。x ( n 1 ) ) 。) + 厂g ，xn 一，”：g g o n ( 。x 0 。) ) 6 = 6 。( 。石瓴一1 ) ) 6 ， z 0 。) = 噬xn k 一1 l 5 - c 1 一 一 吃 一 ，一， 江苏大学同等学力硕士学位论文 利用适当的变换以及脉冲微分不等式的离散形式来讨论其的振动性，并且发现 脉冲扰动对方程的振动性起着至关重要的作用。 1 3 本课题的研究目的及意义 “生物数学”继“生物化学”和“生物物理 之后于2 0 世纪7 0 年代成为一 门独立的学科，其重要标志就是1 9 7 4 年联合国教科文组织编制的学科分类目录 中，第一次把生物数学作为一门独立的学科，与生物化学、生物物理等一起并列 于生命科学类， 1 2 而种群生态学模型的研究是其中重要的一个分支。 本课题的研究主要是围绕两个模型展开的，第一个模型是捕食者具有选择性 投放及混合型功能性反应的捕食一食饵模型。主要研究的目的就是从数学角度出 发，搞清楚该模型的局部及全局结构以及时滞和功能性反应对模型的影响。 从生物意义上说，该模型可以运用在害虫治理。假定模型中的食饵就是目标 害虫，而所投放的捕食者就是它的天敌，此模型的建立会对具体的治理工作提供 指导性的建议。 第二个模型是一个二阶的脉冲时滞差分方程。该模型研究主要目的就是搞清 楚脉冲作用是否会对原方程的解产生影响。因为我们知道二阶微分方程可以用来 模拟种群的动力学行为，而在某种程度上二阶微分方程可以转化为二阶差分方 程。我们知道一个种群经常会受到外界因素的干扰，故此，研究脉冲和时滞作 用对差分方程解的影响有一定的现实意义。 6 江苏大学同等学力硕士学位论文 第二章基本理论介绍 本章对非线性动力学理论的发展和研究内容作简单介绍，同时阐述了滞后型 泛函微分方程和脉冲微分方程的一些基本概念和基本理论。 2 1 非线性动力学理论 客观物质世界表现为一定的形状和随时间演化的状态改变即运动，对物体运 动变化的研究称为动力学，动力学所研究的对象是动力系统。从某种意义上讲， 动力系统指的是一种抽象的运动，是系统所有运动特性的综合。 非线性是相对于线性而言，它指自变量和因变量之间没有成正比或反比那样 的线性关系，当然在实际情况下，不会只有两个变量那么简单；非线性表示系统 受非线性微分或差分方程支配。自然界和社会中充满了以非线性关系存在着的现 实或过程，称为非线性动力学系统，如气象变化、股市的涨落、脑电信号的变化、 神经放电、心电节律的改变等，都可成为非线性动力学系统。非线性动力学研究 非线性系统各种运动状态的定性和定量变化规律( 即动力学特性) ，尤其是系统 的长时间演化行为。概括地说，非线性动力学的主要任务是探索非线性现象的复 杂性。 随着非线性科学的发展，非线性动力学理论应运而生。非线性动力学理论是 一个大的范畴，混沌理论、分叉理论、分形理论和孤立子理论等都包含在其中。 非线性特性( 平衡点稳定性、分叉、混沌、周期解、周期运动稳定性等) 分析是 研究非线性系统的一个重要内容，尽管这方面的研究在实际应用中还不够成熟， 但我们完全有理由相信，通过不断注入新的活力，非线性动力学理论会在实践中 会更羽翼丰满。 2 2 滞后型泛函微分方程 2 2 1 定义 设c ( 【口，6 】，r ”) 为【口，6 】上连续的向量函数的全体，构成一个b a n a c h 空间，对 于矽c ( 【口，6 】，r ”) 定义范数例= s u pi 矽( p ) i ，其中1 i 是r ”中的范数。特别地，对 y e l 口。d l 7 江苏大学同等学力硕士学位论文 于厂o ，记c = c ( 卜，o 】，r ”) 称为相空间。 