（计算数学专业论文）曲边区域问题的非协调有限元方法研究.pdf

摘要 本文主要考虑分别用两个非协调元( 类n n l s o n 元和c a r e y 元) 来逼近曲边区域上的二 阶椭圆边值问题和定常s t o k e s 问题。通过新的证明技巧和方法，并利用单元本身的特殊 性，克服了由区域变动、边界转换、曲边边界的处理以及单元非协调性所带来的众多困 难，得到了相应的最优误差估计，从而拓宽了非协调有限元的应用范围 关键词：曲边区域 类w i l s o n 元 c a r e y 元 二阶椭圆边值问题 定常s t o k c s 问题 最优误差估计 a b s t r a c t l nt 1 1 i sp a p e r 铆on o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s a p p r o x i m a t i o n st os e c o n do r d e re l l t p t i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n ds t a t i o n a r ys 】f o k e se q u a t i o i l si nt l l ed o m a i nw i t hc u r v e d b o u n d a r i e sa r ec o n s i d e r e d ，r e s p e c t i v e l y b yu s eo f t t 幛n o v e la p p r o a c h e s 卸dt e c h n i q u e s 锄d m op e c u l i a r i t i e so fe l c m e n t s ，t h ed i m c u l t i e sw h i c hr i s e 丘伽t l l ec h a n g e dd o m a i na n dm e b o u n d a r yd a t u m 卸dd i s p o s a lo fc u r v e db 咖n d a r y 柚dt i 把n o n c o n f o m i i i gc h a m d e r so f e l e m e n t sa r ea v e r c o m e t h eo m i m a le r re s t i m 8 t e sa r eo b t a i n e d t h u st l l ea p p l i c a t i o n so f n o l 咖f o 咖m gn n i t ee l e m e n 括a 他e x t e n d e d k e yw o r d s ： c u r v e db o u n d a r yd o m a i n ，q u 船i w i l s o ne l c i i i c n t ，c a r c ye l e m e n t ；s e c o n d o f d e re l l i p t i cb o u n d a 叮v a l u ep r o b l e m s ，s 协t i o n a r ys t o k e se q u a l i o n s ，o p t i m a l 咖re s t i m a t e s 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法 律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) 司错 2 0 0 5 年l o 月日 引言 有限元方法是求解椭圆型方程边值问题的一类最重要的数值方法有限元离散化的思想早 在2 0 世纪4 0 年代就已被提出( r c o 咐u t ，1 9 4 3 年) ，并在5 0 年代便被西方的一些结构工程师 所采用到了6 0 年代以后，有限元方法得到了越来越广泛的应用但有限元方法数学理论的建 立则相对来说稍晚些直到6 0 年代才有数学家涉足有限元数学理论的研究并开始奠定了其理论 基础我国数学家冯康院士就是在6 0 年代初独立于西方创始了有限元数学理论，为有限元方法 的发展做出了历史性的贡献【” 有限元方法的基础是变分原理和剖分插值一方面，有限元方法以一种大范围，全过程的 数学分析即变分原理为出发点，而不是从自然规律的局部的、瞬时的数学描述即微分方程出发， 因此它是传统的r n z _ o a l e r k i n 方法的变形，与经典的差分方法不同另一方面，有限元方法又 采用了分片多项式逼近来实现离散化过程，它依赖于由小支集基函数构成的有限维子空间，其 离散化代数方程组的系数矩阵是稀疏的，这又与传统的r i 协g a l e r l d n 方法不同。