（计算数学专业论文）浮升力驱动腔内自然对流问题的高精度数值模拟.pdf

宁夏人学硕 ：学位论文摘要 摘要 在自然界和诸多工程领域，由温度梯度产生的浮升力而引起的流体运动和热传导现象均可归 结为自然对流问题由于涉及到流体流动与能量传递的耦合，同时也是检验数值方法精度和稳定 性的经典算例，对腔体内自然对流换热问题数值方法的研究具有重要的理论价值和实际意义 本文由二维原始变量的n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程组出发，推导出了具有较少未知量的涡量一流 函数n s 方程组，简化了方程模型然后在已有的求解非定常对流扩散方程的基础上，提出了求解 二维非定常不可压涡量一流函数n s b o u s s i n c s q 方程组的高精度紧致差分格式，空间为四阶精度， 时间为二阶精度，并且是无条件稳定的为了验证本文高精度紧致差分格式的精确性和可靠性，对 有解析解的二维非定常不可压n s 方程组的d i r i c h l e t 问题进行数值实验最后，采用本文所提高精 度紧致格式对封闭腔内的自然对流问题进行了数值模拟，并根据实验结果，给出了封闭腔内的流 函数、温度函数和涡量函数的等值线图，同时也给出了非等距网格下网格疏密程度以及网格数等 与平均努赛特数的关系计算结果显示在高瑞利数下，计算的收敛性和计算结果的精度与网格数、 网格疏密程度、松弛因子以及时间步长密切相关数值实验结果与文献结果吻合的很好 关键词：不压, n a v i e r - s t o k e s b o u s s i n e s q 方程组，涡量一流函数方法，高阶紧致差分格式，自然对流， 数值模拟 宁夏人学硕1 j 学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nt h en a t u r ea n dal o to fe n g i n e e r i n gf i e l d s ，t h ef l u i df l o wa n dh e a tt r a n s f e rw h i c hc a u s e db y b u o y a n c yf o r c eg i v e nr i s et ot h et e m p e r a t u r eg r a d i e n tc a nb es u m m e du pa sn a t u r a lc o n v e c t i o n b e c a u s e i ti n v o l v e st oc o u p l eo ft h ef l u i df l o wa n de n e r g yt r a n s f e r , a n di sa l s ot h ec l a s s i c a le x a m p l ef o r e x a m i n i n gt h ep r e c i s i o na n ds t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d s o ，i t sw o r t h yo fs t u d y i n go nn u m e r i c a l m e t h o d sf o rn a t u r a lc o n v e c t i o na n dh e a tt r a n s f e rp r o b l e m s t h r o u g ht h et w o - d i m e n s i o n a lp r i m i t i v ev a r i a b l en a v i e r - s t o k e sf n s ) e q u a t i o n s ，w ec a ng e tt h e v o r t i c i t y - s t r e a mf u n c t i o nn se q u a t i o nw h i c hh a v el e s sv a r i a b l e s ，s os i m p l i f yt h em o d e lo fe q u a t i o n s t h e nw ep r o p o s eh i g h o r d e rc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e sf o rs o l v i n gt w o - d i m e n s i o n a lt i m e - d e p e n d e n t i n c o m p r e s s i b l ev o r t i c i t y s t r e a mf u n c t i o nn - se q u a t i o n so nt h ef o u n d a t i o no fs o l v i n gt i m e - d e p e n d e n t c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ，w h i c ha r et