若仃r = ( 娟，+ ) ，a o ，及x c ( 【仃一，- ，o r + a ，r ”) ，则对于v f o - ，o - + a 我们定义 薯= 薯( 0 = x ( t + d ，0 卜，0 】 若dc r x c ，：dj 月”是给定的泛函， 碧= f ( t ，薯)( 2 1 ) 是d 上的滞后型泛函微分方程，其中戈表示x 对r 的右导数。 定义2 - 1 ：若盯r = ( 一，佃) ，a o ，及x c ( 【盯一，仃+ 么】，r ”) ，则对于 v t 【盯，o - + a 】有： 1 ) o ，薯) d 2 ) 戈= f ( t ，五) 就称x 是( 2 1 ) 在【仃一，仃+ 彳】上的一个解。 定义2 - 2 ：若对矿r = ( ，+ ) 及c ，3 a o ，xe c ( 【仃一，o - + a ，r ”) ， 满足： 1 ) x 是( 2 1 ) 在【仃一，盯+ 彳】上的一个解； 2 ) = 矽 就称x 是( 2 i ) 通过( 盯，矽) 的解，记x ( a ，) ( ，) 。 方程( 2 1 ) 是一个非常一般的方程，它包含了常微分方程( ，= o ) s o ( t ) = f ( f ) ) ， 微分差分方程 y c ( t ) = f ( t ，x o ) ，x ( ，一q u ) ) ，x ( t - r p ( t ) ) ) ，o f ，( f ) ，j = l ，2 ，p ， 和积分微分方程 。一 戈o ) = i g o ，幺x ( t + 印) d 伊 8 江苏大学同等学力硕士学位论文 2 2 2 存在性，唯一性和连续依赖性 引理2 一l ：若x c ( 【盯- - r , 仃+ 口】，r ”) 且口 o ，则五对f o r ，盯+ 口】是连续。 g l 理2 - 2 ：设。是d 上的连续泛函，对给定的( o r ，) d ，x 为下列滞后型泛 函微分方程的初值问题 | = 翟焉) ，晓以 ( 2 2 ) k = 矽 、 。 的解等价于x 满足下列积分方程 刮( 0 ) + 弘泌撕， 【= 豇 定理2 - 1 ：设开集qcr x c ，c ( o ，r ”) ，贝, uv ( o r ，矽) q ，初值问题( 2 2 ) 存 在解。 定理2 - 2 ：设开集qcr x c ，f 。c ( q ，r ”) ， 紧集wc a ，则存在的邻域 v c q 及，。的邻域uc c ( q ，r ”) ，使v ( o r ，力y ，厂。u ，初值问题( 2 2 ) 在 【盯一，仃+ 口】上存在解。 定理2 3 ：设开集q cr x c ，厂c ( q ，r ”) ，f ( t ，矽) 在q 的任一紧子集上关 于满足l i p s c h i t z 条件，则对v p ，) q ，方程( 2 2 ) 通过( 仃，痧) 必有唯一解。 定理2 - 4 ：设开集qcr x c ，( 矿，矿) ef t ，f 。c ( q ，r ”) ，x 。是( 2 1 ) 通过 ( 0 0 矿) 在【盯。一，纠上的唯一解。令o q 为紧集，且 形。= # ) ：， o r o , 6 】) 和令矿是形。的一个邻域，而且f o 在矿。上是有界的。( o r k 矿，厂) ，k = l 2 ，满足 o r j c r o ，矿一矽。，以及当七一，有i 厂一。i 妒一o ，则存在七。使得当j j 后。， 存在每个通过( 矿，矿) 在【一厂，纠上的解矿= ( 矿，矽kf 。) ，并且在【盯。一，b k x 一致趋于x 。由于在 一一，纠上一致趋于x 。