而可看作是差 分方法的变种有限元方法正是这两类方法相结合而进一步发展的结果它具有广泛的适用性， 特别适合几何与物理条件比较复杂的问题，且便于程序标准化，从而适用于工程应用由于有 限元方法有上述优越性，它自6 0 年代以来已作为一种独立的数值计算方法获得了迅速发展和广 泛应用口卅 关于有限元方法的研究，大部分都是在多角形区域上进行的。而对曲边区域上的有限元问 题，通常用的方法是利用多角形区域来逼近曲边区域，即将剖分进行加密，使近似求解区域n 。 尽可能逼近曲边区域n ，在忽略有限元近似解在n q 上误差影响的情况下，得到q 上的 收敛性但有时考虑有限元近似解在q 、o 上的误差估计也是非常必要的睁一1 l 】用协调的 线性三角形单元研究了曲边区域上的一些问题，以以上研究为基础，本文在考虑有限元近似解 在q q 。上的误差影响的情况下，用非协调元对曲边区域上问题作了一些研究 c a r e y 元是一个非常重要的非协调三角形单元，而且也具有很好的数值计算效果而被广泛应 用于工程计算中关于该元的研究有很多”】，但其理论分析主要是集中在多角形区域上进行 的本文第二章将利用此类单元求解曲边区域上的二阶椭圆问题 类w i l s o n 元是江金生m 利用【1 8 】的思想，提出了一个形函数不依赖单元且收敛效果与w i l s o n 元相当的非协调单元，而石东洋将此方法进一步推广，构造了一类类w i l s o n 非协调任意四边形 】 元【“，并证明了此类单元具有与w i l s o n 元不同的特殊收敛性，即其相容误差为g 协2 ) ( 正好比插 值误差d ( 高一阶) 8 “本文第三章将利用此类单元求解曲边区域上的定常s t o k 问题 本文写作安排如下： 第一章：介绍预备知识，列举本文所用到的记号和定理，对文中用到的有限元知识进行归 纳。 第二章：利用c a r e y 元分析曲边区域上的二阶椭圆问题。给出相应的误差分析，并得到了 f 模和r 模的最优误差估计。 第三章：利用类w i l s o n 元分析曲边区域上的定常s t o k e s 问题，给出相应的误差分析和最优 误差估计。 1 1s o b o l e v 空间及一些记号 第一章预备知识 设彤表示月维踟f 耐空间，x = ( 而，屯，) 表示掣中的点令n c 彤，口( n ) 为一切定 义在q 上的p 次可积函数组成的集合，r ( q ) 为一切在n 上的本性有界的可测函数组成的集合则 按范数 帅) = v ( 曲吖，l p m ) 2 哪骝i ”( 圳p 2 。 p ( q ) 为b a c h 空间，而工2 ( n ) 为h i l b 矾空问。其内积定义为 ( ”) 2 l 2 n 妆 用c “( n ) 表示区域。上脚次可微函数组成的集合，c 4 ( f 的表示区域q 上无穷次可微函数组成 的集合，另简记c o ( q ) 为c ( q ) 设口2 ( q ，吃，吒) 为一多重指标，其每分量都是非负整数，且记口的长度为 l 口| - q + + + 区域q 上混台广义偏导数记为 2 钟吩嘴。面舞，其中砑2 毒 s o b o l e v 空间定义为 “( q ) = 厂f ( q ) i d 4 ，f ( q ) ，i 口喀m ) 空间“( n ) 上的范数和半范定义为 。= ( 酗删9 n 。= ( 。磊川 几p m i l v 忆一。2 馏娶d k m 且i v l m n 5 t 嚣l l d 弘t n ，p 。 为简便起见，当脚时，记舻“矧一尸考，a 扣毒( 詈j ，卅互当p 乏时， 记”( n ) = “2 ( o ) ，其上的范数和半范分别简记为0v 忆。，iv i 。 此外，我们用【日“( q ) 】2 ( o ) 表示向量值函数v = ( v m ，v 2 ) 组成的空间，分量v t 。 日”( n ) ( 江1 ，2 ) ，其内积和范数定义为 ( 虬v ) 呻= ：。妒，v m ) 枷b = 1 ，噍。+ 2 ，f 当卅是负整数时，日”( q ) 中元素的范数定义如下： 怕忆旷，。骝娜溅 v t h 4 ( n ) l lv l l - 卅n 显然有 ( ”，v ) o ，n = l i “| | 。o | | v | | 一，n s o b o i e v 嵌入定理设n c 掣为具有l i p 9 c h i 乜连续边界的区域，1 s p 则 形“( n ) c jc o ( q ) v “矿“( o ) ，则在q 上存在一个连续函数与”等价，仍记为 ，即存 在常数c ，使得 b 。