（计算数学专业论文）矩阵行列式和代数多项式根的计算问题.pdf

摘要 摘要 矩阵行列式和代数多项式根的计算问题，实际上是复杂而又很经典的数学问 题之一，很早人们就对其进行了研究。因此，对其进行研究具有很高的理论和应 用价值。本文结合最近出现的一些相关结论，对此类问题，在进行深入研究的基 础之上，给出了几种简单估计。所得结果推广或改进了一些经典结果。 本文的研究主要分为两大部分： 1 主对角占优矩阵类的行列式估计问题：主要证明了当满足一定条件的时候， 通过研究逆元素的估计，获得了一些有趣的主对角占优矩阵类行列式的上下界的 几个简单估计，如： ( 1 ) 对一般对角占优矩阵，我们获得了如下几个结果： 定理2 1 如果a = 】e d ，那么对任意指标k n ，有 d e t a i 习a k k 兀( a j ji - c , t j ) 兀( 1 一哆) ， 其中哆= m 叫a x v ，。 ，哆= 龄 ) 和= 鱼篙，j 并且等号成立当且仅当 r j = o ( j f = l ，k 1 ) 和0 = o ( j f = 七+ 1 ，嚣) 。 定理2 2 如果a = 【】d ，那么对任意指标k e n ，有 i d e t a i - q a k ki l i ( 1 a l + g 芬) 兀( i a i + 哆) ， ， 歹2 i歹= 七+ 1 其中d ，访，同定理2 1 ( a ) 。并且等号成立当且仅当r j = 0 ( 歹= l ，七一1 ) 和 = 0 ( 歹= k + l ，卅) 。 定理2 3 如果a = 】d ，那么a = 嗡】，并且对任意后m 有 i 口舫i 兀( i i - i f ) n ( i 口f fl _ i 乃1w ，j ) - - - id e t a | i ，口f f = o u o 摘要 ( 2 ) 对双对角占优矩阵，获得了如f 结论： 定理2 4 如果a = a v e d d ，且o = u i l a 口i r j ( a ) ，j e n o ，那么 ( i i - y j a 材i 乃) 如 - l d c t a i - 0 ，其任意根旯将满足： ( 1 ) lai m a x p l ，p 2 ) ， 其中届= 黔小竹, p z - - m a x n 掣，掣 ( 2 ) i 兄阵m a x ，三 i qi + i i 面 ，去 i q l + ：二面 关键词：行列式，主对角占优矩阵类，代数多项式，根 a b s t r a c t a b s tr a c t t h ep r o b l e m s - - - - t h ed e t e r m e n to fam a r xa n dt h e p o l y n o m i a l i no n e i n d e t e r m i n a t ee v a l u a t i o n a r ei nf a c to n eo fc o m p l e xa n dc l a s s i c a lm a t h e m a t i c a l p r o b l e m s m a n yf a m o u sm a t h e m a t i c i a n sd ol o t so fi n v e s t i g a t i o no nt h e ms i n c eal o n g l o n ga g o t h e r e f o r e ，i ti sv e r yi m p o r t a n ta n du s e f u lt oe s t i m a t et h e m i nt h i sp a p e r , w e g i v el o t so fe v a l u a t i o n sf o rt h e s ep r o b l e m s ，b a s i n go ns o m en e wi n v e s t i g a t i o n s o u r r e s u l t sg e n e r a l i z ea n dm o d i f ys o m ec l a s s i c a lo n e s t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e st w op a r t s ： 1 b o u n d sf o rd e t e r m i n