的未必都定义在【矿一r ，纠上， 意味着对于v 0 ，弘( ) ，使得当七毛( 力，定义在【c r o r + z ，6 】上，并且在 9 江苏大学同等学力硕士学位论文 【c r o r - i - c ，b _ l x 一致趋于p 。 2 2 3 特征方程 考虑方程 和定义 工f ( f ) = f ( z o ) ，x ( t f ) ) ( 2 3 ) g _ ( 焉卜_ ( 志 ， 则方程( 1 1 ) 的在平衡点x 特征方程有如下形式： d e t ( g + 胁“7 一甜) = 0 2 3 脉冲微分方程 由于本文所讨论的脉冲差分方程是在相应的脉冲微分方程的基础上通过自 变量的离散得到的，因此我们这里还是主要介绍一下脉冲微分方程的相关知识。 2 3 1 基本概念 设q 是某个发展空间的状态集，a 表示该过程在f 时刻的状态，假定该过程 的状态是由刀个参数随所决定，那么映射n 可看作r 肘1 中的一点o ，功，而q 是尺” 中的集合，集合r x q 称为所考虑的演变过程的扩展状态空间，假定演变的规律 的数学模型： ( a ) 微分系统 譬= m ，矽， ( 2 4 ) i 其中t r ，x = c o l ( x ，l ，毛) r ”，厂：rxd r ”； ( b ) 当f r 时，集合m ，fcq ( c ) 算子a ：m ，_ f ，对v ，r 都成立 点只在扩展状态空间上按如下方式运动：a 从初始点( t o ，x o ) 开始沿着方程( 2 4 ) 满足初始条件地) = x o 的解x o ) 所描述的曲线o ，z o ) ) 运动，直到时刻q t o ，只 达到集合m ，。在时刻q ，算子a 1 立刻将只从p 1 “，权q ) ) 映射到 1 0 江苏大学同等学力硕士学位论文 p 一瓴，茸) e 1 ，i = a 1 z ( 1 ) 。点a 沿着方程( 2 4 ) 满足初始条件z ( 寸) = 茸的解 戈o ) 所描述的曲线，z o ) ) 继续运动，直到再次达到集合m ，如此继续下去。描 述演变过程的关系( a ) ，( b ) 和( c ) 称为脉冲微分方程。点办说描述的曲线称为积分曲 线，b 达到集合m ，的时刻称为脉冲作用时刻。 2 3 2 脉冲微分方程的分类 脉冲微分方程分为三大类： c l a s si ：带固定脉冲时刻的情形 j 警碘删砭， 【a x ( t ) = ( 颤f ) ) ，t = 吒，k = 1 ，2 ， 其中叫气) = z ( 鬈) 一缸缸) ，x 眩) 。t i m 。+ z 纯+ j 1 ) ，l k ：q q c l a s si i ：没有给定脉冲时刻情形 警= m 删， 【扳f ) = 屯似) ) ，仁( 砷，k = 1 , 2 ， c l a s si i i ：自治微分系统 警_ ，( 砸) ) ，f 呒 【缸( f ) = 厶o o ”，f ：正七：1 ，2 ， 其中仃是含于状态空间qcr ”中的h - - 1 维流形。 2 3 3 解的基本性质 考虑 j 警毗砸) ) ， ( 2 5 ) 【a x ( t ) = 厶( 石o ”，t = 气( 矽，k = 1 2 ， 及 z ( 菇) = x o ( 2 6 ) 江苏大学同等学力硕士学位论文 定理2 - 5 ：假设 1 函数f ：r q _ 彤在f 气( 功( 七z ) 时连续； 2 v ( t ，功r q ，存在局部可积函数z ，使o ，功在一个小邻域内 i f ( s ，x ) i 如) ； 3 对每个整数k ，条件 = “) ( 七z ) 表示3 万 o 使得t ( 功对所有的 o t - t i ，使初值问题( 2 5 ) ，( 2 6 ) 有解x ：瓴，励专r ”，而且，若，在r q 内关 于x 是l i p s c h i t z 连续，则这个解是唯一的。 