h e f o u r t h - o r d e ra c c u r a c yi ns p a c e sa n dt h es e c o n d - o r d e r a c c u r a c yi nt i m ea n du n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e i no r d e rt op r o v et h ea c c u r a c ya n dr e l i a b i l i t yo ft h e h i g h - o r d e rc o m p a c td i f f e r e n c em e t h o di nt h i sp a p e r , w eg i v es o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sw i l he x a c t s o l u t i o n sf o rs o l v i n gt h et w o - d i m e n s i o n a lt i m e - d e p e n d e n ti n c o m p r e s s i b l en s b o u s s i n e s qe q u a t i o n s w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s a tl a s t ，w eg i v en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ft h en a t u r a l - c o n v e c t i o ni n e n c l o s u r ec a v i t y 、历t hp r e s e n tm e t h o d w i t ht h ee x p e r i m e n tr e s u l t sw ed r a wt h es t r e a ml i n e s v o r t i e i t y l i n e sa n di s o t h e r m a ll i n e s a n dw ea l s og e tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nn u s s e l tn u m b e ra n dg r i dn u m b e r , 酣dd e n s i t yu n d e rt h eu n e q u a lg r i d s i t ss h o w nt h a tw h e nt h ep r o b l e m sa l eu n d e rt h eh i g hr a y l e i g h n u m b e r s ，t h ec o n v e r g e n c ea n dt h ea c c u r a c yo fc o m p u t e dr e s u l t sc l o s e l yr e l a t et ot h eg r i dn u m b e r s ，g 矾 d e n s i t y , s u c c e s s i v eo v e rr e l a x a t i o nf a c t o r sa n dt i m es t e pl e n g t h s t h en u m e r i c a le x p e r i m e n tr e s u l t s i d e n t i c a l l ym e e tt ot h a ti nt h el i t e r a t u r e s k e yw o r d s ：i n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e s b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，v o r t i c i t y - s t r e a mf u n c t i o nm e t h o d , h i g h a c c u r a c yc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e ，n a t u r a lc o n v e c t i o n ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名： 舍多寿时间：沙挈年仁月；e t 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 褓密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 时间： 时间： 年月日 年月日 宁夏大学硕十学位论文第一章绪论 1 1 研究的背景和意义 第一章绪论 在重力场、离心力场或其它力场的作用下，由于流体的温度差或浓度差形成密度差和浮升力， 使流体产生流动的现象称为自然对流与声音的传播速度相比，如果流体流动速度比较小，密度的 变化率不大，计算过程中密度可以近似视为常数，我们可以把它作为不可压流动问题来处理自然 对流与由外力( 如泵、风机或飞行器的运动等) 而引起的流体强制对流情况是不同的自然对流可 分为外流和内流两类前者是指在半无限大介质中的壁面附近，因密度差而引起的自然对流，有时 也称为自由对流；后者是指由四周壁面而围成的封闭空间中的自然对流本文讨论的是后一种情 况。