a n t sw i t l ld o m i n a n tp r i n c i p a ld i a g o n a l ：i nt h i sp a r t ，s o m e n e wu p p e ra n dl o w e rb o u n d sf o rd e t e r m i n a n t sw i ld o m i n a n tp r i n c i p a ld i a g o n a la r e p r e s e n t e d t h e s eb o u n d s a r es o m ei m p r o v e m e n t so fs o m es i m i l a rb o u n d s f o re x a m p l e ： ( 1 ) i nc h a p t e rt w o ，w ef i r s t l yg i v et h a t t h e o r e m2 1 i fa = 略 ed ，t h e n ，f o ra l la r b i t r a r yi n d e xk n ，w eh a v e k - i d e t a l 4 a 船兀( i i j = l - d t j ) 兀( 1 a 口一哆) ， j = k + 1 w h e r ed ，：x v a ，仍f ：燃 w ) 册jw ：冬生牟，_ ，1 1 l e 唧l a l i 够h o l d si f 髓do n l yi f g2 。 ，哆2 龄 ) 册j 坳22 盖f ，m 1 1 1 e 唧1 a l i 够 i f 髓di f r j = o ( = l ，j | 一1 ) a n d = o ( _ ，= 七+ l ，以) t h e o r e m2 2 i fa = 【a f 】d ，t h e n ，f o ra l la r b i t r a r y i n d e xk ， k - i d e t a l 4 a ai h ( 1 a i + t 5 f j ) 兀( 1 i + 谚a ， w h e r e 巧a n d 髟( ，n ) a r et h es a m e 船t h o s ei nt h e o r e m2 1 t h ee q u a l i t i e sh o l di fa n do n l yi f 吩= o ( ，= l ，j | 一1 ) a n d = o ( = 七+ 1 ，咒) t h e o r e m2 3 i f a 一 吩 ed ，t h e na 一= b o e x i s t s ，a n d , f o ra na r b i t r a r yi n d e x k ， k - i “ 口肚皿( 1 a 。i - y , l a ui ) i - i ( 1 a ui - 嘞i 嘞) s l d c t a i ii = k + lk s j i i = k + li s ，f i i i a b s t r a c t w h e r e a n d ( i , ja 忉a s i nt h e o r e m2 1 t h e e q u a l i t i e s h o l di fa n do n l yw h e n i k ，嘞2 0 ( 歹 f ) ( 2 ) f o rd o u b l y ( r o w ) d i a g o n a l l yd o m i n a n t ，w ea l s os h o wt h a t t h e o r e m2 4 i f a = 【嘞】d d ，a n dn o = 川a 峰r j ( a ) ，册0 ，t h e n ( ia al - 1 ip j ) td e t a 艟i _ 1d e t a l ( ia 娃i + j i & ) ld e t a 特j ，七0 ，靠户i 2 e v a l u a t i o nf o rt h ep o l y n o m i a li no n ei n d e t e r m i n a t e ：w eg i v es o m es i m p l e b o u n d s ，w h i c hg e n e r a l i z ea n dm o d i f ys o m e c l a s s i c a lo n e s f o