2 3 4 脉冲不等式 定理2 - 7 ：假设下列条件成立： ( a 。) 时间序列玩) 满足：o t o ， m o ) p o ) m ( f ) + 口( f ) ，t 气， m ( 带) d t m ( 气) + 魄， 其中q ，p 【r ，r 】，噍2 0 且玩都是常数。 则 江苏大学同等学力硕士学位论文 胁( f ) 朋( 岛) 兀d k e x p ( p ( s ) 出) + ( 兀d j e x p ( ，p ( s ) 出) ) t o t k t t ot o t k tt k ， 在连续情形下，脉冲作用是发生在一系列瞬时时刻毛，乞，其中 互 岛 瓦一o o 在相应的离散情形下，脉冲作用发生的瞬时时刻变为 江苏大学同等学力硕士学位论文 啊_ 吾 以= 鲁 ，伤= 鲁 ，使得 啊 也 o ，一f f 0 。 ( i ) ：当口 6 时，l i m v o ) = 了a - b ； ( i i ) ：当a b 时，有l i m l ，( f ) = 0 f - - - 0 0 1 6 江苏大学同等学力硕士学位论文 定理3 - 1 ：设2 是彤的子集，并且 q = 易j ，) r ：o 工m 1 ，o y m 2 其中 mm；：，m：m；：一(q-r2xrl+b,kz) 岛 a z b l ( 3 4 ) 则q 是r ；的一个全局吸引子，当然也是一个正向不变集。 模型( 3 2 ) 有三个平凡的平衡点，即 耻呲旷阶( 0 ，掣 引理3 - 2 ：假设 a i - - r l k 3 0 其它所有的特征值是由以下方程给出： 1 7 江苏大学同等学力硕士学位论文 五+ r 2 - q e 一加= 0 ， 而该方程始终有一个正实根。 因此，e 。是不稳定的结点。 e 。的特征方程是由以下方程给出： q + - 鼽+ ，2 一q e 咖) = 0 易知e 。o 是鞍点。 e 。的特征方程是由以下方程给出： ( 允一竺型型鱼j ! 尘垦# 宰毫主毒毛掣( 2 - r 2 + 2 qq e - 打) = “u a 2 k k r 2 i 几一厂_ 一 j2 i1 + 七23 【g 一) 7 由( 3 5 ) ，可得 堕等黯掣qr 2 虮 哆毛+ 乞乞( 一) 则瓦。是不稳定的。 由于方程 a r 2 + 2 q - q e 一加= 0 总有一个负根，因此，e 。也是一个鞍点。 引理得证。 接下来，考虑正平衡点e 。的局部稳定性。作变量变换x = x - - x ，y = y y ， 则 在e 的线性变换系统为： 掣= 卜+ 南p 踹啦l 掣= 焉卅g 一毫胁 6 ， 它的特征方程是： d q ，r ) = d e 五+ 轨x 。一百_ = _ a i x 丽x y a 2 y 2 g + 七：) 2 1 8 1 1 兰：垡! 兰：) g + + 七。y + 七。) z 棚+ 兰邓嘞x + k ， = 0 江苏大学同等学力硕士学位论文 砸) = n 卜一南+ 兰叩嘶叼户 f 一茂斋熙矿+ 小一 = 名+ q 兄+ q ：+ ，旯+ 翻k 嘶= o ， ( 3 7 ) q l - “一尚+ 燕坞 盱卜砖岛 ( 式+ q + 蕉黼； q 3 = 一绣 ( 蔗岛 ) 一岛z 1 ) 当f = 0 时， d o ，o ) = 矛+ + q 3 m + q ：+ q 4 = 0 ( 3 8 ) 易知，如果条件 q l + q 3 0 ，q 2 + q 4 0 ( 3 9 ) 满足，则由r o u t h h u r w l t z 定理，( 3 8 ) 的所有的根都有负实部。 