即内流的情况 近年来，由四周壁面嗣成的封闭空间中的自然对流在工程领域中得到广泛应用如由于温度 梯度产生的浮升力引起的流体的运动、由于供熟或供冷导致空气的自然对流、太阳能吸热器、微 电子设备的冷却、动力电站封闭母线及旋转电机的散热等等，对这些问题的数学描述均可以归结 为不可压的n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程组由于实际问题往往非常复杂，要得到其解析解非常困难，甚 至是不可能的，因此寻求其精确稳定的数值方法就显得非常重要另外，由于涉及到流体流动与能 量传递的耦合，因此，对封闭腔内自然对流换热问题的研究具有很高的实用价值，而且也是检验数 值方法精度和稳定性的经典算例 目前，国内外对不可压n s 方程组的数值模拟研究取得了很多可喜的成果依据所需变量的不 同，不可压n s 方程组解法通常可分为原始变量法和非原始变量法其中原始变量法有直接原始变 量法和压力p o i s s o n 方程方法等，非原始变量方法有涡量一流函数法川和涡量速度法【2 】等原始变量 法是以速度和压力为直接求解变量的方法，对该方法研究最早的是p a o l u c c i 和c h e l l o w e m 【3 】采用了 显式的预测校正差分方法在交错网格上计算了二维b o u s s i n e s q 流体热方腔内的自然对流问题时 间项采用一阶向前差分，空间项采用中心差分，p r = o 7 1 ，r a 数最大算到1 0 1 0 ，充分的刻画了随 r a 数的增大，流动从层流转为湍流的全过程压力p o i s s o n 方程方澍4 】是一种原始变量求解不可压 n s 方程组的方法，该方法的思想是，用压力p o i s s o n 方程代替连续性方程，从而与动量方程一起 进行求解a b d u l l a h t 4 】提出了二维原始变量n s 方程组非交错网格上的压力p o i s s o n 方程方法：另外， 压力修正法也是常用的原始变量方法，其中最为广泛应用的是s i m p l e 方法，该方法由p a t a n k a r 和 s p a l d i n g s l ： 1 9 7 2 年提出，是一种主要用于求解不可压流动的数值方法，它的核心是采用“猜测修 正”的过程，在交错网格的基础上来计算压力，从而达到求解n s 方程组的目的 但是利用原始变量法求解n s 方程时会出现如下的困难：动量方程中的对流项包含非线性的 量以及由于每个速度分量既出现在连续方程中又出现在动量方程中，导致了各方程错综复杂地耦 合在一起，同时更为复杂的是压力项的处理，它出现在两个动量方程中，却没有可用以直接求解压 力的方程对于问题前者，我们可以通过迭代的办法加以解决，从一个估计的速度场开始我们可以 迭代求解动量方程从而得到速度分量的收敛解；对于问题后者，如果压力梯度已知就可按标准过 1 宁夏人学硕 ：学位论文第一章绪论 程依据动量方程生成速度分量的离散方程，继而得到收敛解但一般情况下压力场也是待求的未 知量，并且压力在边界上的值也是朱知的，需要发展各种处理压力边界的方法 为了克服压力所带来的流场求解的困难，人们提出了若干从原始变量方程中消去压力的方法 一非原始变量法涡量一速度法和涡量一流函数法就是两种比较典型的非原始变量法，这两种方 法都不直接求解流场原始变量涡量一速度方法是通过对动量方程的交叉求导而消去压力梯度项， 得到涡量方程，但不引入流函数，而以涡量、速度为求解变量涡量一流函数方法是非原始变量法 中应用较广的一种方法，这种方法以涡量和流函数作为基本求解变量，特别适合二维流场的计算 较早有g h i a 等人【1 1 用该方法与耦合的强隐式多重网格方法相结合求解驱动方腔流问题涡量一速 度方法和涡量一流函数方法的本质、求解过程及特征基本上是一致的 涡量一流函数n s 方程组的一个特点是压强项成为隐含变量，可直接解出涡量场，适用于求解 粘性不可压缩流体的有涡流动它的优点是比原始变量方程减少了一个未知函数，一个方程，从而 降低了内存要求；另一方面，方程的阶数没有增加，最高仍为二阶涡量方程所满足的方程是典型 的对流扩散方程，流函数方程是典型的p o i s s o n 方程，因而求解比较容易，这也是很多文献采用涡量 一流函数方法求解不可压n s 方程组的一个主要的原因但该方法也存在着缺点，三维问题不存在 流函数，所以不能推广到三维；另外，由于涡量在固壁上的边界条件是朱知的，因此必须导出所谓 的“壁涡”边界条件，往往是n 曩l l n a n n 边界条件形式 用数值方法求解自然对流换热的基本控制方程组时，若流函数和温度函数的边界条件给定， 