c 怕忆。n 下面考虑日“( q ) 中函数“的边界值，即“在触上的迹 k 设有界区域n c 彤为具有埘阶光滑边界，“e 片“( q ) 若线性算子托， ，k _ 满足 一“：窑i ，f 地1 ，一，珊“ 刖2 丽l 。一= 0 1 朋_ 1 则称之为迹算子，此处t 表示沿边界铀外法向的i 次方向导数 迹定理设有界区域n c 彤为具有册阶光滑边界，“片”( q ) ，则存在与”无关的常熟c ， 使得 | 1 乃甜i l o a n c 1 i ”i i ，+ l 且，v “h ”( n ) o ，m l ( 1 1 ) 特别地，当鼬满足l i p s c h i 乜连续条件时t 可有 | l “i i o m c0 ”1 n ，v l f 日1 ( q ) 1 2 泛函分析及一些基本目i 理 用有限元方法求解问题的第一步是寻找与原始问题等价的变分问题，连续变分问题和离散变分 问题的解是否存在，是首先要解决的闯题通常应用著名的l a x m j l g f a m 引理来验证变分问题解的 存在性下面，我们就给出l a ”m i l g 引理 设y 是h i l b e r t 空间，定义在y 上的变分问题解为：求“矿使 口( ，v ) = ( v ) v v 矿 ( 1 2 ) 其中，口( ，) 为定义在rx 矿上的双线性泛函，厂为定义在矿上的线性泛函 l “- m i i g r a m 引理设矿是h n b e r t 空间，口( ，) 为定义在yxy 上的双线性泛函，如果满足： ( 1 ) 有界性，即存在正常数c ，使得 i 口( 甜，v ) i c | 1 ”l i | iv l i ，v ”，v 矿， ( 2 ) 强制性，即存在常数口，使得 l 口p ，v ) i 口0 v z ，、v 矿 则、，e ，存在唯一的r 使得 口，v ) = r ( v ) v v 矿 其中，为y 的对偶空间 我们知道，大量的数学物理问题都可以使用微分方程来描述，求其数值解的有限元方法求解问 题必须先将微分方程转化为与其等价的变分问题。i m - m i k 舢引理只指出了变分问屈( 1 1 _ 1 ) 存在唯 一解并没有说明如何得到它的解( 不论是解析解，还是数值解) 实际上，只有少数非常简单的数学 物理问题的微分方程模型能用分析的方法得到精确解，而大多数的问题则是通过g a l e r k 缸近似方法 求得相应的近似解，g a 】e 咄诅方法的基本思想为：用有限维空间k 来逼近无限维空间矿，把连续型 的变分问题( 1 - 2 ) 转化为离散型变分问题；求虬k ，使得 吼( 蜥，h ) 2 ，)v 咋圪 ( 1 t 3 ) 其中，( - ，t ) 为定义在吒上的双线性泛函。其具体形式与有限元空闻k 的构造有关，为定义 4 在吒上的线性泛函- 对于离散型变分问题( 1 3 ) 解的存在唯一性只需验证有限维空间圪是h i l b e n 空间，口( - ，为定 义在吒吆上的双线性泛函，为定义在上的线性泛函，并满足l a x m i l g r a m 引理的条件，再利 用l m i l 鲋i l l l 引理即可判定离散型变分问题( 1 3 ) 的解在巧上是存在唯一的在有限维空间吒上， 可阻通过构造分片多项式插值的方法求得问题的近似解 误差估计是有限元分析中一个重要的环节，b r a m b l e 蜥l b e r t 引理在误差分析中起着非常重要的 作用，下面我们给出这个引理 b r a m b l e _ h j m e r t 引理设。匕r 2 为有界区域，边界甜】满足l i p s c h 乜连续条件对整数七o ， 数p 【o ，) ，e ( 矿“1 ( q ) 1 ( 矿“1 9 ( q ) 的对偶空间) 有 ，( ”) = 0 ，v “只( r 的 则存在常数c ( n ) ，使得v v 矿“1 9 ( n ) 有 i ，( v ) ls c ( 国1 i ，：m 皿i v h 肿 ( 1 4 ) 其中，孵) 为n 上所有的次数s 七的多项式集a ，溉。) 书黠为( 一9 ( 锄y l 的范数 1 3 有跟元空间及其性质 用有限元方法求微分方程的数值解的实质就实用有限维空间来近似逼近无限维空间，从而将无 限维空问中的问题离散为一个近似的有限维空间中的问题在有限元方法中，这个近似盼有限维空 间就是有限元空间他是建立在区域剖分基础上满足一定约束条件的分片多项式空闭 设求解区域o 科，边界触满足l i p s c h 乜连续条件为简单起见，此处设。