以正方形为载体的中考试题赏析.doc

以正方形为载体的中考试题赏析正方形是初中数学的重要知识内容，纵观2008年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.现拮取几例加以赏析： 1 与拼图相结合,注重考察学生的观察能力. 例1 (湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中 AOB= . 解析 观察发现这里正方形内的七巧板有5块是等腰直角三角形，1块正方形和1块锐角为45的平行四边形。利用数字标出组成正方形和小猫的七巧板之间的对应关系，如图2所示，AOB内部的两块是等腰直角三角形，则AOB = 90. 例2 (湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(xy)，则下列关系式中不正确的是( )(A) x+y=12 (B) xy=2 (C) xy=35 (D) xy=144解析 观察拼图3可发现:大正方形的边长是矩形的长和宽之和；小正方形的边长是矩形的长和宽之差.由大正方形的面积是144可知其边长是12,即x+y=12；由小正方形的边长是4可知其边长是2,即x-y=2,因此选项A和B的关系式均正确. 解、得x=7,y=5.因此：xy=35, xy=74.所以答案为选择D.点评 例1、例2的拼图试题在教材中是具有相应原型的，这里改编成中考试题可谓老树发新枝。事实上学生若能认真观察图形的本身特点进而找到相应数量关系，准确解答并不是件难事。2 与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用.例3 (陕西省)如图4，梯形ABCD中，ABCD，ADC+BCD=90，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2 、S3，则S1、S2 、S3之间的关系是 解析 此题中所求三个正方形的面积S1、S2 、S3之间的关系实质是求梯形ABCD的两个腰长及上底边边长三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁作用.如图5，分别过点A、B做AEDC,BFDC,垂足分别为E、F.设梯形ABCD的高为h ,AB=a, DE=x,则DC=2a,FC=a-x.由于ADC+BCD=90，可证得AEDCFB，有h2=ax-x. S1= AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+ (ax)2 = a2ax.因此:S1+ S3= S2.例4 (江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由解析 (1) 因为扇形ABC的弧长1628，因此圆的半径应为4cm由于所给正方形纸片的对角线长为 cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 cm，由于，所以方案一不可行(2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，则,由，可解得 ，故所求圆锥的母线长为 cm，底面圆的半径为cm点评 将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。3 与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力. 例5 (湖北武汉市)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F。如图8，当点P与点O重合时，显然有DFCF(1)如图9，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E. 求证：DFEF； 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；(2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图10并判断(1)中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）解析 (1) 如图11过点P做PHBC,垂足为点H,连接PD.此时四边形PFCH为正方形.容易证出APBAPD,推得 BPC=DPC，进一步可得BPH =DPF；由BPH +HPE =90,EPF + HPE=90，得BPH =EPF.因为PEDC,可证得DF=FE.由EF+CE=PC得:DF=EF=PCEC.因为PFAD,有,将DF= PCEC代入得: PC=PA+CE.(2)连接PB、PD,做PFDC, PHBC,垂足分别为F、H,在DC延长线上取一点E,使得PEPB.此时有结论DF=EF成立.而结论不成立, PC、PA、EC存在PA=PC+ EC关系.证明与类似,略.点评 动点问题是中考热点问题之一，它要求学生善于抓住运动变化的规律性和不变因素，把握运动与静止的辨证关系.例5中,无论动点P在线段AC上如何运动, BPE是直角以及四边形PFCH为正方形是不变的.4 与对称、旋转相结合,注重考察学生变换的数学思想. 例6 （重庆市）如图13，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，.连接GF.下列结论：AGD=112.5；tanAED=2；SAGD =SOGD；四边形AEFG是菱形；BE=2OG.其中正确结论的序号是 . 解析 由题意可知AED和FED关于ED所在的直线对称,有AE=EF,AG=GF,ADE=FDE=ADB=22.5.则AGD= 180ADEDAG=112.5.由于易求得AGE= AEG =67.5,则AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四边形AEFG是菱形.设AE=k,容易证得 EFB和OGF均是等腰直角三角形，则EB= k, OG = k.因此 EB=2OG.所以正确的结论是、，其余结论显然不成立。例7 （黑龙江齐齐哈尔市） 已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图14），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图15），线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当MAN绕点A旋转到如图16的位置时，线段BM,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想解析 (1)如图17，把AND绕点A顺时针90，得到ABE，则有DN=BE,EAM= MAN=45.进而可证得：AEMAMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.(2) 线段BM,ND和MN之间存在MN = DNMB. 点评 平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.5 与函数图象相结合,注重考察学生的数形结合思想.例8 （湖南长沙市） 在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图18）按一定方向运动。图19是P点运动的路程s（个单位）与运动时间 （秒）之间的函数图象，图20是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.（1）s与t之间的函数关系式是： ；（2）与图20相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B；（3）写出当3s8时，y与s之间的函数关系式，并在图16中补全函数图象.解析 （1）图19是正比例函数图象，易求得s与t之间的函数关系式为：S= (t0)（2）从图20的函数图象可以看出，动点P的纵y在运动时随时间t的增大开始时逐渐增大，而后又不变，最后又减小至0，说明P点在正方形的运动路径是：MDAN.由图18、19可知，P点从点M运动到点B的路程为5，速度为0.5，所以首次到达点B需要时间为10秒.(3)结合图18和图20，分析可得，第1秒之前，动点P从点M向点D处运动；第1至3秒时，动点P从点D向点A处运动； 第3至5秒时，动点P从点A向点B处运动；第5至7秒时，动点P从点B向点C处运动；第7至8秒时，动点P从点C向点M处运动.时间段不同，函数关系不同，因此列分段函数为：当3s5，y= 4s；当5s7，y=1；当7s8，y= s8补全的函数图象如图21.点评 函数图象问题是数形结合的数学思想的重要体现，在中考试卷中也往往作为具有一定区分度的题目出现。例8是一个分段函数问题，其关键是依据函数图象弄清楚点P在正方形ABCD上的哪一段运动,坐标与时间、路程如何变化.6 与实际问题相结合,注重考察学生构建数学模型的能力.例9 （湖北荆门市）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图21所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图22所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图22中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解析：(1) 四边形EFGH是正方形图22可以看作是由四块图21所示地砖绕C点按顺时针方向旋转90后得到的,故CE=CF =CG=CH因此CEF是等腰直角三角形.所以因此四边形EFGH是正方形. (2)设CE=x米, 则BE=（0.4x）米,每块地砖的费用为y,有：y= x 30+ 0.4(0.4-x)20+0.16- x