就可很方便的求得方程组的值不过，整个求解过程中或边界层中的温度分布取决于能量方程的 求解结果，所以自然对流中的流动和换热密切相关，动量方程和能量方程发生耦合，必须同时求解 它不像强制对流那样可以先求解动量方程得出流函数值，再对能量方程求解得出温度分布因此 可以说，在某种意义上它的求解过程要比强制对流更为复杂同时，当r a 数增大，或腔体物理条件 比较复杂时，要对腔内流体自然对流换热过程成功数值模拟并得到较精确的数值解，势必对数值 方法的精确程度和所采用算法的求解效率提出更高的要求而传统的高精度格式，由于使用的网 格点较多，使得方程离散后所得的代数方程组的阶数增大同时，为了追求较好的精确度，边界点 离散格式的精度要尽量与内点差分格式的精度保持一致，从而也增加了边界处理的难度因此发 展精度高、稳定性好、计算效率高、通用性好的数值求解方法成为必然趋势，本文正是基于这点 进行了深入的研究，也是本文研究的意义所在 1 2 数值方法综述 采用涡量一流函数方法求解n s 方程组时，需要求解一个涡量方程和一个流函数方程用该方 法求解自然对流问题时，需要求解的方程增加了一个温度方程而且这种方法不需要引入其它的 中间变量，整个计算过程中只需用流函数、涡量和温度为变量直接求解即可，在一定程度上简化了 计算，也降低了方程的求解难度 二十世纪八九十年代，针对稳态的对流扩散问题 6 - s ，高阶紧致差分格式受到科研工作者普遍 2 宁夏大学硕l 学位论文第一章绪论 的关注，从而得到了长足的发展1 9 8 9 年，d e n n i s 和h u d s o n 1 1 提出了一种九点模板的四阶紧致格式 求解了腔体左右壁面有温差的自然对流问题，瑞利数计算到了1 0 5 ；1 9 9 1 年，g u p t a 9 】利用四阶紧致 差分格式求解二维稳态不可压涡量一流函数n s 方程组，计算了驱动方腔问题，雷诺数最大算到 2 0 0 0 ；1 9 9 2 年，对于高瑞利数和小普朗特数的热腔问题，c h o o 和s c h u l t z 【1 0 】也利用九点模扳的四阶紧 致差分方法进行了直接数值模拟，也得到较好的数值结果；c h 甜1 1 l 和t i 一旺】分别构造了四阶指数 型紧致差分格式求解对流扩散方程，同时将这种方法推广到求解不可压的n s 方程组；这种高阶紧 致差分方法的研究也受到诸如s p o t z 和c a r h 】、“”】等学者的广泛关注；1 9 9 9 年，李光正【1 6 】采用 非定常涡量一流函数n s 方程组，时间分裂的四阶紧致差分格式，利用a d i 和s o r 方法对不同参数 下的腔内自然对流问题进行了数值模拟；2 0 0 4 年，郭晓虎等人【l7 】将四阶紧致差分格式和具有并行 性的交替组显迭代方法相结合求解不可压n s 方程，兼顾了稳定性、计算精度及并行性采用隐式 或半隐式的格式进行求解，并推广到求解非定常不可压n s 方程组的数值求解也有不少学者采用 有限元方法【l 引，有限体积法【1 9 】等方法对n s 方程组进行数值求解 目前，随着不可压n s 方程组数值方法的不断发展，越来越多的科研工作者将其应用到自然对 流问题的数值模拟当中，用以检验自己方法的可靠性和有效性1 9 9 1 年，沈建雄【2 0 】采用二维非定常 不可压n s 方程的局部网格加密方法，结合压力修正法的余量型差分格式对腔内自然对流进行了 数值模拟；2 0 0 4 年，李光正和马洪林【2 l 】采用两种时间推进数值方法及层流模型，对各种瑞利数特 别是高瑞利数下的封闭腔内自然对流换热进行了数值模拟；2 0 0 6 年，樊睿源等人1 2 2 】在有限体积法 的基础上采用层流模型，对由四棱柱和其内部多支水平圆管所构成的封闭腔内部自然对流热交换 情况进行了深入研究；孙进旭【2 3 j 研究了建筑围护结构传热与流体流动综合作用下室内自然对流现 象，具体分析了瑞利数变化范围为1 0 4 1 0 6 时建筑围护结构传热对室内自然对流的影响；2 0 0 7 年， 童长青等人【2 4 】将压力分布函数的概念应用到热格子- - b o l t z m a n n ( t l b m ) 方法中，并以压力分布函 数与内能密度分布函数作为基本演化变量，用格子- - b o l t z m a n n 方法求解了封闭方腔内的自然对 流问题也有不少科研工作者直接或二次开发c f d 软件对自然对流问题进行模拟如李世武，熊莉 芳【2 5 1 直接采用商业软件n u e l l t 研究了封闭方腔内的自然对流换热的问题；董韶峰等人1 2 6 1 采用涡量 一流函数方程对f l u e n t 软件进行二次开发，研究了重力作用下不同角度、不同高宽比例对腔内自然 对流换热问题的影响 与此同时，科研工作者们对长方形腔体内的自然对流研究也逐渐增加a r m f i e l d 和s c h u l t z l 4 3 】 利用q u i c k 格式和中心差分离散格式结合有限体积方法模拟了腔体高宽比为8 ：1 的超临界数的长 腔体内自然对流换热问题；j o h n s t o n 并 b k r a s n y 4 4 采用有限差分方法求解涡量一流函数b 0 u s 如e s q 