当f 0 时， 在d q ，f ) ：o 中令兄= f f ( f = 二t ) ，得 d o f ，f ) = 一手2 + q ，乒+ q 2 + 缸争+ q 4 弘一鲥= 0 分离上述方程的实部和虚部，得 一善2 + q 2 = q 3 孝s m 乒一q 4 c o s 乒， q 善= - q 3 c o o s 乒+ q 4s i n 乒 ( 3 1 0 ) 对上述两个方程分别平方再相加，得到一个关于善的四次方程： 孝4 + 瞬一2 q ：一讲膏2 + q ；一q ；：0 ( 3 1 1 ) 因此，时滞效应导致正平衡点不稳定这种现象不存在的一个充分条件是上述方程 1 9 江苏大学同等学力硕士学位论文 没有实根，即 q 卜2 q ：一讲 o , q ；- q o ( 3 1 2 ) 定理3 - 2 系统( 3 2 ) 的唯一正平衡点e 。对于所有的f o 都是局部渐近稳定 的的一组充分条件是： ( 1 ) d ( i ，0 = 0 的根的实部都是负的； ( 2 ) 对于任意的实数7 7 和f 0 ，下列式子成立： d 妇，f ) 0 定理3 3 若满足条件( 3 9 ) n ( 3 1 2 ) ，则e 对于所有的f o 都是渐进稳定 的。 3 3h o p f 分支 定理3 - 4 若满足条件( 3 9 ) 和q ；一q ； r o 时e 是不稳定 的。进而，系统在e 当f = g o 时出现h o p f 分支。 证明：根据( 3 1 1 ) ，由q ；一q ： 彘时存在，而且也可能在彘的邻近当孝 2 压f 砑，则依据 【1 9 】中的定理3 1 ，e 。的稳定性将随着f 增加时不断交替变化，并且当f 充分大 时，e 。将最终蛮得不稳审。 2 1 江苏大学同等学力硕士学位论文 3 4 一致持久和周期解的存在性 定义3 1 系统( 3 2 ) 称为一致持久的，若存在一+ n n n rc 伽r 伍；) 使得系 统( 3 2 ) 的具有初值条件( 3 3 ) 的解g o ) y o ) ) 最终进入而且滞留在区域r 。 令 朋：= 业躁巍掣器掣 定理3 - 5 假设系统( 3 2 ) 满足 耐 0 ( 3 1 3 ) 则系统( 3 2 ) 是一致持久的。 证明：由( 3 2 ) 和定理3 1 ，得存在z 使得当t t 时，有 如 0 ，知 一墼- - i - - - l o 一丽 u 取m ：接近于m ：使得 一盟 0一。l 1 七3 m + k 1 取m l ( 0 o 。故存在z l 丁 o 使得若f z l ，有 x o ) ，疗1 由系统( 3 2 ) 的第二个方程，得存在z 2 丁。+ f 使得 江苏大学同等学力硕士学位论文 y ( _ r 2 一篇m lk 2 训_l + 考虑充分接近m 。的优。，而且 y ( - ，2 一蓑硼叫= 吒埘枷叫一纛斑) ( 3 1 5 ) 易取m ：使得。 t 2 ，得若t z 系统( 3 2 ) 具有初值条件( 3 3 ) 的任一解最终进入且滞 留在r 中。定理得证。 由t e n g 和c h e n 的结论 2 0 ，得 定理3 6 假设满足条件( 3 1 3 ) ，则系统( 3 2 ) 存在周期解。 3 5 平衡点的全局稳定性 定理3 - 7 假设满足条件( 3 9 ) ，( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) ，则系统( 3 2 ) 的正平衡 点e 。全局稳定的。 