re x a m p l e ： t h e o r e m3 1 f o rt h ep o l y n o m i a l ( 3 - 2 ) ，i t sa n yr e a le i g e n v a l u e 允s a t i s f i e st h a t ： 那一 - ， w h e r e 口= m i n0 ，一a j 2 刀) ，b = m i n0 ，哆12 _ j - 0 ，i t sa n y e i g e n v a l u e 五s a t i s f i e s t h a t ： ( 1 ) 五| 0 ，有一个实根与一对共轭复根 a = 0 ，有三个实根，其中有两个相等 i 0 时，再解下列两个方程： ，+ 圭( 6 乒i 石 芝1 帆- 4 c ) = o 当砒一2 c 1d e t a 辟1 口肚i 兀k - i ( 1 i p ，；) n ( ia t ii 一矾) ( 2 - 5 ) 其中p = m 衅 岛j 受这些工作的鼓舞，下面我们将对此类问题作迸一步的研究。改进上述结果，并获得一些新 的行列式上下界估计。 2 2 一般对角占优矩阵的情形 首先，给出如f 几个定义和引理： 定义2 1 【1 3 】矩阵b = 【龟，】c 是非负矩阵( 记为b 0 ) ，若对任意口p p ) ， 其中p ( b ) 表示矩阵b 的谱半径，矩阵彳= k 】c “”满足 a = a l b ，口 0 ， 则称矩阵彳为m 矩阵，这里j 表示单位矩阵。 引理2 1 t 7 1 设矩阵么= 】“，记4 c 脚哪是位置为( i j ) 处的余子式， 则对任意f n ，有 d e t a - y ( 一1 ) h 力嘞d e ，或d e t a - ( 一1 ) h 力a i jd e ( 2 - 6 ) 产lj 2 1 引理2 2 1 7 1 若矩阵a = 【】c ”，相对于m 矩阵b = 【】来说，若满足玩 1 i ， 且对任意f ，有l 口f ，i - 1 i ，那么 l d e t a 除d e t b 0 ( 2 - 7 ) 引理2 3 如果么= 】d ，那么a 一1 _ 【】存在，并且 ( a ) ( 见文献【1 4 】中的引理2 2 ) 1 匿乃l 玩i 1 l ，对任意f 歹 ( 2 8 ) 1 i ( j i 嵋( a ) p j ) i d e t 4 - , - j ，对某些，e n , ，f ( 2 1 4 ) 既然对任意i e n ，和某些歹e n ，f ，上面的不等式总是成立，因此 i 拙a l i 晋( 1 a “i - ( a ) p ：) l d e t 4 , i ，i e n ( 2 1 5 ) 现在我们从f - 1 开始，对i d e ta n l 在使用卢2 ，如此继续下去，到徘l 为止。然 后，从i = n 开始，类似上述过程到到f = 甜1 为止。这样就不难获得不等式( 2 1 1 ) 。 9 电子科技大学硕士学位论文 ( b ) 既然a 7 d ，那么对重复以上的证明，那么不等式( 2 1 2 ) 也不难得到。 证毕。 注2 1 - 有时候为了获得更好的结果，( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 可以混合使用，见后面的 数值试验部分。 另外，利用下面的引理2 4 ，我们也可获得一个相似的行列式上界。 引理2 4 如果4 = 【嘞 d ，那么a 叫= 【6 ：f 】存在，并且 i 巨西南，对某些歹 ( 2 。6 ) 证明：由引理2 3 ( a ) ，我们知道i 巨啦蟹 | 因此，我们可以假设 1 剐圈l ，对任意f - ，七 由彳爿1 ：，可知 = l ，对任意i e n ， j = l 吩= 0 ，对任意j k 这样，对任意i ，k ，有 i l i6 f li + 写( 么) l b f i 险1 ， 【1 i i | _ 弓( 4 ) i | 0 解上面的不等式，我们获得 悱鬲2 雨面1 砺，对某些川 这样证明被完成。 现在，由上面的引理2 4 ，类似于上面的定理2 1 的证明，不难得到： 定理2 2 ( a ) 如果a = 】d ，那么对任意指标七n ，有 i d e t 彳匡i i ( i i + 哆弓) n ( 1 a j ji + 哆) ， ( 2 - 1 7 ) 其中哆，髟同定理2 1 ( a ) 。