方程，其中空间用四阶紧致差分方法，时间用古典的四阶r u n g e k u t t a 方法离散；g u o 等人【4 5 】利用九 边形的有限元方法集成a d 琳a ( 结构分析) 系统在4 0 1 2 0 网格剖分下获得长腔内自然对流问题 的周期性解，并将其计算结果与第一届m i t 会议论文集的数据进行了对比；s a l i l l g e r 等人】利用最 小二乘g a l e r k i n 方法结合完全双牛顿方法和预条件k r y l o v 迭代法捕捉到瞬态向稳态过度短暂时刻 的临界瑞利数r a = 3 0 6 0 4 1 0 5 时的霍普夫分叉：c h r i s t o n 等人【4 7 】在m i t 会议基础上研究了封闭长 腔非稳态时的临界瑞利数，确立了8 ：l 热腔问题的基准解并对解的可靠性进行了研究；b r u n e a u 等人 郴】利用不完全的共轭梯度分裂温度和速度一压力方法解决t 8 ：l 腔体内由于温度差而引起的自然 3 宁夏大学硕 ：学位论文第一章绪论 对流问题；a u e r r i 和p a r o l i n i 4 9 1 用一种新的g a l e r k i n l e g e n d r e 谱方法模拟了有温差的长腔内的自然 对流问题 总而言之，由于科学技术的发展使计算机性能显著提高，尤其是实际工程的迅猛发展，不断提 出新的问题和要求，促使实验手段与数值分析的方法都有了很大的进展就流体力学和传热学而 言，为了得到可靠的、有效的数值模拟结果，对偏微分方程的求解方法也提出了更高的要求，其中 精度高、分辨率高、计算鼍小已成为衡量一种数值方法好坏的重要指标。传统的高精度格式虽然 提高了精度，但需要的网格节点数较多，而且计算量明显增大，此外边界也不易处理所以追求高 精度的同时又能够兼顾计算效率便成为科研工作者努力的目标虽然国内在这个问题上的研究比 国外起步晚，但发展还是比较快的高精度紧致差分方法就是在这种背景下脱颖而出，受到了众多 科研工作者的广泛关注高精度紧致格式是一种精度高且具有较好数值稳定性的格式，它通过利 用较少的网格点就能达到较高计算精度，不仅降低了计算成本，而且边界条件的处理也比较简单 所以采用高精度紧致差分方法已成为解决许多实际流动与传热问题的关键技术之一 1 3 本文主要研究内容 本文构造了求解二维非定常不可压涡量一流函数n s 方程组的一种高精度隐式紧致差分格式， 并推导出了具有同阶精度的边界条件的离散格式采用s o r 方法分别在等距网格和非等距网格下 进行求解该格式空间为四阶精度，时间为二阶精度，而且对时间步长没有太大的限制，不仅提高 了算法的稳定性，并且节省了计算机的内存空间，减少了计算量为了验证本文所提方法的精确性 和有效性，对有解析解的二维非定常不可压n s b o u s s i n e s q 方程组的d i r i c h l e t 边值问题进行了数值 求解然后利用本文方法对封闭腔内自然对流换热问题进行数值模拟为此，本文工作主要从以下 几个方面展开： l 、由二维非定常不可压原始变量的n s 方程组出发，推导出了二维非定常不可压涡量一流函 数形式的n s 方程组； 2 、提出了二维非定常不可压涡量一流函数形式n s 方程组的高精度紧致差分格式，为了检验 本文方法的可靠性和有效性，对有解析解的算例在不同参数下进行了数值实验； 3 、采用本文方法，对腔体内自然对流换热问题进行了直接数值模拟计算了不同瑞利数下l ：l 和8 ：l 腔体内的自然对流问题，绘制了不同参数下流函数，涡量和温度的等值线图 4 宁夏人学硕 j 学位论文第二章1 f 定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 第二章非定常不可压n s 方程组的 高精度紧致差分方法 数值方法的目的之一是寻找恰当的离散方法，并根据原物理问题的初边值条件，合理的构造 离散化近似方程，使所求得的离散解以一定精度逼近原微分方程初边值问题的准确解求解一般 工程计算问题时，通常二阶精度的格式就可以满足需要而对于一些特殊的问题，如湍流，必须采 用高精度的方法才能捕捉到流动的细微结构另一方面，当所求解问题的解比较光滑时，采用高精 度格式可以减少网格剖分的节点数，从而可以达到提高求解效率的目的高精度格式多用于求解 非定常多尺度流动的典型物理问题，目的在于研究流动的细微结构及其机理本章基于求解对流 扩散方程的四阶紧致差分格式，将其推广到求解非定常不可压n s 方程组，从而建立求解非定常不 可压涡量一流函数n s 方程组的高精度紧致差分格式 2 1 控制方程 描述流体运动基本规律，包括质量、动量和能量守恒定律的数学方程是计算流体力学研究问 题的出发点本章首先通过无量纲化的二维非定常不可压原始变量的n s 方程组，推导出相应二维 非定常不可压涡量一流函数形式的n s 方程组 2 1 1 二维原始变量非定常不可压n s 方程组 描述二维流体流动的原始变量的非定常不可压n s 方程组可写为： 丝+ 塑：o 苏勿 詈+ 警+ 警一a 苏p + 一1c丽02u+石02u，re o y 一_ - 一- 二二二= = 一_ - 一l 一_ r l 国苏加苏、a ， y 象+ 警+ 