证明：由定理3 2 知尻对于所有的f 0 都是局部渐近稳定的，接下来考虑构造 单调序列，从而导致e 的全局稳定性，由( 3 2 ) 的第一个方程，得 x 7 0 ) ( _ 一岛x o ) 砖t ) 则当t 0 时，有 x o ) 刀i o ) = 石j 趸石f i 可i - = 编， 其中甩i o ) 是方程 江苏大学同等学力硕士学位论文 “7 ( f ) = ( ，i 一岛“( f ) ) “( f ) ，u ( o ) - - x ( o ) 的解。 故，选取毛使得0 t 1 时，有 工o ) 吖暑i b l + q ( 3 1 6 ) 由( 3 2 ) 和( 3 1 6 ) ，得 y 7 ( o - - r ：( o + 缈。一f ) 一焘) ，2 0 ) 故此，由引理3 1 ，存在g ：使得0 t 2 + f 时，有 其中m ? o ) 是方程 x ( o - m ：( o ， = h 娴一籍p = 一希( 砌) 吨蝴) 卅( 忏q 吖) ) 的解。故此，由( 3 1 3 ) ，选取岛使得 吣b，ri-bik,+虹、(rl-bikl)2+4bi(rlkl-aln() 并且存在f 3 t 2 + f 使得当t t 3 时， 有 m i o ) m i 董 故当t t 3 时，有 吒一轨七l + 一岛 m ? x o ) i ( 3 1 8 ) 由( 3 2 ) 和( 3 1 8 ) ，得 y o ) 一r 2 y o ) + o f ) 一丽a 2 y 2 0 ) 再根据引理3 一，知存在占。使得0 m y 芝m ；兰 口2 a 2 并且存在 一s 4 ， ( 3 1 9 ) v 7 ( ，) = 一吒v ( r ) + 口v ( ) 一丽d 1 2 v 2 ( ，) 的解。故此，由( 3 1 7 ) 一( 3 1 9 ) ，当f t 4 时，有 m ：x n ：， m ：sy sn ；， 可以继续进行类似的迭代方法，易得 当，t 4 。一l 时， x ( ，) 联兰 m ( 岛嵋+ 岛) + 肝而瓦丽而雨丽五再两 当f t 4 柚时， 当f t 4 胂时， y ( ，) ：三! 竺掣+ & 。一：； 江苏大学同等学力硕士学位论文 x(，)三!_=!垦竺!三兰三二兰立!二互二三三玉三j至三三丢三三洹二三三三三王三一一&。一。； 当t t 4 m 时， y ( t ) m y m 兰 因此，当f - - t 4 埘，m = 2 ，3 ，时，有 易知 ( q - r 2 ) ( m ：, 一。+ k 2 ) 一日。 m ? m ；m ：x o ) ；| = ：， m f ，m ；m ：y o ) ，；：， 通过简单的计算易知 l i m m , ：= 口l ，l h 二= 口2 ， m - - o om - - - o o l i m m 二= 屈，l i m n m y = 反， m 。 m - - + o o l i m & 。= 0 m + 口l = 口2 = ，届= 及= y xy ，口l2 口22，崩2 22， 其中e g ，y ) 是系统( 3 2 ) 唯一的正平衡点。 定理得证。 3 6 数值模拟 jx o ) 2 ( 2 6 x 1 6 f ) 一j 曲) x o l 。3 2 。， = ( - 1 _ 揣抄2 劬h ， “一“ q l + q 3 = 2 0 7 4 4 9 9 6 4 4 ， q 2 + q 4 = 1 5 8 9 2 1 5 6 4 1 , 1 一m 辨 占 o于 由得 江苏大学同等学力硕士学位论文 骈- 2 q 2 一q ；= 6 7 5 0 1 1 7 4 9 ， q 2 2 一q 4 2 = 8 4 2 1 9 9 1 1 4 0 ， m ：= 0 0 2 8 4 1 9 1 8