并且等号成立当且仅当乃= 0 ( ，= l ，k - 1 ) 和 = 0 ( ，= 七+ 1 ，卅) 。 ( b ) 若a r d ，那么对任意k n ，有 1 0 第二章主对角占优矩阵类的行列式的界 d e t a 4 a 肚i 兀( 1 a i + 西j a j ) h ( i i + 帝j u j ) ， ( 2 1 8 ) j = l = t + l 其中廖，彩同定理2 1 ( b ) 。并且等号成立当且仅当嘭= o ( _ = 1 ，七一1 ) 和 u j = 0 ( ，= 七+ l ，玎) 。 定理2 3 如果a = 口 ，】d ，那么a 一= 【6 ：f 】，并且对任意后，有 l a 肚i 兀( i i - 1 i ) 兀( i i _ l 嘞1 w 。j ) - l d e t a i i i = k + l k j i i = k + l k j k ，d e = o ( - ， ob 3 1 这样由 ( 2 1 3 ) ，可知 ( 一1 ) h 7 d e t 4 0 现在，由引理2 3 ( a ) ，可得 i d e t a 口i - p j d e t 4 ，对任意i ( 2 - 2 0 ) 因此，由( 2 1 9 ) 推出 i d e t a l 2 ( i a u ze a fi p , ) l d e t ji ，对任意f ( 2 - 2 0 耐 以下的证明相似于定理2 1 ，在此不再详述。 现在我们考虑上述不等式的右手边，由引理2 1 ，有 i d e t a i _ ) - ? 1 a ui i d e t i ，对任意i j = l 注意至l j ( 2 2 0 ) ，那么有 i d e t a _ ( i a i + l 勺t p ，) l d e t4 ii ，对任意f ( 2 - 2 2 ) j = 1 f 重复前面定理2 1 ( a ) 的相应的证明过程，易知结论成立 注2 2 ：特征值是关于元素的连续函数，因此行列式也是关于元素的连续函数。 电子科技大学硕士学位论文 这样对上述定理2 1 2 3 来说，在更弱的条件一般主对角占优下也是成立的。 2 3 双对角占优矩阵的情形 现在我们将上述结果推广到双对角占优矩阵的情形。为此我们先定义双对角 占优矩阵如下： 定义2 2 【7 1 设矩阵a = a v ec 一，那么矩阵a 被称作双对角占优的( 记为 a e 坟坟) ，如果对任意is ，有 i 1 1 巨g ( a ) r j ( 铘 如果上述不等式是严格的，则称之为严格双对角占优矩阵，记为彳d d 。 引理2 5 若么：f 鬈】肋，并且鹄= 0 1 1 r j ( a ) ，j 奶0 ，那么a = 晦 满 足 ( a ) 笛肛i ki ，i o ，k i ) ； 巨型等掣i 吮匿以m f 0 ，七鼢 4 胜i 巨型铲，f w 雕砌 其中d 是一个满足 ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 而：承l 砺乳阵志，涎o 小( 。， ( 2 2 6 ) 证明：( a ) 既然n o 0 ，因此彳仨d 。不失一般性，我们可以假设第i 行非严格 对角占优( 即，f o ) ，记 止踊揣小揣 既然么= 魄】d d ，这里存在个正数d 使得 l d ，1 现在，构造一个正对角矩阵a = d i a g ( 人，人：，a 。) ，其中 1 2 数正 习 嵩刚 蹴 第二章主对角占优矩阵类的行列式的界 中 l 嚣 让c = 【c f 】_ 么人，那么我们有c ，= 人j ，i ，j e n 。容易证明c e d 。下面对于矩阵 c ，由引理2 3 ( a ) ，我i f - 7 p a 获得 ( 1 ) i ki 竽掣：辟i b a 胁0 ，七 f ； a i il 口 ( 2 ) i i 型型竺酱塑掣l b | ，我们有 l a 。i + 皿( 4 ) 形 其中 她| 丽丽1 ， ( 2 2 7 ) d ? ：垫丝! ! 二型丝 。d a j ji 对任意i 0 ，e n 玑我们又有 蟛型等型等嘶 ( 2 - 2 8 ) l 口口li 口fl 叫 、。 这样由( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) ，可知结论成立。 