筹一詈+ 一1c瓦ca2v+石02v，re a y 一_ p 二二二_ 一= ：一三_ i - 一f 一_ + 一l 国苏 却却 、伊工 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中，“，v 分别是x ，y 方向上的速度分量，p 为压强，r e 为雷诺常数，方程( 2 1 ) 是连续性方程，( 2 2 ) 和( 2 3 ) 分别为x , y 方向上的动量方程 2 1 2 二维涡量一流函数变量的非定常不可压n s 方程组 首先，推导流函数方程，其中流函数和涡量分别定义为 5 舻亩0 一面0 沙妙 加o u 舻瓦一万 将( 2 4 ) 代a ( 2 1 ) 可得流函数方程： 尝o x + 尝o y = 一彩 z上 很显然对于流函数沙，连续性方程自动满足 接下来，推导涡量运输方程，对( 2 2 ) 式的两边同时对) ，求导可得： 塑+幽+掣=一一a2patoy o x o yo y & o y o r e ( 亳+ 雾) 2 。出砂砂。 对( 2 3 ) 式的两边同时对x 求导可得： 盟+掣+等=一丽02p一1j03votox o xr eo x + 乌o x o y 2 苏勿苏勿 3 则( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式相减可得： 昙c 塞一哿一等+ 等一等 1 a 3 v0 3 va 3 甜a 3 “、 2l石十了一ox20reo x & o yo xa y 一否芦夕 、3 。2 勿 即 昙c 塞一考，+ 丢陬象一考，+ 昙m 象一号， = 瓦1 【丽0 2 【瓦0 v 一万o u ) + 参( 塞一考) 】 再由( 2 。1 0 ) ，( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式可得涡量方程： 塑+ 丝塑一业丝：上f 塑+ 塑) a 。o yc 3 x苏o y r e 、缸2 。o y 2 7 则称( 2 6 ) ，( 2 1 1 ) 为涡量一流函数形式的不可压n s 方程组 2 2 高精度紧致差分格式 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 i ) 流体力学的基本方程包括描述流体运动的质量守恒、动量守恒和能量传递的能量守恒方程 上一节通过原始变量方法推导出了无量纲的涡量一流函数形式的二维不可压n s 方程组假定流体 满足b 0 u s s i l l e s q 假设，加一个能量方程就构成了本章所研究问题的基本控制方程： 6 宁夏人学硕l j 学位论文 第- 二章非定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 v 口+ v ) ，y 2 一c o z + c 一虬弓= 已+ q + q 一虬哆= p r ( 哆。+ 缈炒) + 尺口p r 互+ 厂 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中沙为流函数，c o 为涡量，t 为温度，p r 和r a 分别表示普朗特数和瑞利数，f 为非齐次项。 2 2 1 流函数方程的四阶紧致差分格式 首先在直角坐标系中将二维计算区域用一簇平行于坐标轴的直线族进行网格剖分设x , y 方 向的步长分别为j i l ，k 则= i h ，i = 0 ，l m ，y = j k ，j = 0 ，l m ；m 和以分别表示z 和y 方 向的网格等分数 为了方便起见，我们将上述方程记为如下p o i s s o n 方程的形式： 垂。+ 胗= g ( 2 1 5 ) 其中g = g ( 工，y ) 当= 杪，g = 一国时，为流函数方程( 2 1 2 ) ；当= r ，g = z + c 一虬乃时， 为能量方程( 2 1 3 ) ；当= 国，g = ( 1 p r ) ( c o , + q 一虬哆一r ap r t 一厂) 时，为涡量方程 ( 2 1 4 ) 同时用数字0 , 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 分别代表网格节点( 薯，乃) ，( 薯+ i 乃) ，( 薯，y s + i ) ，( - l ，乃) ， ( 五，乃一。) ，( 矗t ，乃+ 1 ) ，( 玉- l ，乃+ i ) ，( 薯- l ，乃一t ) ，( 稚，乃一1 ) ，如图( 2 1 ) 所示 一l ；一2 l6 一 l l 一广f il 图2 1二维空间离散子域 f i g u r e2 1c o m p u t a t i o n a ls t e n c i lo f2 d 由文献 4 2 】，二阶导数在( t ，”) 点可以利用下面四阶紧致差分公式： 舢= 【( 1 + i h z ej 一2 ) 一1 】9 0 + 0 ( j i l 4 ) ( 2 1 6 ) 7 一 l 5 l 一 一 宁夏人学硕 ：学位论文第二章 非定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 ( i ) y y 0 ( 1 + k l z 26 ，2 ) 一1 彭域+ 。