为有界的多角 形区域， k 0 是流体粘性系数 设r = 口【月：( q ) nd i v 弹= o ，f j ( 3 5 ) 的变分问题为t 求印矿满足 d ( p ) = ，( 1 ，) ，v y 矿 其中 口( 即，v ) = ，j n v v 腑，( 帕= l ，他 考虑( 3 6 ) 的逼近问题：求【昭1 2 满足 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) p 是流体压 ( 3 6 ) ( ，叱) + 芦 4 “( ，h ) = ，( 叱)v 咋e f 砰】2( 3 7 ) 其中 吼( ，咋) 2 ，l v v ， ( ， ) = 旷( d j v ，d i v ) 叩+ ( g ( 撑) ，d i v p ) o mv 球【磁( n ) 】2 q k ( h ) e 由下式确定： ( 蜴( ) ，咋) - ，n = ( d i v 口，h ) v v e 圪，v 雎【磁( q ) 】2 ( 3 8 ) 1 9 3 3 2 预备引理 为了对所考察的定常跏k 方程进行误差分析，首先我们给出几个有用韵引理 引理3 4 刨设，【r ( q ) 】2 ，问题( 3 5 ) 的解为玎【叫( 嘞】2 ，p h 1 ( o ) ，则 | 1 甜k 。+ 1 1 p 。c i i ，弘n ( 3 9 ) 引理3 5 设为“ 睇的双线性插值部分，则成立 l i l i 。一n c q “i h ( 3 1 0 ) 证明设k j 为由四边形q 口2 口构成的边界单元，其中直边吼如= r “，置，为曲 边四边形a l 口2 吗吼构成的单元( 顶点吼，吼在r 上) ，其中吼码= r 7 为x ，的曲边，如图3 2 所 示，连接q 吗，将i ，k ，分别分成： 图3 2 单元分割示意圈 口3 i ，：d l 口3 口4 和q d 2 ，分别记为霞：_ 1 ) 和趸二2 ； k j ：曲边三角形口l 呜吼和d l 口2 吨，分别记为j | 【2 和芷竿： 再连接吒4 4 将k ，莨j 分别分成： i ，：口2 呜d 4 和4 l d 2 q ，分别记为露和豆； k ，：曲边三角形4 2 口3 q 和q 吼q ，分别记为置；：) 和置宁 显然有，砰2 足，j 紫2 置挈根据( 3 1 ) 可知，三角形碟、砰1 、碟和霹均满足正 则性假设 4 由于钆为w 的双线性插值部分，即；“( 口，) p i 睇对吼来说，在巧弓 f = l 上没有定义，将其自然延拓到置。，取 以。3 ”2 ( 口i 埔， ，z 1 3 4 砰3 牝机( q ) p ，= 2 3 ，4 由【7 冲定理2 1 ，可知 l i 砰”馕一吼3 l 群 4 e o 簖3 4 垤一s 吼3 i 田嘞 所以 q i e 一l l 硝叫i i 一，+ o 群叫i ；一，叫 | 磺i i 昭+ i 1j ；峭 ( 3 - 1 1 ) 又 坩i k ，= 埘( a - ) 2 + ( a ：m ) 2 出 = 如，i ( ，萎。c q ，a 。只) 2 + ( 。善。c q ，a ：b 2l 由 鲻虬影( 吩炳岛) 2 巾。马) 2 ) 卜 c t 匡讯q ) ( ( a 1 a ) 2 巾：扔) 2 ) 卜 i ：2 ，3 4 t 瓒sc t l 。荟。“：( 叶) ( ( a - b ) 2 + ( a ：a ) 2 ) i 出 将( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 式代入( 3 1 1 ) 式可得 i i 国 幢一n 1 1 国p 。4 眩一。+ | i 眩州， s 叫l 喜“2 ( q ) ( ( a ，p f ) 2 + ( a ：b ) 2 ) 出叫1 i 沁 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 引理3 6 设v h 。t e 的，则存在与v ，h 无关的常数c ，便得 i v i i 。n 峨凸“lv l ，n r = l ，2 ( 3 1 4 ) 特别地，当，= 1 时有 0v l i o 鹏s c 协l v i o r + _ 1 1 2i v i l 舢j ( 3 1 5 ) 证明 当v 日1 ( n ) 时，( 3 1 4 ) 显然成立当v h 2 ( 哟时，由【9 】的( 2 9 ) 式可知， v 伊e h 2 ( 马a k ，) ，成立 i 妒l ，_ 嵋s c 【 l p t 尹i 。m + p ，纠。，一n + 2 i 伊i ：，一田) 在上式中，令p = vl r ，麝。并对下标j 求和，再利用迹定理，可得 l a ，k ，