定理2 4 如果彳= 口 ， e d d ，且= j l l a | 吩( 栅，j e n o ，那么 ( | 口肚i 一la 茸i 乃) id e t 如i _ 4 8 0 ( 2 _ 4 ) l d e t a i 3 1 5 ( 2 - 5 ) 6 4 2 3 7 id e t a 巨4 7 1 1 8 ( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 ) 4 1 2 8 ld e t ai z - 9 3 6 定理2 3 3 3 8 7 9 ld e t a 陲1 3 8 9 9 另外，在同样的假设k = - i 下，若我们首先应用( 2 1 1 ) 然后应用( 2 1 2 ) ，那么我们获 得id e t a 险9 8 0 5 7 ，这皆好于直接使用( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 的结果。 例2 4 2 考虑双对角占优矩阵 彳= 现在，应用定理2 4 ，我们获得 d e t a n ( 4 + 警+ 扣e t 如鲫6 ， 这接近于真实值d e t a = 9 8 。因此，定理2 4 是文献。乒1 2 】的推广和改进。 1 4 第三章代数多项式的根的几个简单估计 第三章代数多项式的根的几个简单估计 3 1 引言与记号 代数方程是最古老的方程，有着重要的应用。正如前面第一章所述，古代就 已知一次、二次代数方程的解法。然而，直到1 6 世纪意大利一个靠自学成才的数 学家塔尔塔利亚发现了一般一元三次方程的求根公式，在他的启发下，意大利数 学家费拉里也很快给出了一元四次方程的求根公式。随后在他们工作的鼓舞下， 人们开始继续寻求更高次数的多项式的求根公式。然而，三百多年过去了，仍没 有太大的进展。直到1 8 7 0 年法国数学家若尔当介绍了法国数学家伽罗瓦的论文“关 于用根式解方程的可解性条件”后这一问题才得以解决。以此文为基础的研究已 成为近世代数所研究的最重要的课题之一。 由代数基本定理知道，每个次数不小于1 的复系数多项式，在复数域上至少 有一个根。然而要把这些根全部求解出来，一般来说还是很难的。目前，一般都 采用代数方程的牛顿法算法，然而，正如第一章所述，牛顿算法对初值区间的选 择要求是很高的，在某些情况下，对初值也十分敏感。因此，若能给出初值区间 的一个较好的选择，必将对牛顿算法十分有益。 一般说来，实数域上的代数方程可以设为 只( z ) = a o x ”+ 口l ，一1 + + a n _ i x + a n ， ( 3 1 ) 式中的a t ( f = 0 ，1 ，棚) 均为实数，且a 。o 。在本节中为了研究的方便，且不失一般 性，我们可以假设： 只( 功= x “+ a i x ”- 1 + + a n l x + 巳， ( 3 2 ) 且a 。0 。 在很多数学理论与实际应用中需要对( 3 2 ) 的根的模进行估计。如齐次常系数线 性差分方程 厂( d u k = u t + h + a l u i + 月一l + + 一l u k + l + a n u k2 0 其所对应的特征方程就是上述的n 次方程( 3 2 ) 。 关于上述n 次方程( 3 2 ) 的根模的估计，最早由c a u c h y 给出【1 6 】： 1 5 电子科技大学硕士学位论文 一一一_ 一一 1 名| m a x l a 1 ，1 + i a ii ，1 + j 口。一。0 ( 3 3 ) 其中1 名i 表示上述多项式( 3 2 ) 的任意根的模。近来的主要结果有c a r m i c h a e l - m a s o n 的估计【7 】： 厂i 一 i a 阵、f l + i 口i 1 2 ，( 3 - 4 ) i = 1 f a r m e r l o i z o u 的估计【1 7 】： 3 1 0 ，设 q l c r = r l a li x p l 一一i a s ll x 一( 1 a sl + 仃) ( 3 _ 8 ) 彳一掣厂1 一掣 ( 3 - 9 ) 分别取其唯一正根岛。，, 0 2 矿。则多项式( 3 2 ) 的根满足： i 兄阵n l a x 以仃，岛口) ( 3 - 1 0 ) 引理3 3 【1 8 】对多项式( 3 2 ) ，其任意根允将满足： 1 6 第三章代数多项式的根的几个简单估计 hi + 盯面 ) 首先，我们先给出多项式( 3 2 ) 的任意实根的几个估计。 定理3 1 对多项式( 3 2 ) ，其任意实根力将满足： m 阵叫l f 可，f 硒，b ， 其中口= m i n 0 ，一a i2 ，l ，b = m i n o ，勺l2 ，z 。 