( 后4 ) ( 2 1 7 ) 其中，和母定义为： 卟t 0 1 - 2 0 0 + 0 3 ，彭卟半 ( 2 1 8 ) 将( 2 16 ) 和( 2 1 7 ) 代入方程( 2 15 ) 的左边整理可得： ( 1 t h l 2 2 ，2 ，万，2 。+ ( 1 + 西k 2 巳2 ，巳2 。= ( 1 斗h 1 2 2 ( 罗，2 + k 1 2 28 y 2 ) g 。+ 。( h 4 ，k ， ( 2 1 9 ) 将( 2 1 8 ) 代入( 2 1 9 ) 式，略去高阶项整理可得方程( 2 1 5 ) 的四阶紧致差分格式 赢【- 2 吣2 棵) 哦+ ( 1 0 k 2 2 h 2 ) i + ( 1 0 h 2 2 k 2 ) 中2 + ( 1 0 k 2 - 2 h 2 ) 3 + ( 1 0 b 2 - 2 k 2 ) 4 + ( | 1 1 2 + 七2 ) ( s + 6 + m 7 + 8 ) 】 = 击( 毋+ 8 9 0 ) ( 2 2 0 ) 如果注意到 岛= o + d ( j 1 2 ) ，g o = 岛。+ d ( j | 2 ) ( 2 2 1 ) 贝j j ( 2 2 0 ) 式亦即 赢 2 吣2 “2 ) 。+ ( 1 0 k 2 2 h 2 ) l + ( 1 0 h 2 2 k 2 ) 2 + ( 1 0 七2 - 2 h 2 ) 巾3 + o o h 2 - 2 k 2 ) 4 + ( 矗2 + 后2 ) ( 5 + 6 + 中7 + 8 ) 】 五2七2 5 9 0 + 西g 搿。+ 西勘。( 2 2 2 ) 下面我们将建立方程( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 的四阶紧致差分格式，为书写方便，令( 2 2 0 ) 式左端 项为r ( ) 当= y 时表示流函数方程左端的离散式子，即 r ( ) 。丽1 卜2 0 ( h 2 + 七2 慨+ ( 1 0 k 2 2 h 2 ) + ( 1 0 h 2 2 k 2 帆 + ( 1 0 k 2 - 2 h 2 ) + ( 1 0 h 2 - 2 k 2 ) 甄+ ( 2 + 露2 ) ( + 眠+ 沙7 + ) 】 下同 对于流函数方程( 2 1 2 ) ，取= 杪，g = 一缈结合( 2 2 0 ) 式可得流函数方程的四阶紧致差分格 式： 震( y ) = 一西1 ( 否4 哆+ 8 ) 2 2 2 温度方程的四阶紧致差分格式 8 ( 2 2 3 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章非定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 对于温度方程( 2 1 3 ) ，取= t ，g = z + 一收弓结合( 2 2 2 ) 式可得： 尺( 丁) = ( z + 够z 一虬弓) 。+ 篙( z + z 一纵弓) 。+ 篙( z + c 一虬弓) 】。 = ( z + 西h 2 乙+ 西k s ) 。+ ( 正一虬弓) 。 + 西h 2 ( 互一虬弓) 。+ 西k s ( 妙y 互一虬弓) 】。 ( 2 2 4 ) 结合方程( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，( 2 2 4 ) 式右端第三项整理可得： 西h 2 ( z 一虬弓) 。+ 篙( c 一虬弓) 拶】o = 篙( 2 i | f ，五一2 弓+ c + 乙一弓一虬岛) 。 + 箬( 2 y 一2 乃+ e + 一弓一虬) 。 = 壶【尼2 ( + ) y c 一( 七2 一j i 2 ) z + j j l 2 ( 乙+ 巧) ，+ ( 后2 一j i l 2 ) 岛 一h 2 ( y 。+ y 0 ) ，弓一( 后2 一h 2 ) 弓一七2 虬( 乇+ 巧) y + ( 后2 - h 2 ) 虬z 矽 + 2 ( j j l 2 乇一k s 巧) + 2 ( 七2 - h 2 ) 弓】o = 石1 卜k 2 哆t 一( 露2 一而2 碥+ j i l 2 ( 互+ f ，y 一虬弓) ，+ ( 露2 一五2 ) 岛 + j i l 2 q 弓一( 后2 一h 2 ) 弓一后2 虬( z + | i c ，y c 一虬弓) ，+ ( 后2 一j i l 2 ) 虬z 掣 + 2 ( 2 名一k 2 巧) + 2 ( 七2 - h 2 ) 巧】。 为保证格式具有全局四阶精度，( 2 2 4 ) 式第二项中l 虬，互，弓利用下述离散方法 百r , - r , = + 等乙。+ 。( 4 ) ，丝产= 纵。+ i h 2 。+ 。( j | 1 4 ) 百e - r , + i k s + 0 ( 妁，蛩= + 等一( 柳 【c 一虬乃】。2 赤 ( 一纵) ( 墨一互) 一( 一) ( 互一互) 】 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 一面h 2 【( 一儿) 毛。一( 互一正) 。卜面k 2 ( 石一互) 。一( 一) 。】 9 宁夏大学硕 学位论文 第二章非定常不町k n s 方程组的高精度紧致差分方法 = 瓦1 磊【( 少：一i c ，。) ( 互一互) 一( 一) ( 互一五) 】 一等( 乙一乃) 。一i k 2 ( 互一虬) o + 0 ( h a , k 4 ) 为避免网格节点超出我们给定的九点模板，上式中第二项可转化为 h 2 ( z 。一乃) + 七2 ( 南t 一虬巧夥) = | 1 2 ( 乙+ 易) ，一磊2 岛一七2 虬( 乇+ 易) ，+ 露2 致 + i 1 2 ( 南+ 吐) 弓一k 2 x ( 沙础+ q ) r = 2 ( 互+ 一虬) ，一k 2 虬( 互+ - 沙x e ) ，- h 2 吩岛+ 后2 虬 + 五2 q 弓+ 五2 弓- k 2 q z - k 2 互 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 干苛似2 9 ) 代八t z z 芍) 挚埋待： c 一虬弓】。 = 蕊1 【( 一) ( 一互) 一( 一) ( 互一) 】 等( 正+ y 2 ，疋一弓一收巧+ j j l 2 q 弓一j j l 2 岛+ j i l 2 弓) 。 一i k 2 ( 织弓+ y 2 y 乙一虬一虬弓+ j i 2 虬岛一七2 q 一七2 乏) 。 一吉( j i l 2 虬瓦搿砜 ( 2 3 0 ) 再将( 2 3 0 ) 和( 2 2 5 ) 代x ( 2 2 4 ) 整理得： r ( r ) = ( 互+ 西h 2 乙+ 西k 2 一西h 2 瓦+ 西k 2 虬弓) 。 + 蕊1 【( 一虬) ( 互一互) 一( 一) ( 互一互) 】 一西h 2 【z + 矿瓦一弓一虬y ，弓+ 缎弓】。 一篙 虬弓+ 2 t 一虬互一虬弓一q 】。 一1 h 2 + r k 2 虬一乙+ 弓一矾 宁夏人学硕 ：学位论文第二章 非定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 + 吉【( 矗2 已一露2 乙) 一( 五2 一后2 ) 弓】。 ( 2 3 1 ) 很显然，( 2 3 1 ) t 扣沙，丁和国的各阶偏导数在九点模板中均存在如下二阶精度的离散公式： 2 蛩+ o ( h 2 ) ，哆= 蛩+ o ( k 2 ) “。= 半+ 。( j i | 2 ) = 坚蕞世+ o ( h 2 ) = 业型意声凸 “聊= 坚世豢鱼垫 + o ( h 2 , k 2 ) + 0 ( j l l 2 ，k 2 ) 这里“可代表妙，t ，( - 0 等对时间导数项采用如下二阶离散： t - ) = 一 l 2 f ( 2 3 2 ) 将上述离散公式代入到( 2 3 1 ) 式中，即可得温度方程( 2 1 3 ) 时间二阶，空间四阶精度的全隐式 紧致差分格式： 844 管z 斛1 = 群乃1 + g 。1 墨”1 其中 a o n + ! z 尼1 虿卜2 。( h 2 + k 2 ) 一等( 一虬) 2 一譬( 一) 2 】一寻 群= 正品 ( 1 0 k 2 - 2 h 2 ) 一【( 3 触一七百k 2 + h 2 一 百k 2 + h 2 ) ( 一) + 等( 肾甄+ 州+ 露等( + 甄嘲训】 + 了( 一甄+ 一甄) + 露五_ ( + 甄一7 一) 】 一丢 七2 ( 一) ( 一2 + 纵) 一等( 一) ( 一9 6 + 9 7 - ) 一j i l 2 ( 一) 2 + 触3 ( 哆一q ) 】) 一万1 ( 1 一j j l 丝磊警) = 去 ( 1 0 h 2 - 2 k 2 ) - 【( - 3 h k + h+ 后等) ( 训 一等( 虬一甄+ 训一j i l 警( 一- 驴1 7 + 删 ( 2 3 3 ) 宁夏大学硕十学位论文第二章1 e 定常不可压n s 方程纽的高精度紧致差分方法 一言 炉( 一 ( 一2 + ) 一等( 一) ( 一虮+ ) 一k 2 ( 彬埘懒训】) _ 去( 1 + 尼警) 管“= 瓦杀 ( 1 噼2 _ 2 h 2 ) - ( - 3 h k + h 2 2 庀h k 2 + 七百k 2 + h 2 ) ( 一虬) + 等( 一甄+ 训一后警( + 甄一一喇 一丢 七2 ( 一帆一) ( 一2 + 虬) + i h 2 ( 一虬) ( 儿一甄+ 一虮) 一h 2 ( 嘲) 2 _ 脯( 哆一酬) - 击( 1 + 磊警 。, 4 一n + i = 1 2 j i l l 虿 ( 1 0 h 2 - 2 k 2 ) 一鼢七一无1 k 2 + 厂h 2 一七1 k 2 + r h 2 ) ( 一) 一等( 毗+ 训一j i i 警( 一眠一州】 一三卜| i 1 2 ( 一虬) ( 一2 + ) + 百k 2 ( 一) ( 一甄+ 一虮) 一k 2 ( 彬埘一删) 一壶( 1 一后訾 = 去 ( h 2 + k 2 ) - 【一等( 虮一+ 虼一h 等( 讥一 + 办警( 训卜警( 训( 训) n + l - - = z ，1 1 虿 ( h 2 + k 2 )