证明由第一章可知，多项式f 3 2 1 的根即为其友矩阵 q = - a i- a 2 1o 01 0o 一口n 一1一a n oo 0o 1o 所对应的特征值。那么允2 将是矩阵q 1 9 1 ： q = 对上述矩阵，显然有 6 l6 2 - a i - a 2 1o oo 吃一。吃 - a 一1 口n 00 o0 m i n o ，哆i2 歹珠f = 1 ； m i n o ，- a yi2 歹以 ，f = 2 ； 0 ，i 1 ，2 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 因此，由引理3 1 不难得到 咫懋m 驴刮, - a ：- a + z 脚i 。i ) ， 从而，易知结果成立。证毕。 注3 1 ：由定理3 1 的证明可知，当多项式( 3 2 ) 的系数相差不大时。在此条件 下的定理3 1 的估计结果是很好的，见下面数值试验部分。 1 7 2 屯 一 玎、j 【址o ； 电子科技大学硕士学位论文 下面，我们用“广义友阵”的定义，进一步优化上述结果。 定义3 1c 2 0 1 令只( x ) 是一型如( 3 2 ) 的多项式，那么这里存在复数c 1 ，c 2 ，o g c n 和不 为零的复数d l ，畋，d n ，且满足 - a 1 = c i ， _ c 2 西( 3 1 4 ) ： 一a n 暑q d 。一l 以西 使得矩阵彳： a = 0 以一， ： ： ： 0 qq 一1 o 0 c 2 ( 3 - 1 5 ) 的特征多项式就是多项式只( 功。在本文中，我们称矩阵4 为多项式( 功的广义友 阵。 利用广义友阵和引理3 1 ，我们可以类似地得到如下定理3 2 ，其在一定程度 上改进y ( 3 5 ) 式。 定理3 2 对多项式( 3 2 ) ，其任意实根五将满足： 一p 乒可，f i 礴丽，p 旧 l 其中扛m ：鲻a x 。l l i ，q = 劳，h ，2 ，咒，e = m i n0 ，d c j ll _ j 0 ，其任意根兄将满足： ( 1 ) i 旯i _ ( 3 1 9 ) 证明根据前面第一章中，关于多项式友阵的定义，可知引理3 2 中多项式g 。，和 q ：。所对应的友阵，可分别写成如下形式1 8 1 ： 互= 00 0 iql + 盯 100 iq 一。l 1 ； ： 0 ia 2l 1 a li ，e = oo 型 盯 10 ； 1 ：j ： i 1 也j 仃 对上述矩阵，分别采用行和范数( 即州l 。) ，易得 胪。m 蚓a x 川吼竹 0 2 - 因此，由引理3 2 易知，结论( 1 ) 成立。 类似地，对( 3 2 0 ) 分别采用引理3 3 的结论，易知，结论( 2 ) 成立。证毕。 推论3 4 对多项式( 3 2 ) ，其任意根名将满足： 1 9 ( 3 - 2 0 ) 电子科技大学硕士学位论文 i 五i m a x 口。l ，1 + i qi ，1 + i 口。一。i ) 证明只要令定理3 3 ( 1 ) 中，j = n ，仃= 1 ，即可。证毕。 注3 2 ：在定理3 3 中，对j 和仃取不同的值就会得出许多不同的根的估计， 如：推论3 4 。因此，定理3 3 可以说是对一些多项式根模估计式( 如( 3 3 ) 等) 的 进一步推广或改进。 3 3 数值例子 例3 3 1 考虑一个简单多项式只( x ) = 工3 + x 2 6 x 一6 ，估计此多项式根模的最大 值。 解：易知其友阵为 q = 利用m a t l a b7 1 直接计算，它的3 个根分别为： 它们皆为实根。显然这些根的模的最大值为：2 4 4 9 5 。 应用上面的结果到它，我们可以获得如下结果： 表3 - 1 在不同定理下多项式根模的界 相关结果多项式根模的界 c a u c h y ( 3 - 3 ) 7 0 0 0 0 。 c a r m i c h a e l - m a s o n ( 3 - 4 ) 8 6 0 2 3 f a r m e r - l o i z o u ( 3 5 ) 4 8 9 9 0 m o n t e l ( 3 - 6 ) 1 3 0 0 0 0 定理3 1 ( 3 1 1 ) 4 3 5 8 9 显然，我们的结果皆好于这些经典结果。 例3 3 2 考虑圪( x ) = 一，一2 x 4 3 x 3 4 x 2 5 x 一6 ，估计此多项式根模的最大 值。 解：易知其友阵为 2 0 第三章代数多项式的根的几个简单估计 c= l2 l0 01 00 0 0 o 0 34 0 0 o o 10 0l o 0 56 0 o o o o 0 0 0 lo 利用m a t l a b7 1 直接计算，它的6 个根分别为： 毛= 0 8 3 1 7 + 1 1 7 1 9 i ， x 2 = 0 8 3 1 7 - 1 1 7 1 9 i x 3 = - 0 2 11 7 + 1 3 3 4 1 i ， x 4 = 一0 2 1 1 7 - 1 3 3 4 1 i x 5 = 一1 1 2 0 0 + 0 5 8 1 3 i 黾= 一1 1 2 0 0 - 0 5 8 1 3 i 这些根的模的最大值为：1 4 3 7 0 。 既然，它没有实根，下面我们利用定理3 3 对根模的最大值估计如下： 表3 - 2 在不同s ，仃取值下定理3 3 ( 1 ) 的结果 s 仃= 0 8仃= 1 0盯= 2 0仃= 3 0 s = l7 56 o3 54 o s = 27 56 o4 o5 o s = 37 56 o5 06 o j = 47 56 06 07 o s = 57 56 07 o8 0 s = 67 56 08 09 0 最小值7 56 0瓠s4 o 2 1 电子科技大学硕士学位论文 表3 - 3 在不同s ，盯取值下定理3 3 ( 2 ) 的结果 j 仃= 0 8盯= 1 0盯= 2 0仃= 3 0 s = l 6 1 5 5 45 3 5 8 93 5 4 1 42 8 0 5 4 s = 26 5 9 3 65 6 5 3 36 0 6 3 0 2 8 s = 3 1 1 5 2 4 71 1 6 1 8 01 2 01 2 3 0 2 8 s = 41 9 5 2 4 7 1 9 6 1 8 02 0 02 0 3 0 2 8 s = 5 2 9 5 2 4 72 9 6 1 8 03 0 。o 3 0 。3 0 2 8 s = 64 1 5 2 4 7 4 1 6 1 8 04 2 04 2 3 0 2 8 最小值6 1 5 5 45 3 5 8 93 5 4 1 4 2 8 0 5 4 在这些估计中，最小值是2 8 0 5 4 ，其已非常接近最大模根1 4 3 7 0 。这表明在 某些情况下，定理3 3 的估计也是很精确的。 第四章结论和展望 4 1 本论文研究总结 第四章结论和展望 本文的研究主要分为两大部分： 1 在第二章中，主要证明了当满足一定条件的时候，主对角占优矩阵行列式 界的问题。通过研究逆元素的估计，获得了一些有趣的行列式估计式。如： ( 1 ) 对一般对角占优矩阵，我们获得了如下几个结果： 定理2 1 如果a = 【口f 】d ，那么对任意指标k n ，有 i d e t a i 到a 肚h ( 1 a i - 嘭乃) h ( i a 一哆) ， 其中g = t 学 ，哆= 嬲 ) 和= 鱼篙，_ ，- 并且等号成立当且仅当 乃= 0 ( _ ，= 1 ，k - 1 ) 和，= 0 ( ，= k + 1 ，以) 。 定理2 2 如果a = k 】d ，那么对任意指标k n ，有 其中岛，髟同定理 = 0 ( j = k + 1 ，n ) 。 k - ih d e t a i q a ai l i ( i i + o j s ) 兀( i a i + 哆) ， j = lj = k + l 2 1 ( a ) 。并且等号成立当且仅当，：= o ( ，= 1 ，k - 1 ) 和 定理2 3 如果彳= l a y d ， - 那么a = 【】，并且对任意尼 有 i 口肚f 兀( 1 口f fi - ia vi ) n ( i j _ l 吩1w o ) - i i = k + l k j k ，口j ，= o ( j f ) ( 2 ) 对双对角占优矩阵，获得了如下结论： 定理2 4 如果彳= 心】肋，且o = u l l a 口| 吩( 彳) ，奶o ，那么 电子科技大学硕士学位论文 ( i a r ti 一1 i p j ) i d e t a ni - 1d e t a i 0 ，其任意根兄将满足： ( 1 ) i 五喀m a x p l ，p 2 ， 其中e m 华a xm h m 舻川m 轳a x 州 + 掣，掣) o ( 2 ) 一旧l + 一l + 阿 ) 4 2 前